Osnove verjetnosti in statistike

Osnove verjetnosti in statistike
Polona Oblak
Fakulteta za raˇ
cunalniˇstvo in informatiko
Univerza v Ljubljani
2. april 2010
Zvezno porazdeljene sluˇcajne spremenljivke
Streljamo v okroglo tarˇco polmera 1. Naj bo X sluˇcajna
spremenljivka, ki meri oddaljenost zadetka (znotraj tarˇce) od
srediˇsˇca tarˇce.
Kako bi opisali porazdelitev sluˇcajne spremenljivke X ?
Gostota verjetnosti
Sluˇcajna spremenljivka X je zvezno porazdeljena, ˇce obstaja
gX : R → R, da velja
Zx2
P(x1 < X ≤ x2 ) = gX (x)dx ,
x1
(G1) gX je integrabilna funkcija,
(G2) gX (x) ≥ 0 za vse x ∈ R,
Z ∞
(G3)
gX (x)dx = 1.
−∞
gX imenujemo gostota verjetnosti sluˇcajne spremenljivke X .
Gostota verjetnosti
Opomba:
I
P(X = x) = 0 ,
I
P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) =
= P(a ≤ X < b) = P(a < X < b)
Porazdelitvena funkcija
Funkcijo
Zx
FX (x) = P(X ≤ x) =
gX (t)dt .
−∞
imenujemo porazdelitvena funkcija sluˇcajne spremenljivke X .
Velja:
I
FX je povsod zvezna,
I
FX je naraˇsˇcajoˇca,
I
FX je enaka 0 na spodnji meji ZX ter 1 na zgornji meji ZX ,
I
FX je odvedljiva, kjer je gX zvezna in velja FX0 (x) = gX (x),
Z b
P(a < X ≤ b) =
gX (x)dx = FX (b) − FX (a) .
I
a
Gostota verjetnosti
Zgled:

x < 0,
 0
2
cx
0 ≤ x ≤ 3,
g (x) =

0
x > 3.
Za katere c ∈ R je g gostota verjetnosti neke sluˇcajne
spremenljivke?
Za tak c naj bo gX (x) = g (x). Izraˇcunajmo P(1 ≤ X ≤ 2). Kaj je
porazdelitvena funkcija sluˇcajne spremenljivke X ?
Matematiˇcno upanje in disperzija
Sluˇcajna spremenljivka X naj bo opisana z gostoto verjetnosti
gX (x).
Z ∞
I E (X ) =
t gX (t)dt
Z−∞
∞
2
I E (X ) =
t 2 gX (t)dt
−∞
Z ∞
I D(X ) = E (X 2 ) − E (X )2 =
t 2 gX (t)dt − E (X )2
−∞
I
σ(X ) =
p
D(X )
Zgled
Denimo, da nakljuˇcno streljamo v tarˇco polmera 1. Koliˇsna je
priˇcakovana razdalja zadetka od centra tarˇce?
Zgled
Opazujemo 380 km dolg optiˇcni kabel med Ljubljano in Dunajem.
X meri razdaljo od Ljubljane pa do toˇcke, pri kateri lahko pride do
prekinitve. Predpostavimo, da je prekinitev kjerkoli med Ljubljano
in Dunajem enako verjetna.
I
Kolikˇsna je verjetnost, da pride do prekinitve med Mariborom
in Gradcem, torej med 130-tim in 200-tim kilometrom?
I
Kje je priˇcakovano mesto prekinitve?
Zgled
Opazujemo 380 km dolg optiˇcni kabel med Ljubljano in Dunajem,
na katerem se je zgodila prekinitev. Predpostavimo, da je
prekinitev kjerkoli med Ljubljano in Dunajem enako verjetna. Y
meri razdaljo od toˇcke, pri kateri pride do prekinitve, pa do tistega
kraja (Ljubljana ali Dunaj), ki ji je bliˇzje. Doloˇcimo E (Y ) in σ(Y ).
Enakomerna porazdelitev
Zvezna sluˇcajna spremenljivka X je razporejena enakomerno na
intervalu [a, b], ˇce je njena gostota verjetnosti gX enaka
1
x ∈ [a, b],
b−a
gX (x) =
0
sicer.
Oznaˇcimo: X ∼ U[a, b].
Velja
E (X ) =
in
a+b
2
(b − a)2
D(X ) =
.
12
Eksponentna porazdelitev
X . . . preteˇceni ˇcas do prve pojavitve dogodka v Poissonovem
procesu s parametrom λ (tudi ˇcas med dvema pojavitvama)
ZX = [0, ∞)
FX (x) = 1 − e −λx
gX (x) = λe −λx
E (X ) = σ(X ) =
1
λ
Eksponentna porazdelitev
Slika: Gostota verjetnosti eksponentne porazdelitve
Eksponentna porazdelitev
Slika: Porazdelitvena funkcija eksponentne porazdelitve
Eksponentna porazdelitev
Prijavljanje uporabnikov na informacijski sistem lahko modeliramo
s Poissonovo porazdelitvijo. V povpreˇcju se prijavi 25 uporabnikov
na uro.
I
Kolikˇsna je verjetnost, da je naslednja prijava med 2 in 3
minutami?
I
Kolikˇsna je verjetnost, da se nihˇce ne prijavi v 6 minutah?
I
Kolikˇsen je ˇcasovni interval, da je verjetnost, da ne bo nobene
prijave, enaka 0.9?
“Limita” binomske porazdelitve
Opazujmo vse “binomske” porazdelitve z matematiˇcnim upanjem
µ in disperzijo σ 2 .
Te porazdelitve se pribliˇzujejo zvezno porazdeljeni sluˇcajni
spremenljivki X z gostoto verjetnosti enako . . .
Normalna porazdelitev
Sluˇcajna spremenljivka X ima normalno porazdelitev s
parametroma µ ∈ R in σ > 0, ˇce ima gostoto porazdelitve enako
(x−µ)2
1
−
gX (x) = √ e 2σ2
σ 2π
I
Oznaˇcimo
X ∼ N(µ, σ)
I
I
I
ZX = (−∞, ∞).
E (X ) = µ,
D(X ) = σ 2 .
Normalne porazdelitve s σ = 1
Slika: N(−3, 1), N(−1, 1), N(0, 1), N(1, 1), N(3, 1)
Normalne porazdelitve z µ = 0
Slika: N(0, 56 ), N(0, 1), N(0, 32 ), N(0, 2), N(0, 3)
Standardna normalna porazdelitev
Sluˇcajna spremenljivka Z je porazdeljena standardno normalno,
Z ∼ N(0, 1), ˇce ima gostoto
1 − x2
gZ (x) = √ e 2
2π
Normalna porazdelitev
Izrek
Naj bo X poljubna sluˇcajna spremenljivka, katere E (X ) = µ in
σ(X ) = σ. Potem za
X −µ
Y =
σ
velja E (Y ) = 0 in σ(Y ) = 1.
Pravimo, da smo sluˇcajno spremenljivko X standandizirali.
Posledica
ˇ je X ∼ N(µ, σ), je Z =
Ce
X −µ
σ
∼ N(0, 1).
Standardna normalna porazdelitev
ˇ vemo, da je X porazdeljena normalno, lahko za raˇcunanje
Ce
verjetnosti problem prevedemo na standardno normalno sluˇcajno
spemenljivko Z ∼ N(0, 1).
Zanjo velja
1
Φ(x) = P(Z ≤ x) = √
2π
I
I
I
R
nedoloˇcenega integrala e
Uporabimo tabelo za Φ.
Φ(−x) = 1 − Φ(x)
Z
x
t2
e − 2 dt
−∞
2
− t2
dt ne znamo izraˇcunati.
Standardna normalna porazdelitev
Za Z ∼ N(0, 1) je
P(α < Z ≤ β) = Φ(β) − Φ(α) .
Zgledi: Naj bo Z ∼ N(0, 1). Izraˇcunajmo
I
P(Z ≤ 1/2), P(Z ≤ 3/2) in P(Z ≤ −2).
I
P(Z ≥ 1), P(Z ≥ 2, 14) in P(Z ≥ −1/2).
I
P(1 ≤ Z ≤ 2)
I
P(−1 ≤ Z ≤ 5/2)
Normalna porazdelitev
Za X ∼ N(µ, σ) je
P(a < X ≤ b) = Φ
b−µ
σ
−Φ
a−µ
σ
.
Primeri
1. Naj bo X porazdeljena normalno z matematiˇcnim upanjem
E (X ) = 10 in standardno deviacijo σ(X ) = 2. Doloˇcimo
P(9 ≤ X ≤ 12).
Primeri
2. Pri sprejemu signala imamo ˇsum, ki je normalno porazdeljen,
µ = 0V , σ = 0, 45V . Sistem potrdi sprejem signala, ˇce je
napetost veˇcja od 0.9V .
I
I
Kolikˇsna je verjetnost, da napaˇcno potrdimo signal?
Kolikˇsna je verjetnost, da zgreˇsimo signal?
Primeri
3. Potreben ˇcas reˇsevanja kolokvija iz OVS je porazdeljen
normalno s povpreˇcjem 75 minut in standardnim odklonom
7,6 minut.
Koliko ˇcasa moramo nameniti ˇstudentom, da bo vsaj 97, 5%
ˇstudentov reˇsilo naloge pred potekom ˇcasa?