GIG - Fraktali - Oddelek za geologijo
Univerza v Ljubljani Naravoslovnotehniška fakulteta Oddelek za geologijo Fraktali 22. 11. 2012 doc. dr. Timotej Verbovšek [email protected] Fraktal ? 1 Uvod beseda FRAKTAL je izpeljana iz besede frangere (lat.) = zdrobiti oz. zlomiti isti koren kot angl. fracture – razpoka "izumitelj": Benoit Mandelbrot knjiga: Fraktalna geometrija narave (Fractal Geometry of Nature), 1983 ponavadi rabimo ob fotografiji vključiti pokrovček objektiva ali kakšno stvar z znano velikostjo, da vemo, koliko je fotografija velika za opis zapletenih oblik v naravi, boljša razlaga geoloških procesov, ki so privedli do njihovega nastanka tam, kjer "navadna" statistika odpove in ne da zadovoljivih rezultatov Višji pomen ? Mandelbrot "Budabrot" 2 Literatura Mandelbrot, B., 1983: The Fractal Geometry of Nature Gleick, J., 1991: Kaos: rojstvo nove znanosti, DZS, Ljubljana. Turcotte, D. L., 1992: Fractals and Chaos in Geology and Geophysics Barton, C. C., La Pointe, P. R., 1995: Fractals in the Earth Sciences Verbovšek, T., 2008: Vpliv prevodnih struktur na tok in prenos snovi v kraškorazpoklinskih vodonosnikih. Doktorska disertacija, NTF. Verbovšek, T., 2009: Fraktali v geologiji ali kaj je skupnega potresom in rekam. Proteus 72 (4), 159-165. Praprot struktura, ki si je podobna v vseh merilih = samopodobnost izgled se torej ne spreminja, če gledamo objekt v različnih merilih 1. nivo povečave 3 Praprot 2. nivo povečave Praprot 3. nivo povečave 4 Praprot 4. nivo povečave Broccoli romanesco (D ≈ 2,33) 5 Uporaba fraktalov v geologiji: simulacija rasti mineralov stratigrafija (analiza debelin plasti) erozijski procesi analize rečnih mrež in topografije seizmične analize (analiza potresov) določanje zalog nafte in rud hidrogeologija (določanje poroznosti) krasoslovje geofizika geokemija ... ostala področja: biologija kemija fizika matematika računalništvo (kompresija slik) družboslovne znanosti jezikoslovje ... Fraktalna dimenzija (D) vrednost, ki določa, kako se neka struktura spreminja prek različnih meril je mera za zapolnjevanje prostora obstaja več vrst fraktalnih dimenzij, ki so povezane z načinom merjenja: 1. samopodobna dimenzija 2. dimenzija merske daljice 3. dimenzija, dobljena s štetjem zasedenih škatel 6 Metode določanja fraktalnih dimenzij Izračun fraktalne dimenzije N = št. novih delov r = faktor pomanjšave N = rD D= log N log r Metode določanja fraktalnih dimenzij 1. Samopodobni fraktali določeni z matematičnimi formulami idealni, se razprostirajo v neskončnost preko vseh meril v naravi jih ni Kochova snežinka (otok) Kochova krivulja Sierpinskijeva preproga Konstrukcija Sierpinskijeve preproge 7 Metode določanja fraktalnih dimenzij 1. Samopodobni fraktali - izračun fraktalne dimenzije za Kochovo krivuljo N = št. novih delov r = faktor pomanjšave N = rD D= log N log r DKOCH = log 4 / log 3 DKOCH = 1,26 torej krivulja bolj zapolnjuje prostor kot premica Metode določanja fraktalnih dimenzij 1. Samopodobni fraktali primeri samopodobnih fraktalov Mengerjeva spužva (goba) Sierpinskijev trikotnik D=? Konstrukcija Mengerjeve spužve 8 Metode določanja fraktalnih dimenzij 1. Samopodobni fraktali Cantorjev prah primeri samopodobnih fraktalov Konstrukcija 3D Cantorjevega prahu Metode določanja fraktalnih dimenzij 2. Metoda merske daljice (Richardsonova metoda) uporabna le za zvezne (neprekinjene) objekte dolžina izmerjene obale (L) je odvisna od dolžine merila oz. metra (r) ! – L = a · r1-D krajša izmerjena obala daljša izmerjena obala Podobnost se ohrani preko različnih meril 9 Metode določanja fraktalnih dimenzij 3. Metoda štetja škatel (Box-counting metoda) objekt prekrijemo s kvadrati (škatlami) velikosti r preštejemo zasedene kvadrate N(r) postopek ponavljamo z manjšimi kvadrati – naredimo tabelo narišemo graf log r - log N(r) in povežemo točke fraktalno dimenzijo D izračunamo kot negativni naklon premice Primeri fraktalov v geologiji rečne mreže urejene so fraktalno podobnost preko meril 10 Primeri fraktalov v geologiji fraktalna dimenzija D je med 1 in 2 Primeri fraktalov v geologiji digitalizirane rečne mreže 11 Primeri fraktalov v geologiji topografija D je med 2 in 3 programi za izdelavo umetnega terena (Terragen) Primeri fraktalov v geologiji topografija 12 Primeri fraktalov v geologiji suturne linije amonitov D je med 1 in 2 bolj kompleksne suture imajo višji D Primeri fraktalov v geologiji simulacija rasti mineralov npr. turmalini DLA (rast z difuzijo) 13 Primeri fraktalov v geologiji razpoke v kamninah D je okoli 2,7 pomembne za npr. pretakanje vode – pri višjih D je povezanost razpok večja – lažji pretok vode Primeri fraktalov v geologiji črpalni poizkusi v razpoklinskih vodonosnikih lažje predstavljanje geometrije toka dimenzija toka (n) 14 Primeri fraktalov v geologiji oblike stilolitov (tektonika) nepravilne ploskve, nastale pri raztapljanju zaradi tlakov Primeri fraktalov v geologiji stiloliti 15 Fraktalne porazdelitve porazdelitve velikosti objektov ali pojavov so velikokrat fraktalne premica v dvojnem logaritemskem merilu (log-log grafi) Fraktalne porazdelitve porazdelitve velikosti potresov število potresov (N), ki so večji od določene magnitude (m): N ≈ m-b porazdelitve velikosti izbruhanih delcev pri vulkanskem delovanju velikosti kraterjev (ki jo lahko povežemo z velikostjo meteoritov) velikosti nahajališč rud, nafte in plina 16 Fraktalne porazdelitve porazdelitve dolžin jam v Sloveniji višje vrednosti fraktalnih dimenzij so v kamninah s kraško-razpoklinsko in razpoklinsko poroznostjo Časovne analize fraktalne porazdelitve so tudi pri različnih časovnih razmikih med dogodki bistvena razlika je v dimenzijah prostorski fraktali imajo le prostorske dimenzije časovni pa poleg teh seveda tudi časovno značilna so velika in majhna nihanja procesi v naravi: spreminjanja temperature izotopske sestave elementov v geoloških obdobjih spremembe gladin in pretokov vode sedimentacija in debelina plasti pojavljanje fosilov v določenih obdobjih porazdelitve stratigrafskih praznin nihanja geofizikalnih meritev 17 Časovne analize težave nastopajo zaradi naše življenjske dobe, saj pogosto procese, ki delujejo že milijone let, proučujemo šele nekaj desetletij ali celo manj izračunamo lahko Hurstov eksponent (H) za naključne procese je H = 0,5 dejansko je za naravne procese večji (H = okoli 0,7) – podatki so neodvisni eden od drugega – podatki so torej odvisni eden od drugega Nastanek fraktalov še vedno ni zadovoljive razlage primer: razpokanje kamnin proces, ki deluje v vseh merilih (od velikih svetovnih prelomnic, kot je San Andreas, do drobnih mikroskopskih razpok) določena količina energije se razporedi približno enakomerno po prostornini kamnine nastane majhno število velikih delcev nastane veliko število majhnih delcev erozija se razporedi bolj ali manj enakomerno po površini terena in povzročijo fraktalno razporeditev rečnih mrež Per Bak: knjiga z izzivalnim naslovom Kako deluje narava? teorija samoorganizirane kritičnosti (angl. SOC) 18 Kaos opis dinamičnih sistemov - tistih, ki se spreminjajo s časom geologija! Občutljivost na začetne pogoje "metuljev efekt" zelo majhne spremembe začetnih pogojev vodijo do zelo velikih razlik v rezultatih Kaos značilnost: (obdobja stabilnih nihanj) popolnoma nepravilna (kaotična) nihanja področja pojavljanja: vreme električni tokovi kemične reakcije dinamika tekočin in plinov (turbulenca) rast populacij v biologiji nihanja cen v ekonomiji obrati Zemeljskega magnetnega polja 19 "Igra kaosa" ="chaos game" naključno mečemo kocko, s tremi možnimi izidi: 1,2: narišemo točko na pol razdalje proti točki 1 3,4: proti točki 2 5,6: proti točki 3 iz popolnoma naključnega procesa dobimo... ? Kaos popolnoma pravilen Sierpinskijev trikotnik! 20 Kaos Feigenbaumov diagram npr. velikost populacije xn+1 = a · xn · (1-xn) a=2,00 a=3,10 a=3,67 a=3,82 eno stabilno stanje dve stabilni stanji kaotično stanje stabilna in kaotična stanja 21
© Copyright 2024