‫האולפניאדה‬
‫ה‬
‫מ‬
‫ת‬
‫מטי‬
‫ת העולמית תשע“ב ‪ -‬שלב הגמר‬
‫‪ish Girls‬‬
‫‪for Jew‬‬
‫החוג למתמטיקה מכללה ירושלים‬
‫‪t‬‬
‫‪ontes‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪t‬‬
‫‪a‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Ulpaniada 5772 - The‬‬
‫בס“ד‬
‫ט"ז בסיוון תשע“ב‬
‫משתתפת יקרה‬
‫אנו מברכים אותך על השתתפותך בשלב הגמר של האולפניאדה המתמטית‪ ,‬ומאחלים לך הצלחה‪.‬‬
‫בטרם תפני לשאלות‪ ,‬נא מלאי את הפרטים שבעמוד זה‪.‬‬
‫שם המשתתפת‪:‬‬
‫לתלמידת בית ספר‪:‬‬
‫לבת שרות לאומי‪:‬‬
‫הכיתה‪:‬‬
‫מקום השרות‪:‬‬
‫בית הספר‪:‬‬
‫בוגרת בית הספר‪:‬‬
‫הכתובת האישית‪:‬‬
‫מספר הטלפון הנייד‪:‬‬
‫מספר הטלפון‪:‬‬
‫כתובת דוא“ל‪:‬‬
‫שאלון שלב הגמר מורכב משני חלקים‪.‬‬
‫עם סיום פתרון השאלות והקפת התשובות הנכונות במעגל בחלק הראשון‪ ,‬נא חזרי לעמוד זה ורכזי את תשובותייך בטבלה‬
‫הבאה‪:‬‬
‫מספר‬
‫שאלה‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫התשובה‬
‫הנכונה‬
‫את התשובות לחלק השני רשמי בעמודים המתאימים‪.‬‬
‫בהצלחה רבה‬
‫צוות האולפניאדה‬
‫מזכירות האולפניאדה – החוג למתמטיקה ‪ ,‬מכללה ירושלים‬
‫ת‪.‬ד‪ 16078 .‬בית וגן ירושלים ‪Jerusalem Bayit Vagan P.O.B. 16078 91160‬‬
‫טל‪ (02) 6750705 :‬פקס‪Tel: (02) 6570705 Fax: 073-2750665 :‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪1‬‬
‫‪http://ulpaniada.macam.ac.il‬‬
‫האולפניאדה‬
‫ה‬
‫מ‬
‫ת‬
‫מטי‬
‫ת העולמית תשע“ב ‪ -‬שלב הגמר‬
‫‪ish Girls‬‬
‫‪for Jew‬‬
‫החוג למתמטיקה מכללה ירושלים‬
‫‪t‬‬
‫‪ontes‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪t‬‬
‫‪a‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Ulpaniada 5772 - The‬‬
‫השאלון שלפנייך מורכב משני חלקים‪ .‬הזמן הכולל לפתרון שני החלקים הוא ארבע שעות‪.‬‬
‫מספר הנקודות הכולל שניתן לצבור הוא ‪ 130‬נקודות‪ .‬השימוש במחשבון מותר‪.‬‬
‫בהצלחה‬
‫חלק ראשון‬
‫בחלק זה ‪ 14‬שאלות‪ ,‬לכל אחת מהן מוצעות ‪ 5‬תשובות שרק אחת מהן נכונה‪.‬‬
‫סמני בעיגול את התשובה הנכונה‪.‬‬
‫ערכה של כל שאלה הוא ‪ 6‬נקודות‪) .‬סה“כ ‪ 84‬נקודות(‬
‫‪ n 1‬הוא המספר הטבעי המרבי שכל ספרותיו שונות‪ ,‬והוא מתחלק ב‪.8 -‬‬
‫מהו הסכום של ספרות האחדות‪ ,‬העשרות והמאות של ‪?n‬‬
‫א‪3 .‬‬
‫ב‪4 .‬‬
‫ג‪5 .‬‬
‫ד‪6 .‬‬
‫ה‪7 .‬‬
‫‪ 2‬ציוץ בן ‪ 550‬שנה‪ :‬המרחק בין שני מגדלים הוא ‪ 27‬אמות‪ .‬בראשו של כל אחד מהם עומדת ציפור‪ .‬גבהו של המגדל האחד‬
‫הוא ‪ 15‬אמות‪ ,‬ושל האחר ‪ 12‬אמות‪.‬‬
‫)מתוך כתב יד מנטובה ‪(Mantova - Comunita Israelitica MS ebr. 8‬‬
‫באותו זמן יוצאות שתי הציפורים‪ ,‬ומתעופפות במהירות שווה‪ ,‬כל אחת בקו אלכסוני כלפי מטה‪ ,‬לכיוון מעיין הממוקם על הקו‬
‫המחבר בין בסיסי שני המגדלים‪.‬‬
‫אם שתי הציפורים הגיעו באותו זמן‪ ,‬מה המרחק באמות של המעיין מהמגדל הגבוה?‬
‫א‪10 .‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪12 .‬‬
‫ג‪14 .‬‬
‫ד‪15 .‬‬
‫ה‪17 .‬‬
‫האולפניאדה‬
‫ה‬
‫מ‬
‫ת‬
‫מטי‬
‫ת העולמית תשע“ב ‪ -‬שלב הגמר‬
‫‪ish Girls‬‬
‫‪for Jew‬‬
‫החוג למתמטיקה מכללה ירושלים‬
‫‪t‬‬
‫‪ontes‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪t‬‬
‫‪a‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Ulpaniada 5772 - The‬‬
‫‪ 3‬רבקה‪ ,‬אחותה יעל‪ ,‬ושתי בנותיה של רבקה ‪ -‬רחל ויפעת‪ ,‬שיחקו במשחק טריוויה‪ .‬השמות של תאומתה של המנצחת‬
‫במשחק ושל זו שהגיעה למקום האחרון מתחילים באותה אות אך לא מסתיימים באותה אות‪ .‬המנצחת היא בת גילה של‬
‫‪3‬‬
‫זו שהגיעה למקום האחרון‪ .‬מי נצחה?‬
‫א‪ .‬רבקה‬
‫ב‪ .‬רחל‬
‫ג‪ .‬יפעת‬
‫ד‪ .‬יעל‬
‫ה‪ .‬יש כמה אפשרויות‬
‫לתפארת מדינת ישראל‪ :‬כמה שלשות סדורות )‪ (x,y,z‬של מספרים טבעיים קיימות כך ש‪= 64 -‬‬
‫‪4‬‬
‫א‪5 .‬‬
‫ב‪6 .‬‬
‫ג‪7 .‬‬
‫ה‪9 .‬‬
‫ד‪8 .‬‬
‫‪ 5‬צובעים באקראי את שמונת הקדקודים של קובייה באחד משני צבעים כחול או אדום‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שכל שני קדקודים שיש ביניהם צלע‪ ,‬צבועים בצבעים שונים?‬
‫א‪0 .‬‬
‫ב‪1/256 .‬‬
‫ד‪1/64 .‬‬
‫ג‪1/128 .‬‬
‫ה‪1/32 .‬‬
‫‪ 6‬על ישר ‪ L‬מונחות לפי הסדר )אך לאו דווקא במרחקים שווים( חמש נקודות ‪.P5 ,P4 ,P3 ,P2 ,P1‬‬
‫הנקודה ‪ P‬היא נקודה במישור שסכום מרחקיה מחמש הנקודות הוא מזערי‪ .‬מה חייב להתקיים?‬
‫א‪ P .‬היא נקודת האמצע בין ‪ P1‬ל‪.P5 -‬‬
‫ג‪P1 + P2 + P3 + P4 + P5 .‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪P‬‬
‫ב‪ P .‬היא נקודת האמצע בין ‪ P2‬ל‪.P4 -‬‬
‫ד‪P=P3 .‬‬
‫ה‪P=P5 .‬‬
‫‪z‬‬
‫)‪?(xy‬‬
‫האולפניאדה‬
‫ה‬
‫מ‬
‫ת‬
‫מטי‬
‫ת העולמית תשע“ב ‪ -‬שלב הגמר‬
‫‪ish Girls‬‬
‫‪for Jew‬‬
‫החוג למתמטיקה מכללה ירושלים‬
‫‪t‬‬
‫‪ontes‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪t‬‬
‫‪a‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Ulpaniada 5772 - The‬‬
‫‪ 7‬בכל אחד מחמשת קדקודי הפירמידה המרובעת שלפנייך שמים מספר טבעי‪ ,‬כך שלכל שני מספרים הממוקמים על‬
‫קדקודים סמוכים יש גורם משותף גדול מ ‪ ,1-‬וכל שני מספרים הממוקמים על קדקודים שאינם סמוכים ‪ -‬זרים זה לזה‪.‬‬
‫מהו המספר הקטן ביותר שאפשר להציב בראש הפירמידה?‬
‫)קדקודים סמוכים הם קדקודים שיש ביניהם צלע‪ .‬מספרים זרים הם מספרים שאין להם גורם משותף גדול מ‪(.1 -‬‬
‫א‪6 .‬‬
‫ב‪15 .‬‬
‫ג‪60 .‬‬
‫ד‪120 .‬‬
‫ה‪210 .‬‬
‫‪ 8‬בעיית הסהרונים של היפוקרטס )‪ 470 - 410‬לפני הספירה(‪:‬‬
‫בשרטוט שלפנייך משולש ישר זווית ‪ ABC‬ששטחו ‪ 10‬סמ"ר‪ .‬על כל אחת מצלעות המשולש כקוטר‪ ,‬בונים חצי עיגול‪.‬‬
‫מתקבלים שלושה חצאי עיגולים‪ ,‬היוצרים שני סהרונים )ראי ציור(‪.‬‬
‫מהו הסכום בסמ"ר של שטחי הסהרונים )החלק הצהוב(?‬
‫א‪5π .‬‬
‫ב‪10 .‬‬
‫ג‪5 .‬‬
‫ד‪3π .‬‬
‫ה‪2.25π .‬‬
‫‪ 9‬יהי ‪ n‬המספר הטבעי הגדול ביותר כך ש‪ 14n-‬הוא מספר בן ‪ 50‬ספרות‪.‬‬
‫מהי הספרה ה‪) 28-‬מצד שמאל( של ‪?n‬‬
‫א‪0 .‬‬
‫‪4‬‬
‫ב‪1 .‬‬
‫ג‪2 .‬‬
‫ד‪4 .‬‬
‫ה‪5 .‬‬
‫האולפניאדה‬
‫ה‬
‫מ‬
‫ת‬
‫מטי‬
‫ת העולמית תשע“ב ‪ -‬שלב הגמר‬
‫‪ish Girls‬‬
‫‪for Jew‬‬
‫החוג למתמטיקה מכללה ירושלים‬
‫‪t‬‬
‫‪ontes‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪t‬‬
‫‪a‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Ulpaniada 5772 - The‬‬
‫‪ 10‬במסדר חטיבת בשן‪ ,‬המונה מספר תלת‪-‬ספרתי של חיילים‪ ,‬ניסו לסדר את החיילים בטורים שווים‪ .‬כשסדרו אותם שישה‬
‫חיילים בכל טור‪ ,‬נותר חיל בודד; כשסדרו אותם שבעה בטור‪ ,‬שוב נותר חייל בודד; כך גם היה כשסדרו את חיילי החטיבה‬
‫בשמיניות ובתשיעיות‪.‬‬
‫כמה חיילים יוותרו אם יסדרו אותם עשרה בטור?‬
‫א‪0 .‬‬
‫ב‪2 .‬‬
‫ג‪3 .‬‬
‫ד‪5 .‬‬
‫ה‪6 .‬‬
‫טבעי ‪. an+2 = an+1 + an‬‬
‫סדרת פיבונצ'י מוגדרת כדלהלן‪ ,a1= a2 =1 :‬ולכל ‪n‬‬
‫כמה מתוך ‪ 1000‬האיברים הראשונים בסדרת פיבונצ'י מתחלקים ב‪?4 -‬‬
‫‪11‬‬
‫א‪165 .‬‬
‫ב‪166 .‬‬
‫ג‪120 .‬‬
‫ד‪198 .‬‬
‫ה‪250 .‬‬
‫‪ 12‬כמה פעמים בין חצות הלילה לחצות היום שאחריו‪ ,‬נוצרת זווית בת ‪ 60°‬בין שני המחוגים של השעון?‬
‫א‪12 .‬‬
‫ב‪13 .‬‬
‫ג‪22 .‬‬
‫ד‪23 .‬‬
‫ה‪24 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 13‬התשע"ב בריבוע‪ :‬המכפלה של סדרת מספרים עוקבים דו‪-‬ספרתיים מתחלקת ב‪.5772 -‬‬
‫מה המספר המזערי של איברים בסדרה זו?‬
‫א‪25 .‬‬
‫‪5‬‬
‫ב‪28 .‬‬
‫ג‪37 .‬‬
‫ד‪38 .‬‬
‫ה‪41 .‬‬
‫האולפניאדה‬
‫ה‬
‫מ‬
‫ת‬
‫מטי‬
‫ת העולמית תשע“ב ‪ -‬שלב הגמר‬
‫‪ish Girls‬‬
‫‪for Jew‬‬
‫החוג למתמטיקה מכללה ירושלים‬
‫‪t‬‬
‫‪ontes‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪t‬‬
‫‪a‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Ulpaniada 5772 - The‬‬
‫‪ 14‬בשרטוט שלפנייך מצוירת לולאה סגורה‪ ,‬שצלעותיה עוברות דרך חלק מ‪ 4x4-‬נקודות שריג‪.‬‬
‫כל אחד מהמספרים בשרטוט מציין את מספר הצלעות של הלולאה המקיפות את הריבוע שהמספר נמצא במרכזו‪ .‬לא‬
‫בכל הריבועים רשומים המספרים‪.‬‬
‫ַציירו בשריג שבציור הבא לולאה סגורה‪ ,‬כך שהמספרים הרשומים בחלק מן הריבועים יתאימו למספר קטעי הלולאה‬
‫הגובלים באותו ריבוע‪.‬‬
‫מהי צורת חלק הלולאה הגובל במשבצת האמצעית האפורה?‬
‫א‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫האולפניאדה‬
‫ה‬
‫מ‬
‫ת‬
‫מטי‬
‫ת העולמית תשע“ב ‪ -‬שלב הגמר‬
‫‪ish Girls‬‬
‫‪for Jew‬‬
‫החוג למתמטיקה מכללה ירושלים‬
‫‪t‬‬
‫‪ontes‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪t‬‬
‫‪a‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Ulpaniada 5772 - The‬‬
‫חלק שני‬
‫בחלק זה שתי שאלות‪ .‬פתרי אותן‪ ,‬ורשמי פתרון מנומק‪ .‬במקום שדרושה הוכחה‪ ,‬ספקי אותה‪.‬‬
‫ערכה של כל שאלה הוא ‪ 23‬נקודות‪ ,‬סה“כ ‪ 46‬נקודות‪ .‬תשובות חלקיות תקבלנה ניקוד חלקי‪.‬‬
‫‪ 15‬בחפירות ארכיאולוגיות ברובע היהודי בירושלים נתגלה בית מפואר מימי הבית השני המכונה "בית המידות"‪.‬‬
‫מתוך השרידים שנותרו בשטח ניתן לשחזר כיצד נראה הבית‪.‬‬
‫)מתוך ספרו של נחמן אביגד ‪ :‬העיר העליונה של ירושלים(‪.‬‬
‫תקרתו של הבית הייתה מצופה בטיח מעוצב הבנוי מצורות גיאומטריות‪ ,‬במרכז התקרה היה עיטור הבנוי ממתומנים‬
‫ומריבועים היוצרים "ריצוף" של חלק זה של התקרה‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫האולפניאדה‬
‫ה‬
‫מ‬
‫ת‬
‫מטי‬
‫ת העולמית תשע“ב ‪ -‬שלב הגמר‬
‫‪ish Girls‬‬
‫‪for Jew‬‬
‫החוג למתמטיקה מכללה ירושלים‬
‫‪t‬‬
‫‪ontes‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪t‬‬
‫‪a‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Ulpaniada 5772 - The‬‬
‫ריצוף של המישור הוא כיסוי של המישור על ידי מצולעים‪ ,‬כך שכל שני מצולעים בריצוף נפגשים בצלע משותפת או‬
‫בקדקוד משותף או בכלל לא נפגשים‪.‬‬
‫זה ריצוף‬
‫זה איננו ריצוף‬
‫ריצוף נקרא משוכלל אם כל האריחים הם מצולעים משוכללים חופפים‪ .‬לדוגמה‪:‬‬
‫ריצוף נקרא משוכלל למחצה אם בכל קדקוד נפגשים מצולעים משוכללים שלא כולם חופפים‪,‬‬
‫וכמו כן בכל קדקוד משתתפים אותם מצולעים באותו סדר מעגלי או בסדר מעגלי הפוך‪.‬‬
‫ריצופים משוכללים למחצה‬
‫‪8‬‬
‫האולפניאדה‬
‫ה‬
‫מ‬
‫ת‬
‫מטי‬
‫ת העולמית תשע“ב ‪ -‬שלב הגמר‬
‫‪ish Girls‬‬
‫‪for Jew‬‬
‫החוג למתמטיקה מכללה ירושלים‬
‫‪t‬‬
‫‪ontes‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪t‬‬
‫‪a‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Ulpaniada 5772 - The‬‬
‫א‪ .‬הוכיחי כי בריצוף תקרת "בית המידות" היחס בין שטח המתומן לשטח הריבוע הוא )‪2‬‬
‫‪. 2 (1 +‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחי כי אם בריצוף משוכלל נפגשים בכל קדקוד ‪ k‬מצולעים משוכללים חופפים‪ ,‬שכל אחד מהם הוא בעל ‪n‬‬
‫צלעות‪ ,‬אז מתקיים‪ .(k-2) (n-2) = 4 :‬לאור זאת מצאי את כל סוגי הריצופים המשוכללים של המישור?‬
‫ג‪ .‬הוכיחי כי בריצוף משוכלל למחצה נפגשים בכל קדקוד לכל היותר חמישה מצולעים משוכללים‪ .‬ואם בריצוף המשוכלל‬
‫למחצה נפגשים בכל קדקוד בדיוק חמישה מצולעים‪ ,‬אז לפחות שלושה מהם הם משולשים שווי צלעות‪.‬‬
‫ד‪ .‬הוכיחי כי יש ריצוף משוכלל למחצה מסוג אחד המכיל מתומנים משוכללים‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫האולפניאדה‬
‫ה‬
‫מ‬
‫ת‬
‫מטי‬
‫ת העולמית תשע“ב ‪ -‬שלב הגמר‬
‫‪ish Girls‬‬
‫‪for Jew‬‬
‫החוג למתמטיקה מכללה ירושלים‬
‫‪t‬‬
‫‪ontes‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪t‬‬
‫‪a‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Ulpaniada 5772 - The‬‬
‫‪10‬‬
‫האולפניאדה‬
‫ה‬
‫מ‬
‫ת‬
‫מטי‬
‫ת העולמית תשע“ב ‪ -‬שלב הגמר‬
‫‪ish Girls‬‬
‫‪for Jew‬‬
‫החוג למתמטיקה מכללה ירושלים‬
‫‪t‬‬
‫‪ontes‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪t‬‬
‫‪a‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Ulpaniada 5772 - The‬‬
‫‪11‬‬
‫האולפניאדה‬
‫ה‬
‫מ‬
‫ת‬
‫מטי‬
‫ת העולמית תשע“ב ‪ -‬שלב הגמר‬
‫‪ish Girls‬‬
‫‪for Jew‬‬
‫החוג למתמטיקה מכללה ירושלים‬
‫‪t‬‬
‫‪ontes‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪t‬‬
‫‪a‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Ulpaniada 5772 - The‬‬
‫‪ 16‬נתבונן במשחק הבא לשני שחקנים‪ :‬נתונים ‪ 13‬קלפים מסודרים בשורה‪ .‬כל אחד מהקלפים שחור בצידו האחד ולבן‬
‫בצידו האחר‪ .‬בצד הלבן כתובים המספרים מ‪ 0 -‬עד ‪ 12‬לפי הסדר מימין לשמאל‪ .‬בתחילת המשחק מונחים כל‬
‫הקלפים כשצידם השחור כלפי מעלה‪ .‬כל שחקן בתורו בוחר שני קלפים סמוכים שהשמאלי שבהם שחור )לא משנה מה‬
‫צבעו של הקלף הימני(‪ ,‬הופך את שניהם על צידם האחר‪ ,‬והמשחק עובר לרעהו‪ .‬אם אין ביכולתו של שחקן בתורו לבצע‬
‫מהלך )כלומר‪ ,‬אם לא נותרו בשורה שני קלפים סמוכים שהשמאלי שבהם שחור(‪ ,‬הוא מפסיד‪ ,‬והשחקן שעשה את הצעד‬
‫האפשרי האחרון מנצח‪.‬‬
‫א‪ .‬כשהמשחק מסתיים‪ ,‬מה מצב הקלפים בסוף המשחק? נמקי‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחי שבכל דרך שבה משחקים‪ ,‬המשחק מסתיים אחרי מספר סופי של צעדים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה המספר המזערי האפשרי של צעדים במשחק זה? נמקי‪.‬‬
‫ד‪ .‬מהו המספר המרבי של צעדים אפשריים במשחק? אלו מהלכים יש לבצע כדי שהמשחק יימשך לאורך מספר זה של‬
‫צעדים?‬
‫ה‪ .‬מי מהשחקנים מנצח )כלומר‪ ,‬מי יעשה את הצעד האחרון ‪ -‬השחקן הפותח או יריבו(?‬
‫ו‪ .‬הכלילי‪ :‬אם מתחילים ב‪ n -‬קלפים באותו סדר התחלתי ועם אותם כללי משחק‪ ,‬מי מנצח ‪ -‬השחקן הפותח או יריבו?‬
‫נמקי )התשובה תלויה בערכו של ‪.(n‬‬
‫‪12‬‬
‫האולפניאדה‬
‫ה‬
‫מ‬
‫ת‬
‫מטי‬
‫ת העולמית תשע“ב ‪ -‬שלב הגמר‬
‫‪ish Girls‬‬
‫‪for Jew‬‬
‫החוג למתמטיקה מכללה ירושלים‬
‫‪t‬‬
‫‪ontes‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪t‬‬
‫‪a‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Ulpaniada 5772 - The‬‬
‫‪13‬‬
‫האולפניאדה‬
‫ה‬
‫מ‬
‫ת‬
‫מטי‬
‫ת העולמית תשע“ב ‪ -‬שלב הגמר‬
‫‪ish Girls‬‬
‫‪for Jew‬‬
‫החוג למתמטיקה מכללה ירושלים‬
‫‪t‬‬
‫‪ontes‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪t‬‬
‫‪a‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Ulpaniada 5772 - The‬‬
‫‪14‬‬