1. No category

Stekališˇca in limita zaporedja,
aritmetiˇcno in geometrijsko zaporedje
Vaje
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc
FOV, 2013-2014
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
1 / 60
Uvod
Nekaj uvodnih besed
V sklopu tega e-gradiva za vaje se boš nauˇcil(a) poiskati stekališˇca in
limito zaporedja ter ugotoviti, ali je morda dano zaporedje aritmetiˇcno
oz. geometrijsko.
Pred posamezno nalogo imaš zapisana vprašanja, na katera je
ˇ
potrebno znati odgovoriti, da lahko rešimo zastavljene naloge. Ce
odgovora ne poznaš, ga poišˇci v zapiskih predavanj oz. v ustrezni
priporoˇceni literaturi.
ˇ
V tem gradivu je sedem nalog rešenih po korakih. Ceprav
je gradivo
objavljeno v pdf obliki, bi radi poudarili, da ni namenjeno, da si ga v
celoti natisnete. S pomoˇcjo postopoma rešenih nalog si ustvarite svoje
zapiske z besedilom naloge in ustrezno rešitvijo.
Na koncu je zapisana še domaˇca naloga, katere rešitve boš objavil(a)
v spletni uˇcilnici.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
2 / 60
Kazalo
1
Stekališˇca in limita zaporedja
Naloga 1
Naloga 2
Naloga 3
Naloga 4
2
Aritmetiˇcno zaporedje
Naloga 5
Naloga 6
3
Geometrijsko zaporedje
Naloga 7
4
Domaˇca naloga
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
3 / 60
Ali že znam?
ˇ zapiske predavanj in ponovi . . .
Poišci
. . . vse o limiti in stekališˇcih zaporedja:
Kaj je stekališˇce zaporedja?
Koliko stekališˇc ima lahko zaporedje?
Kaj je limita zaporedja?
Koliko limit ima zaporedje?
Kdaj je zaporedje konvergentno in kdaj divergentno?
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
4 / 60
Naloga 1
Naloga 1
Poišˇci stekališˇca zaporedja
an =
n2 + 1
, za n ≥ 2 .
n2 − 1
Pomagaj si s predstavitvijo cˇ lenov zaporedja na številski premici.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
5 / 60
Naloga 1
Najprej izraˇcunamo prvih nekaj cˇ lenov zaporedja an =
a2 =
22 +1
22 −1
=
n2 +1
n2 −1
5
3
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
6 / 60
Naloga 1
Najprej izraˇcunamo prvih nekaj cˇ lenov zaporedja an =
a2 =
a3 =
22 +1
22 −1
32 +1
32 −1
=
=
5
3
10
8
=
n2 +1
n2 −1
5
4
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
6 / 60
Naloga 1
Najprej izraˇcunamo prvih nekaj cˇ lenov zaporedja an =
a2 =
a3 =
a4 =
22 +1
22 −1
32 +1
32 −1
42 +1
42 −1
=
=
=
5
3
10
8
17
15
=
n2 +1
n2 −1
5
4
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
6 / 60
Naloga 1
Najprej izraˇcunamo prvih nekaj cˇ lenov zaporedja an =
a2 =
a3 =
a4 =
a5 =
22 +1
22 −1
32 +1
32 −1
42 +1
42 −1
52 +1
52 −1
=
=
=
=
5
3
10
8
17
15
26
24
=
5
4
=
13
12
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
n2 +1
n2 −1
FOV 2013/14
6 / 60
Naloga 1
Najprej izraˇcunamo prvih nekaj cˇ lenov zaporedja an =
a2 =
a3 =
a4 =
a5 =
a6 =
...
22 +1
22 −1
32 +1
32 −1
42 +1
42 −1
52 +1
52 −1
62 +1
62 −1
=
=
=
=
=
5
3
10
8
17
15
26
24
37
35
=
5
4
=
13
12
n2 +1
n2 −1
Zakaj ne moremo izraˇcunati cˇ lena z indeksom n = 1, torej a1 ?
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
6 / 60
Naloga 1
ˇ
Clene
zaporedja narišemo na številsko premico
Najprej narišemo številsko premico, oznaˇcimo 0 in enoto 1.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
7 / 60
Naloga 1
ˇ
Clene
zaporedja narišemo na številsko premico
Najprej narišemo številsko premico, oznaˇcimo 0 in enoto 1.
|
0
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
|
1
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
an
FOV 2013/14
7 / 60
Naloga 1
Narišemo cˇ len a2 =
5
3
ˇ
Clen
zaporedja narišemo kot toˇcko in zraven zapišemo oznako, torej
a2 .
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
8 / 60
Naloga 1
Narišemo cˇ len a2 =
5
3
ˇ
Clen
zaporedja narišemo kot toˇcko in zraven zapišemo oznako, torej
a2 .
|
0
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
|
1
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
a2
5 3
|
2
an
FOV 2013/14
8 / 60
Naloga 1
Narišemo še ostale izraˇcunane cˇ lene, torej a3 do a6
|
0
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
a5 a3
|
a
1 6a4
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
a2
5 3
|
2
an
FOV 2013/14
9 / 60
Naloga 1
Poskusimo lahko izraˇcunati in narisati še veˇc cˇ lenov zaporedja
...
Rezultat je prikazan na spodnji sliki:
|
0
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
a5 a3
|
a
1 6a4
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
a2
5 3
|
2
an
FOV 2013/14
10 / 60
Naloga 1
Poskusimo lahko izraˇcunati in narisati še veˇc cˇ lenov zaporedja
...
Rezultat je prikazan na spodnji sliki:
|
0
a5 a3
|
a
1 6a4
a2
5 3
|
2
an
Znamo s pomoˇcjo izraˇcunanih in narisanih cˇ lenov zaporedja ugotoviti
stekališˇce zaporedja?
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
10 / 60
Naloga 1
Stekališˇce zaporedja
ˇ
Cleni
zaporedja se približujejo 1, torej je 1 stekališˇce zaporedja (s = 1).
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
11 / 60
Naloga 1
Stekališˇce zaporedja
ˇ
Cleni
zaporedja se približujejo 1, torej je 1 stekališˇce zaporedja (s = 1).
Oziroma, s = 1 je stekališˇce, ker v vsaki okolici njegovi okolici leži
neskonˇcno cˇ lenov zaporedja.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
11 / 60
Naloga 1
Stekališˇce zaporedja
ˇ
Cleni
zaporedja se približujejo 1, torej je 1 stekališˇce zaporedja (s = 1).
Oziroma, s = 1 je stekališˇce, ker v vsaki okolici njegovi okolici leži
neskonˇcno cˇ lenov zaporedja.
Ali je 1 tudi limita zaporedja?
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
11 / 60
Naloga 1
Limita zaporedja
Odgovor: Da, 1 je tudi limita zaporedja, saj so leži zunaj vsake okolice
toˇcke 1 konˇcno cˇ lenov zaporedja.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
12 / 60
Naloga 1
Limita zaporedja
Odgovor: Da, 1 je tudi limita zaporedja, saj so leži zunaj vsake okolice
toˇcke 1 konˇcno cˇ lenov zaporedja.
Limito lahko tudi izraˇcunamo. Kako?
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
12 / 60
Naloga 1
Limita zaporedja an =
n2 + 1
n2 − 1
V števcu splošnega cˇ lena zaporedja an je najvišja potenca n-ja 2, prav
tako v imenovalcu.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
13 / 60
Naloga 1
Limita zaporedja an =
n2 + 1
n2 − 1
V števcu splošnega cˇ lena zaporedja an je najvišja potenca n-ja 2, prav
tako v imenovalcu.
Števec in imenovalec zato delimo z n2 .
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
13 / 60
Naloga 1
Limita zaporedja an =
n2 + 1
n2 − 1
V števcu splošnega cˇ lena zaporedja an je najvišja potenca n-ja 2, prav
tako v imenovalcu.
Števec in imenovalec zato delimo z n2 .
n2 + 1
=
n→∞ n2 − 1
lim an = lim
n→∞
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
13 / 60
Naloga 1
Limita zaporedja an =
n2 + 1
n2 − 1
V števcu splošnega cˇ lena zaporedja an je najvišja potenca n-ja 2, prav
tako v imenovalcu.
Števec in imenovalec zato delimo z n2 .
n2 + 1
n2 + 1 / : n2
=
lim
n→∞ n2 − 1
n→∞ n2 − 1/ : n2
lim an = lim
n→∞
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
13 / 60
Naloga 1
Limita zaporedja an =
n2 + 1
n2 − 1
V števcu splošnega cˇ lena zaporedja an je najvišja potenca n-ja 2, prav
tako v imenovalcu.
Števec in imenovalec zato delimo z n2 .
n2 + 1
n2 + 1 / : n2
=
lim
n→∞ n2 − 1
n→∞ n2 − 1/ : n2
lim an = lim
n→∞
Deljenje z n2 zapišemo nato raje z ulomkom . . .
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
13 / 60
Naloga 1
n2 + 1 / : n2
n2 + 1
= lim 2
lim 2
= lim
n→∞ n − 1/ : n2
n→∞ n − 1
n→∞
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
n2 +1
n2
n2 −1
n2
=
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
14 / 60
Naloga 1
n2 + 1 / : n2
n2 + 1
= lim 2
lim 2
= lim
n→∞ n − 1/ : n2
n→∞ n − 1
n→∞
n2 +1
n2
n2 −1
n2
=
Vsak cˇ len posebej delimo z n2 oziroma zapišemo kot vsoto ulomkov:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
14 / 60
Naloga 1
n2 + 1 / : n2
n2 + 1
= lim 2
lim 2
= lim
n→∞ n − 1/ : n2
n→∞ n − 1
n→∞
n2 +1
n2
n2 −1
n2
=
Vsak cˇ len posebej delimo z n2 oziroma zapišemo kot vsoto ulomkov:
=
n2
n2
lim
n→∞ n2
n2
+
−
1
n2
1
n2
=
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
14 / 60
Naloga 1
n2 + 1 / : n2
n2 + 1
= lim 2
lim 2
= lim
n→∞ n − 1/ : n2
n→∞ n − 1
n→∞
n2 +1
n2
n2 −1
n2
=
Vsak cˇ len posebej delimo z n2 oziroma zapišemo kot vsoto ulomkov:
=
n2
n2
lim
n→∞ n2
n2
+
−
1
n2
1
n2
=
Pokrajšamo oz. poenostavimo:
1
1
n→∞ 1
1
= lim
+
−
1
n2
1
n2
=
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
14 / 60
Naloga 1
n2 + 1 / : n2
n2 + 1
= lim 2
lim 2
= lim
n→∞ n − 1/ : n2
n→∞ n − 1
n→∞
n2 +1
n2
n2 −1
n2
=
Vsak cˇ len posebej delimo z n2 oziroma zapišemo kot vsoto ulomkov:
=
n2
n2
lim
n→∞ n2
n2
+
−
1
n2
1
n2
=
Pokrajšamo oz. poenostavimo:
1
1
n→∞ 1
1
= lim
+
−
1
n2
1
n2
= lim
n→∞
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
1+
1−
1
n2
1
n2
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
14 / 60
Naloga 1
n2 + 1 / : n2
n2 + 1
= lim 2
lim 2
= lim
n→∞ n − 1/ : n2
n→∞ n − 1
n→∞
n2 +1
n2
n2 −1
n2
=
Vsak cˇ len posebej delimo z n2 oziroma zapišemo kot vsoto ulomkov:
=
n2
n2
lim
n→∞ n2
n2
+
−
1
n2
1
n2
=
Pokrajšamo oz. poenostavimo:
1
1
n→∞ 1
1
= lim
+
−
1
n2
1
n2
= lim
n→∞
1+
1−
1
n2
1
n2
Pobrskajmo po zapiskih predavanj: lim
n→∞
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
1
1
=? oziroma lim r =?
n→∞ n
n
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
14 / 60
Naloga 1
1
= 0 za r > 0
n→∞ nr
V zapiskih predavanj poišˇcemo, da je lim
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
15 / 60
Naloga 1
1
= 0 za r > 0
n→∞ nr
V zapiskih predavanj poišˇcemo, da je lim
1
ˇ
gresta torej proti 0, ko gredo vrednosti n proti neskonˇcno
Clena
n2
(n → ∞), dobimo torej:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
15 / 60
Naloga 1
1
= 0 za r > 0
n→∞ nr
V zapiskih predavanj poišˇcemo, da je lim
1
ˇ
gresta torej proti 0, ko gredo vrednosti n proti neskonˇcno
Clena
n2
(n → ∞), dobimo torej:
ր0
z}|{
1
1+ 2
n = 1+0 =1
= lim
n→∞
1
1−0
1− 2
n
|{z}
ց0
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
15 / 60
Naloga 1
1
= 0 za r > 0
n→∞ nr
V zapiskih predavanj poišˇcemo, da je lim
1
ˇ
gresta torej proti 0, ko gredo vrednosti n proti neskonˇcno
Clena
n2
(n → ∞), dobimo torej:
ր0
z}|{
1
1+ 2
n = 1+0 =1
= lim
n→∞
1
1−0
1− 2
n
|{z}
ց0
Z raˇcunom smo torej potrdili, kar smo ugotovili s pomoˇcjo slike:
n2 + 1
=1
n→∞ n2 − 1
lim
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
15 / 60
Naloga 1
Stekališˇce in limita zaporedja an =
n2 +1
n2 −1
Ugotovili smo torej, da za zaporedje an velja:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
16 / 60
Naloga 1
Stekališˇce in limita zaporedja an =
n2 +1
n2 −1
Ugotovili smo torej, da za zaporedje an velja:
1 je stekališˇce zaporedja.
1 je limita zaporedja.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
16 / 60
Naloga 1
Stekališˇce in limita zaporedja an =
n2 +1
n2 −1
Ugotovili smo torej, da za zaporedje an velja:
1 je stekališˇce zaporedja.
1 je limita zaporedja.
Razmisli, katera trditev je pravilna:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
16 / 60
Naloga 1
Stekališˇce in limita zaporedja an =
n2 +1
n2 −1
Ugotovili smo torej, da za zaporedje an velja:
1 je stekališˇce zaporedja.
1 je limita zaporedja.
Razmisli, katera trditev je pravilna:
ˇ je število a stekališˇce zaporedja an , je število a tudi limita tega
1
Ce
zaporedja.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
16 / 60
Naloga 1
Stekališˇce in limita zaporedja an =
n2 +1
n2 −1
Ugotovili smo torej, da za zaporedje an velja:
1 je stekališˇce zaporedja.
1 je limita zaporedja.
Razmisli, katera trditev je pravilna:
ˇ je število a stekališˇce zaporedja an , je število a tudi limita tega
1
Ce
zaporedja.
ˇ je število a limita zaporedja an , je število a tudi stekališˇce tega
2
Ce
zaporedja.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
16 / 60
Naloga 2
Naloga 2
Poišˇci stekališˇca zaporedja
2 + (−1)n n
.
an =
2n + 1
Pomagaj si s predstavitvijo cˇ lenov zaporedja na številski premici.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
17 / 60
Naloga 2
Najprej izraˇcunamo prvih nekaj cˇ lenov zaporedja an =
a1 =
(2+(−1)1 )·1
2·1+1
=
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
(2−1)·1
2+1
=
(2+(−1)n )n
2n+1
1
3
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
18 / 60
Naloga 2
Najprej izraˇcunamo prvih nekaj cˇ lenov zaporedja an =
a1 =
a2 =
(2+(−1)1 )·1
2·1+1
(2+(−1)2 )·2
2·2+1
=
=
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
(2−1)·1
2+1
(2+1)·2
4+1
=
1
3
=
6
5
(2+(−1)n )n
2n+1
= 1 15
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
18 / 60
Naloga 2
Najprej izraˇcunamo prvih nekaj cˇ lenov zaporedja an =
a1 =
a2 =
a3 =
(2+(−1)1 )·1
2·1+1
(2+(−1)2 )·2
2·2+1
(2+(−1)3 )·3
2·3+1
=
=
=
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
(2−1)·1
2+1
(2+1)·2
4+1
(2−1)·3
6+1
=
1
3
=
6
5
=
3
7
(2+(−1)n )n
2n+1
= 1 15
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
18 / 60
Naloga 2
Najprej izraˇcunamo prvih nekaj cˇ lenov zaporedja an =
a1 =
a2 =
a3 =
a4 =
(2+(−1)1 )·1
2·1+1
(2+(−1)2 )·2
2·2+1
(2+(−1)3 )·3
2·3+1
(2+(−1)4 )·4
2·4+1
=
=
=
=
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
(2−1)·1
2+1
(2+1)·2
4+1
(2−1)·3
6+1
(2+1)·4
8+1
=
1
3
=
6
5
=
3
7
=
12
9
(2+(−1)n )n
2n+1
= 1 15
=
4
3
= 1 13
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
18 / 60
Naloga 2
Najprej izraˇcunamo prvih nekaj cˇ lenov zaporedja an =
a1 =
a2 =
a3 =
a4 =
a5 =
(2+(−1)1 )·1
2·1+1
(2+(−1)2 )·2
2·2+1
(2+(−1)3 )·3
2·3+1
(2+(−1)4 )·4
2·4+1
(2+(−1)5 )·5
2·5+1
=
=
=
=
=
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
(2−1)·1
2+1
(2+1)·2
4+1
(2−1)·3
6+1
(2+1)·4
8+1
(2−1)·5
10+1
=
1
3
=
6
5
=
3
7
=
12
9
5
11
=
(2+(−1)n )n
2n+1
= 1 15
=
4
3
= 1 13
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
18 / 60
Naloga 2
Najprej izraˇcunamo prvih nekaj cˇ lenov zaporedja an =
a1 =
a2 =
a3 =
a4 =
a5 =
a6 =
...
(2+(−1)1 )·1
2·1+1
(2+(−1)2 )·2
2·2+1
(2+(−1)3 )·3
2·3+1
(2+(−1)4 )·4
2·4+1
(2+(−1)5 )·5
2·5+1
(2+(−1)6 )·6
2·6+1
=
=
=
=
=
=
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
(2−1)·1
2+1
(2+1)·2
4+1
(2−1)·3
6+1
(2+1)·4
8+1
(2−1)·5
10+1
(2+1)·6
12+1
=
1
3
=
6
5
=
3
7
=
=
=
12
9
5
11
=
18
13
5
= 1 13
(2+(−1)n )n
2n+1
= 1 15
4
3
= 1 13
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
18 / 60
Naloga 2
ˇ
Clene
zaporedja narišemo na številsko premico
Najprej narišemo številsko premico, oznaˇcimo 0 in enoto 1.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
19 / 60
Naloga 2
ˇ
Clene
zaporedja narišemo na številsko premico
Najprej narišemo številsko premico, oznaˇcimo 0 in enoto 1.
Narišemo prva dva cˇ lena: a1 = 13 in a2 = 56 .
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
19 / 60
Naloga 2
ˇ
Clene
zaporedja narišemo na številsko premico
Najprej narišemo številsko premico, oznaˇcimo 0 in enoto 1.
Narišemo prva dva cˇ lena: a1 = 13 in a2 = 56 .
a1
|
0
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
a2
|
1 3
1
|
6 5
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
an
2
FOV 2013/14
19 / 60
Naloga 2
Narišemo še ostale izraˇcunane cˇ lene, torej a3 do a6
a1 a3
|
0
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
a2
a6
|
1 3
a5
1
|
6 5
a4
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
an
2
FOV 2013/14
20 / 60
Naloga 2
Narišemo še ostale izraˇcunane cˇ lene, torej a3 do a6
a1 a3
a2
|
0
a6
|
1 3
a5
1
|
6 5
a4
an
2
Kaj opazimo na zgornji sliki?
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
20 / 60
Naloga 2
Narišemo še ostale izraˇcunane cˇ lene, torej a3 do a6
a1 a3
a2
|
0
a6
|
1 3
a5
1
|
6 5
a4
an
2
Kaj opazimo na zgornji sliki?
Lihi cˇ leni (a1 , a3 in a5 ) so skupaj na levi strani, sodi cˇ leni pa na desni
strani (a2 , a4 in a5 ).
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
20 / 60
Naloga 2
Poskusimo izraˇcunati še veˇc cˇ lenov in jih narisati na številsko
premico . . .
Slika najverjetneje ne bo preveˇc jasna. Morda bomo lažje razbrali, kaj
se dogaja, cˇ e cˇ lene zaporedja narišemo v koordinatnem sistemu.
an
−2
−1.5
−1
−0.5
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
|
6
|
7
|
8
|
9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
n
21 / 60
Naloga 2
Stekališˇca zaporedja
Kot je razvidno iz slike, imamo dve stekališˇci.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
22 / 60
Naloga 2
Stekališˇca zaporedja
Kot je razvidno iz slike, imamo dve stekališˇci.
Lihi cˇ leni se približujejo 0˙5, sodi pa 1˙5.
Reˇcemo lahko tudi, da lihi in sodi cˇ leni sestavljajo dve podzaporedji.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
22 / 60
Naloga 2
Stekališˇca zaporedja
Kot je razvidno iz slike, imamo dve stekališˇci.
Lihi cˇ leni se približujejo 0˙5, sodi pa 1˙5.
Reˇcemo lahko tudi, da lihi in sodi cˇ leni sestavljajo dve podzaporedji.
2 + (−1)n n
ima dve stekališˇci:
Torej, zaporedje an =
2n + 1
s1 = 0˙5 in s2 = 1˙5.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
22 / 60
Naloga 3
Naloga 3
Razišˇci konvergenco oz. divergenco zaporedij:
1 − 2n
a) an =
,
1 + 3n
1 − 2n
,
b) an =
1 + 3n2
1 − 2n3
c) an =
.
1 + 3n3
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
23 / 60
Naloga 3
Naloga 3a
Konvergentno zaporedje je tisto, ki ima limito.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
24 / 60
Naloga 3
Naloga 3a
Konvergentno zaporedje je tisto, ki ima limito.
1 − 2n
n→∞ 1 + 3n
Torej moramo poskusiti izraˇcunati limito: lim an = lim
n→∞
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
24 / 60
Naloga 3
Naloga 3a
Konvergentno zaporedje je tisto, ki ima limito.
1 − 2n
n→∞ 1 + 3n
Torej moramo poskusiti izraˇcunati limito: lim an = lim
n→∞
Najveˇcja potenca n-ja v števcu in imenovalcu je 1 (n1 = n), zato delimo
izraz v limiti v števcu in imenovalcu z n.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
24 / 60
Naloga 3
Naloga 3a
Konvergentno zaporedje je tisto, ki ima limito.
1 − 2n
n→∞ 1 + 3n
Torej moramo poskusiti izraˇcunati limito: lim an = lim
n→∞
Najveˇcja potenca n-ja v števcu in imenovalcu je 1 (n1 = n), zato delimo
izraz v limiti v števcu in imenovalcu z n.
1 − 2n/ : n
= lim
n→∞
n→∞ 1 + 3n/ : n
= lim
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
1−2n
n
1+3n
n
1
n
n→∞ 1
n
== lim
−
+
2n
n
3n
n
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
24 / 60
Naloga 3
Naloga 3a
Konvergentno zaporedje je tisto, ki ima limito.
1 − 2n
n→∞ 1 + 3n
Torej moramo poskusiti izraˇcunati limito: lim an = lim
n→∞
Najveˇcja potenca n-ja v števcu in imenovalcu je 1 (n1 = n), zato delimo
izraz v limiti v števcu in imenovalcu z n.
1−2n
1 − 2n/ : n
n
= lim 1+3n
== lim
n→∞
n→∞
n→∞ 1 + 3n/ : n
n
Izraz pokrajšamo in poenostavimo:
= lim
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
1
n
1
n
−
+
2n
n
3n
n
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
24 / 60
Naloga 3
Naloga 3a
Konvergentno zaporedje je tisto, ki ima limito.
1 − 2n
n→∞ 1 + 3n
Torej moramo poskusiti izraˇcunati limito: lim an = lim
n→∞
Najveˇcja potenca n-ja v števcu in imenovalcu je 1 (n1 = n), zato delimo
izraz v limiti v števcu in imenovalcu z n.
1−2n
1 − 2n/ : n
n
= lim 1+3n
== lim
n→∞
n→∞
n→∞ 1 + 3n/ : n
n
Izraz pokrajšamo in poenostavimo:
= lim
1
n
n→∞ 1
n
= lim
1
n
1
n
−
+
2n
n
3n
n
−2
+3
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
24 / 60
Naloga 3
Naloga 3a
Izraz
1
n
gre proti 0, ko gre n proti neskonˇcno:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
25 / 60
Naloga 3
Naloga 3a
Izraz
1
n
gre proti 0, ko gre n proti neskonˇcno:
ր0
z}|{
1
−2
= lim n
=
n→∞ 1
+3
n
|{z}
ց0
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
25 / 60
Naloga 3
Naloga 3a
Izraz
1
n
gre proti 0, ko gre n proti neskonˇcno:
ր0
z}|{
1
−2
2
0−2
= lim n
=−
= =
n→∞ 1
0+3
3
+3
n
|{z}
ց0
Zaporedje an =
enaka − 23 .
1 − 2n
je torej konvergentno, saj ima limito, ki je
1 + 3n
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
25 / 60
Naloga 3
Naloga 3b
Raˇcunamo limito
1 − 2n
lim an = lim
n→∞
n→∞ 1 + 3n2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
26 / 60
Naloga 3
Naloga 3b
Raˇcunamo limito
1 − 2n
lim an = lim
n→∞
n→∞ 1 + 3n2
Najveˇcja potenca n-ja v števcu je 1, v imenovalcu pa 2, zato delimo
izraz v limiti v števcu in imenovalcu z veˇcjo od obeh potenc, torej z n2 .
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
26 / 60
Naloga 3
Naloga 3b
Raˇcunamo limito
1 − 2n
lim an = lim
n→∞
n→∞ 1 + 3n2
Najveˇcja potenca n-ja v števcu je 1, v imenovalcu pa 2, zato delimo
izraz v limiti v števcu in imenovalcu z veˇcjo od obeh potenc, torej z n2 .
1 − 2n/ : n2
= lim
= lim
n→∞ 1 + 3n2 / : n2
n→∞
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
1−2n
n2
1+3n2
n2
=
1
− 2n
n2
n2
lim
n→∞ 1 + 3n2
n2
n2
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
26 / 60
Naloga 3
Naloga 3b
Raˇcunamo limito
1 − 2n
lim an = lim
n→∞
n→∞ 1 + 3n2
Najveˇcja potenca n-ja v števcu je 1, v imenovalcu pa 2, zato delimo
izraz v limiti v števcu in imenovalcu z veˇcjo od obeh potenc, torej z n2 .
1−2n
1 − 2n/ : n2
n2
= lim
= lim 1+3n
= lim
2
n→∞ 1 + 3n2 / : n2
n→∞
n→∞
n2
Izraz pokrajšamo in poenostavimo:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
1
− 2n
n2
n2
1
3n2
+ n2
n2
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
26 / 60
Naloga 3
Naloga 3b
Raˇcunamo limito
1 − 2n
lim an = lim
n→∞
n→∞ 1 + 3n2
Najveˇcja potenca n-ja v števcu je 1, v imenovalcu pa 2, zato delimo
izraz v limiti v števcu in imenovalcu z veˇcjo od obeh potenc, torej z n2 .
1−2n
1 − 2n/ : n2
n2
= lim
= lim 1+3n
= lim
2
n→∞ 1 + 3n2 / : n2
n→∞
n→∞
n2
Izraz pokrajšamo in poenostavimo:
1
n2
n→∞ 1
n2
= lim
−
1
− 2n
n2
n2
1
3n2
+ n2
n2
2
n
+3
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
26 / 60
Naloga 3
Naloga 3b
Izraza
1
n
in
1
n2
gresta proti 0, ko gre n proti neskonˇcno:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
27 / 60
Naloga 3
Naloga 3b
Izraza
1
n
1
n2
in
ր0
gresta proti 0, ko gre n proti neskonˇcno:
ր0
z}|{
z}|{
1
1
−2 ·
2
n =
= lim n
n→∞
1
+3
n2
|{z}
ց0
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
27 / 60
Naloga 3
Naloga 3b
Izraza
1
n
1
n2
in
gresta proti 0, ko gre n proti neskonˇcno:
ր0
ր0
z}|{
z}|{
1
1
−2 ·
2
n = = 0−2·0 = 0 =0
= lim n
n→∞
1
0+3
3
+3
2
n
|{z}
ց0
Zaporedje an =
enaka 0.
1 − 2n
je torej konvergentno, saj ima limito, ki je
1 + 3n2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
27 / 60
Naloga 3
Naloga 3c
Raˇcunamo limito
1 − 2n3
lim an = lim
n→∞
n→∞ 1 + 3n3
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
28 / 60
Naloga 3
Naloga 3c
Raˇcunamo limito
1 − 2n3
lim an = lim
n→∞
n→∞ 1 + 3n3
Najveˇcja potenca n-ja v števcu je 3, prav tako v imenovalcu. Zato
delimo izraz v limiti v števcu in imenovalcu z n3 .
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
28 / 60
Naloga 3
Naloga 3c
Raˇcunamo limito
1 − 2n3
lim an = lim
n→∞
n→∞ 1 + 3n3
Najveˇcja potenca n-ja v števcu je 3, prav tako v imenovalcu. Zato
delimo izraz v limiti v števcu in imenovalcu z n3 .
1 − 2n3 / : n3
= lim
= lim
n→∞
n→∞ 1 + 3n3 / : n3
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
1−2n3
n3
1+3n3
n3
=
1
3
lim n1
n→∞
n3
−
+
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
2n3
n3
3n3
n3
FOV 2013/14
28 / 60
Naloga 3
Naloga 3c
Raˇcunamo limito
1 − 2n3
lim an = lim
n→∞
n→∞ 1 + 3n3
Najveˇcja potenca n-ja v števcu je 3, prav tako v imenovalcu. Zato
delimo izraz v limiti v števcu in imenovalcu z n3 .
1−2n3
1 − 2n3 / : n3
n3
= lim 1+3n
= lim
= lim
3
n→∞
n→∞
n→∞ 1 + 3n3 / : n3
n3
Izraz pokrajšamo in poenostavimo:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
1
n3
1
n3
−
+
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
2n3
n3
3n3
n3
FOV 2013/14
28 / 60
Naloga 3
Naloga 3c
Raˇcunamo limito
1 − 2n3
lim an = lim
n→∞
n→∞ 1 + 3n3
Najveˇcja potenca n-ja v števcu je 3, prav tako v imenovalcu. Zato
delimo izraz v limiti v števcu in imenovalcu z n3 .
1−2n3
1 − 2n3 / : n3
n3
= lim 1+3n
= lim
= lim
3
n→∞
n→∞
n→∞ 1 + 3n3 / : n3
n3
Izraz pokrajšamo in poenostavimo:
=
1
n3
lim
n→∞ 1
n3
1
n3
1
n3
−
+
2n3
n3
3n3
n3
−2
+3
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
28 / 60
Naloga 3
Naloga 3c
Izraz
1
n3
gre proti 0, ko gre n proti neskonˇcno:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
29 / 60
Naloga 3
Naloga 3c
Izraz
1
n3
gre proti 0, ko gre n proti neskonˇcno:
ր0
z}|{
1
−2
3
=
= lim n
n→∞ 1
+3
n3
|{z}
ց0
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
29 / 60
Naloga 3
Naloga 3c
Izraz
1
n3
gre proti 0, ko gre n proti neskonˇcno:
ր0
z}|{
1
−2
3
0−2
2
= =
=−
= lim n
n→∞ 1
0+3
3
+3
3
n
|{z}
ց0
Zaporedje an =
enaka − 32 .
1 − 2n3
je torej konvergentno, saj ima limito, ki je
1 + 3n3
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
29 / 60
Naloga 4
Naloga 4
Izraˇcunaj limito zaporedja
an =
n2 − 1
.
4n2
Koliko cˇ lenov se od limitne vrednosti razlikuje za veˇc kot ε = 10−2 ?
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
30 / 60
Naloga 4
Limita zaporedja
Najveˇcja potenca n-ja v števcu je 2, prav tako v imenovalcu. Zato
delimo izraz v števcu in imenovalcu z n2 .
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
31 / 60
Naloga 4
Limita zaporedja
Najveˇcja potenca n-ja v števcu je 2, prav tako v imenovalcu. Zato
delimo izraz v števcu in imenovalcu z n2 .
n2 − 1
n→∞ 4n2
lim an = lim
n→∞
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
31 / 60
Naloga 4
Limita zaporedja
Najveˇcja potenca n-ja v števcu je 2, prav tako v imenovalcu. Zato
delimo izraz v števcu in imenovalcu z n2 .
n2 − 1 / : n2
n2 − 1
=
lim
n→∞ 4n2 / : n2
n→∞ 4n2
lim an = lim
n→∞
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
31 / 60
Naloga 4
Limita zaporedja
Najveˇcja potenca n-ja v števcu je 2, prav tako v imenovalcu. Zato
delimo izraz v števcu in imenovalcu z n2 .
n2 − 1 / : n2
n2 − 1
=
lim
= lim
lim an = lim
n→∞ 4n2 / : n2
n→∞
n→∞
n→∞ 4n2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
n2 −1
n2
4n2
n2
FOV 2013/14
31 / 60
Naloga 4
Limita zaporedja
Najveˇcja potenca n-ja v števcu je 2, prav tako v imenovalcu. Zato
delimo izraz v števcu in imenovalcu z n2 .
n2 − 1 / : n2
n2 − 1
=
lim
= lim
lim an = lim
n→∞ 4n2 / : n2
n→∞
n→∞
n→∞ 4n2
lim
n→∞
n2
n2
−
n2 −1
n2
4n2
n2
=
1
n2
4n2
n2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
31 / 60
Naloga 4
Limita zaporedja
Najveˇcja potenca n-ja v števcu je 2, prav tako v imenovalcu. Zato
delimo izraz v števcu in imenovalcu z n2 .
n2 − 1 / : n2
n2 − 1
=
lim
= lim
lim an = lim
n→∞ 4n2 / : n2
n→∞
n→∞
n→∞ 4n2
lim
n→∞
n2
n2
−
4n2
n2
1
n2
n2 −1
n2
4n2
n2
=
1 − n12
n→∞
4
= lim
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
31 / 60
Naloga 4
Limita zaporedja
Najveˇcja potenca n-ja v števcu je 2, prav tako v imenovalcu. Zato
delimo izraz v števcu in imenovalcu z n2 .
n2 − 1 / : n2
n2 − 1
=
lim
= lim
lim an = lim
n→∞ 4n2 / : n2
n→∞
n→∞
n→∞ 4n2
n2 −1
n2
4n2
n2
=
ր0
lim
n→∞
n2
n2
−
4n2
n2
1
n2
1 − n12
n→∞
4
= lim
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
z}|{
1
1− 2
n
= lim
n→∞
4
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
31 / 60
Naloga 4
Limita zaporedja
Najveˇcja potenca n-ja v števcu je 2, prav tako v imenovalcu. Zato
delimo izraz v števcu in imenovalcu z n2 .
n2 − 1 / : n2
n2 − 1
=
lim
= lim
lim an = lim
n→∞ 4n2 / : n2
n→∞
n→∞
n→∞ 4n2
n2 −1
n2
4n2
n2
=
ր0
lim
n→∞
n2
n2
−
4n2
n2
1
n2
1 − n12
n→∞
4
= lim
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
z}|{
1
1− 2
n = 1−0 = 1
= lim
n→∞
4
4
4
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
31 / 60
Naloga 4
Limitna okolica
Poiskati moramo, koliko cˇ lenov se od limitne vrednosti razlikuje za veˇc
kot ε oziroma koliko cˇ lenov leži zunaj ε-okolice limite.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
32 / 60
Naloga 4
Limitna okolica
Poiskati moramo, koliko cˇ lenov se od limitne vrednosti razlikuje za veˇc
kot ε oziroma koliko cˇ lenov leži zunaj ε-okolice limite.
ε-okolica limite je odprt interval okrog limite zaporedja a (a = lim an )
n→∞
širine 2ε. Meji intervala sta torej a − ε in a + ε.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
32 / 60
Naloga 4
Limitna okolica
Poiskati moramo, koliko cˇ lenov se od limitne vrednosti razlikuje za veˇc
kot ε oziroma koliko cˇ lenov leži zunaj ε-okolice limite.
ε-okolica limite je odprt interval okrog limite zaporedja a (a = lim an )
n→∞
širine 2ε. Meji intervala sta torej a − ε in a + ε.
ε-okolico limite lahko oznaˇcimo kot Uε (a) = (a − ε, a + ε), grafiˇcno je
prikazana na spodnji sliki.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
32 / 60
Naloga 4
Limitna okolica
Poiskati moramo, koliko cˇ lenov se od limitne vrednosti razlikuje za veˇc
kot ε oziroma koliko cˇ lenov leži zunaj ε-okolice limite.
ε-okolica limite je odprt interval okrog limite zaporedja a (a = lim an )
n→∞
širine 2ε. Meji intervala sta torej a − ε in a + ε.
ε-okolico limite lahko oznaˇcimo kot Uε (a) = (a − ε, a + ε), grafiˇcno je
prikazana na spodnji sliki.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
32 / 60
Naloga 4
Limitna okolica
Kaj velja za cˇ lene, ki ležijo zunaj ε-okolice limite?
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
33 / 60
Naloga 4
Limitna okolica
Kaj velja za cˇ lene, ki ležijo zunaj ε-okolice limite?
Na spodnji sliki je shematiˇcno prikazano nekaj cˇ lenov zaporedja, limita
a ter limitna okolica. Splošni cˇ len an je narisan znotraj ε-okolice. Kaj
lahko povemo o medsebojni legi limite a in splošnega cˇ lena an glede
na ε?
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
33 / 60
Naloga 4
Limitna okolica
Kaj velja za cˇ lene, ki ležijo zunaj ε-okolice limite?
Na spodnji sliki je shematiˇcno prikazano nekaj cˇ lenov zaporedja, limita
a ter limitna okolica. Splošni cˇ len an je narisan znotraj ε-okolice. Kaj
lahko povemo o medsebojni legi limite a in splošnega cˇ lena an glede
na ε?
Bolj natanˇcno: kaj lahko povemo o razliki an − a glede na ε?
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
33 / 60
Naloga 4
ˇ
Cleni
znotraj oz. zunaj limitne okolice
Ugotovili smo, da velja:
|an − a| < ε za cˇ lene znotraj ε-okolice limite,
|an − a| > ε za cˇ lene zunaj ε-okolice limite.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
34 / 60
Naloga 4
V nalogi išˇcemo, koliko cˇ lenov leži zunaj ε-okolice limite,
zato uporabimo neenaˇcbo |an − a| > ε.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
35 / 60
Naloga 4
V nalogi išˇcemo, koliko cˇ lenov leži zunaj ε-okolice limite,
zato uporabimo neenaˇcbo |an − a| > ε.
V zgornjo neenaˇcbo vstavimo poznane parametre: splošni cˇ len
zaporedja an , limito zaporedja a in vrednost ε.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
35 / 60
Naloga 4
V nalogi išˇcemo, koliko cˇ lenov leži zunaj ε-okolice limite,
zato uporabimo neenaˇcbo |an − a| > ε.
V zgornjo neenaˇcbo vstavimo poznane parametre: splošni cˇ len
zaporedja an , limito zaporedja a in vrednost ε.
Dobimo torej neenaˇcbo
2
n − 1 1
−2
4n2 − 4 > 10
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
35 / 60
Naloga 4
2
n − 1 1
−2
4n2 − 4 > 10
Znotraj absolutne vrednosti seštejemo ulomka (ulomka damo najprej
na skupni imenovalec):
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
36 / 60
Naloga 4
2
n − 1 1
−2
4n2 − 4 > 10
Znotraj absolutne vrednosti seštejemo ulomka (ulomka damo najprej
na skupni imenovalec):
2
n − 1 1 · n2 −2
4n2 − 4 · n2 > 10
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
36 / 60
Naloga 4
2
n − 1 1
−2
4n2 − 4 > 10
Znotraj absolutne vrednosti seštejemo ulomka (ulomka damo najprej
na skupni imenovalec):
2
n − 1 1 · n2 −2
4n2 − 4 · n2 > 10
2
n − 1 − n2 > 10−2
4n2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
36 / 60
Naloga 4
2
n − 1 1
−2
4n2 − 4 > 10
Znotraj absolutne vrednosti seštejemo ulomka (ulomka damo najprej
na skupni imenovalec):
2
n − 1 1 · n2 −2
4n2 − 4 · n2 > 10
2
n − 1 − n2 > 10−2
4n2
−1 −2
4n2 > 10
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
36 / 60
Naloga 4
Upoštevamo absolutno vrednost in dobimo:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
37 / 60
Naloga 4
Upoštevamo absolutno vrednost in dobimo:
1
> 10−2
4n2
Na desni strani 10−2 zapišemo z ulomkom:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
37 / 60
Naloga 4
Upoštevamo absolutno vrednost in dobimo:
1
> 10−2
4n2
Na desni strani 10−2 zapišemo z ulomkom:
1
1
>
100
4n2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
37 / 60
Naloga 4
Upoštevamo absolutno vrednost in dobimo:
1
> 10−2
4n2
Na desni strani 10−2 zapišemo z ulomkom:
1
1
>
/ · 100n2
100
4n2
Neenaˇcbo pomnožimo s 100n2 . Pri tem se neenaˇcaj ohrani, saj
množimo s pozitivnim številom.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
37 / 60
Naloga 4
Upoštevamo absolutno vrednost in dobimo:
1
> 10−2
4n2
Na desni strani 10−2 zapišemo z ulomkom:
1
1
>
/ · 100n2
100
4n2
Neenaˇcbo pomnožimo s 100n2 . Pri tem se neenaˇcaj ohrani, saj
množimo s pozitivnim številom.
100n2
100n2
>
100
4n2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
37 / 60
Naloga 4
Upoštevamo absolutno vrednost in dobimo:
1
> 10−2
4n2
Na desni strani 10−2 zapišemo z ulomkom:
1
1
>
/ · 100n2
100
4n2
Neenaˇcbo pomnožimo s 100n2 . Pri tem se neenaˇcaj ohrani, saj
množimo s pozitivnim številom.
100n2
100n2
>
100
4n2
Pokrajšamo in dobimo 25 > n2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
37 / 60
Naloga 4
Upoštevamo absolutno vrednost in dobimo:
1
> 10−2
4n2
Na desni strani 10−2 zapišemo z ulomkom:
1
1
>
/ · 100n2
100
4n2
Neenaˇcbo pomnožimo s 100n2 . Pri tem se neenaˇcaj ohrani, saj
množimo s pozitivnim številom.
100n2
100n2
>
100
4n2
Pokrajšamo in dobimo 25 > n2 oziroma n2 < 25.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
37 / 60
Naloga 4
Kvadratno neenaˇcbo n2 < 25 rešimo s
pomoˇcjo grafa
y
y = n2
− 30
− 25
Narišemo kvadratno
funkcijo y = n2 .
− 20
− 15
− 10
− 5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
n
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
38 / 60
Naloga 4
Kvadratno neenaˇcbo n2 < 25 rešimo s
pomoˇcjo grafa
y
y = n2
− 30
− 25
Narišemo premico
y = 25.
− 20
− 15
− 10
− 5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
n
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
39 / 60
Naloga 4
Kvadratno neenaˇcbo n2 < 25 rešimo s
pomoˇcjo grafa
y
y = n2
− 30
Pogledamo, kje je
kvadratna funkcija
pod premico y = 25,
saj je tam izpolnjena
neenaˇcba n2 < 25.
− 25
− 20
− 15
− 10
− 5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
n
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
40 / 60
Naloga 4
Neenaˇcba n2 < 25
torej velja za
−5 < n < 5.
Kvadratno neenaˇcbo n2 < 25 rešimo s
pomoˇcjo grafa
y
y = n2
− 30
− 25
− 20
− 15
− 10
− 5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
n
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
41 / 60
Naloga 4
Neenaˇcba n2 < 25
torej velja za
−5 < n < 5.
Kvadratno neenaˇcbo n2 < 25 rešimo s
pomoˇcjo grafa
y
Ker pa so n ∈ IN, je
zgornja neenaˇcba
izpolnjena le , cˇ e
1 ≤ n ≤ 4.
y = n2
− 30
− 25
− 20
− 15
− 10
− 5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
n
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
41 / 60
Naloga 4
Neenaˇcba n2 < 25
torej velja za
−5 < n < 5.
Kvadratno neenaˇcbo n2 < 25 rešimo s
pomoˇcjo grafa
y
Ker pa so n ∈ IN, je
zgornja neenaˇcba
izpolnjena le , cˇ e
1 ≤ n ≤ 4.
y = n2
− 30
− 25
− 20
− 15
− 10
− 5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
n
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
Odgovor na
vprašanje iz naloge
se torej glasi: Prvi
štirje cˇ leni zaporedja
se od limitne
vrednosti razlikujejo
za veˇc kot ε = 10−2 .
FOV 2013/14
41 / 60
Naloga 5
Naloga 5
Drugi cˇ len aritmetiˇcnega zaporedja je 5, tretji pa 7.
a) Poišˇci splošni cˇ len zaporedja.
b) Izraˇcunaj in nariši prvih 5 cˇ lenov zaporedja.
c) Kateri cˇ len zaporedja je enak 113?
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
42 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
43 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a2 = 5
a3 = 7
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
43 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a2 = 5
a3 = 7
Ker vemo, da gre za aritmetiˇcno zaporedje, zapišemo njegovo splošno
formulo:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
43 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a2 = 5
a3 = 7
Ker vemo, da gre za aritmetiˇcno zaporedje, zapišemo njegovo splošno
formulo:
an = a1 + (n − 1)d
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
43 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a2 = 5
a3 = 7
Ker vemo, da gre za aritmetiˇcno zaporedje, zapišemo njegovo splošno
formulo:
an = a1 + (n − 1)d
Ker poznamo drugi in tretji cˇ len, v splošni cˇ len aritmetiˇcnega zaporedja
vsatvimo n = 2 in n = 3.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
43 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a2 = 5
a3 = 7
Ker vemo, da gre za aritmetiˇcno zaporedje, zapišemo njegovo splošno
formulo:
an = a1 + (n − 1)d
Ker poznamo drugi in tretji cˇ len, v splošni cˇ len aritmetiˇcnega zaporedja
vsatvimo n = 2 in n = 3.
n=2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
43 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a2 = 5
a3 = 7
Ker vemo, da gre za aritmetiˇcno zaporedje, zapišemo njegovo splošno
formulo:
an = a1 + (n − 1)d
Ker poznamo drugi in tretji cˇ len, v splošni cˇ len aritmetiˇcnega zaporedja
vsatvimo n = 2 in n = 3.
n=2
a2 = a1 + (2 − 1)d = a1 + d
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
43 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a2 = 5
a3 = 7
Ker vemo, da gre za aritmetiˇcno zaporedje, zapišemo njegovo splošno
formulo:
an = a1 + (n − 1)d
Ker poznamo drugi in tretji cˇ len, v splošni cˇ len aritmetiˇcnega zaporedja
vsatvimo n = 2 in n = 3.
n=2
a2 = a1 + (2 − 1)d = a1 + d
Ker vemo, da je a2 = 5, zapišemo:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
43 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a2 = 5
a3 = 7
Ker vemo, da gre za aritmetiˇcno zaporedje, zapišemo njegovo splošno
formulo:
an = a1 + (n − 1)d
Ker poznamo drugi in tretji cˇ len, v splošni cˇ len aritmetiˇcnega zaporedja
vsatvimo n = 2 in n = 3.
n=2
a2 = a1 + (2 − 1)d = a1 + d
Ker vemo, da je a2 = 5, zapišemo:
5 = a1 + d
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
43 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a2 = 5
a3 = 7
Ker vemo, da gre za aritmetiˇcno zaporedje, zapišemo njegovo splošno
formulo:
an = a1 + (n − 1)d
Ker poznamo drugi in tretji cˇ len, v splošni cˇ len aritmetiˇcnega zaporedja
vsatvimo n = 2 in n = 3.
n=2
n=3
a2 = a1 + (2 − 1)d = a1 + d
Ker vemo, da je a2 = 5, zapišemo:
5 = a1 + d
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
43 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a2 = 5
a3 = 7
Ker vemo, da gre za aritmetiˇcno zaporedje, zapišemo njegovo splošno
formulo:
an = a1 + (n − 1)d
Ker poznamo drugi in tretji cˇ len, v splošni cˇ len aritmetiˇcnega zaporedja
vsatvimo n = 2 in n = 3.
n=2
n=3
a2 = a1 + (2 − 1)d = a1 + d
a3 = a1 + (3 − 1)d = a1 + 2d
Ker vemo, da je a2 = 5, zapišemo:
5 = a1 + d
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
43 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a2 = 5
a3 = 7
Ker vemo, da gre za aritmetiˇcno zaporedje, zapišemo njegovo splošno
formulo:
an = a1 + (n − 1)d
Ker poznamo drugi in tretji cˇ len, v splošni cˇ len aritmetiˇcnega zaporedja
vsatvimo n = 2 in n = 3.
n=2
n=3
a2 = a1 + (2 − 1)d = a1 + d
a3 = a1 + (3 − 1)d = a1 + 2d
Ker vemo, da je a2 = 5, zapišemo:
5 = a1 + d
Ker vemo, da je a3 = 7, zapišemo:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
43 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a2 = 5
a3 = 7
Ker vemo, da gre za aritmetiˇcno zaporedje, zapišemo njegovo splošno
formulo:
an = a1 + (n − 1)d
Ker poznamo drugi in tretji cˇ len, v splošni cˇ len aritmetiˇcnega zaporedja
vsatvimo n = 2 in n = 3.
n=2
n=3
a2 = a1 + (2 − 1)d = a1 + d
a3 = a1 + (3 − 1)d = a1 + 2d
Ker vemo, da je a2 = 5, zapišemo:
5 = a1 + d
Ker vemo, da je a3 = 7, zapišemo:
7 = a1 + 2d
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
43 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Dobimo torej sistem dveh enaˇcb z dvema neznankama.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
44 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Dobimo torej sistem dveh enaˇcb z dvema neznankama.
5
7
=
=
a1
a1
+
+
d
2d
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
44 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Dobimo torej sistem dveh enaˇcb z dvema neznankama.
5
7
=
=
a1
a1
+
+
d
2d
/·(−1)
Prvo enaˇcbo npr. pomnožimo z −1 in prištejemo k drugi:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
44 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Dobimo torej sistem dveh enaˇcb z dvema neznankama.
5
7
=
=
a1
a1
+
+
d
2d
/·(−1)
Prvo enaˇcbo npr. pomnožimo z −1 in prištejemo k drugi:
−5
7
2
=
=
=
−a1
a1
–
+
d
2d
d
Dobimo torej d = 2.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
44 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Dobimo torej sistem dveh enaˇcb z dvema neznankama.
5
7
=
=
a1
a1
+
+
d
2d
Prvo enaˇcbo npr. pomnožimo z −1 in prištejemo k drugi:
−5
7
2
=
=
=
−a1
a1
–
+
d
2d
d
Dobimo torej d = 2.
Dobljeni d vstavimo npr. v prvo enaˇcbo in dobimo:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
44 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Dobimo torej sistem dveh enaˇcb z dvema neznankama.
5
7
=
=
a1
a1
+
+
d
2d
Prvo enaˇcbo npr. pomnožimo z −1 in prištejemo k drugi:
−5
7
2
=
=
=
−a1
a1
–
+
d
2d
d
Dobimo torej d = 2.
Dobljeni d vstavimo npr. v prvo enaˇcbo in dobimo: 5 = a1 + 2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
44 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Dobimo torej sistem dveh enaˇcb z dvema neznankama.
5
7
=
=
a1
a1
+
+
d
2d
Prvo enaˇcbo npr. pomnožimo z −1 in prištejemo k drugi:
−5
7
2
=
=
=
−a1
a1
–
+
d
2d
d
Dobimo torej d = 2.
Dobljeni d vstavimo npr. v prvo enaˇcbo in dobimo: 5 = a1 + 2
oziroma a1 = 3
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
44 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Iskani splošni cˇ len aritmetiˇcnega zaporedja je torej enak:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
45 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Iskani splošni cˇ len aritmetiˇcnega zaporedja je torej enak:
an = 3 + (n − 1) · 2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
45 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Iskani splošni cˇ len aritmetiˇcnega zaporedja je torej enak:
an = 3 + (n − 1) · 2
Splošni cˇ len še poenostavimo (zmnožimo in seštejemo):
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
45 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Iskani splošni cˇ len aritmetiˇcnega zaporedja je torej enak:
an = 3 + (n − 1) · 2
Splošni cˇ len še poenostavimo (zmnožimo in seštejemo):
an = 3 + 2n − 2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
45 / 60
Naloga 5
Naloga 5a - išˇcemo splošni cˇ len
Iskani splošni cˇ len aritmetiˇcnega zaporedja je torej enak:
an = 3 + (n − 1) · 2
Splošni cˇ len še poenostavimo (zmnožimo in seštejemo):
an = 3 + 2n − 2
an = 2n + 1
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
splošni cˇ len
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
45 / 60
Naloga 5
Naloga 5b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Prve tri cˇ lene torej že poznamo
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
46 / 60
Naloga 5
Naloga 5b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Prve tri cˇ lene torej že poznamo
a1 = 3
a2 = 5
a3 = 7
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
46 / 60
Naloga 5
Naloga 5b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Prve tri cˇ lene torej že poznamo
a1 = 3
a2 = 5
a3 = 7
Izraˇcunajmo še cˇ etrti in peti cˇ len
zaporedja an = 2n + 1:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
46 / 60
Naloga 5
Naloga 5b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Prve tri cˇ lene torej že poznamo
a1 = 3
a2 = 5
a3 = 7
Izraˇcunajmo še cˇ etrti in peti cˇ len
zaporedja an = 2n + 1:
a4 = 2 · 4 + 1 = 9
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
46 / 60
Naloga 5
Naloga 5b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Prve tri cˇ lene torej že poznamo
a1 = 3
a2 = 5
a3 = 7
Izraˇcunajmo še cˇ etrti in peti cˇ len
zaporedja an = 2n + 1:
a4 = 2 · 4 + 1 = 9
a5 = 2 · 5 + 1 = 11
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
46 / 60
Naloga 5
Graf prvih petih cˇ lenov
Naloga 5b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Prve tri cˇ lene torej že poznamo
a1 = 3
a2 = 5
a3 = 7
Izraˇcunajmo še cˇ etrti in peti cˇ len
zaporedja an = 2n + 1:
a4 = 2 · 4 + 1 = 9
a5 = 2 · 5 + 1 = 11
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
46 / 60
Naloga 5
Graf prvih petih cˇ lenov
Naloga 5b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Prve tri cˇ lene torej že poznamo
an
− 12
− 11
− 10
a1 = 3
a2 = 5
a3 = 7
− 9
− 8
− 7
− 6
− 5
Izraˇcunajmo še cˇ etrti in peti cˇ len
zaporedja an = 2n + 1:
a4 = 2 · 4 + 1 = 9
a5 = 2 · 5 + 1 = 11
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
− 4
− 3
− 2
− 1
|
1
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
|
2
|
3
|
4
|
5
FOV 2013/14
n
46 / 60
Naloga 5
Naloga 5c - kateri cˇ len zaporedja je enak 113?
Kot vemo je splošni cˇ len enak an = 2n + 1.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
47 / 60
Naloga 5
Naloga 5c - kateri cˇ len zaporedja je enak 113?
Kot vemo je splošni cˇ len enak an = 2n + 1.
Namesto an vstavimo 113 in izrazimo n.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
47 / 60
Naloga 5
Naloga 5c - kateri cˇ len zaporedja je enak 113?
Kot vemo je splošni cˇ len enak an = 2n + 1.
Namesto an vstavimo 113 in izrazimo n.
113 = 2n + 1
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
47 / 60
Naloga 5
Naloga 5c - kateri cˇ len zaporedja je enak 113?
Kot vemo je splošni cˇ len enak an = 2n + 1.
Namesto an vstavimo 113 in izrazimo n.
113 = 2n + 1
113 − 1 = 2n
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
47 / 60
Naloga 5
Naloga 5c - kateri cˇ len zaporedja je enak 113?
Kot vemo je splošni cˇ len enak an = 2n + 1.
Namesto an vstavimo 113 in izrazimo n.
113 = 2n + 1
113 − 1 = 2n
112 = 2n
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
47 / 60
Naloga 5
Naloga 5c - kateri cˇ len zaporedja je enak 113?
Kot vemo je splošni cˇ len enak an = 2n + 1.
Namesto an vstavimo 113 in izrazimo n.
113 = 2n + 1
113 − 1 = 2n
112 = 2n / : 2
Enaˇcbo delimo z 2 in dobimo:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
47 / 60
Naloga 5
Naloga 5c - kateri cˇ len zaporedja je enak 113?
Kot vemo je splošni cˇ len enak an = 2n + 1.
Namesto an vstavimo 113 in izrazimo n.
113 = 2n + 1
113 − 1 = 2n
112 = 2n / : 2
Enaˇcbo delimo z 2 in dobimo:
n = 56
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
47 / 60
Naloga 5
Naloga 5c - kateri cˇ len zaporedja je enak 113?
Kot vemo je splošni cˇ len enak an = 2n + 1.
Namesto an vstavimo 113 in izrazimo n.
113 = 2n + 1
113 − 1 = 2n
112 = 2n / : 2
Enaˇcbo delimo z 2 in dobimo:
n = 56
Odgovor: Šestinpetdeseti cˇ len je enak 113 oz. a56 = 113
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
47 / 60
Naloga 6
Naloga 6
Zaporedje je dano z rekurzivno zvezo
a1 = 5, an = an−1 − 3 za n ≥ 2 .
Zapišite prvih pet cˇ lenov in splošni cˇ len. Kako imenujemo tako
zaporedje?
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
48 / 60
Naloga 6
Išˇcemo prvih pet cˇ lenov. . .
Prvi cˇ len poznamo iz podatkov naloge, in sicer
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
49 / 60
Naloga 6
Išˇcemo prvih pet cˇ lenov. . .
Prvi cˇ len poznamo iz podatkov naloge, in sicer
a1 = 5
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
49 / 60
Naloga 6
Išˇcemo prvih pet cˇ lenov. . .
Prvi cˇ len poznamo iz podatkov naloge, in sicer
a1 = 5
Drugi cˇ len (in vse naslednje) izraˇcunamo s pomoˇcjo rekurzivne zveze
an = an−1 − 3.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
49 / 60
Naloga 6
Išˇcemo prvih pet cˇ lenov. . .
Prvi cˇ len poznamo iz podatkov naloge, in sicer
a1 = 5
Drugi cˇ len (in vse naslednje) izraˇcunamo s pomoˇcjo rekurzivne zveze
an = an−1 − 3.
a2 = a2−1 − 3 = a1 − 3 = 5 − 3 = 2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
49 / 60
Naloga 6
Išˇcemo prvih pet cˇ lenov. . .
Prvi cˇ len poznamo iz podatkov naloge, in sicer
a1 = 5
Drugi cˇ len (in vse naslednje) izraˇcunamo s pomoˇcjo rekurzivne zveze
an = an−1 − 3.
a2 = a2−1 − 3 = a1 − 3 = 5 − 3 = 2
a3 = a3−1 − 3 = a2 − 3 = 2 − 3 = −1
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
49 / 60
Naloga 6
Išˇcemo prvih pet cˇ lenov. . .
Prvi cˇ len poznamo iz podatkov naloge, in sicer
a1 = 5
Drugi cˇ len (in vse naslednje) izraˇcunamo s pomoˇcjo rekurzivne zveze
an = an−1 − 3.
a2 = a2−1 − 3 = a1 − 3 = 5 − 3 = 2
a3 = a3−1 − 3 = a2 − 3 = 2 − 3 = −1
a4 = a4−1 − 3 = a3 − 3 = −1 − 3 = −4
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
49 / 60
Naloga 6
Išˇcemo prvih pet cˇ lenov. . .
Prvi cˇ len poznamo iz podatkov naloge, in sicer
a1 = 5
Drugi cˇ len (in vse naslednje) izraˇcunamo s pomoˇcjo rekurzivne zveze
an = an−1 − 3.
a2 = a2−1 − 3 = a1 − 3 = 5 − 3 = 2
a3 = a3−1 − 3 = a2 − 3 = 2 − 3 = −1
a4 = a4−1 − 3 = a3 − 3 = −1 − 3 = −4
a5 = a5−1 − 3 = a4 − 3 = −4 − 3 = −7
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
49 / 60
Naloga 6
Išˇcemo prvih pet cˇ lenov. . .
Prvi cˇ len poznamo iz podatkov naloge, in sicer
a1 = 5
Drugi cˇ len (in vse naslednje) izraˇcunamo s pomoˇcjo rekurzivne zveze
an = an−1 − 3.
a2 = a2−1 − 3 = a1 − 3 = 5 − 3 = 2
a3 = a3−1 − 3 = a2 − 3 = 2 − 3 = −1
a4 = a4−1 − 3 = a3 − 3 = −1 − 3 = −4
a5 = a5−1 − 3 = a4 − 3 = −4 − 3 = −7
Opazimo, da je razlika (ali diferenca) med sosednjimi cˇ leni konstantna,
torej imamo aritmetiˇcno zaporedje.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
49 / 60
Naloga 6
Poišˇcimo še splošni cˇ len. . .
Splošni cˇ len aritmetiˇcnega je enak an = a1 + (n − 1)d
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
50 / 60
Naloga 6
Poišˇcimo še splošni cˇ len. . .
Splošni cˇ len aritmetiˇcnega je enak an = a1 + (n − 1)d
Prvi cˇ len že poznamo, a1 = 5.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
50 / 60
Naloga 6
Poišˇcimo še splošni cˇ len. . .
Splošni cˇ len aritmetiˇcnega je enak an = a1 + (n − 1)d
Prvi cˇ len že poznamo, a1 = 5.
Izraˇcunati moramo še diferenco, npr.:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
50 / 60
Naloga 6
Poišˇcimo še splošni cˇ len. . .
Splošni cˇ len aritmetiˇcnega je enak an = a1 + (n − 1)d
Prvi cˇ len že poznamo, a1 = 5.
Izraˇcunati moramo še diferenco, npr.:
d = a2 − a1 = 2 − 5 = −3
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
50 / 60
Naloga 6
Poišˇcimo še splošni cˇ len. . .
Splošni cˇ len aritmetiˇcnega je enak an = a1 + (n − 1)d
Prvi cˇ len že poznamo, a1 = 5.
Izraˇcunati moramo še diferenco, npr.:
d = a2 − a1 = 2 − 5 = −3
Splošni cˇ len je torej enak:
an = a1 + (n − 1)d = 5 + (n − 1) · (−3)
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
50 / 60
Naloga 6
Poišˇcimo še splošni cˇ len. . .
Splošni cˇ len aritmetiˇcnega je enak an = a1 + (n − 1)d
Prvi cˇ len že poznamo, a1 = 5.
Izraˇcunati moramo še diferenco, npr.:
d = a2 − a1 = 2 − 5 = −3
Splošni cˇ len je torej enak:
an = a1 + (n − 1)d = 5 + (n − 1) · (−3) = 5 − 3n + 3
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
50 / 60
Naloga 6
Poišˇcimo še splošni cˇ len. . .
Splošni cˇ len aritmetiˇcnega je enak an = a1 + (n − 1)d
Prvi cˇ len že poznamo, a1 = 5.
Izraˇcunati moramo še diferenco, npr.:
d = a2 − a1 = 2 − 5 = −3
Splošni cˇ len je torej enak:
an = a1 + (n − 1)d = 5 + (n − 1) · (−3) = 5 − 3n + 3
an = 8 − 3n
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
splošni cˇ len
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
50 / 60
Naloga 7
Naloga 7
Tretji cˇ len geometrijskega zaporedja je 2, peti pa 81 .
a) Poišˇci splošni cˇ len zaporedja.
b) Nariši prvih 5 cˇ lenov zaporedja.
c) Poišˇci deseti cˇ len zaporedja?
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
51 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
52 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a3 = 2
a5 = 18
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
52 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a3 = 2
a5 = 18
Ker vemo, da gre za geometrijsko zaporedje, zapišemo njegovo
splošno formulo:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
52 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a3 = 2
a5 = 18
Ker vemo, da gre za geometrijsko zaporedje, zapišemo njegovo
splošno formulo:
an = a1 k n−1
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
52 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a3 = 2
a5 = 18
Ker vemo, da gre za geometrijsko zaporedje, zapišemo njegovo
splošno formulo:
an = a1 k n−1
Ker poznamo tretji in peti cˇ len, v splošni cˇ len geometrijskega
zaporedja vsatvimo n = 3 in n = 5.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
52 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a3 = 2
a5 = 18
Ker vemo, da gre za geometrijsko zaporedje, zapišemo njegovo
splošno formulo:
an = a1 k n−1
Ker poznamo tretji in peti cˇ len, v splošni cˇ len geometrijskega
zaporedja vsatvimo n = 3 in n = 5.
n=3
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
52 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a3 = 2
a5 = 18
Ker vemo, da gre za geometrijsko zaporedje, zapišemo njegovo
splošno formulo:
an = a1 k n−1
Ker poznamo tretji in peti cˇ len, v splošni cˇ len geometrijskega
zaporedja vsatvimo n = 3 in n = 5.
n=3
a3 = a1 k 3−1 = a1 k 2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
52 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a3 = 2
a5 = 18
Ker vemo, da gre za geometrijsko zaporedje, zapišemo njegovo
splošno formulo:
an = a1 k n−1
Ker poznamo tretji in peti cˇ len, v splošni cˇ len geometrijskega
zaporedja vsatvimo n = 3 in n = 5.
n=3
a3 = a1 k 3−1 = a1 k 2
Ker vemo, da je a3 = 2, zapišemo:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
52 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a3 = 2
a5 = 18
Ker vemo, da gre za geometrijsko zaporedje, zapišemo njegovo
splošno formulo:
an = a1 k n−1
Ker poznamo tretji in peti cˇ len, v splošni cˇ len geometrijskega
zaporedja vsatvimo n = 3 in n = 5.
n=3
a3 = a1 k 3−1 = a1 k 2
Ker vemo, da je a3 = 2, zapišemo:
2 = a1 k 2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
52 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a3 = 2
a5 = 18
Ker vemo, da gre za geometrijsko zaporedje, zapišemo njegovo
splošno formulo:
an = a1 k n−1
Ker poznamo tretji in peti cˇ len, v splošni cˇ len geometrijskega
zaporedja vsatvimo n = 3 in n = 5.
n=5
n=3
a3 = a1 k 3−1 = a1 k 2
Ker vemo, da je a3 = 2, zapišemo:
2 = a1 k 2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
52 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a3 = 2
a5 = 18
Ker vemo, da gre za geometrijsko zaporedje, zapišemo njegovo
splošno formulo:
an = a1 k n−1
Ker poznamo tretji in peti cˇ len, v splošni cˇ len geometrijskega
zaporedja vsatvimo n = 3 in n = 5.
n=3
n=5
a3 = a1 k 3−1 = a1 k 2
a5 = a1 k 5−1 = a1 k 4
Ker vemo, da je a3 = 2, zapišemo:
2 = a1 k 2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
52 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a3 = 2
a5 = 18
Ker vemo, da gre za geometrijsko zaporedje, zapišemo njegovo
splošno formulo:
an = a1 k n−1
Ker poznamo tretji in peti cˇ len, v splošni cˇ len geometrijskega
zaporedja vsatvimo n = 3 in n = 5.
n=3
n=5
a3 = a1 k 3−1 = a1 k 2
a5 = a1 k 5−1 = a1 k 4
Ker vemo, da je a3 = 2, zapišemo:
2 = a1 k 2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Ker vemo, da je a5 = 18 , zapišemo:
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
52 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Izpišemo podatke:
a3 = 2
a5 = 18
Ker vemo, da gre za geometrijsko zaporedje, zapišemo njegovo
splošno formulo:
an = a1 k n−1
Ker poznamo tretji in peti cˇ len, v splošni cˇ len geometrijskega
zaporedja vsatvimo n = 3 in n = 5.
n=3
n=5
a3 = a1 k 3−1 = a1 k 2
a5 = a1 k 5−1 = a1 k 4
Ker vemo, da je a3 = 2, zapišemo:
2 = a1 k 2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Ker vemo, da je a5 = 18 , zapišemo:
1
4
8 = a1 k
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
52 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Dobimo torej sistem dveh enaˇcb z dvema neznankama.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
53 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Dobimo torej sistem dveh enaˇcb z dvema neznankama.
2
1
8
=
=
a1 k 2
a1 k 4
Iz prve enaˇcbe izrazimo a1
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
53 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Dobimo torej sistem dveh enaˇcb z dvema neznankama.
2
1
8
=
=
a1 k 2
a1 k 4
→
a1 =
2
k2
Iz prve enaˇcbe izrazimo a1 in vstavimo v drugo:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
53 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Dobimo torej sistem dveh enaˇcb z dvema neznankama.
2
1
8
=
=
a1 k 2
a1 k 4
→
a1 =
2
k2
Iz prve enaˇcbe izrazimo a1 in vstavimo v drugo:
1
2
= 2 k4
8
k
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
53 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Dobimo torej sistem dveh enaˇcb z dvema neznankama.
2
1
8
=
=
a1 k 2
a1 k 4
→
a1 =
2
k2
Iz prve enaˇcbe izrazimo a1 in vstavimo v drugo:
1
2
= 2 k4
8
k
Dobimo torej
1
8
= 2k 2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
53 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Dobimo torej sistem dveh enaˇcb z dvema neznankama.
2
1
8
=
=
a1 k 2
a1 k 4
→
a1 =
2
k2
Iz prve enaˇcbe izrazimo a1 in vstavimo v drugo:
1
2
= 2 k4
8
k
Dobimo torej
1
8
= 2k 2 / : 2
Enaˇcbo delimo z 2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
53 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Dobimo torej sistem dveh enaˇcb z dvema neznankama.
2
1
8
=
=
a1 k 2
a1 k 4
→
a1 =
2
k2
Iz prve enaˇcbe izrazimo a1 in vstavimo v drugo:
1
2
= 2 k4
8
k
Dobimo torej
1
8
= 2k 2 / : 2
Enaˇcbo delimo z 2 in dobimo
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
1
16
= k2
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
53 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Dobimo torej sistem dveh enaˇcb z dvema neznankama.
2
1
8
=
=
a1 k 2
a1 k 4
→
a1 =
2
k2
Iz prve enaˇcbe izrazimo a1 in vstavimo v drugo:
1
2
= 2 k4
8
k
Dobimo torej
1
8
= 2k 2 / : 2
Enaˇcbo delimo z 2 in dobimo
1
16
= k2
Zgornjo enaˇcbo korenimo in dobimo
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
53 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Dobimo torej sistem dveh enaˇcb z dvema neznankama.
2
1
8
=
=
a1 k 2
a1 k 4
→
a1 =
2
k2
Iz prve enaˇcbe izrazimo a1 in vstavimo v drugo:
1
2
= 2 k4
8
k
Dobimo torej
1
8
= 2k 2 / : 2
Enaˇcbo delimo z 2 in dobimo
1
16
= k2
Zgornjo
qenaˇcbo korenimo in dobimo
1
= ± 14
k = ± 16
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
53 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Za koliˇcnik k dobimo torej dve rešitvi: k1 =
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
1
4
in k2 = − 41 .
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
54 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Za koliˇcnik k dobimo torej dve rešitvi: k1 =
1
4
in k2 = − 41 .
Izraˇcunati moramo še prvi cˇ len:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
54 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Za koliˇcnik k dobimo torej dve rešitvi: k1 =
1
4
in k2 = − 41 .
Izraˇcunati moramo še prvi cˇ len:
2
2
2
a1 = 2 =
= 1 = 32
2
k
±1
16
4
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
54 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Za koliˇcnik k dobimo torej dve rešitvi: k1 =
1
4
in k2 = − 41 .
Izraˇcunati moramo še prvi cˇ len:
2
2
2
a1 = 2 =
= 1 = 32
2
k
±1
16
4
Torej dobimo tudi dve geometrijski zaporedji:
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
54 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Za koliˇcnik k dobimo torej dve rešitvi: k1 =
1
4
in k2 = − 41 .
Izraˇcunati moramo še prvi cˇ len:
2
2
2
a1 = 2 =
= 1 = 32
2
k
±1
16
4
Torej dobimo tudi dve geometrijski zaporedji:
n−1
1
1
,
an = 32 ·
4
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
54 / 60
Naloga 7
Naloga 7a - išˇcemo splošni cˇ len
Za koliˇcnik k dobimo torej dve rešitvi: k1 =
1
4
in k2 = − 41 .
Izraˇcunati moramo še prvi cˇ len:
2
2
2
a1 = 2 =
= 1 = 32
2
k
±1
16
4
Torej dobimo tudi dve geometrijski zaporedji:
n−1
1
1
,
an = 32 ·
4
1 n−1
2
an = 32 · −
.
4
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
54 / 60
Naloga 7
Naloga 7b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Za vsako od dobljenih zaporedij
izraˇcunajmo prvih pet cˇ lenov.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
55 / 60
Naloga 7
Naloga 7b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Za vsako od dobljenih zaporedij
izraˇcunajmo prvih pet cˇ lenov.
Naj bo najprej k = 41 :
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
55 / 60
Naloga 7
Naloga 7b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Za vsako od dobljenih zaporedij
izraˇcunajmo prvih pet cˇ lenov.
Naj bo najprej k = 41 :
a1 = 32
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
55 / 60
Naloga 7
Naloga 7b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Za vsako od dobljenih zaporedij
izraˇcunajmo prvih pet cˇ lenov.
Naj bo najprej k = 41 :
a1 = 32
a2 = 32 ·
1 2−1
4
= 32 ·
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
1
4
=8
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
55 / 60
Naloga 7
Naloga 7b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Za vsako od dobljenih zaporedij
izraˇcunajmo prvih pet cˇ lenov.
Naj bo najprej k = 41 :
a1 = 32
a2 = 32 ·
a3 = 32 ·
1 2−1
4
1 3−1
4
= 32 ·
= 32 ·
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
1
4 =8
1
16 = 2
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
55 / 60
Naloga 7
Naloga 7b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Za vsako od dobljenih zaporedij
izraˇcunajmo prvih pet cˇ lenov.
Naj bo najprej k = 41 :
a1 = 32
a2 = 32 ·
a3 = 32 ·
a4 = 32 ·
1 2−1
4
1 3−1
4
1 4−1
4
= 32 ·
= 32 ·
= 32 ·
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
1
4 =8
1
16 = 2
1
1
64 = 2
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
55 / 60
Naloga 7
Naloga 7b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Za vsako od dobljenih zaporedij
izraˇcunajmo prvih pet cˇ lenov.
Naj bo najprej k = 41 :
a1 = 32
a2 = 32 ·
a3 = 32 ·
a4 = 32 ·
a5 = 32 ·
1 2−1
4
1 3−1
4
1 4−1
4
1 5−1
4
= 32 ·
= 32 ·
= 32 ·
= 32 ·
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
1
4 =8
1
16 = 2
1
1
64 = 2
1
1
256 = 8
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
55 / 60
Naloga 7
Naloga 7b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Za vsako od dobljenih zaporedij
izraˇcunajmo prvih pet cˇ lenov.
Naj bo najprej k = 41 :
a1 = 32
a2 = 32 ·
a3 = 32 ·
a4 = 32 ·
a5 = 32 ·
1 2−1
4
1 3−1
4
1 4−1
4
1 5−1
4
= 32 ·
= 32 ·
= 32 ·
= 32 ·
1
4 =8
1
16 = 2
1
1
64 = 2
1
1
256 = 8
Tretji in peti cˇ len sta res taka, kot
sta bila dana v podatkih.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
55 / 60
Naloga 7
Naloga 7b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Graf prvih petih cˇ lenov
Za vsako od dobljenih zaporedij
izraˇcunajmo prvih pet cˇ lenov.
Naj bo najprej k = 41 :
a1 = 32
a2 = 32 ·
a3 = 32 ·
a4 = 32 ·
a5 = 32 ·
1 2−1
4
1 3−1
4
1 4−1
4
1 5−1
4
= 32 ·
= 32 ·
= 32 ·
= 32 ·
1
4 =8
1
16 = 2
1
1
64 = 2
1
1
256 = 8
Tretji in peti cˇ len sta res taka, kot
sta bila dana v podatkih.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
55 / 60
Naloga 7
Naloga 7b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Za vsako od dobljenih zaporedij
izraˇcunajmo prvih pet cˇ lenov.
Naj bo najprej k = 41 :
a1 = 32
a2 = 32 ·
a3 = 32 ·
a4 = 32 ·
a5 = 32 ·
Graf prvih petih cˇ lenov
an
− 30
− 25
− 20
1 2−1
4
1 3−1
4
1 4−1
4
1 5−1
4
= 32 ·
= 32 ·
= 32 ·
= 32 ·
1
4 =8
1
16 = 2
1
1
64 = 2
1
1
256 = 8
Tretji in peti cˇ len sta res taka, kot
sta bila dana v podatkih.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
− 15
− 10
− 5
|
1
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
|
2
|
3
|
4
|
5
FOV 2013/14
n
55 / 60
Naloga 7
Naloga 7b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Naj bo sedaj k = − 14 :
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
56 / 60
Naloga 7
Naloga 7b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Naj bo sedaj k = − 14 :
a1 = 32
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
56 / 60
Naloga 7
Naloga 7b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Naj bo sedaj k = − 14 :
a1 = 32
2−1
= 32 · − 14 = −8
a2 = 32 · − 41
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
56 / 60
Naloga 7
Naloga 7b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Naj bo sedaj k = − 14 :
a1 = 32
2−1
= 32 · − 14 = −8
a2 = 32 · − 41
3−1
1
a3 = 32 · − 41
= 32 · 16
=2
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
56 / 60
Naloga 7
Naloga 7b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Naj bo sedaj k = − 14 :
a1 = 32
2−1
= 32 · − 14 = −8
a2 = 32 · − 41
3−1
1
a3 = 32 · − 41
= 32 · 16
=2
1
1 4−1
= 32 · − 64 = − 21
a4 = 32 · − 4
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
56 / 60
Naloga 7
Naloga 7b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Naj bo sedaj k = − 14 :
a1 = 32
2−1
= 32 · − 14 = −8
a2 = 32 · − 41
3−1
1
a3 = 32 · − 41
= 32 · 16
=2
1
1 4−1
= 32 · − 64 = − 21
a4 = 32 · − 4
5−1
1
a5 = 32 · − 41
= 81
= 32 · 256
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
56 / 60
Naloga 7
Naloga 7b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Naj bo sedaj k = − 14 :
a1 = 32
2−1
= 32 · − 14 = −8
a2 = 32 · − 41
3−1
1
a3 = 32 · − 41
= 32 · 16
=2
1
1 4−1
= 32 · − 64 = − 21
a4 = 32 · − 4
5−1
1
a5 = 32 · − 41
= 81
= 32 · 256
Tretji in peti cˇ len sta res taka, kot sta
bila dana v podatkih.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
56 / 60
Naloga 7
Graf prvih petih cˇ lenov
Naloga 7b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
Naj bo sedaj k = − 14 :
a1 = 32
2−1
= 32 · − 14 = −8
a2 = 32 · − 41
3−1
1
a3 = 32 · − 41
= 32 · 16
=2
1
1 4−1
= 32 · − 64 = − 21
a4 = 32 · − 4
5−1
1
a5 = 32 · − 41
= 81
= 32 · 256
Tretji in peti cˇ len sta res taka, kot sta
bila dana v podatkih.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
56 / 60
Naloga 7
Graf prvih petih cˇ lenov
Naloga 7b - prvih pet cˇ lenov
zaporedja
an
− 30
Naj bo sedaj k = − 14 :
− 25
a1 = 32
2−1
= 32 · − 14 = −8
a2 = 32 · − 41
3−1
1
a3 = 32 · − 41
= 32 · 16
=2
1
1 4−1
= 32 · − 64 = − 21
a4 = 32 · − 4
5−1
1
a5 = 32 · − 41
= 81
= 32 · 256
Tretji in peti cˇ len sta res taka, kot sta
bila dana v podatkih.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
− 20
− 15
− 10
− 5
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
n
−−5
−− 10
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
56 / 60
Naloga 7
Naloga 7c - išˇcemo deseti cˇ len zaporedja
1
n−1
1
V prvem primeru, kjer je an = 32 ·
4
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
57 / 60
Naloga 7
Naloga 7c - išˇcemo deseti cˇ len zaporedja
1
n−1
1
V prvem primeru, kjer je an = 32 ·
4
je deseti cˇ len enak
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
57 / 60
Naloga 7
Naloga 7c - išˇcemo deseti cˇ len zaporedja
1
n−1
1
V prvem primeru, kjer je an = 32 ·
4
je deseti cˇ len enak
10−1
1
1
1
a10 = 32 ·
= 32 ·
=
4
262144
8192
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
57 / 60
Naloga 7
Naloga 7c - išˇcemo deseti cˇ len zaporedja
1
2
n−1
1
V prvem primeru, kjer je an = 32 ·
4
je deseti cˇ len enak
10−1
1
1
1
a10 = 32 ·
= 32 ·
=
4
262144
8192
1 n−1
V drugem primeru, kjer je an = 32 · −
4
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
57 / 60
Naloga 7
Naloga 7c - išˇcemo deseti cˇ len zaporedja
1
2
n−1
1
V prvem primeru, kjer je an = 32 ·
4
je deseti cˇ len enak
10−1
1
1
1
a10 = 32 ·
= 32 ·
=
4
262144
8192
1 n−1
V drugem primeru, kjer je an = 32 · −
4
je deseti cˇ len enak
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
57 / 60
Naloga 7
Naloga 7c - išˇcemo deseti cˇ len zaporedja
1
2
n−1
1
V prvem primeru, kjer je an = 32 ·
4
je deseti cˇ len enak
10−1
1
1
1
a10 = 32 ·
= 32 ·
=
4
262144
8192
1 n−1
V drugem primeru, kjer je an = 32 · −
4
je deseti cˇ len enak
1 10−1
1
1
a10 = 32 · −
= 32 · −
=−
4
262144
8192
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
57 / 60
Naloge za samostojno reševanje I
n
1. Poišˇci stekališˇca zaporedja an = 2n+1
n + (−1) . Pomagaj si s
predstavitvijo cˇ lenov na številski premici.
2. Razišˇci konvergenco danih zaporedij:
2n2 − 4n + 1
,
n2 − 15
2n + 1
b) an = 2
,
n − 15
n3 − 4n2 + 11
c) an =
.
2n3 − 3n
a) an =
3. Poišˇci stekališˇca in limite danih zaporedij:
a) 1, −1, 2, −1, 1, . . .
d) 1, 21 , 3, 41 , 5, 16 , 7, 81 , . . .
b) 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
e) −2, 0, 1, −2, 0, 1, −2, . . .
c) an = 3 · (−1)n
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
1
,...
f) 25, 5, 1, 51 , 25
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
58 / 60
Naloge za samostojno reševanje II
n+1
. Koliko cˇ lenov se od
2n + 3
1
limitne vrednosti razlikuje za veˇc kot ε = 66
?
5. Prvi cˇ len aritmetiˇcnega zaporedja je 10, drugi pa 6.
4. Izraˇcunaj limito zaporedja an =
a) Poišˇci splošni cˇ len.
b) Nariši prvih pet cˇ lenov.
c) Ali je 38 cˇ len tega zaporedja? Kaj pa -38? Odgovore utemelji!
6. Zapiši primer konvergentnega in divergentnega geometrijskega
zaporedja.
1
.
7. Tretji cˇ len geometrijskega zaporedja je 3, peti pa 27
a) Poišˇci splošni cˇ len.
b) Nariši prvih pet cˇ lenov.
c) Izraˇcunajte 11 cˇ len.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
59 / 60
Naloge za samostojno reševanje III
8. Poišˇcite vsaj dve konvergentni zaporedji an za kateri velja, da je
limita enaka 3 ter da vsi cˇ leni ležijo na intervalu [2, 4].
9. Zapišite padajoˇce geometrijsko zaporedje an za katerega velja, da
je limita enaka 0 ter da vsi cˇ leni ležijo na intervalu [3, 0]
10. Zapišite primer navzgor neomejenega geometrijskega zaporedja
bn s spodnjo mejo 2.
11. Zapišite primer zaporedja z enim stekališˇcem, ki nima limite.
Rešitve nalog lahko objavite v spletni uˇcilnici.
doc. dr. Anja Žnidaršiˇc (FOV)
Stekališˇca in limita zaporedja, AZ in GZ
FOV 2013/14
60 / 60