Opazovalna Astrofizika
2. naloga: Gibanje kometa v Osonˇ
cju
Prvi Keplerjev zakon nam pove, da se masivni telesi zaradi medsebojne gravitacijske sile
drugo okoli drugega gibljeta po eliptiˇcni tirnici, ki jo opiˇsemo z enaˇcbo
r(θ) =
r0
,
1 + ε cos θ
(1)
kjer so r0 = a(1 − ε2 ), 0 ≤ ε < 1 sploˇsˇcenost tirnice in a velika polos elipse. Obhodni ˇcas
P lahko izrazˇcunamo s pomoˇcjo tretjega Keplerjevega zakona,
GM
a3
=
,
P2
4π 2
(2)
ˇce poznamo masi obeh teles (M = m1 + m2 ) in veliko polos tirnice. Kadar nas zanima
poloˇzaj kometa v odvisnosti od ˇcasa, nam enaˇcba (1) ne pomaga. Sploˇsne ˇcasovno odvisne
reˇsitve analitiˇcno ˇzal ni mogoˇce zapisati, lahko pa jo poiˇsˇcemo numeriˇcno. V sistemu Soncekomet lahko gravitacijski vpliv kometa brez slabe vesti zanemarimo in zapiˇsemo zgolj silo,
s katero Sonce privlaˇci komet,
F = m¨r = −
GM m r
,
r2 r
(3)
p
kjer smo z M oznaˇcili maso Sonca, z m maso kometa, r = x2 + y 2 + z 2 pa je velikost
vektorja oddaljenosti v koordinatnem sistemu s Soncem v izhodiˇsˇcu. Sistem enaˇcb lahko
napiˇsemo po koordinatah,
1
x
r3
1
y¨ = − 3 y
r
1
z¨ = − 3 z.
r
x
¨=−
(4)
V zadnjem koraku smo ˇze vpeljali nove enote, ki se jih pri numeriˇcnem reˇsevanju vedno
splaˇca, saj tako nimamo opravka s prevelikimi ali premajhnimi ˇstevili:
GM =1
1 a.u. =1
s
P =
(5)
4π 2 a3
= 2π → 1 leto =2π.
GM
Sistem treh enaˇcb (4) je drugega reda, zato za reˇsevanje potrebujemo ˇse ˇsest zaˇcetnih
pogojev: zaˇcetni poloˇzaj in zaˇcetno hitrost. Numeriˇcnega reˇsevanja takega problema se
lahko lotimo z vrsto razliˇcnih metod za reˇsevanje diferencialnih enaˇcb.
Naloga:
• Na spletni strani http://www.cfa.harvard.edu/iau/mpc.html najdeˇs seznam kometov. S seznama izberi poljuben periodiˇcen komet, ki ga je mogoˇce opazovati tudi
iz naˇsih krajev (δ ≥ −20◦ ). Poiˇsˇci njegove orbitalne elemente, ki jih potrebujeˇs za
izraˇcun tirnic.
• Reˇsi sistem diferencialnih enaˇcb z izbrano numeriˇcno metodo in izriˇsi tirnico kometa
v heliocentriˇcnem ekliptiˇcnem koordinatnem sistemu. Vriˇsi tudi Zemljino tirnico.
Ali komet res naredi natanko en obhod v predpisanem ˇcasu?
• Preveri, ali se vrtilna koliˇcina in energija kometa ohranjata? Rezultate zapisuj z
dovolj veliko natanˇcnostjo. Kaj se zgodi po mnogo obhodih kometa?
• Izraˇcunaj ekvatorialni nebesni koordinati kometa (rektascenzijo in deklinacijo) v
odvisnosti od ˇcasa. Primerjaj svoje rezultate z efemeridami in komentiraj morebitna
odstopanja. Nariˇsi, kako bi pot kometa videli v Ljubljani.
• Dodatna naloga: Nariˇsi tirnice vseh planetov Osonˇcja v heliocentriˇcnem ekliptiˇcnem
sistemu. Orbitalne elemente planetov najdeˇs na naslovu http://ssd.jpl.nasa.gov/.
Literatura:
Goldstein, H., Classical Mechanics, Addison Wesley, 2002
Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., Flannery, B. P., Numerical Recipes:
The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, 2007
Smart, W. M., A Textbook on Spherical Astronomy, Cambridge University Press,
1949
GSL - GNU Scientific Library: http://www.gnu.org/software/gsl/
AGO: http://astro.ago.fmf.uni-lj.si/