ה האולפניאדה המתמטית העולמית תשע“ב - שלב הגמר
האולפניאדה ה מ ת מטי ת העולמית תשע“ב -שלב הגמר ish Girls for Jew החוג למתמטיקה מכללה ירושלים t ontes C h t a M Ulpaniada 5772 - The בס“ד ט"ז בסיוון תשע“ב משתתפת יקרה אנו מברכים אותך על השתתפותך בשלב הגמר של האולפניאדה המתמטית ,ומאחלים לך הצלחה. בטרם תפני לשאלות ,נא מלאי את הפרטים שבעמוד זה. שם המשתתפת: לתלמידת בית ספר: לבת שרות לאומי: הכיתה: מקום השרות: בית הספר: בוגרת בית הספר: הכתובת האישית: מספר הטלפון הנייד: מספר הטלפון: כתובת דוא“ל: שאלון שלב הגמר מורכב משני חלקים. עם סיום פתרון השאלות והקפת התשובות הנכונות במעגל בחלק הראשון ,נא חזרי לעמוד זה ורכזי את תשובותייך בטבלה הבאה: מספר שאלה 1 3 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 התשובה הנכונה את התשובות לחלק השני רשמי בעמודים המתאימים. בהצלחה רבה צוות האולפניאדה מזכירות האולפניאדה – החוג למתמטיקה ,מכללה ירושלים ת.ד 16078 .בית וגן ירושלים Jerusalem Bayit Vagan P.O.B. 16078 91160 טל (02) 6750705 :פקסTel: (02) 6570705 Fax: 073-2750665 : [email protected] 1 http://ulpaniada.macam.ac.il האולפניאדה ה מ ת מטי ת העולמית תשע“ב -שלב הגמר ish Girls for Jew החוג למתמטיקה מכללה ירושלים t ontes C h t a M Ulpaniada 5772 - The השאלון שלפנייך מורכב משני חלקים .הזמן הכולל לפתרון שני החלקים הוא ארבע שעות. מספר הנקודות הכולל שניתן לצבור הוא 130נקודות .השימוש במחשבון מותר. בהצלחה חלק ראשון בחלק זה 14שאלות ,לכל אחת מהן מוצעות 5תשובות שרק אחת מהן נכונה. סמני בעיגול את התשובה הנכונה. ערכה של כל שאלה הוא 6נקודות) .סה“כ 84נקודות( n 1הוא המספר הטבעי המרבי שכל ספרותיו שונות ,והוא מתחלק ב.8 - מהו הסכום של ספרות האחדות ,העשרות והמאות של ?n א3 . ב4 . ג5 . ד6 . ה7 . 2ציוץ בן 550שנה :המרחק בין שני מגדלים הוא 27אמות .בראשו של כל אחד מהם עומדת ציפור .גבהו של המגדל האחד הוא 15אמות ,ושל האחר 12אמות. )מתוך כתב יד מנטובה (Mantova - Comunita Israelitica MS ebr. 8 באותו זמן יוצאות שתי הציפורים ,ומתעופפות במהירות שווה ,כל אחת בקו אלכסוני כלפי מטה ,לכיוון מעיין הממוקם על הקו המחבר בין בסיסי שני המגדלים. אם שתי הציפורים הגיעו באותו זמן ,מה המרחק באמות של המעיין מהמגדל הגבוה? א10 . 2 ב12 . ג14 . ד15 . ה17 . האולפניאדה ה מ ת מטי ת העולמית תשע“ב -שלב הגמר ish Girls for Jew החוג למתמטיקה מכללה ירושלים t ontes C h t a M Ulpaniada 5772 - The 3רבקה ,אחותה יעל ,ושתי בנותיה של רבקה -רחל ויפעת ,שיחקו במשחק טריוויה .השמות של תאומתה של המנצחת במשחק ושל זו שהגיעה למקום האחרון מתחילים באותה אות אך לא מסתיימים באותה אות .המנצחת היא בת גילה של 3 זו שהגיעה למקום האחרון .מי נצחה? א .רבקה ב .רחל ג .יפעת ד .יעל ה .יש כמה אפשרויות לתפארת מדינת ישראל :כמה שלשות סדורות ) (x,y,zשל מספרים טבעיים קיימות כך ש= 64 - 4 א5 . ב6 . ג7 . ה9 . ד8 . 5צובעים באקראי את שמונת הקדקודים של קובייה באחד משני צבעים כחול או אדום. מהי ההסתברות שכל שני קדקודים שיש ביניהם צלע ,צבועים בצבעים שונים? א0 . ב1/256 . ד1/64 . ג1/128 . ה1/32 . 6על ישר Lמונחות לפי הסדר )אך לאו דווקא במרחקים שווים( חמש נקודות .P5 ,P4 ,P3 ,P2 ,P1 הנקודה Pהיא נקודה במישור שסכום מרחקיה מחמש הנקודות הוא מזערי .מה חייב להתקיים? א P .היא נקודת האמצע בין P1ל.P5 - גP1 + P2 + P3 + P4 + P5 . 5 3 =P ב P .היא נקודת האמצע בין P2ל.P4 - דP=P3 . הP=P5 . z )?(xy האולפניאדה ה מ ת מטי ת העולמית תשע“ב -שלב הגמר ish Girls for Jew החוג למתמטיקה מכללה ירושלים t ontes C h t a M Ulpaniada 5772 - The 7בכל אחד מחמשת קדקודי הפירמידה המרובעת שלפנייך שמים מספר טבעי ,כך שלכל שני מספרים הממוקמים על קדקודים סמוכים יש גורם משותף גדול מ ,1-וכל שני מספרים הממוקמים על קדקודים שאינם סמוכים -זרים זה לזה. מהו המספר הקטן ביותר שאפשר להציב בראש הפירמידה? )קדקודים סמוכים הם קדקודים שיש ביניהם צלע .מספרים זרים הם מספרים שאין להם גורם משותף גדול מ(.1 - א6 . ב15 . ג60 . ד120 . ה210 . 8בעיית הסהרונים של היפוקרטס ) 470 - 410לפני הספירה(: בשרטוט שלפנייך משולש ישר זווית ABCששטחו 10סמ"ר .על כל אחת מצלעות המשולש כקוטר ,בונים חצי עיגול. מתקבלים שלושה חצאי עיגולים ,היוצרים שני סהרונים )ראי ציור(. מהו הסכום בסמ"ר של שטחי הסהרונים )החלק הצהוב(? א5π . ב10 . ג5 . ד3π . ה2.25π . 9יהי nהמספר הטבעי הגדול ביותר כך ש 14n-הוא מספר בן 50ספרות. מהי הספרה ה) 28-מצד שמאל( של ?n א0 . 4 ב1 . ג2 . ד4 . ה5 . האולפניאדה ה מ ת מטי ת העולמית תשע“ב -שלב הגמר ish Girls for Jew החוג למתמטיקה מכללה ירושלים t ontes C h t a M Ulpaniada 5772 - The 10במסדר חטיבת בשן ,המונה מספר תלת-ספרתי של חיילים ,ניסו לסדר את החיילים בטורים שווים .כשסדרו אותם שישה חיילים בכל טור ,נותר חיל בודד; כשסדרו אותם שבעה בטור ,שוב נותר חייל בודד; כך גם היה כשסדרו את חיילי החטיבה בשמיניות ובתשיעיות. כמה חיילים יוותרו אם יסדרו אותם עשרה בטור? א0 . ב2 . ג3 . ד5 . ה6 . טבעי . an+2 = an+1 + an סדרת פיבונצ'י מוגדרת כדלהלן ,a1= a2 =1 :ולכל n כמה מתוך 1000האיברים הראשונים בסדרת פיבונצ'י מתחלקים ב?4 - 11 א165 . ב166 . ג120 . ד198 . ה250 . 12כמה פעמים בין חצות הלילה לחצות היום שאחריו ,נוצרת זווית בת 60°בין שני המחוגים של השעון? א12 . ב13 . ג22 . ד23 . ה24 . 2 13התשע"ב בריבוע :המכפלה של סדרת מספרים עוקבים דו-ספרתיים מתחלקת ב.5772 - מה המספר המזערי של איברים בסדרה זו? א25 . 5 ב28 . ג37 . ד38 . ה41 . האולפניאדה ה מ ת מטי ת העולמית תשע“ב -שלב הגמר ish Girls for Jew החוג למתמטיקה מכללה ירושלים t ontes C h t a M Ulpaniada 5772 - The 14בשרטוט שלפנייך מצוירת לולאה סגורה ,שצלעותיה עוברות דרך חלק מ 4x4-נקודות שריג. כל אחד מהמספרים בשרטוט מציין את מספר הצלעות של הלולאה המקיפות את הריבוע שהמספר נמצא במרכזו .לא בכל הריבועים רשומים המספרים. ַציירו בשריג שבציור הבא לולאה סגורה ,כך שהמספרים הרשומים בחלק מן הריבועים יתאימו למספר קטעי הלולאה הגובלים באותו ריבוע. מהי צורת חלק הלולאה הגובל במשבצת האמצעית האפורה? א. 6 ב. ג. ד. ה. האולפניאדה ה מ ת מטי ת העולמית תשע“ב -שלב הגמר ish Girls for Jew החוג למתמטיקה מכללה ירושלים t ontes C h t a M Ulpaniada 5772 - The חלק שני בחלק זה שתי שאלות .פתרי אותן ,ורשמי פתרון מנומק .במקום שדרושה הוכחה ,ספקי אותה. ערכה של כל שאלה הוא 23נקודות ,סה“כ 46נקודות .תשובות חלקיות תקבלנה ניקוד חלקי. 15בחפירות ארכיאולוגיות ברובע היהודי בירושלים נתגלה בית מפואר מימי הבית השני המכונה "בית המידות". מתוך השרידים שנותרו בשטח ניתן לשחזר כיצד נראה הבית. )מתוך ספרו של נחמן אביגד :העיר העליונה של ירושלים(. תקרתו של הבית הייתה מצופה בטיח מעוצב הבנוי מצורות גיאומטריות ,במרכז התקרה היה עיטור הבנוי ממתומנים ומריבועים היוצרים "ריצוף" של חלק זה של התקרה. 7 האולפניאדה ה מ ת מטי ת העולמית תשע“ב -שלב הגמר ish Girls for Jew החוג למתמטיקה מכללה ירושלים t ontes C h t a M Ulpaniada 5772 - The ריצוף של המישור הוא כיסוי של המישור על ידי מצולעים ,כך שכל שני מצולעים בריצוף נפגשים בצלע משותפת או בקדקוד משותף או בכלל לא נפגשים. זה ריצוף זה איננו ריצוף ריצוף נקרא משוכלל אם כל האריחים הם מצולעים משוכללים חופפים .לדוגמה: ריצוף נקרא משוכלל למחצה אם בכל קדקוד נפגשים מצולעים משוכללים שלא כולם חופפים, וכמו כן בכל קדקוד משתתפים אותם מצולעים באותו סדר מעגלי או בסדר מעגלי הפוך. ריצופים משוכללים למחצה 8 האולפניאדה ה מ ת מטי ת העולמית תשע“ב -שלב הגמר ish Girls for Jew החוג למתמטיקה מכללה ירושלים t ontes C h t a M Ulpaniada 5772 - The א .הוכיחי כי בריצוף תקרת "בית המידות" היחס בין שטח המתומן לשטח הריבוע הוא )2 . 2 (1 + ב .הוכיחי כי אם בריצוף משוכלל נפגשים בכל קדקוד kמצולעים משוכללים חופפים ,שכל אחד מהם הוא בעל n צלעות ,אז מתקיים .(k-2) (n-2) = 4 :לאור זאת מצאי את כל סוגי הריצופים המשוכללים של המישור? ג .הוכיחי כי בריצוף משוכלל למחצה נפגשים בכל קדקוד לכל היותר חמישה מצולעים משוכללים .ואם בריצוף המשוכלל למחצה נפגשים בכל קדקוד בדיוק חמישה מצולעים ,אז לפחות שלושה מהם הם משולשים שווי צלעות. ד .הוכיחי כי יש ריצוף משוכלל למחצה מסוג אחד המכיל מתומנים משוכללים. 9 האולפניאדה ה מ ת מטי ת העולמית תשע“ב -שלב הגמר ish Girls for Jew החוג למתמטיקה מכללה ירושלים t ontes C h t a M Ulpaniada 5772 - The 10 האולפניאדה ה מ ת מטי ת העולמית תשע“ב -שלב הגמר ish Girls for Jew החוג למתמטיקה מכללה ירושלים t ontes C h t a M Ulpaniada 5772 - The 11 האולפניאדה ה מ ת מטי ת העולמית תשע“ב -שלב הגמר ish Girls for Jew החוג למתמטיקה מכללה ירושלים t ontes C h t a M Ulpaniada 5772 - The 16נתבונן במשחק הבא לשני שחקנים :נתונים 13קלפים מסודרים בשורה .כל אחד מהקלפים שחור בצידו האחד ולבן בצידו האחר .בצד הלבן כתובים המספרים מ 0 -עד 12לפי הסדר מימין לשמאל .בתחילת המשחק מונחים כל הקלפים כשצידם השחור כלפי מעלה .כל שחקן בתורו בוחר שני קלפים סמוכים שהשמאלי שבהם שחור )לא משנה מה צבעו של הקלף הימני( ,הופך את שניהם על צידם האחר ,והמשחק עובר לרעהו .אם אין ביכולתו של שחקן בתורו לבצע מהלך )כלומר ,אם לא נותרו בשורה שני קלפים סמוכים שהשמאלי שבהם שחור( ,הוא מפסיד ,והשחקן שעשה את הצעד האפשרי האחרון מנצח. א .כשהמשחק מסתיים ,מה מצב הקלפים בסוף המשחק? נמקי. ב .הוכיחי שבכל דרך שבה משחקים ,המשחק מסתיים אחרי מספר סופי של צעדים. ג .מה המספר המזערי האפשרי של צעדים במשחק זה? נמקי. ד .מהו המספר המרבי של צעדים אפשריים במשחק? אלו מהלכים יש לבצע כדי שהמשחק יימשך לאורך מספר זה של צעדים? ה .מי מהשחקנים מנצח )כלומר ,מי יעשה את הצעד האחרון -השחקן הפותח או יריבו(? ו .הכלילי :אם מתחילים ב n -קלפים באותו סדר התחלתי ועם אותם כללי משחק ,מי מנצח -השחקן הפותח או יריבו? נמקי )התשובה תלויה בערכו של .(n 12 האולפניאדה ה מ ת מטי ת העולמית תשע“ב -שלב הגמר ish Girls for Jew החוג למתמטיקה מכללה ירושלים t ontes C h t a M Ulpaniada 5772 - The 13 האולפניאדה ה מ ת מטי ת העולמית תשע“ב -שלב הגמר ish Girls for Jew החוג למתמטיקה מכללה ירושלים t ontes C h t a M Ulpaniada 5772 - The 14
© Copyright 2024