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Matemáticas, 4º de ESO, opción B
Ejercicios de repaso para las recuperaciones.
(junto con los explicados en clase)
Unidad 1: Trigonometría
Ejercicio 1.1 Dado el siguiente triángulo obtén (sin utilizar Pitágoras) los lados y ángulos
que faltan
27º
15 m
Ejercicio 1.2 Un triángulo rectángulo tiene por lados 5 cm, 12 cm y 13 cm. Halla las tres
razones trigonométricas principales del ángulo pequeño y los ángulos
Ejercicio 1.3 Calcula la altura de una montaña sabiendo que la sombra que proyecta es de
90 metros cuando el Sol está elevado un ángulo de 60º sobre el horizonte
Ejercicio 1.4 Completa con la calculadora. Si procede, redondea hasta 2 decimales

30º
sen 
cos a
tg 
0’4
1’12
Ejercicio 1.5 Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se
observa su copa bajo un ángulo de 60º y si retrocedemos 10 m, bajo un ángulo de 30º
Ejercicio 1.6 Una escalera de 2 metros se apoya contra una pared formando con el suelo
un ángulo de 45 grados, ¿a qué altura de la pared llegará el extremo superior?
Ejercicio 1.7 Teniendo en cuenta que sen  
3
, halla el valor de cos  y tg 
2
mediante las relaciones fundamentales
Ejercicio 1.8 Demuestra que se verifica la siguiente igualdad
1
 1  cos 2 
2
1  cotg 
Unidad 2: Resolución de triángulos
Ejercicio 2.1 Halla el radio (r) y la apotema (a) de un pentágono regular de lado 10 cm
Ejercicio 2.2 Calcula x:
Ejercicio 2.3 Halla el área del siguiente triángulo: (ángulo C = 59º; b = 2’3 m; a = 1’8 m). Si
eliges la altura adecuada, el problema es muy simple
C
b
a
Ejercicio 2.4 Se ha colocado un cable sobre un mástil que lo sujeta como muestra el
dibujo; ¿cuánto miden el mástil y el cable?
Ejercicio 2.5 Tres antenas A, B y C deben dar cobertura a los pueblos de la zona. La
distancia de A a B es de 9 Km. y la de B a C 6 Km. El ángulo que forman las carreteras de B
a C y de C a A es de 120º. ¿Cuánto distan las antenas A y C?
C
A
B
Ejercicio 2.6 En el siguiente triángulo, rectángulo en A, calcula las medidas de los
segmentos desconocidos indicados por letras
Ejercicio 2.7 Resuelve el triángulo del que conocemos
C = 30º , b  25 cm , c  18 cm
Unidad 3: Vectores
Ejercicio 3.1 Realiza el producto escalar de los vectores
u
y
v
u = (-2 ,1) , v = (0 ,-1)
Ejercicio 3.2 Calcula el ángulo que forman estos dos vectores
u = (2 , 3), v = (4 ,1)
Ejercicio 3.3 Calcula a para que sean ortogonales u   5, a  y
(
)
v = -3, 4
.
Ejercicio 3.4
Sean
u = (1,1) ; v = (2 , 0) ; w = (2 , 1)
a) Realiza
u - v + w de forma analítica,:
b) Realiza
u - v + w de forma gráfica,:
Ejercicio 3.5 Calcula el módulo y el ángulo que forma cada uno de estos vectores con el
eje de abscisas


u  (0 , 2) ; v  (3,  2)
Ejercicio 3.6. Calcula un vector
de
u y el de w

w opuesto a u  (0 , 2) . ¿Qué relación tienen el módulo
Unidad 4: Raíces y logaritmos
Ejercicio 4.1 Simplifica
a  log 1000 
b  log 0'0001 
1

10
c  log
d  log 1 1000 
10
e  log 2
2
f  log3 3 9 
Ejercicio 4.2 Calcula aplicando propiedades
log 2  3log 52  log 55 
Ejercicio 4.3 Calcula los siguientes logaritmos decimales (con base 10), sin calculadora ,
usando la definición (pasando a ecuación exponencial)
a  log
1000

0'001
b  log 105 
c  log 3 0'001 
d  log
1

100
e  log 7 103 
f  log 10 
Ejercicio 4.4 Calcula los siguientes logaritmos, sin calculadora, usando la definición
(pasando a ecuación exponencial)
a  log 1 49 
7
b  log
10 
1
100
c  log 2 3 16 
d  log 1 3 9 
3
e  log 5 125 
f  log
1


Ejercicio 4.5 Simplifica, aplicando propiedades
 log 125  log 2  log
3
6
100 
Ejercicio 4.6 Toma logaritmos en las siguientes expresiones y desarrolla
a
A
2
 1  b
c3
B  10  x 2  y 3
Ejercicio 4.7 Pasa a forma algebraica las siguientes expresiones indicando todos los pasos
1
3
a  log G  log x  log y
2
2
b  log J  2  3log x  3log z
4.8 Opera y simplifica:
x2  y 
a)
b)
c)
2
3
x2
33  7 34  7 3 
2 8 3 2 
4.9. Simplifica:
a)
8  2 18  3 32 
27 1 12
3 2 18

3


2 2 50
2 3 32
b)
1
12
27 

2
25
c)
4.10. Racionaliza y simplifica al máximo:
a)
c)
1

3
x
5
4 5

b)
ab3 a
3
a 2b

Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Ejercicio 5.1 Resuelve y comprueba los resultados
log x  1  log22  x 
Ejercicio 5.2 Resuelve la siguiente ecuación exponencial
52 x  6  5x  5  0
Ejercicio 5.3 Resuelve el siguiente sistema
x  y  70

log x  log y  3
Ejercicio 5.4 Resuelve
logx  2  log x  1  3  log 2
Ejercicio 5.5 Resuelve y comprueba resultados
3× log x + log y = 2 üï
ý
2 × log x - 3× log y = 5 ïþ
Ejercicio 5.6 Resuelve
42 x1  4 x2  768
Ejercicio 5.7 Resuelve
2 x1  2 x  2 x1  7
Ejercicio 5.8 Resuelve y comprueba los resultados
2 x  5 y  9

2 x2  5 y 1  41
Unidad 6: Inecuaciones
6.1. Resuelve algebraicamente la siguiente inecuación de 1 er grado
x2
2
x x 1

2
7
3x  1 x  4 x  4


15
5
3
6.2. Resuelve la siguiente inecuación algebraicamente (con la recta).
x2  5x  6  0
x2  2 x  15  0
6.3. Resuelve la siguiente inecuación de 2º grado gráficamente (dibujando la parábola).
x2  5x  6  0
x2  2 x  15  0
6.4. Resuelve el siguiente sistema. Expresa la solución con intervalos
2 x  9  3x  5


2x  3  3x  1  2x  2
6.5. Resuelve de forma gráfica la siguiente inecuación, indicando todos los pasos:
a) 2 x  y  3
b) x  y  1
Ejercicio 6.6 Resuelve algebraicamente. Cuida que tu solución no permita una división
por cero
x 5
0
x 3
x2
0
x2  1
Unidad 7: Límites de sucesiones
Ejercicio 7.1 Calcula los siguientes límites resolviendo, si cabe, la indeterminación que
puedan presentar
a
1  n 
lim
n 
n
1
2
2
3
b
n10
lim 3 
n  n
c
 n5
lim 

n  n  4


n2
d)
e) lim
x  
f)I

x2 1
x 1

g)
h) Usando la definición del número e, resuelve:
 1
lim 1  
n 
 n
4 n

Ejercicio 7.2 Resuelve
a
x2  x  6
lim 2

x 3 x  3 x
x2  x  2
x 1 x 2  2 x  1
b) lim
x2
x  3 1
c) lim
x 3
d) nlim



n 2  n  n 2  2n 
Unidad 8: Estudio de funciones
Ejercicio 8.1 Completa la siguiente tabla.
Dom f(x)
y  x3
y  x2  5
y
1
3 x
y 5
y  x3
Ejercicio 8.2 Averigua la posible simetría de las funciones siguientes:
a
x4  1
f  x 
x
b
f  x   x3  2 x
c
f  x   x2  2x  1
d
f  x    x2  1
Ejercicio 8.3 Realiza las siguientes composiciones de funciones
f x   2 x  1 y g x   x 3
 f g  x  
Siendo
a
b
g
f  x  
c
f
f  x  
8.4 Siendo f x   3x  2 y g x  
d
f
g  x  
e
g
f  x  
f
g
g  x  
x  1 , calcula:
Ejercicio 8.5 Obtén la función inversa de:
a
x2  1
f  x 
2
b
f  x   x3  4
c
f  x 
x 1
2x  3
8.6. Realiza un estudio detallado de la siguiente función
Corte con eje X:
Corte con eje Y:
Crecimiento:
Decrecimiento:
Dominio:
Máximo/s(relativos y/o absoluto):
Recorrido:
Mínimo/s (relativos y/o absoluto):
¿Algún periodo constante?
Continuidad:
8.7. Realiza un estudio completo de la siguiente función (los mismos apartados que el
ejercicio anterior)
Unidad 9. Tipos de funciones
Ejercicio 9.1 Calcula las asíntotas oblicuas y verticales de estas funciones. Justifica la
respuesta.
x2  2x  4
a) f  x  
x
b) y 
x3
x2 1
Ejercicio 9.2 Calcula las asíntotas horizontales y verticales de estas funciones. Justifica la
respuesta
x2  2x
a) g  x   2
x 4
b)
y
2x
x 1
Ejercicio 9.3. Representa con precisión la siguiente función a trozos. Usa regla si procede
 x  5 si x  2

y   x 2  1 si  2  x 1
3
si x  1

 x , x  2

f ( x)   x 2 , 2  x  2
4 ,
x2

9.4 Representa con precisión las siguientes funciones
a) f ( x)  3x
x
1
b) f ( x)   
2
c) f ( x)  x  1
d) f ( x)  x  2
1
e) f ( x) 
x
f)
f ( x) 
2
x
Unidad 10: Cálculo de derivadas
Ejercicio 10.1 Obtén la derivada de primer orden de las siguientes funciones
b
f  x    2 x  1 x
c
x 2  3x  1
f  x 
x 1
d
f  x   sen 2 x
e
f  x  5 x
f
f  x   e x  cos x
g
f  x   ln x3 ,
h
f  x   cos x 2
a
f  x 
f  x 
x
;
ln x
10.2. Calcula los puntos máximos y mínimos de las siguientes funciones:
g)
f ( x)  x 3  3 x  2
h) f ( x)  x 4  8x 2  3