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Universidad de Montemorelos
Facultad de Ingeniería y tecnología
Proyecto elaborado como requisito parcial
De la material Calculo Integral
Equipo
Calculeitors:
Sydney Javier Domínguez
Jesus Daniel Maldonado
Rudy Pet Martínez
Jaziel Villa Roman
Edward Gaona Casas
Introducción:
El proyecto realizado para la materia de cálculo integral el fin es ampliar el conocimiento
adquirido en clases y aplicar los fundamentos del tema de aplicaciones de integración numérica,
realizando cálculos para medir el área de el campus de la universidad de Montemorelos,
tomando en cuenta los espacios como: la iglesia universitaria, la escuela bilingüe ISAR y la finca
propiedad de dicha universidad.
Figura 1. Vista satelital de la Universidad de Montemorelos (ubicación a medir)
Objetivo
Aplicar los métodos del cálculo integral (integración numérica, desarrollo de programa etc.) en
resolución de problemas
Secciones:
Integración Numérica: cálculo del área de la Universidad
Desarrollo de aplicación para resolución de integrales
Aplicación de la integración numérica
Parte 1
Calculo del área de la Universidad
Basándonos en el análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de
algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término
se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales.
Para obtener el cálculo de áreas tuvimos que recurrir a los planos de la universidad en el
software AutoCAD (diseño asistido por computadora) utilizando los métodos.
Figura 2. Gráfico con mediciones generado en AutoCad
El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada
a la integral definida:
Utilizando 2 métodos de integración numérica se estimó el área requerida
Regla del trapecio
La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a
través de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la
gráfica de la función lineal. Basándose en el cálculo de n trapecios que correspondan al número
perteneciente al intervalo [a,b].
Regla de Simpson
El método utilizado para la regla de Simpson sigue la misma idea, pero aproximando los
subintervalos de mediante polinomios de segundo grado (parábolas).
Procedimiento:
Se utilizó el software “Matlab” para conocer las medidas de la universidad, solo que estas se
conocieron solo en pixeles.
Figura 3. Captura de pantalla en el proceso de medición en Matlab
Después conociendo una medida real de algún lugar (cancha de futbol), se pudo transformar los
pixeles a unidades conocidas (metros).
Y utilizando AutoCAD, se generaron las siluetas de las áreas a medir, de las cuales se generaron
en su interior, rectángulos que según la regla del trapecio,
Necesitamos conocer la altura de los rectángulos en cada sección, de forma que podamos
estimar el área por la suma de esos rectángulos, sabiendo que el número de rectángulos dará el
ancho de los rectángulos, por esto generamos rectángulos dentro de la superficie que se
requiere.
Validamos nuestra medición usando Matlab, específicamente existe una herramienta llamada
bwarea(a) donde a es el nombre de la imagen, para usar esta herramienta es necesario generar
la imagen en binario (blanco y negro) lo cual es necesario ya que la herramienta encuentra el
número de pixeles que hay en un cierto color (blanco en este caso), las medidas que generamos
en Matlab y las encontradas con los métodos, varían debido a que son métodos con un margen
de error que se puede disminuir si estos se generar con mayor número de particiones.
Figura 4. Imagen binaria para medición del área del ISAR
Fue necesario generar estas áreas a gráficos que pudiéramos generar las medidas requeridas.
Figura 5. Proceso de medición del terreno
Los planos fueron divididos en 5 partes para tener una medida aún más exacta (meter los
nombre de donde a donde fueron divididos).
Figura 6. Separación de las áreas de la universidad
Fue necesario adquirir las particiones de cada una de las partes a medir, de las cuales
posteriormente se procedió a medir las líneas (rectángulos) dentro de los perímetros, se
adquirieron estos datos y fueron procesados por formulas en Excel bajo los parámetros del
método del trapecio.
Un punto importante a recalcar es que las medidas en autocad fueron unidades que el mismo
programa género, por lo cual fue necesario tomar un punto de referencia (medir alguna área
conocida) para poder transformar las unidades de autocad a medidas reales o que nos interesan,
en nuestro caso los metros.
Conversión:
171.85 * pixeles (Autocad) = metros
5.8x10-3*metros = pixeles (Autocad)
Parte 2:
Integración por método Simpson:
Introducción
Uno de los problemas matemáticos más frecuentes es el cálculo del área que se forma al graficar
una función, en donde la función f(x) y los valores “a” y “b” son conocidos.
En este tipo de problemas se pueden obtener dos tipos de soluciones:
*-Solución algebraica: se obtiene una formula precisa y exacta para el área sólida.
*-Soluciones numéricas: se calcula numéricamente una estimación del área.
Desde luego, la soluciones algebraicas son mejores que las numéricas, porque son exactas. Pero
a veces, la complejidad de las funciones hacen imposibles (o difícil) obtener la solución
algebraica, por lo que una solución numérica permite ahorrar tiempo.
Descripción de proyecto de aplicación Integración numérica:
Con este proyecto se aplicaran los conocimientos adquiridos en la clase da calculo integral
mediante el tema integración numérica basada en un software de lenguaje java con el cual se
podrán realizar trabajos de integración mediante el método de Simpson
Justificación. Razones por las cuales se eligió el problema o la aplicación presentada.
Tomando en cuenta que los métodos de integración de Simpson y trapecio que se presentó en el
curso de cálculo integral, solo funcionan con particiones pares, se dio a la tarea de investigar un
método que solucionara la problemática del método general de Simpson el cual solo se aplica a
particiones pares. En la investigación realizada se encontró una variante del método Simpson el
cual se llama Simpson 8/3 el cual es más factible hacer la medición con particiones impares.
Alcances y limitaciones del método empleado.
A diferencia de otros software, programas u algoritmos este algoritmo desarrollado, podemos
hacer una medición válida para esta clase de casos.
Este algoritmo se aplica para particiones impares.
Resultados Finales:
Generamos los datos y los capturamos en formulas en Excel.
Grafica 1. Hoja con las áreas de la Finca con el método del trapecio
Grafica 2. Hoja con las áreas del plantel UM con el método del trapecio
Grafica 3. Hoja con el área de la iglesia universitaria con el método del trapecio
Ubicación
Trapecio de finca
Trapecio iglesia
Trapecio de UM
Total
Áreas
727295
47028.93
387553.7
1161877.63
Conclusión:
Por medio de este proyecto afirmamos los conocimientos adquiridos en clase, y desarrollamos
el uso de integrales como una herramienta en la resolución de problemas, al hacer uso de los
diferentes tipos de métodos numéricos (Simpson y trapecio) con el que pudimos calcular el
área de la universidad de Montemorelos.