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CAPÍTULO 10
MODELOS VAR
Javier Galán Figueroa
1. INTRODUCCIÓN
Una de las principales tareas del economista en su quehacer diario, es la
evaluación de las políticas económicas que son llevadas a cabo por un
determinado
gobierno
para
satisfacer
sus
compromisos
adquiridos
con
anterioridad con el menor costo social. De acuerdo a la literatura de la teoría de
juegos, toda política económica que cumple con lo anterior se dice que es creíble
ya que los agentes tienen pleno conocimiento sobre las acciones de la autoridad,
restringiendo así a la autoridad en caer en un problema de inconsistencia dinámica
obligándolo en alcanzar sus objetivos de política de corto y largo plazos (Kydland y
Prescott, 1977; Barro y Gordon, 1983, Galán y Venegas, 2013 y Galán, 2014).
A nivel empírico los economistas han acudido a los modelos de Vectores
Autorregresivos, VAR, como herramienta básica para evaluar las políticas
económicas. Esta metodología econométrica fue planteada inicialmente por el
célebre trabajo del Nobel en Economía 2011 Christopher Sims (1980)
Macroeconomic and Reality, en donde presenta una fuerte crítica hacia los
modelos de sistemas ecuaciones y sus principales aplicaciones como son los
modelos macroeconométricos o de gran escala. Sims menciona…
De acuerdo a Sims (1986) la modelación de los Vectores Autorregresivos debe
estar constituido por tres componentes: i) forma reducida, ii) estructura y iii)
identificación. A continuación se exponen las características básicas de los
modelos VAR y se ejemplifica su estimación mediante el programa RStudio.
2. CARACTERÍSTICAS DE LOS MODELOS VAR
Los modelos vectoriales autorregresivos (VAR) se estructuran de forma similar a
los sistemas de ecuaciones simultáneas aunque manteniendo una especificación
autorregresiva (AR); Son, por lo tanto, una combinación entre los modelos AR de
series de tiempo y los modelos de ecuaciones múltiples estructurales. Sin
embargo, la gran ventaja de los modelos VAR, en relación a esos otros modelos,
radica en que todas sus variables se consideran endógenas, lo cual evita imponer
restricciones de identificación poco creíbles en las ecuaciones y elude ajustar una
perspectiva teórica a la explicación del fenómeno económico de interés.
Justamente, éste último elemento ha sido visto también como una debilidad de
estos modelos al señalar que los VAR son mediciones sin teoría.
El ejemplo más simple de un VAR sólo considera dos variables que son
explicadas por sus comportamientos previos en el tiempo. A este caso simple se
le denomina VAR bivariado y se muestra a continuación:
y1t=1+ a11y1t-1+...+a1py1t-p+ B11 y2t-1+...+B1p y2t-p + u1t
y2t=2+ a21y2t-1+...+a2py2t-p+ B21 y1t-1+...+B2p y1t-p + u2t
Con algunas transformaciones algebraicas básicas, las dos ecuaciones previas se
pueden representar como el sistema matricial siguiente:
yt =  + A1yt-1 + A2yt-2 +…+ Apyt-p + vt
Donde  es una matriz de m constantes, las Ap son matrices de m×m coeficientes
y vt es un vector ruido blanco que contiene las innovaciones de las m ecuaciones,
que cumple con la propiedad de distribuirse como una normal multivariada N[0, ]
con media cero y una matriz de varianza-covarianza .
El VAR debe cumplir con condiciones de estabilidad en el tiempo, de otra manera
generaría trayectorias explosivas de las variables sin ningún sentido económico.
Por ello, es indispensable analizar la estabilidad del modelo y para lo cual
redefinimos el VAR previo utilizando el operador de rezagos (L). El VAR queda
expresado en términos de un polinomio de grado p en el operador L.
[I - A1L - A2L2 -…- ApLp] yt =  + vt
Yt =  + vt
donde = [I - A1L - A2L2 -…- ApLp].
En equilibrio sabemos que yt = yt-1…= yt-p , en consecuencia al despejar el vector
yt se transforma en:
yt = ()-1( + vt)
De esta última expresión se desprende que la condición suficiente para la
existencia de estabilidad o equilibrio radica en que las raíces características de 
tengan un módulo inferior a la unidad, ||mp || < 1, esto garantiza que la solución
sea convergente:
pI - p-1A1 - …-p-1 Ap-1 - Ap =0
Si retomamos el VAR bivariado y añadimos el efecto contemporáneo de las
variables en el lado izquierdo de la ecuación, tendremos lo que se conoce como
VAR en su forma primitiva y es el siguiente:
y1t=1+ a11y1t-1 + B11 y2t-1+ B12 y2t +u1t
y2t=2+ a21y2t-1 + B21 y1t-1+ B22 y1t +u2t
El efecto contemporáneo imposibilita la estimación del modelo con el método de
mínimos cuadrados ordinarios, ya que debido a que dichos efectos estarían
correlacionados con el término de error dando lugar a un problema conocido como
regresores estocásticos y que representa una violación al supuesto de
exogeneidad de las variables explicativas del modelo.
El efecto contemporáneo se puede eliminar si se despeja al lado derecho de las
ecuaciones:
y1t - B12 y2t =1+ a11y1t-1 + B11 y2t-1 +u1t
-B22 y1t +y2t =2+ a21y2t-1 + B21 y1t-1 +u2t
Su representación matricial es:
φ yt =  + A1yt-1 + vt
donde:
φ=
1
- B12
-B22
1
La ecuación previa se puede despejar fácilmente utilizando la inversa de φ lo que
nos posibilita obtener la forma estándar del VAR, en donde el efecto
contemporáneo ya no aparece en las ecuaciones y su estimación por mínimos
cuadrados ordinarios ya es posible:
yt = φ -1 + φ -1A1yt-1 + φ -1vt
3. UNA APLICACIÓN EN R DEL VAR BIVARIADO
Con el fin de ejemplificar la utilización de estos modelos en R, se considerará un
VAR bivariado para analizar el comportamiento de la inflación y de la oferta de
dinero para el caso de la economía mexicana. Para lo cual tomaremos el periodo
del primer mes del año 2000 al cuarto mes del 2014. Cabe mencionar que los
datos se obtuvieron del Sistema de Información Estadística del Banco de México.
Para el desarrollo del presente análisis se parte de la siguiente cita de Michael
Woodford (2008, pp.1561) “Existe consenso de que en el corto plazo el dinero no
es neutral y que la inflación es, donde sea, un fenómeno monetario”. Dicha frase
proviene de otros grandes economistas monetarios, entre los que destacan el
expresidente de la FED de los Estados Unidos, Alan Greenspan y el propio Milton
Friedman. De esta forma, a continuación se toma al Índice Nacional Precios del
Consumidor con año base 2010 y al Agregado Monetario M2, este último se le
transforma en número índice cuyo año base es también 2010. Posteriormente se
aplica logaritmos a las series, para ello se utiliza la base de datos que se
encuentra en el archivo base_var_inflacion.csv. Con esta base se crea el siguiente
objeto, mex_var, que será utilizado para la estimación del modelo VAR(p).
> mex_var<-read.csv("C:/data/base_var_inflacion.csv", header=T)
> attach(mex_var)
A continuación se hace la lista de la base para conocer cómo se encuentra
asignado el nombre de las variables y de su ubicación, para ello se utiliza el
nombre del objeto que se está trabajando, mex_var.
Una vez que se tiene el objeto de trabajo, se procede a dar formato de series de
tiempo a la base de datos a cabo por mediante el siguiente código. Comenzando
primero por el índice de la oferta monetaria y posteriormente al índice de precios.
# Para M2
> tm2=ts(mex_var[,1], start=2000, freq=12)
# Para INPC
> tp=ts(mex_var[,2], start=2000, freq=12)
A estas nuevas variables son transformadas en logaritmo mediante el siguiente
código:
# Para M2
> ltm2<-log(tm2)
# Para INPC
> ltp<-log(tp)
Una vez que se han transformado en logaritmo las variables, se grafican siguiendo
el código siguiente:
> ts.plot(ltp, ltm2, col=c("blue", "red"))
Gráfico 1
México: logaritmo del INPC y el logaritmo del índice de M2
(2000:01-2014:04)
Del anterior gráfico se aprecia tanto el INPC como el índice M2 presenta una
trayectoria determinística creciente, por lo que ambas series no satisfacen el
supuesto de ruido blanco o que son estacionarias. Para corroborarlo se llevará a
continuación las pruebas de raíz unitaria. Para ello se instalará la paquetería de
los vectores autorregresivos, vars, posteriormente se activa la librería respectiva.
> install.packages("vars")
> library("vars")
Para aplicar la prueba de raíz unitaria de Dickey Fuller Aumentada (ADF) se
plantea la siguiente Hipótesis nula vs. Hipótesis alternativa:
Ho: La variable x no tiene una raíz unitaria
Ha: La variable x tiene una raíz unitaria
De esta forma se aplica la prueba ADF sin constante ni tendencia mediante el
código siguiente:
> adf1_ltp<-summary(ur.df(ltp, lags=2))
> adf1_ltp
Tabla1
Prueba Dickey-Fuller Aumentada para el logaritmo del INPC
Sin constante ni tendencia
###############################################
# Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
###############################################
Test regression none
Call:
lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
Residuals:
Min
1Q
Median
3Q
Max
-0.0094003 -0.0015581 0.0001655 0.0018882 0.0069994
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
z.lag.1
0.0004657 0.0000836 5.571 9.77e-08 ***
z.diff.lag1 0.4800867 0.0766043 6.267 2.92e-09 ***
z.diff.lag2 -0.0568694 0.0760942 -0.747
0.456
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.003074 on 170 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.6233,
Adjusted R-squared: 0.6167
F-statistic: 93.76 on 3 and 170 DF, p-value: < 2.2e-16
Value of test-statistic is: 5.5706
Critical values for test statistics:
1pct 5pct 10pct
tau1 -2.58 -1.95 -1.62
En la parte inferior de la Tabla 1 se aprecia que el valor estadístico ADF tiene un
valor de 5.5706, el hecho de que sea positivo, indica que el logaritmo del INPC no
es estacionario, por lo que se rechaza la hipótesis nula y se acepta la alternativa
de que la variable presenta raíz unitaria.
# Primera diferencia para el logaritmo del índice de precios
> dltp<-diff(ltp)
# Prueba ADF para dltp sin intercepto ni tendencia
> adf1_dltp<-summary(ur.df(dltp, lags=11))
> adf1_dltp
###############################################
# Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
###############################################
Test regression none
Call:
lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
Residuals:
Min
1Q
Median
3Q
Max
-0.0073845 -0.0015599 0.0004355 0.0018681 0.0080338
Residual standard error: 0.002624 on 151 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.5194,
Adjusted R-squared: 0.4812
F-statistic: 13.6 on 12 and 151 DF, p-value: < 2.2e-16
Value of test-statistic is: -1.4985
Critical values for test statistics:
1pct 5pct 10pct
tau1 -2.58 -1.95 -1.62
Para el caso del logaritmo del índice de la oferta de dinero se tiene los siguientes
códigos para llevar a cabo la prueba ADF.
###############################################
# Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
###############################################
Test regression none
Call:
lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
Residuals:
Min
1Q
Median
3Q
Max
-0.026379 -0.002171 0.003174 0.007590 0.043236
Residual standard error: 0.009523 on 171 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.2784,
Adjusted R-squared: 0.27
F-statistic: 32.99 on 2 and 171 DF, p-value: 7.649e-13
Value of test-statistic is: -4.6533
Critical values for test statistics:
1pct 5pct 10pct
tau1 -2.58 -1.95 -1.62
# Segunda diferencia del logaritmo del indice de precios
> d2ltp<-diff(dltp)
# Segunda diferencia del logaritmo del indice de la oferta de dinero
> d2ltm2<-diff(dltm2)
Graficando las series las segundas diferencias del logaritmo del indice de precios,
d2ltp, y el logaritmo del índice de la oferta de dinero, d2ltm2, mediante el siguiente
código se obtiene la Gráfica 2.
> ts.plot(d2ltp, d2ltm2, col=c("blue", "red"))
Gráfico 2
Segunda diferencia del logaritmo del INPC y del logaritmo del índice de M2
(2000:01-2014:04)
Referencias
Enders, Walter (2010), Applied Econometric Time Series, 3a. Ed. John Wiley &
Sons, Hoboken, New Jersey.
Galán, Javier (2014), “Christopher Sims: modelos, realidad y metodología”,
Equilibrios
y
Conjeturas,
Cuadernos
del
Seminario
de
Credibilidad
Macroeconomica, FE-UNAM, año 1, núm. 1,
Sims, Christopher (1980), “Macroeconomics and reality”, Econometrica, vol. 48,
núm. 1, enero.
_____ (1986), “Are forescasting models usable for policy analysis?”, Federal
Reserve Bank of Minneapolis, Quarterly Review, vol. 10, núm. 1, invierno.