‫‪1‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫‪ . 8‬המתמטיקה של מכניקת הקוואנטים‬ ‫אופרטורים‬ ‫כעל "מכונה"‪ ,‬כזו המקבלת קלט מספר כלשהו‬ ‫ניתן להסתכל ע פונקציה‬ ‫‪.‬‬ ‫ופולטת מספר‬ ‫מושג האופרטור דומה במקצת‪ :‬אופרטור ̂ גם הוא הינו "מכונה" המקבלת קלט ופולטת פלט‪ .‬אבל כאן הקלט‬ ‫̂‬ ‫‪.‬‬ ‫וגם הפלט איננו מספר כי אם פונקציה חדשה‪ .‬מסמנים‪:‬‬ ‫איננו מספר כי אם פונקציה‬ ‫היא הפונקציה בקלט ו היא הפונקציה בפלט‪.‬‬ ‫למשל‪ ,‬האופרטור "כפל ב‪ "5 -‬שנסמנו ̂ מקיים‪:‬‬ ‫לדוגמה‪ ,‬אם הקלט הוא‬ ‫̂‬ ‫ובקיצור רושמים זאת כך‪:‬‬ ‫אז הפלט הוא‬ ‫̂‬ ‫דוגמה נוספת‪ ,‬אופרטור “הכפלה ב‪: " -‬‬ ‫ובקיצור רושמים זאת כך‪:‬‬ ‫אז הפלט הוא‬ ‫‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אם הקלט הוא‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫אופרטור מורכב יותר הנו הנגזרת ̂ ‪:‬‬ ‫לדוגמה‪ ,‬אם‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫אז‬ ‫אופרטור נוסף הוא אופרטור הנגזרת השנייה‪,‬‬ ‫לדוגמה‪ ,‬אם‬ ‫̂‬ ‫̂‪:‬‬ ‫̂‬ ‫אז‬ ‫‪.‬‬ ‫̂‬ ‫דוגמה נוספת‪ :‬האופרטור ̂ מעלה את הפונקציה בריבוע‪:‬‬ ‫" פעולות חשבון " בין אופרטורים‬ ‫בהינתן שני אופרטורים ̂ ו‪ , ̂ -‬נגדיר כעת פעולות "חשבוניות" ביניהם ‪.‬‬ ‫חיבור‪ :‬אנו רושמים ̂‬ ‫̂‬ ‫̂ כאשר פעולת ̂ על פונקצייה‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫לדוגמה‪:‬‬ ‫מכפלה‪ :‬כמוכן ̂ ̂‬ ‫)̂‬ ‫כלשהי מוגדרת על‪-‬ידי‬ ‫̂‬ ‫̂(‬ ‫̂ פירושו‪ ,‬הפעל את‬ ‫̂ ̂‬ ‫ואח"כ את ‪:‬‬ ‫למשל אופרטור הנגזרת הראשונה בריבוע הנו הנגזרת השניה‪:‬‬ ‫̂‪.‬‬ ‫)‬ ‫̂ (̂‬ ‫̂‬ ‫אי ‪ -‬חילופיות הכפל ואופרטור החילופיות‬ ‫כאשר מכיפילים שני מספרים זה בזה‪ ,‬הסדר‪ ,‬כלומר מי מוכפל במי‪ ,‬אינו משנה את התוצאה‪ ,‬למשל‪:‬‬ ‫‪ .‬תכונה זו של כפל מספרים מכונה "חילופיות" (‪ .)"commutativity‬מכפלת שני אופרטורים ̂ ו‪̂ -‬‬ ‫אינה בהכרח פעולה חילופית; הסדר‪ ,‬כלומר מי מוכפל במי‪ ,‬כן משנה את התוצאה‪ .‬למשל‪ ,‬נבחן את‬ ‫האופרטורים ̂ ו‪ . ̂ -‬קיים‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(̂‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫(̂‬ ‫̂̂‬ ‫̂̂‬ ‫‪2‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫̂̂‪.‬‬ ‫ורואים שאמנם‪ ,‬הם אינם חילופיים כי ̂ ̂‬ ‫אם שני אופרטורים ̂ ו‪ , ̂ -‬מקיימים‪̂ ̂ :‬‬ ‫̂ ̂ אז אנו אומרים שהם "אופרטורים חילופיים"‪ .‬חילופיות או אי‪-‬‬ ‫חילופיות בין שני אופרטורים היא משמעותית במכאניקה קוואנטית; כה חשובה‪ ,‬עד כי מקובל להגדיראת‬ ‫"אופרטור החילופיות"‪:‬‬ ‫̂ ̂‬ ‫]̂ ̂ [‬ ‫̂̂‬ ‫בדוגמה לעיל‪ ,‬רואים כי קיים‪:‬‬ ‫]̂ ̂ [‬ ‫כלומר‪ ,‬אפשר לרשום‪:‬‬ ‫]̂ ̂ [‬ ‫להמחשה‪ ,‬נניח כי‬ ‫אז‪:‬‬ ‫̂̂‬ ‫̂̂‬ ‫ובהפחתה‪:‬‬ ‫)̂ ̂‬ ‫̂̂(‬ ‫התאמה בין גדלים מדידים ואופרטורים‬ ‫ראשית‪ ,‬נגדיר סוג חשוב של אופרטורים‪ ,‬המכונים "אופרטורים ליניארים"‪ .‬להם משחק תפקיד מרכזי במכניקת‬ ‫הקוואנטים‪:‬‬ ‫הגדרה‪ ̂ :‬הוא “אופרטור ליניארי” אם מתקיימים שני תנאים‪ ,‬עבור כל שתי פונקציות‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫ו‪-‬‬ ‫(̂‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫וקבוע ‪:‬‬ ‫(̂‬ ‫דוגמה לאופרטור לינארי‪ :‬האופרטור ̂ ‪ ,‬קל להראות ישירות מההגדרה שהוא לינאירי‪.‬‬ ‫לכל גודל מדיד בפיזיקה ניתן להתאים אופרטור ליניארי‪ ,‬המאפשר "שאיבת מידע" מפונקצית הגל‪ .‬להלן טבלה‬ ‫ובה גדלים פיזיקאליים מדידים ואופרטורים מתאימים להם‪.‬‬ ‫פעולת האופרטור‬ ‫גודל פיזיקאלי‬ ‫מקום ‪x‬‬ ‫תנע ‪p‬‬ ‫אנרגיה קינטית של חלקיק מסה ‪:‬‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫אנרגיה פוטנציאלית‬ ‫אנרגיה‬ ‫̂‬ ‫מקום חלקיק בטבעת‬ ‫תנע זוויתי חלקיק‬ ‫̇‬ ‫אנרגיה קינטית חלקיק בטבעת‬ ‫̇‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫בטבעת‪:‬‬ ‫̂‬ ‫‪2‬‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫‪3‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫פ ו נקציות וערכים עצמיים של אופרטור‬ ‫כיצד מסיקים מאופרטור ניבויים לגבי מדידות? נניח שברצוננו למדוד גודל ‪ .‬למדנו כי קיים אופרטור ̂ המתאים‬ ‫לגודל זה‪ .‬כעת נלמד על תכונה מיוחדת של אופרטורים‪ ,‬המאפשרת לנו לקבוע מתוך האופרטור מידע לגבי‬ ‫המדידות‪.‬‬ ‫הדבר נעשה באמצעות מושג הערך העצמי והפונקציה העצמית של ̂ ‪ .‬פונקציה‬ ‫של ̂ עם ערך עצמי ‪ a‬כאשר‪:‬‬ ‫נקראת פונקציה עצמית‬ ‫̂‬ ‫דוגמה ‪ :1‬נסתכל על חלקיק בטבעת בעל אופרטור התנע הזוויתי‬ ‫באשר‬ ‫נספר שלם כלשהו‪ .‬הערכים העצמיים הם‬ ‫‪ .‬הפונקציות העצמיות הן‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫)‬ ‫̂‬ ‫(‬ ‫‪ ,‬באשר הוא מספר ממשי כלשהו‪ .‬פונקציה זו היא פונקציה עצמית של‬ ‫דוגמה ‪ :2‬הפונקציה‬ ‫̂‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪:‬‬ ‫̂ ‪ .‬הערך העצמי הוא‬ ‫אופרטור התנע‬ ‫‪ .‬רואים גם מדוע מכנים את ̂ אופרטור התנע‪.‬‬ ‫אכסיומה קוואנטית‪ :‬הקשר בין מדידות ואופרטורים‪ .‬כאשר מודדים תכונה ‪ ,‬תוצאת המדידה היא תמיד ערך‬ ‫עצמי של האופרטור ̂ המתאים ל‪. -‬‬ ‫אופרטורים הרמיטים‬ ‫למדנו שתוצאת מדידה היא ערך עצמי של אופרטור‪ .‬מכיוון שתוצאות מדידה הן מספרים ממשיים‪ ,‬עלינו לוודא‬ ‫שהאופרטורים המתאימים לגדלים פיזיקליים הם בעלי ערכים עצמיים ממשיים‪.‬‬ ‫לצורך זה‪ ,‬נציג את מושג ה"אופרטור ההרמיטי"‪ .‬חלק מהאופרטורים הליניאריים הם בעלי תכונה מיוחדת‪,‬‬ ‫המכונה הרמיטיות‪ .‬אופרטור הרמיטי מקיים את השוויון הבא לכל שתי פונקציות‪:‬‬ ‫⟩ |̂ | ⟨‬ ‫̂‬ ‫∫‬ ‫)‬ ‫̂‬ ‫∫(‬ ‫דוגמה‪ :‬הראה כי האופרטורים הבאים הרמיטיים‪ :‬המקום ̂ ‪ ,‬התנע ̂ ‪ ,‬בהנחה כי‬ ‫‪.‬‬ ‫גלים‪ ,‬כלומר שואפות ל אפס כאשר‬ ‫⟩ |̂ | ⟨‬ ‫ו‪-‬‬ ‫פתרון‪ :‬לגבי אופרטור המקום‪ ,‬ראה שרשרת השוויונות‪:‬‬ ‫⟩ |̂ | ⟨‬ ‫∫‬ ‫)‬ ‫לגבי תנע‪ ,‬קיים‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∫(‬ ‫⟩ |̂ | ⟨‬ ‫הן חבילות‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫∫‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫⟩ |̂ | ⟨‬ ‫∫(‬ ‫∫‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫∫‬ ‫⟩ |̂ | ⟨‬ ‫∫‬ ‫תכונות חשובות של אופרטורים הרמיטים (אלה ניתנות להוכחה מתמטית)‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫כל הערכים העצמיים שלו ממשיים‪ .‬הוכחה‪ :‬נניח‬ ‫‪ .‬מכאן נובע‪:‬‬ ‫|̂ |‬ ‫⟩‬ ‫⟨‬ ‫פונ' עצמית מנורמלת‪ .‬הראו כי ‪:‬‬ ‫⏟‬ ‫|̂ |‬ ‫⟩‬ ‫|̂|‬ ‫⟩‬ ‫⟨‬ ‫⟨‬ ‫בגלל‬ ‫הרמיטיות‬ ‫‪‬‬ ‫כל שתי פונקציות עצמיות שלו (עם ערכים עצמיים שונים) הן אורתוגונאליות‪:‬‬ ‫|̂ |‬ ‫⟩‬ ‫⟨‬ ‫מכאן‪ ,‬אם‬ ‫⟩‬ ‫|̂ |‬ ‫⟩‬ ‫חייב להתקיים‬ ‫⟨‬ ‫|‬ ‫⟨‬ ‫⟩‬ ‫|̂ |‬ ‫⟩‬ ‫⟩‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫⟨‬ ‫⟩‬ ‫|̂ |‬ ‫⟨‬ ‫⟩‬ ‫⟩ |‬ ‫| ⟨‪.‬‬ ‫⟨‪ ,‬נקבל שיש לפונ'‬ ‫הן פונ' עצמיות של התנע הזוויתי‪ .‬קיי עבור‬ ‫√‬ ‫∫‬ ‫⟨‬ ‫⟨‪.‬‬ ‫מכיוון שגם הן ניתנות לנירמול כך שאפשר להניח כי‬ ‫העצמיות של אופרטור הרמיטי את תכונת פוריה‪:‬‬ ‫לדוגמה‪,‬‬ ‫⟨‬ ‫⟩‬ ‫⟩‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫⟨‪ .‬הוכחה‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫∫‬ ‫⟩‬ ‫∫‬ ‫⟨‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫כמובן מנורמלות‪:‬‬ ‫∫‬ ‫‪‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫אנו רושמים בקיצור‬ ‫⟩‬ ‫באשר‬ ‫‪‬‬ ‫⟩‬ ‫|‬ ‫אם‬ ‫‪ .‬הסימול‬ ‫ו‪-‬‬ ‫|‬ ‫⟨‬ ‫ניקרא “סימן‬ ‫של קרוניקר”‪.‬‬ ‫כל מצב של המערכת ניתן ל"פריסה" על‪-‬ידי פונקציות עצמיות של אופרטור הרמיטי‪:‬‬ ‫∑‪ ,‬והמקדמים בפריסה ניתנים על‪-‬ידי הנוסחא‪⟨ | ⟩ :‬‬ ‫‪ .‬לדוגמה‪,‬‬ ‫‪ ,‬קיים‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫∫‬ ‫√‬ ‫ואומנם‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫√‬ ‫⟨‬ ‫‪5‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫לאופרטורים הרמיטים חילופיים יש פונק ציות עצמיות משותפות‬ ‫אחד המאפיינים החשובים של אופרטורים חילופיים הוא שניתן למצוא להם פונקציות עצמיות משותפות‪ .‬כך‪ ,‬אם‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ ,‬אז קיימות פונקציות‬ ‫‪ ,‬והוא חילופי עם ̂ ‪ ,‬בעל ערכים עצמיים‬ ‫̂ אופרטור בעל ערכים עצמיים‬ ‫כך ש‪:‬‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫פונקציה עצמיות של ̂ ‪ ,‬ונוכיח שהיא גם פונקציות עצמית של ̂ ‪.‬‬ ‫אם אין ניוון‪ ,‬ההוכחה פשוטה‪ .‬נניח כי‬ ‫̂‬ ‫ראשית נגדיר‬ ‫‪ ,‬נשים לב שבשל הקומוטטיביות קיים‪:‬‬ ‫̂‬ ‫̂ ̂‬ ‫̂‬ ‫היא בעצמה פונקציה עצמית של ̂ עם ערך עצמי‬ ‫באשר מקדם הפרופורציה‪ .‬נציב מחדש‬ ‫לכן‬ ‫̂̂‬ ‫̂‬ ‫‪,‬כלומר‪:‬‬ ‫‪ ,‬ולכן היא פרופורציונית ל‪-‬‬ ‫̂‬ ‫ואז נקבל‪:‬‬ ‫̂‬ ‫היא פונ' עצמית של ̂ ‪.‬‬ ‫וזה מראה ש‬ ‫חייב אם כך להיות שווה לערך העצמי‬ ‫של ̂ ‪.‬‬ ‫הערות‪ :‬הנחנו כי לכל ערך עצמי של ̂ יש פונקציה עצמית אחת בלבד‪ ,‬כלומר שאין ניוון‪ .‬גם אם יש ניוון‪ ,‬אפשר‬ ‫תמיד למצוא פונ' עצמיות משותפות של ̂ ושל ̂ שפורסות את המרחב‪.‬‬ ‫חילופיים‪ .‬מה הן הפונקציות‬ ‫דוגמה‪ :‬הראה כי אופרטור התנע הקווי ̂ ואופרטור האנרגיה הקינטית‬ ‫העצמיות המשותפות? מהם הערכים העצמיים של כל אחד מהאופרטורים‪ ,‬השייכים לאותן פונקציות עצמיות?‬ ‫פתרון‪ :‬הם חילופיים‪ ,‬כפי שניתן לראות משרשרת השוויונות הבאה‪:‬‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫הפונקציות העצמיות המשותפות הן‬ ‫הוא‪:‬‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫(לכל‬ ‫̂‬ ‫]̂‬ ‫[‬ ‫]̂ ̂ [‬ ‫ממשי)‪ .‬לכל ‪ ,‬הערך העצמי של ̂ הוא‬ ‫ושל ̂‬ ‫‪.‬‬ ‫יישום לפישוט אינטגרציות סבוכות‬ ‫לעיתים‪ ,‬יודעים את פירוק פונקצית הגל לפונקציות עצמיות של אופרטור הרמיטי‪:‬‬ ‫במקרה זה‪ ,‬ניתן להקל על פעולות אינטגרציה בעזרת תכונות האורתוגונאליות‪:‬‬ ‫⟩‬ ‫⟩‬ ‫|‬ ‫⟨ | |‬ ‫⟩‬ ‫|‬ ‫⟨‬ ‫⟩‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫⟩ | ⟨ | |‬ ‫| |‬ ‫| |‬ ‫⟨‬ ‫דוגמה ‪ :1‬נרמל את פונקציית הגל‬ ‫⟨‬ ‫‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬ראינו כבר כי הפונקציות העצמיות המנורמלות של התנע הזוויתי של חלקיק על טבעת הן‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪5‬‬ ‫⟩ | ⟨‬ ‫‪6‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫נרשום את הפונקציה הנתונה כקומבינציה לינארית של פונ' עצמיות‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫ואז תנאי הנרמול הוא‪:‬‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪ .‬לכן‪,‬‬ ‫(‬ ‫‪ .‬ופונ' הגל המנורמלת היא‪:‬‬ ‫√‬ ‫( √‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫" שאיבת " מידע פיזיקאלי מפונקצית הגל‬ ‫במכאניקה קוואנטית‪ ,‬פונקציות הגל מכונות "מצב המערכת"‪ .‬נשאלת השאלה‪ ,‬כאשר לחלקיק יש פונקצית‪-‬גל‬ ‫כיצד נוכל לחשב את תכונותיו הפיזיקאליות? התשובה מורכבת ומתבססת על הקישור‬ ‫או פונקצית מצב‬ ‫של אופרטורים לגדלים פיזיקאליים מדידים‪ .‬כבר למדנו כי לכל גודל פיזיקאלי יש אופרטור ̂ המייצג אותו‪.‬‬ ‫למעשה‪ ,‬יש לדייק ולדרוש שהאופרטור הנ"ל יהיה הרמיטי‪ .‬מהרגע שזיהינו את האופרטור ההרמיטי המתאים‬ ‫לגודל פיזיקאלי‪ ,‬ניתן להשתמש בו כדי "לשאוב" מפונקצית הגל מידע!‬ ‫ואנו מודדים גודל פיזיקאלי המתאים לאופרטור ̂ ‪ .‬המירשם לשאיבת‬ ‫נניח שהמערכת במצב מנורמל‬ ‫האינפורמציה מכיל את השלבים הבאים‪:‬‬ ‫̂‪.‬‬ ‫‪ .1‬קבע את הערכים והפונקציות העצמיים של ̂ ‪:‬‬ ‫לפי פונקציות עצמיות של ̂ ‪:‬‬ ‫‪ .2‬פרוס את‬ ‫היא באמצעות האינטגרל‪:‬‬ ‫∑‬ ‫‪ .‬אחת השיטות לקביעת‬ ‫⟩ | ⟨‬ ‫‪ .3‬תוצאת המדידה – תמיד אחד הערכים העצמיים של ̂ ‪:‬‬ ‫הוא | | (בזכות הנרמול‬ ‫‪ .4‬הסיכוי לקבל את הערך העצמי‬ ‫‪ .5‬ערך תצפית הוא‪:‬‬ ‫| | ∑‬ ‫| | ∑)‬ ‫⟩ ̂ ⟨‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬גם אם לא יכולים או מעוניינים לקבוע את הערכים העצמיים והפונקציות העצמיות של ̂ ‪ ,‬עדיין‬ ‫ניתן לקבוע את ערך התצפית‪ ,‬באמצעות הנוסחה‪:‬‬ ‫⟩̂ ⟨‬ ‫⟩ |̂ | ⟨‬ ‫דוגמה ‪ :2‬מודדים את התנע הזוויתי של חלקיק בעל מסה הנע על טבעת ברדיוס‬ ‫‪ .‬מה הם תוצאות המדידה האפשריות ומה ההסתברויות?‬ ‫פתרון‪ :‬ראינו בדוגמה ‪ 1‬כיצד לנרמל את פונקציית הגל‪:‬‬ ‫( √‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫מכאן‪ ,‬הערכים האפשריים למדידה והסיכויים הם פשוט ריבוע המקדמים של כל פונקציה עצמית‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪1/10‬‬ ‫‪1/10‬‬ ‫‪2/5‬‬ ‫‪2/5‬‬ ‫‪Pm‬‬ ‫‪6‬‬ ‫המצוי במצב‬ ‫‪7‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫כבדיקה‪ ,‬שימו לב כי סכום הסיכויים הוא ‪.1‬‬ ‫דוגמה ‪ :3‬גודל מדיד‬ ‫בהתאמה‪.‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫מתאים לאופרטור ̂ אשר לו שני מצבים עצמיים ⟩‬ ‫|‪ ,‬עם ערכים עצמיים‬ ‫|‪⟩ ,‬‬ ‫גודל מדיד מתאים לאופרטור ̂ אשר לו שני מצבים עצמיים (מנורמלים) ⟩‬ ‫ו‪ -‬בהתאמה‪ .‬ערכים אלה שונים זה מזה‪.‬‬ ‫עצמיים‬ ‫מתקיים הקשר הבא בין שתי מערכות המצבים העצמיים‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫⟩‬ ‫|‬ ‫⟩‬ ‫|‬ ‫⟩‬ ‫|‬ ‫⟩‬ ‫|‬ ‫⟩‬ ‫|‬ ‫⟩‬ ‫|‬ ‫ה‪.‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫ז‪.‬‬ ‫| ו‪⟩ -‬‬ ‫אנו נניח שהמצבים העצמיים של ⟩ |‪ | ⟩ ,‬הם אורתונורמלים‪ .‬הסבר מדוע ניתן להניח זאת‪.‬‬ ‫האם המצבים העצמיים של (⟩ |‪ )| ⟩ ,‬כפי שהוגדרו במשוואה זו הם אורתונורמלים?‬ ‫מכינים את המערכת במצב הקוונטי הבא‪:‬‬ ‫⟩‬ ‫ד‪.‬‬ ‫| עם ערכים‬ ‫|‬ ‫⟩‬ ‫⟩ |‬ ‫|‬ ‫מיד אחרי זה מודדים את מה הסיכוי לקבל תוצאה ?‬ ‫בהמשך לסעיף הקודם‪ :‬במדידת התקבל אמנם הערך‬ ‫הסיכוי שבמדידה השנייה מתקבל הערך ?‬ ‫בהמשך לסעיף הקודם‪ :‬במדידת התקבל אמנם הערך ‪ .‬מיד אח"כ מדדו שוב את ‪ .‬מה‬ ‫הסיכוי שהתקבל הערך ?‬ ‫האם האופרטורים ̂ ו‪ ̂ -‬חילופיים?‬ ‫‪ .‬מיד אחרי זה‬ ‫(‪ )15‬בניסוי אחר הכינו את המערכת במצב ומדדו את וקיבלו את הערך‬ ‫שבו ומדדו את ‪ .‬מה הסיכוי שהפעם תוצאת המדידה תהיה שווה ל‪? -‬‬ ‫‪ .‬מיד אחרי זה מודדים את ‪ .‬מה‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ B .‬הרמיטי והערכים העצמיים שונים‪ .‬במצב זה המצבים העצמיים אורתוגונלים‪ .‬לגבי הנרמול‪,‬‬ ‫אפשר להניח שהם נורמלו‪.‬‬ ‫ב‪ .‬כן‪:‬‬ ‫)⟩‬ ‫|‬ ‫⟨‬ ‫(‬ ‫⟩‬ ‫|‬ ‫⟨‬ ‫⟩‬ ‫|‬ ‫⟨‬ ‫⟩‬ ‫|‬ ‫⟨‬ ‫)⟩‬ ‫|‬ ‫⟨‬ ‫(‬ ‫⟩‬ ‫|‬ ‫⟨‬ ‫⟩‬ ‫|‬ ‫⟨‬ ‫⟩‬ ‫|‬ ‫⟨‬ ‫|‬ ‫⟨‬ ‫|‬ ‫⟨‬ ‫|‬ ‫⟨‬ ‫⟩‬ ‫|‬ ‫⟩‬ ‫⟨‬ ‫⟩‬ ‫⟩‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ההסתברות היא‪:‬‬ ‫|⟩‬ ‫|‬ ‫⟨|‬ ‫‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪ .‬ההסתברות היא‪:‬‬ ‫|⟩‬ ‫|‬ ‫⟨|‬ ‫|⟩‬ ‫ו‪.‬‬ ‫ז‪.‬‬ ‫|‬ ‫⟨|‬ ‫‪.‬‬ ‫לא‪ ,‬מדידת האחד איננה מאפשרת ידיעה בודאות של תוצאת המדידה של השני‪.‬‬ ‫(שכן נתון כי‬ ‫‪ .‬שכן‪ ,‬לפי תנאי השאלה חייב להתקיים‬ ‫ההסתברות היא‪:‬‬ ‫)‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫‪.9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫סיכום חוקי המכאניקה הקוואנטית‬ ‫בפרק זה נסכם את חוקי המכאניקה הקוואנטית שתיארנו בפרקים הקודמים‪ ,‬כולל דוגמאות פשוטות‬ ‫להמחשתם‪ .‬בהמשך הקורס נעסוק בעיקר ביישום חוקים אלה למערכות שונות בכימיה‪.‬‬ ‫האכסיומות‬ ‫מרוכבת או ממשית‪ ,‬רציפה וגזירה שאינטגרל‬ ‫‪ .1‬המצב של מערכת מתואר על‪-‬ידי פונקצית‪-‬גל‬ ‫ריבוע ערכה המוחלט שווה ‪( 1‬מנורמלת)‪.‬‬ ‫‪ .2‬כל גודל פיזיקאלי מיוצג על‪-‬ידי אופרטור הרמיטי ̂ ייחודי לו‪ ,‬בעל ערכים עצמיים‬ ‫(כלומר‪,‬‬ ‫ופונקציות עצמיות מתאימות‬ ‫̂ )‪ ,‬שאוסף המצבים העצמיים שלו פורס את מרחב המצבים של המערכת‪,‬‬ ‫∑‬ ‫‪ .‬באשר‬ ‫כלומר כל פונקצית גל ניתנת להירשם כקומבינציה ליניארית ‪:‬‬ ‫⟩ | ⟨‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ,‬מדידת גודל פיזיקאלי‬ ‫‪ .3‬תוצאת מדידה היא תמיד ערך עצמי‪ .‬במערכת במצב‬ ‫| |‬ ‫של ̂ בסיכוי‪|⟨ | ⟩| :‬‬ ‫לאופרטור הרמיטי ̂ ‪ ,‬תניב ערך עצמי‬ ‫דוגמה‪ :‬מודדים אנרגיה של חלקיק על טבעת במצב √‬ ‫הן תוצאות המדידה האפשריות ומה הסיכוי למדידת כל אחת מהן?‬ ‫‪.‬‬ ‫הפונקציות העצמיות של האנרגיה של חלקיק על טבעת הן‬ ‫נתקלנו‬ ‫בפונקצית‬ ‫)‬ ‫והסיכוי למדוד‬ ‫הגל‬ ‫( √‪ .‬לכן‪ ,‬הסיכוי למדוד‬ ‫הוא‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪ .‬כבר‬ ‫√‬ ‫‪.‬‬ ‫הוא‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .‬מה‬ ‫פתרון‪ :‬באופן כללי‪ ,‬תוצאות המדידה האפשריות הן הערכים העצמיים‬ ‫√‬ ‫המתאים‬ ‫ומצאנו‪:‬‬ ‫|⟩ |‬ ‫(‬ ‫⟨|‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .4‬המדידה בהכרח משנה את מצב המערכת‪ :‬תהליך המדידה של ̂ בו נמדד הערך העצמי ‪ ,‬משנה‬ ‫‪ .‬כך‪ ,‬אם מודדים את פעם נוספת מקבלים שוב ‪ ,‬הפעם בסיכוי ‪.1‬‬ ‫את מצב המערכת ל‪-‬‬ ‫‪ .5‬מדידות סימולטאניות‪( :‬הרחבה של ‪ )4‬ניתן למדוד בו‪-‬זמנית שני גדלים מדידים ו‪ , -‬שלהם‬ ‫] ̂ ̂ [‪ .‬לאחר המדידה המשותפת הערך‬ ‫אופרטורים ̂ ו‪ ̂ -‬שהם חילופיים‪ ,‬כלומר אם‬ ‫כך ש‪:-‬‬ ‫שנמדד עבור הוא ועבור הוא בתנאי שקיימת פונ' גל‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫‪ .‬לכן‪ ,‬אם מודדים‬ ‫בנוסף‪ ,‬מצב המערכת מיד לאחר המדידה מתואר על‪-‬ידי הפונקציה העצמית‬ ‫מיד לאחר מכן את מקבלים בודאות את הערך ואם מודדים את מקבלים בודאות את הערך ‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .‬מודדים את התנע שלו ומגלים‬ ‫דוגמה‪ :‬חלקיק בעל מסה מצוי במצב‬ ‫מיד אחרי‪-‬כן מודדים את האנרגיה הקינטית שלו‪ .‬מה הם הערכים האפשריים למדידה השניה‬ ‫ומה הסיכוי של כל ערך?‬ ‫פתרון‪ :‬מכיוון ש‪ ̂ -‬ו‪ ̂ -‬חילופיים‪:‬‬ ‫בסיכוי ‪.1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫ופונקציות עצמיות‬ ‫‪ .6‬קידום בזמן‪ :‬במערכת שההמילטוניאן שלה הוא ̂ ‪ ,‬עם ערכים עצמיים‬ ‫̂ ) הקידום בזמן של הפונקציות העצמיות הוא פשוט‪:‬‬ ‫(כלומר‬ ‫‪.‬‬ ‫כלשהו נקבעת בשלושה שלבים‪:‬‬ ‫מסקנה‪ :‬ההתפתחות בזמן של מצב ההתחלתי‬ ‫∑‬ ‫פרוס‪ :‬פורסים במושגי הפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫קדם‪ :‬מקדמים כל רכיב לפי אכסיומה ‪- 6‬‬ ‫∑‬ ‫הרכב‪ :‬מרכיבים בחזרה עם המשקולות המקוריות ‪-‬‬ ‫∑‪.‬‬ ‫חוק שימור האנרגיה‪ :‬הקידום בזמן שהוגדר באכסיומה זו נועד מראש להיות בעל התכונה‬ ‫החשובה‪ ,‬שהיא מיסודות הפיסיקה‪ :‬חוק שימור האנרגיה‪ .‬מעצם הגדרתו מבטיח הקידום‬ ‫בזמן הזה שערך התצפית של האנרגיה לא ישתנה בזמן‪ .‬ואומנם‪:‬‬ ‫∑ |̂ |‬ ‫⟩‬ ‫⟩‬ ‫|̂ |‬ ‫∑⟨‬ ‫⟨‬ ‫|̂ |‬ ‫⟩‬ ‫⟨‬ ‫⟩ ⟨‬ ‫∑‬ ‫| |∑‬ ‫∑‬ ‫ורואים שערך התצפית איננו תלוי בזמן‪.‬‬ ‫משוואת שרדינגר ‪ :‬דרך חלופית לניסוח האכסיומה השישית‬ ‫הדרך בה ניסחנו את האקסיומה השישית נוחה להבנה אך לעיתים‪ ,‬אינה נוחה לעבודה שוטפת‪ .‬שרדינגר ניסח‬ ‫את האקסיומה הזו באמצעות משוואת תנועה של פונקצית גל‪ ,‬ללא צורך להתייחס לפונקציות עצמיות‪ .‬מן‬ ‫האכסיומה השישית‪ ,‬קיים‪:‬‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫השיוויון השלישי נובע מכך ש‪-‬‬ ‫̂ ‪ .‬לכן‪:‬‬ ‫פונקציה עצמית של ̂ ‪:‬‬ ‫̂‬ ‫משוואה זו נכונה לכל רכיב ולכן היא נכונה בכלל לכל פונקצית גל אפשרית‪ .‬וזו משוואת שרדינגר‪ ,‬משוואת‬ ‫תנועה של פונקציות גל‪:‬‬ ‫̂‬ ‫משוואה זו היא תנאי שפונקצית גל המתפתחת בזמן חייבת לקיים‪ .‬זו משוואת התנועה המחליפה את משוואת‬ ‫או בצורתו‬ ‫התנועה של מכאניקה קלאסית ‪ -‬החוק השני של ניטון‬ ‫‪.‬‬ ‫משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן‬ ‫את משוואת הערכים והפונקציות העצמיים של ההמילטוניאן‪:‬‬ ‫̂‬ ‫‪9‬‬ ‫כמשוואת תנועה‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫נוהגים לכנות בשם "משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן"‪ .‬בעזרת פתרונותיה אפשר גם להציג בקלות את‬ ‫הפתרונות של משוואת שרדינגר התלויה בזמן‪ ,‬משום שהתלות בזמן יכולה להיגזר ישירות מאכסיומה ‪ .6‬לכן‬ ‫נקיטת אחת משתי הגישות – תלויה בזמן ובלתי תלויה בזמן הן יותר עניין של נוחות‪.‬‬ ‫(הערה‪ :‬יש מערכות שבהם מופעל שדה חיצוני על ואז משוואת שרדינגר התלויה בזמן נותרת נכונה ואילו‬ ‫ה"בלתי תלויה" אינה רלוונטית עוד‪ .‬לא נעסוק במערכות אלה בקורס זה‪).‬‬ ‫̂‬ ‫ההמילטוניאן הינו אופרטור האנרגיה‪ ,‬ולכן הינו סכום של אנרגיה קינטית ופוטנציאלית ‪̂ :‬‬ ‫̂ ‪ ,‬הרי משוואת שרדינגר מקבלת את הצורה‪:‬‬ ‫שהארגיה הקינטית היא‪:‬‬ ‫̂ ‪ .‬מכיוון‬ ‫תרגיל‪ :‬כיצד תלויים ערכי תצפית בזמן? ראשית נניח שהמצב של המערכת הוא מצב עצמי של ההמילטוניאן‪:.‬‬ ‫לאחר מכן הנח מצב של המערכת שהוא סופרפוזיציה של שני מצבים‪:‬‬ ‫הראה שערך התצפית מתנדנד הרמונית בתדירות‬ ‫מצא את‬ ‫‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬במקרה הראשון‬ ‫⟩‬ ‫|̂ |‬ ‫⟨‬ ‫|̂ |‬ ‫⟩‬ ‫⟨‬ ‫|̂ |‬ ‫⟩‬ ‫⟩ ⟨‬ ‫⟨‬ ‫ורואים‪ ,‬שכאש ר המצב הוא סטאציונרי ערך התצפית של כל הגדלים הם בלתי תלויים בזמן (קבועים)‪.‬‬ ‫במקרה השני‪:‬‬ ‫|̂ |‬ ‫⟩‬ ‫⟨‬ ‫⟩‬ ‫]‬ ‫|̂ |‬ ‫⟩‬ ‫|̂ |‬ ‫⟨ |‬ ‫|‬ ‫⟨‬ ‫⟩‬ ‫⟩‬ ‫|̂ |‬ ‫|̂ |‬ ‫⟨ |‬ ‫⟨‬ ‫|̂ |‬ ‫⟩‬ ‫⟨‬ ‫|‬ ‫[‬ ‫נשים לב ש‪-‬‬ ‫⟩‬ ‫]‬ ‫|̂ |‬ ‫⟨‬ ‫[‬ ‫|̂ |‬ ‫⟩‬ ‫⟨‬ ‫|̂ |‬ ‫⟩‬ ‫ואם נסמן‪:‬‬ ‫]⟩‬ ‫|̂ |‬ ‫⟨‬ ‫[‬ ‫]⟩‬ ‫|̂ |‬ ‫⟨‬ ‫[‬ ‫אז‪:‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫⟩‬ ‫|̂ |‬ ‫ומכאן‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫⟨‬ ‫⟩‬ ‫|̂ |‬ ‫⟨‬ ‫⟨‬ ‫⟩ ⟨‬ ‫‪11‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫⟩‬ ‫|̂ |‬ ‫⟨ |‬ ‫|‬ ‫⟩‬ ‫⟩ ⟨‬ ‫|̂ |‬ ‫⟨ |‬ ‫|‬ ‫⟩ ⟨‬ ‫אפקטים קוואנטיים לעומת קלאסיים ועקרון ההתאמה‬ ‫המכאניקה הקוואנטית שונה ממכאניקה קלאסית בכמעט כל מובן אפשרי‪.‬‬ ‫הנחות היסוד שונות‪ ,‬האינטרפרטציה שונה‪ ,‬משוואות התנועה שונות‪ .‬עם‬ ‫זאת‪ ,‬במקרים רבים‪ ,‬ניבויים של המכאניקה הקלאסית הינם קירוב טוב למדי‬ ‫לאלה של המכאניקה הקוואנטית‪ .‬מובן‪ ,‬שלא כך הוא הדבר תמיד‪ ,‬וכל סטייה‬ ‫מובהקת ואיכותית בין שני הניבויים מכונה אפקט קוואנטי‪.‬‬ ‫מניסיונינו בחיי היומיום‪ ,‬מערכות מאקרוסקופיות מתוארות מצויין על‪-‬ידי‬ ‫מכאניקה קלאסית‪ .‬אך ברמה האטומית המכאניקה הקלאסית אינה תקיפה‬ ‫והמכאניקה הקוואנטית הכרחית‪ .‬חשוב לזכור‪ ,‬שהמכאניקה הקוואנטית‬ ‫תקיפה לכל המערכות‪ ,‬ואין גבולות ידועים לנכונותה‪ .‬לכן‪ ,‬זו תכונה של‬ ‫המכניקה הקוואנטית שכאשר מדובר במערכות מאקרוסקופיות (חלקיקים‬ ‫בעלי מסה גדולה וטמפ' גבוהה)‪ ,‬המכניקה הקלאסית מהווה קירוב טוב‪.‬‬ ‫תכונה זו מכונה "עיקרון ההתאמה" (‪ )The correspondence principle‬והיא‬ ‫נוסחה לראשונה על‪-‬ידי נילס בוהר ב‪.1293 -‬‬ ‫נילס בוהר ‪.2881-2991‬‬ ‫חקר את מבנה האטום ואת‬ ‫הבליעה של קרינה‪ .‬זכה‬ ‫בפרס נובל ‪ 1299‬על‬ ‫עבודתו זו‪.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫‪. 21‬‬ ‫‪12‬‬ ‫תופעת הכליאה הקוונטית – מודל חלקיק בקופסא‬ ‫בשנים האחרונות מתקיים מחקר‬ ‫התכונות‬ ‫בתחום‬ ‫אינטנסיבי‬ ‫האופטיות של ננו‪-‬גבישים‪ .‬אלו הם‬ ‫גבישים שגודלם מספר ננומטרים‬ ‫שהתכונות‬ ‫מסתבר‬ ‫(בקוטר)‪.‬‬ ‫האופטיות של ננו‪-‬גבישים מושפעים‬ ‫מגודלם‪ .‬אפקט סוג זה מכונה‬ ‫"אפקט כליאה קוונטית"‪ .‬הדבר‬ ‫מהווה מהפיכה במדע החומרים‪:‬‬ ‫ניתן להרכיב חומרים עם תכונות‬ ‫"לפי הזמנה" כאשר הכיוונון נעשה‬ ‫על‪-‬ידי בחירת הגודל של הגביש‪.‬‬ ‫בציור מימין רואים שצבע (אורך‬ ‫הגל) האור הנפלט מננו‪-‬גבישים תלוי‬ ‫בגודלם וככל שהם גדולים יותר‪ ,‬כך‬ ‫האור אדום יותר (אורך הגל גדול‬ ‫יותר)‪ .‬בפרק זה נסביר את תופעת‬ ‫הכליאה הקוונטית‪.‬‬ ‫ננו‪-‬גביש של חומר חצי מוליך (‪ )CdSe‬הינו גביש שרדיוסיו‬ ‫מספר מיליארדיות המטר‪ .‬בצילום רואים מטריצות פולימריות‬ ‫המכילות ריכוז גבוה של ננו‪-‬גבישים‪ .‬ההבדל בין מיכל אחד‬ ‫למשנהו הינו בקוטר של הננו גבישים‪ .‬כל הגבישים מוארים‬ ‫באור אולטרא‪-‬סגול ופולטים אור בתחום הנראה‪ .‬צבע האור‬ ‫הנפלט תלוי בקטור הננו‪-‬גבישים‪ :‬ככל שהקוטר גדל הצבע יותר‬ ‫אדום‪.‬‬ ‫כיצד‬ ‫היא‪:‬‬ ‫שנשאל‬ ‫השאלה‬ ‫מושפעות רמות האנרגיה של‬ ‫אלקטרונים בחומר כאשר גודלו של‬ ‫החומר הינו מסדר גודל של אורך‬ ‫הגל של האלקטרונים? לצורך זה נבחן מודל פשוט בו נדמיין שהאלקטרונים כלואים בקופסא קטנה‪ .‬לשם‬ ‫הפשטות‪ ,‬נניח שהאלקטרון‪ ,‬בעל מסה הינו חד‪-‬מימדי ומצוי ב"קופסא" חד מימדית באורך ‪ .‬בתוך הקופסא‬ ‫יש לחלקיק רק אנרגיה קינטית‪ .‬לכן‪ ,‬משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן היא‪:‬‬ ‫פונקצית הגל של החלקיק מאולצת להיות אפס מחוץ לקופסא‪ ,‬כולל קצותיה‪ .‬לכן נבחר תנאי השפה הבאים‪:‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫אילולא תנאי השפה‪ ,‬היו שני הגלים המונוכרומטים יכולים להיות פתרון‪:‬‬ ‫אבל אלה לא מקיימים את תנאי השפה‪ ,‬לכן נציג את הפתרון כקומבינציה ליניארית של שתי האפשרויות‪:‬‬ ‫נציב תנאי השפה‪:‬‬ ‫מהמשוואה הראשונה‪ ,‬מכאן‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ,‬ומהשנייה‪:‬‬ ‫לכן‪ ,‬פתרונות משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן הם‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫ננרמל‪:‬‬ ‫)‬ ‫∫‬ ‫‪12‬‬ ‫(‬ ‫∫‬ ‫‪.‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫לכן √‬ ‫‪13‬‬ ‫‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫יש ‪ n  1‬צמתים‪ :‬ככל‬ ‫צומת בפונקצית הגל היא נקודה בה מחליפה הפונקציה סימן‪ .‬ל‪-‬‬ ‫שעולים ברמת העירור‪ ,‬כך יש יותר מצמתים‪ ,‬זהו כלל שנשמר במקרים רבים‪ :‬מספר הצמתים מעיד‬ ‫על רמת העירור‪.‬‬ ‫אנרגיית האפס‬ ‫חלקיק קלאסי בקופסא יכול להיות בעל אנרגיה אפסית‪ :‬כלומר האנרגיה המינימאלית שלו היא‬ ‫‪ ,‬כלומר לא ניתן להוריד את‬ ‫‪ .‬לא כך המצב עבור חלקיק קוואנטי‪ .‬כאן‬ ‫‪ .‬האנרגיה המינימלית הזו מכונה אנרגיית האפס‪ .‬העובדה שיש‬ ‫האנרגיה ‪XX‬מחת לגודל חיובי‬ ‫תמיד אנרגיה נובעת מעיקרון אי הוודאות של הייזנברג‪ ,‬לפיו‪ ,‬עצם הכליאה של החלקיק בתיבה באורך‬ ‫גדל ככל שמנסים למקם את החלקיק (להקטין את‬ ‫‪ L‬מכניסה בו תנע‪ ,‬המתבטא באנרגיה קינטית‪.‬‬ ‫ממדי הקופסא)‬ ‫תופעת הכליאה הקוונטית‬ ‫ככל שאורך הקופסא גדל כך קטנה אנרגיית האפס‪ .‬גם ההפרש האנרגתי בין כל שתי רמות אנרגיה‬ ‫עוקבות‪:‬‬ ‫באשר הוא התדר של‬ ‫קטן‪ .‬הפרש זה שווה ל‪-‬‬ ‫רואים‪ ,‬שכאשר גדל‪ ,‬הפרש האנרגיה‬ ‫‪ .‬כך ניתן להסביר‪ ,‬באופן איכותי‪,‬‬ ‫יורד לרמה‬ ‫פוטון הנפלט כאשר אלקטרון ברמה מעוררת‬ ‫את אפקט הכליאה הקוונטית‪ :‬ככל שהננו‪-‬גביש גדל‪ ,‬כך תדר הפוטון קטן (אורך הגל של האור הנפלט‬ ‫גדל)‪.‬‬ ‫הסבר מפורט יותר‪ :‬לגביש חד‪-‬מימדי‪ :‬בננוגביש ליניארי דוגמת הקופסא החד‪-‬מימדית שלנו‪ ,‬שבו‬ ‫אלקטרונים תהיה מספר הרמה המאוכלסת האחרונה נתונה על‪-‬ידי‪:‬‬ ‫צפיפות ליחידת אורך של האלקטרונים בגביש‪ .‬צפיפות זו מאפיינת את החומר ממנו‬ ‫באשר‬ ‫עשוי הגביש ולכן אינה משתנה כאשר מגדילים את הגביש כלומר מגדילים את ‪ .‬רואים שככל שגדל‬ ‫בפרופורציה ל‪. -‬‬ ‫הגביש גדל מספר הרמה המאוכלסת‬ ‫במקרה זה הבליעה מהרמה המאוכלסת הגבוהה לרמה הבלתי מאוכלסת התחתונה היא‪:‬‬ ‫אשר‬ ‫גדל קיים‪:‬‬ ‫כלומר אנרגיית הבליעה יורדת (סוטה לאדום) בפרופורציה להופכי של אורך הגביש‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬ההסבר הזה מתאים יותר לננו גבישים מתכתיים (המכונים חלקיקי‪-‬ננו)‪ .‬לגבי ננו גבישים של‬ ‫חצאי מוליכים ההסבר יותר מורכב ואיננו מובא בקורס זה‪.‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪14‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫עיקרון אי הודאות בחלקיק בקופסא‬ ‫ראשית‪ ,‬נשים לב כי ערך התצפית של התנע במצב עצמי של ההמילטוניאן הוא אפס‪:‬‬ ‫∫‬ ‫⟩‬ ‫∫‬ ‫|̂ |‬ ‫⟨‬ ‫⟩̂ ⟨‬ ‫|‬ ‫כך הדבר במערכות רבות‪ :‬ערך התצפית של התנע שווה אפס במצב סטאציונרי‪.‬‬ ‫אי הוודאות בתנע (או כל גודל פיזיקאלי) מוגדרת על‪-‬ידי‪:‬‬ ‫⟩̂ ⟨‬ ‫√‬ ‫⟩ ⟩ ⟨‬ ‫⟩ ̂ ⟨√‬ ‫⟩ ⟩ ⟨‬ ‫̂ ⟨√‬ ‫̂ ⟨√‬ ‫כלומר‪ ,‬במצב סטאציונרי‪ ,‬אי הודאות בתנע היא שורש ערך התצפית של האנרגיה הקינטית כפול‬ ‫⟩̂ ⟨‬ ‫ערך התצפית של האנרגיה הקינטית הינו‬ ‫פעמיים המסה‪ .‬מבקרה שלנו‪ ,‬במצב‬ ‫ולכן‪:‬‬ ‫√‬ ‫רואים כי אי הודאות עולה ככל שמנסים למקמם את החלקיק (להקטין את הקופסא)‪ .‬שוב – עיקרון‬ ‫הייזנברג בפעולה‪.‬‬ ‫פלורסנציה בננו גבישים "חד מימדיים" ‪ ,‬ההבדל בין טבעת וקופסה ‪ ,‬ארומטיות …‬ ‫(חומר זה הוא רשות‪ ,‬ויידון רק בסוף הקורס‪ ,‬לאחר שנלמד על כללי הונד והקשר הכימי)‪ .‬ראינו שרמות‬ ‫‪:‬‬ ‫האנרגיה של חלקיק בקופסא באורך שונות מאלו של חלקיק על טבעת באותו היקף‬ ‫)‬ ‫כאשר‬ ‫(‬ ‫‪ .‬רואים‪ ,‬בטבעת כל רמה (פרט לרמת היסוד) מנוונת פעמיים ובקופסא אין ניוון‪.‬‬ ‫נשווה בפרוט קופסא מול טבעת‪ .‬כדי שתהיה להשוואה משמעות‪ ,‬דרושים שני תנאים‪ :‬שאורך הקופסא יהיה‬ ‫שווה להיקף הטבעת (שניהם שווים ל‪ ) -‬ומספר האלקטרונים בשתי המערכות יהיה שווה אף הוא‪ .‬התנאים‬ ‫הללו מתרגמים לכך שבשתי המערכות יש את אותה צפיפות אלקטרונית לינארית (מס' אלקטרונים ליח' אורך)‬ ‫‪:‬‬ ‫קודם נדון בקופסא‪ .‬אם יש‬ ‫אלקטרונים והאנרגיה הכוללת היא‪:‬‬ ‫הרמות התחתונות מאוכלוסת כל אחת בשני‬ ‫אלקטרונים אז‬ ‫∑‬ ‫כאן השתמשנו בנוסחה‪:‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫∑‬ ‫מכאן האנרגיה הממוצעת פר אלקטרון היא‪:‬‬ ‫קל יותר לבדוק מה קורה כאשר גדול מאד‪ .‬כדי לשמור על צפיפות קבועה‪ ,‬ניקח גם גדול באותה פרופרציה‪.‬‬ ‫כלומר אנו מדברים על קופסא גדולה עם מספר גדול של אלקטרונים‪ .‬מהביטוי שקיבלנו‪ ,‬רואים כי עבור גדול‪:‬‬ ‫לגבי הטבעת‪ ,‬שני האלקטרונים הראשו נים אינם תורמים אנרגיה ובגלל שכל רמה מעוררת מנוונת פעמיים‪ ,‬אם‬ ‫אלקטרונים אז‪:‬‬ ‫יש‬ ‫∑‬ ‫רואים כי עבור‬ ‫ב‪-‬‬ ‫‪ ,‬ומכאן האנרגיה פר אלקטרון היא‪:‬‬ ‫גדול‪:‬‬ ‫גדול היחס בין האנרגיות הוא‪:‬‬ ‫כלומר‪ ,‬בתנאים לעיל‪ ,‬האנרגיה הכוללת של אלקטרונים בבטבעת או בקופסה זהה‪ :‬אין הבדל בין המערכות!‬ ‫נשאלת שאלה מעניינת‪ :‬זה רק האנרגיה הכללית‪ ,‬האם בכל זאת יש הבדל בין שתי המערכות‪ ,‬כלומר האם יש‬ ‫להן תכונות אחרות בהן ניתן לראות הבדל?‬ ‫פלורסנציה מננו גבישים‪ .‬הבה נבדוק מה האנרגיה המינימלית הדרושה לערור אלקטרון בכל אחת מהמערכות‪.‬‬ ‫אנרגיה זו שווה בקרוב לאנרגיית הבליעה או לאנרגיית הפלורסנציה של המערכת‪.‬‬ ‫אלקטרונים‪:‬‬ ‫ראשית‪ ,‬נחשב את אנרגית העירור של אלקטרון בקופסא עם‬ ‫‪ ,‬כלומר קטנה ככל שהקופסה גדלה (תוך שמירת צפיפות‬ ‫רואים שאנרגיית העירור פרופורציונית ל‪-‬‬ ‫אלקטרונים קבועה)‪ .‬זו הסיבה שהפלורסנציה בננו גבישים סוטה לאדום ככל שגביש מחומר מסויים (כלומר‬ ‫בעל צפיפות אלקטרונים אלקטרונים נתונה) גדל‪ .‬נשים לב ש ננוגבישים הם בדרך כלל כדוריים והמודל שלנו‬ ‫‪.‬‬ ‫מתאים לננו גבישים מאורכים‪ .‬בננו גבישים כדוריים אנרגיית העירור תהיה פרופורציונית ל‪-‬‬ ‫בטבעת עם‬ ‫אלקטרונים נקבל‪:‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫גם כאן רואים שאנרגית העירור קטנה לינארית עם גודל הטבעת‪ .‬אבל‪ ,‬מעניין‪ ,‬שלמרות שהאנרגיה הכוללת‬ ‫בשתי המערכות זהה‪ ,‬אנרגיית העירור בטבעת היא פי ‪ 4‬יותר גדולה מאשר בקופסא באותו גודל ועם אותה‬ ‫צפיפות אלקטרונית‪.‬‬ ‫מצאנו שיש הבדל משמעותי בין מערכת לינארית וציקלית‪ ,‬והוא‪ :‬תדר (צבע) פוטון הפלורסנציה! לאנרגיית‬ ‫העירור משמעות נוספת‪ ,‬כימית‪ ,‬כפי שנדון להלן‪.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪16‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫ארומטיות‪ .‬אנרגיית עירור של מולקולה היא בדרך כלל מדד לנטיה של מערכת כימית להשתתף בקשרים‬ ‫כימיים עם מולקולות אחרות‪ ,‬כלומר לריאקטיביות‪ .‬לרוב‪ ,‬ככל שאנרגיית העירור גדולה יותר כך המערכת‬ ‫אינרטית יותר (האלקטרונים בה "נעולים" ואינם נוטים להשתתף בקשרים כימיים)‪ .‬במובן זה‪ ,‬נוכל להסיק‬ ‫אלקטרונים היא יציבה יותר מבחינה כימית ממערכת דומה אבל לא ציקלית‪.‬‬ ‫שמערכת ציקלית עם‬ ‫אלקטרוני נוטה להיות יותר‬ ‫זו הסיבה שמערכת ארומטית‪ ,‬היינו מולקולה ציקלית‪-‬מישורית עם‬ ‫אינרטית מבחינה כימית ממערכת דומה שאיננה ציקלית‪.‬‬ ‫תכיל אלקטרון אחד‬ ‫אלקטרונים‪ ,‬אנרגיית העירור היתה מאד קטנה‪ :‬אורביטלה‬ ‫אילו בטבעת היו רק‬ ‫‪,‬‬ ‫יעבור ל‪-‬‬ ‫תכיל אלקטרון אחד‪ .‬המצב המעורר הבא יהיה שאלקטרון מ‪-‬‬ ‫וארביטלה‬ ‫עירור שאינו כרוך בשינוי אנרגתי (למעשה‪ ,‬בגלל האינטראקציה בין האלקטרונים ישיה שינוי קטן)‪ .‬במקרה זה‬ ‫הטבעת מתגלה כהרבה פחות יציבה כימית מהמערכת הלינארית המקבילה (למשל בוטדן מול ציקלובוטדן)‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫או‬ ‫רואים‪ ,‬שארומטיות קשורה גם בציקליות וגם במספר אלקטרונים‪ ,‬הינו אם הוא‬ ‫‪. 22‬‬ ‫תנועה ויברציונית ב מולקולות‬ ‫‪1‬‬ ‫מקרינים גז של מולקולות יוד ‪ I 2‬בפולס אור לייזר קצר ביותר‪ .‬זמן קצר מאד‪ ,‬מספר מאות פמטו‪-‬שניות לאחר‬ ‫‪+‬‬ ‫מכן‪ ,‬מקרינים בפולס נוסף הגורם ליינון של המולקולות‪ .‬אם מציירים את כמות היונים ‪ I2‬הנוצרת כפונקציה של‬ ‫הפרש הזמנים בין הפולסים מקבלים גרף מחזורי‪ ,‬כמוצג להלן‪:‬‬ ‫מה מקור התנודות שרואים בגרף? התנודות מזכירות לנו תנועה מחזורית של משקולות על קפיץ‪ .‬נחשוב על‬ ‫מולקולת ה‪ I2 -‬כמורכבת משני אטומי יוד וביניהם מחובר "קפיץ" ווירטואלי‪ .‬מה עושה הפולס הראשון? במובן‬ ‫מסוים‪ ,‬הוא "מותח את הקפיץ" (אנו נסביר מעט טוב יותר מדוע ניתן לומר כך מאוחר יותר בפרק זה)‪ .‬לאחר‬ ‫שכבה הפולס הראשון‪ ,‬האטומים "נעזבים לנפשם"‪ ,‬ומתחילים להתנודד סביב נקודת שיווי משקל של הקשר‬ ‫הכימי ביניהם‪ .‬כך מתחילה המולקולה לבצע תנועה ויבראציונית‪ .‬מה עושה הפולס השני? במובן מסויים‬ ‫מאפשר לנו "לראות" היכן מצויים שני גרעיני ה‪ I -‬זה ביחס לזה‪ .‬בהמשך הקורס נלמד יותר על פעולת שני‬ ‫הפולסים הללו‪.‬‬ ‫הבה נחקור את תנועה הויבראציה הזו‪ .‬נניח שתנועת האטומים היא לאורך ציר מסויים (נניח ציר ‪ .)x‬בעקיפין‪,‬‬ ‫הנחה זו תקיפה רק אם המולקולה הדו‪-‬אטומית אינה מסתובבת‪ .‬נניח שכך הדבר‪ .‬נסמן את קבוע‪-‬הכוח של‬ ‫הקפיץ בין האטומים ב‪ , -‬את אורך הקשר בו הקפיץ רפוי ב‪ , -‬ואת מסת כל אחד מאטומי היוד ב‪ . -‬האנרגיה‬ ‫הקלאסית של תנועת הויבראציה של ‪ I2‬היא אם כך‪:‬‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫יש כאן שלושה אברים‪ .‬שני הראשונים הם האנרגיות הקינטיות של כל אחת מהמסות‪ .‬האיבר השלישי הינו‬ ‫|‬ ‫האנרגיה הפוטנציאלית שבהתארכות הקפיץ (|‬ ‫| מידת הסטיה‬ ‫| הינו אורך הקפיץ ולכן‬ ‫מאורכו במצב הרפוי) כעת‪ ,‬הבה נגדיר קואורדינאטות חדשות‪ ,‬קואורדינאטת מרכז המסה‪:‬‬ ‫‪ 1‬פמטו‪-‬שניה – ‪ femtosecond‬ובקיצור ‪ fs‬היא יחידת זמן השווה ל‪ 10-15 -‬שניות‪.‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫וקואורדינטות התנועה היחסית‪:‬‬ ‫מהקשרים רואים‬ ‫נקבל גם את הקואורדינטות הרגילות ביחס לחדשות‪:‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫כעת נוכל לרשום את האנרגיה כך‪:‬‬ ‫| |‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫פתיחת שני סוגריים תתן את הביטוי הבא לאנרגיה‪:‬‬ ‫| |‬ ‫) (‬ ‫רואים‪ ,‬שהאנרגיה מופיעה כאן כסכום של אנרגיות של שני "חלקיקים" חדשים‪ ,‬המחליפים את החלקיקים‬ ‫חלקיק זה‪,‬‬ ‫המקוריים‪ .‬האחד‪ ,‬חלקיק חופשי‪ ,‬כלומר חלקיק שהאנרגיה שלו היא רק קינטית‬ ‫(המסה הכוללת של המערכת) ומהירותו היא ‪.‬‬ ‫מכונה "מרכז המסה" (‪ )center of mass‬הוא בעל מסה‬ ‫| |‬ ‫היא אנרגיה של‬ ‫‪.‬‬ ‫ומסתו‬ ‫החלקיק השני הינו בעל אנרגיה‬ ‫משקולת על קפיץ! נשים לב שהמסה על הקפיץ איננה המסה של אחד מאטומי היוד וגם לא של שניהם‪ ,‬אלא‬ ‫של מחצית המסה של אטום יוד! מסה זו מכונה המסה המצומצמת‪ .‬מכיוון ש‪ -‬הוא קבוע של התנועה‪ ,‬אפשר‬ ‫להניח שהוא שווה אפס‪ .‬בעקיפין אנו חופשיים לקבוע אותה כרצוננו‪ ,‬ונניח שהוא אפס‪ ,‬לשם הפשטות‪ .‬כך‬ ‫המולקולה הדו‪-‬אטומית שלנו איננה רק חסרת תנועה סיבובית אלא גם חסרת תנועה טרנסלטורית‪ ,‬אנו‬ ‫מתמקדים אם כך רק בתנועה הויברציונית‪ .‬להלן גרף של הפוטנציאל‪:‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪2V K r2B‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r rB‬‬ ‫אנו נתעניין רק באנרגיות ויברציוניות נמוכות‪ ,‬או נניח שהקפיץ מספיק קשיח‪ ,‬כך שהמסות אינן יכולות לחלוף זו‬ ‫דרך זו‪ .‬מכאן‪ ,‬נוכל לטפל רק במינימום הימני או השמאלי אך אין צורך בשניהם‪ .‬כלומר‪ ,‬אנו נניח כי תמיד‬ ‫חיובי ואין צורך בערך המוחלט‪ .‬כעת האנרגיה של הויבראציה היא פשוט‪:‬‬ ‫הקפיץ התארכות‬ ‫האוסצילטור ההרמוני ‪ -‬טיפול קלאסי‬ ‫הבה נזכר במאפייני התנועה של אוסצילטור הרמוני קלאסי‪ .‬האיבר הראשון בביטוי האנרגיה הנו אנרגיה קינטית‬ ‫של מסת האוסצילטור‪ .‬האיבר השני הוא אנרגיה פוטנציאלית‪:‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪18‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪2.0‬‬ ‫‪1.0‬‬ ‫‪2V K r2B‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x rB r rB 1‬‬ ‫האנרגיה הכוללת היא קבוע של התנועה‪ .‬משוואת התנועה של ניוטון מתארת את התנועה של הסטייה משיווי‬ ‫‪:‬‬ ‫משקל כפונקציה של הזמן‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫̈‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫̈‬ ‫כאשר‪ ,‬הגדרנו "תדירות"‬ ‫ובמהירות‬ ‫‪ .‬נמצא את הפתרון עבור אוסצילטור שבתחילת תנועתו נמצא ב‪-‬‬ ‫על‪-‬ידי‪:‬‬ ‫‪ .‬באופן כללי‪ ,‬הפיתרון הוא הסכום הבא‪:‬‬ ‫ניתן לבדוק שזה פתרון בהצבה ישירה במשוואת התנועה של האוסצילטור ‪ .‬אבל כיצד נקבע את‪ A‬ו‪ ?B -‬נתון‪,‬‬ ‫מיקום החלקיק הוא ‪:‬‬ ‫שבזמן‬ ‫לכן ניקח‬ ‫‪ .‬כמוכן נתונה המהירות ההתחלתית –‬ ‫‪ .‬ידוע כי‪:‬‬ ‫]‬ ‫בזמן‬ ‫המהירות צריכה להיות שווה‬ ‫[‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫]‬ ‫לכן‪,‬‬ ‫̇‬ ‫[‬ ‫̇‬ ‫‪ .‬מכאן‪ ,‬מקום החלקיק כפונקציה של הזמן הוא‪:‬‬ ‫דוגמה‪ :‬אוסצילטור הרמוני נמתח להעתק של ‪ x o‬ונעזב‪ .‬מהי התזוזה כפונקציה של הזמן? מהי המהירות‬ ‫כפונקציה של הזמן? הראה כי האנרגיה נשמרת‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬לפי הפתרון הכללי‪ ,‬ומכיוון שהמהרות ההתחלתית שווה לאפס‪:‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪19‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫המהירות כפונקציה של הזמן היא‪:‬‬ ‫̇‬ ‫בגרף להלן מוצגים המקום והמהירות כפונקציה של הזמן‪ ,‬עבור‬ ‫‪.‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪6.283‬‬ ‫‪5‬‬ ‫) ‪x( t‬‬ ‫‪0‬‬ ‫) ‪v( t‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ 6.283‬‬ ‫‪0‬‬ ‫האנרגיה‪ ,‬כפונקציה של הזמן היא‪:‬‬ ‫‪ ,‬אינה משתנה עוד‪.‬‬ ‫שווה לקבוע שאינו תלוי בזמן ‪ -‬כלומר האנרגיה‪ ,‬משנקבעה בזמן‬ ‫רואים ש‪-‬‬ ‫זהו מקרה פרטי של חוק כללי‪ ,‬הנקרא “חוק שימור האנרגיה”‪ :‬בכל מערכת סגורה (כלומר מבודדת מהסביבה)‬ ‫האנרגיה נשמרת‪.‬‬ ‫האוסצילטור ההרמוני – תמונה קוואנטית‬ ‫כדי לעבור לעולם הקוואנטי‪ ,‬עלינו להתאים לכל הגדלים הפיזיקאליים אופרטורים‪ .‬אופרטור האנרגיה הוא חשוב‬ ‫במיוחד‪ ,‬שכן הוא קובע את ההתפתחות בזמן (אקסיומה מס' ‪ .)6‬המילטוניאן הוא פשוט תרגום של האנרגיה‬ ‫הקלאסית לאופרטורים קוואנטים‪:‬‬ ‫̂‬ ‫̂ ‪ ,‬הקובעת את המצבים העצמיים היא‪:‬‬ ‫ומשוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן‪,‬‬ ‫את המשוואה הזו יש לפתור בתנאי שפה מסויימים‪ .‬כדי לתאר אוסצילטור הרמוני "פיזיקלי"‪ ,‬נדרוש שפונ' הגל‬ ‫תדעך לאפס כאשר ‪ x‬גדול‪:‬‬ ‫תנאי שפה מסוג זה מכונים תנאים אסימפטוטיים‪ .‬אם לא נדרוש תנאים אלה‪ ,‬לא נוכל לנרמל את פונ' הגל‪.‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪21‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫פונקציות הגל העצמיות להמילטוניאן‬ ‫כדי לקבוע את הפתרונות של משוואת שרדינגר‪ ,‬נסתכל תחילה על תחום בו‬ ‫שרדינגר‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪ .‬בגבול זה משוואת‬ ‫(‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫נהית פשוטה יותר‪ ,‬בשל העובדה ש‪-‬‬ ‫‪ .‬קיים‪:‬‬ ‫משוואה זו קלה יותר לפתרון‪ .‬ננסה‪:‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫ולכן‪ ,‬משיקולים "אסימפטוטיים" אלה‪:‬‬ ‫‪ ,‬אלא היא מקיימת את משוואת שרדינגר‬ ‫במקרה‪ ,‬מתברר שפונקציה זו איננה רק פיתרון בתנאי‬ ‫המלאה‪ .‬מכיוון שפונקציה זו חסרת צמתים‪ ,‬הרי שזו פונקציית הגל של מצב היסוד‪:‬‬ ‫ואמנם‪ ,‬נציב במשוואת שרדינגר למציאת האנרגיה העצמית‪:‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫ומכאן‪:‬‬ ‫̂‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫נשים לב‪ ,‬כי למשוואה האסימפטוטית היינו יכולים למצוא פתרונות נוספים‪ .‬בעצם כל פונקציה מהצורה‪:‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪21‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫)‬ ‫√(‬ ‫הוא פולינום מסדר פותר את המשוואה האסימפטוטית‪ .‬מהדיון למעלה ברור כי‬ ‫באשר‬ ‫גם הוא מוביל לפתרון של המשוואה המליאה‪ ,‬ובהיותה‬ ‫מוביך לפתרון‪ .‬ניתן להראות בהצבה שגם‬ ‫פונקציה עם צומת אחת‪ ,‬הרי שהיא מצב מעורר ראשון‪:‬‬ ‫̂ ‪ .‬הערך העצמי של האנרגיה הוא אם כך‪:‬‬ ‫תרגיל‪ :‬הראה כי‬ ‫ניתן להראות ששאר האפשרויות ל‪-‬‬ ‫הם כולם פולינומי הרמיט‪:‬‬ ‫רמות אנרגיה‬ ‫בהצבת הפתרון הכללי ניתן גם להראות על‪-‬ידי הצבה כי רמת האנרגיה ה‪ n -‬היא‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫שימו לב כי האנרגיה הנמוכה ביותר איננה אפס‪ :‬לאוסצילטור הרמוני יש תמיד תנועה גם ברמתו הנמוכה ביותר‪,‬‬ ‫‪ .‬נתקלנו בתופעה דומה גם בדיון על‬ ‫כאשר האנרגיה הנמוכה מכונה אנרגיית אפס והיא שווה ל‪-‬‬ ‫חלקיק בקופסא‪.‬‬ ‫שנית‪ ,‬המרחק בין שתי רמות עוקבות הוא קבוע‪:‬‬ ‫‪ ,‬מכאן‪,‬‬ ‫‪ .‬עירור של תנועה‬ ‫בקשר כימי טיפוסי‪ ,‬התדר של האוסצילטור ההרמוני הוא‬ ‫‪En 1 En‬‬ ‫‪1 5 10 20 J‬‬ ‫‪0.06 0.3eV‬‬ ‫‪ ,‬המתאים‬ ‫ויברציונית במולקולה על ידי פוטון בתדר מתאים להפרש האנרגתי הזה‪ ,‬תדר בסביבות‬ ‫‪ ,‬שהוא בתחום האינפרא אדום‪ .‬רוב המולקולות מתנודדות בתחום זה‪.‬‬ ‫לקרינה באורך גל של‬ ‫אופרטור הזוגיות ‪ /‬השיקוף‬ ‫נסתכל על האופרטור הבא‪:‬‬ ‫̂‬ ‫̂ לכן כל הערכים העצמיים של ̂‬ ‫איזה ערכים עצמיים יש לאופרטור זה? קל לראות ש‪-‬‬ ‫‪ .‬רואים מייד’ כי פונקציות זוגיות הן עצמיות עם‬ ‫כלומר ייתכנו רק שני ערכים עצמיים‪:‬‬ ‫מקיימים‬ ‫‪ .‬למה כל זה מעניין אותנו? כי ההמילטוניאן של‬ ‫ואילו הפונקציות האי‪-‬זוגיות הן עצמיות עם‬ ‫‪.‬‬ ‫כלומר לפעולה המעבירה את ס ל‪-‬‬ ‫אוסצילטור אינווריאנטי לשיקוף דרך מישור‬ ‫למשל‪ ,‬אנרגיה פוטנציאלית‪:‬‬ ‫̂̂‬ ‫̂‬ ‫)‬ ‫כך גם לאנרגיה קינטית‪:‬‬ ‫‪21‬‬ ‫(̂‬ ‫̂̂‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫̂̂‬ ‫‪22‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(̂‬ ‫)‬ ‫̂̂‬ ‫ומכאן‪:‬‬ ‫̂̂‬ ‫̂̂‬ ‫אנו אומרים שההמילטוניאן סימטרי או אינווריאנטי (אדיש) לשיקוף‪ .‬סימטריה זו מתבטאת בקומוטטיביות של‬ ‫ההמילטוניאן עם אופרטור הזוגיות‪.‬‬ ‫כזכור‪ ,‬לשני אופרטורים קוממוטטיבים יש פונקציות עצמיות משותפות‪.‬‬ ‫מסקנה‪ :‬הפונקציות העצמיות של אוסצילטור הרמוני הן או זוגיות או אי זוגיות! לא יתכן ערבוב‪ .‬אם נזכר במבנה‬ ‫הפונקציות העצמיות של מערכת זו נווכח שאמנם הדבר כך‪ .‬אולם כאן גילינו שאפשר ללמוד על חלק מתכונות‬ ‫הפונקציות העצמיות באמצעות ניתוח הסימטריות של ההמילטוניאן‪ ,‬וזאת מבלי לפתור את משוואת שרדינגר‪.‬‬ ‫ערכי תצפית במצבים עצמיים של האוסצילטור‬ ‫מהסימטריה של הפונקציות העצמיות של וסצילטור הרמוני‪ ,‬קל לראות שארך התצפית של המקום הוא תמיד‬ ‫שווה אפס‪.‬‬ ‫מה לגבי ערך התצפית של‬ ‫התצפית ⟩ ⟨ כאשר‬ ‫? אפשר לחשב את ערכו מהאינטגרלים ⟩‬ ‫| |‬ ‫⟨‪ .‬תרגיל‪ :‬חשב את ערך‬ ‫‪.‬‬ ‫אפשר להמנע מאינטגרלים ולהשתמש במשפט הבא‪:‬‬ ‫המשפט הויריאלי‬ ‫‪ ,‬בכל פונקציה עצמית של האנרגיה‪ ,‬ניתן להוכיח שקיים‪⟨ ̂ ⟩ :‬‬ ‫עבור חלקיק בבור‬ ‫את ההוכחה נביא כאשר נלמד על משפט הווריאציה‪ .‬במקרה של אוסצילטור הרמוני‬ ‫ברמה ה‪-n -‬ית‪ ,‬קיים‪.:‬‬ ‫⟩̂ ⟨‬ ‫⟩̂ ⟨‬ ‫⟩̂ ⟨‬ ‫⟩̂ ⟨‬ ‫)‬ ‫⟩̂ ⟨ ‪.‬‬ ‫וקיים‪⟨ ̂ ⟩:‬‬ ‫⟩̂ ⟨‬ ‫(‬ ‫ולכן‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫⟩ ̂⟨‬ ‫⟩ ̂⟨‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫בורות פוטנציאל ומשטחי פוטנציאל‬ ‫כלשהו‪ ,‬עם מינימום בנקודה‬ ‫נניח שאנו חוקרים חלקיק קוואנטי המצוי בבור פוטנציאל‬ ‫האנרגיה הנמוכות של בור זה‪ ,‬יתוארו בקרוב באמצעות רמות של אוסצילטור הרמוני‪.‬‬ ‫‪ .‬רמות‬ ‫הסיבה לכך‪ ,‬והיא מדגישה את המעמד המיוחד שרכש מודל האוסצילטור ההרמוני בפיזיקה‪ .‬סביב המינימום‬ ‫קיים‪:‬‬ ‫אם‬ ‫באשר‬ ‫הוא מינימום‪ ,‬הרי‬ ‫ולכן הבור הוא בקרוב הרמוני בתחתית‪:‬‬ ‫‪ .‬לדוגמא‪ ,‬אוסצילטור מורס‪:‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪23‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫קיים‪:‬‬ ‫ומיד רואים כי‬ ‫את תחתית הבור הוא‪:‬‬ ‫‪ ,‬ולכן‪ ,‬הפוטנציאלה ההרנמוני המשחזר‬ ‫‪ .‬זהו באמת מינימום כי‪:‬‬ ‫שני הפוטנציאלים מתוארים באיור הבא‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫המצאות באזורים אסורים קלאסית‬ ‫נדמיין חלקיק קלאסי בעל אנרגיה ‪ E‬בבור הפוטנציאל‪.‬‬ ‫החלקיק כלוא בין שתי נקודות המפנה (‪.)turning points‬‬ ‫‪ .‬החלקיק‬ ‫בציור לעיל‪ ,‬רואים שני בורות ואנרגיה‬ ‫כלוא באיזור המרחבי שבו האנרגיה הפוטנציאלית קטנה‬ ‫מהאנרגיה ‪ .‬במקרה של הבור עם הקו החלק‪ ,‬תחום זה‬ ‫‪ ,‬אזורים שבהם האנרגיה‬ ‫נותן על‪-‬ידי‬ ‫הפוטנציאלית גבוהה מהאנרגיה אינם נגישים לחלקיק כי‬ ‫עליו לייצר "אנרגיה קינטית שלילית" כדי לשהות שם‪ ,‬וזה‬ ‫כמובן בלתי אפשרי‪ .‬האזור בו החלקיק אינו יכול להמצא‬ ‫מכונה "איזור אסור קלאסית"‪.‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫)‪M ( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪V( x‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫תופעת המינהור‬ ‫של אופרטור האנרגיה‪ .‬מדידת האנרגיה‬ ‫כעת נדמיין חלקיק קוונטי המצוי בבור פוטנציאל במצב עצמי‬ ‫של החלקיק במצב זה נותנת בוודאות את הערך ‪ .‬האם גם לפי תורת הקוונטים מוגבל החלקיק לקטע מוגדר‬ ‫של המרחב? במילים אחרות‪ ,‬אם נמדוד את מקום החלקיק האם יתכן שהוא ימצא באזורים אסורים קלאסית?‬ ‫התשובה היא שאמנם‪ ,‬מכאניקה קוונטית מאפםשרת למצוא חלקיק באזור הסור קלאסית‪ .‬ככל שההפרה של‬ ‫שימור האנרגיה גדולה יותר הסיכוי קטן‪ ,‬אולם הוא אינו אפס‪.‬‬ ‫‪23‬‬