,88195אוניברסיטת בר-אילן סמסטר א' ( פתרון מועד א') ,תשע"ד בס"ד מתמטיקה בדידה ( – )88591פתרון בחינת סיום (מועד א') פרופ' רון עדין משך הבחינה :שעתיים וחצי ( 051דקות). אין להשתמש בשום חומר עזר ,כולל מחשבון. 5השאלות הן שוות-משקל .יש לענות על כולן ,כל שאלה בעמוד נפרד. ניתן לסמן עמודים כ"טיוטה". יש להסביר ולנמק בבירור את כל הפתרונות. בהצלחה ! .0נסחו והוכיחו את משפט קנטור לגבי עוצמת קבוצת החזקה. ניסוח :לכל קבוצה . A P( A) , A הוכחה :עיינו בסיכומי ההרצאות. .2הוכיחו או הפריכו: א .אם f : A Bפונקציה חח"ע אז קיימת פונקציה g : B Aהמקיימת . g f id A בסעיף זה תתקבלנה הן הוכחה והן הפרכה... הפרכה :פורמלית ,הטענה איננה נכונה ,כי אם A אבל B אז הפונקציה (הריקה) f : A Bהיא חח"ע ומצד שני לא קיימת בכלל פונקציה . g : B A לכל אז חח"ע אם : נכונה הטענה אז הוכחה :אם A yB f : AB יש מקור אחד לכל היותר ב . A -נבחר x0 Aכלשהו (הנחנו ,) A ונגדיר g : B Aע"י )(y B אזי g ( f ( x)) xלכל , x Aכנדרש. } x, if " f 1 "({ y}) {x g ( y) : 1 x0 , if " f "({ y}) ב .אם g : B C , f : A Bו h : C D -פונקציות כך ש h g f -הפיכה ,אז gהיא חח"ע או על. הפרכה :ניקח למשל }, g (2) g (3) 2 , f (1) 2 , B C {2, 3} , A D {1 . h(2) h(3) 1כאן g : B Cאינה חח"ע וגם לא על ,אבל h g f הפיכה. .3יהיו. b 2 , a : רשמו כל אחת מהעוצמות הבאות בצורה הפשוטה ביותר ,וציינו אילו מהן שוות זו לזו ומי גדולה ממי; נמקו את טענותיכם. ab , a b, a b, ba , 0a , 0b ,88195אוניברסיטת בר-אילן סמסטר א' ( פתרון מועד א') ,תשע"ד בס"ד תשובה: 2 נימוקים (בקצרה): a b a b 0 b 2 0 a 2 b b a a b ab bb b ab b b a b bb b a b b 2 2a 0a ba (2 ) 2 2 0a ba 2 0b ab 2b 22 2b 0b ab b (20 )b 20 b 2b לבסוף 2 22 ,בגלל משפט קנטור (שאלה מס' .)0 .4תהי ) ( P, קבוצה סדורה חלקית ,ויהי . a Pהוכיחו a :שייך לכל שרשרת מקסימלית ב P -אם ורק אם aניתן להשוואה לכל איבר ב. P - הוכחה( :כיוון אחד דורש את אקסיומת הבחירה) : נניח ש a -ניתן להשוואה לכל איבר ב , P -ותהי Cשרשרת מקסימלית ב- . Pגם } C {aהיא שרשרת ב( P -כי כל איבר בה ,כולל , aניתן להשוואה לכל איבר אחר בה) ,והיא מכילה את . Cבגלל מקסימליות ,בהכרח C {a} Cולכן . a C : נניח ש a -לא ניתן להשוואה לכל איברי , Pויהי bאיבר כזה ( b , aאינם ניתנים להשוואה) {b} .היא שרשרת ב , P -ולפי עקרון המקסימום של האוסדורף היא מוכלת בשרשרת מקסימלית C . Cמכילה את , bולכן אינה מכילה את , a ז"א a :אינו שייך לכל השרשראות המקסימליות ב. P - .5חשבו בכמה דרכים ניתן לחלק 140מחברות בחינה ל 70 -סטודנטים ,אם: א .כל המחברות זהות ,וכל סטודנט מקבל מחברת אחת לפחות (כל המחברות מחולקות). פתרון :תחילה נחלק מחברת אחת לכל סטודנט .נותרו 70מחברות זהות, לחלוקה (עד תומן) ל 70 -סטודנטים ,ללא הגבלות .מספר הדרכים לעשות זאת הוא מספר הפתרונות של המשוואה x1 x70 70כאשר כל xiהוא שלם אי-שלילי ,שהוא גם מספר הצירופים עם חזרות של 70מתוך 70 139 עצמים : 70 . ב .המחברות ממוספרות (מספר שונה לכל מחברת) ,וכל סטודנט מקבל שתי מחברות בדיוק (אין חשיבות לסדר ביניהן). 140 פתרון :מספר הדרכים לחלק שתי מחברות לסטודנט הראשון הוא 2 138 אחר כך ,מספר הדרכים לחלק שתי מחברות לסטודנט השני הוא , 2 . וכו' .מספר הדרכים הכולל הוא המכפלה (מקדם מולטינומי) ! 2 140 140 70 . 2 2 2 2 2 140 138 2 2
© Copyright 2024