z
Exercice n°5
(Suite de l'Exercice n°4)
Soit un tablier de pont caisson soumis uniquement à un effort tranchant vertical
B
B=
es
G
b=
y
ea
h
h=
ei
es =
ea =
b
ei =
fck =
fywd =
Gz est axe de symétrie de la section.
Vz =
Nconc =
Diamètre des gaines de précontrainte:
0.08
m
Les gaines, métalliques, sont injectées
12.75
5.9
3.2
0.25
0.3
0.25
40
435
9
40
m
m
m
m
m
m
Mpa
Mpa
MN
MN
Calcul des armatures d'effort tranchant:
Pour rappel, caractéristiques de la section:
Aire de la section
B es + 2 ea h + b ei =
6.583 m²
Moment statique par rapport au hourdis supérieur, par exemple:
2 ea h² / 2 + ei b h =
Distance entre G et le hourdis supérieur:
vG = (2 ea h² / 2 + ei b h) / (B es + 2 ea h + b ei) =
Distance entre G et le hourdis inférieur:
vG' = h - vG =
7.792 m3
1.184 m
2.016 m
Nconc parallèle à la fibre moyenne par définition
VEd =
9 MN
(effet "favorable" de la précontrainte inclus)
d=
3.16 m
En supposant que les armatures longitudinales sont à
fck =
cp = Nconc / Ac =
40 Mpa
6.08 Mpa
fcd =
26.7
Mpa
4 cm
fctk;0.05 =
du parement
2.5
Mpa
Résistance des âmes en absence d’aciers de tranchant :
Pour notre section en caisson:
k1 =
C =
0.15
1.5
=
=
bw = 2(ea - 0.5gaine) =
VRd,c =
0.52 m
2.01 MN
1.251577 < 2 ok
0.313 Mpa
(Cumul des deux âmes)
VRd,c < VEd Necessité d'armatures d'effort tranchant
On a vu dans l'exercice n°4 que le cisaillement maximal se produit au centre de gravité G, et vaut:
5.06 Mpa
Recherche des directions principales des contraintes dans les âmes (au centre de gravité G)
=
 =
cp =
1.6651
6.08
théorique =
29.51
°
Mpa
Adoptons un angle d'inclinaison des bielles de:
 =
29.51
°
(1 ≤ cotg  ≤ 2.5 pour âmes en compression)
Vérification de la compression des bielles dans les âmes:
VRd,max =
10.46 MN
VRd,max > VEd Non écrasement des bielles en compression vérifié
cw =
z ≈ 0.9 d =
1 =  =
1.23
2.844 m
0.504
Page 1
Détermination des armatures d'effort tranchant dans les âmes:
Asw / s ≥ VEd / (z fywd cotg)
Avec
Espacement s =
Section par cours d'armatures
Soit
D'où
=
0.00412 m²/m
0.3 m
4 brins HA20 (2 par âme)
4 brins HA20 (2 par âme)
=
41.2 cm²/m
=
0.0012566 m²
=
41.9 cm²/m
espacés de 0.3
suffisent
 =
21.8
(cotg  = 2.5)
Si l'on avait choisi une plus grande inclinaison des bielles:
°
Vérification de la compression des bielles dans les âmes:
VRd,max =
8.42
MN
VRd,max < VEd Problème d'écrasement des bielles en compression
Inadmissible!!
Détermination des armatures d'effort tranchant dans les âmes:
Asw / s ≥ VEd / (z fywd cotg)
Avec
Espacement s =
Section par cours d'armatures
Soit
D'où
=
0.00291 m²/m
=
29.1 cm²/m
0.25 m
4 brins HA16 (2 par âme)
=
0.0008042 m²
=
32.2 cm²/m
4 brins HA16 (2 par âme)
espacés de 0.25
suffisent
(Mais l'on ne peut faire abstraction du problème des bielles!)
 =
Si l'on avait choisi une inclinaison des bielles minimale, comme dans le béton armé:
45.0
°
(cotg  = 1)
Vérification de la compression des bielles dans les âmes:
VRd,max =
12.20 MN
VRd,max > VEd Non écrasement des bielles en compression vérifié
Détermination des armatures d'effort tranchant dans les âmes:
Asw / s ≥ VEd / (z fywd cotg)
Avec
Espacement s =
Section par cours d'armatures
Soit
D'où
Bilan:
=
0.00728 m²/m
0.25 m
4 brins HA25 (2 par âme)
4 brins HA25 (2 par âme)
=
72.8 cm²/m
=
0.0019635 m²
=
78.5 cm²/m
espacés de 0.25
suffisent
 =
Si
21.8 °
Bielles trop comprimées. Défaillance par écrasement
 =
Si
24.2 °
Bielles tout juste comprimées à la limite de leur capacité
et "gain" d'aciers de tranchant
4 brins HA16 tous les 0.2m suffisent
Mais les aciers aciers longitudinaux seront forcément augmentés en contrepartie
 =
Si
29.51 °
Bielles comprimées vérifiées
Aciers de tranchant
4 brins HA20 tous les 0.3m suffisent
 =
Si
45 °
Bielles comprimées vérifiées
mais "pénalité" sur les aciers de tranchant
4 brins HA25 tous les 0.25m suffisent
En contrepartie, les aciers aciers longitudinaux seront forcément mieux optimisés
Une évaluation globale s'imposerait pour un cas réel
Page 2
Couture membrure - âme
La section du pont où on se trouve est à tranchant important donc près d'un appui intermédiaire,
Supposons que la membrure supérieure peut être tendue longitudinalement à cet endroit sous la flexion longitudinale, ce qui
intervient dans le choix de f
Les aciers de couture serviront pour coudre les deux sections: {jonction encorbellement-âme} et {jonction
hourdis intermédiaire entre les âmes - âme}
La contrainte de cisaillement maximal à coudre est donc (calculée précédemment à l'Exercice n°4):
2.93 Mpa
(maximal en valeur absolue)
Inclinaison théorique de ces bielles:
Nous ne conaissons pas dans cet exercice la contrainte de traction à l'ELU dans le hourdis supérieur.
Adoptons l'inclinaison maximale autorisée par l'Eurocode dans l'hypothèse d'une membrure tendue
f =
(1 ≤ cotg  ≤ 1.25 pour membrures tendues)
Soit
38.60
°
Vérification de la compression des bielles dans les membrures:
2.93
≤
6.55
Ok
Détermination des armatures de couture aux jonctions membrures - âmes par unité de longueur Asf/sf :
Asf/sf =
Espacement sf =
Section par cours d'armatures
Soit
D'où
0.001347 m²/m
0.2 m
HA20
=
13.47
cm²/m
section par cours d'armatures
=
0.0003142 m²
=
15.7 cm²/m
espacés de 0.2
suffisent
HA20
f =
(cotg f = 1)
Si l'on avait choisi une inclinaison des bielles minimale:
45.0
°
16.87
cm²/m
Vérification de la compression des bielles dans les membrures:
2.93
≤
6.72
Ok
Détermination des armatures de couture aux jonctions membrures - âmes par unité de longueur Asf/sf :
Asf/sf =
Espacement sf =
Section par cours d'armatures
Soit
D'où
0.001687 m²/m
0.18 m
HA20
=
section par cours d'armatures
=
0.0003142 m²
=
17.5 cm²/m
espacés de 0.18
suffisent
HA20
Maîtrise de la fissuration par cisaillement des âmes
La plus grande contrainte principale de traction
1
3
1
est comparée à la résistance correspondante fctb
est la plus grande contrainte principale de traction
est la plus grande contrainte principale de compression (valeur positive)
3 <
0.6 fck
La vérification se fait à l'ELS. Cherchons le cercle de Mohr correspondant. Il nous faut un point ()
La précontrainte étant pondérée par 1 à l'ELU dans notre calcul, la valeur de est inchangée
La valeur maximale de  à l'ELS est approximativement égale à  maximale ELU / 1.35
Avec
Vérification:


3.75 Mpa
6.08 Mpa
cisaillement maximal dans les âmes à l'ELS (en G)
contrainte normale concomitante (compression)
1 =min =
=
-1.79
Mpa
3 =max =
=
7.86
Mpa
fctb =
2.11
Mpa
1.79
≤
2.11
Page 3
Ok
=
=
6.08
3.75
Mpa
Mpa
Calcul de l'effet Résal en supposant une hauteur du caisson variable linéairement entre 3.5m (appui) et 2.5m (travée) sur 60m
A'
A Feuillet moyen hourdis supérieur (supposé horizontal)
s
B
parallèle à la fibre moyenne
C'
C Fibre moyenne

F'
D
ligne horizontale
E parallèle à la fibre moyenne
i
F Feuillet moyen hourdis inférieur
60 m
Nous faisons ici l'approximation de considérer les sections droites verticales, au lieu de perpendiculaires à la fibre moyenne
Section en travée
h1 =
2.5
vG0 =
0.903
v'G0 =
1.597
Section sur appuis
h0 =
3.5
vG1 =
1.307
v'G1 =
2.193
m
m (distance A'C')
m (distance C'F')
Distance verticale entre D et F
Distance verticale entre A et B
Angle 
Angle s
Angle i
1
0.404
0.955
0.386
0.569
m
m
m (distance AC)
m (distance CF)
h0 - h1
AC - A'C' = DE
°
°
°
Nous ne connaissons pas les efforts (N,M,V) que subit la section
Supposons une répartition d'efforts normaux (avec hourdis supérieur comprimé) :
Ns =
8
MN
(positif si compression)
Ni =
80
MN
(positif si compression)
VEd =
-9
MN
(tranchant négatif)
Ns (Résal) =
Ni (Résal) =
-0.05
0.79
MN
MN
Si négatif, fait accroitre l'effort tranchant dans les âmes en valeur absolue
Effort tranchant dans les âmes à prendre en compte pout le calcul des aciers transversaux:
Vâmes =
-8.26
MN
Supposons maintenant une autre répartition d'efforts normaux (avec hourdis supérieur tendu):
Ns =
-2
MN
(positif si compression)
Ni =
80
MN
(positif si compression)
VEd =
-9
MN
(tranchant négatif)
Ns (Résal) =
Ni (Résal) =
0.01
0.79
MN
MN
Si positif, fait réduire l'effort tranchant dans les âmes en valeur absolue
Effort tranchant dans les âmes à prendre en compte pout le calcul des aciers transversaux:
Vâmes =
-8.19
MN
Page 4