1. No category

Polinomi, racionalna funkcija
Za inštrukcije matematike pokliči: 041 456 238, Rok
POLINOMI
Polinom stopnje n je funkcija, ki jo zapišemo:
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 , 𝑛 ∈ ℕ
Koeficienti polinoma so navadno realna števila, 𝑎𝑛 imenujemo vodilni člen, 𝑎0 pa konstantni člen
(prosti člen, začetna vrednost).
Tudi konstantna funkcija 𝑓 𝑥 = 𝑐 predstavlja polinom. Po dogovoru je stopnja tega polinoma nič, če
je 𝑐 ≠ 0. Stopnja ni definirana, če je 𝑐 = 0.
Definicijsko območje polinoma je običajno množica realnih števil.
Zaloga vrednosti polinoma lihe stopnje je množica realnih števil, za polinom sode stopnje moramo
zalogo vrednosti določiti za vsak primer posebej.
Ničle polinoma določamo na več načinov:
z razcepom na linearne oz. kvadratne faktorje (izpostavljanje skupnega faktorja, Viétovo pravilo,
formula za ničle kvadratne funkcije), z deljenjem polinomov ali s Hornerjevim algoritmom.
Število ničel polinoma
Polinom ima lahko realne ali/in kompleksne ničle. Število realnih in kompleksnih ničel polinoma se
vedno ujema s stopnjo polinoma. Še zadnje pravilo: kompleksne ničle so vedno v parih (konjugirani
pari). Tako ima na primer polinom tretje stopnje natanko tri ničle. Lahko so vse tri ničle realne ali pa
dve kompleksni in ena realna ničla. Polinomi lihih stopenj imajo vsaj eno realno ničlo, kar pa ne velja
za polinome sode stopnje.
Določanje kandidatov za cele in racionalne ničle polinoma
Edini kandidati za cele ničle polinoma so delitelji konstantnega člena polinoma, 𝑎0 . Če je vodilni člen
𝑐
polinoma enak 1, so racionalne ničle polinoma cela števila. Če je okrajšani ulomek ničla polinoma,
𝑑
velja da c deli konstantni člen, d pa vodilni koeficient.
Če je vodilni koeficient polinoma enak 1, so vse racionalne ničle polinoma cela števila.
Graf polinoma
Graf polinoma je nepretrgana krivulja. Polinom v ničlah lihe stopnje (enojne, trojne..) zamenja
predznak – to pomeni da seka os x. V ničlah sode stopnje, polinom ne menja predznaka, graf se
odbije od osi x. Kar se tiče obnašanja polinoma daleč od izhodišča, so možne štiri vrste grafov.
Polinomi sodih stopenj, pozitiven vodilni člen
Polinomi sodih stopenj, negativen vodilni člen
Polinomi lihih stopenj, pozitiven vodilni člen
Polinomi lihih stopenj, negativen vodilni člen
E: [email protected]
Za inštrukcije matematike pokliči: 041 456 238, Rok
Polinomi, racionalna funkcija
Za inštrukcije matematike pokliči: 041 456 238, Rok
RACIONALNE FUNKCIJE
Racionalna funkcija je okrajšan kvocient dveh polinomov:
𝑓 𝑥 =
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
Definicijsko območje racionalne funkcije so vsa realna števila, razen tistih, ki so ničle polinoma v
imenovalcu (poli).
Ničle racionalne funkcije so ničle polinoma v števcu. Poli racionalne funkcije pa so ničle polinoma v
imenovalcu. Pri risanju grafa racionalne funkcije upoštevamo naslednje:
 V ničli lihe stopnje (enojne, trojne, … ničle) graf racionalne funkcije seka os-x, v ničli sode
stopnje (dvojna ničla), pa se graf od osi x odbije
 V polu lihe stopnje (enojni, trojni pol) racionalna funkcija spremeni predznak, v polu sode
stopnje (dvojni pol) pa predznak ohrani
 Obnašanje grafa racionalne funkcije daleč od izhodišča določa asimptota. Enačbo asimptote
določimo glede na stopnjo polinoma v števcu in polinoma v imenovalcu, ločimo tri primere:
o Če je stopnja polinoma v imenovalcu večja od stopnje polinoma v imenovalcu, je
enačba asimptote 𝑦 = 0, npr.:

o
o
𝑓 𝑥 =
2
,𝑔
𝑥+1
𝑥 =
2−𝑥
,𝑕
𝑥 2 +1
𝑥 =
2
,𝑗
1−2𝑥 2
𝑥 =
2𝑥 2
𝑥 3 +1
𝑖𝑛 𝑘 𝑥 =
2𝑥 2
𝑥 3 +1
pri vseh teh polinomih je enačba asimptote 𝑦 = 0
Če sta stopnji enaki, je asimptota vodoravna premica; potrebno je deliti (samo)
vodilna člena obeh koeficientov, npr.:

𝑓 𝑥 =

𝑓 𝑥 =

𝑓 𝑥 =
𝟐𝑥−1
2
, 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎: 𝑦 = −1 = −𝟐
1−𝑥
𝑥 2 −1
1
, 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎: 𝑦 = 1 = 𝟏
2
𝑥 −2𝑥−8
2−3𝑥 2
−3
𝟑
, 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎: 𝑦 = 2 = − 𝟐
2𝑥 2 +1
Če je stopnja števca (za eno) večja od stopnje imenovalca, je asimptota poševna
premica, njeno enačbo dobimo, če polinoma delimo, npr.:

𝑓 𝑥 =
𝑥 2 +4𝑥+4
𝑥+3
, 𝑑𝑒𝑙𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑎
1
(𝑥 2 + 4𝑥 + 4): 𝑥 + 3 = 𝑥 + 1 + 𝑥+3
𝑒𝑛𝑎č𝑏𝑎 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑒 𝑗𝑒 ∶ 𝒚 = 𝒙 + 𝟏
 Presečišče grafa in asimptote (če obstaja) je tam, kjer je ostanek pri deljenju polinomov enak
nič, npr.:
o
𝑥+1
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −4
Asimptota te racionalne funkcije je 𝑦 = 0. Ker je stopnja števca manjša od stopnje
imenovalca, je sotanek pri deljejnju kar števec, toreej 𝑥 + 1. Iz enačbe 𝑥 + 1 = 0
dobimo presečišče grafa in asimptote 𝑇(−1,0).
o
𝑓 𝑥 =
2𝑥+4
𝑥−1
Asimptota te racionalne funkcije je 𝑦 = 2, ostanek pri deljenju pa 6 (preveri z deljenjem).
V tem primeru se graf ne seka asimptote.
E: [email protected]
Za inštrukcije matematike pokliči: 041 456 238, Rok