1
Učni list 1: ZAPOREDJA
1. Dano je zaporedje s splošnim členom a n =
2n + 2
.
n+2
a) Izračunaj prvih pet členov zaporedja.
b) Nariši graf zaporedja.
c) Ali je število 179 člen tega zaporedja?
d) Koliko členov zaporedja leži na intervalu
2. Dano je zaporedje s splošnim členom a n = 2
a) Izračunaj prvih pet členov zaporedja.
b) Nariši graf zaporedja.
c) Izračunaj deseti člen zaporedja.
3. Dano je zaporedje s splošnim členom a n =
[
3
2
−n
,
21
11
]?
− 1.
2n
.
3n − 1
a) Zapiši člene a 4 , a 2 n , a n −1 , a n+2 .
b) Ugotovi, ali je zaporedje naraščajoče ali padajoče. Dokaz.
4n + 3
naraščajoče.
4. Dokaži, da je zaporedje a n =
n+3
n2 + 2
5. Dokaži, da je zaporedje an = 2
padajoče.
2n − 1
6. Zapiši prve tri člene aritmetičnega zaporedja, če je a7 = 16 in a31 = 64 .
7. V aritmetičnem zaporedju poznamo a2 + a3 + a4 = 6 in a3 + a4 + a5 = 18 . Izračunaj prvi člen, diferenco
in vsoto prvih 30 členov.
8. V aritmetičnem zaporedju je a2 ⋅ a3 = 60 in a1 + a4 = 16 . Izračunaj a15 .
9. Koliko začetnih členov aritmetičnega zaporedja z drugim členom -3 in petim členom 3 je treba sešteti,
da dobimo vsoto 475?
10. Določi x tako, da bodo števila x 2 + 1, 2 x + 6, 5x − 1 tvorila aritmetično zaporedje.
11. Določi x tako, da bodo števila log( x + 3), log(2 x + 1), log( 2 x +
1
4
) tvorila aritmetično zaporedje.
12. Določi prvi člen in diferenco aritmetičnega zaporedja, v katerem je a3 + 10 ⋅ s2 − 8a4 = 14 in
a1 + 2a2 − a3 = 4 .
(
)
13. Dokaži, da je zaporedje (a + x ) , a 2 + x 2 , (a − x ) , kjer je a realno število, aritmetično.
2
2
14. Izračunaj, koliko števil je treba vriniti med števili 0 in 12, da bi dobili aritmetično zaporedje z vsoto
150.
15. V geometrijskem zaporedju je tretji člen enak 8, peti pa 32. Izračunaj vsoto prvih 10 členov zaporedja.
16. V geometrijskem zaporedju velja a1 + a2 + a3 = 78 in a1 ⋅ a2 ⋅ a3 = 8000 . Poišči prvi člen in kvocient.
17. Rešitev enačbe 2 x + 1 − 2 x −1 = 6 je prvi, rešitev enačbe 32 x − 5:3x + 1 = 1 pa drugi člen geometrijskega
zaporedja. Koliko členov zaporedja je treba sešteti, da dobimo vsoto 728?
18. Prvi člen geometrijskega zaporedja je 5 in kvocient 3. Koliko členov zaporedja je treba sešteti, da
dobimo vsoto 16400?
19. V geometrijskem zaporedju je a1 + a3 = 15 in a2 + a4 = 30 . Določi a1 in q.
20. Določi x tako, da bodo števila 5x −1 , 25x + 1 , 54 x − 7 tvorila geometrijsko zaporedje.
21. Določi x tako, da bodo števila 2 x + 3, 8x − 2, 28 tvorila geometrijsko zaporedje.
22. Tri števila z vsoto 21 tvorijo končno aritmetično zaporedje. Če prvi dve števili povečamo za 1, tretje pa
za 5, dobimo končno geometrijsko zaporedje. Določi obe zaporedji.
23. Določi stekališča zaporedja:
n
(− 1)n
(− 1)n ⋅ n
c) an =
a) an =
b) an =
n +1
n
n+2
2
Učni list 1: ZAPOREDJA
24. Izračunaj limite zaporedij:
1⎞
⎛1 1
a) lim ⎜ + 2 + 3 ⎟
n →∞ ⎝ n
n
n ⎠
⎛ 3
⎞
b) lim ⎜ n + 3− n + 2e − n ⎟
n →∞ ⎝ 2
⎠
2n + 4
c) lim
n →∞ 3n − 1
3n 2 − 2n + 6
d) lim
n →∞
4n 2 + 1
n3 − n2
e) lim 3
n →∞ 5n + 6n 2 − n + 2
n3
f) lim
n →∞ 3n + 4
n
g) lim 2
n →∞ 3n + n − 1
h) lim
n →∞
i) lim
n →∞
j) lim
n 2 − 4n
2n + 5
5n 2 + 2
n
4n + 5
n − 3 + 2n
k) lim
n →∞
n 2 + 1 + 3n
n2 + n − n
n+4
l) lim
n →∞
3
m) lim
n →∞
5n 3 − n 2 + 3
6n − 1
n) lim ⎛⎜⎝ n 2 + n + 1 − n⎞⎟⎠
n →∞
o) lim
n →∞
n2 − 2 − n2 + 2
2
p) lim ⎛⎜⎝ 5n 2 + 2n − 5n 2 − 3n ⎞⎟⎠
n →∞
⎛ 1⎞
q) lim ⎜ 1 + ⎟
n →∞ ⎝
n⎠
n
⎛ 4⎞
r) lim ⎜ 1 + ⎟
n →∞ ⎝
n⎠
n
1⎞
⎛
s) lim ⎜ 1 + ⎟
n →∞ ⎝
2n ⎠
3n −1
n →∞
2n 2 + n + 4
25. Razišči naraščanje oziroma padanje zaporedij ter določi največjo spodnjo in najmanjšo zgornjo mejo
zaporedja:
2n + 3
1− n
a) 1 + 2 −n
b)
c)
2n
2n + 1
3n + 1
in ugotovi, od katerega člena naprej vključno z njim se vsi členi
26. Izračunaj limito zaporedja an =
2n + 1
zaporedja razlikujejo od limite za manj kot ε = 0,002 .
3− n
27. Izračunaj limito zaporedja an =
in ugotovi, od katerega člena naprej vključno z njim se vsi členi
3n + 1
zaporedja razlikujejo od limite za manj kot ε = 0,01 .
28. Izračunaj limito zaporedja a n =
več kot ε = 0,001 .
29. Izračunaj:
a) 1 + 2 + 3 + " + 50
b) 4 + 5 + 6 + " 102
2n 2 + 3
in ugotovi, koliko členov zaporedja se razlikuje od limite za
5n 2 − 2
c) 12 + 2 2 + 32 + " + 152
d) 112 + 12 2 + 132 + " + 202
30. Izračunaj:
1 1 1
1 1 1 2 1 4
c)
a)
+ + +"
+ + + + +
+"
4 8 16
2 3 4 9 8 27
3 +1
1
1
1
2 1
+
+ +"
b)
+ +"
d) +
2 4 4
3 −1
3 −1 2
31. Kvadratu s stranico a1 včrtamo krog, dobljenemu krogu včrtamo kvadrat, kvadratu krog, ... . Izrazi
vsoto obsegov vseh kvadratov in vsoto ploščin vseh krogov s stranico a1 .
32. Enakostraničnemu trikotniku s stranico a1 včrtaj trikotnik tako, da bodo njegova oglišča v
razpoloviščih prvega trikotnika, dobljenemu trikotniku zopet enako včrtaj trikotnik, ... . Izračunaj
vsoto obsegov vseh trikotnikov in vsoto ploščin vseh trikotnikov.
3
Učni list 1: ZAPOREDJA
Rešitve:
4 3 8 5 12
1. a) , , , ,
, ... c) Da. To je šestnajsti člen. d) 19 členov.
3 2 5 3 7
1
3
7
15
31
1023
2. a) − , − , − , − , − , ... c) a10 = −
,
2
4
8
16
32
1024
8
4n
2n − 2
2n + 4
3. a) a4 = , a2 n =
, an − 1 =
, an+ 2 =
,
11
6n − 1
3n − 4
3n + 5
−2
2n + 2
< 0 , padajoče zaporedje.
, an + 1 − a n =
b) an + 1 =
3n + 2
(3n + 2)(3n − 1)
4. an + 1 =
5. an + 1 =
6.
7.
8.
9.
4n + 7
9
> 0 , naraščajoče zaporedje.
, an + 1 − a n =
n+4
(n + 4)(n + 3)
− 5(2n + 1)
n 2 + 2n + 3
< 0 , padajoče zaporedje.
, an + 1 − an =
2
2
2n + 4n + 1
2n + 4 n + 1 2 n 2 − 1
(
)(
)
d = 2, a1 = 4, a2 = 6, a3 = 8 ,
a1 = −6, d = 4, s30 = 1560 ,
I. d = 4, a1 = 2, a15 = 58 , II. d = −4, a1 = 14, a15 = −42 ,
d = 2, a1 = −5, n = 25 ,
10. x1 = −4, x2 = 3 , 11. x1 = 1, x2 = 81 , 12. a1 = 2, d = 1 , 13. d = −2ax ,
14. Vriniti je potrebno 23 števil. d = 21 ,
15. I. q = 2, a1 = 2, s10 = 2046 , II. q = −2, a1 = 2, s10 = −682 ,
16. I. q = 25 , a1 = 8 , II. q = 25 , a1 = 50 ,
17. a1 = 2, a2 = 6, q = 3, n = 6 , 18. n = 8 ,
19. q = 2, a1 = 3 , 20. x = 12 , 21. x1 = 2, x2 = − 85 ,
22. I. d = −8, a1 = 15, AZ: 15, 7, − 1, GZ: 16, 8, 4 ,
II. d = 4, a1 = 3, AZ: 3, 7, 11, GZ: 4, 8, 16 ,
23. a) s = 0, b) s1 = −1, s2 = 1 , c) s = 1,
24. a) 0, b) 0, c)
2
3
, d)
3
4
1
5
3/ 2
, e)
4
, f) ∞ , g) 0, h)
1
2
, i)
5 , j) 2 2 , k)
1
2
, l) 0, m)
3
5
6
, n)
1
2
, o) 0,
p) 5 / 2 , q) e, r) e , s) e ,
25. a) padajoče zaporedje, m = 1, M = 23 , b) padajoče zaporedje, m = 1, M = 25 , c) padajoče zaporedje,
m = − 21 , M = 0 ,
26. a = 23 , n > 124.5 , Prvi člen v okolici limite je 125. člen in od njega vsi naprej.
27. a = − 13 , n > 110.7 , Prvi člen v okolici limite je 111. člen in od njega vsi naprej.
28. a = 25 , n ≤ 27.6 , Zunaj okolice limite leži 27 členov zaporedja.
29. a) 1275, b) 5247, c) 1240, d) 2485
30. a) 21 , b) 9 + 5 3 / 3 , c) 2, d) 2 + 2 / 2 ,
(
( )
)
31. o = 4a ( 2 + 2 ), S = (πa ) / 2 ,
32. o = 6a , S = ( a
3) / 3
KV .
1
1
KR .
2
1
2
1