הבעיה ה־17 של הילברט ומידת Loeb:
הבעיה ה־ 17של הילברט ומידת :Loeb
הגדרה:
תורה עקבית Tתקרא שלמה מודלית ,אם לכל שני מודלים של A, B :Tאם A :תת מודל של־ , Bאזי הוא תת מודל
אלמנטרי.
דוגמא:
למי שהיה בקורס בסימסטר הקודם :כל השלמה מודלית של תורה ,היא תורה שלמה מודלית על פי הגדרתה .לכן יש לנו
כבר לא מעט דוגמאות לתורות שלמות מודלית.
הערה :2
אין קשר ישיר בין שלמות מודלית לבין שלמות .לדוגמא :נסתכל על התורה של (N, <) :אזי זו תורה שלמה אבל היא אינה
שלמה מודלית ,הוכחה:
נסתכל על המודל ) {0} ∪ Nעם הסדר כך ש 0 :קטן מכל איבר( אזי זהו מודל של התורה ו־ )< (N,זהו תת מודל ,אך הוא
אינו תת מודל אלמנטרי
)יהא φ(y) = ∀x(x > y) :אזי מתקיים N φ(1) :אבל({0} ∪ N 2 φ(1) :
כמו כן ACF :זו תורה שלמה מודלית )(hilbert nullstellensatz
אבל ACFאינה תורה שלמה )לדוגמא עבור שדה סגור אלגבית ממציין ממציין F ; 2מתקיים F ∀x(x + x = 0) :אבל
לא מתקיים(C ∀x(x + x = 0) :
טענה:
אם ב־ Tיש חילוץ כמתים אזי Tשלמה מודלית.
הוכחה:
יהיו A, Bמודלים של Tו־ Aתת מודל של־ Bנראה כי הוא תת מודל אלמנטרי:
ראשית נראה כי לכל פסוק חסר כמתים ) θ(x1 , .., xnולכל a1 , .., an ∈ Aמתקיים כי:
) A θ(a1 , .., an ) ⇐⇒ B θ(a1 , .., an
באינדוקציה על הפסוק:
אם )) θ(x1 , .., xn ) = R(t1 (x1 , .., xn ), .., tm (x1 , .., xnנוסחא אטומית ,אזי:
⇒⇐ R(t1 (a1 , .., an ), .., tm (a1 , .., an )) ⇐⇒ (t1 (a1 , .., an ), .., tm (a1 , .., an )) ∈ RA
A
) (t1 (a1 , .., an ), .., tm (a1 , .., an )) ∈ RB ⇐⇒ B θ(a1 , .., an
צעד:
אם θ(x1 , .., xn ) =∼ ψ(x1 , .., xn ) :אזי:
⇒⇐ ) φ(a1 , .., an ) ⇐⇒ A 2 ψ(a1 , .., an ) ⇐⇒ B 3 ψ(a1 , .., an
A
) B φ(a1 , .., an
ובאותו אופן עבור הקשר.→ :
כעת נראה כי Aתת מודל אלמנטרי:
תהא ) φ(x1 , .., xnנוסחא .אזי ב־ Tיש חילוץ כמתים לכן קיימת נוסחא חסרת כמתים θ :כך שT ` ∀x1 , .., xn (φ(x1 , .., xn ) ↔ :
)) θ(x1 , .., xn
1
לכן לכל a1 , .., an ∈ A :מתקיים כי:
) A φ(a1 , .., an ) ⇐⇒ A θ(a1 , .., an ) ⇐⇒ B θ(a1 , .., an ) ⇐⇒ B φ(a1 , .., an
כלומר Aתת מודל אלמנטרי.
נחזור כעת לשדות סגורים ממשית:
למה: 1
2
b
ש:
כך
b
,
..,
b
∈
F
קיימים
אמ"מ
a
>
0
כי:
מתקיים
F
על
<
סדר
לכל
אזי
ממשי,
פורמלי
שדה
F
יהא:
1
n
i=1 i
הוכחה:
P
מתקיים כי) ∩P positive cone P = EF :כך שEF = {a ∈ F | ∃bi a = i bi } :
כמו כן ראינו בשיעור הקודם כי כל סדר על < מגדיר קונוס חיובי )ע"י } ,P = {a | a > 0ולהיפך כל קונוס חיובי מגדיר
סדר ע"י.x > y ⇐⇒ x − y ∈ P :
∈a
∈ aאזי קיים קונוס חיובי Pכך ש/ P :
לכן אם a ∈ EFאזי לכל סדר < :על Fמתקיים , a > 0ולהיפך אם / EF
ובמקרה זה Pמגדיר סדר
∈ (a − 0 = a
כך ש) a < 0 :כי / P
Pn
=a
משפט )הכללה של הבעיה ה־ 17של הילברט(:
יהא (R, <) :שדה סגור ממשי ויהא) f ∈ R[t1 , .., tn ] :פולינום בכמה משתנים(
כך שלכל b1 , .., bnP∈ Rמתקיים , f (b1 , .., bn ) ≥ 0 :אזי קיימות פונקציות רציונליות ב־ nמשתנים )מעל q1 , .., qm :(R
m
כך שf = i=1 qi2 :
הוכחה:
Pm
נניח בשלילה כי fאינו מהצורהf = i=1 qi2 :
n Pמשתנים .נשים לב כי זהו שדה פורמלי ממשי
יהא R(t1 , .., tn ) :שדה הפונקציות הרציונליות ב־
m
)מתקיים כי( i=1 qi2 ⇒ ∀i ∈ {1, .., m} qi2 = 0 :
∗
∗
∈ fאזי כפי שראינו קיים סדר < :על ) R(t1 , .., tnכך ש(∗) f < 0 :
מכיוון ש/ ER(t1 ,..,tn ) :
ניתן להרחיב את ) R(t1 , .., tnלשדה סגור ממשית כך שהסדר על Rהוא הרחבה של הסדר<∗ :
נסמן את הסגור הנ"ל ב R :נשים לב כי סדר זה מרחיב את הסדר על ) Rמיחידות הסדר בשדות סגורים ממשית(
ב־ Rמתקיים כי) ( R ∃x1 , ., xn (f (x1 , .., xn ) < 0) :עבור ההצבה xi = ti :מתקיים כי f (t1 , .., tn ) <∗ 0 :ב־ Rעל
פי )∗( (
אבל ) ROCFתורת השדות הסדורים וסגורית ממשית( זו תורה שלמה מודלית )יש לה חילוץ כמתים ולכן על פי הטענה
לעיל היא שלמה מודלית(
Pלכן הוא תת מודל אלמנטרי ומתקיים כי R ∃x1 , ., xn (f (x1 , .., xn ) < 0) :בסתירה להנחה.
ו־ Rתת מודל של R
m
לכן בהכרחf = i=1 qi2 :
measure
:LOEB
תהא L :שפה ,ויהיו {Mi }i∈Nמודלים של תורה .T
לכל מודל Miנגדיר את האלגברות הבוליאניות הבאותΩin = {φ(x1 , .., xn , b)Mi | φ ∈ L b ∈ Mik } :
ברור שזוהי אלגברה.
)הסתברותית( אדיטיבית על .Ωin
תהא µi :מידה Q
בוליאנית
אלגברה
היא
Ω
שוב:
,
M
=
n
ונסתכל עלu Mi :
Q
וניתן להגדיר פונקציה µ : Ωn → [0, 1]∗ :ע"יµ(φ(x1 , .., xn , b)M ) = u µ(φ(x1 , .., xn , πi (b)Mi ) :
זו פונקציה אדטיבית:
אם) φ(x1 , .., xn , b)M ∩ ψ M (x1 , .., xn , a) = ∅ :נסמןA = φ(x1 , .., xn , b)M , B = ψ M (x1 , .., xn , a) :
וπi (A) = ψ Mi (x1 , .., xn , ai ) :
אזי עד כדי קבוצה ממידה אפס מתקיים כי:
∅ = )) φ(x1 , .., xn , πi (b))Mi ∩ ψ Mi (x1 , .., xn , πi (aולכן:
2
)µ(πi (B)) = µ∗ (A) + µ∗ (B
u
Q
µ(πi (A)) +
Q
u
= ))+ µ(πi (B
))u (µ(πi (A
Q
= ))µ(πi (A + B
u
Q
= )µ∗ (A + B
Q
נתבונן ב u R = R∗ :ונגדיר I∞ = {x | ∀r ∈ R r < |x|} :ונגדירI = {x | ∀r > 0 |x| < r} :
∼ .R∗ /Iויהא ההומורפיזםST : Rf inite → R :
ויהא R∗ \I∞ = Rf inite :אזי= R :
]למעשה[ ST (x) = supr∈R {x − r > 0} :
יהא µ = ST ◦ µ∗ :אזי µ :היא מידה אדטיבית.
נראה כי ניתן להרחיב אותה למידה סיגמא אדטיבית על הסיגמא אלגברה הנוצרת על ידי.Ωn :
משפט האן־קולמגורוב:
תהאPµ0 :מידה אדטיבית על אלגברה Σ0 :ונניח כי מתקיים:
µ0 (∪n∈N An ) = n∈N Anלכל {An } ⊂ Σ0 :זרות כך ש∪n An ∈ Σ0 :
אזי קיימת הרחבה µ :כך ש µ :היא מידה עלσ(Σ0 ) :
נראה כעת כי Ωn :מקיימת את הנחת המשפט:
תהא B = ∪n∈N An ∈ Ωn :איחוד זר ,טענה:
אזי) ∩n (B\An ) = ∅ :הערה B\An :זו בעצם הקבוצה המוגדרת ע"י הפסוק ψ∧ ∼ φn :כך ש ψ :מגדיר את Bו־ φnמגדיר
את (An
m
B = ∪m
A
זרות:
שהקבוצות
מכיוון
לכן
,
∩
(B\A
)
=
∅
ש:
כך
m
קיים
אזי
רווי,
הוא
שהמודל
מכיוון
אבל
n
m
n=1
n=1
µ(A
)
=
0
מתקיים:
n
>
m
ולכל:
n
Pm
P
. µ(∪n∈N An ) = µ(∪m
= ) i=1 Ai
= ) i=1 µ(Ai
לכןn∈N µ(An ) :
לכן על פי משפט האן קולמגורוב קיימת הרחבה של µ :עלσ(Ωn ) :
ונגדיר כעת את Loeb measureלהיות ההשלמה של המידהµ :
3
© Copyright 2024