z Exercice n°10 Soit un tablier de pont à deux poutres B (variante de l'Exercice n°9) L= B= b= h= es = ea = E= = q= d = b/2 = G= es y G ea h b Gz est axe de symétrie de la section. 50 15 8.4 2.775 0.45 0.95 40000 0.15 0.01 4.2 17391 m m m m m m Mpa MN/m m MPa Soit le même ennoncé de l'Exercice n°9 mais avec uniquement une des deux charges q comme représenté ci-dessus On peut résoudre l'exercice de façon analogue au n°9 Expression du couple de torsion Densité des couples de torsion Par symétrie T(0) = T(L) = qdL/2 T(x) = qd (L/2 - x) = -0.042 t = -q d = = x + -0.042 MNm 1.05 MNm 1.05 MNm Moment d'inertie de torsion pure (ou de St Venant) = GK = 35509 2.042 m4 MNm² Angle de rotation à x=L/2 (hypothèse de torsion pure) Equation de la torsion pure (ou de St Venant): d (x) = (L/2) = 5.91399E-07 -0.00037 rd x² Calcul du moment principal d'inertie sectorielle Distance entre O et C: 0.588 m Diagramme de l'aire sectorielle principale Inertie sectorielle = 162.893 m6 - 2.957E-05 x rd (Cf. Exercice n°6) (Cf. Exercice n°9) (Cf. Exercice n°9) On en déduit: = 0.073822508 m-1 L = 3.691125396 Solution de l'équation différentielle de la torsion non uniforme et gênée: Equation de la torsion non uniforme gênée: On pose: ² = GK/(EI) = 0.005449763 m-2 On pose aussi f = d/dx EI f ''- GK f = T(x) f''-²f = T(x)/EI soit f = A chx + B shx -qd/(GK) (L/2-x) Gauchissement libre aux extremités se traduit par: ''(0) = ''(L) = 0 Avec f = d/dx = ' Par dérivation de f: f ' = d²/dx² = '' = A shx + B chx +qd/(GK) f '(0) = ''(0) = A sh + B ch +qd/(GK) = B +qd/(GK) = 0 B = -qd/(GK) = d'où: -1.60222E-05 f '(L) = ''(L) = A shL + B chL +qd/(GK) = 0 A = (-qd/(GK) - B chL)/( shL) = d'où: 1.52423E-05 f = d/dx = ' = A chx + B shx -qd/(GK) (L/2-x) = 1.52423E-05 ch(0.07382x) + (-0.00001602) sh(0.07382x) + (-0.00000118) (25-x) Par intégration: (x) = A/ shx + B/ chx -qd/(GK) (L/2 x - x²/2) + C = 0.000206473 sh(0.07382x) + (-0.00021704) ch(0.07382x) Comme aux extrémités la rotation est empêchée: (0) = (L) = 0 C= 0.000217037 D'où (L/2) = -0.000219 + (-0.00000118) (25x- x²/2) + C rd Contraintes normales maximales dues à la torsion non uniforme Les contraintes normales dues à la torsion non uniforme et/ou gênée suivent une loi proportionnelle à l'aire sectorielle principale C = E C d²/dx² En x = L/2, d²/dx² = '' = 8.18277E-07 D'où les valeurs maximales suivantes: Sur le hourdis supérieur (en extrémité d'encorbellement): 0.144 Mpa Sur la fibre inférieure des âmes : -0.301 Mpa Expression du Bimoment: 6515701 [(0.000001125) shx + (-0.000001183) chx + (Avec = 0.073822508 m-1 comme on l'a vu) 1.1828E-06 ] Bimoment (x) 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0.00 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Le Bimoment permet de donner l’expression la plus générale des contraintes normales dans une section : Dans cet exercice nous avons une flexion de valeur: sigma max en Fibre sup = sigma max en Fibre inf = 0.209 sigma flexion -0.745 sigma flexion My (x) = q/2 (Lx-x²) + + 0.144 = sigma torsion gênée -0.301 = sigma torsion gênée La fraction de la contrainte normale due à la torsion non uniforme et gênée n'est pas négligeable! 0.354 sigma totale -1.046 sigma totale
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