1. No category

úàöåä øåùéàáå éðåøäà ïåø 'ôåøô úåáéãàá íñøåô äæ õáå÷
.ïåéðëèá íéèðãåèñ éãé ìò ãáìá äéôöì ãçåàîä õåáé÷ä
ìù "éôåéå äøéù ,ä÷éèîúî" øôñä êåúî àáåî õáå÷ä ïëåú
.2007 ,ãçåàîä õåáé÷ä úàöåäá ,éðåøäà ïåø 'ôåøô
.åìù ïëåúä åà õáå÷ä úà õéôäì åà ñéôãäì øåñéà ìç
ùåîéù ìëå ,íééåðéù ,úåñôãä íñåçå ïâåî åîöò õáå÷ä
.úåîéñçä úà óå÷òì èìçåî øåñéà ìç .êñîá äééôöì èøô
ìù íéøöåéä úåéåëæ úøôä äååäî äùøåî àì ùåîéù ìë
.äãåáòä
‫רון אהרוני‬
‫ שירה ויופי‬,‫מתמטיקה‬
‫הוצאת הקיבוץ המאוחד‬
c By Hakibbutz Hameuchad, 2007. Printing and distribution of this file or its contents is prohibited.
c
.åìù ïëåúä úà åà õáå÷ä úà õéôäì åà ñéôãäì øåñéà ìç .2007 ,ãçåàîä õåáé÷ä úàöåä ‫‪Mathematics, Poetry and Beauty‬‬
‫‪Ron Aharoni‬‬
‫עריכה‪ :‬לאה שׂניר‬
‫אין להעתיק‪ ,‬לשכפל‪ ,‬לצלם‪ ,‬להקליט‪ ,‬לתרגם‬
‫לאחסן במאגר מידע או להפיץ ספר זה‬
‫או קטעים ממנו בשום צורה ושום אמצעי‪,‬‬
‫אלקטרוני‪ ,‬אופטי או מכאני )לרבות צילום‬
‫והקלטה(‪ ,‬ללא אישור בכתב מהמוציא לאור‬
‫‪© By Hakibbutz Hameuchad‬‬
‫‪Publishing House Ltd, Tel Aviv‬‬
‫‪Printed in Israel 2007‬‬
‫כל הזכויות שמורות להוצאת הקיבוץ המאוחד‬
‫סידור הספר – תרגומי איכות מקבוצת מנפאואר‬
‫נדפס בישראל‪ ,‬דפוס "חדקל" תל‪-‬אביב‬
‫‪c By Hakibbutz Hameuchad, 2007. Printing and distribution of this file or its contents is prohibited.‬‬
‫‬
‫‪c‬‬
‫ ‪.åìù ïëåúä úà åà õáå÷ä úà õéôäì åà ñéôãäì øåñéà ìç .2007 ,ãçåàîä õåáé÷ä úàöåä‬‬
‫‪197‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬שירה ויופי‬
‫קטן לאינסוף‬
‫הכול זורם‪.‬‬
‫)הרקליטוס‪ ,‬פילוסוף יווני‪,‬‬
‫‪ 480-540‬לפנה"ס‪ ,‬לערך(‬
‫הכול זורם‪ ,‬העולם משתנה ללא הרף‪ .‬לחקור את העולם פירושו על כן לחקור את‬
‫השינויים החלים בו‪ .‬למשל את תנועתם של גופים‪ .‬גופים נעים בצורה רציפה ולא‬
‫בקפיצות – לפחות כך הניחו עד הופעתה של תורת הקוונטים לפני כמאה שנים‪ .‬ולגבי‬
‫גופים שאינם מיקרוסקופיים גם הפיזיקה המודרנית מניחה שינויים רציפים‪ .‬סוג‬
‫המתמטיקה שחוקר שינויים רציפים בעולם נקרא "חשבון דיפרנציאלי"‪.‬‬
‫על דרך ההשאלה אפשר לומר שאת החשבון הדיפרנציאלי גילה מי שהאמין‬
‫שהעולם שטוח‪ ,‬וצדק‪ .‬נמלה העומדת על פני כדור גדול ו ָחלָק חושבת שהיא עומדת על‬
‫מישור‪ ,‬משום שמקרוב המשטח נראה מישורי )זהו מקור השם "משטח" – מקרוב הוא‬
‫נראה שטוח(‪ .‬מסיבה זו‪ ,‬עד שהיו לבני האדם אמצעים להתרחק מכדור הארץ מבחינה‬
‫מחשבתית ומעשית‪ ,‬הם האמינו שהארץ שטוחה‪ .‬במובן מסוים‪ ,‬החשבון הדיפרנציאלי‬
‫מחזיר את האמונה הזאת‪ .‬ההנחה העומדת בבסיסו היא שכאשר מסתכלים בקו חלק‬
‫במיקרוסקופ הוא נראה ישר‪ .‬למעשה‪ ,‬כך מוגדר "קו חלק"‪ :‬זהו קו שמקרוב הוא נראה‬
‫ישר‪ .‬כאשר חוקרים קווים עקומים בעולם מניחים בדרך כלל שהם חלקים‪ .‬אגב‪ ,‬גם‬
‫הנחה זו כבר אינה נחשבת כיום להכרחית‪ .‬יש קווים שנקראים "פרקטליים"‪ ,‬וייחודם‬
‫בכך שלא חשוב מאיזו קירבה נתבונן בהם‪ ,‬הם עדיין נראים מחוספסים‪.‬‬
‫את החשבון הדיפרנציאלי המציא גם מי שחיפש את המפתח מתחת לפנס‪ ,‬ומצא‬
‫אותו‪ .‬קל הרבה יותר לחקור תופעות שמתנהגות על פי החוקים של קווים ישרים‬
‫מאשר תופעות כלליות‪ ,‬וזהו מה שהחשבון הדיפרנציאלי עושה‪ .‬הוא מסתכל בתופעות‬
‫מבעד לעדשת מיקרוסקופ‪ ,‬מגלה התנהגות דומה לזו של קווים ישרים‪ ,‬ומסיק מכך על‬
‫ההתנהגות הכוללת‪ .‬למשל‪ ,‬כאשר מסתכלים על מכונית לאורך פרק זמן קצר מאוד‪,‬‬
‫אפשר להניח שהמהירות שלה קבועה‪ ,‬ואז קל לחשב את הדרך שהיא עוברת‪ .‬כאשר‬
‫מציירים את גרף המרחק שעברה המכונית כנגד הזמן‪ ,‬אם המהירות קבועה הגרף הוא‬
‫קו ישר‪ .‬לכן מהירות קבועה היא "התנהגות כמו של קו ישר"‪.‬‬
‫לאמיתו של דבר‪ ,‬כמו הרבה רעיונות בסיסיים‪ ,‬גם את החשבון הדיפרנציאלי גילו‬
‫היוונים‪ .‬הם ידעו את סוד ההסתכלות בדברים "מבעד למיקרוסקופ"‪ .‬הדרך בה חישבו‬
‫את שטח העיגול‪ ,‬למשל‪ ,‬נראית כמו לקוחה הישר מן החשבון הדיפרנציאלי‬
‫והאינטגרלי של המאה ה‪ .17-‬קחו את העיגול‪ ,‬וחלקו אותו לגזרות קטנות‪ ,‬כמו באיור‬
‫הבא‪:‬‬
‫‪c By Hakibbutz Hameuchad, 2007. Printing and distribution of this file or its contents is prohibited.‬‬
‫‬
‫‪c‬‬
‫ ‪.åìù ïëåúä úà åà õáå÷ä úà õéôäì åà ñéôãäì øåñéà ìç .2007 ,ãçåàîä õåáé÷ä úàöåä‬‬
‫רון אהרוני‬
‫‪198‬‬
‫אם הגזרות צרות מאוד‪ ,‬הן נראות בקירוב טוב כמו משולשים‪ ,‬משום שהבסיס‬
‫שלהן נראה כמו קו ישר‪ ,‬ממש כפי שהארץ נראית שטוחה למי שרואה אותה מגובה‬
‫נמוך‪ .‬את שטחו של משולש אנחנו יודעים לחשב‪ :‬זהו בסיס‪ ,‬כפול גובה‪ ,‬מחולק ב‪.2-‬‬
‫אם חושבים על כל גיזרה כעל "כמעט משולש"‪ ,‬גובהה הוא רדיוס המעגל‪ .‬שטח כל‬
‫גזרה הוא לפיכך בקירוב טוב בסיסה‪ ,‬כפול רדיוס המעגל‪ ,‬מחולק ב‪ ,2-‬קירוב שהוא‬
‫טוב יותר ככל שהגזרות צרות יותר‪ .‬שטח העיגול‪ ,‬שהוא סכום שטחי הגזרות‪ ,‬הוא‬
‫אפוא בקירוב טוב הרדיוס‪ ,‬כפול סכום אורכי הבסיסים‪ ,‬מחולק ב‪ .2-‬אבל סכום אורכי‬
‫הבסיסים של הגזרות הוא היקף המעגל‪ .‬לכן שטח העיגול הוא הרדיוס שלו‪ ,‬כפול‬
‫ההיקף‪ ,‬מחולק ב‪ .2-‬מכיוון שההיקף של מעגל בעל רדיוס ‪ R‬הוא ‪ , 2π R‬השטח הוא‬
‫‪ , 2π2R × R = π R 2‬שהיא הנוסחה שלמדנו בבית הספר התיכון‪ .‬אגב‪ ,‬מדוע היקף המעגל‬
‫הוא ‪ ? 2π R‬זהו עניין של הגדרה‪ .‬המספר ‪ π‬מוגדר כיחס בין היקף המעגל לבין הקוטר‬
‫שלו‪ ,‬כלומר בין ההיקף לבין ‪. 2 R‬‬
‫השימוש בטיעונים מסוג זה לחישוב שטחים ונפחים נקרא בזמן העתיק "שיטת‬
‫המיצוי"‪ .‬השיטה פותחה על ידי אֶוּדוֹ ְקסוּס‪ ,‬והופיעה כבר ביסודות של אוקלידס‪,‬‬
‫שנכתב במאה הרביעית לפנה"ס‪ .‬רב האמן בשיטת המיצוי היה ארכימדס‪ ,‬גדול‬
‫המתמטיקאים של העולם העתיק )‪ 212-287‬לפנה"ס(‪ .‬הוא ידע לחשב את שטח פני‬
‫הכדור‪ ,‬את נפח הכדור‪ ,‬ואת השטח החסום בין ָפּרָבּוֹלָה לישר‪ .‬בין כל הישגיו הרבים‬
‫העריך ארכימדס עצמו את החישובים האלה‪ .‬על מצבתו ציווה לחרות גליל וכדור חסום‬
‫בתוכו‪ ,‬להזכיר את התוצאה שהתגאה בה‪ ,‬שנפח גליל החוסם כדור גדול פי ‪ 32‬מנפח‬
‫הכדור‪.‬‬
‫ארכימדס ציווה לחרות ציור זה על קברו‪ .‬הוא הוכיח שנפח הכדור החסום‬
‫בגליל הוא ‪ 23‬מנפח הגליל‪ .‬בכך מצא נוסחה לחישוב נפח הכדור‪.‬‬
‫במאה השבע עשרה הייתה עדנה לרעיון ה"הסתכלות במיקרוסקופ"‪ ,‬כלומר‬
‫השימוש בגדלים שהם קטנים כרצוננו‪ .‬הדבר התחיל דווקא מהסתכלויות בטלסקופ‪.‬‬
‫באותה תקופה היו ברוּמו של עולם‪ ,‬תרתי משמע‪ ,‬חוקי קפלר‪ .‬טיכוֹ ב ָר ֶהה )‪Tycho‬‬
‫‪ ,(Brahe‬האסטרונום הדני הגדול‪ ,‬ביצע תצפיות מדויקות יותר מכל קודמיו‪ ,‬ויוהנס‬
‫קפלר‪ ,‬מתמטיקאי‪ ,‬אסטרונום ואסטרולוג גרמני שעבד עם ברהה בפראג‪ ,‬הסיק מהן‬
‫שלושה חוקים שעל פיהם מתנהגים כוכבי הלכת‪ .‬ניוטון הצעיר ניסה להסביר אותם‬
‫בצורה מתמטית‪ ,‬ולשם כך נזקק לכלי המתמטי העוסק בתנועה‪ .‬כך נולד החשבון‬
‫הדיפרנציאלי המודרני‪ .‬במקביל פיתח לייבניץ )‪ (Gottfried Leibniz‬בגרמניה תורה‬
‫‪c By Hakibbutz Hameuchad, 2007. Printing and distribution of this file or its contents is prohibited.‬‬
‫‬
‫‪c‬‬
‫ ‪.åìù ïëåúä úà åà õáå÷ä úà õéôäì åà ñéôãäì øåñéà ìç .2007 ,ãçåàîä õåáé÷ä úàöåä‬‬
‫‪199‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬שירה ויופי‬
‫דומה למדי‪ ,‬וגם פיתח את הסימונים המתמטיים המקובלים בתחום עד היום‪ .‬ניוטון‪,‬‬
‫שהיה חשדן מטבעו‪ ,‬חשד בלייבניץ שגנב את תוצאותיו‪ .‬הוא שלח ללייבניץ מכתבים‬
‫שבהם הציג את רעיונותיו‪ ,‬ובגלל איטיות הדואר של אותה תקופה לייבניץ קיבל את‬
‫המכתבים בעיכוב‪ .‬ניוטון האמין שתגובתו האיטית של לייבניץ נועדה לצורך פיתוח‬
‫הרעיונות וייחוסם לעצמו‪ .‬ניוטון יזם חקירה באקדמיה המלכותית האנגלית‪ ,‬חקירה‬
‫שתוצאותיה נקבעו מראש‪ ,‬ומסקנותיה נכתבו בידי ניוטון עצמו‪ .‬עם זאת‪ ,‬אין ספק‬
‫שזכויותיו אכן היו רבות יותר‪ .‬לייבניץ עצמו היה נדיב ביותר ביחס ליריבו‪ ,‬ואמר עליו‬
‫"אם מסתכלים בהתפתחות המתמטיקה מתחילת ההיסטוריה עד ניוטון‪ ,‬לניוטון יש זכות‬
‫על יותר ממחצית"‪.‬‬
‫בן זוגו של החשבון הדיפרנציאלי הוא החשבון האינטגרלי‪ .‬החשבון הדיפרנציאלי‬
‫חוקר שינויים קטנים לאינסוף מתוך ההתנהגות הגלובלית של המערכת‪ .‬למשל‪ ,‬חישוב‬
‫מהירות רגעית של גוף‪ ,‬מתוך ידיעת מצבו בכל רגע‪ .‬החשבון האינטגרלי עושה ההפך‪:‬‬
‫הוא חוקר את ההתנהגות הגלובלית מתוך ההתנהגות הרגעית‪ .‬למשל‪ ,‬חישוב מצבו של‬
‫גוף בכל רגע נתון‪ ,‬על פי ידיעת מהירותו בכל רגע‪.‬‬
‫ארכימדס‪ ,‬יווני שגר בסיציליה‪ 212-287 ,‬לפנה"ס‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫ייצוג על ידי דבר קטן‬
‫משורר צריך תמיד את ילדותו בהישג יד‪.‬‬
‫תקה‪ ,‬משורר‬
‫)תיאודור רוֹ ֶ‬
‫אמריקאי(‬
‫להסתכלות המתמטית בגדלים קטנים לאינסוף יש מקביל בשירה‪ ,‬מנגנון שנקרא "ייצוג‬
‫על ידי דבר קטן"‪ .‬את שמו נתן לו פרויד‪ ,‬שגילה אותו בחלומות‪ .‬בחלום הוא משמש‪,‬‬
‫‪ .14‬ארכימדס היה גדול המתמטיקאים של העולם העתיק‪ .‬איש אשכולות‪ ,‬מהנדס וממציא גאוני‪ .‬פיתח סוג‬
‫של משאבה שקרוי על שמו‪ ,‬המציא את הפלנטריום‪ ,‬ובנה כלי נשק מתוחכמים להגנת עירו סירקוז‬
‫מפני הרומאים‪ .‬משנכבשה העיר לבסוף מצא אותו חייל רומאי משרטט צורות גיאומטריות על החול‪.‬‬
‫כששאל אותו החייל למעשיו ענה‪ ,‬על פי האגדה‪" ,‬אל תפריע למעגלים שלי"‪ ,‬תשובה שעלתה לו‬
‫בחייו‪.‬‬
‫‪c By Hakibbutz Hameuchad, 2007. Printing and distribution of this file or its contents is prohibited.‬‬
‫‬
‫‪c‬‬
‫ ‪.åìù ïëåúä úà åà õáå÷ä úà õéôäì åà ñéôãäì øåñéà ìç .2007 ,ãçåàîä õåáé÷ä úàöåä‬‬