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Geles Boned mai-2014
Sommaire
1-Définitions – Rappels - Introduction.......................................................................................... 2
1.1-Poutres – structures élancées .............................................................................................. 2
1.2-Poutre à plan moyen chargée dans son plan ....................................................................... 5
1.3-Exercice n°1 ........................................................................................................................ 6
1.4-Cercle de Mohr ................................................................................................................... 7
2-Calcul du cisaillement dû au tranchant dans les sections pleines .............................................. 9
2.1-Formulation générale .......................................................................................................... 9
2.2-Poutre à plan moyen chargée dans son plan ..................................................................... 11
2.3-Déformations d’effort tranchant ....................................................................................... 11
2.4-Sections courantes............................................................................................................. 13
2.5-Exercice n°2 ...................................................................................................................... 16
3-Calcul du cisaillement dû au tranchant dans les sections à parois minces indéformables ....... 17
3.1-Section à parois minces ouverte ........................................................................................ 17
3.2-Exercice n°3 ...................................................................................................................... 18
3.3-Section à parois minces fermée......................................................................................... 19
3.4-Exercice n°4 ...................................................................................................................... 21
4-Justifications à l’effort tranchant (EN 1992-1-1 et EN 1992-2) .............................................. 22
4.1-Justifications à l’ELU dans l’âme ..................................................................................... 22
4.2-Justifications à l’ELU à la jonction membrure - âme ....................................................... 28
4.3-Effet Résal – Ponts à sections variables ............................................................................ 30
4.4-Vérifications à l’ELS pour les âmes ................................................................................. 33
4.5-Exercice n°5 (suite de l’exercice n°4)............................................................................... 34
5-Bibliographie ........................................................................................................................... 35
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1-Définitions – Rappels - Introduction
1.1-Poutres – structures élancées
Poutre: solide engendré par une aire plane S bornée, contenue dans un plan P, et de centre de gravité G
(aussi appelé centre d’inertie), qui décrit une trajectoire C (appelée fibre moyenne), P étant
perpendiculaire à C.
z
x
y
S constante ou variable de façon lente et
continue.
Axe x tangent à C (fibre moyenne)
Axes y, z principaux d’inertie de S
Gyz axes principaux d’Inertie de S
Si C est une courbe plane on parle de poutre plane
Si le plan qui contient C est un plan de symétrie de S on parle de poutre plane à plan moyen.
Sollicitations dans la section S d’abscisse curviligne s : éléments de réduction du torseur d’efforts
(engendrés par les actions directes ou indirectes) dont les points d’application sont situés à des abscisses
curvilignes inférieures à s.
Eléments de réduction du torseur des efforts de « gauche » sur la section S : somme géométrique et
moment résultant. Ils se projettent sur le repère Gxyz en les composantes suivantes.
N effort normal positif en compression.
Mx moment longitudinal.
Vy, Vz composantes de l’effort tranchant.
My, Mz composantes du moment de flexion.
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Contraintes. Ces efforts engendrent des contraintes et déplacements. Pour établir le lien entre efforts –
contraintes-déplacements, St Venant a résolu en 1856, avec la théorie d’élasticité linéaire, le problème
d’un cylindre à section pleine chargé uniquement sur ses bases. Ainsi σyy = σzz = σyz = 0
Dans le problème de St Venant :
•
•
La distribution des contraintes tangentes σxz et σxy dépendent uniquement de Mx, Vy, Vz
La distribution des contraintes normales σxx dépend uniquement de N, My, Mz
Ceci est valable pour les poutres à section pleine et forme régulière, en dehors des zones d’application
des efforts concentrés.
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Avec dS = dy dz ; i = vecteur unitaire suivant l’axe Gx ; j = vecteur unitaire suivant l’axe Gy ; k =
vecteur unitaire suivant l’axe Gz, {σxx, σxy, σxz} les composantes non nulles du tenseur de contraintes en
G, on peut écrire :
N = (∫ 𝜎xx dS) i
V = (∫ 𝜎xy dS) j + (∫ 𝜎xz dS) k
(Nota: l’effort tranchant V peut être noté T parfois dans la littérature)
M =My j + Mz k + Mx i = (∫ 𝜎xx z dS) j - (∫ 𝜎xx y dS) k + (∫ 𝜎xz y dS - ∫ 𝜎xy z dS) i
(En gras des entités vectorielles)
Dans la théorie usuelle des poutres, au principe de St Venant s’ajoute le principe de Navier Bernouilli,
selon lequel lors de la déformation d’une poutre, les sections planes avant déformation restent planes
après application des efforts.
Nous devons distinguer les poutres à section pleine (auxquelles s’applique la théorie classique des
poutres), des poutres à section mince. Dans les poutres à section mince, la section droite a une
dimension (épaisseur) essentiellement plus petite que l’autre (la longueur du contour), cette dernière
étant à son tour nettement plus petite que la longueur de l’axe de la poutre.
Dans la mesure où les sections transversales peuvent être considérées comme indéformables, les
modèles classiques de calcul de contraintes et déformations établis pour les poutres à section pleine
peuvent être employés. Cependant, du fait de leurs rapports géométriques particuliers, le principe de St
Venant ne leur est pas toujours applicable. Le principe de Navier-Bernouilli non plus. Sous certains
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types de sollicitations, comme la torsion, les sections droites subissent des contraintes complémentaires
dérivées de leur gauchissement.
Revenons au principe de St Venant :
La rotation différentielle autour d’un axe parallèle à Gx, entre deux sections distantes de dx, dépend de
la grandeur suivante T = Mx + Vy zC – Vz yC appelé couple de torsion. (Nota : le couple de torsion T
peut être noté C parfois dans la littérature)
Avec (yC, zC) les coordonnées du centre de cisaillement C (ou centre de flexion).
•
•
Si la section de la poutre possède 2 axes de symétrie, C ≡ G, au croisement des axes de
symétrie. Aussi T ≡ Mx
Pour une section quelconque sans axes de symétrie, C ≠ G, T ≠ Mx
o Si la section est pleine et de forme suffisamment régulière, généralement
C ≅ G et T ≅ Mx
o Si la section est à parois minces il convient en général de ne pas confondre Mx et couple
de torsion T.
Après cette introduction, nous allons traiter aujourd’hui exclusivement de l’effet des efforts tranchants
sur les poutres, nous verrons l’effet de la torsion lors d’une prochaine séance.
1.2-Poutre à plan moyen chargée dans son plan
Imaginons une poutre à plan moyen chargée dans son plan. La réduction des sollicitations se simplifie
à:
Tranche d’épaisseur différentielle.
Coupe longitudinale
Critère positif des efforts (par
convention RDM)
Avec cette convention de signes,
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉
;
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= −𝑝
•
Les contraintes normales dépendent uniquement de N, M d’après St Venant :
•
𝜎=
𝑁 𝑀
+
𝑣
𝑆
𝐼
Les contraintes tangentielles dépendent uniquement de V (tranchant) et T (couple de torsion)
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1.3-Exercice n°1
Exercice n°1
Calcul de l'effort tranchant sur un pont à 3 travées et inertie constante, chargé uniformément
q
travée 1
0.6L = 24
q=
travée 2
travée 3
L = 40
0.6L = 24
mètres
15 KN/m
Nota:
La structure est hyperstatique, avec 2 inconnues hyperstatiques
Nous pouvons utiliser la formule de Clapeyron (ou formule des trois moments)
qui fournit une équation supplémentaire par appui intermédiaire:
ϕiw
ϕie
Appui i
Tracez le diagramme de moments fléchissants
Déduisez le diagramme d'efforts tranchants
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1.4-Cercle de Mohr
Le cercle de Mohr est la représentation des contraintes normales et tangentielles sur toutes les facettes
passant par un point quelconque P.
Pour une facette donnée :
z
P
Σθ
Σα facette contenant l’axe Py dont
le vecteur normal n forme un
angle θ avec Px
T vecteur-tension au point P peut être
décomposé en Tt et Tn
Les contraintes normales et tangentielles à cette facette sont notées σ(θ) et τ(θ).
Τn ≡ σ(θ)
Τt ≡ τ(θ)
Si l’on fait varier θ de 0 à π radians l’ensemble des points {σ(θ) ; τ(θ)} décrit un cercle appelé cercle de
Mohr.
Le cercle de Mohr est symétrique par rapport à l’axe des abscisses.
τ
V{σ(θ) ; τ(θ)}
2θ
σmin
Ο
C
σmax
σ
H{0 ; τ(θ)}
La figure ci-dessus peut représenter le cercle de Mohr au niveau du centre d’inertie G (centre de gravité)
d’une section en béton précontraint avec une précontrainte exercée uniquement suivant la direction de la
fibre moyenne de la poutre. Le cercle est défini par deux points diamétralement opposés V et H,
correspondant respectivement au plan de la section (vertical), et au plan parallèle à la fibre moyenne
(horizontal) et normal à l’axe de symétrie de la section.
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Le point V de coordonnées {σ ; τ} représente la contrainte qui s’exerce sur le plan (vertical) de la
section.
Le point H de coordonnées {0 ; τ} représente la contrainte qui s’exerce sur le plan (horizontal)
perpendiculaire à la section. La contrainte normale est nulle (dans notre exemple), et la contrainte de
cisaillement est la même que sur le plan vertical de la section par la loi de Cauchy.
Le cercle de Mohr permet de calculer la direction des contraintes principales au point G (dans le cas de
notre exemple) : σmin et σmax (de façon générale positives si compression, négatives si traction). Les
contraintes principales agissent sur des facettes pour lesquelles le cisaillement est nul (τ =0)
Une rotation d’un angle θ de la facette correspond à une rotation -2θ sur le cercle de Mohr. Ainsi, les
contraintes principales correspondent à deux directions perpendiculaires.
Définition géométrique du cercle de Mohr :
Abscisse du centre C :
OC = σ/2
Diamètre :
HV = �(2𝜏)2 + 𝜎 2
Contraintes principales :
σmax = σ/2 +HV/2 = σ/2 + �(𝜏 2 + 𝜎 2 /4)
σmin = σ/2 -HV/2 = σ/2 - �(𝜏 2 + 𝜎 2 /4)
(compression)
(traction)
Angle θ que forment les bielles de béton comprimées avec la fibre moyenne de la poutre satisfait :
tg(2θ) = 2τ/σ
On utilisera la notion de cercle de Mohr pour comprendre les formules de calcul de ferraillage d’effort
tranchant.
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2-Calcul du cisaillement dû au tranchant dans les sections pleines
2.1-Formulation générale
Soit une poutre droite à fibres parallèles et section pleine de caractéristiques géométriques et
mécaniques constantes, soumise, à l’abscisse x, au torseur de sollicitations réduit à Vy, Vz, My, Mz en
son centre d’inertie G.
D’après le principe de St Venant, en dehors des zones voisines des points d’application des efforts
concentrés :
•
•
Les contraintes normales σ(x,y,z) dépendent uniquement de My, Mz
Les contraintes tangentielles τ(x,y,z) dépendent uniquement de Vy, Vz
C’est-à-dire, le gauchissement des sections engendré par la présence des contraintes de cisaillement ne
modifie pas la distribution plane des contraintes normales longitudinales.
σ(x,y,z) = My(x) z /Iy - Mz(x) y /Iz
Notre poutre n’est soumise à aucune action tangente sur sa surface latérale. Alors on peut démontrer à
partir de l’équilibre d’une tranche infiniment petite (d’épaisseur dx), de section ∆ et contour Γ que :
∫Γ
τn ds = -Vz / Iy S*y - Vy / Iz S*z
Avec : s l’abscisse curviligne de Γ ;
S*y = ∫∫∆ z dy dz moment statique de la surface hachurée ∆ par rapport à Gy.
S*z = ∫∫∆ y dy dz moment statique de la surface hachurée ∆ par rapport à Gz.
Iy = inertie de la section totale par rapport à Gy
Iz = inertie de la section totale par rapport à Gz
Par convention, τn est compté positivement suivant la normale extérieure à la surface hachurée ∆.
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Du fait de la loi de Cauchy de parité des contraintes tangentes sur deux facettes perpendiculaires :
Du fait de la même loi de Cauchy :
τ est forcément parallèle aux contours extérieurs de notre poutre, qui n’a aucune action tangente
sur sa surface latérale :
τn = 0 ; τ = τt
Si le contour extérieur de notre poutre est anguleux, τ est forcément nul, en absence d’action
tangente sur sa surface latérale :
τ1 = τ2 = 0 ; τ = 0
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2.2-Poutre à plan moyen chargée dans son plan
La formule de Jouravsky est l’application directe de la formule précédente pour une coupure horizontale
sur une poutre soumise à un tranchant vertical :
∫Γ
τ(y,z) ds = -Vz / Iy S*y(z)
En général τ(y,z) n’est pas constant le long de la courbe Γ mais on peut définir un cisaillement moyen
τ(z) dont la valeur absolue est : τ(z) = Vz S*y(z) / (b(z) Iy), avec b(z) la largeur AB.
Cette formule est souvent notée :
τ = V µ / (b I)
Le cisaillement maximum dans la section se produit à l’endroit où le moment statique µ = S*y(z) est
maximum, soit le centre d’inertie G.
En appelant Z = I / µmax le « bras de levier » du couple élastique dans la section, on peut écrire :
τmax = Vz / (b Z) = Vz / Ω’
Pour chaque forme de section, on peut définir une « section réduite » Ω’ = b Z telle que le rapport
Vz / Ω’ fournit la valeur de la contrainte de cisaillement maximale.
2.3-Déformations d’effort tranchant
Une tranche de poutre de longueur dx soumise à My(x) et Vz(x) possède une énergie potentielle de
déformation élastique d’expression comme ci-après pour l’unité de longueur de poutre :
U = dW/dx = 1/2 ∫∫S (σ²/E + τ²/G) dy dz
Avec E le module de Young du matériau constitutif de la poutre et G = E / (2(1+ν)) son module de
glissement.
L’intégrale est étendue à toute la section droite S de la poutre. Le premier terme σ²/E correspond à
l’énergie de déformation en flexion, le deuxième τ²/G à l’énergie de déformation par effort tranchant.
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Comme d’après le principe de St Venant σ ne dépend que de My et τ ne dépend que de Vz, on peut
dissocier les deux termes de flexion et tranchant.
Le deuxième terme dû au tranchant est souvent négligé devant le premier. Ceci est admissible si la
poutre est suffisamment élancée, avec des sections lentement variables et courbures modérées. Mais
attention aux cas particuliers où le fait de négliger la déformabilité à l’effort tranchant peut devenir
inacceptable !
En toute rigueur donc, le terme 1/2 ∫∫S τ²/G dy dz doit être pris en compte. Il évalue la déformation
qu’induit l’effort tranchant Vz et qui prend la forme d’un déplacement relatif des parties de gauche et de
droite de la tranche de poutre d’épaisseur dx :
L’énergie potentielle spécifique doit être égale au travail réversible de l’effort tranchant sur le
déplacement relatif des sections de la tranche de poutre qu’il induit :
dWτ / dx = 1/2 ∫∫S τ²/G dy dz = -1/2 dv/dx Vz
On obtient une expression du type
dv/dx = -Vz /(G Ω1)
dv/dx se mesure en m/m
Ω1 est la section réduite à l’effort tranchant, à prendre en compte pour le calcul de la déformation
d’effort tranchant. Ω1 dépend uniquement de la géométrie de la section.
Ω1 = 1/I²y ∫ S²y(z) / b(z) dz
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2.4-Sections courantes
Pour Ω1 on utilise des expressions approchées. Pour les formes usuelles on peut retenir :
Ω = aire de la section droite
Ω’ = section réduite pour le calcul de la contrainte maximale sous effort tranchant
Ω1 = section réduite pour le calcul de la déformation sous effort tranchant
Rectangle
Ω=bh
Ω’ = 2/3 Ω
h
Ω1 = 5/6 Ω
b
Cercle de rayon R
Ω = π R²
Ω’ = 3/4 Ω
Ω1 = 9/10 Ω
Ellipse
Ω = π/4 b h
Ω’ = 3/4 Ω
h
b
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Losange
Ω = D d /2
Ω’ = 8/9 Ω
D
Ω1 = 30/31 Ω
d
Trapèze
b
Ω = (B + b) h /2
Ω’ = 2/3 Ω
B
Anneau de rayon Ri intérieur, Re extérieur
Ω = π (Re²-Ri²)
Ω’ = 3/4 Ω (1-Ri/Re) [1+(Ri/Re)²]/[1-(Ri/Re)3]
Anneau de faible épaisseur (e) et rayon R extérieur. e < R/10
Ω = 2π R e
Ω’ = 1/2 Ω
Ω1 = 1/2 Ω
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Aide-mémoire :
Sous un tranchant vertical Vz :
│τ│ = Vz µ / (b Iy)
dMy(x)/dx = Vz
τmax = Vz / Ω’ avec Ω’ = Z b
Vz µ / Iy = effort de glissement longitudinal par unité de longueur de poutre.
Déformation de tranchant Vz = déplacement relatif de deux sections voisines de dx = translation dv
parallèlement à Vz.
dv/dx = -Vz / (G Ω1)
Avec G = E / (2(1+ν)) et Ω1 = section réduite à l’effort tranchant
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2.5-Exercice n°2
Exercice n°2
Poutre droite de section constante, chargée dans son plan, soumise à My et
z
E =
ν =
G =
h =
0.5
Vz =
30000
0.2
12500
0.3 MN
Mpa
Mpa
m
y
b =
0.3
m
Déterminez la distribution de
Déterminez la section réduite d'effort tranchant Ω1
Comparez la déformation d'effort tranchant avec celle due à la flexion pour une console de longueur
l chargée par une force F à son extrémité
z
F =
0.3 MN
x
l =
5
m
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3-Calcul du cisaillement dû au tranchant dans les sections à parois minces
indéformables
3.1-Section à parois minces ouverte
L’application de la théorie élémentaire établie dans le cas d’une poutre à section pleine est licite dans le
cas d’une poutre à parois minces ouverte moyennant le respect des conditions suivantes :
•
•
•
•
La section est rapportée à ses axes principaux d’inertie Gy, Gz
La section est convenablement raidie transversalement pour pouvoir être considérée comme
indéformable
La poutre est à fibres parallèles
Les coupures le long desquelles on calcule le cisaillement τn sont perpendiculaires à la ligne
médiane de la section Γ (d’abscisse curviligne s)
Les contraintes τ(s) dues à l’effort tranchant sont contenues dans le plan de la section droite de la poutre
et sont uniformément réparties dans l’épaisseur e(s) des parois.
En appelant φ = τe le flux de cisaillement au point courant du profil :
φ = - Vz S*y / Iy – Vy S*z / Iz
Avec S*y = ∫Γ* z e ds
S*z = ∫Γ* y e ds
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3.2-Exercice n°3
z
Exercice n°3
Soit un tablier de pont à deux poutres
B
es
y
G
ea
h
b
Gz est axe de symétrie de la section.
Calculez l'épure du flux de cisaillement engendré par Vy
Calculez l'épure du flux de cisaillement engendré par Vz
18
L=
B=
b=
h=
es =
ea =
E=
ν=
Vy =
Vz =
30
15
8.4
2.775
0.45
0.95
40000
0.15
1
1
m
m
m
m
m
m
Mpa
MN
MN
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3.3-Section à parois minces fermée
L’application de la théorie élémentaire établie dans le cas d’une poutre à section pleine est licite dans le
cas d’une poutre à parois minces fermée moyennant le respect des conditions suivantes :
•
•
•
•
La section est rapportée à ses axes principaux d’inertie Gy, Gz
La section est convenablement raidie transversalement pour pouvoir être considérée comme
indéformable
La poutre est à fibres parallèles
Les coupures le long desquelles on calcule le cisaillement τn sont perpendiculaires à la ligne
médiane de la section Γ (d’abscisse curviligne s)
Si l’on effectue deux coupures normales au contour moyen, la différence de flux de cisaillement entre
les deux coupures vaut :
φ = - Vz S*y / Iy – Vy S*z / Iz
Dans certains cas particuliers, comme celui-ci-dessous, d’une poutre de section « unicellulaire » à plan
moyen soumise uniquement à un effort tranchant dans son plan moyen, le cisaillement est nul sur l’axe
de symétrie. Alors la formule ci-dessus permet de calculer le flux en tout point.
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Dans un cas général, par exemple d’une poutre à n « cellules », on doit alors pratiquer par la pensée n
coupures longitudinales comme le montre la figure suivante :
Au droit de chaque coupure on applique un système auto-équilibré de flux de cisaillement φj = Xj ϕj
Où Xj est une grandeur scalaire matérialisant l’intensité du flux de cisaillement inconnu φj
Le flux total dans la section est φ = φiso + ∑𝑛1 𝑋𝑗 𝜑𝑗
φiso est le flux de cisaillement dû à l’effort tranchant calculé dans la section rendue « isostatique » par les
coupures, comme s’il s’agissait d’une section ouverte.
Les flux inconnus Xj constituent la solution du système linéaire suivant, ce qui revient à imposer qu’il
n’existe pas de glissement relatif au droit des « lèvres » ou « coupures » :
∀ i = 1,…,n
∑𝑛1 𝛿𝑖𝑗 𝑋𝑗 + 𝛿𝑖, 𝑖𝑠𝑜 = 0
En adoptant la même convention de signe pour le sens de rotation du flux dans toutes les cellules:
𝛿𝑖𝑖 = � 𝑑𝑠/𝑒
𝑖
𝛿𝑖𝑗 = − � 𝑑𝑠/𝑒
𝑖𝑗
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Où ∮𝑖
∫𝑖𝑗
𝛿𝑖, 𝑖𝑠𝑜 = ∮𝑖
φiso ds/e = -Vz ∮𝑖
S*y ds/e / Iy -Vy ∮𝑖
S*z ds/e / Iz
désigne une intégrale portant sur le contour complet de la cellule i.
une intégrale portant sur la partie commune (éventuellement nulle) aux cellules i et j.
3.4-Exercice n°4
z
Exercice n°4
Soit un tablier de pont caisson soumis uniquement à un effort tranchant vertical
B
B=
12.75
es
G
b=
5.9
y
ea
h
h=
3.2
ei
es =
0.25
ea =
0.3
b
ei =
0.25
Gz est axe de symétrie de la section.
Vz =
Calculez de l'épure du flux de cisaillement engendré par Vz
Calculez de l'épure des contraintes de cisaillement engendrées par Vz
21
m
m
m
m
m
m
9 MN
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4-Justifications à l’effort tranchant (EN 1992-1-1 et EN 1992-2)
4.1-Justifications à l’ELU dans l’âme
Une poutre en béton de section constante, dont l’âme est ≪ fissurée avec un angle θ ≫, peut être
assimilée à une poutre triangulée définie comme suit :
•
•
•
•
•
membrure tendue = armatures longitudinales tendues ;
membrure comprimée = zone comprimée de la poutre (béton et armatures longitudinales
comprimées éventuelles) ;
hauteur = distance entre les résultantes des efforts normaux dans les deux membrures (bras de
levier) ;
éléments comprimés = bielles de béton inclinées d’un angle θ sur la ligne moyenne ;
éléments tendus = armatures d’âme :
 inclinées d’un angle α sur la ligne moyenne ;
 de section Asw par nappe ;
 espacées de s mesuré parallèlement a la ligne moyenne.
Modèle du treillis de Mörsch
Dans l’EN 1992-1-1 §6.2 sont traitées les justifications à l’effort tranchant.
Dans le cas du béton précontraint, l’effort tranchant ultime de calcul VEd s’obtient sous la combinaison
suivante, schématiquement, en supposant que vis-à-vis de la vérification en cours la précontrainte a un
effet favorable :
1.35 G + P + 1.35 Q (si charges variables routières)
1.35 G + P + 1.5 Q (si charges variables autres)
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La précontrainte est destinée à avoir le plus souvent un effet favorable. En effet, par exemple, les câbles
sont ancrés en extrémité de façon à apporter une composante verticale qui « réduit » l’effort tranchant
final sur les sections dans ces zones à tranchant important :
α
L’effort de précontrainte se décompose en :
•
•
Une composante horizontale ∑ Pi cos αi
Une composante verticale -∑ Pi sin αi qui vient en déduction de l’effort tranchant dû aux
charges permanentes et aux charges d’exploitation.
C’est ainsi que l’effort tranchant de calcul et l’effort normal concomitant valent :
VEd = 1.35 VG + 1.35 VQ -∑ Pi sin αi
Nconc = ∑ Pi cos αi
Largeur d’âme de calcul bw,nom (à l’endroit le plus défavorable):
si gaines métalliques injectées
si gaines non injectées ou précontrainte non adhérente
bw = la plus petite largeur de la section, comprise entre la membrure tendue et la membrure comprimée.
Si l’on définit :
VRd,c = Effort tranchant admissible dans la section en l’absence d’armatures de tranchant
VRd,max = Effort tranchant admissible dans la structure pour éviter l’écrasement des bielles par
compression
VRd,s = Effort tranchant admissible dans la section en fonction des aciers de tranchant mis en place
Dans les régions où VEd < VRd,c il n’y a pas d’aciers de tranchant fournis par le calcul ; On dispose un
ferraillage minimal.
Dans les régions où VEd > VRd,c il faut mettre en place un ferraillage de tranchant tel que :
VEd < VRd,s (résistance des armatures de cisaillement)
et VEd < VRd,max (résistance des bielles comprimées)
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Résistance en absence d’aciers de tranchant :
Avec une valeur minimale :
Avec :
CRd,c = 0.18/ γC
La première expression de VRd,c faisant intervenir le ratio ρl a du sens pour des sections rectangulaires
mais pas tellement pour des caissons. Dans ce dernier cas, c’est la valeur minimale de VRd,c (donnée
dans la deuxième expression) qu’il convient de retenir.
k1 = 0.15
vmin = 0.053/γC k3/2 fck1/2 pour les poutres.
Dans le cas des éléments comportant des armatures d’effort tranchant verticales, la résistance à l’effort
tranchant VRd est la plus petite des valeurs ci-dessous :
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Vérification de la résistance en compression des bielles :
ν1 = ν
Valeur de αcw :
Détermination du ferraillage nécessaire à l’effort tranchant :
VEd < VRd,s d’où Asw / s ≥ VEd / (z fywd cotgθ)
Dispositions constructives (EN 1992-1-1 §9) :
Ferraillage minimal d’effort tranchant dans les poutres :
ρ w min = (0.08 f ck ) / f yk
Espacement longitudinal maximal des armatures :
s < sl max = 0.75 d (1 + cotgα)
st max = 0.75 d ≤ 600mm
Espacement transversal maximal des armatures :
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Choix de l’inclinaison des bielles :
Dans l’EN 1992-1-1 l’inclinaison des bielles peut être librement choisie dans l’intervalle :
1 ≤ cotg θ ≤ 2.5 en compression simple
[1+σct/fctm]1/2 ≤ cotg θ ≤ 2.5 [1+σct/fctm]1/2 en traction, avec σct la traction au centre de gravité
(-fctm<σct<0)
D’après la théorie du cercle de Mohr, on a vu que la contrainte principale de compression forme un
angle θ avec la fibre moyenne, de sorte que :
tg(2θ) = 2τ/σ
Les contraintes principales de traction sont perpendiculaires à cette direction.
En béton armé (cercle en pointillés ci-dessous) σ = 0 et 2θ = 90°. Les bielles sont donc inclinées à 45°
par rapport à la fibre moyenne.
τ
V{σ(θ) ; τ(θ)}
2θ
σmin
Ο
C
σmax
σ
H{0 ; τ(θ)}
En béton précontraint (cercle en trait plein) la compression amenée par les câbles déplace le cercle vers
la droite, diminue les tractions σmin, et modifie l’inclinaison des bielles, qui sont plus proches de
l’horizontale.
Le choix de l’angle θ n’est pas anodin et a plusieurs conséquences antagonistes dont l’incidence est à
prendre en compte conjointement :
Augmenter l’inclinaison des bielles (diminuer θ donc) a pour effets :
•
Effet positif :
• Diminuer la quantité d’aciers transversaux nécessaires (car cotgθ augmente)
•
Effets négatifs :
• Diminuer l’effort admissible de compression dans les bielles (car (cotgθ + tgθ) augmente)
• Les aciers longitudinaux de flexion sont augmentés par suite du décalage de la courbe des
moments de 0.5 z cotgθ
En effet, l’inclinaison des bielles du treillis induit un effort de traction supplémentaire dans
les membrures, de valeur ∆Ftd = 0.5 VEd (cotgθ – cotgα). Pour des éléments comportant un
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ferraillage d’effort tranchant cet effort ∆Ftd peut être obtenu par un décalage de la courbe
des moments de al = z (cotgθ – cotgα)/2
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4.2-Justifications à l’ELU à la jonction membrure - âme
Le modèle bielles-tirants a été adapté à cette configuration pour pouvoir déterminer les armatures de
couture à la jonction membrure – âme.
La contrainte de cisaillement longitudinale vEd développée à la jonction entre un côté de la membrure et
l’âme, est déterminée par la variation d’effort normal (longitudinal) appliqué à la partie de membrure
considérée.
vEd = ∆Fd / (hf ∆x)
Dans le cas du béton précontraint, et des caissons, en absence d’efforts concentrés apportant de brusques
variations d’effort normal dans les hourdis, il est plus judicieux de recourir aux expressions classiques
de la RDM et de calculer :
vEd = VEd S / (hf I)
Où S est le moment statique de la partie de membrure concernée
Choix de l’inclinaison des bielles θf :
L’en 1992-1-1 prescrit de limiter l’inclinaison des bielles θf à :
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Vérification de la résistance en compression des bielles :
Afin d’éviter l’écrasement des bielles de compression dans la membrure, il convient de vérifier :
Détermination des armatures transversales de couture par unité de longueur Asf/sf :
Dans le cas où le cisaillement entre membrure et âme est combiné à la flexion transversale :
•
Règle forfaitaire de cumul tranchant / Flexion transversale :
EN EC2-1-1 – Section 6 - §6.2.4(5) : A=max{Acis ; 1/2Acis+Aflexion transversale}.
Avec Acis est la section d’aciers passifs nécessaire pour équilibrer les cisaillements maximaux
d’effort tranchant/torsion et de diffusion.
•
Vérification de la compression des bielles en béton :
Dans l’expression vEd ≤ ν fcd sin θf cos θf il convient de réduire la valeur de hf à
hf,red = hf – hauteur comprimée à l’ELU en flexion transversale
(C’est-à-dire, il convient de calculer la contrainte de cisaillement vEd sur la base de hf,red)
Nota : Pour plus de détails sur ces règles de cumul consultez le §4.3 du Guide SETRA « Eurocode 2 –
Application aux ponts-routes en béton - Guide méthodologique »
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4.3-Effet Résal – Ponts à sections variables
Sur un pont à hauteur variable (en caisson par exemple) l’hypothèse de poutre à fibres parallèles n’est
plus valable. Le problème se complique beaucoup car il n’y a plus nullité de contraintes normales sur les
facettes parallèles à la fibre moyenne.
Résal a proposé une méthode d’évaluation des contraintes de cisaillement pour les poutres à hauteur
variable et section pleine. Se basant sur cette méthode et sachant que les membrures minces des sections
de hauteur variable en T ou en caisson « canalisent » les contraintes normales le long de leur feuillet
moyen, on peut estimer la contrainte tangente maximale* dans les âmes en prenant en compte un effort
tranchant « réduit » dans les âmes : VEd – Vccd – Vtd
Où
VEd est le tranchant agissant de calcul
Vccd = composante d’effort tranchant de la force de compression, dans le cas d’une membrure
comprimée inclinée
Vtd = composante d’effort tranchant de la force dans l’armature tendue, dans le cas d’une
membrure tendue inclinée
Vérifications qu’il convient de réaliser :
Vérification de la résistance en compression des bielles :
VEd – Vccd – Vtd ≤ VRd,max
Détermination des armatures d’effort tranchant par unité de longueur :
Si VEd ≤ VRd,c aucune armature d’effort tranchant n’est nécessaire par le calcul (ferraillage minimal à
mettre en place).
Si VEd > VRd,c ; pour déterminer les armatures d’effort tranchant on considère une résistance à l’effort
tranchant de l’élément égale à VRd,s + Vccd + Vtd
(*) La variation de hauteur de la poutre doit rester modérée.
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Imaginons par exemple la section d’un tablier de pont caisson près d’un appui intermédiaire. La section
est soumise à un moment M négatif et un tranchant V négatif :
Sous ce torseur, le hourdis inférieur est fortement comprimé ; Le hourdis supérieur peut être faiblement
comprimé ou éventuellement tendu.
Pour faciliter la compréhension, imaginons que la fibre moyenne du pont est horizontale.
Si le hourdis supérieur est tendu, la « contribution » à la reprise de l’effort tranchant par les deux
membrures est « favorable », soulageant les âmes :
Si le hourdis supérieur est comprimé, la « contribution » à la reprise de l’effort tranchant par celui-ci est
« défavorable », pénalisant la valeur du tranchant repris par les âmes. Naturellement le hourdis inférieur
joue toujours un rôle « favorable ».
Comme le hourdis inférieur est toujours nettement plus comprimé que le supérieur dans ce cas de figure
l’effet global reste « favorable », mais dans un cas général et en fonction des cas de charge l’effet Résal
pourrait être globalement « défavorable ».
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Rappelons juste que la « contribution » des membrures inclinées par effet Résal se calcule en tenant
compte uniquement des parties de membrures « débordant des âmes » :
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4.4-Vérifications à l’ELS pour les âmes
L’Annexe QQ de l’EN 1992-2 tente de formuler la maîtrise de la fissuration d’effort tranchant par
cisaillement des âmes.
Dans le cadre de ce cours, nous retiendrons la condition σ1 ≤ fctb = (1 – 0.8 σ3/fck) fctk0.05
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4.5-Exercice n°5 (suite de l’exercice n°4)
z
Exercice n°5
(Suite de l'Exercice n°4)
Soit un tablier de pont caisson soumis uniquement à un effort tranchant vertical
B
B=
12.75
es
G
b=
5.9
y
ea
h
h=
3.2
ei
es =
0.25
ea =
0.3
b
ei =
0.25
fck =
40
fywd =
435
Gz est axe de symétrie de la section.
Vz =
9
Nconc =
40
Diamètre des gaines de précontrainte:
0.08 m
Les gaines, métalliques, sont injectées
m
m
m
m
m
m
Mpa
Mpa
MN
MN
Pour rappel, caractéristiques de la section:
Aire de la section
B es + 2 ea h + b ei =
6.583 m²
Moment statique par rapport au hourdis supérieur, par exemple: 2 ea h² / 2 + ei b h =
Distance entre G et le hourdis supérieur: vG = (2 ea h² / 2 + ei b h) / (B es + 2 ea h + b ei) =
Distance entre G et le hourdis inférieur:
vG' = h - vG =
7.792 m3
1.184 m
2.016 m
Calculez les armatures d'effort tranchant dans les âmes
Calculez les armatures de couture membrure - âme
Vérifiez (à l'ELS) la maîtrise de la fissuration par cisaillement des âmes
Calculez l'effet Résal en supposant que la hauteur du caisson varie linéairement entre 3.5m (appui) et 2.5m (travée) sur
une distance de 60m
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5-Bibliographie
Projet et construction des ponts – Analyse structurale des tabliers de ponts (J.A Calgaro)
Poutres à parois minces – Etude du cisaillement (J.A Calgaro)
Eurocode 2 – Application aux ponts-routes en béton - Guide méthodologique (SETRA)
EN 1992-1-1 et son Annexe Nationale
EN 1992-2 et son Annexe Nationale
Pratique de l’Eurocode 2 (J. Roux)
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