1. No category

Polinomi in racionalne funkcije
Vaje
Anja Žnidaršiˇc
FOV, 2012-2013
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
1 / 104
Uvod
Nekaj uvodnih besed
V sklopu tega e-gradiva za vaje se boste nauˇcili narisati polinom in
racionalno funkcijo.
Pred posamezno nalogo imate zapisana vprašanja na katera je
ˇ
potrebno znati odgovoriti, da lahko rešimo zastavljene naloge. Ce
odgovora ne poznate, ga poišˇcite v zapiskih predavanj oz. v ustrezni
priporoˇceni literaraturi.
ˇ
V tem gradivu je šest nalog rešenih po korakih. Ceprav
je gradivo
objavljeno v pdf obliki, bi radi poudarili, da ni namenjeno, da si ga v
celoti natisnete. S pomoˇcjo postopoma rešenih nalog si ustvarite svoje
zapiske z besedilom naloge in ustrezno rešitvijo.
Na koncu je zapisana še domaˇca naloga, katere rešitve boste objavili v
spletni uˇcilnici.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
2 / 104
Kazalo
1
Polinomi
Naloga 1
Naloga 2
Naloga 3
Naloga 4
2
Racionalne funkcije
Naloga 5
Naloga 6
3
Domaˇca naloga
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
3 / 104
Ali že znam?
ˇ zapiske predavanj in ponovi...
Poišci
...vse o polinomih:
Koliko niˇcel ima polinom?
Kaj pomeni, da je niˇcla lihe oz. sode stopnje? Kako se to vidi na
grafu polinoma?
Kaj nam o grafu polinoma pove vodilni koeficient polinoma?
Kaj je prosti cˇ len polinoma?
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
4 / 104
Polinomi, naloga 1
Naloga 1
Nariši polinom p(x) = x 3 + x 2 − 6x.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
5 / 104
Polinomi, naloga 1
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcišˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcišˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcišˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcišˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
x 3 + x 2 − 6x = 0
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcišˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
x 3 + x 2 − 6x = 0
Najprej izpostavimo x:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcišˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
x 3 + x 2 − 6x = 0
Najprej izpostavimo x:
x(x 2 + x − 6) = 0
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcišˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
x 3 + x 2 − 6x = 0
Najprej izpostavimo x:
x(x 2 + x − 6) = 0
in razstavimo izraz x 2 + x − 6
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcišˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
x 3 + x 2 − 6x = 0
Najprej izpostavimo x:
x(x 2 + x − 6) = 0
in razstavimo izraz x 2 + x − 6
x(x + 3)(x − 2) = 0
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcišˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
x 3 + x 2 − 6x = 0
Najprej izpostavimo x:
x(x 2 + x − 6) = 0
in razstavimo izraz x 2 + x − 6
x(x + 3)(x − 2) = 0
Imamo torej tri niˇcle:
x1 = 0, x2 = −3 in x3 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcišˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
x 3 + x 2 − 6x = 0
Najprej izpostavimo x:
x(x 2 + x − 6) = 0
in razstavimo izraz x 2 + x − 6
x(x + 3)(x − 2) = 0
Imamo torej tri niˇcle:
x1 = 0, x2 = −3 in x3 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Zaˇcetna vrednost:
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcišˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
x 3 + x 2 − 6x = 0
Najprej izpostavimo x:
x(x 2 + x − 6) = 0
in razstavimo izraz x 2 + x − 6
x(x + 3)(x − 2) = 0
Imamo torej tri niˇcle:
x1 = 0, x2 = −3 in x3 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Zaˇcetna vrednost:
V predpis polinoma vstavimo
x = 0:
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcišˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
x 3 + x 2 − 6x = 0
Najprej izpostavimo x:
x(x 2 + x − 6) = 0
in razstavimo izraz x 2 + x − 6
x(x + 3)(x − 2) = 0
Imamo torej tri niˇcle:
x1 = 0, x2 = −3 in x3 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Zaˇcetna vrednost:
V predpis polinoma vstavimo
x = 0:
p(0) = 03 + 02 − 6 · 0 = 0
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Narišemo koordinatni
sistem in:
oznaˇcimo os x in y,
oznaˇcimo enoti 1 na
obeh oseh in
(po potrebi) še
ostale vrednosti na
obeh oseh.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
7 / 104
Polinomi, naloga 1
y
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Narišemo koordinatni
sistem in:
oznaˇcimo os x in y,
|
−−1
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
x
oznaˇcimo enoti 1 na
obeh oseh in
(po potrebi) še
ostale vrednosti na
obeh oseh.
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
7 / 104
Polinomi, naloga 1
|
|
|
|
|
|
|
x2
|
|
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
y
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
x1
−−1
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
|
1
|
2
x3
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
x
Polinomi in racionalne funkcije
Oznaˇcimo niˇcle
(na osi x):
x1 = 0,
x2 = −3 in
x3 = 2.
FOV 2012/13
8 / 104
Polinomi, naloga 1
|
|
|
|
|
|
|
x2
|
|
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
y
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
x1
−−1
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
|
1
x
Oznaˇcimo zaˇcetno
vrednost (na osi y ):
y =0
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
|
2
x3
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
9 / 104
Polinomi, naloga 1
|
|
|
|
|
|
|
x2
|
|
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
y
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
x1
−−1
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
Polinom zaˇcnemo risati na
desni strani koordinatnega
sistema.
|
1
|
2
x3
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
x
Vodilni koeficient polinoma
je enak 1 (= koeficient pred
x 3 ).
Ker je vodilni koeficient
pozitiven je graf polinoma za
velike vrednosti (na desni
strani koordinatnega
sistema) pozitiven, torej nad
x-osjo.
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
10 / 104
Polinomi, naloga 1
|
|
|
|
|
|
|
x2
|
|
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
y
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
x1
−−1
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
|
1
|
2
x3
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
x
Prva toˇcka, ki je
narisana v
koordinatnem sistemu
(ˇce gledamo od desne
proti levi) je niˇcla
x3 = 2.
Niˇcla x3 je prve
stopnje, zato graf
funkcije p seka os x pri
x3 = 2.
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
11 / 104
Polinomi, naloga 1
|
|
|
|
|
|
|
x2
|
|
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
y
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
x1
−−1
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
Naslednja toˇcka je
niˇcla x1 = 0. Graf se
zato med 0 in 2 obrne
navzgor (med 0 in 2
graf doseže lokalni
minimum).
|
1
|
2
x3
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
x
Polinomi in racionalne funkcije
Kje (pri katerem x) se
obrne in kakšno
vrednost doseže v tej
toˇcki bomo znali
izraˇcunati s pomoˇcjo
ekstremov v poglavju
Odvod funkcije.
FOV 2012/13
12 / 104
Polinomi, naloga 1
|
|
|
|
|
|
|
x2
|
|
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
y
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
x1
−−1
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
|
1
|
2
x3
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
x
Kot smo že povedali, je
naslednja toˇcka na
grafu niˇcla x1 = 0. To
je hkrati tudi zaˇcetna
vrednost funkcije.
Le-ta je spet prve
stopnje, torej graf
funkcije p seka os x pri
x1 = 0.
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
13 / 104
Polinomi, naloga 1
|
|
|
|
|
|
|
x2
|
|
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
y
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
x1
−−1
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
Naslednja toˇcka je
niˇcla x2 = −3. Graf se
zato nekje med -3 in 0
obrne navzdol (med -3
in 0 graf doseže lokalni
maksimum).
|
1
|
2
x3
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
x
Polinomi in racionalne funkcije
Kje (pri katerem x) se
obrne in kakšno
vrednost doseže v tej
toˇcki bomo znali
izraˇcunati s pomoˇcjo
ekstremov v poglavju
Odvod funkcije.
FOV 2012/13
14 / 104
Polinomi, naloga 1
|
|
|
|
|
|
|
x2
|
|
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
y
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
x1
−−1
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
f(x) = x3 + x2 − 6x
Kot smo že povedali, je
naslednja toˇcka na
grafu niˇcla x2 = −3.
|
1
|
2
x3
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
x
Polinomi in racionalne funkcije
Tudi ta niˇcla je prve
stopnje, torej graf
funkcije p seka os x pri
x2 = −3.
FOV 2012/13
15 / 104
Polinomi, naloga 2
Naloga 2
Nariši polinom p(x) = −x 4 + 4x 2 .
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
16 / 104
Polinomi, naloga 2
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcisšˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcisšˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcisšˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcisšˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcisšˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
Enaˇcbo pomnožimo z −1
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcisšˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
Enaˇcbo pomnožimo z −1
x 4 − 4x 2 = 0
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcisšˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
Enaˇcbo pomnožimo z −1
x 4 − 4x 2 = 0
Najprej izpostavimo x 2 :
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcisšˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
Enaˇcbo pomnožimo z −1
x 4 − 4x 2 = 0
Najprej izpostavimo x 2 :
x 2 (x 2 − 4) = 0
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcisšˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
Enaˇcbo pomnožimo z −1
x 4 − 4x 2 = 0
Najprej izpostavimo x 2 :
x 2 (x 2 − 4) = 0
in razstavimo izraz x 2 − 4
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcisšˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
Enaˇcbo pomnožimo z −1
x 4 − 4x 2 = 0
Najprej izpostavimo x 2 :
x 2 (x 2 − 4) = 0
in razstavimo izraz x 2 − 4
x 2 (x + 2)(x − 2) = 0
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcisšˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
Enaˇcbo pomnožimo z −1
x 4 − 4x 2 = 0
Najprej izpostavimo x 2 :
x 2 (x 2 − 4) = 0
in razstavimo izraz x 2 − 4
x 2 (x + 2)(x − 2) = 0
Imamo torej tri niˇcle:
x1,2 = 0, x3 = −2 in x4 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcisšˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
Enaˇcbo pomnožimo z −1
x 4 − 4x 2 = 0
Najprej izpostavimo x 2 :
x 2 (x 2 − 4) = 0
in razstavimo izraz x 2 − 4
x 2 (x + 2)(x − 2) = 0
Imamo torej tri niˇcle:
x1,2 = 0, x3 = −2 in x4 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Zaˇcetna vrednost:
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcisšˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
Enaˇcbo pomnožimo z −1
x 4 − 4x 2 = 0
Najprej izpostavimo x 2 :
x 2 (x 2 − 4) = 0
in razstavimo izraz x 2 − 4
x 2 (x + 2)(x − 2) = 0
Imamo torej tri niˇcle:
x1,2 = 0, x3 = −2 in x4 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Zaˇcetna vrednost:
V predpis polinoma vstavimo
x = 0:
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcisšˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
Enaˇcbo pomnožimo z −1
x 4 − 4x 2 = 0
Najprej izpostavimo x 2 :
x 2 (x 2 − 4) = 0
in razstavimo izraz x 2 − 4
x 2 (x + 2)(x − 2) = 0
Imamo torej tri niˇcle:
x1,2 = 0, x3 = −2 in x4 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Zaˇcetna vrednost:
V predpis polinoma vstavimo
x = 0:
p(0) = −04 + 4 · 02 = 0
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Narišemo
koordinatni sistem,
oznaˇcimo enote in
obe koordinatni
osi.
Oznaˇcimo niˇcle
(na osi x):
x1,2 = 0, x3 = 2 in
x4 = 2.
Oznaˇcimo zaˇcetno
vrednost (na osi
y ): y = 0
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
18 / 104
Polinomi, naloga 2
y
Narišemo
koordinatni sistem,
oznaˇcimo enote in
obe koordinatni
osi.
−4
−3
−2
−1
|
−4
|
−3
x3
|
−2
|
−1
x12
|
1
|
2
x4
|
3
|
4
x
− −1
− −2
− −3
Oznaˇcimo zaˇcetno
vrednost (na osi
y ): y = 0
− −4
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Oznaˇcimo niˇcle
(na osi x):
x1,2 = 0, x3 = 2 in
x4 = 2.
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
18 / 104
Polinomi, naloga 2
y
Polinom zaˇcnemo risati na
desni strani koordinatnega
sistema.
−4
−3
−2
Vodilni koeficient polinoma
je enak -1 (= koeficient pred
x 4 ).
−1
|
−4
|
−3
x
| 3
−2
|
−1
x12
|
1
|
2
x4
|
3
|
4
x
− −1
Ker je vodilni koeficient
negativen je graf polinoma
za velike vrednosti (na desni
strani koordinatnega
sistema) negativen, torej
pod x-osjo.
− −2
− −3
− −4
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
19 / 104
Polinomi, naloga 2
y
−4
−3
−2
−1
|
−4
|
−3
x3
|
−2
|
−1
x12
|
1
|
2
x4
|
3
|
4
x
Prva toˇcka, ki je
narisana v
koordinatnem sistemu
(ˇce gledamo od desne
proti levi) je niˇcla
x4 = 2.
− −1
Niˇcla x4 je prve
stopnje, zato graf
funkcije p seka os x pri
x4 = 2.
− −2
− −3
− −4
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
20 / 104
Polinomi, naloga 2
y
−4
−3
−2
−1
|
−4
|
−3
x
| 3
−2
|
−1
x12
|
1
|
2
x4
|
3
|
4
x
− −1
− −2
Naslednja toˇcka je
niˇcla x1,2 = 0. Graf se
zato med 0 in 2 obrne
navzdol (med 0 in 2
graf doseže lokalni
maksimum).
− −3
− −4
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
21 / 104
Polinomi, naloga 2
y
−4
−3
−2
−1
|
−4
|
−3
x3
|
−2
|
−1
x12
|
1
|
2
x4
|
3
|
4
x
− −1
− −2
Naslednja toˇcka je
dvojna niˇcla (niˇcla sode
stopnje) x1,2 = 0. Graf
se zato pri x = 0
dotakne x osi.
To je hkrati tudi zaˇcetna
vrednost funkcije.
− −3
− −4
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
22 / 104
Polinomi, naloga 2
y
−4
−3
−2
−1
|
−4
|
−3
x
| 3
−2
|
−1
x12
|
1
|
2
x4
|
3
|
4
x
− −1
− −2
Naslednja toˇcka na
grafu je niˇcla x3 = −2.
Graf se zato med -2 in
0 obrne navzdol (med
-2 in 0 graf doseže
lokalni maksimum).
− −3
− −4
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
23 / 104
Polinomi, naloga 2
y
−4
−3
Kot smo že povedali je
naslednja toˇcka na
grafu niˇcla x3 = −2.
f(x) = − x4 + 4x2
−2
−1
|
−4
|
−3
x3
|
−2
|
−1
x12
|
1
|
2
x4
|
3
|
4
x
− −1
− −2
− −3
Le-ta je spet prve
stopnje, torej graf
funkcije p seka os x pri
x3 = −2.
− −4
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
24 / 104
Polinomi, naloga 3
Naloga 3
Nariši polinom p(x) = x 3 + 2x 2 − 4x − 8.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
25 / 104
Polinomi, naloga 3
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle in zaˇcetno vrednost.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle in zaˇcetno vrednost.
Niˇcle:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle in zaˇcetno vrednost.
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo p(x) = 0 oziroma
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle in zaˇcetno vrednost.
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo p(x) = 0 oziroma
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = 0
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle in zaˇcetno vrednost.
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo p(x) = 0 oziroma
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = 0
Enaˇcba ima na levi strani štiri cˇ lene, posebej izpostavimo najveˇcji skupnji
delitelj prvih dveh cˇ lenov ter nato še najveˇcji skupnji delitelj zadnjih dveh
cˇ lenov.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle in zaˇcetno vrednost.
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo p(x) = 0 oziroma
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = 0
Enaˇcba ima na levi strani štiri cˇ lene, posebej izpostavimo najveˇcji skupnji
delitelj prvih dveh cˇ lenov ter nato še najveˇcji skupnji delitelj zadnjih dveh
cˇ lenov.
Iz prvih dveh cˇ lenov lahko izpostavimon x 2 in iz zadnjih dveh −4:
2
x (x + 2) − 4(x + 2) = 0
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle in zaˇcetno vrednost.
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo p(x) = 0 oziroma
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = 0
Enaˇcba ima na levi strani štiri cˇ lene, posebej izpostavimo najveˇcji skupnji
delitelj prvih dveh cˇ lenov ter nato še najveˇcji skupnji delitelj zadnjih dveh
cˇ lenov.
Iz prvih dveh cˇ lenov lahko izpostavimon x 2 in iz zadnjih dveh −4:
2
x (x + 2) − 4(x + 2) = 0
Nato izpostavimo (x + 2):
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle in zaˇcetno vrednost.
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo p(x) = 0 oziroma
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = 0
Enaˇcba ima na levi strani štiri cˇ lene, posebej izpostavimo najveˇcji skupnji
delitelj prvih dveh cˇ lenov ter nato še najveˇcji skupnji delitelj zadnjih dveh
cˇ lenov.
Iz prvih dveh cˇ lenov lahko izpostavimon x 2 in iz zadnjih dveh −4:
2
x (x + 2) − 4(x + 2) = 0
Nato izpostavimo (x + 2):
(x + 2)(x 2 − 4) = 0
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle in zaˇcetno vrednost.
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo p(x) = 0 oziroma
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = 0
Enaˇcba ima na levi strani štiri cˇ lene, posebej izpostavimo najveˇcji skupnji
delitelj prvih dveh cˇ lenov ter nato še najveˇcji skupnji delitelj zadnjih dveh
cˇ lenov.
Iz prvih dveh cˇ lenov lahko izpostavimon x 2 in iz zadnjih dveh −4:
2
x (x + 2) − 4(x + 2) = 0
Nato izpostavimo (x + 2):
(x + 2)(x 2 − 4) = 0
in razstavimo izraz x 2 − 4
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle in zaˇcetno vrednost.
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo p(x) = 0 oziroma
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = 0
Enaˇcba ima na levi strani štiri cˇ lene, posebej izpostavimo najveˇcji skupnji
delitelj prvih dveh cˇ lenov ter nato še najveˇcji skupnji delitelj zadnjih dveh
cˇ lenov.
Iz prvih dveh cˇ lenov lahko izpostavimon x 2 in iz zadnjih dveh −4:
2
x (x + 2) − 4(x + 2) = 0
Nato izpostavimo (x + 2):
(x + 2)(x 2 − 4) = 0
in razstavimo izraz x 2 − 4
(x + 2)(x − 2)(x + 2) = 0 oziroma
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle in zaˇcetno vrednost.
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo p(x) = 0 oziroma
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = 0
Enaˇcba ima na levi strani štiri cˇ lene, posebej izpostavimo najveˇcji skupnji
delitelj prvih dveh cˇ lenov ter nato še najveˇcji skupnji delitelj zadnjih dveh
cˇ lenov.
Iz prvih dveh cˇ lenov lahko izpostavimon x 2 in iz zadnjih dveh −4:
2
x (x + 2) − 4(x + 2) = 0
Nato izpostavimo (x + 2):
(x + 2)(x 2 − 4) = 0
in razstavimo izraz x 2 − 4
(x + 2)(x − 2)(x + 2) = 0 oziroma
(x + 2)2 (x − 2) = 0.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle in zaˇcetno vrednost.
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo p(x) = 0 oziroma
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = 0
Enaˇcba ima na levi strani štiri cˇ lene, posebej izpostavimo najveˇcji skupnji
delitelj prvih dveh cˇ lenov ter nato še najveˇcji skupnji delitelj zadnjih dveh
cˇ lenov.
Iz prvih dveh cˇ lenov lahko izpostavimon x 2 in iz zadnjih dveh −4:
2
x (x + 2) − 4(x + 2) = 0
Nato izpostavimo (x + 2):
(x + 2)(x 2 − 4) = 0
in razstavimo izraz x 2 − 4
(x + 2)(x − 2)(x + 2) = 0 oziroma
(x + 2)2 (x − 2) = 0.
Imamo torej tri niˇcle:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle in zaˇcetno vrednost.
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo p(x) = 0 oziroma
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = 0
Enaˇcba ima na levi strani štiri cˇ lene, posebej izpostavimo najveˇcji skupnji
delitelj prvih dveh cˇ lenov ter nato še najveˇcji skupnji delitelj zadnjih dveh
cˇ lenov.
Iz prvih dveh cˇ lenov lahko izpostavimon x 2 in iz zadnjih dveh −4:
2
x (x + 2) − 4(x + 2) = 0
Nato izpostavimo (x + 2):
(x + 2)(x 2 − 4) = 0
in razstavimo izraz x 2 − 4
(x + 2)(x − 2)(x + 2) = 0 oziroma
(x + 2)2 (x − 2) = 0.
Imamo torej tri niˇcle:
x1,2 = −2 in x3 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Zaˇcetna vrednost:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
27 / 104
Polinomi, naloga 3
Zaˇcetna vrednost:
V predpis polinoma vstavimo x = 0:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
27 / 104
Polinomi, naloga 3
Zaˇcetna vrednost:
V predpis polinoma vstavimo x = 0:
p(0) = 03 + 2 · 02 − 4 · 0 − 8 = −8
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
27 / 104
Polinomi, naloga 3
Narišemo
koordinatni sistem,
oznaˇcimo enote in
obe koordinatni
osi.
Oznaˇcimo niˇcle
(na osi x):
x1,2 = −2 in
x3 = 2.
Oznaˇcimo zaˇcetno
vrednost (na osi
y ): y = −8
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
28 / 104
Polinomi, naloga 3
y
−8
Narišemo
koordinatni sistem,
oznaˇcimo enote in
obe koordinatni
osi.
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
|
|
|
|
|
x12
| |
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−−1
|
x3
| |
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
x
−−2
−−3
−−4
−−5
Oznaˇcimo zaˇcetno
vrednost (na osi
y ): y = −8
−−6
−−7
−−8
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Oznaˇcimo niˇcle
(na osi x):
x1,2 = −2 in
x3 = 2.
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
28 / 104
Polinomi, naloga 3
y
−8
Polinom zaˇcnemo risati na
desni strani koordinatnega
sistema.
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
|
|
|
|
|
x12
| |
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−−1
|
x3
| |
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
x
−−2
Ker je vodilni koeficient
pozitiven je graf polinoma za
velike vrednosti (na desni
strani koordinatnega
sistema) pozitiven, torej nad
x-osjo.
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Vodilni koeficient polinoma
je enak 1 (= koeficient pred
x 3 ).
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
29 / 104
Polinomi, naloga 3
y
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
|
|
|
|
|
x12
| |
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−−1
|
x3
| |
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
x
Prva toˇcka, ki je
narisana v
koordinatnem sistemu
(ˇce gledamo od desne
proti levi) je niˇcla
x3 = 2.
−−2
−−3
Niˇcla x3 je prve
stopnje, zato graf
funkcije p seka os x pri
x3 = 2.
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
30 / 104
Polinomi, naloga 3
y
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
|
|
|
|
|
x12
| |
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−−1
|
x3
| |
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
x
−−2
−−3
−−4
−−5
Naslednja toˇcka
narisana na grafu je
zaˇcetna vrednost.
Nekje med 0 in 2 graf
doseže svoj lokalni
minimum in se obrne
navzgor.
−−6
−−7
−−8
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
31 / 104
Polinomi, naloga 3
y
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
|
|
|
|
|
x12
| |
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−−1
|
x3
| |
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
x
−−2
−−3
Naslednja toˇcka je
zaˇcetna vrednost
f (0) = −4. Graf torej
pri -4 seka y -os.
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
32 / 104
Polinomi, naloga 3
y
−8
−7
−6
−5
−4
f(x) = x3 + 2x2 − 4x − 8
−3
−2
|
|
|
|
|
|
x12
| |
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−−1
|
x3
| |
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
x
−−2
−−3
−−4
Naslednja toˇcka je
dvojna niˇcla (niˇcla sode
stopnje) x1,2 = −2.
Graf se zato pri x = −2
dotakne x osi.
−−5
−−6
−−7
−−8
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
33 / 104
Polinomi, naloga 4
Naloga 4
Nariši polinom p(x) = 3x 3 − 2x 2 − 7x − 2.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
34 / 104
Polinomi, naloga 4
Najprej izraˇcunamo niˇcle, torej rešimo enaˇcbo
3x 3 − 2x 2 − 7x − 2 = 0
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
35 / 104
Polinomi, naloga 4
Najprej izraˇcunamo niˇcle, torej rešimo enaˇcbo
3x 3 − 2x 2 − 7x − 2 = 0
Ali lahko v zgornji enaˇcbi kaj izpostavimo?
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
35 / 104
Polinomi, naloga 4
Najprej izraˇcunamo niˇcle, torej rešimo enaˇcbo
3x 3 − 2x 2 − 7x − 2 = 0
Ali lahko v zgornji enaˇcbi kaj izpostavimo?
Ali znamo polinom razstaviti?
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
35 / 104
Polinomi, naloga 4
Najprej izraˇcunamo niˇcle, torej rešimo enaˇcbo
3x 3 − 2x 2 − 7x − 2 = 0
Ali lahko v zgornji enaˇcbi kaj izpostavimo?
Ali znamo polinom razstaviti?
Odgovor na zgornji vprašanji je ne. V tem primeru si lahko pri iskanju
niˇcel pomagamo s Hornerjevim algoritmom.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
35 / 104
Polinomi, naloga 4
Najprej moramo poiskati kandidate za niˇcle in sicer:
kandidati za niˇcle =
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
delitelji prostega cˇ lena
delitelji vodilnega koeficienta
=
c
d
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
36 / 104
Polinomi, naloga 4
Najprej moramo poiskati kandidate za niˇcle in sicer:
kandidati za niˇcle =
delitelji prostega cˇ lena
delitelji vodilnega koeficienta
=
c
d
Prosti cˇ len polinoma p(x) = 3x 3 − 2x 2 − 7x − 2 je -2.
Njegovi delitelji so: ±1, ±2.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
36 / 104
Polinomi, naloga 4
Najprej moramo poiskati kandidate za niˇcle in sicer:
kandidati za niˇcle =
delitelji prostega cˇ lena
delitelji vodilnega koeficienta
=
c
d
Prosti cˇ len polinoma p(x) = 3x 3 − 2x 2 − 7x − 2 je -2.
Njegovi delitelji so: ±1, ±2.
Vodilni koeficient polinoma p(x) = 3x 3 − 2x 2 − 7x − 2 je 3.
Njegovi delitelji so: ±1, ±3.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
36 / 104
Polinomi, naloga 4
Dobili smo torej
c : ±1, ±2 in
d : ±1, ±3.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
37 / 104
Polinomi, naloga 4
Dobili smo torej
c : ±1, ±2 in
d : ±1, ±3.
Možne niˇcle poišˇcemo tako, da vsak c delimo z vsemi možnimi d-ji.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
37 / 104
Polinomi, naloga 4
Dobili smo torej
c : ±1, ±2 in
d : ±1, ±3.
Možne niˇcle poišˇcemo tako, da vsak c delimo z vsemi možnimi d-ji.
kandidati za niˇcle =
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
c
d
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
37 / 104
Polinomi, naloga 4
Dobili smo torej
c : ±1, ±2 in
d : ±1, ±3.
Možne niˇcle poišˇcemo tako, da vsak c delimo z vsemi možnimi d-ji.
kandidati za niˇcle =
c
d
Možne niˇcle:
± 13
± 11 = ±1,
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
37 / 104
Polinomi, naloga 4
Dobili smo torej
c : ±1, ±2 in
d : ±1, ±3.
Možne niˇcle poišˇcemo tako, da vsak c delimo z vsemi možnimi d-ji.
kandidati za niˇcle =
c
d
Možne niˇcle:
± 13
± 11 = ±1,
± 21 = ±2,
± 23
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
37 / 104
Polinomi, naloga 4
Dobili smo torej
c : ±1, ±2 in
d : ±1, ±3.
Možne niˇcle poišˇcemo tako, da vsak c delimo z vsemi možnimi d-ji.
kandidati za niˇcle =
c
d
Možne niˇcle:
± 13
± 11 = ±1,
± 21 = ±2,
± 23
Kandidate za niˇcle (možne niˇcle) nato vstavljamo v Hornerjevo shemo
in preverimo ali so niˇcle danega polinoma.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
37 / 104
Polinomi, naloga 4
Narišemo shemo:
dve vodoravni cˇ rti,
navpiˇcna cˇ rta na levi.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
38 / 104
Polinomi, naloga 4
V zgornjo vrstico vpišemo koeficiente polinoma
p(x) = 3x 3 − 2x 2 − 7x − 2, torej vrednosti 3, −2, −7, −2.
Na levo vpišemo kandidata za niˇclo polinoma, npr. najprej -1.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
39 / 104
Polinomi, naloga 4
V zgornjo vrstico vpišemo koeficiente polinoma
p(x) = 3x 3 − 2x 2 − 7x − 2, torej vrednosti 3, −2, −7, −2.
Na levo vpišemo kandidata za niˇclo polinoma, npr. najprej -1.
Pozor: cˇ e polinom kakšnega cˇ lena nima, napišemo na mestu ustreznega
koeficienta 0.
Na primer:
Polinom q(x) = 5x 4 − 3x 3 + x + 1 nima cˇ lena z x 2 , zato so njegovi
koeficienti 5, −3, 0, 1, 1.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
39 / 104
Polinomi, naloga 4
Nato najprej prvi koeficient, v našem primeru 3 prepišemo v spodnjo
vrstico.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
40 / 104
Polinomi, naloga 4
Število 3 (ki smo ga ravnokar prepisali v spodnjo vrstico)
pomnožimo s kandidatom za niˇclo -1 in dobimo
3 · (−1) = −3.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
41 / 104
Polinomi, naloga 4
Število 3 (ki smo ga ravnokar prepisali v spodnjo vrstico)
pomnožimo s kandidatom za niˇclo -1 in dobimo
3 · (−1) = −3.
-3 zapišemo v srednjo vrstico pod -2.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
41 / 104
Polinomi, naloga 4
Število 3 (ki smo ga ravnokar prepisali v spodnjo vrstico)
pomnožimo s kandidatom za niˇclo -1 in dobimo
3 · (−1) = −3.
-3 zapišemo v srednjo vrstico pod -2.
Seštejemo koeficient polinoma -2 z dobljeno -3 in dobimo
−2 + (−3) = −5
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
41 / 104
Polinomi, naloga 4
Število 3 (ki smo ga ravnokar prepisali v spodnjo vrstico)
pomnožimo s kandidatom za niˇclo -1 in dobimo
3 · (−1) = −3.
-3 zapišemo v srednjo vrstico pod -2.
Seštejemo koeficient polinoma -2 z dobljeno -3 in dobimo
−2 + (−3) = −5
Vsoto -5 zapišemo pod oba seštevanca.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
41 / 104
Polinomi, naloga 4
Ponovimo prejšnji postopek:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
42 / 104
Polinomi, naloga 4
Ponovimo prejšnji postopek:
pomnožimo (−5) · (−1) = 5 in zapišemo zmnožek v srednjo
vrstico,
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
42 / 104
Polinomi, naloga 4
Ponovimo prejšnji postopek:
pomnožimo (−5) · (−1) = 5 in zapišemo zmnožek v srednjo
vrstico,
seštejemo −7 + 5 = −2 in zapišemo vsoto v spodnjo vrstico
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
42 / 104
Polinomi, naloga 4
Še enkrat ponovimo prejšnji postopek:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
43 / 104
Polinomi, naloga 4
Še enkrat ponovimo prejšnji postopek:
pomnožimo (−2) · (−1) = 2 in zapišemo zmnožek v srednjo
vrstico,
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
43 / 104
Polinomi, naloga 4
Še enkrat ponovimo prejšnji postopek:
pomnožimo (−2) · (−1) = 2 in zapišemo zmnožek v srednjo
vrstico,
seštejemo −2 + 2 = 0 in zapišemo vsoto v spodnjo vrstico
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
43 / 104
Polinomi, naloga 4
Ker smo koncu na desni strani spodnje vrstice dobili niˇclo, to pomeni,
da je -1 res niˇcla polinoma.
x1 = −1
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
44 / 104
Polinomi, naloga 4
V naslednjem koraku lahko spodnjo vrstico (brez zadnje niˇcle)
ˇ nam
prepišemo na vrh nove sheme in celoten postopek ponovimo. Ce
ostanejo samo trije koeficienti, pa lahko izpišemo polinom 2. stopnje
oz kvadratno in poišˇcemo njeno niˇclo.
Izpišemo: p1 (x) = 3x 2 − 5x − 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
45 / 104
Polinomi, naloga 4
Poišˇcemo niˇcle polinoma p1 (x) = 3x 2 − 5x − 2, torej rešimo enaˇcbo
3x 2 − 5x − 2 = 0.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
46 / 104
Polinomi, naloga 4
Poišˇcemo niˇcle polinoma p1 (x) = 3x 2 − 5x − 2, torej rešimo enaˇcbo
3x 2 − 5x − 2 = 0.
Izraˇcunamo diskriminanto
D = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 · 3 · (−2) = 25 + 24 = 49.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
46 / 104
Polinomi, naloga 4
Poišˇcemo niˇcle polinoma p1 (x) = 3x 2 − 5x − 2, torej rešimo enaˇcbo
3x 2 − 5x − 2 = 0.
Izraˇcunamo diskriminanto
D = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 · 3 · (−2) = 25 + 24 = 49.
Izraˇcunamo niˇcli po formuli
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
46 / 104
Polinomi, naloga 4
Poišˇcemo niˇcle polinoma p1 (x) = 3x 2 − 5x − 2, torej rešimo enaˇcbo
3x 2 − 5x − 2 = 0.
Izraˇcunamo diskriminanto
D = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 · 3 · (−2) = 25 + 24 = 49.
Izraˇcunamo
niˇcli po formuli
√
√
49
−b± D
=
x2,3 = 2a = −(−5)±
2·3
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
5±7
6 .
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
46 / 104
Polinomi, naloga 4
Poišˇcemo niˇcle polinoma p1 (x) = 3x 2 − 5x − 2, torej rešimo enaˇcbo
3x 2 − 5x − 2 = 0.
Izraˇcunamo diskriminanto
D = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 · 3 · (−2) = 25 + 24 = 49.
Izraˇcunamo
niˇcli po formuli
√
√
49
−b± D
=
x2,3 = 2a = −(−5)±
2·3
5±7
6 .
Niˇcli sta torej
12
x2 = 5+7
6 = 6 = 2 in
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
46 / 104
Polinomi, naloga 4
Poišˇcemo niˇcle polinoma p1 (x) = 3x 2 − 5x − 2, torej rešimo enaˇcbo
3x 2 − 5x − 2 = 0.
Izraˇcunamo diskriminanto
D = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 · 3 · (−2) = 25 + 24 = 49.
Izraˇcunamo
niˇcli po formuli
√
√
49
−b± D
=
x2,3 = 2a = −(−5)±
2·3
5±7
6 .
Niˇcli sta torej
12
x2 = 5+7
6 = 6 = 2 in
−2
1
x3 = 5−7
6 = 6 = −3.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
46 / 104
Polinomi, naloga 4
Pred risanjem izraˇcunamo še zaˇcetno vrednost polinoma:
p(x) = 3x 3 − 2x 2 − 7x − 2.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
47 / 104
Polinomi, naloga 4
Pred risanjem izraˇcunamo še zaˇcetno vrednost polinoma:
p(x) = 3x 3 − 2x 2 − 7x − 2.
p(0) = 3 · 03 − 2 · 02 − 7 · −2 = −2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
47 / 104
Polinomi, naloga 4
Narišemo
koordinatni sistem,
oznaˇcimo enote in
obe koordinatni
osi.
Oznaˇcimo niˇcle
(na osi x):
x1 = −1, x2 = 2 in
x3 = − 13 .
Oznaˇcimo zaˇcetno
vrednost (na osi
y ): y = −2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
48 / 104
Polinomi, naloga 4
y
−7
Narišemo
koordinatni sistem,
oznaˇcimo enote in
obe koordinatni
osi.
−6
−5
−4
−3
−2
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
x1 x3
−1
|
1
|
x2
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
x
−−1
−−2
−−3
−−4
−−5
Oznaˇcimo zaˇcetno
vrednost (na osi
y ): y = −2
−−6
−−7
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Oznaˇcimo niˇcle
(na osi x):
x1 = −1, x2 = 2 in
x3 = − 13 .
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
48 / 104
Polinomi, naloga 4
y
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
x1 x3
−1
|
1
|
x2
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
x
−−1
−−2
−−3
−−4
Vodilni koeficient
polinoma je 3, torej je
pozitiven, zato je na
desni strani
koordinatnega sistema
graf polinoma p(x) nad
x osjo.
−−5
−−6
−−7
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
49 / 104
Polinomi, naloga 4
y
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
x1 x3
−1
|
1
|
x2
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
x
−−1
−−2
−−3
−−4
Prva toˇcka na grafu (ˇce
gledamo od desne
proti levi) je niˇcla
x2 = 2. Le-ta je lihe
(prve) stopnje, zato
graf seka os x.
−−5
−−6
−−7
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
50 / 104
Polinomi, naloga 4
y
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
x1 x3
−1
|
1
|
x2
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
x
−−1
−−2
Nekje med niˇclama x3
in x2 graf doseže
lokalni minimum in se
obrne navzgor.
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
51 / 104
Polinomi, naloga 4
y
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
x1 x3
−1
|
1
|
x2
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
x
−−1
−−2
Polinom gre cˇ ez
zaˇcetno vrednost pri
−2.
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
52 / 104
Polinomi, naloga 4
y
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
x1 x3
−1
|
1
|
x2
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
x
−−1
−−2
Naslednja niˇcla na
grafu je x3 = − 13 . Le-ta
je spet lihe stopnje,
zato graf seka os x.
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
53 / 104
Polinomi, naloga 4
y
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
x1 x3
−1
|
1
|
x2
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
x
−−1
−−2
−−3
Med niˇclama x1 in x3
graf doseže svoj lokalni
maksimum in se obrne
navzdol.
−−4
−−5
−−6
−−7
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
54 / 104
Polinomi, naloga 4
y
−7
−6
−5
−4
f(x) = 3x3 − 2x2 − 7x − 2
−3
−2
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
x1 x3
−1
|
1
|
x2
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
x
−−1
Graf seka os x v niˇcli
lihe stopnje x1 = −1.
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
55 / 104
Ali že znam?
ˇ zapiske predavanj in ponovi...
Poišci
...vse o racionalnih funkcijah:
Kako izraˇcunamo niˇcle racionalne funkcije?
Kaj pomeni, da je niˇcla lihe oz. sode stopnje? Kako se to vidi na
grafu racionalne funkcije?
Kako izraˇcunamo pole racionalne funkcije?
Kaj pomeni, da je pol lihe oz. sode stopnje? Kako se to vidi na
grafu racionalne funkcije?
Kaj nam pove asimptota racionalne funkcije? Kako jo
izraˇcunamo?
Kdaj in kje lahko graf racionalne funkcije seka asimptoto?
Kako izraˇcunamo preseˇcišˇca asimptote in racionalne funkcije?
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
56 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Naloga 5
Nariši racionalno funkcijo f (x) =
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
2x 2 −8
.
x 2 −2x+1
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
57 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Pred risanjem racionalne funkcije izraˇcunamo niˇcle, pole, zaˇcetno
vrednost, asimptoto ter morebitna preseˇcišˇca funkcije z asimptoto.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
58 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Pred risanjem racionalne funkcije izraˇcunamo niˇcle, pole, zaˇcetno
vrednost, asimptoto ter morebitna preseˇcišˇca funkcije z asimptoto.
Niˇcle:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
58 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Pred risanjem racionalne funkcije izraˇcunamo niˇcle, pole, zaˇcetno
vrednost, asimptoto ter morebitna preseˇcišˇca funkcije z asimptoto.
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
58 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Pred risanjem racionalne funkcije izraˇcunamo niˇcle, pole, zaˇcetno
vrednost, asimptoto ter morebitna preseˇcišˇca funkcije z asimptoto.
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
58 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Pred risanjem racionalne funkcije izraˇcunamo niˇcle, pole, zaˇcetno
vrednost, asimptoto ter morebitna preseˇcišˇca funkcije z asimptoto.
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
Enaˇcbo delimo z 2:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
58 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Pred risanjem racionalne funkcije izraˇcunamo niˇcle, pole, zaˇcetno
vrednost, asimptoto ter morebitna preseˇcišˇca funkcije z asimptoto.
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
Enaˇcbo delimo z 2:
x2 − 4 = 0
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
58 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Pred risanjem racionalne funkcije izraˇcunamo niˇcle, pole, zaˇcetno
vrednost, asimptoto ter morebitna preseˇcišˇca funkcije z asimptoto.
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
Enaˇcbo delimo z 2:
x2 − 4 = 0
in razstavimo
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
58 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Pred risanjem racionalne funkcije izraˇcunamo niˇcle, pole, zaˇcetno
vrednost, asimptoto ter morebitna preseˇcišˇca funkcije z asimptoto.
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
Enaˇcbo delimo z 2:
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
58 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Pred risanjem racionalne funkcije izraˇcunamo niˇcle, pole, zaˇcetno
vrednost, asimptoto ter morebitna preseˇcišˇca funkcije z asimptoto.
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
Enaˇcbo delimo z 2:
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve niˇcli:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
58 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Pred risanjem racionalne funkcije izraˇcunamo niˇcle, pole, zaˇcetno
vrednost, asimptoto ter morebitna preseˇcišˇca funkcije z asimptoto.
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
Enaˇcbo delimo z 2:
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve niˇcli:
x1 = −2, x2 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
58 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Pred risanjem racionalne funkcije izraˇcunamo niˇcle, pole, zaˇcetno
vrednost, asimptoto ter morebitna preseˇcišˇca funkcije z asimptoto.
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
Enaˇcbo delimo z 2:
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve niˇcli:
x1 = −2, x2 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
58 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Pred risanjem racionalne funkcije izraˇcunamo niˇcle, pole, zaˇcetno
vrednost, asimptoto ter morebitna preseˇcišˇca funkcije z asimptoto.
Poli:
Rešimo enaˇcbo:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
Enaˇcbo delimo z 2:
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve niˇcli:
x1 = −2, x2 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
58 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Pred risanjem racionalne funkcije izraˇcunamo niˇcle, pole, zaˇcetno
vrednost, asimptoto ter morebitna preseˇcišˇca funkcije z asimptoto.
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 2 − 2x + 1 = 0
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
Enaˇcbo delimo z 2:
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve niˇcli:
x1 = −2, x2 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
58 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Pred risanjem racionalne funkcije izraˇcunamo niˇcle, pole, zaˇcetno
vrednost, asimptoto ter morebitna preseˇcišˇca funkcije z asimptoto.
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
Enaˇcbo delimo z 2:
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve niˇcli:
x1 = −2, x2 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Rešimo enaˇcbo:
x 2 − 2x + 1 = 0
Razstavimo:
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
58 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Pred risanjem racionalne funkcije izraˇcunamo niˇcle, pole, zaˇcetno
vrednost, asimptoto ter morebitna preseˇcišˇca funkcije z asimptoto.
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
Enaˇcbo delimo z 2:
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve niˇcli:
x1 = −2, x2 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Rešimo enaˇcbo:
x 2 − 2x + 1 = 0
Razstavimo:
(x − 1)(x − 1) = 0
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
58 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Pred risanjem racionalne funkcije izraˇcunamo niˇcle, pole, zaˇcetno
vrednost, asimptoto ter morebitna preseˇcišˇca funkcije z asimptoto.
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
Enaˇcbo delimo z 2:
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve niˇcli:
x1 = −2, x2 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Rešimo enaˇcbo:
x 2 − 2x + 1 = 0
Razstavimo:
(x − 1)(x − 1) = 0
Imamo torej pol sode stopnje:
x1,2 = 1
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
58 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Pred risanjem racionalne funkcije izraˇcunamo niˇcle, pole, zaˇcetno
vrednost, asimptoto ter morebitna preseˇcišˇca funkcije z asimptoto.
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
Enaˇcbo delimo z 2:
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve niˇcli:
x1 = −2, x2 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Rešimo enaˇcbo:
x 2 − 2x + 1 = 0
Razstavimo:
(x − 1)(x − 1) = 0
Imamo torej pol sode stopnje:
x1,2 = 1
Zaˇcetna vrednost:
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
58 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Pred risanjem racionalne funkcije izraˇcunamo niˇcle, pole, zaˇcetno
vrednost, asimptoto ter morebitna preseˇcišˇca funkcije z asimptoto.
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
Enaˇcbo delimo z 2:
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve niˇcli:
x1 = −2, x2 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Rešimo enaˇcbo:
x 2 − 2x + 1 = 0
Razstavimo:
(x − 1)(x − 1) = 0
Imamo torej pol sode stopnje:
x1,2 = 1
Zaˇcetna vrednost:
V predpis racionalne funkcije
vstavimo x = 0:
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
58 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Pred risanjem racionalne funkcije izraˇcunamo niˇcle, pole, zaˇcetno
vrednost, asimptoto ter morebitna preseˇcišˇca funkcije z asimptoto.
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
Enaˇcbo delimo z 2:
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve niˇcli:
x1 = −2, x2 = 2
Rešimo enaˇcbo:
x 2 − 2x + 1 = 0
Razstavimo:
(x − 1)(x − 1) = 0
Imamo torej pol sode stopnje:
x1,2 = 1
Zaˇcetna vrednost:
V predpis racionalne funkcije
vstavimo x = 0:
f (0) =
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
2·02 −8
02 −2·0+1
Polinomi in racionalne funkcije
=
−8
1
= −8
FOV 2012/13
58 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Asimptota:
Polinom v števcu racionalne funkcije
f (x) =
2x 2 − 8
x 2 − 2x + 1
je druge stopnje (vodilni cˇ len je 2x 2 ), prav tako polinom v imenovalcu
(vodilni cˇ len polinoma je x 2 ).
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
59 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Asimptota:
Polinom v števcu racionalne funkcije
f (x) =
2x 2 − 8
x 2 − 2x + 1
je druge stopnje (vodilni cˇ len je 2x 2 ), prav tako polinom v imenovalcu
(vodilni cˇ len polinoma je x 2 ).
Asimptoto torej izraˇcunamo tako, da zdelimo vodilna koeficienta obeh
polinomov:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
59 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Asimptota:
Polinom v števcu racionalne funkcije
f (x) =
2x 2 − 8
x 2 − 2x + 1
je druge stopnje (vodilni cˇ len je 2x 2 ), prav tako polinom v imenovalcu
(vodilni cˇ len polinoma je x 2 ).
Asimptoto torej izraˇcunamo tako, da zdelimo vodilna koeficienta obeh
polinomov:
y=
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
2
=2
1
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
59 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) =
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
2x 2 −8
x 2 −2x+1
Polinomi in racionalne funkcije
z asimptoto:
FOV 2012/13
60 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) =
2x 2 −8
x 2 −2x+1
z asimptoto:
Zdelimo polinom v števcu s polinomom v imenovalcu in ostanek
enaˇcimo z 0.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
60 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) =
2x 2 −8
x 2 −2x+1
z asimptoto:
Zdelimo polinom v števcu s polinomom v imenovalcu in ostanek
enaˇcimo z 0.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
60 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
61 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Vodilni koeficient prvega polinoma delimo z vodilnim koeficientom
drugega polinoma in dobimo:
2x 2
=2.
x2
Rezultat napišemo na desno stran enaˇcaja.
2x 2 : x 2 =
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
61 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Vodilni koeficient prvega polinoma delimo z vodilnim koeficientom
drugega polinoma in dobimo:
2x 2
=2.
x2
Rezultat napišemo na desno stran enaˇcaja.
2x 2 : x 2 =
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
61 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Dobljeni kvocient 2 pomnožimo z drugim polinomom x 2 − 2x + 1 ter
podpišemo pod prvi polinom.
2 · (x 2 − 2x + 1) = 2x 2 − 4x + 2 .
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
62 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Dobljeni kvocient 2 pomnožimo z drugim polinomom x 2 − 2x + 1 ter
podpišemo pod prvi polinom.
2 · (x 2 − 2x + 1) = 2x 2 − 4x + 2 .
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
62 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Dobljeni kvocient 2 pomnožimo z drugim polinomom x 2 − 2x + 1 ter
podpišemo pod prvi polinom.
2 · (x 2 − 2x + 1) = 2x 2 − 4x + 2 .
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
62 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
V podpisanemu polinomu spremenimo predznake vseh cˇ lenov:
2x 2 − 4x + 2 −→
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
−2x 2 + 4x − 2
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
63 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
V podpisanemu polinomu spremenimo predznake vseh cˇ lenov:
2x 2 − 4x + 2 −→
−2x 2 + 4x − 2
ter seštejemo z zgornjim polinomom
(2x 2 − 8) + (−2x 2 + 4x − 2) = 4x − 10
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
63 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
V podpisanemu polinomu spremenimo predznake vseh cˇ lenov:
2x 2 − 4x + 2 −→
−2x 2 + 4x − 2
ter seštejemo z zgornjim polinomom
(2x 2 − 8) + (−2x 2 + 4x − 2) = 4x − 10
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
63 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Dobljeni polinom 4x − 10 spet poskušamo deliti z drugim polinomom
x 2 − 2x + 1.
To ni veˇc mogoˇce, ker polinom 4x − 10 prve stopnje, polinom s katerim
želimo deliti (x 2 − 2x + 1) pa druge.
Postopek je tako konˇcan.
Potrdili smo, da je asimptota res enaka y = 2 (rezultat na desni strani
enaˇcaja) in ostanek pri deljenju obeh polinomov je enak 4x − 10.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
64 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Dobljeni polinom 4x − 10 spet poskušamo deliti z drugim polinomom
x 2 − 2x + 1.
To ni veˇc mogoˇce, ker polinom 4x − 10 prve stopnje, polinom s katerim
želimo deliti (x 2 − 2x + 1) pa druge.
Postopek je tako konˇcan.
Potrdili smo, da je asimptota res enaka y = 2 (rezultat na desni strani
enaˇcaja) in ostanek pri deljenju obeh polinomov je enak 4x − 10.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
64 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Preseˇcišˇce funkcije f z asimptoto dobimo tako, da ostanek pri deljenju
polinomov enaˇcimo z 0.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
65 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Preseˇcišˇce funkcije f z asimptoto dobimo tako, da ostanek pri deljenju
polinomov enaˇcimo z 0.
Rešujemo torej enaˇcbo 4x − 10 = 0 .
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
65 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Preseˇcišˇce funkcije f z asimptoto dobimo tako, da ostanek pri deljenju
polinomov enaˇcimo z 0.
Rešujemo torej enaˇcbo 4x − 10 = 0 .
4x = 10 / : 4
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
65 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Preseˇcišˇce funkcije f z asimptoto dobimo tako, da ostanek pri deljenju
polinomov enaˇcimo z 0.
Rešujemo torej enaˇcbo 4x − 10 = 0 .
4x = 10 / : 4
x=
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
5
10
= = 2.5
4
2
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
65 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Preseˇcišˇce funkcije f z asimptoto dobimo tako, da ostanek pri deljenju
polinomov enaˇcimo z 0.
Rešujemo torej enaˇcbo 4x − 10 = 0 .
4x = 10 / : 4
x=
5
10
= = 2.5
4
2
Funkcija f seka torej asimptoto y = 2 pri x = 2.5.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
65 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Preseˇcišˇce funkcije f z asimptoto dobimo tako, da ostanek pri deljenju
polinomov enaˇcimo z 0.
Rešujemo torej enaˇcbo 4x − 10 = 0 .
4x = 10 / : 4
x=
5
10
= = 2.5
4
2
Funkcija f seka torej asimptoto y = 2 pri x = 2.5.
Preseˇcišˇce lahko zapišemo s toˇcko kot T (2.5, 2).
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
65 / 104
Racionalna funkcija, naloga 5
y
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
x
Narišemo
koordinatni sistem in
oznaˇcimo obe niˇcli:
x1 = −2 in x2 = 2
FOV 2012/13
66 / 104
Racionalna funkcija, naloga 5
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
x
Narišemo pol
(ˇcrtkano)
x1 = 1
FOV 2012/13
67 / 104
Racionalna funkcija, naloga 5
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Narišemo
vodoravno
asimptoto (ˇcrtkano)
y =2
FOV 2012/13
68 / 104
Racionalna funkcija, naloga 5
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Oznaˇcimo
preseˇcišˇce funkcije
f z asimptoto
T (2.5, 2)
FOV 2012/13
69 / 104
Racionalna funkcija, naloga 5
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Oznaˇcimo zaˇcetno
vrednost
f (0) = −8
FOV 2012/13
70 / 104
Racionalna funkcija, naloga 5
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Racionalno funkcijo
zaˇcnemo risati na
desni strani
koordinatnega
sistema. Za velike
vrednosti se graf
funkcije približuje
asimptoti.
FOV 2012/13
71 / 104
Racionalna funkcija, naloga 5
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Racionalno funkcijo
zaˇcnemo risati na
desni strani
koordinatnega
sistema. Za velike
vrednosti se graf
funkcije približuje
asimptoti.
Graf racionalne
funkcije na desni
tako narišemo malo
nad asimptoto.
FOV 2012/13
71 / 104
Racionalna funkcija, naloga 5
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Racionalno funkcijo
zaˇcnemo risati na
desni strani
koordinatnega
sistema. Za velike
vrednosti se graf
funkcije približuje
asimptoti.
Graf racionalne
funkcije na desni
tako narišemo malo
nad asimptoto.
Razmisli: Zakaj na
desni strani graf ne
gre pod asimptoto?
FOV 2012/13
71 / 104
Racionalna funkcija, naloga 5
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Nasledja toˇcka na
grafu (gledamo od
desne proti levi) je
preseˇcišˇce
asimptote in funkcije
f.
Graf torej seka
asimptoto pri
x = 2.5.
FOV 2012/13
72 / 104
Racionalna funkcija, naloga 5
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Graf funkcije f v niˇcli
x2 = 2 seka
abscisno os, ker je
niˇcla prve stopnje.
FOV 2012/13
73 / 104
Racionalna funkcija, naloga 5
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Graf funkcije f v niˇcli
x2 = 2 seka
abscisno os, ker je
niˇcla prve stopnje.
Graf se nato približa
polu x1 = 1.
Zapomni si: Graf
racionalne funkcije
nikoli ne seka polov.
FOV 2012/13
73 / 104
Racionalna funkcija, naloga 5
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Pol v x1 = 1 je sode
stopnje.
Graf racionalne
funkcije pri prehodu
cˇ ez pol zato ne
spremeni predznaka
in tako nadaljujemo
z risanjem grafa
racionalne funkcije
na levi strani pola.
FOV 2012/13
74 / 104
Racionalna funkcija, naloga 5
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Naslednja toˇcka na
grafu je niˇcla x1 = −2.
Le-ta je spet prve
stopnje, torej graf
funkcije seka abscisno
os.
FOV 2012/13
75 / 104
Racionalna funkcija, naloga 5
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
f(x) = (2x2 − 8) (x2 − 2x + 1)
−−11
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Graf racionalne fukcije
se za majhne
vrednosti, torej na levi
strani koordinatnega
sistema, približa
vodoravni asimptoti.
FOV 2012/13
76 / 104
Racionalna funkcija, naloga 5
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
f(x) = (2x2 − 8) (x2 − 2x + 1)
−−11
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Graf racionalne fukcije
se za majhne
vrednosti, torej na levi
strani koordinatnega
sistema, približa
vodoravni asimptoti.
Zapomni si: Daleˇc
stran od izhodišˇca graf
racionalne funkcije ne
seka asimptote.
Asimptoto lahko graf
fukcije seka le v
izraˇcunanih
preseˇcišˇcih.
FOV 2012/13
76 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Naloga 6
Nariši racionalno funkcijo f (x) =
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
x 3 −4x 2 +4x
.
x 2 −9
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
77 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Niˇcle:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
78 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
78 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
78 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
78 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
in razstavimo
x(x − 2)(x − 2) = 0
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
78 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
in razstavimo
x(x − 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve razliˇcni niˇcli:
x1 = 0, x2,3 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
78 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
in razstavimo
x(x − 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve razliˇcni niˇcli:
x1 = 0, x2,3 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
78 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Poli:
Rešimo enaˇcbo:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
in razstavimo
x(x − 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve razliˇcni niˇcli:
x1 = 0, x2,3 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
78 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Poli:
Rešimo enaˇcbo:
x2 − 9 = 0
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
in razstavimo
x(x − 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve razliˇcni niˇcli:
x1 = 0, x2,3 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
78 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
in razstavimo
x(x − 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve razliˇcni niˇcli:
x1 = 0, x2,3 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Rešimo enaˇcbo:
x2 − 9 = 0
Razstavimo:
(x + 3)(x − 3) = 0
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
78 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
in razstavimo
x(x − 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve razliˇcni niˇcli:
x1 = 0, x2,3 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Rešimo enaˇcbo:
x2 − 9 = 0
Razstavimo:
(x + 3)(x − 3) = 0
Imamo torej dva pola lihe stopnje:
x1 = −3 in x2 = 3
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
78 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
in razstavimo
x(x − 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve razliˇcni niˇcli:
x1 = 0, x2,3 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Rešimo enaˇcbo:
x2 − 9 = 0
Razstavimo:
(x + 3)(x − 3) = 0
Imamo torej dva pola lihe stopnje:
x1 = −3 in x2 = 3
Zaˇcetna vrednost:
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
78 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
in razstavimo
x(x − 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve razliˇcni niˇcli:
x1 = 0, x2,3 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Rešimo enaˇcbo:
x2 − 9 = 0
Razstavimo:
(x + 3)(x − 3) = 0
Imamo torej dva pola lihe stopnje:
x1 = −3 in x2 = 3
Zaˇcetna vrednost:
V predpis racionalne funkcije
vstavimo x = 0:
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
78 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
in razstavimo
x(x − 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve razliˇcni niˇcli:
x1 = 0, x2,3 = 2
Rešimo enaˇcbo:
x2 − 9 = 0
Razstavimo:
(x + 3)(x − 3) = 0
Imamo torej dva pola lihe stopnje:
x1 = −3 in x2 = 3
Zaˇcetna vrednost:
V predpis racionalne funkcije
vstavimo x = 0:
f (0) =
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
03 −4·02 +4·0
02 −9
Polinomi in racionalne funkcije
=
0
−9
=0
FOV 2012/13
78 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota:
Polinom v števcu racionalne funkcije
f (x) =
x 3 − 4x 2 + 4x
x2 − 9
je tretje stopnje (vodilni cˇ len je x 3 ), polinom v imenovalcu (vodilni cˇ len
polinoma je x 2 ) pa je druge stopnje.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
79 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota:
Polinom v števcu racionalne funkcije
f (x) =
x 3 − 4x 2 + 4x
x2 − 9
je tretje stopnje (vodilni cˇ len je x 3 ), polinom v imenovalcu (vodilni cˇ len
polinoma je x 2 ) pa je druge stopnje.
Asimptoto torej izraˇcunamo tako, da zdelimo oba polinoma.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
79 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
80 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
Zdelimo polinom v števcu s polinomom v imenovalcu racionalne
funkcije
x 3 − 4x 2 + 4x
f (x) =
x2 − 9
.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
80 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
Zdelimo polinom v števcu s polinomom v imenovalcu racionalne
funkcije
x 3 − 4x 2 + 4x
f (x) =
x2 − 9
.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
80 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
81 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
Vodilni koeficient prvega polinoma delimo z vodilnim koeficientom
drugega polinoma in dobimo:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
81 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
Vodilni koeficient prvega polinoma delimo z vodilnim koeficientom
drugega polinoma in dobimo:
x3
=x .
x2
Rezultat napišemo na desno stran enaˇcaja.
x3 : x2 =
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
81 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
Vodilni koeficient prvega polinoma delimo z vodilnim koeficientom
drugega polinoma in dobimo:
x3
=x .
x2
Rezultat napišemo na desno stran enaˇcaja.
x3 : x2 =
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
81 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
Dobljeni kvocient x pomnožimo z drugim polinomom x 2 − 9 ter
podpišemo pod prvi polinom.
x · (x 2 − 9) = x 3 − 9x .
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
82 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
Dobljeni kvocient x pomnožimo z drugim polinomom x 2 − 9 ter
podpišemo pod prvi polinom.
x · (x 2 − 9) = x 3 − 9x .
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
82 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
Dobljeni kvocient x pomnožimo z drugim polinomom x 2 − 9 ter
podpišemo pod prvi polinom.
x · (x 2 − 9) = x 3 − 9x .
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
82 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
V podpisanemu polinomu spremenimo predznake vseh cˇ lenov:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
83 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
V podpisanemu polinomu spremenimo predznake vseh cˇ lenov:
x 3 − 9x −→
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
−x 3 + 9x
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
83 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
V podpisanemu polinomu spremenimo predznake vseh cˇ lenov:
x 3 − 9x −→
−x 3 + 9x
ter seštejemo z zgornjim polinomom
(x 3 − 4x 2 + 4x) + (−x 3 + 9x) = −4x 2 + 13x
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
83 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
V podpisanemu polinomu spremenimo predznake vseh cˇ lenov:
x 3 − 9x −→
−x 3 + 9x
ter seštejemo z zgornjim polinomom
(x 3 − 4x 2 + 4x) + (−x 3 + 9x) = −4x 2 + 13x
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
83 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
Vodilni koeficient dobljenega polinoma delimo z vodilnim koeficientom
drugega polinoma in dobimo:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
84 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
Vodilni koeficient dobljenega polinoma delimo z vodilnim koeficientom
drugega polinoma in dobimo:
−4x 2
= −4 .
x2
Rezultat napišemo na desno stran enaˇcaja.
−4x 2 : x 2 =
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
84 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
Vodilni koeficient dobljenega polinoma delimo z vodilnim koeficientom
drugega polinoma in dobimo:
−4x 2
= −4 .
x2
Rezultat napišemo na desno stran enaˇcaja.
−4x 2 : x 2 =
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
84 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
Dobljeni kvocient -4 pomnožimo z drugim polinomom x 2 − 9 ter
podpišemo pod prvi polinom.
−4 · (x 2 − 9) = −4x 3 + 36 .
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
85 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
Dobljeni kvocient -4 pomnožimo z drugim polinomom x 2 − 9 ter
podpišemo pod prvi polinom.
−4 · (x 2 − 9) = −4x 3 + 36 .
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
85 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
V podpisanemu polinomu spremenimo predznake vseh cˇ lenov:
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
86 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
V podpisanemu polinomu spremenimo predznake vseh cˇ lenov:
−4x 2 + 36x −→
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
+4x 2 − 36
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
86 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
V podpisanemu polinomu spremenimo predznake vseh cˇ lenov:
−4x 2 + 36x −→
+4x 2 − 36
ter seštejemo z zgornjim polinomom
(−4x 2 + 13x) + (4x 2 − 36) = 13x − 36
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
86 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
V podpisanemu polinomu spremenimo predznake vseh cˇ lenov:
−4x 2 + 36x −→
+4x 2 − 36
ter seštejemo z zgornjim polinomom
(−4x 2 + 13x) + (4x 2 − 36) = 13x − 36
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
86 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
Dobljeni polinom 13x − 36 spet poskušamo deliti z drugim polinomom
x 2 − 9. To ni veˇc mogoˇce, ker polinom 13x − 36 prve stopnje, polinom
s katerim želimo deliti (x 2 − 9) pa druge.
Postopek je tako konˇcan.
Asimptota je tako enaka y = x − 4 (rezultat na desni strani enaˇcaja) in
ostanek pri deljenju obeh polinomov je enak 13x − 36.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
87 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Asimptota
Dobljeni polinom 13x − 36 spet poskušamo deliti z drugim polinomom
x 2 − 9. To ni veˇc mogoˇce, ker polinom 13x − 36 prve stopnje, polinom
s katerim želimo deliti (x 2 − 9) pa druge.
Postopek je tako konˇcan.
Asimptota je tako enaka y = x − 4 (rezultat na desni strani enaˇcaja) in
ostanek pri deljenju obeh polinomov je enak 13x − 36.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
87 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Preseˇcišˇce funkcije f z asimptoto dobimo tako, da ostanek pri deljenju
polinomov enaˇcimo z 0.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
88 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Preseˇcišˇce funkcije f z asimptoto dobimo tako, da ostanek pri deljenju
polinomov enaˇcimo z 0.
Rešujemo torej enaˇcbo 13x − 36 = 0 .
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
88 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Preseˇcišˇce funkcije f z asimptoto dobimo tako, da ostanek pri deljenju
polinomov enaˇcimo z 0.
Rešujemo torej enaˇcbo 13x − 36 = 0 .
13x = 36 / : 13
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
88 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Preseˇcišˇce funkcije f z asimptoto dobimo tako, da ostanek pri deljenju
polinomov enaˇcimo z 0.
Rešujemo torej enaˇcbo 13x − 36 = 0 .
13x = 36 / : 13
x=
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
36
≈ 2.8
13
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
88 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Preseˇcišˇce funkcije f z asimptoto dobimo tako, da ostanek pri deljenju
polinomov enaˇcimo z 0.
Rešujemo torej enaˇcbo 13x − 36 = 0 .
13x = 36 / : 13
x=
36
≈ 2.8
13
Torej, funkcija f seka asimptoto y = x − 4 pri x =
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
36
13 .
FOV 2012/13
88 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Preseˇcišˇce funkcije f z asimptoto dobimo tako, da ostanek pri deljenju
polinomov enaˇcimo z 0.
Rešujemo torej enaˇcbo 13x − 36 = 0 .
13x = 36 / : 13
x=
36
≈ 2.8
13
Torej, funkcija f seka asimptoto y = x − 4 pri x = 36
13 .
y koordinato preseˇcišˇca izraˇcunamo tako, da v enaˇcbo asimptote
36
vstavimo x = 13
.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
88 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Preseˇcišˇce funkcije f z asimptoto dobimo tako, da ostanek pri deljenju
polinomov enaˇcimo z 0.
Rešujemo torej enaˇcbo 13x − 36 = 0 .
13x = 36 / : 13
x=
36
≈ 2.8
13
Torej, funkcija f seka asimptoto y = x − 4 pri x = 36
13 .
y koordinato preseˇcišˇca izraˇcunamo tako, da v enaˇcbo asimptote
36
vstavimo x = 13
.
36
36
52
y = 13 − 4 = 13 − 13
= − 16
13 ≈ −1.2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
88 / 104
Racionalne funkcije, naloga 6
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
Preseˇcišˇce funkcije f z asimptoto dobimo tako, da ostanek pri deljenju
polinomov enaˇcimo z 0.
Rešujemo torej enaˇcbo 13x − 36 = 0 .
13x = 36 / : 13
x=
36
≈ 2.8
13
Torej, funkcija f seka asimptoto y = x − 4 pri x = 36
13 .
y koordinato preseˇcišˇca izraˇcunamo tako, da v enaˇcbo asimptote
36
vstavimo x = 13
.
36
36
52
y = 13 − 4 = 13 − 13
= − 16
13 ≈ −1.2
16
Preseˇcišˇce lahko zapišemo s toˇcko kot T ( 36
13 , − 13 ).
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
88 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
Narišemo koordinatni
sistem
in oznaˇcimo niˇcle
x1 = 0 in x2,3 = 2
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
89 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
y
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
x
Narišemo koordinatni
sistem
in oznaˇcimo niˇcle
x1 = 0 in x2,3 = 2
FOV 2012/13
89 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
x
Narišemo pola
(ˇcrtkano):
x1 = −3 in x2 = 3.
FOV 2012/13
90 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
y
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Narišemo asimptoto
y = x − 4.
x = −3
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
x
FOV 2012/13
91 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
y
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Narišemo asimptoto
y = x − 4.
x = −3
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
x
Zaˇcetna vrednost je
−4, torej premica seka
ordinatno os pri −4.
FOV 2012/13
91 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
y
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Narišemo asimptoto
y = x − 4.
x = −3
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
x
Zaˇcetna vrednost je
−4, torej premica seka
ordinatno os pri −4.
Premica seka x-os pri
4. Kako izraˇcunamo
preseˇcišˇce asimptote z
x-osjo?
FOV 2012/13
91 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
y
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Narišemo asimptoto
y = x − 4.
x = −3
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
x
Zaˇcetna vrednost je
−4, torej premica seka
ordinatno os pri −4.
Premica seka x-os pri
4. Kako izraˇcunamo
preseˇcišˇce asimptote z
x-osjo?
Asimptota gre torej
skozi toˇcki (0, −4) in
(4, 0).
FOV 2012/13
91 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Narišemo asimptoto
y = x − 4.
Zaˇcetna vrednost je
−4, torej premica seka
ordinatno os pri −4.
Premica seka x-os pri
4. Kako izraˇcunamo
preseˇcišˇce asimptote z
x-osjo?
Asimptota gre torej
skozi toˇcki (0, −4) in
(4, 0).
FOV 2012/13
92 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Oznaˇcimo preseˇcišˇce
racionalne funkcije z
asimptoto
FOV 2012/13
93 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Oznaˇcimo preseˇcišˇce
racionalne funkcije z
asimptoto
36
, − 16
T ( 13
13 )
FOV 2012/13
93 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Racionalno funkcijo
zaˇcnemo risati na
desni strani
koordinatnega sistema
nad asimptoto.
FOV 2012/13
94 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Racionalno funkcijo
zaˇcnemo risati na
desni strani
koordinatnega sistema
nad asimptoto.
Razmisli: Zakaj na
desni strani graf
racionalne funkcije ne
gre pod asimptoto?
FOV 2012/13
94 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Do prvega pola graf
nima nobene niˇcle oz.
preseˇcišˇca, zato se
graf funkcije f obrne
navzgor in približa polu
x = 3.
FOV 2012/13
95 / 104
Racionalna funkcija, naloga 5
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Pol x = 3 je lihe
stopnje, zato funkcija f
pri prehodu cˇ ez pol
spremeni predznak.
FOV 2012/13
96 / 104
Racionalna funkcija, naloga 5
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Pol x = 3 je lihe
stopnje, zato funkcija f
pri prehodu cˇ ez pol
spremeni predznak.
Na levi strani pola
x = 3 zavzame funkcija
f negativne vrednosti.
FOV 2012/13
96 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Naslednja toˇcka na
grafu je preseˇcišˇce
racionalne funkcije z
36
, − 16
asimptoto .T ( 13
13 ).
FOV 2012/13
97 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Niˇcla pri x = 2 je sode
stopnje (x2,3 = 2),
FOV 2012/13
98 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Niˇcla pri x = 2 je sode
stopnje (x2,3 = 2),
zato se v tej niˇcli graf
racionalne funkcije
dotakne abscisne osi.
FOV 2012/13
98 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Naslednja toˇcka na
grau je niˇcla lihe
stopnje x1 = 0
FOV 2012/13
99 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Naslednja toˇcka na
grau je niˇcla lihe
stopnje x1 = 0
torej graf funkcije seka
os x.
FOV 2012/13
99 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Levo od niˇcle x1 = 0 ni
nobene druge niˇcle,
torej se graf funkcije
približa polu x = −3.
FOV 2012/13
100 / 104
Racionalna funkcija, naloga 5
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Pol x = −3 je lihe
stopnje, torej graf
racionalne funkcije pri
prehodu cˇ ez pol
spremeni predznak.
FOV 2012/13
101 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Na grafu nimamo
narisane veˇc nobene
toˇcke.
Graf funkcije torej
nekje doseže lokalni
maksimum (kar bomo
znali izraˇcunati s
pomoˇcjo odvodov).
FOV 2012/13
102 / 104
Racionalna funkcija, naloga 6
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
f(x) = (x3 − 4x2 + 4x) (x2 − 9)
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
Na levi strani
koordinatnega sistema
se graf približa
asimptoti.
FOV 2012/13
103 / 104
Naloge za samostojno reševanje
1
2
V isti koordinatni sistem nariši polinom p(x) = x 3 + 2x 2 − 4x − 8
in kvadratno funkcijo f (x) = x 2 − 4. Doloˇci presecišca grafov
kvadratne funkcije in polinoma.
Nariši funkcije:
1
2
3
4
5
f1 (x) = x 3 − x 2 − 20x
f2 (x) = x 4 + x 3 − 20x 2
f3 (x) = x 3 + 2x 2 − 9x − 18
f4 (x) = 2x 5 − 50x 3
2x 2
f5 (x) = x−4
6
f6 (x) =
7
f7 (x) =
x 2 −4x+3
x 3 −2x
x 3 −2x
x 2 −4x+3
Rešitve nalog lahko oddate na forumu za vaje ’e-vaje: Polinomi in
racionalne funkcije’.
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
Polinomi in racionalne funkcije
FOV 2012/13
104 / 104