‫‪ ,88195‬אוניברסיטת בר‪-‬אילן‬
‫סמסטר א' ( פתרון מועד א')‪ ,‬תשע"ד‬
‫בס"ד‬
‫מתמטיקה בדידה (‪ – )88591‬פתרון בחינת סיום (מועד א')‬
‫פרופ' רון עדין‬
‫משך הבחינה‪ :‬שעתיים וחצי (‪ 051‬דקות)‪.‬‬
‫אין להשתמש בשום חומר עזר‪ ,‬כולל מחשבון‪.‬‬
‫‪ 5‬השאלות הן שוות‪-‬משקל‪ .‬יש לענות על כולן‪ ,‬כל שאלה בעמוד נפרד‪.‬‬
‫ניתן לסמן עמודים כ"טיוטה"‪.‬‬
‫יש להסביר ולנמק בבירור את כל הפתרונות‪.‬‬
‫בהצלחה !‬
‫‪ .0‬נסחו והוכיחו את משפט קנטור לגבי עוצמת קבוצת החזקה‪.‬‬
‫ניסוח‪ :‬לכל קבוצה ‪. A  P( A) , A‬‬
‫הוכחה‪ :‬עיינו בסיכומי ההרצאות‪.‬‬
‫‪ .2‬הוכיחו או הפריכו‪:‬‬
‫א‪ .‬אם ‪ f : A  B‬פונקציה חח"ע אז קיימת פונקציה ‪ g : B  A‬המקיימת‬
‫‪. g f  id A‬‬
‫בסעיף זה תתקבלנה הן הוכחה והן הפרכה‪...‬‬
‫הפרכה‪ :‬פורמלית‪ ,‬הטענה איננה נכונה‪ ,‬כי אם ‪ A  ‬אבל ‪ B  ‬אז‬
‫הפונקציה (הריקה) ‪ f : A  B‬היא חח"ע ומצד שני לא קיימת בכלל‬
‫פונקציה ‪. g : B  A‬‬
‫לכל‬
‫אז‬
‫חח"ע‬
‫אם‬
‫‪:‬‬
‫נכונה‬
‫הטענה‬
‫אז‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪A  ‬‬
‫‪yB‬‬
‫‪f : AB‬‬
‫יש מקור אחד לכל היותר ב‪ . A -‬נבחר ‪ x0  A‬כלשהו (הנחנו ‪ ,) A  ‬ונגדיר‬
‫‪ g : B  A‬ע"י‬
‫)‪(y  B‬‬
‫אזי ‪ g ( f ( x))  x‬לכל ‪ , x  A‬כנדרש‪.‬‬
‫}‪ x, if " f 1 "({ y})  {x‬‬
‫‪g ( y) : ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x0 , if " f "({ y})  ‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ g : B  C , f : A  B‬ו‪ h : C  D -‬פונקציות כך ש‪ h g f -‬הפיכה‪ ,‬אז‬
‫‪ g‬היא חח"ע או על‪.‬‬
‫הפרכה‪ :‬ניקח למשל }‪, g (2)  g (3)  2 , f (1)  2 , B  C  {2, 3} , A  D  {1‬‬
‫‪ . h(2)  h(3)  1‬כאן ‪ g : B  C‬אינה חח"ע וגם לא על‪ ,‬אבל ‪h g f‬‬
‫הפיכה‪.‬‬
‫‪ .3‬יהיו‪. b  2 , a   :‬‬
‫רשמו כל אחת מהעוצמות הבאות בצורה הפשוטה ביותר‪ ,‬וציינו אילו מהן שוות‬
‫זו לזו ומי גדולה ממי; נמקו את טענותיכם‪.‬‬
‫‪ab , a  b, a  b, ba , 0a , 0b‬‬
‫‪ ,88195‬אוניברסיטת בר‪-‬אילן‬
‫סמסטר א' ( פתרון מועד א')‪ ,‬תשע"ד‬
‫בס"ד‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫נימוקים (בקצרה)‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a  b  a  b  0  b  2  0  a  2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b  ab  bb  b  ab  b‬‬
‫‪b  a b  bb  b  a b  b‬‬
‫‪2  2a  0a  ba  (2 )  2  2  0a  ba  2‬‬
‫‪ 0b  ab  2b  22‬‬
‫‪2b  0b  ab  b  (20 )b  20 b  2b‬‬
‫‪‬‬
‫לבסוף‪ 2  22 ,‬בגלל משפט קנטור (שאלה מס' ‪.)0‬‬
‫‪ .4‬תהי )‪ ( P, ‬קבוצה סדורה חלקית‪ ,‬ויהי ‪ . a  P‬הוכיחו‪ a :‬שייך לכל שרשרת‬
‫מקסימלית ב‪ P -‬אם ורק אם ‪ a‬ניתן להשוואה לכל איבר ב‪. P -‬‬
‫הוכחה‪( :‬כיוון אחד דורש את אקסיומת הבחירה)‬
‫‪ : ‬נניח ש‪ a -‬ניתן להשוואה לכל איבר ב‪ , P -‬ותהי ‪ C‬שרשרת מקסימלית ב‪-‬‬
‫‪ . P‬גם }‪ C {a‬היא שרשרת ב‪( P -‬כי כל איבר בה‪ ,‬כולל ‪ , a‬ניתן להשוואה לכל‬
‫איבר אחר בה)‪ ,‬והיא מכילה את ‪ . C‬בגלל מקסימליות‪ ,‬בהכרח ‪ C {a}  C‬ולכן‬
‫‪. a C‬‬
‫‪ : ‬נניח ש‪ a -‬לא ניתן להשוואה לכל איברי ‪ , P‬ויהי ‪ b‬איבר כזה ( ‪ b , a‬אינם‬
‫ניתנים להשוואה)‪ {b} .‬היא שרשרת ב‪ , P -‬ולפי עקרון המקסימום של האוסדורף‬
‫היא מוכלת בשרשרת מקסימלית ‪ C . C‬מכילה את ‪ , b‬ולכן אינה מכילה את ‪, a‬‬
‫ז"א‪ a :‬אינו שייך לכל השרשראות המקסימליות ב‪. P -‬‬
‫‪ .5‬חשבו בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ 140‬מחברות בחינה ל‪ 70 -‬סטודנטים‪ ,‬אם‪:‬‬
‫א‪ .‬כל המחברות זהות‪ ,‬וכל סטודנט מקבל מחברת אחת לפחות (כל המחברות‬
‫מחולקות)‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬תחילה נחלק מחברת אחת לכל סטודנט‪ .‬נותרו ‪ 70‬מחברות זהות‪,‬‬
‫לחלוקה (עד תומן) ל‪ 70 -‬סטודנטים‪ ,‬ללא הגבלות‪ .‬מספר הדרכים לעשות‬
‫זאת הוא מספר הפתרונות של המשוואה ‪ x1   x70  70‬כאשר כל ‪ xi‬הוא‬
‫שלם אי‪-‬שלילי‪ ,‬שהוא גם מספר הצירופים עם חזרות של ‪ 70‬מתוך ‪70‬‬
‫‪139 ‬‬
‫עצמים‪ :‬‬
‫‪ 70 ‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬המחברות ממוספרות (מספר שונה לכל מחברת)‪ ,‬וכל סטודנט מקבל שתי‬
‫מחברות בדיוק (אין חשיבות לסדר ביניהן)‪.‬‬
‫‪140 ‬‬
‫פתרון‪ :‬מספר הדרכים לחלק שתי מחברות לסטודנט הראשון הוא ‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪138 ‬‬
‫אחר כך‪ ,‬מספר הדרכים לחלק שתי מחברות לסטודנט השני הוא ‪,  ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪.‬‬
‫וכו'‪ .‬מספר הדרכים הכולל הוא המכפלה (מקדם מולטינומי)‬
‫!‪ 2   140  140‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  70 .‬‬
‫‪ 2  2 2 2 2‬‬
‫‪140 138 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2  2 ‬‬