דוגמא - Physics@Technion
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
מבוא למכניקה קוונטית -שקפים7 ........................................................................................................................................................
ההסבר הקלאסי על ידי תורה אלקטרומגנטית7 ..................................................................................................................................... :
)-EINSTEIN (1905האפקט הפוטואלקטרי7 ................................................................................................................... :
מתוך ניסוי Millikanנקבל7 ...................................................................................................................................:
הפוטון7 ............................................................................................................................................................. :
מסה של הפוטון7 ................................................................................................................................................. :
מהירות uשל הפוטון8 ......................................................................................................................................... :
פיסיקה קוונטית והקבוע של ( ) PLANK
8 .................................................................................................................................. :
דוגמא ,1האפקט הפוטו-אלקרי8 ................................................................................................................................... :
דוגמא ,2אנטנה8 ...................................................................................................................................................... :
התאבכות של גלים ,ניסוי יאנג9 ......................................................................................................................................................... :
פיזור 10 ....................................................................................................................................................................... : BRAGG
פיזור 11 ..................................................................................................................................................... :(1922) COMPTON
הניסוי12 .................................................................................................................................................................:
נוסחת 12 ................................................................................................................................................ :COMPTON
הוכחה ,פיזור של פוטון על ידי אלקטרון12 ................................................................................................................. :
חזרה על תכונות גליות13 ................................................................................................................................................................. :
מיתר חד ממדי13 ....................................................................................................................................... y ( x, t ) :
משוואת הגל13 .................................................................................................................................................... :
פירוש פיסקאלי של הפתרון14 ..................................................................................................................................... :
הדוגמא הקנונית ,גל הרמוני14 ..................................................................................................................................... :
קשר בין ωלk-
}
{
) 15 ............................................................................................................................ : w ( k
מהירות הפאזה15 ......................................................................................................................................................:
מהירות חבורה15 ......................................................................................................................................................:
דוגמא15 ............................................................................................................................................................ :
דוגמא נוספת – גלי חומר15 .................................................................................................................................... :
סופרפוזיציה של גלים מישוריים ,חבורת גלים16 ................................................................................................................................. :
הצגה קומפלקסית16 .................................................................................................................................................. :
[
]
סופרפוזיציה16 .................................................................................................................................. k ∈ k1 , k2 :
באופן כללי17 ..................................................................................................................................................... :
מסקנה20 ................................................................................................................................................................ :
עקרון אי-הודאות של 20 .................................................................................................................................... : HEISENBERG
חבורה גוסיאנית של גלים) :חשוב( 21 ..................................................................................................................................................
הגדרה21 ................................................................................................................................................................ :
חבורת גלים גאוסינית21 ............................................................................................................................................. :
רוחב של חבורת גלים22 ............................................................................................................................................. :
נדון במקרה שבו הזמן איננו אפס - t ≠ 0התנהגות בזמן של חבורת גלים גאוסיאנית 22 ........................................................... :
מקרה - 1נניח ש ) ω = ckגלים א"מ(23 ............................................................................................................... :
d 2ω
23 ........................................................................................................................... :
מקרה -2נניח ש ≠ 0
dk 2
גלי חומר – תכונות גליות של חלקיקים )דה ברולי 24 .................................................................................................................. :(1924
מה יהיה אורך גל
סדר גודל של
λm
λm
של חלקיק? 24 ............................................................................................................................
24 ................................................................................................................................................ :
דוגמא של חלקיק כלשהו24 .................................................................................................................................... :
דוגמא של אלקטרון24 ........................................................................................................................................... :
דוגמא - 3ניסוי של 24 ................................................................................................. : 1927, Davisson-Germer
גלי חומר – משוואת 24 ................................................................................................................................. : SCHRODINGER
דוגמא -גלים א"מ24 .................................................................................................................................................. :
-2-
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
לסיכום25 ........................................................................................................................................................... :
נקבל משוואת שרדינגר כוללת )עבור מקרה חד מימדי(25 ...................................................................................................:
הערה חשובה 25 ....................................................................................................................................................
פרוש פיסיקאלי של
) ( x, t
ψבגלי חומר25 ................................................................................................................ :
נחזור על ניסוי יאנג26 ........................................................................................................................................... :
משוואת שרדינגר במקרה תלת מימדי26 ......................................................................................................................... :
עקרון אי הודאות של HEISENBERGבמכניקה קוונטית26 ........................................................................................................... :
דוגמא-יציבות של אטומים במכניקה קוונטית26 ................................................................................................................ :
תכונות כלליות של אמפלידטות ההסתברות27 ...................................................................................................................................... :
שימור ההסתברות27 ................................................................................................................ :
.1
תנועת מרכז המסה של חבורת גלים28 ................................................................................................................................................ :
28 .................................................................................................................................................... INTERMEZZO:
משפט 29 ............................................................................................................................................................ :EHRENFEST
נוסחת EHRENFESTעבור חלקיק קוונטי חופשי30 ........................................................................................................... :
נוסחת EHRENFESTעבורחלקיק בפונציאל 30 ............................................................................................................ : V
תנע במכניקה קוונטית -הגדרה של אופרטור30 ................................................................................................................................... :
אופרטור הרמיטי31 ......................................................................................................................................................................... :
משוואת Schrodinger
ואופרטור המילטוניאן31 ................................................................................................................ :
הצגות31 ................................................................................................................................................................. :
תנע בממוצע31 .........................................................................................................................................................:
קומוטטור32 ................................................................................................................................................................................... :
משוואת Schrodinger
לא תלויה בזמן32 ........................................................................................................................... :
ערך עצמי של אופרטור הרמיטי33 .................................................................................................................................................... :
עבור אופרטור 33 ................................................................................................................................................. : A
דוגמא לאופרטור33 .............................................................................................................................................. :
דוגמא נוספת33 ................................................................................................................................................... :
דוגמא נוספת33 ................................................................................................................................................... :
אופרטור הוא ליניארי33 ............................................................................................................................................. :
ערכים עצמיים ופונקציות עצמיות של אופרטור34 ............................................................................................................................... :
פונקציות עצמיות של { fλ ( x )} A
34 ....................................................................................................................... :
דוגמא34 ............................................................................................................................................................ :
ספקטרום של המילטוניאן עבור חלקיק בפוטנציאל אינסופי )חלקיק בתיבה(34 ......................................................................................... :
ממוצע של התנע36 ....................................................................................................................................................:
ממוצע של האנרגיה37 ............................................................................................................................................... :
עקרון הסופרפוזיציה37 ....................................................................................................................................................................:
סיכום עד לשלב זה -חלקיק קוונטי בתיבה37 ....................................................................................................................:
פירוש של המקדמים 38 ...................................................................................................................................... : An
התפתחות בזמן של ) ( x
38 ...................................................................................................................................: ψ
פתרון של בעיה במכניקה קוונטית" ,המתכון"38 ................................................................................................................................ :
מחסום פוטנציאל במימד אחד39 ........................................................................................................................................................ :
תנאי שפה של פונקצית גל39 ....................................................................................................................................... :
רציפות של ) ψ ( xושל ) 39 .......................................................................................................................... : ψ ' ( x
החזרה על ידי מדרגת פוטנציאל40 .................................................................................................................................................... :
צפיפות זרם ההסתברות41 .......................................................................................................................................... :
מקדם החזרה 42 ................................................................................................................................................ :R
מקדם העברה 42 .............................................................................................................................................. : T
-3-
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
חדירה דרך מחסום פוטנציאל – )43 .................................................................................................... :(TUNNELING EFFECT
אוסילטור הרמוני במימד אחד44 ....................................................................................................................................................... :
באופן קלאסי44 ........................................................................................................................................................ :
ניתן לתאר כל דבר בפיזיקה הליניארית בעזרת אוסילטור הרמוני44 ................................................................................... :
משוואות התנועה של אוסילטור הרמוני44 ...................................................................................................................... :
אנרגיה כוללת של אוסילטור הרמוני44 .......................................................................................................................... :
יחידות אנרגיה45 ................................................................................................................................................. :
יחידות אורך45 .................................................................................................................................................... :
פולינום הרמיט45 ............................................................................................................................................................................:
שיטת הפתרון האלגברי של פולינום הרמיט46 ................................................................................................................. :
פונקציות עצמיות48 ............................................................................................................................................ φ0 :
עקרונות של מכניקה קוונטית-מבוא49 ................................................................................................................................................ :
קצת היסטוריה49 ...................................................................................................................................................... :
מרחב וקטורי של 49 ................................................................................................................................... : HILBERT
תכונה עיקרית של פונקצית גל היא49 ........................................................................................................................ :
הגדרה של מרחב וקטורי 49 ........................................................................................................................... : EH
הצגות שונות של פונקצית הגל49 ............................................................................................................................. :
מכפלה סקאלרית ורוטציות של 49 .............................................................................................................. : Dirac
מכפלה סקלרית ב( ) -
3
2
50 ........................................................................................................................... :
50 ................................................................................................................................................... : Bra – Ket
אופרטורים50 ................................................................................................................................................................................. :
הצגה של אופרטור בבסיס נתון ,מטריצה51 ..................................................................................................................... :
ממוצע של אופרטורים51 ............................................................................................................................................ :
אופרטור הרמיטי – צמוד קומפלקסי52 ........................................................................................................................... :
אופרטור הרמיטי מוגדר על ידי52 ................................................................................................................................. :
דוגמא -1מרחב סופיˆ = ⎡ A ⎤ ,
Aהרמיטי52 ................................................................................................................ :
⎦ ⎣ ij
דוגמא -2אופרטור מיקום ˆ( ) , x
דוגמא – 3אופרטור תנע pˆ x
z
= 52 ........................................................................................................ . EH
)במרחב ) (
z
= 53 ............................................................................................ :( EH
ערך עצמי ומצב עצמי של אופרטור53 ............................................................................................................................................... :
עבור אופרטורים הרמיטיים ˆ
53 ............................................................................................................................... : A
הוכחה53 ........................................................................................................................................................... :
משפט ספקטרלי54 .......................................................................................................................................................................... :
בסיס של מרחב 54 .....................................................................................................................................: HILBERT
באופן כללי נגדיר בסיס } { n
של 54 .................................................................................................................. : EH
אופרטור היטל )פרוג'קטור( – נוסחת הסגירה54 ............................................................................................................... :
}
{
נגדיר תת מרחב Eνהמוגדר על ידי } 55 .......................................................................................... : n , n ∈ {ν
פרוק ספקטרלי של אופרטור55 ................................................................................................................................... :
משפט ספקטרלי55 .................................................................................................................................................... :
פירוק ספקטרלי של אופרטור הרמיטי55 .........................................................................................................................:
הדרך ללכסן מטריצה56 ......................................................................................................................................... :
אופרטור אוניטרי56 ........................................................................................................................................................................ :
משפט56 ................................................................................................................................................................. :
הוכחה57 ........................................................................................................................................................... :
עקרונות של מכניקה קוונטית58 ........................................................................................................................................................ :
עקרון ראשון -עקרון הסופרפוזיציה58 ........................................................................................................................... :
פאזה58 ............................................................................................................................................................. :
עקרון שני-עקרון המדידה58 ........................................................................................................................................ :
עקרון שלישי-התפתחות בזמן של מצב קוונטי59 ...............................................................................................................:
שימור נירמול בזמן:
ψ (t ) = 1
59 ....................................................................................................................
-4-
פיסיקה קוונטית (115203) 1
תלות בזמן של מצב
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
) ψ (t
59 ............................................................................................................................:
מבנה של מרחב 60 .................................................................................................................................................... : HILBERT
דוגמא-חלקיק קוונטי במקרה אחד ממדי +פוטנציאל הרמוני 60 ..............................................................................................
מכפלה טנזוריאלית של מרחבי 60 .................................................................................................................. : HILBERT
תכונות של מכפלה טנזוריאלית61 ................................................................................................................................. :
כמה מילים בקשר למדידה במכניקה קוונטית61 ................................................................................................................................... :
62 ...................................................................................................................................... JHON VAN NEWMANN:
דוגמא של גלאי – מדידת מיקום של אטום62 ............................................................................................................... :
יחסי חילוף של גדלים פיסיקליים63 ................................................................................................................................................... :
עקרון אי הודאות 63 ............................................................................................................................. : HEISENBERG
דוגמא64 ............................................................................................................................................................ :
משפט 65 ........................................................................................................................................................... : EHRENFEST
דוגמא -חלקיק קוונטי בפוטנציאל ) 65 ................................................................................................................. : V ( r
מושג של מערכת שלמה של אופרטורים הרמיטים68 ............................................................................................................................ :
דוגמא-אוסילטור הרמוני חד ממדי68 ............................................................................................................................. :
אוסילטור הרמוני דו ממדי68 ....................................................................................................................................... :
משפט ראשון68 ........................................................................................................................................................:
הוכחה68 ........................................................................................................................................................... :
משפט שני70 ........................................................................................................................................................... :
הוכחה70 ........................................................................................................................................................... :
ספין חצי – ניסוי 71 ................................................................................................................................. : STERN-GERLACH
ניסוי 71 ..................................................................................................................................... : STERN-GERLACH
סיכום התיאור הקלאסי73 ....................................................................................................................................... :
נניח ש73 ........................................................................................................................................................... :
תוצאות הניסוי74 ...................................................................................................................................................... :
תאור קוונטי של ניסוי 75 .......................................................................................................................... : STERN-GERLACH
מומנט מגנטי לאורך ציר Xוציר : Y
μˆ x , μˆ y
76 ...............................................................................................................................
דרישות76 .......................................................................................................................................................... :
מטריצות 77 .................................................................................................................................................. : PAULI
לוגיקה קלאסית78 ........................................................................................................................................................................... :
לוגיקה קוונטית78 ........................................................................................................................................................................... :
עקרון אי הודאות וניסוי 78 ....................................................................................................................... : STERN-GERLACH
מדידה לאורך ציר כלשהו80 ............................................................................................................................................................. :
תאור שלם של האטומים81 .............................................................................................................................................................. :
התפתחות בזמן של מצבים אטומים בשדה מגנטי81 .............................................................................................................................. :
אנרגיה פוטנציאלית81 ............................................................................................................................................... :
שדה מגנטי אחיד ) 82 .................................................................................................................................. : (V = 0
משפט 84 ........................................................................................................................................................... : EHRENFEST
תנע זוויתי במכניקה קוונטית85 ......................................................................................................................................................... :
תנע זוויתי של חלקיק בודד )מרחב ( ) :HILBERT
3
2
(85 ........................................................................................... :
באופן קלאסי85 ................................................................................................................................................... :
הכללה קוונטית85 ................................................................................................................................................ :
מערכת של Nחלקיקים קוונטים85 ....................................................................................................... : i = 1,..., N ,
ˆ
הגדרה כללית של תנע זוויתי Jבמכניקה קוונטית85 ........................................................................................................ :
נגדיר מערכת שלמה85 .......................................................................................................................................... :
חישוב של jושל 86 ......................................................................................................................................... : m
סיכום-חישוב המספרים הקוונטים mו - jקווטיזציה87 ................................................................................................. :
-5-
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
קוונטיזציה של תנע זוויתי אורביטלי88 .............................................................................................................................................. :
קורדינטות כדוריות ופונקציות הרמוניות כדוריות89 ............................................................................................................................. :
91 .......................................................................................................................................................... :STERN-GERLACH
תורת ההפרעות 92 .......................................................................................................................................................................... :
דוגמא מאלגברה92 ....................................................................................................................................................:
חזרה לקוונטים92 ..................................................................................................................................................... :
הפרעה מסדר ראשון ב 93 ...................................................................................................................................... : λ
דוגמא-אוסילטור אנהרמוני93 ...................................................................................................................................... :
תיקון94 .................................................................................................................................................................. :
הפרעה מסדר שני94 .................................................................................................................................................. :
תזכורת95 ............................................................................................................................................................... :
דוגמא-אוסילטור אנהרמוני95 ...................................................................................................................................... :
-6-
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
מבוא למכניקה קוונטית -שקפים.
ההסבר הקלאסי על ידי תורה אלקטרומגנטית:
)
(
גל מישוריE = E0 cos kr − ωt :
ε
1
צפיפות אנרגיה אלקטרומגנטית ביחידות נפח) u = ε 0 E 2 = 0 I :בקוונטים עובדים עם , ( SIכאשר
2
2
– Iזו עוצמת האור.
T
1 1
ε E ( t )2
T 2 0
∫0
= = uועל כן uאיננו תלוי בתדירות . ω
ממוצע
בזמן
ε0
⎞⎛1 2
⎜ mv ⎟ = eV0 = I
2
⎝2
⎠ max
⎧ eV0 = hν − W
⎨⎪ ) ( Millikam
h
⎪⎩eV0 = 2π ω − W
⎧
⎫ω
= ⎨ ν
⎬
⎭ 2πתדירות ⎩
)-Einstein (1905האפקט הפוטואלקטרי:
לאור יש התנהגות של חלקיק .ניתן למצוא קשר בין תופעת הגל הא"מ לחלקיק.
h
= . ( E ∝ ω ) E = hν
ω
2π
– hקבוע בססי של . Planck
מתוך ניסוי Millikanנקבל:
] h = 6.62 ⋅10−34 [ J ⋅ Secוגם . hν = eV0 + W
כלומר ,ישנה אפשרות לתאר את הגל בצורת חלקיקים.
הפוטון:
}]{[ h] = [energy × time
h
k
2π
,
h
ω = hν
2π
=E
⇒ →ω
⎯← E
קיבלנו את
הקשר
קיבלנו
את הקשר
=p
⇒ [ p ] = M [ L ] × L = ⎡ ML2 ⎤ = energy × time = h
] [
[ ⎥ ⎢ ] [
] [ ]
] [T
] [k
⎦ ⎣ T
)מקסוול מצא ( ε 0 μ0 c 2 = 1
h
⎧
⎪⎪ E = 2π ω = hν
לסיכום:
⎨
⎪ p= h k
⎩⎪
2π
h
.
נגדיר:
2π
מסה של הפוטון:
הפוטון הינו חלקיק יחסותי.
עבור חלקיק יחסותי מתקיים. E = p c + m c :
2 4
0
2 2
2
-7-
⇒
נחפש את
הקשר
ביניהם
בעזרת היחידות
⎯← p
→k
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
ננסה לחלץ את m0על מנת למצוא את מסת הפוטון :
2
)( ω
+ m02 c 4 ⇒ m0 = 0
=
2
)( ω
2
2
( ω ) = ( k ) c 2 + m02c 4
⇒
עבור גל
א"מ מתקיים
ω = ck
מסת הפוטון
מהירות uשל הפוטון:
באופן כללי מתקיים:
m0
u2
1− 2
c
m0u
≡ ;; m
= ;; p
u2
1− 2
c
2
m0 c
u2
1− 2
c
= .E
עבור הפוטון:
m0
E
=
c2
u=c
⇒
מהירות הפוטון u 2 m0 →0
1 − 2 u2
סופי
c 1− c2 →0
הפוטון הוא חלקיק לכל דבר ,אנו יכולים לתאר מסה ,מהירות ואת האנרגיה שלו.
פיסיקה קוונטית והקבוע של : ( ) Plank
מימדים של : h
ML2
= = time × energy = length × momentum = angle × angular momentum ⇒ E × T
פעולה ≡
T
)אם מקבלים פעולה שהיא בסדר גודל מקורב לזה של hאז אנו דנים במערכת קוונטית(
פיסיקה קוונטית מוגדרת כמערכת שפעולתה בסדר גודל של .
דוגמא ,1האפקט הפוטו-אלקרי:
אנרגיה באפקט הפוטו אלקטריE = eV0 ≈ 1[ eV ] = 1.6 ⋅10−19 [ J ] :
0
2π
⎛
⎞⎤ ⎡ 3
⎤ 15 ⎡ 1
⎥ ⎜ λ ≈ 10 ⎢ A ⎥ ⎟ ω = λ c = 6π ⋅10 ⎢ sec
⎠⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎝
E
מערכת קוונטית ⇒ ≈ ] . ≈ 10−35 [ J ⋅ sec
⎤⎧ ⎡0
⎫
−10
⎬] ⎨a ⎢ A ⎥ = 10 [ m
⎦ ⎣ ⎩
⎭
ω
דוגמא ,2אנטנה:
] P ≈ 1[ KW
נתונים של אנטנת רדיו:
הספק
.
] ν ≈ 1[ MHz
נחשב את הפעולה של התהליך:
אין צורך במערכת קוונטית ⇒
31
≈ 10
−2
P ×ν
זו הקומבניצה
שנותנת לנו יחידות
של זמן× אנרגיה
)במקרה הזה אין צורך בקוונטים אבל אם יהיה לנו צורך בהספק גבוהה מאוד אז כן יהיה צורך במערכת
קוונטים ,כלומר תלוי בנתונים(
-8-
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
התאבכות של גלים ,ניסוי יאנג:
c
S1
a
S2
D
)
(
i kr −ωt
-ψ ( r , t ) = ψ 0 eזה הגל ההרמוני שלנו.
שדה חשמלי
של הגל
ידוע שניתן לתאר כל פתרון מדויק של בעיה אלקטרומגנטית בעזרת סופרפוזיציה.
האמפלידוטה בנקודה ψ ( c ) = ψ S1 + ψ S2 :C
אמפלידוטה
בנקודה
C
והעוצמה בנקודה Cהיא. I ( c ) = ψ ( c ) :
2
שני הדברים הללו ניתנים על ידי העיקרון של , Huyghens-Fresnelהאומר שניתן להפוך את הבעיה לבעיה
של שני גלים מונוכרומטים.
נחשב את האמפלידוטה בנקודה : C
)
ikr2
+e
ikr1
(
ψ ( c ) = ψ 0 e−iωt e
⎧⎪ r1 = S1c
⎨
⎪⎩r1 = S2 c
)
2
(
2
2
2
ik r − r
) ⇒ I ( c ) = ψ ( c ) = ψ 0 1 + e ( 2 1 ) = 2 ψ 0 1 + cos k ( r2 − r1
נגדיר פאזהk ( r1 − r2 ) :
)
δונקבל,
פאזה
S1C − cos θ 2 S2C
( cosθ
1
2π
λ
=δ
⎧a D
בגבול של זויות קטנות:
⎨⇐ 1
⎩x D
2π
2π ax
⋅
≅δ
) S1C − S 2C
(
λ
D
λלראות
cos θ 2
. cos θ1
בתרגול
⎛2
⎞ ⎞ ⎛ 2π ax
⎜ I ( c ) = 2 ψ 0 ⎜1 + cos
⎟⎟ ⋅
⎠⎠ ⎝ λ D
⎝
≡Ι
0
-9-
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
כלומר התמונה שהקבל הל המסך היא:
)I (c
xi
2I 0
x
נחשב את ) xiמרחק בין שני מקסימומים(:
2π axi
λD
= = 2π n , n ∈ ⇒ xi
⋅n
λ D
a
פיזור : Bragg
פיזור של גלים א"מ על ידי גביש.
M θ
S1
S2
.
.
.
d
H
θ
d
Ho
`M
;
Sn
על מנת לקבל את תמונות ההתאבכות מספיק לנו שני מישורים סמוכים.
- 10 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
נגדיל את הציור:
M
α
Ho
ψ
β
θ
`M
;
d
) sin (θ −ψ
cosψ
π
2
= ' . HoM
= ψ +θ + γ
M
γ
H
`M
;
M 'H
) = cos γ ⇒ M ' H = M ' M cos (θ + ψ
M 'M
λ
d
d
=δ
= ⎦⎤ ) ⎡⎣sin (θ −ψ ) + sin (θ +ψ
2sin θ cosψ
2π
cosψ
cosψ
2π
λ = 2π n = 2d sin θ
⇒ nλ = 2d sin θ , n = 1, 2,3,...
⇒
λ
פיזור :(1922) Compton
)הוכחה ראשונה של חלקיקיות האור(
- 11 -
d
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
הניסוי:
קרינת ) X (ν
קרינת ) X (ν
θγ
) ' x (ν
מוצק דק )מתכת(
)מתכת ⇐ אלקטרונים חופשיים(
נוסחת :Compton
h
) (1 − cos θγ
me c
λ '− λ
=
,כאשר - meמסת האלקטרון.
שינוי אורך הגל
הוכחה ,פיזור של פוטון על ידי אלקטרון:
לפני ההתנגשות:
פוטון γ
X
−
e
hν h
=
c λ
Eγ = hν
p=0
= pγ
Ee = me c 2
אחרי ההתנגשות:
p 2 c 2 + me2 c 4
= Ee
Y
e−
θe
θγ
X
Photon , γ
' Eγ = hν
hν ' h
=
c
'λ
שימור אנרגיה:
p 2 c 2 + me2 c 4
שימור תנע:
(1) hν + mec 2 = hv '+
' hν hν
=
בציר cos θγ + p cos θe : x
c
c
)( 2
- 12 -
= pγ
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
' hν
בציר sin θγ + p sin θe : y
c
)( 3
0=−
נפתח את נוסחה : 1
2 2
⇔ +p c
me2 c 4
2
=
) ( hν − hν '+ m c
2
e
⇔ ( 4 ) ( hν − hν ') + me2 c 4 + 2me c 2 h (ν −ν ' ) = me2 c 4 + p 2 c 2
2
2
⎧ 2
2
⎞⎛h
2
) ⎪ p cos θe = ⎜ ⎟ (ν −ν 'cos θγ
2
2
⎠⎝c
⇒ ) ⇒ p 2 c 2 = ( hν − hν 'cos θγ ) + ( hν 'sin θγ
⎨⎪ ⇒ )( 2 ) , ( 3
2
2
⎪ 2 2
⎞⎛h
p
θ
ν
θ
=
sin
'cos
(
)
e
γ
⎜
⎟
⎪
⎠⎝c
⎩
⇒ ( 5 ) p 2 c 2 = ( hν ) + ( hν ' ) − 2h 2νν 'cos θγ
2
⇔
2
( 4 ) + ( 5) ⇒ ( hν − hν ')2 + 2mec 2 h (ν −ν ') = ( hν )2 + ( hν ')2 − 2h2νν 'cos θγ
' ν −ν
h
=
⇔ ) (1 − cosθγ
νν ' me c 2
⇔ ⇔ −2h 2νν '+ 2me c 2 h (ν −ν ' ) = −2ηνν 'cos θγ
c c
h
h
= 1 − cos θγ ) ⇔ λ '− λ
= ⇔− +
(
) (1 − cos θγ
ν ν ' me c
me c
מקרה פרטי עבור אלקטרון
עבור פיזור אחר המסה תהיה שונה
אורך גל Comptonשל האלקטרון:
0
h
λc
= 0.0243 A
me c
הערה :על מנת לראות את האפקט יש צורך בקרינה עם אנרגיה גבוהה מאוד )ואורך גל קצר( ,וזו הסיבה
לשימוש בקרינת Xקשה.
חזרה על תכונות גליות:
מיתר חד ממדי:
) y ( x, t
) y ( x, t
X
) עבור זמן tנתון (
משוואת הגל:
∂2 y ∂2 y
=
v
∂x 2 ∂t 2
פתרון כלליy ( x, t ) :
2
- 13 -
פיסיקה קוונטית (115203) 1
⎧ p ≡ x − vt
⎨
⎩ q ≡ x + vt
באופן כללי:
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
1
⎧
) ⎪⎪ x = 2 ( p + q
⇔
⎨
) ⎪t = 1 ( q − p
⎪⎩ 2v
∂
∂ ∂p ∂ ∂q
∂
∂
∂
∂ ∂ ∂p ∂ ∂q
∂
;;
) , x ( p, q
=
+
= −v + v
=
+
=
+
∂t ∂p ∂t ∂q ∂t
∂p
∂q
∂x ∂p ∂x ∂q ∂x ∂p ∂q
2
∂ ⎛ ⎧ ∂2
⎞ ∂
⎪
⎟ =⎜ +
2
⎪ ∂x
⎠ ⎝ ∂p ∂q
⎨⇒
2
⎪ ∂2
⎞ ∂
∂ ⎛2
⎟ ⎪ 2 =v ⎜ −
⎠ ⎝ ∂p ∂q
⎩ ∂t
∂2 y
≡0
∂p∂q
⇒
∂y
) = g1 ( q ) ⇒ y ( p, q ) = f ( p ) + ∫ g1 ( q ) dq ⇒ y ( p, q ) = y ( x, t ) = f ( x − vt ) + g ( x + vt
∂q
)g(q
פונקציה
כללית של
q
פירוש פיסקאלי של הפתרון:
נניח ש : y ( x, t ) = f ( x − vt ) ⇐ g ≡ 0
) y ( x, t
) v ( t2 − t1
X
x2
) ( t2
x1
) ( t1
הדוגמא הקנונית ,גל הרמוני:
2π
⎛ 2π
⎞
⎜ f ( x − vt ) = A cos ( k ( x − vt ) + ϕ ) = A cos ( kx − kvt + ϕ ) = A cos
x−
⎟ t +ϕ
T
⎝ λ
⎠
2π
2π
=.k
= - ωתדר ומספר גל:
כאשר– A ,אמפליטודה - λ ,אורך גל - T ,זמן מחזור ,
λ
T
) ⇒ f ( x − vt ) = A cos ( kx − ωt
- 14 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
קשר בין ωל: {w ( k )} k-
⎧ ∂2 f
2
) ⎪ 2 = − Aω cos ( kx − ωt
⎪ ∂t
⎨ 2
⎪ ∂ f = − Ak 2 cos kx − ωt
(
)
⎪⎩ ∂x 2
⇒ v 2 k 2 = ω 2 ⇒ vk = ω
מהירות הפאזה:
ω
k
. vp
מהירות חבורה:
∂ω
∂k
עבור ω = vkמתקיים. v p = vg = v ,
oלמהירות הפאזה אין משמעות פיסיקלית.
oמהירות חבורה מתארת את מהירות העברת המידע ולכן היא תמיד קטנה ממהירות האור.
מתאר את קצב העברת האנרגיה בגל מנקודה לנקודה )מעבר אנרגיה לאורך הגל(.
. vg
דוגמא:
ניקח חלקיק יחסותי בעל מסה p 2 c 2 + m 2 c 4 : m
במילון שלנו. E = ω ;; p = k :
נעשה שימוש במילון זה ונעבור לגל . ω − k
m2c 4
= .E
p 2c 2 k 2 + m2c 4 ⇔ ω = k 2c 2 +
=⇒ ω
נחשב את מהירות הפאזה ומהירות החבורה של הגל שקיבלנו:
ω
m2c 2
, v p = = c 1 + 2 2 > cדוגמא למהירות פאזה שיותר גדולה ממהירות האור )ולמרות זאת זה אינו
k
k
מפריעה(.
מהירות החבורה:
dω
c
= , vgמהירות החבורה תמיד חייבת להיות קטנה ממהירות האור.
=
<c
dk
m2c 2
1+ 2 2
k
דוגמא נוספת – גלי חומר:
p2
= .E
חלקיק לא יחסותי בעל מסה : m
2m
נבנה את הגל בעזרת המילון שלנו ונקבל:
k2
2m
2
)k
(
=ω
=⇒ ω
2m
⇒
k
נחשב את מהירות הפאזה:
2m
k
ומהירות החבורה= 2v p :
= . vg
m
= . vp
- 15 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
סופרפוזיציה של גלים מישוריים ,חבורת גלים:
ניתן לחשב על חבורת הגלים כאוסף של גלים מישורים .כלומר על ידי סופר פוזיציה של גלים הרמוניים
מישורים ניתן לחשב את חבורת הגלים) .משפט פורייה(
הצגה קומפלקסית:
)
) i kx −ωt
(
( y ( x, t ) = A cos (ωt − kx ) = A Re e
נגדיר את:
) i kx −ωt
( Ae
) y ( x, t
סופרפוזיציה:
⋅ e−ωt dk
ikx
k2
∫e
k1
נגדירk2 − k1 :
] k ∈ [ k1 , k2
A
= ) y ( x, t
k2 − k1
. Δk
⎞ ⎛ i k2 − k1 x −i k2 − k1 x
⇒ ⎟ ⎜e 2 − e 2
⎜
⎟
⎝
⎠
k1 + k2
x
2
Ae−iωt 1 ik2 x ik1x
Ae−iωt 1 i
=
e −e
e
Δk ix
Δk ix
(
)
⎞ ⎛ Δkx
⎜ sin
⎟
⎠ 2
⎝ ⋅
⇒
Δkx
2
k +k
i 2 1x
Ae−iωt e 2
= ) ⇒ y ( x, t
= ) ⇒ y ( x, t
⎞ ⎛ Δkx
⎜ sin
⎟
⎠ 2
⎛k +k
⎞
⎝ ⇒ y ( x, t ) = A
⎟ cos ⎜ 1 2 x − ωt
Δkx
⎝ 2
⎠
2
- 16 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
x1
x2
סופרפוזיציה של גלים ההרמונית תמיד מקבלים גל יותר ממוקם.
גל הרמוני מישורי הוא גל בלתי ממוקם .
∈,n
⎞ ⎧ ⎛ Δkx
⎪⎪sin ⎜ 2 ⎟ = 0
Δk
⎝
⎠
⇒
x = nπ
⎨
2
⎪ Δkx ≠ 0
⎩⎪
2
x1 , x2
⎧ Δk
⎪⎪ 2 x1 = −π
⎯⎯⎯⎯⎯
⎨
Δx= x2 − x1 → Δk Δx = 4π
⎪ Δk x = +π
⎪⎩ 2 2
קיבלנו קבר בין Δkלבין . Δx
לקבלת חבורת גלים רחבה יותר נשתמש ב Δkקטן יותר.
לקבלת Δxקטן יותר ניקל Δkגדול יותר) .גל צפוף יותר(
מסקנה :אם נרצה חבורת גלים מרוכזת יותר ניקח יותר גלים בטווחי מספרי גל גדולים יותר.
באופן כללי:
ראינו סופר פוזיציה של שני גליםdk :
) i( kx −ωt
k2
∫e
k1
נגדיר אם כן את המקרה הכללי ביותרdk :
A
k2 − k1
) i ( kx −ωt
= ) .ψ ( x , t
∞
∫ g (k ) e
∞−
1
2π
) ψ ( x, t
נראה מה קורה בחבורת הגלים בזמן : t = 0
⋅ eikx dk
) g (k
2π
∞
∫
≡ ) ψ ( x, t = 0
∞−
אם ניקח את האמפליטודה ) ψ ( x, 0היא תהיה מקסימאלית בהתאבכות בונה ושווה לאפס בהתאבכות
הורסת.
נניח:
- 17 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
) g (k
Δk
k0
iα k
) ( g (k ) = g (k ) ⋅e
פאזה ) α ( kהיא פונקציה רציפה של kעבור Δkקטן נקבל:
⎞ ⎛ dα
+ .....
⎟
⎝ dk ⎠ k = k0
⎜ ) α ( k ) ≈ α ( k0 ) + ( k − k 0
⎞ ⎛ dα
⎜−
⎟
⎝ dk ⎠ k = k0
∞
, x0
) ) 1 i( k0 x +α ( k0
i k −k x− x
e
≈ ) ⇒ ψ ( x, 0
⋅ ∫ g ( k ) ⋅ e ( 0 )( 0 ) dk
2π
∞−
- 18 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
מקרה ראשון:
נניח ש Δx = x − x0הוא גדול.
∞
) i ( k − k )( x − x
⎯⎯⎯ dk
במקרה זה ניתן לומר ש → 0
∫ g (k ) ⋅e
∞→ Δx
0
0
.
∞−
( Re g ( k ) e
) i k − k0 )( x − x0
k
Fresnel:
δk
≡u
) i ( kn − k0 )( xn − x0
= lim δ k ∑ g ( kn ) ⋅ e
n
) i ( k − k0 )( x − x0
δ k →0
∫ g (k ) ⋅e
k3
k3
k1
k2
uδ k
k0
k−1
k−2
כל איבר בסכום מתואר על ידי וקטור במישור המרוכב .ניתן לראות שעל מנת לעבור בין הוקטורים יש
לבצע "סיבוב" במישור המרוכב.
הגודל של כל וקטור הוא ) . g ( k
הסכום הכולל ישאף לאפס כאשר מספר הוקטורים שואף לאינסוף ,על כל וקטור חיובי יהיה וקטור שלילי
)אשר ערכו בקירוב דומה( ולכן הסכום הוא בקירוב אפס.
מקרה שני:
- 19 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
Δx = x − x0הוא קטן:
( Re g ( k ) e
) i k − k0 )( x − x0
k
מתקבלת אמפליטודה מקסימאלית סביב . x0
k0
ניתן לראות שוקטור הסופרפוזיציה הוא בעל גודל סופי )בניגוד לקודם שהוקטור יתאפס(.
מסקנה:
1
) ψ ( x, 0ממקום ברווח , Δx
Δk
≥ Δx
עקרון אי-הודאות של : Heisenberg
צריך חפיפה רחבה יותר במרחב מספרי הגלים kעל מנת לבנות חבורת גלים ממוקמת יותר.
כלומר ,אם נרצה Δxצר זה שקול ל Δkרחב )חוברת גלים( ואם נרצה Δxרחב זה שקול ל Δkצר
)גל מישורי(.
Δxצר ⇔ Δkרחב
Δxרחב ⇔ Δkצר
הפונקציה הצרה ביותר ⇐ ⎧Ψ ( x, 0 ) = eik0 x
⎪⎪
∞
⎧1 x = 0
⎨
ikx
x
e
dk
x
,
0
=
≡
=
הפונקציה הרחבה ביותר ⇐
ψ
δ
(
)
(
)
⎨
∫
⎪
x
0
0
≠
⎩
∞−
⎩⎪
Δשל דירק
- 20 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
חבורה גוסיאנית של גלים) :חשוב(
הגדרה:
) g (k
1
a
∝ Δk
k0
a2
( k − k0 ) 2
4
−
a
⋅e
1
4
) ( 2π
= ) g (k
נירמול
1
a
∝ Δk
חבורת גלים גאוסינית:
⋅ eikx dk
a2
( k − k0 ) 2
4
−
∞
∫e
⋅
∞−
a
3
4
) ( 2π
= ) ψ ( x, t = 0
נפתח את האקספוננט:
⎧ a
⎛ a
⎞ 2ix
⎫ x2
2
⎬ ⎨− ( k − k0 ) + ikx = − ⎜ k − k0 − 2 ⎟ + ik0 x − 2
⎝ 4
⎠ a
⎭ a
⎩ 4
לכן,
2
2
⇒ dk
⎛ a2
⎞ 2ix
⎟ ⎜ k − k0 − 2
⎝4
⎠ a
−
x2
∞
∫e
⋅
∞−
a2
−
2
eik0 x e
a
3
4
) ( 2π
= ) ⇒ ψ ( x, 0
נגדיר את האינטגרל:
2
π
−α y + β
= e ( ) dy
α
∞
∫
∞−
ואם כן נקבל גאוסיאן ב: x
2 π
a
2
⋅
x
a2
−
⋅e
ik0 x
⋅e
a
3
4
) ( 2π
Δx ∝ a
- 21 -
= ) ⇒ ψ ( x, 0
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
Δx ∝ a
x0
רוחב של חבורת גלים:
f ( Δx ) 1
נגדיר:
=
)f ( 0
e
; Δx
x2
− 2
b
= . Δx
עבור f ( x ) = e bנקבל
2
נבדוק שהוא מקיים את התנאי שהגדרנו:
2
1
e
=
⎞ ⎛ Δx
⎟ ⎜−
⎠ ⎝ b
e
1
עקרון אי הודאות במקרה הזה:
a
⎧
= Δx
⎪
2
1
⎪
= ⇒ Δk ⋅ Δx
⎨
2
⎪Δk = 1 2 = 1
⎩⎪
a
2 a
נדון במקרה שבו הזמן איננו אפס - t ≠ 0התנהגות בזמן של חבורת גלים גאוסיאנית :
dk
) i( kx −ωt
∞
∫ g (k )e
∞−
1
= ) ψ ( x, t
2π
נניח ש ) g ( kממוקם מסביב ל k = k0 -לכן,
2
1
⎞2⎛d ω
⎞ ⎛ dω
k
k
+
−
( 0 ) ⎜ 2 ⎟ + ...
⎟
⎝ dk ⎠ k = k0 2
⎝ dk ⎠ k = k
⎜ ) ω ( k ) ≅ ω ( k0 ) + ( k − k 0
0
⎞ ⎡ ⎛ dω
⎤ 1
⎞2⎛d ω
⎜ ⇒ kx − ωt ≅ ( k0 x − ω ( k0 ) t ) + ( k − k0 ) ⎢ x −
⋅
⎥
−
−
⋅t
t
k
k
(
)
⎟⎜ 2
0
⎟
⎢⎣ ⎝ dk ⎠ k = k0 ⎥⎦ 2
⎝ dk ⎠ k = k0
dω
.
נגדיר g = k − k0ונזכיר ש = vg
dk
2
)**(
⋅t
k = k0
⎞ q 2 ⎛ d 2ω
⎜
⎟
⎠⎟ 2 ⎜⎝ dk 2
−i
∞
) 1 i( k0 x −ω ( k0 )t
) ( x −v t
e
g ( q + k0 ) eiq g e
∫
2π
∞−
- 22 -
≅ ) ⇒ ψ ( x, t
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
מקרה - 1נניח ש ) ω = ckגלים א"מ(:
d 2ω
מתקיים = 0 :
dk 2
⇒ ψ ( x, t ) = f x − v g t
ולכן נקבל,
(
)
)**(
d 2ω
מקרה -2נניח ש ≠ 0
dk 2
:
ניקח שוב חבורה גאוסינית ,כלומר,
a2
( k − k0 )2
4
−
⋅e
a
1
4
q2
) ( 2π
⇒ ) ⋅ e−i 2 β t ⋅ dq
= ) g ( kונגדיר:
k = k0
(
⋅e
iq x − vg t
a2 2
q
4
−
d 2ω
β ≡ 2ונחשב את :
dk
∞
∫e
∞−
על מנת לחשב זאת נפתח את המעלות האקספוננט קודם לכן,
⎞
a
q2
q2 ⎛ a2
≡ − q 2 + iq x − vg t − i β t = − ⎜ + i β t ⎟ + iq x − vgt
4
2
2 ⎝ 2
⎠
)
(
B
)
2
(
A
2
2
⎞ 2iB
A 2
⎛A
⎛⎡ A
⎤ ⎞B⎞ ⎛B
q + iBq = − ⎜ q 2 −
⎥ ⎟ ⎜ q ⎟ = − ⎢⎜ q − i ⎟ +
2
⎝2
⎝⎣⎢ 2
⎠ A
⎦⎥ ⎠ A ⎠ ⎝ A
2
π
Α
⋅
B2
2A
−
=e
2
⎛⎡ A
⎤ ⎞B
⎥ ⎟ − ⎢⎜ q −i
⎝⎣⎢ 2
⎦⎥ ⎠ A
≡−
∞ B2
−
2
e A
∫e
⇒
∞−
⎛
⎞
2
) ( x −vg t
⎟ ⎜ a
−
⎟ 1
⎜
⎛ a2
⎞
⎟ 2⎜ + i β t
⎟ ⎜ ( 2π ) 4
⎜ 2
⎟
) i ( k0 x −ω ( k0 )t
⎝
⎠
⎠
⎝ e
= ) ⇒ ψ ( x, t
⋅e
2
a
+ iβ t
2
והרוחב של הגאוסיאן הוא:
a
4 β 2t 2
1+
2
a4
- 23 -
= . Δx
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
גלי חומר – תכונות גליות של חלקיקים )דה ברולי :(1924
⎯← E
→ω
⎯← p
→k
p2
חלקיק בעל מסה mומהירות ) vתנע ( pואנרגיה קינטית
2m
= . Ek
מה יהיה אורך גל λmשל חלקיק?
h
h
=
mv
2mEk
=
h
p
= λm
⎫ h 2π
⎧
= ⎨ p= k
⎬
⎭ 2π λ
⎩
סדר גודל של : λm
דוגמא של חלקיק כלשהו:
⎧
⎤ 8⎡ m
⎥ ⎪v = 3 ⋅10 ⎢ sec
אורך גל של חלקיק בעל הנתונים⎣ ⎦ :
⎨
] ⎪ m = 10−9 [ gr
⎩
0
h
= 2 / 2 ⋅10−14 m = 2 / 2 ⋅10−4 A
mv
= λm
דוגמא של אלקטרון:
נתוני האלקטרון. Ek = 150 [ ev ] , me :
0
h
נחשב את אורך הגל דברולי= 1 A :
2me Ek
)פיזור אלקטרונים על גביש(
= . λm
דוגמא - 3ניסוי של : 1927, Davisson-Germer
מתח : V
p2
= Ek
= eV
2m
h
hc
12.25 0
= ⇒ λm
=
= ⇒ λm
A
2mev
V
2mc 2 eV
נוסחת
Davisson-Germer
גלי חומר – משוואת : Schrodinger
דוגמא -גלים א"מ:
) i kx −ωt
∂ 2ζ ∂ 2ζ
( ⎪⎧ζ ( x, t ) = Ae
=
⇔
⎨
dx 2 ∂t 2
w = ck
⎩⎪
- 24 -
c2
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
⎧ ∂ζ
∂⎧
⎪⎪ ∂t = −iωζ
⎪⎪ ∂x ↔ ik
⎨⇔
⎨
⎪ ∂ζ = ikζ
⎪ ∂ ↔ −iω
⎪⎩ ∂t
⎩⎪ ∂x
2
2
2
∂ 2ζ
⎞ ∂ ⎛1
⎞ ∂ 2 ⎛1
2 ∂ ζ
c
c
=
⇔
=
⎜ ⇔ ω = ck ⇔ ω = c k ⇔ ω ζ = c k ζ
ζ
ζ
⎟
⎜
⎟
∂t 2
∂x 2
⎠ ⎝ i ∂t
⎠ ⎝ i ∂x
למעשה שחזרנו את משוואת הגלים.
חלקיק :
2
p
1
k2
=⇔ ω
=E
= ( k )2 ⇔ ω
2m
2m
2m
2
2 2
2 2
2
דה ברולני
2
k
∂1
∂ ∂ψ −
∂ψ − 2 ∂ 2ψ
⎞ ∂ ⎛1
ψ ⇔−
=ψ
ψ
ψ
⇔
i
=
⇔
i
=
⎜
⎟
i ∂t
∂t 2m ∂x 2
∂t
2m
⎠ 2m ⎝ i ∂x
2m ∂x 2
2
2
משוואת שרדינגר
עבור חלקיק בעל אנרגיה קינטית
בלבד )חלקיק בודד
=
ω⋅ ψ
משהו
שמקיים
את
משוואת
הגלים
לסיכום:
2
2 2
∂ψ
∂ 2ψ
p2
k
=−
=⋅ 2 ⇔E
=⇔ ω
∂t
2m ∂x
2m
2m
i
גלי חומר
2
2 2
P
k
= +V ⇔ ω
עבור אנרגיה כוללת+ V :
2m
2m
פונקציה של . x
= ← Eזה נכון עבור המקרה שבו Vקבוע ואיננו
נקבל משוואת שרדינגר כוללת )עבור מקרה חד מימדי(:
2
∂ψ
∂ 2ψ
=−
⋅ 2 + V ( x )ψ
∂t
2m ∂x
הערה חשובה :כאן קיבלנו משוואה שבא Vיכול להיות תלוי ב – . xהסיבה לכך היא שניתן לפתח כל
פונקציה לסכום של גלים הרמוניים ועל כן ניתן לעשות את הכללה הזו.
i
המקרה של גלים א"ם:
∂ζ
∂ζ
משוואת הגלים מהצורה= c 2 2 :
2
∂t
∂x
∈ ) . ζ ( x, t
2
2
והפתרון הוא מהצורה ) ζ ( x, tחייב להיות ממשי כלומר
בשונה הפונקציה ) ψ ( x, tהשייכת למשוואת שרדינגר היא פונקציה מרוכבות,כלומר ,
פרוש פיסיקאלי של ) ψ ( x, tבגלי חומר:
לפונקציה ) , ψ ( x, tפונקצית גל של חלקיק ,נקרא אמליטודת ההסתברות.
2
הגדול ) ψ ( x, tהוא צפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק במיקום xבזמן . t
- 25 -
∈ ) . ψ ( x, t
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
נחזור על ניסוי יאנג:
S1
a
מקור של
אלקטרונים
S2
D
בפיסיקה הקלאסית אנו יכולים לדעת בוודאות מה הגלאי שאליו יגיע האלקטרון.
בפיסיקה הקוונטית אנו לא יודעים בוודאות איפה יפגע האלקטרון אלה רק את ההסתברות שהוא יפגע.
2
)בירוק זו תמונות הפגיעות כלומר ההתנהגות של ) ( ψ ( x, t
אם סוגרים חריץ אחד אנו נקבל שההסתברות לפגיעה בגלאים היא אחידה וזו התנהגות קלאסית) .קו כחול(
משוואת שרדינגר במקרה תלת מימדי:
) ,ψ ( r , t
2
∂ψ
=−
∇ 2ψ + V ( r )ψ
∂t
2m
i
עקרון אי הודאות של Heisenbergבמכניקה קוונטית:
ראינו שעקרון אי הודאות קשור לכל תופעה גלית וכאשר אנו בונים חוברת גלים שבנוי בטווח Δkשל
אורכי גל וקיבלנו את הקשר. Δk ⋅ Δx ≥ 2π :
נפרש את אי השוויון הזה בעולם הקוונטי.
⎧⎪ E = ω
⎨ ואם כן,
בעולם הקוונטי:
⎪⎩ p = k
Δk ⋅ Δx ≥ 2π ⇔ ΔpΔx ≥ 2π ⇔ ΔpΔx ≥ h
עקרון אי הודאות
בעולם הקוונטי
פירוש הדבר הוא ש Δpזהו רוחב החבורה של החלקיק )במרחב של תנע ,מהירויות( ו ) Δxמיקום החבורה(
רוחב חבורת החלקיקים.
על מנת לדעת באופן מדויק את מיקום החלקיק בנקודה אחת צריך תווך אינסופי של תנעים.
אם נרצה לדעת באופן מדויק את התנע של החלקיק אזי לא נדע את המיקום המדויק של התנע.
דוגמא-יציבות של אטומים במכניקה קוונטית:
אטום מימן:
)אלקטרון( e−
)פרוטון(
+
- 26 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
)מערכת זו איננה יציבה באופן קלאסי(
2
p
4π e
−
2m
r
2
= ) E ( r, p
in c. g .s
נסמן ב rאת אי הודאות במיקום האלקטרון וב pאת אי הודאות בתנע של האלקטרון אזי p ⋅ r ≥ h ⇔ ,
p 2 4π e 2
−
אי הודאות באנרגיהp ≥ Emin :
h
2m
≥⇔E
⎫⎧ h
⎬ ≥ ⎨r
⎭⎩ p
4π e2 m
h2
∂E
= ; r0
וזה מתקיים עבור
האנרגיה המינימאלית נתונה על ידי= 0 :
2
∂p
h
4π me
8π e 4 m
h2
=−
) ( r0 , p0
⇒ Emin
אנרגיה במצב יסוד
נקרא ל ≡ rרדיוס בוהר .
תכונות כלליות של אמפלידטות ההסתברות:
חלקיק בעל מסה , mפונקצית גל ) . ψ ( x, t
2
נגדיר את צפיפות ההסתברותψ ( x, t ) :
) . ρ ( x, t
.1שימור ההסתברות:
∂ψ
⎧
2
)(1
⎪⎪− 2m ∇ ψ + Vψ = i ∂t
⎨ 2
* ∂ψ
⎪−
Δ 2ψ * +Vψ * = −i
)( 2
∂t
⎩⎪ 2m
נכפול את משוואה ) (1ב * ψואת משוואה ) ( 2נכפול ב ψונחסר ביו המשואות ונקבל:
∂ψ
⎞ * ∂ψ
⎛
+ψ
* ⎜ψ
⇔⎟
∂t
⎠ ∂t
⎝
2
(ψ ⋅∇ ψ * −ψ * ⋅∇ ψ ) = i
2m
2
2
⇒ (1) ⋅ψ * − ( 2 ) ⋅ψ
∂
i
⇒ (ψ *ψ ) + ∇ ψ ⋅∇ψ * −ψ * ∇ψ = 0
∂t
2m
(
)
⇔
) = ρ ( r ,t
נגדיר את וקטור צפיפות זרם ההסתברות:
i
) J ( r, t
ψ ⋅∇ψ * −ψ * ∇ψ
2m
)
(
∂
ρ + ∇J ( r , t ) = 0
∂t
⇒
נראה את שימור ההסתברות:
2
∂
ψ ( r , t ) d 3r = 0
∫
∂t
∇Jd 3r = 0
r=0
⇒
∫
2
3
⎞
∂⎛
∫ ⎜⎝ ∂t ρ + ∇J ⎟⎠ d
) לא תלוי בזמן ( 1 = ∫ ψ ( r , t ) d 3r = const.
זהו תנאי חשוב מאוד ,תמיד לבדוק שפונקצית הגל שמקבלים מנורמלת.
כל פונקצית גל חייבת להיות מנורמלת.
- 27 -
= ⇐ p0
תומר לויתן: נכתב על ידי,מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק
(115203) 1 פיסיקה קוונטית
:תנועת מרכז המסה של חבורת גלים
2
ψ ( x, t ) =
ρ ( x, t )
:חלקיק קוונטי
צפיפות הסתברותית
∞
=
x
?
∫ x ⋅ ρ ( x, t ) dx = x0 + vg t : x הגדרת הממוצע של
−∞
הממוצע
של
x
:הוכחה של הקשר
x =
∫ x ⋅ψ ( x, t ) ⋅ψ * ( x, t ) dx
−∞
= ψ ( x ,t )
2
.חלקיק ≡ חבורת גלים
ψ ( x, t ) =
⇒ x =
1
i kx −ωt )
x ⋅ψ * ( x, t ) dx ⋅ ∫ g ( k ) e (
dk
∫
2π
⎧
⇒
⎨ xe
⎩
⇒
x =
אינטגרציה
בחלקים
⇒ x =
1
2π
1
2π
ikx
∞
∫ g (k )e
−∞
x =
1 ∂ ikx ⎫
=
e ⎬
i ∂k
⎭
i( kx −ωt )
dk
1
1 ∂ ikx
ψ * ( x, t ) dx ∫ e−iωt g ( k )
e dk
∫
i ∂k
2π
שים לב
( )
זה עדין
פונקציה
של
k
1
∂
ψ * ( x, t ) dx ∫ eikx i
g ( k ) ⋅ e−iωt dk =
∫
∂k
2π
(
∫ dx ∫ g * ( k ') e
− i ( k ' x −ω ' t )
)
dk ' ∫ eikxi
∂
g ( k ) ⋅ e−iωt dk
∂k
(
)
שים לב
זהו
k
שונה עכשיו יש לשים דגש על כך
: יש לנוx אינטגרל על
⎧⎪ 1 ∞ i( k −k ') x
⎧1 k = k '⎪⎫
e
dx = δ ( k − k ') = ⎨
⎨
⎬ ⇐ (**)
∫
⎩0 k ≠ k '⎪⎭
⎪⎩ 2π −∞
⎧ ∫ F ( k ') dk ' ∫ G ( k ) dk ⋅ δ ( k − k ' ) =⎫
⎪
⎪
⎨ = ∫ F ( k ) G ( k ) dk
⎬ ⇐ (***)
⎪ **
⎪
⎩( )
⎭
2 ∂ω
∂
∂g
g ( k ) e−iωt = i ∫ g * ( k ) dk + ∫ g ( k )
dk ⇒
⇒ x = ∫ g * ( k ) eiωt i
∂k
∂k
∂k
2
(***)
g *⋅ g = g
≡x
0
∂ω
≡
= v
g
∂k
(
)
Intermezzo:
∫ ψ ( x, t )
2
dx =
1
− i kx −ωt ) i ( k ' x −ω ' t )
dx ∫∫ g * ( k ) g ( k ') e (
e
dkdk ' =
∫
2π
2
= ∫∫ g * ( k ) g ( k ') δ ( k − k ') dkdk ' = ∫ g ( k ) dk
- 28 -
תומר לויתן: נכתב על ידי,מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק
∞
⇒
∫ ψ ( x, t )
2
(115203) 1 פיסיקה קוונטית
∞
dx =
−∞
2
∫ g ( k ) dk = 1
−∞
שיווין פרסוול
p = k ⇔ צפיפות ההסתברות למצוא חלקיק קוונטי עם תנעg ( k )
2
⇒ x ( t ) = x0 + vg t
:Ehrenfest משפט
? 1
d
x =
p
dt
m
∂ 2ψ
∂ψ
: משוואת שרדינגר
=i
2
2m ∂x
∂t
⎧
⎫
i
∂ 2ψ ∂ 2ψ *
x
ψ
*
⋅
⋅
−
⋅ x ⋅ψ ⎬ dx =
⎨
∫
2
2
2m ⎩
∂x
∂x
⎭
−
d
d
dψ
⎛ dψ *
x = ∫ x ⋅ψ * ( x, t ) ⋅ψ ( x, t ) dx = ∫ x ⋅ ⎜
⋅ψ + ψ * ⋅
dt
dt
dt
⎝ dt
=−
⎞
⎟dx =
⎠ שרדינגר
2
⋅
d x
i
1⎛
∂ψ
∂ψ ⎞
dx ⇒
dx ⎟
ψ*
== ⎜ −i ∫ψ *
∫
m
dt
m⎝
∂x
∂x ⎠
∂ψ ⎞
⎛
: ⎜ −i ∫ψ *
dx ⎟ = p וזאת על מנת להראות שלk כעת נחשב את
∂x ⎠
⎝
∞
k =
∫ k g (k )
2
dk ⇒
−∞
1
⎧
⎫
e −ikxψ ( x, 0 ) dx ⎬
⎨g (k ) =
∫
2π
⎩
⎭
⎡
⎤
⎢
⎥
∞
1
i( x − x ')
⎢
ψ * ( x ', 0 )ψ ( x, 0 ) ∫ ke
dk ⎥ dxdx ' ⇒
⇒ k =
⎥
2π ∫∫ ⎢
−∞
⎢
⎥
(****)
⎣
⎦
∫
ik x − x '
ke ( ) dk ⇐ (****)
ik x − x ')
=−1 ∂ e (
i ∂x
∞
⎡
ik x − x ') ⎤
⎥
−1 ∂ ⎢ 1 ∫ e (
⎥
i ∂x ⎢ 2π −∞
⎣
⎦
δ ( x − x ')
⇒ k =−
1
∂
1
∂
⎛
⎞
ψ * ( x ', 0 )ψ ( x, 0 ) (δ ( x − x ') ) dxdx ' = − ∫ψ * ( x ') ⎜ ∫ψ ( x ) δ ( x '− x ) dx ⎟ dx ' =
∫∫
∂x
∂x
i
i
⎝
⎠
=− ∫ ∂ψ δ ( x − x ')
∂x
=
∂ψ ( x, 0 )
∂ψ ( x, 0 )
1
1
ψ
−
⇒
=
x
x
x
dxdx
k
x
dx
ψ
δ
*
'
,
0
'
'
*
,
0
(
)
(
)
(
)
∂x
∂x
i ∫∫
i∫
- 29 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
נוסחת Ehrenfestעבור חלקיק קוונטי חופשי:
) ∂ψ ( x, 0
1
dx
) ψ * ( x, 0
∫
i
∂x
= k
= p
- pממוצע של התנע עבור חלקיק קוונטי חופשי.
נוסחת Ehrenfestעבורחלקיק בפונציאל : V
⎤
⇒ ⎥ dx
⎦
⎞ ∂ψ * ∂ψ
⎟+
∂t ∂x
⎠
∂ ⎛ ∂ψ
∂t
⎡
⎝⎜ ∫ ⎢⎣ψ * ∂x
?
d
dV
p =−
dt
dx
d
⎛d
⎞ ∂ψ
p = −i
dx ⎟ = −i
* ⎜ ∫ψ
⎠ ∂x
dt
⎝ dt
∂ 2ψ
∂ψ
נעשה שימוש במשוואת שרדינגר הכללית:
=i
2
2m ∂x
∂t
2
d
dV
∂V
p = − ∫ψ * ψ dx = − ∫ ψ ( x ) dx = −
⇒
dt
dx
∂x
2
. V ( x )ψ −
d
dV
p =−
dt
dx
תנע במכניקה קוונטית -הגדרה של אופרטור:
dk
) i( kx −ωt
∞
∫ g (k )e
∞−
1
= ) ψ ( x, t
2π
⎧
⎞ ∂
⎛
⎪ p = k = ∫ψ * ( x, t ) ⋅ ⎜ i ⋅ ∂x ⎟ψ ( x, t ) dx
⎝
⎠
⎪
⎨
≡p
⎪
⎪ x = ∫ψ * ⋅ x ⋅ψ dx
⎩
נגדיר את : p
∂
i ∂x
⋅
p
, pמגדיר אופרטור תנע.
מרחב/מערכת ) (Eשל פונקציות מנורמלות ) . ψ ( x, t
⎯⎯ E
→E
⎧
⎫
⎪
⎪
⎬ ) → p ⋅ψ ( x, t
⎯⎯ ) p : ⎨ψ ( x, t
⎪
⎪
⎭ ) ≡ϕ ( x,t
⎩
איך נוכל להגדיר פונקציה ) f ( pשל האופרטור . p
למשל. f ( p ) = p 2 :
⎞ ∂
⎛
f ( p ) = ∫ψ * ( x, t ) ⋅ f ⎜ ⋅ ⎟ ⋅ψ ( x, t ) dx
⎠ ⎝ i ∂x
p2
למשל,
2m
= - Ekזהו אופרטור אנרגיה קינטית.
- 30 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
אופרטור הרמיטי:
דרישה עבור אופרטור הרמיטי :ממוצע ) f ( pהוא ממשי בלבד.
∂
עבור תנע
i ∂x
⋅
⎤2
⇒ dx
⎥⎦
=: p
∂⎡
∞
∫ ⎣⎢ ∂x ψ
∞−
∈ ? p
⎞ ∂ ⎛ ⎡
⎤ ⎞ ∂
∂ψ
⎤ * ∂ψ
⎛
⎡
⎜ * p − p * = ∫ ⎢ψ
= dx
+ψ
⎟ψ −ψ ⎜ −
* ⎟ψ *⎥ dx = ∫ ⎢ψ
⎣ i
i
∂x
⎥⎦ ∂x
⎦ ⎠ ⎝ i ∂x
⎠ ⎣ ⎝ i ∂x
∈ p
) ) ∞( x → ∞ ) − ψ ( x → −
2
⇒
דרשית
נירמול
2
→⎯⎯⎯⎯ ψ
x →±∞ 0
2
(ψ
i
=* ⇒ p − p
משוואת Schrodingerואופרטור המילטוניאן:
2
∂ψ
∂2
=−
ψ + V ( x )ψ
∂t
2m ∂x 2
i
משואות שרדינגר
נכתוב את משוואת שרדינגר בעזרת אופרטורים:
2
∂ψ
⎞ ∂ ⎛ 1
=
⎜
⎟ ψ ( x, t ) + V ( x )ψ ( x, t ) ≡ Hψ
⎠ ∂t 2m ⎝ i ∂x
i
= p2
עבור Hהמוגדר על ידי:
2
p
)+V ( x
2m
=H
המילטוניאן
משוואת שרדינגר בכתיב אופרטורים:
∂
ψ = Hψ
∂t
)זוהי משוואה הרמיטית ,כלומר ערך התצפית שלה ממשי(
i
הצגות:
1 = ∫ψ * ( x, t ) ⋅ψ ( x, t ) dx = ∫ g * ( k ) ⋅ g ( k ) dk
) ( Parseval-Plancherel
תנע בממוצע:
⎞ ∂ ⎛
⎜ * k = p = ∫ψ
⎟ψ dx = ∫ g * ( k ) ⋅ ⋅ k ⋅ g ( k ) dk
⎠ ⎝ i ∂x
≡p
≡p
בהצגה של
k
בהצגה של
x
x = ∫ψ * ⋅ x ⋅ψ dx = ∫ g * ( k ) ⋅ ( ? ) ⋅ g ( k ) dk
אופרטור
מיקום
בהצגת
תנע
נחשב את אופרטור המיקום בהצגת תנע:
1
) − i kx −ωt ) i ( k ' x −ω ' t
( dx ∫ dk ∫ g * ( k ) g ( k ) e
e
⇒ ' dk
∫
2π
- 31 -
= x = ∫ψ * ⋅ x ⋅ψ dx
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
⎫ ⎧ i( k '− k ) x 1 ∂ i( k '− k ) x
e
=
⎨x ⋅ e
⎬
' i ∂k
⎩
⎭
∂ i ω −ω ')t 1
i k '− k x
( ⇒ x = −i ∫∫ g * ( k ) g ( k ') e
' e ( ) dx dkdk
∫
' 2π ∂k
(
)
)' =−δ ( k − k
∂
i ω −ω ' )t
( g ( k ') e
' δ ( k − k ') dkdk
' ∂k
) x = +i ∫∫ g * ( k
⇒
אינגרציה
בחלקים
}{∫ dk ∫ A ( k ) B ( k ') δ ( k − k ') dk ' = ∫ A ( k ) B ( k ) dk
∂
g ( k ) dk
∂l
∂
∂
=i
ועל כן אופרטור מיקום באמצעות תנע הוא:
. x=i
∂k
∂p
) ⇒ x = +i ∫ g * ( k
⎞ ⎛ δ
x = ∫ψ * ⋅ x ⋅ψ dx = ∫ g * ( k ) ⋅ ⎜ i
⎟ ⋅ g ( k ) dk
⎠ ⎝ δk
קומוטטור:
?
עבור אופרטוריםx ⋅ p = p ⋅ x :
[ x, p ] ≡ x ⋅ p − p ⋅ x
אם שני אופרטורים לא מתחלפים ,אזי יש בניהם את עיקרון אי הוודאות של הייזנברג.
אם הם מתחלפים ) ([,] = 0אזי ניתן למדוד את שניהם באופן מדויק.
⎡ ∂ψ
∂
⎤ ∂ψ
∂ ⎡
⎤
−ψ − x
x ψ − ( xψ ) ⎥ = ⎢ x
⇒ ⎥=− ψ
⎢
∂x
i
⎦ ∂x
i ⎣ ∂x
⎦ i ⎣ ∂x
= ∀ψ , [ x, p ]ψ = xpψ − pxψ
⇒ [ x, p ] = i
משוואת Schrodingerלא תלויה בזמן:
משוואת שרדינגר התלויה בזמן:
∂ψ
∂
=−
ψ + V ( x )ψ = Hψ
2m ∂x 2
∂t
נחפש פתרונות של משוואת שרדינגר:
) ψ ( x, t ) ≡ T ( t ) ⋅ ϕ ( x
2
2
i
נניח פתרונות מהצורה
נציב את הפתרון במשוואת שרדינגר:
dT
d ϕ
) T (t ) 2 + V ( x )T (t )ϕ ( x
=−
dt
2m
dx
2
עבור : ψ ( x, t ) ≠ 0
2
)i ϕ ( x
2
1 dT
1 d 2ϕ
=−
+V ( x) = E
T dt
2m ϕ dx 2
const
פונקציה התלויה במיקום בלבד
- 32 -
פונקציה
התלויה
בזמן בלבד
i
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
1 dT
⎧
i
=E
⎪
T dt
⎪
⎨ 2
1 d 2ϕ
⎪−
+V = E
⎪⎩ 2m ϕ dx 2
)(1
)( 2
)⇐ (1
Et
−i
dT
dT E
T
E
i
⇔ = ET
= dt ⇔ ln
= t ⇒ T (t ) = T ( 0) e
dt
T
i
T ( 0) i
)הערה :לקבוע Eיש יחידות של אנרגיה(
)⇐ ( 2
d 2ϕ
−
+ V ϕ = Eϕ
2m dx 2
2
משוואת שרדינגר הלא תלויה בזמן
באופן כללי )מקרה תלת מימדי( נקבל:
Δϕ + V ϕ = Eϕ ⇔ H ϕ = Eϕ
2
2m
−
משוואת שרדינגר הלא תלויה בזמן
עבור המקרה התלת מימדי
)שים לב!! Hהינו אופרטור לא ניתן לצמצם בקלות את ϕמכיוון שבצד אחד מופעל עליו האופרטור ( H
ערך עצמי של אופרטור הרמיטי:
)פונקציה עצמית(
עבור אופרטור : A
⎪⎧
⎪⎫
⎯⎯ E
→E
⎨A:
⎬
⎪⎭ ) → Af ( x ) = g ( x
⎯⎯ ) ⎩⎪ f ( x
דוגמא לאופרטור:
) Af ( x ) = 3 f ( x
דוגמא נוספת:
df
dx
= ) Af ( x
דוגמא נוספת:
3
Af ( x ) = xf ( x ) − x
אופרטור הוא ליניארי:
זה אומר שכל אופרטור מקיים את השוויון הבא:
) ⇒ A ( λ1 f1 ( x ) + λ2 f 2 ( x ) ) = λ1 Af1 ( x ) + λ2 Af 2 ( x
2
∈ ) ∀ ( f1 , f 2 ) , ∀ ( λ1 , λ2
עבור כל אופרטור ליניאריAf ( x ) = g ( x ) :
קיימת תת משפחה של פונקציות המקיימת. Af λ ( x ) = λ f λ ( x ) : fλ ( x ) :
לפונקציות ) f λ ( xקורים פונקציות עצמיות של Aול λ -קוראים ערך עצמי של . A
- 33 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
ערכים עצמיים ופונקציות עצמיות של אופרטור:
⎪⎧
⎪⎫
→E
⎯⎯ E
⎨A:
⎬
⎭⎪ ) → Aψ ( x ) = ϕ ( x
⎯⎯ ) ⎪⎩ψ ( x
הגדרת הלינאריות:
, ∀ (ϕ1 , ϕ 2 ) ∈ E , ∀ ( λ1 , λ2 ) ∈ 2
2
) A ( λ1ϕ1 ( x ) + λ2ϕ2 ( x ) ) = λ1 Aϕ1 ( x ) + λ2 Aϕ2 ( x
פונקציות עצמיות של : { fλ ( x )} A
) Af λ ( x ) = λ f λ ( x
- λערך עצמי של . A
} = {λספקטרום של A
דוגמא:
d
dθ
] θ ∈ [ 0, 2π
A=i
,
תחום
ההגדרה של
הפונקציה
) f λ (θ
) fλ ( θ
דרישה לפונקציות מחזוריות. f λ (θ + 2π ) = f λ (θ ) :
מה הספקטרום של ? A
d
f λ = λ f λ ⇔ Af λ = λ f λ
dθ
i
d ln f λ
= −iλ ⇒ ln f λ = −iλθ + const ⇒ f λ (θ ) = f ( 0 ) e−iλθ
dθ
f λ (θ + 2π ) = f λ (θ ) ⇒ eiλ 2π = 1 ⇒ λ = 0, ±1, ±2, ±.....
⇒
נתון
משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן-תזכורת:
∇ 2ψ + Vψ = Eψ ⇔ Hψ = Eψ
2
2m
−
ספקטרום של המילטוניאן עבור חלקיק בפוטנציאל אינסופי )חלקיק בתיבה(:
)V ( x
0≤ x≤a
x>a , x<0
⎧0
⎨ = )V ( x
∞⎩
x
הערה" :ספקטרום קלאסי" של Hהוא רציף.
למשוואת שרדינגר יש חשיבות רק בתחום. 0 < x < a :
2
d2
⇒−
⇒ ψ = Eψ
2m dx 2
+שני תנאי שפה) . ψ ( x = 0 ) = ψ ( x = a ) = 0 :פונקצית גל ) ψ ( xרציפה(
a
- 34 -
0
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
d 2ψ 2m
+ 2 Eψ = 0
dx 2
⇒
אפשרות ראשונה E = − E : E < 0 :
d 2ψ 2m
−
E ψ = 0 ⇒ ψ ( x ) = A cosh x + B sinh x
dx 2
נציב תנאי התחלה:
ψ ( x = 0) = 0 ⇒ A = 0
⎫
⎪
ψ ( x = a ) = 0 ⇒ B sinh a = 0 ⇒ B = 0 ⎬ ⇒ ψ ( x ) = 0
⎭⎪
≠0
a
) נירמול( 1 = ∫ ψ ( x ) dx :
2
0
אפשרות שנייה : E > 0
2m
E>0
2
≡
2
d 2ψ
+ k 2ψ = 0 ⇒ ψ ( x ) = A sin kx + B cos kx
2
dx
נתיב תנאי התחלה:
ψ (0) = 0 ⇒ B = 0
⎪⎫
⇒⎬
⎭⎪ψ ( x = a ) = 0 ⇒ A sin ka = 0 ⇒ sin ka = 0 ⇒ ka = nπ , n = 1, 2,...
הערה. ψ ( x ) = 0 ⇐ k = 0 ⇐ n = 0 :
⎧
⎞x
⎛
⎟ ⎪ψ n ( x ) = A sin ⎜ nπ a
⎝
⎠
⎪
⎨ ⇒
2
2
⎞ ⎛ nπ
= ⎪ E
n
⎜
⎟
⎩⎪
⎠ 2m ⎝ a
Aנתון על ידי נירמול של .ψ
הנירמול של ψהוא באופן כללי dx = 1
}
2
∞
)∫ ψ ( x
a
2
∞−
ואצלנו זה יהיה נכון גם בתחום. ∫ ψ ( x ) dx = 1 :
{
0
1 cos 2 x
a
2
⎞ ⎛ nπ x
2
= = A2 ⇒ A
⎟dx = sin x = −
2
2
2
a
⎠ ⎝ a
a
2
a
2
2
⎜ ∫ ψ ( x ) dx = 1 ⇒ 1 = A ∫ sin
- 35 -
0
0
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
)ψ n ( x
E3
E2
E1
x
a
x
a
a
2
2
)ψ n ( x
E3
E2
E1
a
2
ממוצע של התנע:
אצלנו ) :ממשי ψ = ψ * (ψ −
=0
n
⇒ p
⎞ ∂ ⎛
⎜ * = ∫ψ n
⎟ψ n dx
⎠ ⎝ i ∂x
∂
=p
i ∂x
1 d
a
ממשי × ∫ 2 dx ψ n ( x ) dx = i
2
0
ממשי
- 36 -
n
p
a
dψ
= = ∫ψ n ( x ) n dx
i 0
dx
i
n
p
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
ממוצע של האנרגיה:
⎫ ⎞ dψ n dψ n
⇒ ⎬ dx
⎟−
⎭ ⎠ dx dx
2 a
2 a
⎛ d2
⎞
⎛ ⎧d
dψ n
=
−
ψ
x
dx
(
)
⎟
) ⎨ ⎜ψ n ( x
∫
2 n
⎝ 2m 0 ⎩ dx
dx
⎝ dx
⎠
⎜ ) ∫ψ n ( x
2
2
= En
n
2
dψ n
⎞ ⎛πn
= dx = ...
⎜
⎟ ⇒ H
⎠ 2m ⎝ a
dx
2m 0
2 a
2m ∫0
=
n
p2
2m
=−
n
≡
n
⇒ H
עקרון הסופרפוזיציה:
⎧ 2 d 2ψ
= Eψ
⎪−
2
}* ∈ ⇒ {ψ n ( x ) , n
⎨ 2m dx
⎪ψ ( x = 0 ) = ψ ( x = a ) = 0
⎩
∞
מצב כללי של חלקיק בתיבה הוא סופרפוזיציה של גלים ) . ψ ( x ) = ∑ Anψ n ( x ) : ψ n ( x
n =1
? = : An
הגדרה של אנרגיה במצב : ψ
a
a
a
0
0
= = ∫ψ * ( x ) Hψ ( x ) dx = ∫ψ * ( x ) ∑ An Hψ ( x ) dx = ∑ An En ∫ψ * ( x )ψ n ( x ) dx
n
0
n
) = Enψ n ( x
a
ψ
H
∞ a
∞
0 m =1
n =1
= ∑ An En ∫ ∑ A *m ψ m ( x )ψ n ( x ) dx =∑ An Am * En ∫ψ m ( x )ψ n ( x ) dx
n,m
0
)**(
sin ( ( n − m ) π ) sin ( ( n + m ) π ) ⎧1 n = m
⎞ ⎛ π mx
−
⎨ =
= δ nm
⎜ ⎟ sin
= ⎟ dx
⎠ a ⎠ ⎝ a
)( n − m
)( n + m
⎩0 n ≠ m
⎞ π nx
a
⎛⎜ (**) ⇒ ∫ sin
a
⎝
2
0
δ
של קרוניקר
2
∞
= ∑ En An
n =1
ψ
⇒ H
סיכום עד לשלב זה -חלקיק קוונטי בתיבה:
2
⎞ ⎛ nπ
= . En
⎜
.1ספקטרום⎟ , n = 1, 2,3,... :
⎠ 2m ⎝ a
2
⎞ ⎛ π nx
⎜ sin
= ). ψ n ( x
.2פונקציות עצמיות⎟ :
a
⎠ ⎝ a
2
.3אנרגיה ממוצעת במצב זה= En :
.4פתרון כללי וסופרפוזיציה:
n
. H
∈ , An
∞
) , ψ ( x ) = ∑ Anψ n ( xסופרפוזיציה זו זה כמו חבורת
n =1
גלים.
⎫⎞ ⎛ π n
⎜ = ∑ An
⎬⎟
⎭⎠ ⎝ a
n =1
∞
ψ
- 37 -
⇒ p
πn
a
=
n
⎧
⎨ p
⎩
H
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
פירוש של המקדמים : An
∞
= ∑ An En
2
n =1
ψ
H
נרמול:
∞
a
n =1
0
∞
∞ a
m =1
0 n =1
dx = 1 ⇒ ∫ ∑ An *ψ n ( x ) ∑ Amψ m dx = ∑ An * Am ∫ψ n ( x )ψ m ( x ) dx = ∑ An = 1
2
n,m
=δ nm
2
∞
⎧
2
∑ An = 1
⎪
n =1
⎪
∞
⎪
⎪⎪ H ψ = ∑ En An
⎨⇒
n =1
אנרגיה ממוצעת עבור מצב ⎪
ψn
⎪
בעל הסתברות
⎪
2
An
⎪
ואנרגיה
En
⎩⎪
? An
) ψ ( x ) = ∑ Amψ m ( x ) ⇔ ψ n * ( x )ψ ( x ) = ∑ Amψ n * ( x )ψ m ( x
m
m
a
a
a
⇒ ∫ψ n ( x )ψ ( x ) dx = ∑ Am ∫ψ n ( x )ψ m ( x ) dx ⇒ An = ∫ψ n ( x )ψ ( x ) dx
0
0
m
δ nm
)הערה :אין צורך בצמוד } {ψ *nמכיוון שמקרה פרטי זה ( ψ n = Real
2
= Anהסתברות למצוא את החלקיק הקוונטי במצב ) ψ n ( xבעל אנרגיה . En
התפתחות בזמן של ) : ψ ( x
Ent
Ent
−i
−i
ψ n ( x) →ψ n ( x) e
∞
⇒ ψ ( x, t ) = ∑ Anψ n ( x ) e
n =1
הכללה של פעימות של גלים בעלי תדירויות
En
פתרון של בעיה במכניקה קוונטית" ,המתכון":
שלב – 1הגדרת הפוטנציאל ) ) . V ( xאם זו בעיה רב ממידית ) ( V ( r
שלב - 2ספקטרום ופונקציות עצמיות של ההמילטוניאן
oפתרון של משוואת : Schrodmger
2
d2
) ψ + V ( x )ψ = Eψ ( x
2m dx 2
+תנאי שפה ⇐ ) . ( En ,ψ n
−
- 38 -
0
2
a
)∫ ψ ( x
0
פיסיקה קוונטית (115203) 1
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
∈ , An
שלב -3מצב קוונטי כללי ,סופרפוזיציה:
) . ψ ( x ) = ∑ Anψ n ( x
n
2
- Anהסתברות למצוא מצב ) ψ n ( xכעל אנרגיה . En
שלב - 4
שלב – 5נירמול= 1 :
שלב - 6התפתחות בזמן:
2
∑ An
n
Et
−i n
)ψ n ( x, t ) = ψ n ( x ) eמצב עצמי ( ,
Ent
−i
. ψ ( x, t ) = ∑ Anψ n ( x ) e
n
מחסום פוטנציאל במימד אחד:
2
ψ " ( x ) + (V − E )ψ = 0
2m
עבורV ( x ) = V = const ,
px
−i
px
+ A− e
i
−
ψ ( x ) = A+ e
כאשרp 2 ≡ 2m ( E − V ) const : ( A+ , A− ) ,
.1
⇐ E −V > 0
∈: p
) ( px − Et
−i
x<0
) ( px − Et
i
+ A− e
x >0
⎯⎯←
⎯
p 2 < 0 ⇐ E − V < 0 .2
}
ψ ( x, t ) = A+ e
⎯⎯⎯
→
{
: p 2 = i 2 x02
x
t
−iE
x0
+
+ A− e
x
t
+ iE
x0
−
ψ ( x, t ) = A+ e
תנאי שפה של פונקצית גל:
)V ( x
VD
VG
ε
X
0
−ε
∞ = VG = 0 ,VD
רציפות של ) ψ ( xושל ) : ψ ' ( x
ε
∫ ( v ( x ) − E )ψ ( x ) dx
) - V ( xהיא פונקציה רציפה..
−ε
2m
2
כאשר ε → 0נקבל .ψ ' ( +ε ) −ψ ' ( −ε ) = 0
- 39 -
= ) ψ ' ( +ε ) −ψ ' ( −ε
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
החזרה על ידי מדרגת פוטנציאל:
x≤0
x>0
)V ( x
⎧0
⎨ = )V ( x
⎩V0
V0
1
'κ
x
0
)המסלול האדום מייצג את פונקצית החלקיק(
2mE
נגדיר וקטור גל
≡.k
2
מקרה ראשון: E < V0 -
נגדיר במקרה זה > 0 :
) 2m (V0 − E
≡'. κ
נראה את הפתרון של משוואת שרדינגר עבור . x > 0, x < 0
: x<0
ψ ( x ) = Beikx + Ae−ikx
במקדם , Bבערכו המוחלט מודד את ההסתברות למציאת חלקיק במינוס אינסוף ,ניתן אם כן לבחור את
הסתברות זו להיות , 1מכיוון שאנו מיצרים אותו במינוס אינסוף.
כלומרψ ( x < 0 ) = 1⋅ eikx + Ae−ikx :
) – Aתלוי במדרגת הפוטנציאל ,מראה לנו מה חוזר עקב המדרגה(
:x>0
ψ ( x > 0 ) = α eκ ' x + β e−κ ' x = β e−κ ' x
α =0
) נירמול (
) , α , βמתקבלים מתנאי התחלה .יש צורך בשמני מקדמים במקרה זה מכיוון שאנו בתוך מדרגת
הפוטנציאל ואנו לא יודעים מה קורה במצב זה(
- α = 0וזאת מכיוון שאם α ≠ 0הנרמול לא מתקיים אלה תהיה התבדרות.
2
- βנותן את ההסתברות למציאת החלקיק מתחת למדרגת הפוטנציאל.
כעת נחשב את הקבועים : A, β
רציפות של ψושל הנגזרת ' ψב: x = 0 -
דרישה לרציפות של הפונקציה(1) :
דרישה לרציפות הנגזרת( 2 ) :
)
(
)
(
ψ x = 0− = ψ x = 0+ ⇒ 1 + A = β
)
(
)
(
ψ ' x = 0− = ψ ' x = 0+ ⇒ ik (1 − A ) = −κ ' β
' k − iκ
⎧
=A
⎪⎪
' k + iκ
⎨ ⇒ ) (1) , ( 2
' ⎪ β = 1 + A = 1 + k − iκ
' k + iκ
⎪⎩
- 40 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
∞→m
∞→ V0
→⎯⎯⎯⎯
0
→0
התנהגות קלאסית
) 2m (V0 − E
=
1
'κ
⇒
בכל המקרים הללו
אין חדירה של החלקיק
לבור הפוטנציאל
מקרה : E > V0 - 2
)החלקיק מגיע עם אנרגיה גבוהה יותר ממדרגת הפוטנציאל(
נגדיר:
) 2m ( E − V0
2
='k
ועבור x < 0נקבל את הפתרון . ψ ( x < 0 ) = A+ eikx + A− e −ikx :
ועבור x > 0נקבל את הפתרוןψ ( x > 0 ) = β + eik ' x + β − e−ik ' x :
)V ( x
β+
Jt
Ji
Jr
β−
V0
x
0
נדרוש את רציפות הפונקציה ורציפות הנגזרת ונקבל:
⎧⎪ A+ + A− = β + + β −
⇒
⎨
) ⎪⎩k ( A+ − A− ) = k ' ( β + − β −
מקרה : 2 − a
⎧ A =1
ניתן לבחור:
⎨ +ואז נקבל שתי משוואות בשני נעלמים.
⎩β− = 0
⎧A = 0
באותה מידה ניתן לבחור:
.⎨ +
⎩β − = 1
'k −k
⎧
' ⎪⎪ A− = k + k
k (1 − A− ) = k ' β +
⇒
⎨ ⇒
1 + A− = β +
⎪ β = 2k
' ⎪⎩ + k + k
) A, βמתארים את האמפליטודות השונות(
צפיפות זרם ההסתברות:
)
⎧
* ⎪ J = 2im ψ * ⋅∇ψ −ψ ⋅∇ψ
⎨
⎪ρ = ψ 2
⎩
) (
המקרה הסטיונארי מתקיים+ div J = 0 :
(
=0
∂ρ
.
∂t
- 41 -
A+
A−
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
נחשב את צפיפויות הזרם: J i , J r , J t ,
k
⎞ ⎛ −ikx d ikx ikx d −ikx
e −e
=⎟ e
= ) ( ik + ik
⎜e
⎝ 2im
dx
dx
m
⎠ 2im
k
2
= J r = ...
A−
m
'k
2
β+
= J t = ...
m
ואכן מתקיים . J i = J r + J t ,
= Ji
מקדם החזרה :R
Jr
Ji
≡R
מקדם העברה : T
Jt
Ji
≡T
תמיד צריך להתקיים:
R + T = 1 ⇔ Ji = J r + Jt
כאשר במקרה שלנו:
2
'k
, T = β+
k
2
R = A−
אנחנו מצפים ש:
⎯⎯⎯ R
→0
→0
2
A−אנו לא מקבלים ש R → 0גם כאשר → 0
אבל אם ניקח את הביטוי שקיבלנו עבור
באופן קלאסי:
בנקודה x = 0קיים כוח והוא שווה ל ) . F = −V0δ ( x
V0
1 + e −α x
.
≡ )V ( x
⇒
V0
⎞ 2mE
→0
⎯⎯⎯ ⎟
α ⎟⎠ →0
⎛
⇒ R = exp ⎜⎜ −4π
⎝
- 42 -
⇒
∞→ α
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
חדירה דרך מחסום פוטנציאל – ):(Tunneling effect
)V ( x
V0
x
נגדיר> 0 :
) 2m (V0 − E
2
0
a
≡', κ
2mE
≡.k
2
נפריד למקרים ,מקרה ראשון : E < V0
⎧ eikx + Ae− ikx
x<0
⎪ −κ ' x
ψ ( x ) = ⎨ Be
+ Ceκ ' x 0 < x < a
⎪ ikx
x>a
⎩ De
)תמיד יש לכתוב את הסופר פוזיציה של שתי הפתרונות ולאחר מכן ניתן לזרוק איברים שניתנים לזריקה
אבל חשוב להסביר מדוע!!(
נדרוש רציפות ונקבל:
:x=0
⎪⎧1 + A = B + C
⎨
) ⎪⎩ik (1 − A ) = −κ ' ( B − C
:x=a
⎧⎪ Be−κ ' a + Ceκ ' a = Deika
⎨
κ 'a
−κ ' a
= ikDeika
⎪⎩κ ' Ce − Be
(
)
4ikκ ' e−ika
( k + iκ ')2 eκ ' a − ( k − iκ ')2 e−κ ' a
=⇒ D
כאשר : κ ' a 1
)נקבל גבול של אפקט טאנל(
e −2κ ' a
)הסיבה לדרישה 1
κ ' aהיא שכאשר
1
'κ
16k 2κ '2
)
2 2
' +κ
2
(k
2
⇒ D
aאז יש את אפשט המנהרה(
- 43 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
אוסילטור הרמוני במימד אחד:
באופן קלאסי:
m
k
הכוח באופן קלאסיF = −k ( x − x0 ) :
2
k
אנרגיה פוטנציאלית באופן קלאסי( x − x0 ) :
2
. V ( x ) = V0 +
ניתן לתאר כל דבר בפיזיקה הליניארית בעזרת אוסילטור הרמוני:
)V ( x
V0
x0
dV
נקודת שיווי משקל מוגדרת על ידי= 0 :
dx x= x
0
k
( x − x0 )2 + C ( x − x0 )3 + ...
2
k
c
V ( x ) ≅ V0 +
↑
Taylor
) x − x0 , x − x0קטן( .
k
( x − x0 )2
2
⇒ V ( x ) V0 +
קיבלנו פוטנציאל של אוסילטור הרמוני
מתוך פוטנציאל כללי
משוואות התנועה של אוסילטור הרמוני:
) mx = − k ( x − x0
אנרגיה כוללת של אוסילטור הרמוני:
1 2 1
mx + mω 2 x 2 > 0
2
2
k
עבור:
m
≡ . V0 = 0, x0 = 0, ω
- 44 -
=E
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
בעזרת האנרגיה נכתוב את ההמילטוניאן הקלאסי של אוסילטור הרמוני:
px 2 1
+ mω 2 x 2
=H
2m 2
כאשר. px = mx ,
התנע
כעת נעבור לאופן הקוונטי:
מהו ספקטרום האנרגיה הזו?
הפוטנציאל הוא מהצורה הבאה:
)V ( x
x
0
ניתן לראות שעבור ∞ → v → ∞ , xולכן נצפה לערכי אנרגיה בדידים.
משואת שרדינגר היא אם כן:
2
⎛
⎞
d2 1
+ mω 2 x 2 ⎟ψ = Eψ ⇔ Hψ = Eψ
⎜−
2
2
⎝ 2m dx
⎠
יחידות אנרגיה:
][ ω
יחידות אורך:
⎡
⎤
≡ ⎢a
⎥
⎦ mω
⎣
) – aהינו בעל יחידת אורך וזהו האורך האופייני של בעיית אוסילטור הרמוני(
פולינום הרמיט:
נגדיר את הגדלים על מנת לכתוב את משוואת שרדינגר בצורה נוחה יותר :
2E
x
≡ε
≡y
a
ω
1
)ψ ( x
a
≡ ) ,φ ( y
⎞ ⎛ 2 d2
) ⎜ y − 2 ⎟ φ ( y ) = εφ ( y
⎠ dy
⎝
H
זו בדיוק משוואת שרדינ גר
התרון של משוואה זו היא שהיא חסרת יחידות
משוואה זו נקראת פולינום הרמיט.
- 45 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
שיטת הפתרון האלגברי של פולינום הרמיט:
ראשית נגדיר את שני האופרטורים הבאים:
d
⎧
⎪ A ≡ − dy + y
⎪
⎨
⎪ B≡ d +y
⎩⎪
dy
⎡
⎤
⎞
⎛ d
⎞ ⎢⎛ d
⎞ ⎥ ⎛ d2
A ( Bφ ) = ⎜ − + y ⎟ ⎢⎜ + y ⎟ φ ⎥ = ⎜ − 2 + y 2 − 1⎟ φ
⎝ dy
⎠ ⎢⎝ dy
⎠ ⎥ ⎝ dy
⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
A
B
ניתן לראות שניתן לכתוב את ההימלטוניאן בצורה הבאה:
H φ = ( AB + 1) φ = εφ ⇒ H = AB + 1
וכמו ניתן לרשום:
2
⎛ d
⎞
BAφ = ⎜ − 2 + y 2 + 1⎟ φ
⎝ dy
⎠
⇒ H = BA − 1
מקרה ראשון :נניח ש ) (φ , εפתרון של משוואת שרדינגר:
⇔ H φ = εφ ⇔ ( BA − 1) φ = εφ ⇒ A ( BA − 1) φ = ε Aφ ⇔ ( ABA − A ) φ = ε Aφ ⇔ ( AB − 1)( Aφ ) = ε Aφ
נפעיל
את
A
( H − 2 ) Aφ = ε Aφ ⇔ H ( Aφ ) = (ε + 2 ) Aφ
⇔
}{H = AB +1
מה שקיבלנו זה שאם יש לנו פתרון אחד ,אנו יכולים לקבל את כל הפתרונות בעזרת פתרון זה ובעזרת
האופרטורים Aו . B
לסיכום :אם ) (φ , εפתרון אזי ) ( Aφ , ε + 2הוא גם כן פתרון.
)ניתן להפעיל את Aאינסוף פעמים ובכך לקבל את סולם הפתרונות(
מקרה שני :נניח ) (φ , εפתרון:
⇔ H φ = εφ ⇔ ( AB + 1) φ = εφ ⇒ B ( AB + 1) φ = ε Bφ ⇔ ( BAB + B ) φ = ε Bφ
נפעיל
את
B
⇔ ( BA + 1)( Bφ ) = ε Bφ ⇔ ( BA − 1)( Bφ ) = ( ε − 2 ) Bφ
קיבלנו סולם נוסף של פתרונות( Bφ , ε − 2 ) ,
≡H
מכיוון שזוהי משוואה מסדר שני ,הרי המרחב פרוס על ידי שני וקטורים בת"ל.
אנו מצאנו שני וקטורים בת"ל ואם כן קיבלנו את כל הפתרונות של הבעיה.
כעת יש עלינו להראות שהפתרון שהצענו ) (φ , εבאמת קיים.
- 46 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
מצב היסוד: (φ0 , ε 0 ) -
הפעלת Bמורידה
אותנו בסולם )כמובן ,שמצב
היסוד הוא הגבול התחתון
1
mω 2 x 2
2
= )V ( x
הפעלת Aמעלה
אותנו בסולם
ε0
x
0
)הערה( ε 0 ≥ 0 :
נאפיין את ε 0בעזרת : Bφ
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟ ⎜ ε − 2, Bφ
⎜
⎟
זהו מצב
⎜
⎟ פיסיקלי
⎟ ועל כן
⎜
חייב להיות
⎜
⎟ מנורמל
⎜
⎟ כלומר
⎠ Bφ ≠ 0
⎝
עבור מצב היסוד אנו יודעים ש ) φ0 ≠ 0זהו מצב פיסיקלי( .
Bφ0 = 0
כי אם
Bφ0 ≠ 0
אז זה היה
פתרון של משוואת
שרדינגר ואז המצב
ε 0 -2
הוא גם מצב עצמי וזה לא יכול להיות
לא יכול להיות מצב עצמי יותר נמוך
מתוך ההגדרה מצב יסוד הוא הנמוך ביותר
⎧⎪ Bφ = 0
ω
H φ0 = ε 0φ0 ⇔ ( AB + 1) φ− = ε 0φ0 ⇔ A ( Bφ0 ) = (ε 0 − 1) φ0 ⇒ ⎨ 0
= ⇒ ε 0 = 1 ⇒ E0
2
⎪⎩ φ0 ≠ 0
⎞1
⎛
⇒ En = ω ⎜ n + ⎟ , n = 0,1, 2,...
⎠2
⎝
}{(φ0 , ε 0 ) → ( Aφ , ε + 2 ) ⇒ ε1 = ε 0 + 2
- 47 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
פונקציות עצמיותφ0 :
על מנת למצוא את הע"ע יש לפתור את המשוואה:
⎛ d
⎞
Bφ0 = 0 ⇔ ⎜ + y ⎟ φ0 = 0
⎝ dy
⎠
נפתור את המשוואה:
x 2 mω
1
y2
−
dφ0
dφ
⎛
⋅ ⎞4 − 2
⎜ = ) = − yφ0 ⇒ 0 = − ydy ⇒ φ0 ( y ) = Ne 2 ⇒ ψ 0 ( x
⎟ Ne
φ0
dy
⎠ ⎝ mω
נרמול:
∞
∫ ψ 0 ( x ) dx = 1
∞−
)מתוך הנרמול אנו מקבלים את קבוע הנרמול ( N
mω x 2
2
1
⎛ mω ⎞ 4 −
⎜ = )⇒ψ 0 ( x
⎟ e
⎠ ⎝π
מצב היסוד של אוסילטור הרמוני
כאשר
ω
2
= E0
בעזרת הפעלת Aניתן למצוא את הפונקציה הבאה וכן עלה:
mω x 2
2
3
y2
−
⎛ d
⎞ −
1 ⎛ mω ⎞ 4
⎜ ψ 1 ( x ) = Aψ 0 ( x ) = ⎜ − + y ⎟ e 2 ⇒ ψ 1 ( x ) = 2 1
x
e
⋅
⋅
⎟
⎝
⎠
⎝ dy
⎠
4
π
)( y
n
y2
2 H
) (
−
e
1
2
d n − y2
e
dy n
−
2
)
!π 2 n
n
(
= )ψ n ( y
H n ( y ) = ( −1) e y
n
⎧ H0 ( y ) = 1
⎪
⎪ H1 ( y ) = 2 y
⎪
2
⎨ H2 ( y) = 4 y − 2
⎪.
⎪.
⎪.
⎩
- 48 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
עקרונות של מכניקה קוונטית-מבוא:
קצת היסטוריה:
De Broglie : 1922
) Heisenberg :1924תורת המטריצות(
) Dirac :1925מרחב וקטורי(
Schrodinger :1926
Hilbert & Von Newmann :1927
מרחב וקטורי של : Hilbert
תכונה עיקרית של פונקצית גל היא:
} סופי{ ∞ < d 3r
2
) ∫ ψ ( r, t
הגדרה של מרחב וקטורי : EH
דוגמא :עבור
3
( ),
3
2
= . EH
הצגות שונות של פונקצית הגל:
) r , ∇r ← ψ ( r , t
i
) i ∇ p , p ← ϕ ( p, t
ראינו שניתן להציג כל מצב קוונטי בשתי דרכים ,חשוב להבין שבעצם מספר ההצגות הוא אינסופי ואפשר
לעשות שימוש בהצגה הנוחה ביותר לנו.
מצב קוונטיψ ( t ) ∈ EH :
מכפלה סקאלרית ורוטציות של : Dirac
נניח שיש לנו שני וקטורים , ψ 1 , ψ 2 :אז ניתן להדיר מכפלה סקלרית שלהם ע"י :
EHהוא מרחב הרמיטי ועל כן בדרך כלל
אורך של ווקטור בריבוע ניתן על ידי:
>0
∈ . ψ1 ψ 2
2
= ψ
2
ψψ =ψ
דוגמא:
נתונים שני הוקטורים הבאים,
⎞ ⎛ u1
⎟ ⎜
⎟ ⎜ u2
.
∈ u = ⎜⎜ . ⎟⎟ , ui
⎟ ⎜.
⎟ ⎜
⎟ ⎜u
⎠⎝ n
;;
n
⎞ ⎛ v1
⎟ ⎜
⎟ ⎜ v2
.
∈ v = ⎜⎜ . ⎟⎟ , vi
⎟ ⎜.
⎟ ⎜
⎟ ⎜v
⎠⎝ n
v u = ∑ vi * ui
i =1
- 49 -
ψ1 ψ 2
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
⎞ ⎛ u1
⎟ ⎜
⎟ ⎜ u2
⎜. ⎟ n
מתכוןv u = ( v1 * v2 * ... vn *) ⎜ ⎟ = ∑ vi * ui :
⎜ . ⎟ i =1
) (1,n
⎟ ⎜.
⎟⎟ ⎜⎜
⎠ ⎝ un
)( n ,1
מכפלה סקלרית ב( ) -
3
2
:
ψ 2 ψ 1 = ∫ ψ 2 * ( r )ψ 1 * ( r ) dr = ∫ ϕ2 * ( p ) ϕ1 ( p ) dp
3
: Bra – Ket
דוגמא :מרחב Hillbertסופי,
⎞ ⎛ v1
⎟ ⎜
⎟ ⎜ v2
.
v = ⎜⎜ . ⎟⎟ ∈ EH
⎟ ⎜.
⎟ ⎜
⎟ ⎜v
⎠⎝ n
⎯⎯ EH
) → EH * ( dual
⎯⎯ v
)* → v ≡ ( v1 * v2 * ... vN
Bra
vv
bra|ket
) - braזה לא וקטור ; – Ketזה קטור(
) (
3
2
:
⎯⎯ ψ
→ψ
מכפלה סקלרית= φ ψ
אופרטורים:
⎯⎯ EH
→ EH
ˆ ψ
→A
⎯⎯ ψ
- 50 -
ˆ
A:
Ket
תומר לויתן: נכתב על ידי,מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק
(115203) 1 פיסיקה קוונטית
: מטריצה,הצגה של אופרטור בבסיס נתון
ˆ u = v ⇒
A
⎛
⎞
⎜ ∑ aij u j ⎟
⎜ j
⎟
⎜
⎟
⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎛ u ⎞ ⎜
⎟
a
u
1
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜∑ 2 j j ⎟
...
a
a
a
j
22
2n ⎟ u
⎜ 21
⎜ 2⎟ ⎜ .
⎟
.
.
.
. ⎟
⎜
⎜ . ⎟=⎜ .
⎟
⇒ .
.
.
. ⎟ .
⎜
⎜ . ⎟ ⎜,
⎟
.
.
. ⎟
⎜ .
⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜
a
u
⎜a
⎟
u
∑ ij j ⎟⎟
⎝ n1 an 2 ... ann ⎠ ⎝ n ⎠ ⎜ j
⎜
⎟
Aˆ
.
,
⎜
⎟
,
⎜
⎟
⎝
⎠
n
⎛ n
⎞
v Aˆ u = ∑ vi * ⎜ ∑ aij u j ⎟
⎜ j =1
⎟
i =1
⎝
⎠
(
)
aij = vi A u j
⎛ a11 a12 ... a1n ⎞
⎜
⎟
⎜ a21 a22 ... a2 n ⎟
⎞
(1, n ) ⎛ n
.
.
.
. ⎟
v Aˆ = ( v1*, v2 *,..., vn *) ⋅ ⎜ .
=
= ⎜ ∑ a j1v j *,...., ⎟
.
.
.
⎜
⎟ ( bra ) ⎜
⎟
⎝ j =1
⎠
.
.
. ⎟
⎜ .
⎜
⎟
⎜a
⎟
⎝ n1 an 2 ... ann ⎠
( n,n )
(
⎛ u1 ⎞
⎜ ⎟
u
n
n n
⎛
⎞⎜ 2 ⎟ n n
ˆ
v A u = ⎜ ..., ∑ a ji v j *,... ⎟ ⎜ .. ⎟ = ∑∑ a ji v j * ui = ∑∑ aij vi * u j = v Aˆ u
⎜ j =1
⎟ ⎜ ⎟ i =1 j =1
i =1 j =1
⎝
⎠ .
⎜ ⎟
⎜u ⎟
⎝ n⎠
)
(
⇒
( v Aˆ ) u
(
)
)
= v Aˆ u = v Aˆ u
. v וu בין המצביםAˆ אלמנט מטריצה של האופרטור: v Aˆ u
:ממוצע של אופרטורים
ψ ( t ) Aˆ ψ ( t ) = a ( t ) ψ
- 51 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
אופרטור הרמיטי – צמוד קומפלקסי:
ˆ , Aצמוד קומפלקסי † ˆ. A
(
)
* ψ 2 Aˆ † ψ 1 = ψ 2 Aˆ ψ 1
אופרטור הרמיטי מוגדר על ידי:
† ˆAˆ = A
משפט :ממוצע aשל אופרטור הרמיטי הוא ממשי בלבד
∈ . a
הרמיטי
A ψ )* = a * = ψ A ψ = a ⇒ a = a * , ∀ ψ
(ψ
=
Aˆ = Aˆ † ⇒ ψ A† ψ
לפי
הגדרה
כלומר ,עבור אופרטורים הרמטיים ניתן להוכיח שערך התצפית של אופרטור הרמיטי הוא תמיד ממשי.
דוגמא -1מרחב סופי Aˆ = ⎡⎣ Aij ⎤⎦ ,הרמיטי:
† ˆAij = A ji * ⇔ Aˆ = A
דוגמא -2אופרטור מיקום ˆ( ) , x
z
= . EH
?
† ˆxˆ = x
האם אופרטור
זה הרמיטי?
∀ ( ψ 1 , ψ 2 ) ∈ EH2
*
∞⎛
⎞
= = ( ψ 1 xˆ ψ 2 ) * = ⎜ ∫ ψ 1 * ( x ) ⋅ x ⋅ψ 2 ( x ) dx ⎟ = ∫ψ 1 ( x ) ⋅ x ⋅ψ 2 * ( x ) dx
⎜
⎟
∞⎝ −
⎠
= ∫ψ 2 * ( x ) ⋅ x ⋅ψ 1 ( x ) dx = ψ 2 xˆ ψ 1
לכן,
†
ˆψ 2 xˆ ψ 1 = ψ 2 xˆ ψ 1 , ∀ (ψ 1 ,ψ 2 ) ⇒ xˆ = x
†
כלומר xˆ ,אופרטור הרמיטי.
- 52 -
ψ 2 xˆ † ψ 1
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
דוגמא – 3אופרטור תנע
pˆ x
)במרחב ) (
= :( EH
z
?
ˆpˆ † = p
(
)
ניקח שני וקטורים כלשהם במרחב: ∀ ψ 1 , ψ 2 ∈ EH2 :
*
⎛
⎞
∞⎜
⎟
∞
⎜
⎛ ⎟
⎞ ⎛ d
⎞
⎞ ⎛d
⎜ ⋅ ) = ( ψ 1 pˆ ψ 2 ) * = ⎜ ∫ ψ 1 * ( x
= ⎟ ⋅ψ 2 ( x ) dx ⎟ = ⎜ − ⎟ ⋅ ∫ ψ 1 ( x ) ⎜ ⎟ψ 2 * ( x ) dx
⎠ ⎝ i dx
⎠ ⎝ dx
∞⎜ −
∞⎟ ⎝ i ⎠ −
ˆp
⎜
⎟
בהצגת מיקום
⎝
⎠
∞
) dψ 1 ( x
⎞ ⎛ d
⎜ ) dx = ∫ ψ 2 * ( x
⎟ψ 1 ( x ) dx = ψ 2 pˆ ψ 1
dx
i
dx
⎝
⎠
∞−
כלומר הראנו ש ˆ pאופרטור הרמיטי,
)
∞
)∫ ψ 2 *( x
(
∞−
† ˆψ 2 pˆ † ψ 1 = ψ 2 pˆ ψ 1 , ∀ ψ 1 , ψ 2 ∈ EH2 ⇒ pˆ = p
ערך עצמי ומצב עצמי של אופרטור:
נגדיר אופרטור ˆ. A
מצב ψ aהוא מצב עצמי של ˆ Aעבור ערך עצמי : aα
Aˆ ψ a = aα ψ a
עבור אופרטורים הרמיטיים ˆ: A
* = aα
)
*
(
= ψ a Aˆ † ψ a = ψ a Aˆ ψ a
† ˆAˆ = A
ψ a Aˆ ψ a
הרמיטי
לכן aα ⇐ aα = aα * ,הוא ממשי.
ˆ - Aהרמיטי במרחב : EH
)
(
⇒ , aα ≠ aβ
⎧⎪ Aˆ ψ a = aα ψ a
ˆ⎨
⎪⎩ A ψ b = aβ ψ b
⇒ ψb ψa = 0
הוכחה:
נגדיר:
) , ( aα ≠ aβ
⎧⎪ Aˆ ψ a = aα ψ a
ˆ⎨
⎪⎩ A ψ b = aβ ψ b
- 53 -
i
+
=
אינטגרציה
בחלקים
u=ψ 1
dψ
du = 1 dx
dx
* v =ψ 2
* dψ
dv = 2 dx
dx
ψ 2 pˆ † ψ 1
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
)
)
(
⇒ = aβ ψ a ψ b = ψ a Aˆ ψ b = aα ψ a ψ b
ψa ψb = 0
(
ψ a Aˆ ψ b = ψ a Aˆψ b
⇒ ⇒ ( aα − aβ ) ψ a ψ b = 0
aα ≠ aβ
משפט ספקטרלי:
בסיס של מרחב : Hilbert
דוגמא. EH = 2 ( ) :
חלקיק קוונטי בפוטנציאל של אוסילטור הרמוני ,פתרנו בעבר ומצאנו:
I
x2
e2
n
, n = 0,1, 2,....
} {φn ( x ) , n = 0,1, 2,...מגדיר בסיס של
) (
2
⎛ d ⎞ − x2
⎜ ⎟ e
⎠ ⎝ dx
.
φn ( x ) = cn
∞
∫ φn * ( x ) φm ( x ) dx = δ nm
) (
∞−
∈ )ψ ( x
2
∞
) ψ ( x ) = ∑ anφn ( x
n =0
∞
∫ φn ( x )ψ ( x ) dx
= an
∞−
באופן כללי נגדיר בסיס } { nשל : EH
נגדירm n = δ mn :
ולפי ההגדרה:
∞
∞
n =1
n =1
. ∀ ψ ∈ EH ; ψ = ∑ cn n ; ψ = ∑ cn * n ; cn = n ψ
2
∞
ψ ψ = ∑ cn
n =1
∞
∞
m =1
n =1
⇒ ψ = ∑ cn n ;; φ = ∑ bm n
∞
⇒ φ ψ = ∑ bn * cn
n =1
אופרטור היטל )פרוג'קטור( – נוסחת הסגירה:
∈ u v
( vψ )=( vψ ) u
v )ψ = u
נגדיר - Pˆn ≡ n n :פרוג'קטור.
עבור כל מצב ψשאפשר לפרוס בבסיס nמתקיים:
Iראה עמוד – 47פתרון של אוסילטור הרמוני
- 54 -
(u
,
∀ ψ ∈ EH
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
∞
ψ = ∑ cn n ⇒ Pˆn ψ = n ψ n = cn n
כלומר ,הפרוג'קטור מתיל את הוקטור ψלכיוון . n
תוכנה חשובה מאוד של הפרוג'קטור:
2
Pˆn = Pˆn
הוכחה:
n n ) = n ( n n ) n = n n = Pˆn
n =1
()
Pˆn 2 = ( n n
=1
נגדיר תת מרחב Eνהמוגדר על ידי }} : { n , n ∈ {ν
Pˆn
∑
} n ∈{ν
= Pˆν
כעת נראה את הפרוג'קטור כאשר : Eν = En
n =1
∞
∑n
n =1
∞
∞
n =1
n =1
⇒ Pˆν = ∑ Pˆn = 1 ⇔ Pˆ ∑ n n = 1
נוסחת הסגירה
פרוק ספקטרלי של אופרטור:
אופרטור הרמיטי. Aˆ † = Aˆ :
} - {aα , α = 1, 2,....ע"ע של ˆ. A
Aˆ α , r = a α , r
α
α
α
∈ α , rα , aαוקטור עצמי
לאותו ע"ע יכול להיות מצב שיש לו מספר של ו"ע )המקרה המנוון( ,כלומר rα = 1, 2,...., nα ,מתאר את
הניוון של המצבים . α , rα
α , rαעבור ⎧ a
עבור ( aα ≠ aβ ) ⎪⎨aα
∈ , aα
β , rβ
⎪⎩ β
β , rβ α , rα = δαβ δ rα rβ
משפט ספקטרלי:
המערכת }
{ α , rαשל מצבים עצמיים של אופרטור הרמיטי ˆ Aמגדירה בסיס של מרחב ) EHהילברט
כולו(.
פירוק ספקטרלי של אופרטור הרמיטי:
}
{ α , rבסיס של . EH
פרוג'קטור Pˆαמוגדר להיות:
α , rα
נוסחת הסגירה:
nα
∑ α , rα
rα =1
= Pˆα
∑ Pˆα = 1
α
- 55 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
עבור כל וקטור ∀ ϕ ∈ EH :
⎛
⎞
ˆˆ ˆ ϕ = a Pˆ ϕ ⇒ Aˆ = a P
Aˆ ϕ = Aˆ ⎜ ∑ Pˆα ϕ ⎟ = ∑ AP
∑αα
∑αα
α
α
α
⎝α
⎠ α
na
Aˆ = ∑ ∑ α , rα aα α , rα
α rα =1
נוסחת הפירוק הספקטרלי של אופרטור הרמיט
י
הדרך ללכסן מטריצה:
} {i
.1נגדיר בסיס:
של E Ηמזה מקבלים מטריצה עבור האופרטור ˆ. A
*⇓
} { α , rα
* המעבר מבסיס לבסיס מתבצע על ידי אופרטור Uאוניטרי ,אשר הגדרתו UU † = U †U
.2קבלת הע"ע : aαיש לנו אופרטור ˆ Aואנו מחפשים aαאשר מקיים. Aˆ α = aα α :
(
)
Aˆ α = aα α ⇔ Aˆ − aα 1 α = 0
נגדיר בסיס }
{ iשל EHונקבל מנוסחת הסגירה את המשוואהi = 1 :
∑i
.
i
)
(
j Aˆ − aα 1 i i α = 0 ⇔ ∑ A ji − aα δ ij α i = 0
i
∑
i
⇒ i α = 0
נכפול
ב
x j
קיבלנו מערכת אינסופית של משוואות אשר לכל אחת מהן יש פתרון.
על מנת לקבל פתרון עלינו לבדוק מתי detמתאפסת:
⇒ det Aˆ − a 1 = 0
)
.3
(
α
αi ≠ 0
⎛ a0
⎞
⎜
a1
⎟⎟ ) ( 0
⎜
⎜= ˆ ˆ
⎟
Uˆ −1 AU
...
⎜
⎟
an
)( 0
⎜
⎟
⎜
⎠⎟ ...
⎝
} Uˆ : { i } → { α , rα
ˆA
אופרטור אוניטרי:
ˆ - Uהוא אוניטרי בתנאי שהוא מקיים1 = UU † = U †U :
† ⇔ U −1 = U
משפט:
= ϕ ⇔ Uϕ Uϕ = ϕ ϕ
)במילים :אופרטור אוניטרי שומר על גודלו של הוקטור(
- 56 -
2
∀ ϕ ∈ EH , U ϕ
)∑ i
(
⇒ Aˆ − aα 1
i
תומר לויתן: נכתב על ידי,מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק
(115203) 1 פיסיקה קוונטית
:הוכחה
. 1 = UU † = U †U ,כלומר, הוא אוניטריU :בכיוון הראשון
ϕ ϕ = ϕ U †U ϕ = U ϕ U ϕ ⇔ ϕ
2
= Uϕ
2
∀ ( ϕ , χ ) ∈ EH2 , ∀λ ∈
:בכיוון השני
ϕ + λχ = ϕ + λ χ ⇒
⇒ ϕ + λχ ϕ + λχ = U (ϕ + λχ ) U (ϕ + λχ ) ⇔
⇔ ϕϕ + λ
2
χ χ + 2 Re ( λ ϕ χ ) = U ϕ U ϕ + λ
⇒ Re ( λ ϕ χ
Re ( ϕ χ
Re ( i ϕ χ
) = Re ( λ
2
U χ U χ + 2 Re ( λ U ϕ U χ
Uϕ U χ
)
:λ =1
) = Re ( Uϕ U χ )
) = Re ( i U ϕ U χ ) ⇔ Im ( ϕ
)
χ ) = Im ( U ϕ U χ
)
:λ = i
ϕ χ = U ϕ U χ ⇔ ϕ U †U χ = ϕ χ , ∀ ϕ , χ , U †U = 1
{n
, n = 0,1, 2,....}
:עבור אוסילטור הרמוני מתקיים
⎛ 0
⎞
1
⎜
⎟
2 (0)
⎜ 1 0
⎟
⎜
⎟
xˆ =
2
.
3
⎜
⎟
2mω
⎜
( 0 ) 3 . ... ⎟⎟
⎜
⎜
... 0 ⎟⎠
⎝
⎛ 0
⎞
1
⎜
⎟
0
2 ( 0)
⎜− 1
⎟
mω ⎜
⎟
pˆ = −i
.
3
− 2
⎟
2 ⎜
⎜
( 0 ) − 3 . ... ⎟⎟
⎜
⎜
... 0 ⎟⎠
⎝
- 57 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
עקרונות של מכניקה קוונטית:
עקרון ראשון -עקרון הסופרפוזיציה:
מערכת קוונטית" :חלקיק" )"אטום"(,כדי לתאר את כל המצב של "חלקיק" קוונטי צריך ראשית להגדיר
את מרחב EH , Hilbertעם בסיס } . { ψ i
כל מצב אפשרי ,מצב , ψשל חלקיק קוונטי נתון על ידי הסופרפוזיציה:
. ψ = ∑ ci ψ i
, ci = ψ i ψ
i
=1
2
∑ ci
i
ψהוא מנורמל
ה"חלקיק" יכול להיות בכל סופרפוזיציה של מצבים עצמים היא גם מצב פיסקלי של המערכת.
פאזה:
∈ ) , ϕ ( xנתאר את פונקצית הגל בעזרת פונקציה זו.
מבחינה קוונטית ,המצב ) ϕ ( xוהמצב ) ∈ eiδ ϕ ( x ) (δהם דומים מבחינה קוונטית וזאת משום שאנו
יכולים למדוד רק את הערך המוחלט בריבוע ומבחינה זו הם יתנו אותו הדבר.
כלומר,המצב ψ ∈ EHוהמצב הזה eiδ ψהם אותו הדבר מבחינה קוונטית .
2
2
eiδ ci = ci
⇒
רק לערך
המוחלט יש
חשיבות פיזיקאלית
ψ = ∑ ci ψ i , eiδ ψ = ∑ eiδ ci ψ i
i
i
שים לב ,המצב הבא שונה:
ניקח שני מצבים ψ 1 , ψ 2ועל פי עקרון הסופרפוזיציה גם המצב הבא מגדיר את המערכת
. ψ = ψ1 + ψ 2
נגדיר שני מצבים חדשים ψ 2
iδ 2
ψ1 , e
iδ1
) eבעצם המצבים החדשים דומים למצבים הקודמים( כעת
נקבל את המצב שהוא הסופר פוזיציה של המצביםψ 2 :
iδ 2
ψ1 + e
iδ1
, ψ ' = eאבל ) ψ ' ≠ ψאין
פאזה אבסולוטית למערכת( .
אי אפשר למדוד פאזה אבסולוטית אבל ניתן למדוד פאזה יחסית.
עקרון שני-עקרון המדידה:
.1לכל גודל פיסקלי מוגדר אופרטור הרמיטי ˆ. A
: ∀ ψ ∈ EH .2התוצאות היחידות של מדידה של ˆ , Aהן ערכיים עצמיים . aα
.3מיד אחרי המדידה של ˆ Aבהסתברות ) P ( aαהמצב הקוונטי הוא ψ α ≡ Pˆα ψ
⎧
⎫
nα
⎪⎪
⎪⎪
⎬ . ⎨ Pˆα ≡ ∑ α , rα α , rα
rα =1
⎪
⎪
⎩⎪
⎭⎪
פרוזקטור
אין זמן אופיני .מטילים את המצב ψלתת מרחב שמתאים למצב האפשרי . aα
2
P ( aα ) = ψ a ψ α = ψ α
ψα
ψα
- 58 -
≡ 'ψ
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
.4ערך ממוצע של גודל פיזיקאלי . a = ∑ aα p ( aα ) : a
α
ψ Pˆα Pˆα ψ = ψ Pˆα ψ
= ψα ψα
=
2
P ( aα ) = ψ α
ψ α ≡ Pˆα ψ
לכן,
⇒ ψ Aˆ ψ
=
פירוק
ספקטרלי
של ˆ
A
aα Pˆα ψ
∑
α
a = ∑ aα ψ Pˆα ψ = ψ
α
ˆ∑ aα Pˆα = A
α
= ψ Aˆ ψ
ψ
⇒ a
עקרון שלישי-התפתחות בזמן של מצב קוונטי:
עבור מצב ) ψ ( tהנתון בזמן , tהתפתחות בזמן היא דטרמיניסטית ונתונה על ידי
משוואת : Schrodinger
) = Hˆ ψ ( t
) d ψ (t
dt
i
ˆ
iHt
⇔ ψ ( t ) = Uˆ ( t ) ψ ( t = 0 ) , Uˆ ( t ) = e
הערה :אין אופרטור זמן ,אופרטור זה משהו הסתברותי ואין דבר כזה בזמן.
שימור נירמול בזמןψ ( t ) = 1 :
⎧ d
ˆ
)(1
⎪⎪i dt ψ = H ψ
⎨
ˆ⎪−i d ψ = ψ Hˆ † = ψ H
)( 2
⎩⎪
dt
נכפול את ) (1ב x ψואת ) ( 2נכפול ב . x ψ
) : (1) − ( 2
⇐ לכן ψנשמר בזמן.
⎛
dψ
dψ
⎞
d
⇒i ⎜ ψ
+
ψ ⎟=0⇔ ψ ψ =0
dt
dt
dt
⎝
⎠
תלות בזמן של מצב ) : ψ ( t
) בסיס של ( ψ α , Eα ) : EHספקטרום של ˆ( H
Hˆ ψ α = Eα ψ α
בזמן : t = 0
) , cα = ψ α ψ ( t = 0
ψ ( t = 0 ) = ∑ cα ψ α
α
בזמן tכלשהו:
ψ ( t ) = ∑ λα ( t ) ψ α
α
) d λ (t
d λα
i ∑ α
ψ α = ∑ λα ( t ) Eα ψ α ⇔ i
) = Eα λα ( t
dt
dt
α
α
- 59 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
⇒
Eα t
−i
= cα e
Eα t
−i
⇒ λα ( t ) = λα ( t = 0 ) e
= cα
ψα
Eα t
−i
⇒ ψ ( t ) = ∑ cα e
α
פעימות -סופרפוזיציה של אוסילציה
בתדיריות שונות
מבנה של מרחב : Hilbert
דוגמא-חלקיק קוונטי במקרה אחד ממדי +פוטנציאל הרמוני
מרחב ( ) -Hilbert
2
.
הבסיס נתון על ידי פונקציות. {φn ( x ) , n ∈ N } :
נרצה לפתור חלקיק קוונטי בבור פוטנציאל הרמוני דו ממדי.
φ ( x ) = ∑ cnφn ( x ) ⇔ φ = ∑ cn φn
n
n
במקרה החד ממדי
) ⇒ φ ( x, y ) = ∑ cn , mφn ( x ) φm ( x
n,m
דו ממדי
⎪⎫
הדבר המאפין אופרטור הרמוני זה גודל האנרגיה ω1ואורך ω1 ⎬ : a1
מרחב ( ) : Hilbert
2
⎭⎪
והבסיס שפורס את המרחב הדו ממדי הוא:
⎪⎫
⎬
⎭⎪
;;;;
⎪⎧
= ⎨a1
mω1
⎩⎪
⎞ ⎧⎪ ⎛ x ⎞ ⎛ y
∈ ⎨φn ⎜ ⎟ φm ⎜ ⎟ , n ∈ , m
⎠ ⎪⎩ ⎝ a1 ⎠ ⎝ a2
בסיס של המחרב הדו ממדי במקרה זה
מכפלה טנזוריאלית של מרחבי : Hilbert
) ( ⊗) ( = ) (
2
2
ועבור וקטור( ) ,
2
2
2
2
∈ φנקבל:
φ = ∑ cn ,m φn ⊗ φm
n,m
באופן כללי עבור שני מרחבי E :Hilbertו F-נקבל מרחב שלישי בצורה הבאה.:
⎪⎫} EH : { em
⎬ ⇒ GH = EH ⊗ FH
⎭⎪ } FH : { f n
מרחב
Hilbert
חדש
∀ ψ ∈ GH , ψ = ∑ cn ,m em ⊗ f n
n ,m
) ) ⊗ 2 (θ ) ⊗ 2 (ϕ
+
(
2
=
) ( ⊗) ( ⊗) ( = ) (
3
) ( x , y , z )→( r ,θ ,ϕ
2
לכל דרגת חופש ,יש מרחב . E = E1 ⊗ E2 ⊗ ... ⊗ EN ⇐ Hilbert
- 60 -
2
2
2
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
תכונות של מכפלה טנזוריאלית:
.1מימד של EHהוא , N Eמימד של FHהוא N Fאז המימד של GH = EH ⊗ FHהוא N G = N E ⋅ N F
.2הגדרהu, v = u v ≡ u ⊗ v :
.3מכפלה סקלרית:
⎪⎧ ψ = u ⊗ v
⎨
' ⎪⎩ χ = u ' ⊗ v
χ ψ = u' u ⋅ v' v
}* χ = χ ψ
⇒
{ψ
.4אופרטורים:
מרחב המוגדר GH = EH ⊗ FH ,במרחב זה ניתן להגדיר את האופרטורים.
אופרטור
EH → Aˆ EH
FH → Bˆ FH
⇒ Cˆ GH = Aˆ EH ⊗ Bˆ FH
אופרטור
של
GH
) ) ( u ⊗ v ) = ( Aˆ u ) ⊗ ( Bˆ v
F
E
⊗ Bˆ FH
ˆ( A
EH
∀Aˆ E → Aˆ E ⊗ Ι F
∀Bˆ F → Ι F ⊗ Bˆ F
) - Ιמטריצת היחידה(
דוגמא -מערכת של שני חלקיקים לאורך ציר : x
pˆ1 1
) ( + m1ω1 xˆ12 : 2
2m1 2
ˆp
1
) ( H 2 = 2 + m2ω2 xˆ22 : 2
2m2 2
אלו שני חלקיק שני בורות שונים ושתי מסות שונות.
2
ˆP
Pˆ 2 1
) H = H1 ⊗ Ι 2 + Ι1 ⊗ H 2 = 1 + 2 + ( m1ω1 xˆ12 + m2ω2 xˆ22
2m1 2m2 2
= H1
⎞1
⎞1
⎛
⎛
⎟ En1 ,n2 = ω 1 ⎜ n1 + ⎟ + ω2 ⎜ n2 +
⎠2
⎠2
⎝
⎝
כמה מילים בקשר למדידה במכניקה קוונטית:
.1ראינו)עמוד (57שאם יש לנו מערכת קוונטית מבודדת,ההתפתחות בזמן היא דטרמיניסטית ונתונה על
d
.i
ידי משוואת שרדינרψ ( t ) = Hˆ ψ :
dt
⎯⎯⎯ ) , ψ ( tעצם קיומה של המדידה זה שאנו משנים באופן בלתי
.2מדידה→ Pˆα ψ ( t ) ≡ ψ α :
מדידה
ˆ →a
A
α
הפיך את המצב ) . ψ ( t
.3מערכת קוונטית זה למעשה "חלקיק"/אטום ונקרא למערכת זו ' .'Sלהגיד שאני מודד את האטום זה
להגיד שיש בנוסף עליו מכשיר נוסף שגם היא בעצם מערכת קוונטית).מכשיר מדידה= גלאי( 'D',
- 61 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
נגדיר אם כן מערכת מבודדת חדשה, D + Atom :למערכת מבודדת זו יש המילטוניאן .
ED ⊗ Eatom
סיכום:
ψ ( t ) : Sללא מדידה ,התפתחות דטרמיניסטית בזמן לפי משוואת שרדינגר:
d
) ψ ( t ) = Hˆ ψ ( t
dt
i
מדידה ψ α ≡ Pˆα ψ ( t ) ← ψ ( t ) ,של ˆ. ψ ( t ) = ∑ cα ( t ) ψ α : ( aα ) A
α
מערכת מבודדת " S + D " :ההתפתחות דטרמיניסטית לפי ⇐ H = H S + H D + H Interaction :Hסתירה!
Jhon Van Newmann:
מערכת " : "S+Dמרחב . S ⊗ D Hilbert
} {α
:t = 0
גלאי במצב קוונטי:
מדידה:
. D0
α ⊗ D0 → α ⊗ Dα
' α ' ⊗ D0 → α ' ⊗ Dα
דוגמא של גלאי – מדידת מיקום של אטום:
⎫
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬ ○ ⎨○ ,
⎪
⎪
אור
אור
דולק ⎩⎪
⎪ כבוי
⎭
אור דולק= עובר אטום בגלאי.
נדרוש) ○ ○ = 0 :כל פעם תיתן רק אופציה אחת(
⎧
○ ⊗ ' → ψ1
⎯⎯ ○ ⊗ ⎪ ψ 1
אטום ⎪
⎨
⎯⎯ ○ ⊗ ⎪ ψ
○ ⊗ ' → ψ2
⎪⎩ 2
גישת הסופרפוזיציה תיתן לנו:
○ ⊗ ' ψ1 ' ⊗ ○ + ψ 2
נדון בשתי גישות של מדידה:
נתאר גישה אחת של . ( S ⊗ D ) S + D
:t = 0
ψ s = ∑ cα α
α
⎛
⎞
⎜ ∑ cα α ⎟ ⊗ D0 → ∑ cα α ⊗ Dα
α
⎝ α
⎠
- 62 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
גישה שנייה :נעשה מדידה ,כלומר נתייחס ל Dכגלאי ולא כחלק מהמערכת.
⎧
2
⎪
⎪ α ⊗ Dα , Cα
2
⎪
cα α ⊗ D0 → ⎨ α ' ⊗ Dα ' , C 'α
∑
α
⎪
.
⎪
.
.
⎪
⎩
יחסי חילוף של גדלים פיסיקליים:
.1הוכחה כללית של עיקרון אי הודאות של . Heisenberg
.2הוכחה של מפשט Ehrenfestוהגבול בים מכניקה קוונטית למכניקה קלאסית.
.3מושג של מערכת שלמה של אופרטור הרמטיים.
⎞ d
⎛
= ⎣⎡ yˆ , pˆ y ⎦⎤ = i , [ xˆ , pˆ x ] = i , ⎜ pˆ xו . [ zˆ, pˆ z ] = i
2אופרטורים xˆ :ו ⎟ pˆ x
⎠ i dx
⎝
תנע זוויתי באופן קלאסי. L = r × P :
באופן קוונטי:
ˆ
ˆ - L = Lˆ , Lˆ , Lאופרטור קוונטי.
)
z
y
x
(
אופרטור
קוונטי
∂ ⎛
⎞ ∂
⎟ ) Lˆz = ⎜ x − yבאופן דומה ניתן לקבל את ( Lˆx , Lˆ y
i ⎝ ∂y
⎠ ∂x
⎡ Lˆx , Lˆ y ⎤ = i Lˆz ⇔ Lˆ × Lˆ = i Lˆ , Lˆ = Lˆx , Lˆ y , Lˆz
⎣
⎦
)
(
עקרון אי הודאות : Heisenberg
ניקח 2גדלים פיסיקליים) Aˆ , Bˆ :הרמיטים(.
ψמצב קוונטי כלשהו שמתאר את המערכת .
a = ψ Aˆ ψ
b = ψ Bˆ ψ
2
2
)
−
a
(
= ψ Aˆ ψ
2
a2
≡
2
) ( Δa
= ψ Aˆ 2 ψ
≡ b2 − b
2
) ( Δb
נגדיר את האופרטורים החדשים ' ˆ: Aˆ ', B
Aˆ ' ≡ Aˆ − a
Bˆ ' ≡ Bˆ − b
⎧⎪( Δa )2 = ψ Aˆ '2 ψ
⎨⇒
2
2
⎪⎩( Δb ) = ψ Bˆ ' ψ
נגדיר. λ ∈ , ψ ∈ EH :
≥0
2
( Aˆ '+ iλ Bˆ ') ψ
- 63 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
()
)
(
= ψ Aˆ '− iλ Bˆ ' Aˆ '+ iλ Bˆ ' ψ
=
A, B
הרמטיים
2
( Aˆ '+ iλ Bˆ ') ψ
≤0
2
= ψ Aˆ '2 ψ + λ 2 ψ Bˆ '2 ψ + iλ ψ ⎡⎣ Aˆ ', Bˆ '⎤⎦ ψ = ( Δa ) + λ 2 ( Δb 2 ) + iλ ψ ⎡⎣ Aˆ ', Bˆ '⎤⎦ ψ
ניתן להתייחס כאל פולינום מסדר שני של : λ
≤0
2
) ) − 4 ( Δa ) ( Δ b
2
2
1
ψ ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ ψ
2
(
− ψ ⎡⎣ Aˆ ', Bˆ '⎤⎦ ψ
≥ ⇒ ( Δa )ψ ⋅ ( Δb )ψ
תמיד תלוי במצב בו אנו עובדים
}⎦⎤ ˆ{⎡⎣ Aˆ ', Bˆ '⎤⎦ = ⎡⎣ Aˆ , B
דוגמא:
ˆ⎧⎪ Aˆ = x
⇒ [ xˆ , pˆ x ] = i
⎨
⎪⎩ Bˆ = pˆ x
1
≥ ⇒ Δx ⋅ Δpx
2
- 64 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
משפט : Ehrenfest
נגדיר גודל פיסיקלי על ידי אופרטור ˆ. A
נרצה לדעת מה ההתפתחות בזמן של הממוצע . a = ψ Aˆ ψ
) (
d
⎛d
⎞
⎞ ˆ ⎛d
⎛d
⎞
⎜ a ) = ⎜ ( ψ ) ⎟ Aˆ ψ + ψ
⇒ ⎟ A ⎟ ψ + ψ Aˆ ⎜ ψ
(
dt
⎝ dt
⎠
⎝ dt
⎠
⎝ dt
⎠
משוואת שרדינגר של ה bra
⎧
⎪ d
⎪⎪i dt ψ = H ψ
⎨ ⇔ משוואת שרדינגר
⎪−i d ψ = ψ H
⎪
dt
משוואת שרדינגר של ה ⎪⎩ ket
1
d
ˆ∂A
ψ
⇒
a ) = ψ ⎡⎣ Aˆ , Hˆ ⎤⎦ ψ + ψ
(
∂t
dt
i
נוסחת Ehrenfest
ˆ∂A
באופן כללי ˆ Aלא תלוי בזמן ,לכן = 0
∂t
.
d
( a ) = ψ ⎡⎣ Aˆ , Hˆ ⎤⎦ ψ
dt
i
צורה יפה יותר של נוסחת Ehrenfest
גודל פיסיקלי הוא קבוע בזמן בתנאי A) ⎣⎡ Aˆ , Hˆ ⎦⎤ = 0ו Hמתחלפים( ,במקרה זה נקרא ל ˆ Aקבוע של
d
.
התנועה ומתקיים( a ) = 0 :
dt
דוגמא -חלקיק קוונטי בפוטנציאל ) : V ( r
נגדיר שני אופרטורים:
⎧
ˆ⎪qˆi : xˆ , yˆ , z
⎪
qˆ1 qˆ qˆ3
2
⎨
⎪ pˆ i : pˆ x , pˆ y , pˆ z
⎪
מחלפים בתוכם
⎩
⎡⎣ qˆi , qˆ j ⎤⎦ = ⎡⎣ pˆ i , pˆ j ⎤⎦ = 0
מחלפים בתוכם
⎡⎣ qˆ j , pˆ k ⎤⎦ = i δ jk
בתרגיל כיתה ראינו את הקשרים הבאים:
ˆ⎡⎣ qˆ j , pˆ ⎤⎦ = m ( i ) p
⎡⎣ pˆ j , qˆ nj ⎤⎦ = −n ( i ) qˆ nj −1
m −1
j
m
j
נגדיר את הפונקציה הבאהFˆ ≡ F ( qˆi , pˆ i ) :
- 65 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
ˆ ∂
⎤ ˆ ⎡⎧
⎪ ⎣ qˆi , F ⎦ = i ∂pˆ F
j
⎪
⎨
ˆ⎪ ⎡ pˆ , Fˆ ⎤ = −i ∂ F
⎦ ⎪⎩ ⎣ j
∂qˆ j
) (
) (
ניקח את ˆ: Fˆ ( pˆ i , qˆi ) = H
1
= ˆH
) ( pˆ x2 + pˆ y2 + pˆ z2 ) + V ( r
2m
משפט : Ehrenfest
∂h
∂q j
)=−
ˆ∂H
∂pˆ j
( q )=+
pj
(
j
⎧d
⎪
⎪ dt
⎨
⎪d
⎪ dt
⎩
נראה מה קורה בגבול הקלאסי ,נראה את ההבדל בין משוואות המילטון יעקובי למשוואת . Ehrenfest
ˆp
= ˆH
) ˆ+ V ( r
2m
זה בדיוק נוסחת המילטון יעקובי ⎧
⎪
p
d
=) r
⎪
(
dt
m
⎪
⎪ d
⎨⇒
) p = − ∇V ( r
⎪ dt
זה כמאט משוואת המילטון יעקבי
הנכונה⎪
משוואת המילטון יעקובי בצורתה
⎪
d
) p =−∇V ( r
r= r
dt
⎪
המילטון יעקובי הקלאסי
⎩
המקרה החד מימדי ,נראה מהם התנאים לעבור מהמצב הקוונטי למצב הקלאסי:
x= x
d
ˆdV
dV
p =−
≠−
dt
ˆdx
dx
קוונטי
קלאסי
נפתח לטור טיילור:
ˆdV
F ( xˆ ) ≡ −
ˆdx
f " ( xˆ ) + ...
2
) ˆ) f ' ( xˆ ) + 12 ( xˆ − x
ˆf ( xˆ ) = F ( xˆ ) + ( xˆ − x
≡Δx 2
+ ...
)
ˆ⋅ f " ( x
2
) ( xˆ ) + 12 ( Δx
⇒ f ( xˆ ) = f
זה בעצם ההבדל בין המצב הקלאסי
לבין המצב בקוונטי
גבול קלאסי יתקבל כאשר:
dV
dx
d 3V
dx 3
1 ⇔ Δx 2
תנאי למצב קלאסי
- 66 -
f "( x
)
) f( x
⋅ Δx 2
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
התנאי לקבל את הגבול הקלאסי תלוי בשני דברים ,קודם כל במצב )האם הוא צר או רחב ( Δx ,וזה גם
תלוי בפוטנציאל )נגזרות על .( V
2
- 67 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
מושג של מערכת שלמה של אופרטורים הרמיטים:
מערכת שלמה/מינימאלית היא מערכת של אופרטורים המתחלפים שבסדרת מדידות ניתן להגיע למצב
טהור.
לכל מערכת קוונטית ניתן להגדיר מערכת שלמה כזו.
דוגמא-אוסילטור הרמוני חד ממדי:
אנו רוצים לראות האם עבור מערכת נתונה ניתן להגדיר מצב טהור )מצב לא מנוון המכיל רק אמפליטודה
אחת המתארת את המצב(
2
p
1
Hˆ = x + mω 2 xˆ 2
2m 2
⎛
⎞⎞ 1
⎛
⎟ ⎟ ⎜ φn ( x ) , ε n = ω ⎜ n + 2
⎝
⎠⎠
⎝
Pn ψ = α φn
במקרה של אוסילטור הרמוני חד ממדי ,מדידה של האנרגיה בלבד נותנת לנו מצב טהור.
אוסילטור הרמוני דו ממדי:
2
∂2 1
∂2 1
2 2
ˆ
m
ω
x
+
−
+ mω 2 yˆ 2 ≡ Hˆ x + Hˆ y
2
2
2m ∂x 2
2m ∂y
2
} ∈ ) {φn ( x ) φm ( y ) , ( n, m
2
Hˆ = −
)E ( n, m ) = ω ( n + m + 1
פרט למצב היסוד אנו לא מקבלים מצב טהור וזאת משום שישנן קומבינציות שונות של m ,nשנותנות לנו
את אותה האנרגיה.
למשל, E = ω ( 3) ,כלומר n + m + 1 = 3וישנן מספר אופציות כאלו.
דוגמא:
המקרה של , 2 ωתת המרחב שמתאר הוא דו ממדי.
}) {φ1 ( x ) φ2 ( y ) , φ2 ( x )φ1 ( y
אלו שני ווקטורים שמדגירים את תת המרחב
⎧
⎫
1
⎪ 1
⎬⎪) ) (φ1 ( x ) φ2 ( y ) + φ2 ( x ) φ1 ( y ) ) , (φ1 ( x ) φ2 ( y ) − φ2 ( x )φ1 ( y
⎨
2
⎪ 2
⎪
נרמול
נרמול
⎩
⎭
בסיס אחר שגם כן מתאר את תת המרחב
מצב טהור זה דבר שקול לזה שיש בסיס אחד לכל האופרטורים המתחלפים.
משפט ראשון:
לשני אופרטורים הרמיטים ˆ Aן ˆ Bשמתחלפים יש בסיס של EHמוגדר על ידי וקטורים עצמיים של ˆ Aו
ˆ. B
הוכחה:
עבור אופרטור ˆA
},
, {aα , α , rמערכת עצמית של ˆ. Aˆ α , r = aα α , r : A
נניח ש. ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ = 0 :
) ) = a ( Bˆ α , r
α
(
ˆ ˆ α , r = Ba
ˆ ˆ α , r = AB
ˆ α , r ⇔ Aˆ Bˆ α , r
BA
α
- 68 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
לכן Bˆ α , r ,הוא וקטור עצמי של ˆ. A
ישנן שתי אפשריות:
aα .1הוא ע"ע לא מנוון:
⇒ Bˆ α , r = ( const ) ⋅ α , r
לכן ל ˆ Aו ˆ Bיש בסיס עצמי משותף }
. { α,r
aα .2הוא ע"ע מנוון:
הוקטור Bˆ α , rהוא ניצב לכל וקטור β , Sעצמי של ˆ Aעבור
) ≠ aα
β
(a
) ⇒ β , S Bˆ α , r = δαβ Bsr(α
⎞ )( 0
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
...
⎟
⎟
⎠ ///
מטריצה ˆ Bהיא אלכסונית ב"בלוקים".
⎛ a0
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜ = ˆB
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
)⎝ ( 0
a1
...
aα
בתוך הבלוק
יש לנו שני
וקטורים
α1 , α 2
)*(
⎧ Aˆ α1 = aα α1
ˆ ⎨⎪ )*(
⎪⎩ A α 2 = aα α 2
≠ 0, α 2 B α1 ≠ 0, α1,2 B α1,2 ≠ 0
קיים בסיס }
{ α , β , rעצמי של ˆ Aו. Bˆ -
⇒ ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ = 0
α1 B α 2
⎞× ×⎛
⎜
⎟
⎠× ×⎝
= aα α , β , r
= bβ α , β , r
נרצה להראות שהיתן בסיס משותף ל ˆ Aו Bˆ -נקבל מכך ש ˆA
- 69 -
⎧⎪ Aˆ α , β , r
⎨
⎪⎩ Bˆ α , β , r
ו Bˆ -אופרטורים מתחלפים.
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
משפט שני:
נתון -מרחב , EH Hilbertמצב קוונטי ψכלשהו.
{
}
מערכת שלמה ˆ Aˆ , Bˆ ,..., Xשל אופרטורים הרמיטים מתחלפים.
נגדיר מצב:
ˆ
ˆ
ˆ
ψ 0 = c Pξ ... Pβ Pα ψ
↓
קבוע
נירמול
ˆA
המצב אחרי
המדידה
במצב
ˆ
A
המצב אחרי המדידה
במצב
ˆ
B
}
המצב אחרי המדידה במצב
ˆ
X
{
נרצה להוכיח שאם ˆ Aˆ , Bˆ ,..., Xמערכת שלמה אזי המצב ψ 0הוא יחיד וכמו כן להראות שהוא מצב
עצמי של כל האופרטורים.
.1המצב ψ 0הוא מצב עצמי של ˆ. Aˆ , Bˆ ,..., X
{
}
.2המצב ψ 0הוא מוגדר היטב )כלומר הוא לא מנוון ,הוא לא סופר פוזיציה של הוקטורים האחרים(.
הוכחה:
{
}
אנו יודעים ש ˆ Aמתחלף עם כל האופרטורים Bˆ ,..., Xˆ :ועל כן גם . Pˆα
⎡ Pˆα , Pˆβ ⎤ = ... = ⎡ Pˆα , Pˆξ ⎤ = 0
⎣
⎦
⎣
⎦
זה נובע מכך שכל אופרטור ניתן לכתוב כסופר פוזיציה של הפרוזקטורים שלו . Aˆ = ∑ aα Pˆα :
)
(
)
(
)
(
α
Aˆ ψ 0 = c ⋅ Aˆ Pˆξ ...Pˆβ Pˆα2 ψ = c ⋅ Aˆ ⋅ Pˆα Pˆξ ...Pˆβ Pˆα ψ = c ⋅ aa ⋅ Pˆα Pˆξ ...Pˆβ Pˆα ψ
)
(
= aα ⋅ c Pˆξ ...Pˆβ Pˆα = aα ψ 0
}
Pˆα ≡ Pˆα2
{
קיבלנו ש ψ 0מצב עצמי של כל אופרטורים )הוכחנו את .(1
הערות:
כאשר אנחנו מודדים בסדר הזה ,כלומר ,קודם כל את . αאין חשיבות לסדר המדידה.
אם ההמילטוניאן הוא חלק מהמערכת השלמה אז ניתן לומר ש ψ 0הוא מצב קבוע בזמן.
כלומר אם בזמן t = 0מקבלים ψ 0אז ψ 0קבוע בכל זמן אחר.
- 70 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
ספין חצי – ניסוי : Stern-Gerlach
ספין חצי זו מערכת במרחב הילברט שלה שני ממדים ) 2רמות אנרגיה(.
ניסוי : Stern-Gerlach
אלומת אטומי כסף בשדה מגנטי לא
אחיד.
x
z
שדה
מגנטי
לא אחיד
אטומי כסף
y
מגנט
z
מגנט
x
0
.1אטומים ניטרליים לכן אין כוח לורנץ.
.2שינוי הכיוון ,מדוע? באופן קלאסי יודע לנו כי באטומים יש אלקט' המסתובבים במסלול סגור
סביב האטום.
מטען שמצבע מסלול סגור ⇐ זרם במסלול הסגור ⇐ מייצר מומנט מגנטי .המומנט המגנטי
מושפע מהשדה המגנטי החיצוני המשתנה בזמן.
תאור קלאסי :מומנט מגנטי μשל אטום ניוטרלי.
מקור של : μ
דוגמא :חלקיק בעל מסה mומטען , –qחלקיק זה נע בתנועה מעגלית במסלול בעל רדיוס , rובמהירות . v
- 71 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
z
−q
r
v
זרם : I
מומנט מגנטי : μ
−q
⋅v
2π r
= "=Iצפיפות מטען כפול מהירות"
μ =I⋅ S
וקטור
שטח
ווקטור השטח מוגדר על ידי :
ˆS = π r z
2
q
−q
ˆ⋅ v ⋅ π r 2 zˆ = − ⋅ v ⋅ r z
2π r
2
תנע זוויתי : L
ˆL = r × p = m ⋅ r ⋅ v z
המומנט המגנטי מוגדר בעזרת תנע זוויתי:
q
L
2m
⇒ μ= −
γ0
יחס
גירומגנטי
μבשדה מגנטי Bהאנרגיה היא:
W = −μ ⋅ B
מומנט מכני:
Γ = μ×B
חוק ניטון נותן לנו את הקשר הבא:
dL
=Γ
dt
dμ
= γ0 ⋅μ × B
dt
זה מתאר:
μ
B
תדירות . ω0 = γ 0 B , ( Larmor) ω0
- 72 -
⇒
=⇒ μ
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
סיכום התיאור הקלאסי:
מומנט מגנטי μשל אטום ניטרלי:
q
⎧
⎪⎪ μ = − 2m L
⎨
⎪γ ≡− q
⎪⎩ 0
2m
) - γ 0פקטור גירומגנטי(
אנרגיה מגנטית:
W = −μ ⋅ B
פרסציה:
dμ
= γ 0μ × B
dt
תדירות : Larmor
ω0 = γ 0 B
נניח ש:
מסלול האטומים נמצא במישור . x = 0
ˆ) B = Bz zלשדה המגנטי רכיב בציר zבלבד(.
∂Bz ∂Bz
=
≡0
.
∂y
∂x
כוח:
∂Bz
∂z
(
)
) F = ∇ μ ⋅ B ⇒ Fz = μ z ( t
)נניח ש( μ z ( t ) μ z ( 0 ) :
אנו מצפים לראות מסלולים או קלפי מעלה או קלפי מעטה.
x
z
L
θ+
שדה
מגנטי
לא אחיד
אטומי כסף
θ+
θ−
y
v
θ−
ΔPz
∫ Fz dt
=
P
P
≅ Δθ ≡ θ + − θ −
תנע כולל
∂Bz L
∂B L
⇒ Δθ ≅ μ z z
∂z v
∂z mv 2
- 73 -
z
∫ F dt ≅ μ
z
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
תוצאות הניסוי:
היינו מצפים במקרה הקלאסי לקבל רצף של אטומים:
z
B≠0
+ μ0
x
− μ0
התוצאות שקיבלו בפועל שונה ונראה:
z
B=0
+ μ0
x
− μ0
z
B≠0
+ μ0
x
− μ0
)*( ⎦⎤ μ0 = 9.27 ⋅10−24 ⎡⎣ J ⋅ T −1
- 74 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
q
)* ( =
2m
?
= μ0
על פי בוהר
על פי תוצאות הניסוי
= – m, q = −e , Lמסה של אלקטרון.
תאור קוונטי של ניסוי : Stern-Gerlach
.1בונים מרחב Hilbertהמתאים לבעיה:
( )⊗ E
= . EH
3
int.
2
מרחב
פנימי
דרגות
החופש
של
המומנט
המגנטי
}{dim Eint ≥ 2
על פי תוצאות הניסוי
) ( Otto Stern
נניח ש. dim Eint = 2 :
בסיס) :
z
,−
z
(+
.
מדידה של מומנט מגנטי. μˆ z :
⎧⎪ μˆ z + z = μ0 + z
⎨
⎪⎩ μˆ z − z = − μ0 − z
μ =α + z +β − z
2
2
α + β =1
נירמול
הצגה מטריציאלית:
⎞⎛1
⎞⎛0
⎟ ⎜= =⎜ ⎟ , − z
⎠⎝0
⎠⎝1
⎞ ⎛1 0
⎜ μˆ z = μ0
⎟
⎠⎝ 0 −1
)כל מה שעשינו מייחוס לציר , zאם נעשה את המדידות לאורך ציר xאו yהיינו מצפים לכך שנקבל אותו
דבר .כל הפיזיקה המדוברת כאן איננה תלויה בציר ( z
z
- 75 -
+
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
μˆ x , μˆ y
מומנט מגנטי לאורך ציר xוציר : y
שני מגנטים של S-Gבטור .
− μ0
+ μ0
z
x
z
+
אטומי כסף
x
z
−
מהלך הניסוי :מגנט אחד בציר – zרואים שני כתמים לאורך ציר .zנחסום אחת מהאלומות.
שמים מגנט נוסף לאורך ציר xומודדים מומנט מגנטי לאורך ציר . xמקבלים תוצאה זהה לתוצאה בניסוי
הקודם.
אם היינו חוסמים את האלומה העליונה ולא את התחתונה ביינו מקבלים אותו הדבר.
? μˆ x
) (+ ,−
ˆ μבבסיס )
x
וקטורים עצמיים של . μˆ x
x
x
x
? ( + x, −
⎞ βx
⎠⎟ δ x
⎛α x
⎜ μˆ x = μ0
⎝γx
דרישות:
.1
μˆ xהוא מטריצה הרמיטית :
2
∈ ) γ x * = β x , (α x , δ x
.2מדידה של . ± μ0 : μˆ xעל כן Tr ( μˆ x ) = 0ועל כן . α x + δ x = 0
α xδ x − γ x β x = −1 ⇐ Det ( μˆ x ) = −1 .3
μ0α x = z + μˆ x + z = 0 .4
מתוך דרישות אלו נקבל:
⎧α x = −δ x = 0 ⎧ 2
⎪
⎪ βx = 1
⇒ ⎨ γ xβx = 1 ⇒ ⎨ 2
* ⎪ γ =β
⎪⎩ γ x = 1
x
⎩ x
⎧ β x = e − iφx
⎨
+ iφx
⎩γ x = e
⎞ e − iφx
⎟
⎠ 0
⎛ 0
iφx
⎜ μˆ x = μ0
⎝e
עבור yנקבל:
− iφ y
⎞
⎟
⎠⎟ 0
e
⎛ 0
⎜ eiφ y
⎝
⎜ μˆ y = μ0
- 76 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
)
z
1
+ z + eiφx −
2
(
=
x
+
נרמול
נבצע את הניסוי הבא:
x
y
+ μ0
− μ0
x
x
+
−
) = 0 = μ0 cos (φx − φ y
π
2
⇒ φx = 0 , φ y = −
x
π
2
+ μˆ y +
x
= ⇒ φx − φ y
בחירה שרירותית המקיימת את התנאי
⎞⎛0 1
⎞ ⎛ 0 −i
⎞ ⎛1 0
⎜ ⎟ , μˆ y = μ0
⎜ ⎟ , μˆ z = μ0
⎟
⎠⎝1 0
⎠ ⎝i 0
⎠⎝ 0 −1
⎜ μˆ x = μ0
בבסיס }
z
.{+ z, −
מטריצות : Pauli
⎞⎛0 1
⎞ ⎛ 0 −i
⎞ ⎛1 0
⎜ ⎟ , μˆ y = μ0
⎜ ⎟ , μˆ z = μ0
⎟
⎠⎝1 0
⎠ ⎝i 0
⎠⎝ 0 −1
⎜ μˆ x = μ0
⎞⎛1 0
⎜=Ι
⎟
⎠⎝0 1
1
⎧
) ⎪⎪ ± x = 2 ( + z ± − z
⎨⇒
) ⎪ ± = 1 ( + ±i −
z
z
⎪⎩ y
2
⎡⎣ μˆ x , μˆ y ⎤⎦ = 2i μ0 μˆ z
⎡⎣ μˆ x , μˆ y ⎤⎦ = 2i μ0 μˆ x
[ μˆ z , μˆ x ] = 2iμ0 μˆ y
- 77 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
לוגיקה קלאסית:
אוסף
אבנים
שחור
גדול
לבן
קטן
קטן
גדול
לוגיקה קוונטית:
אטומים
μx , μ y , μz
עבור μˆ z
− μ0
+ μ0
עבור μˆ y
כאן ,כאשר אנו מודדים בכיוון מסוים ,כבר אין אנו יכולים לומר כלום על המדידה בציר אחר.
האופרטורים לא מתחלפים ולכן לא ניתן לבצע את המדידות במקביל.
בניסוי האחרון מדדנו + xבכיוון ציר yוקיבלנו , − μ0 y , + μ0 yאולם כעת שינינו את ) + xהמצב שיצאנו
ממנו(.
עקרון אי הודאות וניסוי : Stern-Gerlach
)כאשר שני אופרטורים לא מתחלפים הם מקיימים את יחסי אי הודאות של אייזנברג(
z
Δz
אי הודאות
במיקום
Δpz
אי הודאות
בתנע
אטומי כסף= חבורת גלים
לאורך ציר z
v
y
– Tזמן מעבר של האטומים במגנט.
- 78 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
μ
B // z
ω0
θ
על מנת לתאר את תוצאות ניסוי שטרן גרלך חייבים להניח שיש דרגות חופש פנימיות במערכת.
מדידה של : ± μ0 = μˆ z
יהיה גדול בהרבה מאי הודאות בתנע.
צריך שמרחק
. Δpz
במילים אחרות :שינוי בתנע pz
∂B
∫ Fdt = μ0 ∂z T Δpz
נניח ש μˆ xו μˆ yנתונים למדידה .
θ = T ω0
∂B
Δz
∂z
Δω0 = γ 0
קוונטי
⎛
⎞
⎟ ⎜ ω0 = γ 0 B
⎜
⎟
⎠ בקלאסי ⎝
Δθ = T Δω0
Δθ 2π
)אם לא אי הודאות בזוית כל כך גדולה שלא ניתן להפריד בין μˆ x
אותם בו זמנית(
⎞ μ0
⎛
= ⎜γ0
⎟
⎝
⎠
∂B
⎧
⎪⎪T γ 0 ∂z Δz 2π
⎨
⎪ μ ∂B T Δp
z
0
⎩⎪ ∂z
Δz
2π
2π
⇒ Δpz
⇒ Δpz Δz 2π
Δz
Δpz
וזה מצב שלא יתכן זה צריך
להיות יותר גדול
כלומר לא ניתן למדוד בו זמנית
שני מצבים
μˆ x , μˆ y
μˆ xו μˆ yמתחלפים.
- 79 -
ו μˆ yולא ניתן למדוד
∂B
⎧
⎪⎪T μ0 ∂z
⎨
⎪T μ ∂B
⎪⎩ 0 ∂z
תומר לויתן: נכתב על ידי,מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק
(115203) 1 פיסיקה קוונטית
:מדידה לאורך ציר כלשהו
z
uˆθ
θ
z
+
z
uˆθ = uˆ x sin θ + uˆ y cos θ
z
x
μθ = μ x sin θ + μ z cos θ
⎛ cos θ
⎝ sin θ
μˆθ = μˆ z sin θ + μˆ z cos θ = μ0 ⎜
− sin θ ⎞
⎟
+ cos θ ⎠
θ
θ
⎧
⎪⎪ + θ = cos 2 + z + sin 2 − z
⎨
⎪ − = − sin θ + + cos θ −
⎪⎩ θ
2 z
2 z
2
⎧
2θ
⎪⎪ p+ = θ + + z = cos 2
⎨
⎪ p = − + 2 = sin 2 θ
z
⎪⎩ − θ
2
- 80 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
תאור שלם של האטומים:
( )⊗E
3
מרחב הילברט הכולל מוגדר על ידי:
int
2
= . EH
∀ ψ ∈ EH , ψ = ψ + ⊗ + + ψ − ⊗ −
) (
∈} , ψ −
3
אופרטורים
ˆ Aמוגדרים ב( ) -
, − } ∈ Eint
3
ext
2
+
{ψ
{+
.
2
אופרטורים μˆ y , μˆ xמוגדרים ב Eint -לכן אופרטורים Aˆextו μˆ iמתחלפים ←
) ) ⊗ ( μˆ ε
i
הצגה מעורבת:
(
= Aˆext ψ ε
=±
)ε
⊗ε
ε
)( ψ
⊗ μˆ i
ˆ( A
ext
ψ ( t ) ∈ EH , ψ ± ( r , t ) = r ψ ±
ψ ( t ) = ψ + ( r , t ) + +ψ − ( r , t ) −
פונקצית גל
פונקצית גל
בEXT-
ניקח שני מצבים בהצגה מעורבת ונגדיר מכפלה שלהם :
, ψ ( t ) χ ( t ) = ∫ (ψ + * χ + +ψ − * χ − ) d 3 r
)
∀( ψ , χ
: ψ ± ( r , t ) d 3 rההסתברות למצוא את החלקיק בנפח הנתון בעל מומנט מגנטי. ± μ0 :
2
חייבת להתקיים דרישת הנרמול) d r = 1 :
3
2
(
) ψ (t ) ψ (t ) = ∫ ψ + ( r, t ) + ψ − ( r, t
2
פונקציית גל בעלת שני רכיבים:
⎞ ) ⎛ψ ( r , t
ψ (t ) = ⎜ +
) ) ⎟ ;; ψ ( t ) = (ψ + * ( r , t ) ,ψ − * ( r , t
⎠ ) ⎝ψ − ( r , t
אופרטורים מוגדרים במרחב ) (
3
pˆ 2
לדוגמא – אנרגיה קינטית
2m
2
,כיצד כותבים בשני רכיבים?
:
⎞
2
⎟
⎟=−
∇ 2 ⊗ I Eint
2
2m
⎟
−
⎟ ∇2
⎠ 2m
0
2
⎛
−
∇2
pˆ 2 ⎜ 2m
⎜=
⎜ 2m
0
⎜
⎝
התפתחות בזמן של מצבים אטומים בשדה מגנטי:
ממשוואת שרדינגר אנו מקבלים שלחלקיק יש אנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית שנובעת מראיקציה של
מומנט מגנטי של החלקיק עם השדה החשמלי.
אנרגיה פוטנציאלית:
⎛
⎞
⎜
ˆ
W =− μ B
rˆ ⎟ = − μˆ x Bx − μ y By − μ z Bz
⎟⎟ אופרטור ב ⎜⎜
אופרטור
⎠ ⎝ 2
המוגדר ב
ההדרה המדויקת של המרחבים( −μ ⊗ I ) ⋅ ( B ⊗ I ) :
Eint
– Wהיא מטריצה )לא בהכרח אלכסונית(.
Eint
ˆHˆ = Hˆ ext ⊗ I int + W
- 81 -
E int
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
p2
= Hˆ exp
) +V (r
2m
d
i
ψ =H ψ
dt
)(1
2
⎛
⎞
∂
ψ + ( r, t ) = ⎜ −
) ∇ 2 + V ( r ) ⎟ψ + ( r , t ) + + Wˆ + ψ + ( r , t ) + + Wˆ − ψ − ( r , t
∂t
⎝ 2m
⎠
)( 2
2
⎛
⎞
∂
i
ψ − ( r, t ) = ⎜ −
) ∇ 2 + V ( r ) ⎟ψ − ( r , t ) + − Wˆ + ψ + ( r , t ) + − Wˆ − ψ − ( r , t
∂t
⎝ 2m
⎠
) ⇐ (1) + ( 2מקבלים שתי משוות מצומצמות:
⎞ + W − ⎞ ⎛ψ +
⎟ ⎜⎟
⎠ − W − ⎠ ⎝ψ −
⎛ +W +
⎜ = ˆW
בהצגה
⎝ −W +
ψ ,ψ
−
+
מבסיס
+,-
שדה מגנטי אחיד ) : (V = 0
מצב של אטומי כסף בזמן . t = 0
)
ψ ( r , 0 ) ⋅ (α 0 + + β 0 −
ההמילטוניאן במצב זה הוא:
2
ˆp
= ˆH
− μˆ ⋅ B
2m
מצב בזמן : t
)
ψ ( r , t ) ⋅ (α ( t ) + + β ( t ) −
∂ψ
=−
Δψ
2m
∂t
d
) (α ( t ) + + β ( t ) − ) = − μˆ B (α ( t ) + + β ( t ) −
dt
⎞ ⎛1 0
⎜ ⋅ μ z = μ0
μˆ ⋅ B = μˆ z ⋅ B
⎟
⎠ ⎝ 0 −1
2
נניח ש ˆ: B z
d
) α ( t ) = − μ0 Bα ( t
dt
d
) β ( t ) = + μ0 B β ( t
dt
נגדיר
B
: ω0 ≡ −2μ0
iω t
− 0
⎧
2
⎪α ( t ) = α 0 e
⎨
iω0t
⎪ β t = β e+ 2
0
) ( ⎩
נגדיר ערכי תצפית:
) ⎧ μˆ x ≡ M x ( t
⎪⎪
) ⎨ μˆ y ≡ M y ( t
⎪
) ⎪⎩ μˆ z ≡ M z ( t
- 82 -
⎧
⎪⎪i
⎨
⎪i
⎩⎪
⎧
⎪⎪i
⎨
⎪i
⎩⎪
i
תומר לויתן: נכתב על ידי,מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק
(115203) 1 פיסיקה קוונטית
⎧ M t = ψ t μˆ ψ t
=
2μ0α 0 β 0 cos ω0t
() x ()
⎪ x( )
⎛ α (t ) ⎞ ⎛ψ ( r ,t ) ⎞
⎪
⎟ =⎜ +
⎟
ψ (t ) =ψ ( r ,t )⎜⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ β (t ) ⎟ ⎜ψ − ( r .t ) ⎟
⎪
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎪⎪
⎨ M y ( t ) = ψ ( t ) μˆ y ψ ( t ) = 2μ0α 0 β 0 sin ω0t
⎪
2
2
⎪ M z ( t ) = ψ ( t ) μˆ z ψ ( t ) = μ0 α 0 − β 0
⎪
μz
⎪
מתחלף עם ההמילטוניאן ועל כן גם ללא
⎪⎩
חישוב צריך להבין שנקבל משהו קבוע בזמן
⎧ M x ( t ) = −ω0 M y ( t )
⎧d
⎪
⎪ M = Ω× M
⎨ M y ( t ) = ω0 M x ( t ) ⇔ ⎨ dt
⎪
⎪⎩ Ω ≡ ω0 ⋅ uˆ z
M z (t ) = 0
⎩
. z וקטור יחידה בכיוון ציר- uˆ z
(
)
B zˆ
M
ω0
. שדה לא אחיד: Sterin-Garlach
z
L
B = Bz ( r ) uˆ z
Bz ( r ) ≡ B0 + b ' z
( divB = 0!)
⎧
⎪i
⎪
⎨
⎪i
⎪
⎩
⎛ p2
⎞
∂
ψ + ( r, t ) = ⎜
− μ0 B ( zˆ ) ⎟ψ + ( r , t )
∂t
⎝ 2m
⎠
⎛ p2
⎞
∂
ψ − ( r, t ) = ⎜
+ μ0 B ( zˆ ) ⎟ψ − ( r , t )
∂t
⎝ 2m
⎠
π ± = ∫ ψ ± ( r , t ) d 3r
2
π+ +π− =1
ψ ( r, t )
φ± ( r , t ) ≡ ±
π±
r± = ∫ r φ± ( r , t ) d 3 r
2
p± = ∫ φ±* ( r , t ) ∇φ± ( r , t ) d 3 r
i
- 83 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
משפט : Ehrenfest
באופן כללי:
p
d
= r
dt
m
d
) p = − ∇V ( r
dt
במקרה שלנו:
d
1
= r±
p±
dt
m
d
d
d
→ ) p = − ∇V ( r
= px ±
py± = 0
dt
dt
dt
d
' pz ± = ± μ0 ⋅ b
dt
בזמן r± = 0 : t = 0ו - v , p y ± = mv ; 0 = px ± = pz ±מהירות של אטומי הכסף.
=
בזמן tכלשהו0 ⇒ x± = 0 :
d
px± = 0⇒ px± = const .
dt
0 = px± ( t = 0 ) = const .
b 't 2
d
1
= x±
px ±
; ; y± = vt
dt
m
2m
. z± = ± μ0
z
z+
δz
×0
y
L
z−
L
v
≈t
2
⎞ ⎛
2
⎞ ⎞ μ0b ' ⎛ ⎛ L
⎟ μ0b ' ⎜ L
= δ z = z+ − z−
> Δz
= ⎜ 2⎜ ⎟ ⎟ ⇒ δ z
⎠⎟ ⎠ 2m ⎜⎝ ⎝ v
⎟⎟ m ⎜⎜ v
⎠ ⎝ ~t
δ z > Δzתנאי ראשון לפיצול לשתי אלומות,כלומר δ z ,יהיה גדול מרוחב חבורת הגלים..
תנאי נוסף הוא ש L -יהיה סופי t ,זמן המדידה של שתי האלומות ,מכאן שעל מנת לבצע מדידה
קוונטית אנו צריכים זמן מדידה סופי.
- 84 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
תנע זוויתי במכניקה קוונטית:
תנע זוויתי של חלקיק בודד )מרחב ( ) :Hilbert
3
2
(:
באופן קלאסי:
L=r×p
הכללה קוונטית:
ˆLˆ = rˆ × p
⎞ ⎛ Lˆx
⎟ ⎜ ˆ
⎟ L = ⎜ Lˆ y
⎟ ˆ⎜
⎟ ⎜ Lz
⎠ ⎝
ˆ⎡ Lˆx , Lˆ y ⎤ = i Lˆz ; ⎡ Lˆ y , Lˆz ⎤ = i Lˆx ; ⎡ Lˆz , Lˆx ⎤ = i Lˆ y ⇔ Lˆ × Lˆ = i L
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
מערכת של Nחלקיקים קוונטים: i = 1,..., N ,
ˆ
Li = rˆi × pˆ i
)
(
N
N
ˆ
ˆ
L( tot .) = ∑ Li = ∑ rˆi × pˆ i
i =1
i =1
ˆ tot . ˆ tot .
ˆ tot .
) (L( ) × L( ) = i L
)כל חלקיק במרחב שלו(
הגדרה כללית של תנע זוויתי ˆ Jבמכניקה קוונטית:
)
(
ˆ
J = Jˆ x , Jˆ y , Jˆ z
ˆ ˆ
J×J =i J
סדרה של 3אופרטורים שמקיימים תנאי
זה נגיד שזו מערכת של תנע זוויתי
מוגדר להיות במרחב . EH
נגדיר מערכת שלמה:
} {
ˆ2
2
2
2
⎪⎧ J ≡ Jˆ x + Jˆ y + Jˆ z
⎨
⎪⎩ Jˆ z
ˆ
- J 2 , Jˆ zמערכת שלמה של אופרטורים הרמיטיים שמתחלפים.
?
⎡ Jˆ 2 , Jˆ ⎤ = 0
⎣⎢
⎦⎥
?
ˆ
− ⎡ J 2 , Jˆ x ⎤ = ⎡⎣ J x , J x2 + J y2 + J z2 ⎤⎦ = ⎡⎣ J x , J y2 + J z2 ⎤⎦ = ⎡⎣ J x , J y2 ⎤⎦ + ⎡⎣ J x , J z2 ⎤⎦ = 0
⎢⎣
⎥⎦
- 85 -
תומר לויתן: נכתב על ידי,מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק
(115203) 1 פיסיקה קוונטית
⎡⎣ J x , J y2 ⎤⎦ = J x J y2 − J y2 J x = ( J x J y ) J y − J y ⋅ ( J y ⋅ J x ) = ( i J z + J y J x ) ⋅ J y − J y ( J y J x ) =
= i J z J y + J y (i J z ) = i
= i Jz J y + J y JxJ y
(
=J y JxJ y −J y Jx
(J J
z
y
+ J y J z ) = ⎡⎣ J x , J y2 ⎤⎦
)
⎡⎣ J x , J ⎤⎦ = ( J x J z ) J z − J z ( J z J x ) = ... = −i ( J z J y + J y J z )
⇒ ⎡⎣ J 2 , J x ⎤⎦ = 0 ⇒ ⎡⎣ J 2 , J ⎤⎦ = 0
2
z
ˆ
: { im } : Jˆ z | J 2 נגדיר בסיס על ידי וקטורים עצמיים של
⎧⎪ Jˆ 2 jm = 2 j ( j + 1) jm
⎨
Jˆ z jm = m jm
⎪⎩
.הוא מספר ממשי וחיובי
2
j ( j + 1)
. הוא מספר ממשי חיובי ושליליm
jm j ' m ' = δ jj 'δ mm '
: m ושלj חישוב של
. J ± :הגדרה של שני אופרטורי סולם
⎧⎪ Jˆ+ ≡ Jˆ x + iJˆ y
⎨ˆ
⎪⎩ J − ≡ Jˆ x − iJˆ y
J x† = J − ; J −† = J +
⎡ Jˆ 2 , Jˆ± ⎤ = 0
⎣
⎦
⎡ Jˆ z , Jˆ± ⎤ = ± Jˆ±
⎣
⎦
Jˆ 2 Jˆ± m = Jˆ± Jˆ 2 jm = 2 j ( j + 1) Jˆ± jm
(
(
)
)
Jˆ z Jˆ± jm = ( J ± J z ± J ± ) jm = mJ ± jm ± J ± jm =
( m ± 1) J ±
jm
(! הוא מספר ממשיm )חשוב לזכור
J ± jm
2
= jm J ±† J ± jm = jm J ∓ J ± jm ≥ 0
≥0
J ∓ J ± = ( J x ∓ iJ y )( J x ± iJ y ) = J x2 + J y2 ± i ( i J z ) = J 2 − J z2 ∓ J z
J ± jm
2
=
2
j ( j + 1) −
2
m2 ∓
2
m=
2
( j ( j + 1) − m ( m ± 1) ) ≥ 0
⎧⎪ m ( m + 1) − j ( j + 1) ≤ 0
⇔⎨
⎪⎩m ( m − 1) − j ( j + 1) ≤ 0
(1)
( 2)
: (1)
m 2 + m − j ( j + 1) ≤ 0
⎧ m+ = j
⇒⎨
⎩m− = − j − 1
− j −1 ≤ m ≤ j
m−
(1) תחום שבו
- 86 -
m+
m
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
): ( 2
m 2 − m − j ( j + 1) ≤ 0
− j ≤ m ≤ j +1
m
j +1
− j −1 − j
j
סיכום-חישוב המספרים הקוונטים mו - jקווטיזציה:
}
{
⎧⎪ Jˆ jm = 2 j ( j + 1) jm
ˆ ⎨
⎪⎩ J z jm = m jm
Jˆ 2 , Jˆ zהיא מערכת שלמה של אופרטורים מתחלפים.
−j≤m≤ j
עבור mנתון,
J + jm = jm + 1 , jm + 2
mmax ; J + jmmax = 0
J + jmmax = ⎡⎣ j ( j + 1) − mmax ( mmax + 1) ⎤⎦ jmmax + 1
=0
mmaxמוגדר כך שהוא מקיים את הקשר:
j ( j + 1) − mmax ( mmax + 1) = 0
⎧ j
⎨ = ⇒ mmax
⎩− j − 1
: mmax = − j − 1
jmmax = j − j − 1
J+ j − j −1 = j − j
לכן mmax ≠ − j − 1 ,
⇒ mmax = j
, J + jmמספר שלם
∈ ) Nמספר הפעמים שמפעילים את : ( J +
m + N = mmax = j ⇒ m + N = j
J − jm
jm − 1 , jm − 2 ,...., jm min
J − jmmin = 0 ⇒ j ( j + 1) − mmin ( mmin − 1) = 0
⎧ −j
⎨⇒
⎩ j +1
נניח ש . mmin = j + 1
J − jmmin = J − jj + 1 ∝ jj
jjהוא מצב שמותר לנו להיות בו ועל כן זה לא mminכי אז לא מתקיים J − jmmin = 0
⇒ mmin = − j .
- 87 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
J − jm
m − N ' = mmin = − j ⇒ m − N ' = − j
∈
2
∈⇒ j
⎧m − N ' = − j
⎨⇒
∈' ⇒ j − N = −J + N ' ⇒ 2 j = N + N
⎩ m+ N = j
כלומר
j
הוא מספר
שלם או
חצי שלם
קוונטיזציה של תנע זוויתי אורביטלי:
) (
3
מערכת שלמה. { L2 , Lz } :
2
L=r×p
,
⎧⎪ L2 m = 2 ( + 1) m
⎨
⎪⎩ Lz m = m m
∂ ⎛
⎞ ∂
ˆˆ y − yp
⎟ ˆˆx = ⎜ x − y
Lz = xp
⎠ ∂x
i ⎝ ∂y
z
r
θ
ϕ
y
x
⎧ x = r sin θ cosϕ
⎧dx = ....dr...dθ ...dϕ
⎪
⎪
⎨ ⇒ ⎨ y = r sin θ sin ϕקאורדינטות כדוריות
dy = ....
⎪ z = r cos θ
⎪
dz = ....
⎩
⎩
∂
i ∂ϕ
= Lˆz
) Lˆz ψ m ( r ) = mψ m ( r
מצב עצמי
של
Lˆ z
) ∂ψ m ( r
) = mψ m ( r
i ∂ϕ
) ∂ψ m ( r
) = imψ m ( r
∂ϕ
ψ m ( r ) = φm ( r ,θ ) eimϕ
- 88 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
?= :m
) ψ m ( r , θ , ϕ ) = ψ m ( r , θ , ϕ + 2π
תנאי שפה
נפעיל את תנאי השפה ונקבל:
e =e
⇒1= e
∈ ⇒ 2π m = 2π p , p ∈ ⇒ m
בתנע זוויתי כולל m ,יכול להיות שלם או חצי שלם .עבור תנע זוויתי אורביטלי של חלקיק בודד mלא
יכול חצי שלם אלה שלם בלבד!!
∈
⇒ ∈j − m∈ ⇒ − m
− ≤m≤+
) im(ϕ + 2π
2 iπ m
imϕ
קורדינטות כדוריות ופונקציות הרמוניות כדוריות:
Lˆ2 = Lˆx 2 + Lˆ y 2 + Lˆz 2
∂ ⎛ 1
∂
⎞ ∂2
1
+
sin θ
⎜
⎟
⎠ ∂θ sin 2 θ ∂ϕ 2
⎝ sin θ ∂θ
∂ ⎛
⎞ ∂
+ i cot θ
Lˆ± = Lˆx ± iLˆ y = e ± iϕ ⎜ ±
⎟
⎠ ∂ϕ
⎝ ∂θ
מצבים עצמיים של L2ושל y ,m (θ , ϕ ) : Lˆz
2
Lˆ2 = −
) ⎧⎪ Lˆ2 y , m (θ , ϕ ) = 2 ( + 1) y , m (θ , ϕ
⎨
) ⎪⎩ Lˆz y ,m (θ , ϕ ) = my , m (θ , ϕ
}) { y ,m (θ , ϕבסיס של מרחב Hilbert
∈
⎧
⎨
≤ ⎩− ≤ m
⎧ π 2π
*
' ⎪ ∫ dθ ∫ sin θ y , m (θ , ϕ ) y ', m ' (θ , ϕ ) dϕ = δ 'δ mm
יעקוביאן 0
⎪0
⎪
) ( + 1) − m ( m ± 1) y ,m±1 (θ , ϕ
= ) ⎨ L± y ,m (θ , ϕ
⎪
⎪ L+ y (θ , ϕ ) = 0
⎪
⎩
y ,m (θ , ϕ ) = F m (θ ) eimϕ
∂ ⎛
∂F
⎞ ∂
i
+ i cot θ
− cot θ F (θ ) = 0
⇒ ⎟ F (θ ) e = 0
⎠ ∂ϕ
∂θ
⎝ ∂θ
⎛
⎞
dF
cos θ
⎟ ⎜F
⎜ dθ ⇒ ln
= = cot θ dθ
) ⎟ = ln ( sin θ ) ⇒ F (θ ) = C sin (θ
F
C
sin θ
⎜
⎟
⎠ קבוע ⎝
⎜ ⇒ (θ , ϕ ) = 0
(θ , ϕ ) = C sin (θ ) ei ϕ
- 89 -
y
L+ y
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
: =0
F00 (θ ) = Const.
נירמול:
1
4π
= dϕ ⇒ 2π ( 2 ) C = 1 ⇒ C
2
2
2π
∫ dθ ∫ sin θ C
יקוביאן 0
חשוב
לא
לשכוח
1
4π
π
0
= ) ⇒ F00 (θ
: =1
⇒ m = 0, ±1
y11 (θ , ϕ ) = C sin θ eiϕ
3
נירמול נותן ש:
8π
. C=−
3
sin θ eiϕ
8π
m = 1: y11 (θ , ϕ ) = −
3
cos θ
4π
)ברגע שמצאנו את m = 1אנו יכולים לקבל את m = 0על ידי הפעלת ( L−
m = 0 : y1,0 = +
m=0
) y00 (θ ,ϕ
1
4π
z
m = 0, = 1
3
4π
θ
x, y
3
4π
- 90 -
−
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
3
8π
z
−
m = 1, = 1
3
8π
x, y
:Stern-Gerlach
q
ˆ
שדרוג
⎯⎯⎯
→ μˆ = γ 0 J
קוונטי
קלאסי
2m
ˆ
W = − μ ⋅ B ( r ) = − μ z B = −γ 0 BJ z
γ0 = −
μ = γ 0L ,
ˆB z
הערכים העצמיים של J zהם . 2 j + 1 ⇐ − j ≤ m ≤ j , m
ע"ע של
J
ים
רואים שיהיו לנו כתמים כמספר הע"ע של , Jכלומר מספר ה m
)לא ניתן להסביר את ניסוי סטרן גרלך על ידי קוונטיזציה ,יש להתייחס לדרגות חופש אחרות(.
)זו בעם הוכחה לכך שספין קיים(
- 91 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
תורת ההפרעות :
)מרצה מחליף :פרופ' בוריס שפירא(
דוגמא מאלגברה:
λקטן מאוד x 2 + x + λ = 0 ,
עבור , λ = 0ישנו פתרון . x = 0
נחפש פתרון בצורה ) . x = a λ + 2abλ + O ( λ ) , x = aλ + bλ + cλ 3 + O ( λ 4
נציב את הפתרון במשוואה:
2 2
3
2
3
⇒ ⇒ a λ + 2abλ + aλ + bλ + cλ + λ = 0
⎧( a + 1) λ = 0 ⇒ a = −1
⎪⎪
⇒ ⎨( a 2 + b ) λ 2 = 0 ⇒ b = − a 2 = −1
⎪
3
⎪⎩( 2ab + c ) λ = 0 ⇒ c = −2ab = −2
2
3
4
2
2
2
⇒ x = −λ − λ 2 − 2λ 3
תוצאה זו ניתן לקבל מהפתרון המדויק:
1
1
1 1
⎡1 1
1 1
13
2
3
−λ = − +
1 − 4λ ≅ − + ⎢1 − 2λ −
x=− +
( 4λ ) − ( 4λ ) ⎤⎥ = −λ − λ 2 − 2λ 3
2
4
2 2
⎣2 2
2! 4
3! 8
⎦
חזרה לקוונטים:
ניקח המילטוניאן. Hˆ = Hˆ 0 + λVˆ :
כאשר,
pˆ 2 1
= .( Hˆ 0
- Hˆ 0ההמילטוניאן הלא מופרע )למשל ,אוסילטור הרמוני + mω 2 xˆ 2
2m 2
ˆ - λVההפרעה )למשל ,תיקון אנהרמוני(.
המטרה – למצוא אנרגיות עצמיות והפונקציות העצמיות של ˆ , Hבחזקות של . λ
Hˆ 0 + λVˆ ψ n = En ψ n
(
)
זו הבעיה שאנו רוצים לפתור
הפתרונות של Hˆ 0ידועים )הפתרונות הלא מופרעים(. Hˆ 0 ψ n( 0) = En( 0) ψ n( 0) :
הפונקציות הלא מופרעות ψ n( 0) , n = 1, 2,3,... :מהוות בסיס ועל כן ניתן לפתח אותן לפי הפיתוח הבא:
)ψ n = ∑ cnm ψ m( 0
m
→ )ψ m( 0) = En ∑ cnm ψ m( 0
)∑c
nm
m
(
ˆ⇒ Hˆ 0 + λV
m
(
)
0
0
0
) (→ ∑ cnm Em( ) + λVˆ ψ m( ) = En ∑ cnm ψ m
m
m
נכפיל בצד שמאל בוקטור ψ s( 0) :ונעשה שימוש האורטונרמליות ,כלומר= δ sm ,
≡Vsm
0
0
0
→ ⇒ cns Es( ) + λ ∑ cnm ψ s( ) Vˆ ψ m( ) = En cns
m
⇒ = λ ∑ Vsm cnm
m
)c
ns
)0
זו בעצם משוואת שרדינגר בבסיס ללא הפרעות
- 92 -
(
(→ En − Es
)( 0
ψm
)( 0
. ψs
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
s = 1, 2,...עבור כל nנתון.
צורת הפתרון תהיה:
En = En( 0) + λ En (1) + λ 2 En( 2) + ....
) (
)(
) (
cnm = cnm
+ λ cnm
+ λ 2 cnm
+ ...
2
0
1
0
)( 0
. cnm
בבעיה הלא מופרעת האנרגיה ) ( , Enו = δ nm
הפרעה מסדר ראשון ב : λ
כאן לא
מוסיפים
תיקון
⎛
⎞
)( 0
)(1
)( 0
⇒ ⎜ En( 0) + λ En(1) − Es( 0) ⎟ cnm
+ λ cnm
= λ ∑ Vsm cnm
→
⎜
⎟
m
En
⎝
⎠
) (
(
)
(
)
(
)
0
0
0
)( 0
)( 0
= λ ∑ Vsm cnm
→
→ En( ) − Es( ) cns( ) + λ En( 0) − Es( 0) cns(1) + λ En(1) cnm
m
)
=0
הפתרון של הלא מופרע (
) (c( ) =δ
ns
)
0
ns
(
→ En( 0) − Es( 0) cns(1) + En(1)δ ns = Vsn
ניקח : s = n
)( 0
)(1
)( 0
En = Vnn = ψ n Vˆ ψ n
מצאנו אם כן ,תיקון , λ En(1) ,מסדר ראשון לאנרגית הרמה מספר - λ ) .nהוא כלי עזר בלבד(
, s≠n
V
). En( 0) − Es( 0) cns(1) = Vsn ⇒ cns(1) = ( 0) sn ( 0
En − Es
הערה :הנחנו שאין ניוון.
(
)
)ψ n = ∑ cns ψ s( 0
בעזרת המקדמים ניתן לחשב את . ψ n
)(1
? cnn
מאיפה נמצא את
)(1
cnnמוצאים מהנרמול:
את
2
)(1
= 1 ⇒ 1 + λ cnn
=1
2
∑c
ns
s
אם נבחר c1nnממשי אזי הוא חייב להיות אפס.
)(1
)(1
= 1 → 1 + 2λ cnn
= 1 → cnn
=0
2
)
(
)(1
⇒ 1 + λ cnn
:s ≠ n
s = 1, 2,...
)cns = λ cns(1
דוגמא-אוסילטור אנהרמוני:
4
pˆ 2 1
⎞⎛x
≡ + mω 2 xˆ 2 + λ ω ⎜ ⎟ ,
= ˆH
mω
2m 2
⎠ ⎝
- 93 -
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
תיקון מסדר ראשון ~ , λלאנרגית מצב היסוד:
1
= ω
2
)n = 0, E0( 0
תיקון:
= )ΔE0(1) = λ ψ 0( 0) Vˆ ψ 0( 0
⎪⎫
⎬
⎪⎭
3
λ ω
4
= dy
∞
∫ye
4 − y2
1 1 1
5
π
∞−
3
π
4
4
2
λ ω
)⎧⎪ ( 0
mω − m2ω x
4
e
= ⎨ψ 0
π
⎪⎩
mω x 2
=
dx
נסמן
mω x 2 2
≡y
=
−
∫x e
4
1 1 1
π
4
( x ) x dx = λ ω
4
2
0
∫ψ
x= y
)תנאי לחישוב 1
אם , Hˆ = Hˆ 0 + η x 4כל התהליך נשאר רק שנגיע לתוצאה:
2
⎛ 3
⎞
⎜= η
⎟
⎠ 4 ⎝ mω
ואז נשאל מתי זה נכון ,כלומר מה הדרישה על . η
2
תנאי לחישוב בתורת ההפרעות זה לדרושω :
(λ
)(1
ΔE0
⎛
⎞
⎜. η
⎟
⎠ ⎝ mω
הפרעה מסדר שני:
)
⇒ − Es( 0) cns = λ ∑ Vsm cnm
m
)
(
)
(E
n
(
()
)( 0
)(1
⇒ En( 0) + λ En(1) + λ 2 En( 2) − Es( 0) cns( 0) + λ cns(1) + λ 2 cns( 2) = λ ∑ Vsm cnm
+ λ cnm
m
יש "לצוד" את האיברים ~ : λ 2
(
)
)(1
⇒ En( 0) − Es( 0) cns( 2) + En(1) cns(1) + En( 2) cns( 0) = ∑ Vsm cnm
m
ניקח : s = n
)(
) (
)(
En( ) cnn
+ En( ) cnn
= ∑ Vnm cnm
⇒
0
1
m
1
2
=1
2
V
Vmn
)= ∑ ( 0) nm ( 0
)( 0
)( 0
En − Em
m ≠ n En − Em
1
=0
⇒ En = ∑ Vnm cnm = ∑ Vnm
)( 2
)(1
m≠ n
m
En(1) = ψ n( 0) V ψ n( 0) = Vnn
2
Vnm
) (En( ) − Em
0
0
∑ = En
)( 2
m≠ n
- 94 -
⇒
1
4
=λ ω
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
תזכורת:
pˆ 2 1
= . Hˆ 0
- nמצב עצמי של + mω 2 xˆ 2
2m 2
ההפרעה תהיה איבר שאינו הרמוני.
n xˆ mשונה מאפס רק אם. n = m ± 1 ,
1
⎛
⎞2
⎜ = n xˆ n − 1 = n − 1 xˆ n
⎟ n
⎠ ⎝ 2mω
מתי לא נקבל אפס עבור ? 0 x 2 n
1
mω 2
= x 2 = 0 x1 1x 2
0 x2 0 = ∑ 0 x
= x 0 = 0 x1 1x 0
2mω
מה עם ? 0 x3 nמתי זה שונה מאפס?
3
3
⎛3
⎞2
=
⎜
⎟
⎠ 2 ⎝ mω
2
3
n = 2 : 0 x2 2 = ∑ 0 x
n = 0:
3
⎛
⎞2 1
⎜ = x 3 = 0 x2 2 2 x 3
⎟
⎝ mω ⎠ 2
3
0 x3 3 = ∑ 0 x 2
n = 3:
3
⎛ 1
⎛ 3
⎛
⎞2 1 1
⎞2
⎞2
⎜= 0 x 0 0 x 1 + 0 x 2 2 x 1
+
⎟
⎜
= ⎟
⎜
⎟
⎠ 2 ⎝ mω
⎠ 2 2 ⎝ mω
⎝ mω ⎠ 2 2
2
2
∑ = n = 1: 0 x 1
3
עוד דוגמא:
2
2
1
⎛3
⎞
⎜ = 0 x 4 0 = ∫ψ 02 ( x ) x 4 dx
⎟
⎠ 4 ⎝ mω
3
⎛ 3
⎛ ⎞2
⎛ ⎞2 3
⎞
= x 0 = 0 x3 1 1 x 0
⎜
⎜⋅ ⎟
⎜ = ⎟
⎟
⎠ 4 ⎝ mω
⎠ 2 2 ⎝ mω ⎠ ⎝ 2mω
שתי צורות שונות המביאות לאותו הפתרון.
דוגמא-אוסילטור אנהרמוני:
pˆ 2 1
≡ Hˆ = Hˆ 0 + α x 3 , Hˆ 0
+ mω 2 x 2
2m 2
תיקון סדר ראשון לאנרגית מצב היסוד.
⎞1
⎛
⎟ En( 0) = ω ⎜ n +
⎠2
⎝
1
= )E0( 0
ω
2
תיקון
מסדר
⇒ E 0( ) = 0 α x 3 0 = 0
1
מצב
- 95 -
3
0 x 0 =∑ 0 x
4
מבוסס על הרצאותיו של פרופסור אקרמן אריק ,נכתב על ידי :תומר לויתן
פיסיקה קוונטית (115203) 1
תיקון מסדר שני:
⎞
⎛3
0 x3 m
⎛ α
⎟ ⎞ ⎜9 1 3 1
=−
+
=
)ω (0 − m
⎟⎟ ω ⎜⎝ mω ⎟⎠ ⎜⎜ 8 1 4 3
⎠ m =3
⎝ m =1
2
∑α2
m≠ n
2
=
⎫⎞ 1
)⎧ (0
⎛
⎬ ⎟ ⎨ Em = ω ⎜ m +
⎭⎠ 2
⎝
⎩
)( 0
3
V0 m
)( 0
E0 − Em
11
⎛ 1
⎞
= − α2
⎜
8
⎠⎟ ω ⎝ mω
)תיקון מסדר שני למצב יסוד הוא תמיד שלילי )יורד מרמת היסוד(
תנאי לתקיפות תורת ההפרעות:
3
⎞ ⎛ mω
⎜ )ω ⇒α ( ω
⇔ ⎟
⎝
⎠
⎤ ⎡ Enegy
⎢ = ] [α
⎥3
⎦⎥ ) ⎢⎣ ( Length
2
3
⎛ α2
⎞
⎜
⎠⎟ ω ⎝ mω
3
⎛ α2
⎞
⇔
⎟ ≡λ
⎜ 2
⎠ ( ω ) ⎝ mω
1
דוגמא נוספת:
4
⎞⎛ x
Hˆ = Hˆ 0 + λ ω ⎜ ⎟ , λ 1
⎠ ⎝
בתורת ההפרעות ניתן לחשב את אנרגית מצב היסוד:
1
3
⎛
⎞
⎟ E0 = ω ⎜ + λ + Bλ 2 + C λ 3 + ....
⎝2 4
⎠
האם טור זה מתכנס עבור λקטן מאוד ?
התשובה היא לא!!
ניקח λקטן שלילי:
4
1
⎞⎛ x
⎟ ⎜ mω 2 x 2 + λ ω
2
⎠ ⎝
λ >0
λ<0
- 96 -
∑ = E0
)( 2
m≠ n
© Copyright 2024