z
Exercice n°10
Soit un tablier de pont à deux poutres
B
(variante de l'Exercice n°9)
L=
B=
b=
h=
es =
ea =
E=
=
q=
d = b/2 =
G=
es
y
G
ea
h
b
Gz est axe de symétrie de la section.
50
15
8.4
2.775
0.45
0.95
40000
0.15
0.01
4.2
17391
m
m
m
m
m
m
Mpa
MN/m
m
MPa
Soit le même ennoncé de l'Exercice n°9 mais avec uniquement une des deux charges q
comme représenté ci-dessus
On peut résoudre l'exercice de façon analogue au n°9
Expression du couple de torsion
Densité des couples de torsion
Par symétrie T(0) = T(L) = qdL/2
T(x) = qd (L/2 - x) =
-0.042
t = -q d
=
=
x
+
-0.042 MNm
1.05 MNm
1.05
MNm
Moment d'inertie de torsion pure (ou de St Venant)
=
GK =
35509
2.042
m4
MNm²
Angle de rotation à x=L/2 (hypothèse de torsion pure)
Equation de la torsion pure (ou de St Venant):
d
(x) =
(L/2) =
5.91399E-07
-0.00037
rd
x²
Calcul du moment principal d'inertie sectorielle
Distance entre O et C:
0.588
m
Diagramme de l'aire sectorielle principale
Inertie sectorielle =
162.893
m6
-
2.957E-05
x
rd
(Cf. Exercice n°6)
(Cf. Exercice n°9)
(Cf. Exercice n°9)
On en déduit:
=
0.073822508 m-1
L =
3.691125396
Solution de l'équation différentielle de la torsion non uniforme et gênée:
Equation de la torsion non uniforme gênée:
On pose:
² = GK/(EI)
=
0.005449763 m-2
On pose aussi f = d/dx
EI f ''- GK f = T(x)
f''-²f = T(x)/EI
soit
f = A chx + B shx -qd/(GK) (L/2-x)
Gauchissement libre aux extremités se traduit par:
''(0) = ''(L) = 0
Avec f = d/dx = '
Par dérivation de f:
f ' = d²/dx² = '' =
A shx + B chx +qd/(GK)
f '(0) = ''(0) =
A sh + B ch +qd/(GK) =
B +qd/(GK) = 0
B = -qd/(GK) =
d'où:
-1.60222E-05
f '(L) = ''(L) =
A shL + B chL +qd/(GK) =
0
A = (-qd/(GK) - B chL)/( shL) =
d'où:
1.52423E-05
f = d/dx = ' =
A chx + B shx -qd/(GK) (L/2-x)
=
1.52423E-05 ch(0.07382x)
+
(-0.00001602) sh(0.07382x)
+
(-0.00000118) (25-x)
Par intégration:
(x) =
A/ shx + B/ chx -qd/(GK) (L/2 x - x²/2) + C
=
0.000206473 sh(0.07382x)
+
(-0.00021704) ch(0.07382x)
Comme aux extrémités la rotation est empêchée:
(0) = (L) = 0
C=
0.000217037
D'où (L/2)
=
-0.000219
+
(-0.00000118) (25x- x²/2) + C
rd
Contraintes normales maximales dues à la torsion non uniforme
Les contraintes normales dues à la torsion non uniforme et/ou gênée suivent une loi proportionnelle à l'aire
sectorielle principale C
 = E C d²/dx²
En x = L/2, d²/dx² = '' =
8.18277E-07
D'où les valeurs maximales suivantes:
Sur le hourdis supérieur (en extrémité d'encorbellement):
0.144
Mpa
Sur la fibre inférieure des âmes :
-0.301
Mpa
Expression du Bimoment:
6515701 [(0.000001125) shx +
(-0.000001183) chx +
(Avec  =
0.073822508 m-1 comme on l'a vu)
1.1828E-06 ]
Bimoment (x)
6.00
5.00
4.00
3.00
2.00
1.00
0.00
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Le Bimoment permet de donner l’expression la plus générale des contraintes normales dans une section :
Dans cet exercice nous avons une flexion de valeur:
sigma max en Fibre sup =
sigma max en Fibre inf =
0.209
sigma flexion
-0.745
sigma flexion
My (x) = q/2 (Lx-x²)
+
+
0.144 =
sigma torsion gênée
-0.301 =
sigma torsion gênée
La fraction de la contrainte normale due à la torsion non uniforme et gênée n'est pas négligeable!
0.354
sigma totale
-1.046
sigma totale