‫מכניקה אנליטית )תשס"ג(‬ ‫בית הספר לפיסיקה ואסטרונומיה‬ ‫תרגיל בית ‪11‬‬ ‫קריאה‬ ‫חובה – ‪ H&F‬סיום פרק ‪ .4‬פרק ‪ ,5‬סעיפים ‪.5.1 – 5.2‬‬ ‫רשות – ‪ Landau & Lifshitz‬פרק ‪.4‬‬ ‫תרגילים‬ ‫‪ .1‬פיזור דרך עדשה‬ ‫חלקיקים בעלי מסה ‪ m‬מתפזרים דרך עדשה בעלת רדיוס ‪ R‬ומרחק פוקלי ‪ f‬על פי כללי האופטיקה‬ ‫הגאומטרית‪.‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪f‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את חתך הפעולה הדיפרנציאלי לפיזור זה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הראו ע"י אינטגרציה של הביטוי שקבלתם שחתך הפעולה הכולל שווה לשטח החתך של העדשה‪.‬‬ ‫)רמז‪ :‬היכן מופיעה התלות ב‪ R-‬באינטגרל שקבלתם?(‬ ‫‪ .2‬פיזור מפוטנציאל ריבועי הופכי‬ ‫חלקיק בעל מסה ‪ ,m‬מהירות התחלתית ‪ , v‬ופרמטר אימפקט ‪ , b‬מפוזר בזוית ‪ θ‬מפוטנציאל מרכזי דוחה‬ ‫מהצורה ‪ , V (r ) = k / r 2‬כאשר ‪ r‬הוא המרחק בין החלקיק לבין מרכז הפיזור‪ ,‬כמתואר בשרטוט‪.‬‬ ‫‪m, v‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪φ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪b‬‬ ‫רשמו את הלגראנג'יאן הדו‪-‬מימדי בקואורדינטות פולריות )&‪ . L = L(r , φ , r&, φ‬רשמו את התנע הזויתי‬ ‫‪ l‬והאנרגיה הכוללת ‪ E‬באמצעות הקבועים ‪ . k , m, v, b‬השתמשו בעובדה ששני גדלים אלו הם‬ ‫קבועים כדי לקבל משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון עבור ) ‪ r (t‬ו‪. φ (t ) -‬‬ ‫פתרו את המשוואות ע"י אינטגרציה ובטאו את ) ‪ r (t‬ו‪ φ (t ) -‬באמצעות הקבועים ‪. k , m, v, b‬‬ ‫השתמשו בערך של ) ‪ φ (t‬בגבולות ∞‪ t → ±‬כדי לקבל ביטוי עבור זוית הפיזור ) ‪. θ = θ (k , m, v, b‬‬ ‫חשבו את חתך הפעולה הדיפרנציאלי לפיזור זה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מכניקה אנליטית )תשס"ג(‬ ‫בית הספר לפיסיקה ואסטרונומיה‬ ‫‪ .3‬משפט נתר‬ ‫מערכת בעלת שתי דרגות חופש מתוארת ע"י הלגראנג'יאן‬ ‫) ‪. L = 12 m(q&12 + q& 22 ) − (αq1 + βq2‬‬ ‫א‪ .‬הראו כי ‪ L‬אינוריאנטי תחת הטרנספורמציה‬ ‫‪Q ( s, t ) = q1 + sβ‬‬ ‫‪. 1‬‬ ‫‪Q2 ( s, t ) = q2 − sα‬‬ ‫ב‪ .‬מצאו את הגודל השמור הנובע מסימטריה זו של הלגראנג'יאן‪ .‬מה המובן הפיסיקלי של גודל זה?‬ ‫ג‪ .‬מצאו שתי קואורדינטות אלטרנטיביות לתאור המערכת כך שאחת מהן תהיה חסרה בלגראנג'יאן‪.‬‬ ‫‪ .4‬וקטור ‪Laplace-Runge-Lenz‬‬ ‫מסתבר שבבעית קפלר קיימת סימטריה נוספת שלא הבחנו בה בדיוננו בכתה‪ .‬אנחנו נשתמש באחת‬ ‫הדרכים לתאור הסימטריה הזו כדי למצוא גודל שמור חדש‪ ,‬הקרוי וקטור ‪,Laplace-Runge-Lenz‬‬ ‫ובאמצעותו נפתור את בעית קפלר מבלי לרשום אפילו משוואה דיפרנציאלית אחת!!‬ ‫נרשום את הלגראנג'יאן בכתיב וקטורי‬ ‫‪1 2 k‬‬ ‫‪µr& +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫= ‪,L‬‬ ‫כאשר ) ‪ , r = ( x, y , z ) ≡ ( r1 , r2 , r3‬ו‪. r = r -‬‬ ‫א‪ .‬נתונות שלוש הטרנספורמציות‬ ‫‪i = 1,2,3‬‬ ‫) ‪. R ( s, t ) = r − sµ (2r& ri − rr&i − (r ⋅ r& )eˆ i‬‬ ‫הראו כי הנגזרת של ‪ L‬לפי הפרמטר ‪ ,s‬בסביבת טרנספורמצית היחידה‪ ,‬שווה לנגזרת שלמה בזמן של‬ ‫הפונקציה‬ ‫‪r‬‬ ‫‪. Gi = − µ 2 (r& 2 ri − (r ⋅ r& )r&i ) − µk i‬‬ ‫‪i = 1,2,3‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ב‪ .‬השתמשו בהכללה של משפט נתר כדי למצוא שלושה גדלים שמורים ‪ , Ai‬והראו כי אלו הם רכיבי‬ ‫וקטור ‪Laplace-Runge-Lenz‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪. A = p × L − µk‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ג‪ .‬אנחנו השתמשנו בכך שהתנע הזויתי ‪ L‬שמור כדי להגדיר באמצעותו את כיוון ציר ‪ z‬ולאמר‬ ‫שהתנועה כולה מתרחשת במישור ‪ .x-y‬הראו כי ‪ A‬ניצב ל‪ L -‬והגדירו באמצעותו את כיוון ציר ‪.x‬‬ ‫כעת השתמשו בעובדה ש‪ A ⋅ r = Ar cos φ -‬כדי למצוא את הפתרון הכללי של בעית קפלר‪.‬‬ ‫זהויות שימושיות‪:‬‬ ‫) ‪A × B × C = (A ⋅ C)B − (A ⋅ B )C ; A ⋅ (B × C) = C ⋅ (A × B‬‬ ‫‪http://minerva.tau.ac.il/physics/bsc/2/2105‬‬ ‫‪2‬‬