אלגבראות לי נילפוטנטיות ופתירות
אלגבראות לי נילפוטנטיות ופתירות
הגדרה יהי Fשדה .נאמר שמרחב וקטורי gהוא אלגברת לי אם מוגדרת עליו תבנית
בי־לינארית [·]· : g × g → gכך שלכל x, y, z ∈ gמתקיים:
• [x, x] = 0
• ) [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = 0זהות יעקובי(
לכל אלגברה אסוציאטיבית Aיש מבנה של אלגברת לי הנתון על ידי[x, y] = :
.xy − yx
הגדרה הומומורפיזם של אלגבראות לי הוא העתקה לינארית φ : g → hכך שמתקיים
]).∀x, y ∈ g φ([x, y]) = [φ(x), φ(y
הגדרה תהא gאלגברת לי .לכל u, v ⊆ gתתי־מרחבים נסמן
}[u, v] = SpanF {[u, v] | u ∈ u, v ∈ v
נאמר שתת־מרחב a ⊆ gהוא אידאל אם .[g, a] ⊆ a
תרגיל
.1הראו שגרעין של הומומורפיזם של אלגבראות לי הוא אידאל .הראו שתמונתו של
הומומורפיזם היא תת־אלגברת לי של הטווח.
.2אם aאידאל ב־ gאז מרחב המנה g/aהוא אלגברת לי כאשר לכל x, y ∈ gנגדיר
את הפעולה .[x + a, y + a] = [x, y] + a
הגדרה הסדרה המרכזית התחתונה היא סדרת תתי־המרחבים:
]C 1 g = g, C 2 g = [g, g], . . . C n g = [g, C n−1 g
הסדרה הנגזרת היא סדרת תתי־המרחבים:
]D1 g = g, D2 g = [g, g], . . . Dn g = [Dn−1 g, Dn−1 g
gנקראת נילפוטנטית אם קיים nכך ש־ .C n g = 0
gנקראת פתירה אם קיים nכך ש־ .Dn g = 0
תרגיל
לכל nטבעי ,תתי־המרחבים C n gו־ Dn gהם אידאלים ב־ gוכן .Dn g ⊆ C n g
הסיקו כי כל חבורה נילפוטנטית היא פתירה.
1
פתרון
תחילה נשים לב ש־ C n+1 ⊆ C n gמכיוון שאם x ∈ C n+1 gאז
x = [x1 , [. . . [xn−1 , [xn , xn+1 ]]]] = [x1 , [. . . [xn−1 , x0n ]]] ∈ C n g
ולכן מהגדרה .[g, C n g] = C n+1 g ⊆ C n g
נטפל ב־ .Dnנניח באינדוקציה ש־ Dn−1אידאל וכן .Dn−1 ⊆ C n−1
כיוון ש־ Dn−1 ⊆ g, C n−1מתקבל
Dn = [Dn−1 , Dn−1 ] ⊆ [g, C n−1 ] = C n
וכן מזהות יעקובי ומההנחה ש־ Dn−1אידאל
]] [g, Dn ] = [g, [Dn−1 , Dn−1
]]⊆ [Dn−1 , [g, Dn−1 ]] + [Dn−1 , [Dn−1 , g
] = [Dn−1 , Dn−1 ] + [Dn−1 , Dn−1
= Dn
דוגמאות
.1אם gאבלית ) ([g, g] = 0אז gנילפוטנטית.
.2אוסף המטריצות המשולשיות ממש )עם 0באלכסון( מסדר n × nמעל שדה Fהוא
אלגברת לי נילפוטנטית.
.3אוסף המטריצות המשולשיות הוא אלגברת לי פתירה.
ניתן לנסח את 2ו־ 3באופן שקול :יהי Vמרחב וקטורי ממימד nמעל .Fיהי Fדגל
מלא על ,Vכלומר:
) F = (0 ( V1 ( V2 ( · · · ( Vn−1 ( V
תהא ) n(Fתת־האלגברה של ) End(Vהכוללת את כל האופרטורים המקיימים ⊆ ) X(Vi
) .X(Vi−1אז ) n(Fנילפוטנטית.
באופן דומה b(F) ,תת־האלגברה של ) End(Vהכוללת את כל האופרטורים המקיימים
,X(Vi ) ⊆ Viהיא פתירה.
n
זאת כיוון שתחת קביעת בסיס B = {vi }i=1למרחב Vכך ש־ ,vi ∈ Vi \ Vi−1מתקבל
זיהוי של ) n(Fעם אלגברת המטריצות המשולשיות ממש ושל ) b(Fעם אלגברת המטריצות
המשולשיות ע"י התאמת המטריצה המייצגת לפי Bלכל אופרטור.
2
הגדרה הצגה של אלגברת לי היא הומומורפיזם של אלגבראות לי ) ρ : g → End(V
)כאשר Vמרחב וקטורי ו־) End(Vאלגברה אסוציאטיבית ביחס להרכבה(.
באופן מפורש ,לכל X, Y ∈ gו־ :v ∈ V
))ρ([X, Y ])(v) = ρ(X)(ρ(Y )(v)) − ρ(Y )(ρ(X)(v
לרוב נשמיט את ρונכתוב פשוט )X(v) = ρ(X)(v
תרגיל
הראו שההעתקה ) ad : g → End(gכאשר לכל X, Y ∈ g
] ad(X)(Y ) = adX (Y ) = [X, Y
היא הצגה של .g
פתרון
נובע מאנטי־סימטריות ומזהות יעקובי.
אלגבראות לי נילפוטנטיות
הבחנה אם Xאופרטור נילפוטנטי על ,Vאז adXאופרטור נילפוטנטי על ) .End(V
נגדיר LX , RXאופרטורים על ) End(Vעל ידי:
LX (Y ) = XY
RX (Y ) = Y X
מכך ש־ Xנילפוטנט על Vנובע כי LX , RXנילפוטנטים על ) .End(Vכיוון שחיבור של
נילפוטנטים המתחלפים בכפל גם הוא נילפוטנט ,גם ) (LX − Rxנילפוטנט .אבל
adX (Y ) = [X, Y ] = XY − Y X
) = LX (Y ) − RX (Y ) = (LX − RX )(Y
משפט 1
gנילפוטנטית ⇒⇐
adXאופרטור נילפוטנטי לכל .X ∈ g
משפט (Engel) 2
תהי ) ρ : g → End(Vהצגה של gכך ש־) ρ(Xנילפוטנטי לכל ,X ∈ gאז קיים דגל F
ב־ Vכך ש־).ρ(g) ⊆ n(F
המשמעות של משפט :2אם לכל X ∈ gקיים דגל FXכך ש־ ρ(X)Vx,i ⊆ Vx,i−1אז
קיים דגל אחד שעובד במשותף לכל איברי .g
3
0
משפט 2
= 0כך שלכל X ∈ gמתקיים
= Vאז קיים 6 v ∈ V
תחת ההנחות של משפט ,2אם 6 0
.ρ(X)v = 0
נראה שמשפט 2גורר את משפט :1
הוכחה אם gנילפוטנטית אז בבירור adXנילפוטנטי לכל ) X ∈ gשכן תמונת (adX )n
חלקית ל־ .(C n+1 g
לצד השני ,אם adXנילפוטנט לכל X ∈ gאז ממשפט 2על ההצגה )ad : g → End(g
קיים דגל מלא
)F = (0 ( a1 ( · · · ( an = g
כך שלכל X ∈ gמתקיים .[X, ai ] = adX (ai ) ⊆ ai−1כלומר .[g, ai ] ⊆ ai−1
אז באינדוקציה C m g ⊆ an−mו־ gנילפוטנטית.
נראה שמשפט 0 2גורר את משפט :2
הוכחה באינדוקציה על המימד של ,Vאם קיים 0 6= v ∈ Vכך ש־ ρ(X)v = 0לכל
X ∈ gאז ρמשרה הצגה על .V¯ = V /F vמההנחה ρ(X) ,נילפוטנטי על Vלכל X ∈ g
ובפרט ρ(X) ,נילפוטנטי על ¯ Vלכל .X ∈ g
מהנחת האינדוקציה ,קיים ל־ ¯ Vדגל מלא:
) ¯F¯ = (¯0 ( V¯1 ( · · · ( V¯n−2 ( V
כך ש־ ¯
) .ρ(g) ⊆ n(Fהתמונה ההפוכה של דגל זה תחת ההעתקה V → V /F vהיא
) F = (0 ( F v ( V1 ( · · · ( Vn−2 ( V
שהוא דגל מלא על Vכך ש־) ρ(g) ⊆ n(Fכנדרש.
אם כן נוכיח את משפט :0 2
הגדרה תהא h ( gתת־אלגברה ,נגדיר את ) ,u(hהמנרמל של hב־:g
}u(h) = {X ∈ g | adX (h) ⊆ h
נשים לב כי ) u(hהיא תת־אלגברה של ) gסגירות נובעת מזהות יעקובי( המכילה את ,h
וכן hאידאל בה .למעשה זוהי תת־האלגברה הגדולה ביותר בעלת תכונות אלו.
הנחות ומסקנות המשפט עוסקות רק בתמונת gתחת ,ρלכן מעתה נחליף את gבתמונתה
ונניח כי ) g ⊆ End(Vוכל איברי gהם אופרטורים נילפוטנטים .מההבחנה נובע כי לכל
X ∈ gמתקיים כי adXהוא אופרטור נילפוטנטי על .g
באינדוקציה על המימד של ,gנניח כי המשפט מתקיים לכל hתת־אלגברה ממש של .g
4
טענה 1לכל h ( gמתקיים ).h ( u(h
הוכחה נשים לב כי hפועלת באמצעות העתקות נילפוטנטיות על ) g/hהעתקות ה־(ad
ולכן מהנחת האינדוקציה קיים וקטור
¯ = X + h ∈ g/h
¯0 6= X
כך שעבור כל Y ∈ hמתקיים ¯¯ = 0
) ,adY (X) + h = adY (Xכלומר .adY (X) ∈ h
∈ Xולכן בפרט
בפרט ,adX (Y ) = − adY (X) ∈ h ,לכן ) .X ∈ u(hאולם בחרנו / h
.u(h) 6= h
טענה 2אם ) g 6= (0אז קיים אידאל h ( gמקו־מימד 1ב־.g
הוכחה תהי h ( gתת־אלגברה מקסימלית של .gאז מטענה 1המנרמל שלה הוא כל g
ומהגדרת ) u(hנובע כי hאידאל ב־ .gנבחר שרירותית ,X ∈ g \ hאז לכל a, b ∈ F
ו־:H1 , H2 ∈ h
[aX + H1 , bX + H2 ] = ab[X, X] + ([aX + H1 , H2 ] + [H1 , bX]) = 0 + H 0 ∈ h
כלומר F X +hהיא תת־אלגברה של gהמכילה את .hמכיוון ש־ hתת־אלגברה מקסימלית
נקבל כי .g = F X + h
נקבע hכמובטח מטענה 2ונקבע איזשהו .Y ∈ g\hנגדיר }.W = {x ∈ V | h(v) = 0
אז Wהוא תת־מרחב של Vוכן Y (W ) ⊆ Wשכן לכל v ∈ Wמתקיים
HY v = Y Hv − [Y, H]v = 0
∀H ∈ h
כלומר.Y v ∈ W ,
מהנחת האינדוקציה על hנובע כי } .W 6= {0מכיוון ש־ Yנילפוטנטי ו־ Y (W ) ⊆ W
נובע כי קיים 0 6= w ∈ Wכך ש־ .Y (w) = 0אז wמתאפס ע"י .g = h + F Y
אלגבראות לי פתירות
תזכורת ־ דוגמא של אלגברת לי פתירה :אם ) F = (Viדגל מלא ב־ Vאז
} b(F) = {X ∈ End(V ) | ∀i XVi ⊆ Vi
משפט )(Lie
תהא gאלגברת לי פתירה מעל שדה סגור אלגברית ממציין .0תהי ) ρ : g → End(V
הצגה של .gאז קיים דגל מלא ) F = (Viב־ Vכך ש־ ).ρ(g) ⊆ b(F
5
הוכחה בדיוק כפי שהוכחנו במקרה הנילפוטנטי ,המשפט נובע מהמשפט הבא:
משפט 3
תחת הנחות משפט ,Lieאם ) V 6= (0אז קיים 0 6= v ∈ Vשהוא וקטור עצמי של )ρ(X
לכל .X ∈ g
נשים לב של־ ρכמתואר ,יש העתקה δ : g → Fכך ש־.ρ(X)v = δ(X)v
על מנת להוכיח את משפט ,3תחילה נוכיח למה:
למה תהא gאלגברת לי מעל שדה Fממציין h ,0אידאל ב־ ,gו־ Vהוא מרחב וקטורי
ממימד סופי וכן g־מודול )כלומר g ,פועלת על Vבאמצעות הצגה( .אם 0 6= v ∈ Vכך
שקיימת δ : h → Fהמקיימת hv = δ(h)vלכל ,h ∈ hאז δ([X, h]) = 0לכל h ∈ h
ו־.X ∈ g
הוכחה יהי X ∈ gכלשהו ,נסמן }.Vi = SpanF {X j v | 0 ≤ j < i
בבירור לכל iמתקיים Vi ⊆ Vi+1ומכיוון ש־ Vממימד סופי ,קיים nמינמלי כך ש־
Vn = Vn+kלכל kטבעי.
נראה )באינדוקציה על ,(iשלכל 0 ≤ i ≤ nמתקיים שלכל h ∈ h
) hX i v = δ(h)X i v (mod Vi
עבור i = 0נקבל מההנחה hv = δ(h)vבדיוק.
עבור :i > 0
hX i v = hXX i−1 v = XhX i−1 v − [X, h]X i−1 v
= X(δ(h)X i−1 v + v 0 ) − h0 X i−1 v
)= δ(h)X i v + (Xv 0 − δ(h0 )X i−1 v
מכיוון ש־ v 0 ∈ Vi−1מתקיים ש־ Xv 0 ∈ Viולכן באמת ) .hX i v = δ(h)X i v(mod Vi
אז ביחס לבסיס } {v, Xv, . . . , X n−1 vלמרחב Vnקיבלנו שאופרטור h ∈ hהוא משולשי
עם ) δ(hעל האלכסון ,כלומר ) .Tr(h|Vn ) = nδ(hבמקרה של [X, h] ∈ hנקבל
)]nδ([X, h]) = Tr([X, h
)= Tr(Xh − hX
= Tr(Xh) − Tr(hX) = 0
מכיוון ש־ Fממציין ,0נובע כי .δ([X, h]) = 0
6
הוכחת משפט :3
נוכיח באינדוקציה על המימד של :gכיוון ש־ gפתירה ,מתקיים .Dg = [g, g] 6= g
נקבע hתת־מרחב של gמקו־מימד 1המכיל את ] ,[g, gאז hאידאל ב־.g
באינדוקציה ,קיים 0 6= v ∈ Vו־ δ : h → Fכך שלכל h ∈ hמתקיים .hv = δ(h)v
נגדיר את תת־המרחב
}W = {w ∈ V | ∀h ∈ h hw = δ(h)w
אז Wאיננו ריק וכן מהלמה נובע כי :gW ⊆ W
יהיו w ∈ Wו־ X ∈ gאז לכל h ∈ hמתקיים
hXw = Xhw − [X, h]w
= δ(h)Xw − δ([X, h])w = δ(h)Xw
כלומר .Xw ∈ W
כעת ,יהי .X ∈ g \ hכיוון ש־ X : W → Wו־ Fסגור אלגברית ,יש ל־ Xוקטור עצמי
,v0 ∈ Wוזהו וקטור עצמי לכל האלגברה .g = h + F X
הערה הדרישה במשפט שהמציין שווה ל־ 0אינה מיותרת .למשל ,האלגברה
¯ 2 ) = {A ∈ Mn (F
}¯ 2 ) | Tr(A) = 0
sl2 (F
היא נילפוטנטית ,אבל בהצגה הסטנדרטית שלה על ¯ 2
Fאין וקטור עצמי משותף.
2
מסקנה 1אם gאלגברת לי פתירה מעל שדה סגור אלגברית ממציין ,0אז קיים ב־ gדגל
מלא של אידאלים .זה נובע משימוש במשפט Lieלהצגת ה־.ad
מסקנה אם gפתירה מעל שדה Fממציין ,0אז ] [g, gנילפוטנטית.
הוכחה בטענות מסוג זה ניתן להניח שהשדה סגור אלגברית ,כי אם F ⊆ F 0הרחבת
שדות ואם נסמן g0 = g ⊗F F 0אז g0היא אלגברת לי מעל F 0עם הפעולה
[X1 ⊗ f1 , X2 ⊗ f2 ] = [X1 , X2 ] × f1 f2
ובנוסף gפתירה )נילפוטנטית( אם"ם g0פתירה )נילפוטנטית( וכן ] .[g, g]0 = [g0 , g0
כעת מתוצאה ,1קיים דגל מלא של אידאלים .(0) ( g1 ( · · · ( gn = gנשים לב כי
לכל iולכל X ∈ gמתקיים ) .adX ∈ End(gi /gi−1
7
מכך ומהעובדה ש־ End(gi /gi−1 ) = Fהיא אבלית נובע כי לכל ]X = [X1 , X2 ] ∈ [g, g
ולכל ¯ ∈ gi /gi−1
Gמתקיים
]¯ = [[X1 , X2 ], G
¯ = [X2 , [G,
]]¯ X1 ]] + [X1 , [X2 , G
¯
][X, G
]]¯ − [X2 , [X1 , G
¯
]]= [X1 , [X2 , G
)¯ − adX2 adX1 (G
¯ =0
)= adX1 adX2 (G
כלומר .adX (gi ) ⊆ gi−1לכן adXנילפוטנטי על gובפרט על ] .[g, gהדבר נכון לכל
] ,X ∈ [g, gולכן זוהי אלגברת לי נילפוטנטית ממשפט .Engel
הערה הכיוון השני ברור -אם ] [g, gנילפוטנטית אז בודאי gפתירה.
תזכורת מאלגברה לינארית ־ פירוק ז'ורדן
יהי Fשדה סגור אלגברית ממציין .0יהי Vמרחב וקטורי ממימד סופי מעל .Fאיבר
) u ∈ End(Vנקרא פשוט למחצה אם הוא לכסין.
טענה 3לכל ) u ∈ End(Vקיים ויחיד זוג ) s, n ∈ End(Vכך ש־ sפשוט למחצה ו־n
נילפוטנטי כך ש־ u = s + nוגם .sn = nsבנוסף ,קיימים פולינומים ) S, Nהתלויים
ב־ (uללא מקדם חופשי כך ש־ S(u) = sו־.N (u) = n
Q
הוכחה יהי det(X − u) = (X − λi )miפירוק של הפולינום האופייני של uלמכפלת
גורמים זרים .(X − λi )miנסמן ) ,Vi = ker((u − λi )miאז ממשפט הפירוק הפרימרי:
L
= .uVi ⊆ Vi ,dimVi = mi ,V
Vi
נניח ש־ u = s + nהוא פירוק כמבוקש ,כך ש־ .sn = nsמכיוון ש־ sמתחלף עם עצמו
ועם ,nנובע כי sמתחלף עם ,uולכן גם עם כל פולינום ב־ .uבפרט:
v ∈ Vi =⇒ (u − λi )mi (s(v)) = s((u − λi )mi (v)) = 0
=⇒ s(v) ∈ Vi
אז .sVi ⊆ Viנטען כי ל־ sול־ uבדיוק אותם ערכים עצמיים -כיוון ש־) (u−sנילפוטנטית,
נאמר מסדר ,kאם s(v) = λvאז
)0 = (u − s)k (v) = (u − λI)k (v
כלומר ) ker(u − λIאינו ריק ו־ λהוא ערך עצמי של .uבאופן זהה ,כל ערך עצמי
של uהוא גם ערך עצמי של .sאם נצטמצם למרחב ,Viאז כיוון שהמרחב אינווריאנטי
גם ל־ sוגם ל־ ,uנקבל מאותם שיקולים כי ל־ uול־ sבדיוק אותם ערכים עצמיים במרחב
,Viכלומר λiבלבד .כיוון שצמצום של לכסין למרחב אינווריאנטי הוא לכסין ,נסיק כי
.s|Vi = λi · IdVi
8
מן הצד השני ,אם נגדיר בדיוק באופן זה את ,sנקבל כי sו־) n = (u − sמקיימים את
התכונות המבוקשות ,שכן הן מתקיימות לצמצומים של sו־ uלכל .Vi
נגדיר בעזרת משפט השאריות הסיני את ) S(xלהיות פולינום המקיים לכל :i
S(X) ≡ λi (mod (X − λi )mi ) .1
S(X) ≡ 0 (mod X) .2
אז בודאי S(0) = 0ומתקיים ל־ v ∈ Vi
(S(u))(v) = P (u) · (u − λi )mi (v) + λi v
)= λi v = s(v
כלומר .S(u) = uנגדיר גם ) N (X) = X − S(Xואז בבירור N (0) = 0וכן
N (u) = u − S(u) = u − s = n
הבחנה יהי u : V → Vאופרטור ו־ A ⊆ B ⊆ Vתתי־מרחבים כך ש־ .uB ⊆ Aאז
לכל פולינום ) P (Xבלי איבר חופשי מתקיים .P (u)B ⊆ A
מסקנה ל־ uכמו בהבחנה ,אם u = s + nפירוק כמו בטענה אז sB ⊆ Aוגם .nB ⊆ A
9
© Copyright 2024