1. No category

VAJE
pri predmetu
TEHNIČNA AKUSTIKA 2
TEORETIČNE OSNOVE AKUSTIKE
Asistent: doc.dr.Jurij Prezelj
Ljubljana: 2012
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
KAZALO
TEHNIČNA AKUSTIKA 2 .................................................................................................................................................................1
KAZALO............................................................................................................................................................................................2
1. OSNOVE AKUSTIKE ...................................................................................................................................................................2
1.1 IZPELJAVA HITROSTI ŠIRJENJA MOTNJE PO MEDIJU ...................................................................................................4
1.1.1 IZPELJAVA ŠIRJENJA TRANSFERZALNE MOTNJE .................................................................................................4
1.1.2 IZPELJAVA ŠIRJENJA MOTNJE PO ELASTIČNEM TELESU....................................................................................5
1.1.3 IZPELJAVA ŠIRJENJA MOTNJE PO PLINU ...............................................................................................................7
1.2 IZPELJAVA ENODIMENZIONALNE VALOVNE ENAČBE ...................................................................................................8
1.3 ENODIMENZIONALNI PROBLEMI V AKUSTIKI – AKUSTIKA KANALOV ........................................................................12
1.4 HITROST GIBANJA DELCEV PRI ENODIMENZIONALNEM ZVOČNEM POLJU.............................................................15
Primer 1. HITROST GIBANJA DELCEV OPISANA Z REALNO KOMPONENTO HARMONIČNE FUNKCIJE ..................16
Primer 2: PROBLEM ŠIRJENJA ZVOKA PO CEVI Z NENADNO RAZŠIRITVIJO .............................................................17
2.1. HELMHOLTZOVA ENAČBA ..............................................................................................................................................18
3.1 SPECIFIČNA AKUSTIČNA IMPEDANCA...........................................................................................................................18
4.1. ROBNI POGOJI IN STOJEČE VALOVANJE....................................................................................................................20
4.1.1. KANAL S TOGO ZAPRTIM KONCEM ......................................................................................................................22
4.1.2. KANAL S PROSTIM KONCEM .................................................................................................................................24
1.3.3. OSNOVNA VALOVNA ENAČBA ZA SFERIČNO VALOVANJE................................................................................36
1. OSNOVE AKUSTIKE
Pod zvok lahko v širšem smislu vključujemo vsa mehanska valovanja. Vsako valovanja vedno
nastane kot posledica delovanaja motnje na sistem, ki je sicer v ravnotežnem stanju. Motnja je
lahko poljubna sila, ki premakne del zveznega sistema iz ravnovesne lege. Valovanja se lahko
širijo po plinih (zvok ki ga lahko slišimo), po kapljevinah (zvok v morju, valovi na površini
morja) in po trdnih snoveh, kar občutimo kot vibracije.
Valovanja je vedno vezano na nek medij v časovni in krajevni koordinati. Pri tem je hitrost
širjenja motnje oziroma valovne fronte najpomembnejša lastnost medija. Časovna in krajevna
koordinata pa določata razmerje med dimenzijami medija/prostora po katerem se valovanje
širi in valovno dolžino tega valovanja. Pri opazovanju valovanj, s katerimi največkrat
ponazarjajo zvok, je sila pomembno razmerje te skale opazovanja.
Če vržemo opeko na vodno gladino bomo povzročili valovanje. Če motnjo ki jo povzročimo
na gladini opazujemo tik ob opeki in jo opazujemo iz opeke jo vidimo kot ravno valovanje ki
se širi od opek v neskončnost medija. Ko valovanje opazujemo iz obale ga vidimo kot krožne
valove ki se širijo po gladini od mesta padca opeke v neskončnost vodne površine. Če bi
sedeli kot mravljica na slamici ob obali, pa ne bi videli krogov ki se širijo, temveč bi zaznali
samo dviganje in spuščanje gladine ob slamici.
Zvok lahko glede na skalo opazovanja razumemo kot spreminjanje tlaka v nekem
opazovanem kontrolnem volumnu, lahko pa ga razumevamo kot žarke, ki se širijo po tem
kontrolnem volumnu in imajo vse lastnosti odbojev in uklonov valovanj.
Zvok pa ni sestavljen iz sinusnih valovanj. Pojavna oblika zvoka je zelo pestra. Vsebuje
impulze, tone in popolnoma naključne signale. Zaradi tega je dobro poznati digitalno
obdelavo signalov, fourierovo transformacijo in pridobiti občutek za frekvenčno razumevanje
zvoka. Frekvenčni prostor je samo interpretacija realnih signalov.
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 2 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
Zvok zaznavamo kot časovno spreminjajočo se majhno tlačno motnjo, ki se spreminja okoli
ravnotežnega tlaka medija. V zraku govorimo o nihanju zvočnega tlaka okoli atmosferskega
tlaka. Zvočni tlak v kapljevinah niha okoli hidrostatičnega tlaka. V dani točki trdnega telesa,
nihajo napetosti okoli ravnotežnih napetosti.
pA
p o ko lice
čas
Slika 1: Zvok kot časovno spreminjajoča se tlačna motnja okoli atmosferskega tlaka.
Pri premikanju površine po cevi (bat s hitrostjo v) se pred površino ustvari tlak (zastojni tlak).
Če gibanje površine ustavimo tudi zastojni tlak na površini bata pade na tlak okolice. Zaradi
masnih lastnosti zraka in zaradi stisljivosti, ki daje vzmetno konstanto, se zastojni tlak po
prenehanju gibanja površine odlepi od površine in se širi po cevi
Predpostavimo da imamo na razpolago zvočni vir ki seva zvok s konstantno frekvenco in
konstantno amplitudo. Predpostavimo da je zvočni vir na prostem in da okoli njega ni nobenih
ovir ali pa odbojnih površin. Zvočni tlak, ki nastane kot posledica delovanja tlaka lahko
opazujemo krajevno v izbranem časovnem trenutku p(x), lahko pa na izbranem merilnem
mestu opazujemo kako se s časom spreminja zvočni tlak p(t).
p(x)
x[cm]
p(t)
p(t)
t[msek]
t[msek]
Slika 2: Zvok kot valovanje. Zvočni tlak se spreminja po kraju in v času.
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 3 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
1.1 IZPELJAVA HITROSTI ŠIRJENJA MOTNJE PO MEDIJU
Ker se v dani točki medija zvočni tlak ves čas spreminja, kljub temu da se posamezna motnja
izniha, to pomeni, da so sile ki povzročajo motnje dinamične, in da se motnje po mediju širijo.
Biljardne kroglice v vrsti: Če postavimo biljardne kroglice v vrsto tako da se dotikajo. Nato v
prvo trčimo kroglico z neko hitrostjo. Pri trku bo nastala motnja, ki se bo prenesla na drugo
stran kroglice. nato bo prestopila na tretjo kroglico, in vse tako do zadnje. Bistvo je v tem, da
se zadnja kroglica ne loči iz vrste takoj, ko zadanemo prvo, ampak šele malo kasneje. Torej
ima motnja neko hitrost, ki ima enako smer kot kroglica.
Kolona avtomobilom pred semaforjem: Ker vozniki speljejo ko imajo pred seboj dovolj
prostora, začne deseti speljevati nekaj sekund za prvim. Če kolono opazujemo iz vrha
nebotičnika, lahko vidimo da se avtomobili pomikajo naprej, motnja (varnostna razdalja med
avtomobili), pa se pomika v nasprotno smer.
1.1.1 IZPELJAVA ŠIRJENJA TRANSFERZALNE MOTNJE
Za izpeljavo hitrosti širjenja transverzalne motnje bomo vzeli primer potovanja motnje po
napeti vrvici. Pri tem moramo narediti naslednje predpostavke:
 Vrvica je zelo dolga.
 Vrvica je napeta s silo F.
 Na enem koncu je vpeta na togo steno.
 Na drugem koncu začne delovati majhna prečna sila
F v+Fm
Fm
t=0
Fv
valovna fronta
vdt
t=dt

cdt
valovna fronta
2vdt

t=2dt
2cdt
Slika 3: Hitrost potovanja motnje po vrvici
Vrvica se v neki točki pod kotom  prelomi na dva dela. Na eni strani imamo že deformirano
novo stanje, na drugi strani pa je vrvica še nedeformirana. Ta točka predstavlja valovno fronto
ali valovno čelo. Valovna fronta je prikazana na sliki 2. Kot deformacije vrvi je definiran z
razmerjem sil:
F
tg  m
Fv
Motnjo generiramo s transverzalnim premikanjem vrvi s hitrostjo v. Transferzalna hitrost
motnje mora biti majhna v primerjavi s hitrostjo širjenja motnje po vrvi, da je kot  majhen.
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 4 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
Valovna fronta - motnja se po vrvi premika s hitrostjo c ki jo iščemo. Razmerje med
hitrostima je določeno z razmerjem med silama:
v Fm

c Fv
Masa gibajočega se dela vrvice je  S c dt. Pri tem pa  predstavlja gostoto vrvice, S pa
predstavlja površino prereza vrvice. Sedaj lahko uporabimo izrek o gibalni količini:
dG = mdv + vdm = Fm dt
Ker je hitrost motnje s katero vzbujamo gibanje delčka vrvi konstanta in se spreminja samo
dolžina vrvi ki se giblje in s tem premikajoča se masa, je mdv = 0 tako da velja:
Fm dt = dG
Sedaj lahko zapišemo:
Fm dt = S c dt v
V tej točki smo uporabili približek da je kot deformacije majhen oziroma da je cos =1
tg 
Fm vdt

Fv cdt
Sedaj dobimo da je: Fm  Scv 
=>
vc
Fm
Fv
Fv v
To vstavimo nazaj v enačbo za gibalno količino, tako
c
da dobimo:
c
Fv
S
Iz te enačbe, ki predstavlja hitrost širjenja transverzalne motnje po vrvi vidimo, da hitrost
same motnje ne vpliva na hitrost širjenja te motnje. Hitrost je odvisna od sile s katero je vrvica
napeta, s pravi od lastnosti medija po katerem se motnja širi.
1.1.2 IZPELJAVA ŠIRJENJA MOTNJE PO ELASTIČNEM TELESU
Podoben izračun lahko naredimo tudi za longitudinalno širjenje motnje po palici kot je
prikazano na sliki 4. Na prosti del palice začne delovati majhna sila, tako da velja Hookov
zakon.
dl
F
E
l0
S
Posledica konstantnega delovanja sile je krčenje palice s hitrostjo v. Prav tako pride do
formiranja valovne fronte. Pod valovno fronto delci palice mirujejo in napetosti v palici zaradi
delovanja sile F ni, nad valovno fronto pa se delci palice premikajo palica je deformirana in v
njej nastopa napetost  oziroma tlak p. V času dt se palica skrajša za vdt, valovna fronta pa
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 5 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
prepotuje cdt. Deformirani del palice ima torej dolžino cdt medtem ko se palica skrajša za vdt.
Po Hookovem zakonu je
p
F vdt

.

E ES cdt
vd t
2v dt
c dt
3 vdt
2cd t
F
3cd t
F
F
Slika 4: hitrost širjenja valovne fronte longitudinalnega valovanja po togem telesu:
Zopet bomo uporabili izrek o gibalni količini:
dG = mdv + vdm = Fdt
Hitrost je konstantna in se ne spreminja zato je mdv = 0. Masa deformiranega - gibajočega se
dela palice se konstantno povečuje in je  S c dt. Hitrost premikanja delcev je v, tako da iz
izreka o gibalni količini sledi:
Fdt=S c dt v.
Iz obeh enačb dobimo:
F Ev

 cv .
S
c
Sedaj lahko izrazimo hitrost valovne fronte.
c
E

E predstavlja modul elastičnosti. Tudi tu hitrost širjenja motnje ni odvisna od sile niti od
hitrosti same motnje ampak samo od lastnosti medija. Sklepamo torej lahko, da vsaka majhna
motnja potuje po palici s to hitrostjo.
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 6 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
1.1.3 IZPELJAVA ŠIRJENJA MOTNJE PO PLINU
F, v
F = (p+dp)S
vdt
cdt
F, v
F=pS
Slika 5: Hitrost širjenja valovne fronte po plinu
Izračun za hitrost valovne fronte lahko ponovimo tudi za steber kapljevine. Predpostavimo da
so hitrosti s katerimi se stanje plina spreminja velike. Če vemo da je osnovna zvočna
frekvenca 1000 Hz potem lahko sklepamo da se stanje plina 1000 na sekundo razširi in stisne.
Pri taki hitrosti pa lahko predpostavimo adiabatno spremembo stanja.
pV   const
V  dp  pV  1dV  0
Vdp  pdV  0
dV
1 dp

V
 p
Namesto Hookovega zakona uporabimo enačbo stisljivosti fluida:
dp dp
p
p

 
dV
v
V
c
od tod sledi
v
1 dp
c
 p
Ponovno bomo uporabili izrek o gibalni količini:
dG = mdv + vdm = Fdt
Tudi tu je hitrost konstantna, tako da je mdv = 0. Maso tistega dela plnskega stebra ki je
komprimiran, zapišemo z enačbo:
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 7 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
dm =  S c dt
Sunek sile ki povzroči motnjo lahko zapišemo tudi z razliko tlakov
Fdt = dp S dt
Če zgornji enačbi vstavimo v izrek o gibalni količini dobimo:
Scvdt  Sdpdt
c
1 dp
c
 dp
 p
c2  
p

Ugotovimo lahko, da ima v zadnji enačbi  enako vlogo kot 1/E v računu s palico. Hitrost
širjenja motnje po stebru kapljevine tako dobi obliko:
c
1

Paziti moramo, da ne privzamemo izotermne spremembe ampak adiabatno, saj so spremembe
tako hitre, da toplota nima časa za prehod iz toplejšega komprimiranega dela na hladneši
ekspandirani del cikla. Koeficient adiabatne spremembe je definiran z enačbo:  = cp/cv.
Hitrost širjenja motnje po stebru plina torej dobi naslednjo obliko:
c
p

Pri zelo nizkih frekvencah (infrazvok) so pogoji bolj izotermni, pri višjih frekvencah pa bolj
adiabatni. V nekaterih medijih zasledimo, da se fazna razlika med posameznimi frekvencami
spreminja, kar pomeni da zvok pri različnih frekvencah širi z različnimi hitrostmi.
1.2 IZPELJAVA ENODIMENZIONALNE VALOVNE ENAČBE
V plinih in kapljevinah ni strižnih napetosti. Zaradi tega je zvok v plinih in kapljevinah
longitudinalno valovanje. Delci medija se premikajo v smeri širjenja valovanja, tako da
ustvarjajo razredčine in zgoščine, kot je prikazano na sliki 6. Ugotovili smo, da se motnja širi
po mediju, ki ima maso in je stisljivo, s hitrostjo, ki smo jo poimenovali hitrost zvoka. Pri
izračunu hitrosti širjenja motnje, ki jo povzroči nek mehanski vir, smo predpostavili, da le ta
deluje kratek čas in to s konstantno silo. V tem primeru nimamo valovanja in lahko govorimo
samo o udarnih valovih, ne moremo pa govoriti o zvoku.
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 8 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
Ugotovili smo tudi že, da zvok povzročajo dinamične sile. Na sliki 4 imamo prikazano cev v
katero je na en konec pritrjen zvočnik, drug konec cevi pa je prosto odprt. Na membrano
deluje dinamična sila, ki jo lahko enostavno opišemo z enačbo: pri tem je  krožna frekvenca
[rad-1], ki je s frekvenco [Hz] povezana z enačbo   2f .
F(t) = FA sin(t)
Posledica delovanja sile na membrano je pomik membrane s hitrostjo ki jo zapišemo z
enačbo:
v(t) = v0 sin (t+1)
Posledica gibanja membrane je nadtlak v cevi, ko je membrana izven ravnovesne lege v smeri
cevi, in podtlak, ko je membrana izven ravnovesne lege v negativno smer. Nadtlak in podtlak,
ki predstavljata motnjo v sistemu se širita s hitrostjo zvoka. Zvočni tlak se torej spreminja
tako s časom kot s krajem. V poljubnem časovnem trenutku je zvočni tlak v cevi porazdeljen
kot je prikazano na sliki 4. V vsaki točki cevi pa se zvočni tlak spreminja tudi s časom. Zaradi
tega moramo za opis valovanja uporabiti dve dimenziji, čas in kraj.
p(t) = p0 sin (t+kx+2)
Razdalja med dvema zgoščinama (maksimalnim tlakom) ali med dvema razredčinama
(minimalnim tlakom) je definirana kot valovna dolžina. Predpostavimo da neskončno cev
napolnimo z dvema različnima medijema. V prvem mediju se motnja širi zelo hitro, v drugem
pa zelo počasi. Membrana v obeh primerih niha z enako frekvenco. Če se motnja širi zelo
hitro, potem bo nadtlak v času enega cikla naredil veliko večjo razdaljo, kot če bi se motnja
širila počasi. Iz tega je jasno, da je valovna dolžina pri konstantni frekvenci odvisna od
hitrosti zvoka in zapišemo lahko osnovno povezavo med valovno dolžino, frekvenco in
hitrostjo zvoka.
c=f
zgoščina
razredčina
v
F

pm ax
p ok olice
Čas ali kraj
Slika 6: Zvočno valovanje v neskončni cevi
V primeru, da se kot opazovalci postavimo na fiksno točko v cevi in opazujemo tlak, se le ta s
časom harmonično spreminja z enako frekveco kot membrana zvočnika. Delci medija po
katerem se širi zvok nihajo okoli svoje ravnovesne lege s to vsiljeno frekvenco. Premikanje
delcev medija ustvarja motnjo. Delci medija se obnašajo kot nihala, ki imajo neko vztrajnost
(maso in pospešek), dušenje (trenje) in vzmetno konstanto (stisljivost medija).
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 9 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
Valovanje ima torej dve dimenziji, to sta čas in kraj. Popolni opis širjenja valovanja v cevi
dosežemo z ploskvijo. Prvi rob ploskve predstavlja čas, drugi rob ploskve predstavlja
krajevno koordinato. Eulerjev zakon gibanja fluida. Gradient tlaka v cevi povzroči da se
v
. Velja tudi obratno. Če imamo dano gibanje
prične fluid z gostoto  gibati s pospeškom
t
fluida le ta povzroči tlačno razliko.
p
v
 
x
t
h
p(x,t)
v(x,t)
p(x+h,t)
v(x+h,t)
A
Slika 7: Kontrolni volumen v točki opazovanja
Na poljubnem mestu v cevi si izberemo kontrolni volumen. Na tem kontrolnem volumnu v
cevi s prerezom/presekom A velja zakon o ohranitvi mase.
V  v( x ,t )  v( x  h ,t )A
m  v( x ,t )  v( x  h ,t )A0
Zaradi spremembe volumskega pretoka se bo spremenil tlak v kontrolnem volumnu.
Zapišemo lahko osnovno obliko plinske enačbe za izbrani kontrolni volumen V0:
PV=mRT
In jo odvajamo po času. S tem opišemo kako se spreminja stanje plina na danem mestu
oziroma v izbranem kontrolnem volumnu.
p
m
V0 
RT
t
t
m
predstavlja masni pretok, ki smo ga definiriali že zgoraj in ga lahko vstavimo v plinsko
t
enačbo stanja ki smo jo odvajali po času.
p
V0  v( x ,t )  v( x  h ,t )RTA
t
Če izrazimo spreminjanje tlaka s časom glede na spremembe stanja v kontrolnem volumnu V0
dobimo naslednji izraz.
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 10 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
p
A
 v( x ,t )  v( x  h ,t ) RT
t
V0
A
predstavlja višino kontrolnega volumna 1/h, RT pa
V0
tlak p v kontrolnem volumnu. Ker je naš kontrolni volumen infinitezimalno majhen lahko
zgornji izraz limitiramo tako da gre h  0.
V zgornjem izrazu lahko vidimo da
p
 v( x ,t )  v( x  h ,t ) 
 lim 
 p0
h
t h  0 

Rezultat limite je:
p v

p0
t x
Sedaj lahko ta rezultat odvajamo po kraju.
2 p
 2v
 p0 2
xt
x
Lahko pa tudi po času.
2 p
 2v
 p0 2
t 2
t
Odvajamo pa lahko tudi osnovno Eulerjevo enačbo, in to enkrat po času in drugič po kraju. Če
osnovno Eulerjevo enačbo odvajamo po času dobimo:
2 p
 2v
  2
xt
x
Če pa osnovno Eulerjevo enačbo odvajamo po kraju dobimo:
2 p
 2v



x 2
xt
Odvode Eulerjeve enačbe in odvod rezultata limite lahko seštejemo tako da dobimo:
2 p 1
1 2 p
oziroma če


t 2 p0
 x 2
enodimenzionalne valovne enačbe.
upoštevamo
c  RT dobimo
končno
obliko
2 p 1 2 p

0
x 2 c 2 t 2
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 11 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
Enodimenzionalna valovna enačba predstavlja matematični model širjenja tlačne motnje po
mediju v eni smeri. To pomeni da je valovna dolžina harmonične motnje bistveno daljša od
prečne dimenzije vodnika. Z drugimi besedami, dolžina cevi mora biti bistveno večja od
premera cevi, valovna dolžina zvoka ki ga opisuje ta enačba pa mora biti vsaj nekajkrat daljša
od prereza cevi da enodimenzionalna enačba velja.
Sama enačba pa predstavlja površino. Na eni strani površine je časovna os, na drugi strani
površine pa je krajevna koordinata cevi. Oblika površine je določena če imamo podane
začetne pogoje in robne pogoje.
Če poznamo kako se v izbrani točki s časom spreminja zvočni tlak potem bomo lahko določili
kako se bo zvočni tlak s časom odzval na te pogoje na drugih mestih v cevi. Če poznamo kako
je zvočni tlak v določenem trenutku porazporejen po cevi, bomo lahko izračunali kako bo
zvočni tlak s časom po cevi spreminjal.
Rešitev valovne enačbe je torej poljubna funkcija, dokler vsebuje širjenje motnje po mediju.
Zaradi tega bi lahko rekli oziroma si lahko predstavljamo rešitev valovne enačbe bolj kot
argument funkcije kot funkcijo sama. Za nazorno predstavitev bomo podali nekaj rešitev
valovne enačbe:
Splošno zapisana rešitev:
p( x ,t )  f1( x  ct )  f 2 ( x  ct )
Harmonična motnja:
p( x ,t )  C1 sin( x  ct )  C 2 cos( x  ct )
Harmonična motnja:
p( x ,t )  C1 sin( t  kx )  C 2 cos( t  kx )
Harmonična motnja:
p( x ,t )  C1e i( t  kx )  C2 e i( t  kx )
Argument (x-ct) oziroma (t-kx) predstavlja motnjo ki se širi v pozitivno smer koordinate x.
Argument (x+ct) oziroma (t+kx) pa predstavlja motnjo ki se širi v nasprotno smer, to je v
negativno smer koordinate x. Konstante C predstavljajo amplitudo zvočnega tlaka.
1.3 ENODIMENZIONALNI PROBLEMI V AKUSTIKI – AKUSTIKA KANALOV
Akustika kanalov ima nekaj specifičnih lastnosti, ki precej otežujejo načrtovanje sistemov za
ADH. Prva taka lastnost je, da kanal sam po sebi nima padca odziva pri visokih frekvencah.
Poleg tega je modalnost kanala kot vodnika zvočnega valovanja zelo bogata. Akustiko
kanalov v prvi vrsti določajo resonančni vrhovi, ki določajo dinamiko akustičnega odziva.
Že v uvodu smo ugotovili, da se lahko omejimo na opazovanje nizkih frekvenc zvoka. To
pomeni, da bomo obravnavali samo zvočno valovanje, ki ima valovno dolžino precej daljšo
od karakteristične prečne dimenzije kanala, po katerem se širi. Na ta način se izognemo
pojavu višjih načinov širjenja zvočnega valovanja in teoretičnemu pomankanju dušenja višjih
fekvenc.
Osnovna enačba, ki opisuje širjenje zvočnega valovanja po kanalu, je enodimenzionalna
valovna enačba. Valovno enačbo lahko zapišemo za pomik delcev (x,t)
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 12 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
 2
1  2
 0,

x 2 c 2 t 2
za zvočni tlak p(x,t)
2 p 1 2 p
 0,

x 2 c 2 t 2
in za hitrost nihanja delcev medija u(x,t)
 2u 1  2u
0

x 2 c 2 t 2
Vse tri veličine se sicer lahko merijo, toda daleč najlažje merimo signale zvočnega tlaka
p(x=konst,t). Poleg tega je zvočni tlak tista veličina, ki jo slišimo in je zato daleč
najpomembnejša. Rešitev valovne enačbe je poljubna funkcija, ki ima poljubno obliko:
p( x, t )  f1 ( x  ct )  g1 ( x  ct )
u ( x, t )  f 2 ( x  ct )  g 2 ( x  ct )
 ( x, t )  f 3 ( x  ct )  g 3 ( x  ct )
Motnjo oziroma valovno obliko, ki se širi v mediju v pozitivni smeri koordinate x, opisuje
funkcija fi , gi pa predstavlja funkcijo (valovno obliko), ki se širi po mediju v negativni smeri
krajevne koordinate x. Hitrost širjenja motnje opisujemo s hitrostjo zvoka c, ki jo lahko
imenujemo tudi fazna hitrost. Celotna motnja je vsota obeh motenj, ki potujeta v pozitivni in
negativni smeri, kot je prikazano na sliki 8.
15
p(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)
Zvočni tlak [mPa]
10
g(x+ct)
5
0
-5
f(x-ct)
-10
37
34
31
28
25
22
19
16
13
10
7
4
1
-15
Razdalja [cm]
Slika 8. Komponenta rešitve valovne enačbe, ki ponazarja potovanje motnje v mediju v
pozitivni smeri, je označena z modro barvo. Komponenta rešitve valovne enačbe, ki ponazarja
potovanje motnje v negativni smeri, je označena z rdečo barvo. Njuna vsota, ki predstavlja
celotno rešitev valovne enačbe, je označena s črno barvo.
Poenostavljeno lahko rečemo, da rešitev valovne enačbe ni funkcja, temveč njen argument.
Rešitev enodimenzionalne valovne enačbe si lahko predstavljamo kot ploskev, napeto preko
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 13 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
koordinat časa t in kraja x. Za rešitev valovne enačbe pa bomo najpogosteje uporabljali
eksponentno funkcijo v kompleksnem prostoru. Kompleksna števila bomo uporabljali zato,
ker njihov zapis vsebuje tudi informacijo o fazni razliki. Ker nas trenutno zanimajo samo
stacionarna zvočna polja in obdelava signalov s Fourierovo in Laplacovo transformacijo na
znanih koordinatah oziroma na izbranih merilnih mestih bomo časovno koordinato lahko
opustili. Rešitve bomo opazovali za izbrane frekvence  oziroma valovna števila k.
p( x, t )  A1 e i (t  kx )  B1 e i (t  kx )
u ( x, t )  A2 e i (t  kx )  B 2 e i (t  kx )
 ( x, t )  A3 e i (t  kx )  B3 e i (t  kx )
pri tem  predstavlja frekvenco, k pa valovno število, ki je definirano kot:
k
2



c
Na koncu izračunov je za nas merodajna tista komponenta kompleksnega števila, s katero smo
opisovali začetne oziroma robne pogoje. Če smo jih opisali s sinusno funkcijo, potem realni del
rezultata predstavlja fizikalno merljivo veličino, če smo uporabili kosinus, pa imaginarni del
rezultata predstavlja fizikalno merljivo veličino. Tako lahko sedaj zapišemo rešitev valovne
enačbe za zvočni tlak in za hitrost delcev za širjenje valovanja v pozitivni smeri, to je od
primarnega vira proti izstopni odprtini kanala:
p( x, t )  ReA1  e i (t  kx ) 
→
p( x, t )  A1 cos(t  kx   A )
oziroma za negativno smer širjenja, to je proti vstopni odprtini kanala:
p( x, t )  ReB1  e i (t  kx ) 
→
p( x, t )  B1 cos(t  kx   B )
pri tem sta tudi amplitudi A1 in B1 kompleksni števili: A1 = Ar + iAi oziroma A1  A1 e i A , ki
sta lahko realni ali kompleksni. Rešitev lahko zapišemo tudi z vsoto sinusov in kosinusov.
N

 

p ( x, t )    X i sin 0i x  Yi cos 0i x Vi sin 0i t  Z i sin 0i t 
c
c 
i 1, 2.... 
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 14 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
Pri tem sta Xi in Yi poljubni konstanti, ki se ju določi iz robnih pogojev. Vi in Zi pa sta poljubni
konstanti, ki se ju določi iz začetnih pogojev. 0i so lastne frekvence sistema, ki ga
opazujemo. V našem primeru so to lastne frekvence kanala.
1.4 HITROST GIBANJA DELCEV PRI ENODIMENZIONALNEM ZVOČNEM
POLJU
Če predpostavimo da zvočno polje v neskončno dolgi cevi lahko popišemo z enačbo za zvočni
tlak p(x,t) potem nas zanima kakšno je polje hitrosti gibanja delcev zraka v isti cevi, se pravi
da iščemo v(x,t). Eulerjeva enačba, ki popisuje gibanje fluida vedno velja:
grad p = - a
p
v
 
x
t
oziroma
Če želimo dobiti polje hitrosti gibanja delcev, moramo torej polje zvočnega tlaka najprej
odvajati po krajevni koordinati in nato integrirati po času. Predpostavimo zvočno polje:
p( x ,t )  C1e i( t  kx )  C2 e i( t  kx )
Odvajajmo ga po krajevni komponenti x in vstavimo v eulerjevo enačbo.

v( x ,t )
 iC1kei( t kx )  iC2 kei( t  kx )
t
To enačbo lahko sedaj enostavno integriramo po času da dobimo hitrost gibanja delcev.
1 p
v( x ,t )    dt
 0 x
t
v( x ,t )  i
k
t
Ce

i ( t  kx )
1
 C2 e i( t  kx ) dt
0
t
k C
C

v( x ,t )  i  1 e i( t  kx )  2 e i( t  kx ) 
i
  i
0
v( x ,t ) 
k

C e
1
i ( t  kx )
 C2 e i( t  kx )

Za širjenje zvoka v samo eno smer pa lahko zapišemo:
v( x ,t ) 
doc.dr.Jurij Prezelj
1
p( x ,t )
c
stran: 15 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
Primer 1. HITROST GIBANJA DELCEV OPISANA Z REALNO KOMPONENTO
HARMONIČNE FUNKCIJE
Ker smo predpostavili ravno valovanje, ki se širi po cevi katere premer je bistveno manjši od
valovne dožine valovanja, in ker opazujemo samo krajevno spreminjanje amplitude valovanja,
lahko rečemo da se amplituda zvočnega tlaka spreminja samo po eni dimenziji, to je po x.
p
  a
x
pri tem za realno motnjo zvočnega tlaka lahko predpostavimo harmonično funkcijo:
p(x,t)=pA sin(t-kx)
dv 1
 kp A cos(t  kx)
dt 
tako da lahko zapišemo:
v
v
k

k

- in - da +
p A  cos(t  kx)dt
p A  (cos t cos kx  sin t sin kx)dt
sin kx

 cos kx
sin t 
cos t 
pA 
  


k
v
p A cos kx sin t  sin kx cos t 
v
k

če upoštevamo še naslednje povezave:
k = 2/
 = 2f
c = f
potem lahko rečemo da je :
c
2 
k 2
in končno lahko zapišemo hitrost delcev pri valovanju:
v
pA
sin(t  kx)
c
Hitrost vedno dobimo tako, da tlak p(x,t) odvajamo po kraju in nato integriramo po času.
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 16 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
Primer 2: PROBLEM ŠIRJENJA ZVOKA PO CEVI Z NENADNO RAZŠIRITVIJO
A2
A1
Motnja v sirjenju
Vir tlacne
motnje C2
C1
C3
Neskoncna
cev
Slika 9. Nenadna razširitev kanala po katerem se širi zvočno valovanje
Imamo dve zvočni polji in dve hitrostni polji.
p( x ,t )  C1e i( t  kx )  C2 e i( t  kx )
v( x ,t ) 
C1 i( t  kx ) C2 i( t  kx )
e

e
c
c
p( x ,t )  C3ei( t  kx )
v( x ,t ) 
C3 i( t  kx )
e
c
Zapišemo lahko robne pogoje pri x=0;
p1( x  0 ,t )  p2 ( x  0 ,t )
A1v1( x  0 ,t )  A2 v2 ( x  0 ,t )
Robne pogoje vstavimo v zgornje enačbe tako da dobimo sistem enačb:
C1  C2  C3
A1 C1  C2   A2C3
Imamo samo dve enačbi in tri neznanke. Ker pa lahko predpostavimo da poznamo amplitudo
vpadnega valovanja C1, lahko amplitudo valovanj C2 in C3 izrazimo z njim. Tako dobimo
amplitudo odbitega valovanja C2.
A  A2
C2  C1 1
A1  A2
Rešitev je neodvisna od frekvence. Odvisna je od razmerja prerezov cevi:
A1 = A2 => C2 = 0
doc.dr.Jurij Prezelj
A1 << A2
=>
C2 = - C1
A1 >> A2
=>
C2 = C1
stran: 17 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
1.5 HELMHOLTZOVA ENAČBA
Ker nas zanima oblika zvočnega polja in ne potovanje same motnje, lahko fiksiramo čas, s
tem pa tudi frekvenco. Pri posamezni frekvenci nas zanima, kako je porazdeljen kompleksni
zvočni tlak p(x) po kanalu. Kompleksni zvočni tlak bo torej funkcija položaja točke
opazovana v kanalu. Realni zvočni tlak dobimo, če kompleksnega množimo z eit..
p( x, t )  Rep( x)eit 
Če to enačbo vstavimo v osnovno valovno enačbo (3.1), dobimo:
 2
1 2 
 2  2 2  Re p( x)e it  0
c t 
 x


Operacija ločevanja realnega dela sovpada z operatorjem diferenciranja in če dvakrat
odvajamo po času, lahko zapišemo:
 d 2 p ( x)  2
 
Re 
 2 p ( x )  e i t   0
2
c0
 dx
 
Tej enačbi mora biti zadoščeno v vseh časih t in še posebej, ko je eit = 1 oziroma ko je eit =
i. Ta dva pogoja pa sta izpolnjena, ko je izraz v oglatem oklepaju enak 0.
d 2 p ( x)  2
 2 p ( x)  0
dx 2
c0
Enačba se imenuje enodimenzionalna Helmholtzova enačba. Kompleksni zvočni tlak mora
zadostiti tej enačbi. Enačba je pomembna zato, ker je osnova za metodo končnih elementov pri
simulaciji zvočnega polja v kanalu. Rešitev Helmholtzove enačbe sta valovanji p ( x)  A1  e  it
in p( x)  B1  e  it , ki predstavljata potovanje motnje v pozitivno smer in v negativno smer,
kot je prikazano na sliki 3.
1.6 SPECIFIČNA AKUSTIČNA IMPEDANCA
Pri zvočnem valovanju sta zvočni tlak in hitrost delcev v medsebojni povezavi. To povezavo
opisujemo z impedanco. Le ta je odvisna od medija, položaja v opazovanem sistemu in od
tipa zvočnega polja. Načeloma lahko pri majhnih amplitudah zvočnega tlaka in majhnih
spremembah gostote medija zapišemo Eulerjevo enačbo za gibanje fluida v obliki:
0
doc.dr.Jurij Prezelj
u p

0
t x
stran: 18 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
Ta enačba opisuje, kako gradient tlaka pospeši medij, ki ima gostoto 0 s pospeškom
u
. Če
t
predpostavimo, da zvočni tlak poznamo, analitično zapisan z enačbo
p( x, t )  Ae i (t  kx )  Be i (t  kx )
ali preko izmerjenega signala, potem lahko izračunamo hitrost delcev. Najprej izračunamo
gradient zvočnega tlaka in ga nato integriramo po času, skladno z Eulerjevo enačbo. Poudariti
moramo, da rezultat velja samo za ravno valovanje, to je pri širjenu zvoka po kanalu, ali pa
zelo daleč od zvočnega vira.
u ( x, t )
p( x, t )
 kAe i (t  kx )  kBe i (t  kx ) 
t
x
Tako dobimo hitrost delcev pri ravnem zvočnem valovanju, ki se širi po kanalu ali pa zelo
daleč od zvočnega vira.
A i (t  kx )
B i (t  kx )
u ( x, t ) 
e

e
0c
0c
Če primerjamo enačbo za hitrost gibanja delcev u(x,t) z enačbo za zvočni tlak p(x,t) vidimo,
da se razlikujeta samo za konstanto 0c, ki je produkt gostote medija in hitrosti širjenja motnje
po njem, in v predznaku drugega člena. Produkt gostote medija in hitrosti širjenja motnje po
njem se imenje karakteristična akustična impedanca medija in se označuje z Z0.
Z 0  0c
Splošna rešitev valovne enačbe za zvočni tlak in hitrost vsebuje člen za opis stanja v času in
člen za opis stanja v prostoru. Če člen (it) fiksiramo in ga vstavimo v konstanti A in B, lahko
zapišemo rešitev valovne enačbe za hitrost nihanja delcev pri širjenju zvočnega valovanja po
kanalu v obliki:
1

u ( x, t ) 
Ae ikx  Be ikx 
Z0
Sedaj lahko definiramo akustično impedanco, ki je razmerje med zvočnim tlakom v dani točki
in hitrostjo nihanja delcev v tej točki:
Z ( x) 
p ( x)
Ae ikx  Be ikx
 Z0
v( x)
Ae ikx  Be ikx
Akustična impedanca je odvisna od položaja v kanalu in predstavlja ekvivalentno impedanco
celotnega pasivnega podsistema v spodnjem delu kanala. Tako lahko vrednost akustične
impedance na začetku kanala pri x=0 povežemo z akustično impedanco na koncu kanala pri
x=L.
p( x  0)
A B
Z ( x  0) 
 Z0
v( x  0)
A B
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 19 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Z ( x  L) 
Vaja – Osnove akustike
p ( L)
Ae ikL  Be ikL
 Z0
v( L)
Ae ikL  Be ikL
Če uporabimo povezavo: e ikx  cos kx  i sin kx potem lahko izraz za akustično impedanco pri
x=L izrazimo z:
p ( L)
( A  B) cos kL  i ( A  B) sin kL
Z ( L) 
 Z0
v ( L)
( A  B ) cos kL  i( A  B) sin kL
Z (0) cos kL  iZ 0 sin kL
Z (0)
i
sin kL  cos kL
Z0
Akustična impedanca se po kanalu spreminja in je odvisna od medija v kanalu, po katerem se
valovanje širi, in od dolžine kanala.
Z ( L) 
1.7 ROBNI POGOJI IN STOJEČE VALOVANJE
Oblika zvočnega polja v kanalu je odvisna od robnih pogojev. Našteli in opisali bomo tiste
robne pogoje, ki so pomembni za razumevanje akustike v kanalih:
a) stene kanala bomo obravnavali kot idealno toge, brez absorpcije energije zvočnega
valovanja,
b) konec kanala je lahko togo zaključen,
c) konec kanala je lahko prosto odprt,
d) konec kanala ima lahko popolno absorpcijo,
e) konec kanala ima lahko poljubno impedanco,
f) kanal se lahko razširi oziroma zoži,
g) obravnavali bomo vsiljeno nihanje z dvema oblikama: pravokotni impulz zvočnega tlaka
in stacionarno harmonično spreminjanje zvočnega tlaka z diskretno frekvenco na dani
točki kanala.
Robne pogoje in njihov vpliv na dogajanje v kanalu bomo uvodoma predstavili s pomočjo
analize širjenja in odboja kvadratnega zvočnega impulza. Kvadratni zvočni impulz je
teoretično orodje, s katerim si pomagamo pri predstavi, kaj se v kanalu dogaja, ko zvočna
motnja zadene ob različne nehomogenosti v kanalu.
Za zvočno valovanje, ki ga ustvarjajo različni delovni stroji pri stabilnih obraovalnih pogojih,
je ponavadi mogoče predpostaviti, da je stacionarne narave in ga lahko opišemo s
harmoničnimi funkcijami. V nadaljevanju nas bo zanimalo, kako vplivajo različni robni
pogoji na zvočno polje v kanalu, če imamo zvočni vir, ki ustvarja zvočno valovanje s
stacionarno diskretno frekvenco.
Pri akustiki v kanalih se valovanje praktično vedno širi v obe smeri kanala, kot posledica
odbojev valovanja. Do odbojev prihaja zaradi spremembe impedance pri prehodu valovanja iz
enega medija v drug medij ali pa zaradi spremebe prereza kanala. Na sliki 10 je prikazano,
kako se del valovanja na meji med dvema različnima medijema (sprememba impedance)
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 20 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
odbije nazaj proti viru in kako se del valovanja prenese v drug medij. Zvočno valovanje vidi
spremembo prereza kanala, po katerem se širi, tudi kot spremembo impedance.
L
x
d
Bat
Ae-ikx
Z1
ikx
ptr
Be
Z2
Slika 10. Odboj in transmisija valovanja iz enega medija v drug medij
Amplituda odbitega zvočnega valovanja je odvisna od amplitude vpadnega zvočnega
valovanja in od pogojev pri odboju od mejne plasti. Koeficient refleksije bomo zapisali kot
razmerje med vpadnim in odbitim zvočnim valovanjem.
R
B  e ikx
A  e ikx
R ( x  0) 
R( x  L) 
B
A
Be ikL
Ae ikL
Ker je koeficient refleksije povezan s koeficientom transmisije T in ker nas zanima samo
dogajanje na površini meje lahko zapišemo koeficient refleksije R in koeficient transmisije T
tudi z razmerjem med impedancami dveh sosednjih medijev.
R
Z 2  Z1
Z 2  Z1
in
T
2Z 2
Z 2  Z1
S takim zapisom dobi impedanca kompleksen značaj, kar je pomembno zato, ker imajo
disipativni mediji kompleksno impedanco. Disipativnen zaključek kanala bomo uporabljali pri
načrtovanju sekundarnega vira.
R  R e i
S tako definicijo koeficienta refleksije lahko določimo odbito zvočno valovanje, če poznamo
vpadno zvočno valovanje in karakteristiko obeh medijev.
Če je R<0, ima odbito valovanje fazo obrnjeno za 180.
Če je R>0, je odbito valovanje v fazi z vpadnim valovanjem.
Če je R=1, potem je odbito valovanje čista kopija vpadnega valovanja.
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 21 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
Odboj vpadnega valovanja je določen izključno z razmerjem med impedancami dveh mejnih
medijev, ki jih valovanje vidi na meji pri d = 0, ne glede na to, ali je ta razlika posledica
razširitve kanala, spremembe medija ali pa dodatnega resonančnega volumna.
Z (d )  Z 0
e ikd  R  e ikd
e ikd  R  e ikd
Pri d = 0, to je na površini konca kanala oziroma absorpcijskega materiala, dobimo:
Zn  Z0
1 R
1 R
=>
R
Zn  Z0
Zn  Z0
V kanalu imamo torej vedno stoječe zvočno polje, razen če je R = 0 oziroma Zn = Z0. Eden od
kriterijev stoječega zvočnega polja v kanalu je razmerje med ravnjo amplitude hrbta stoječega
valovanja in ravnjo amplitude vozla stoječega valovanja, ki ga označujemo s kratico SWR
(Standing Wave Ratio):
p max
SWR 
p min
pmax in pmin predstavljata maksimalni in minimalni zvočni tlak v kanalu, ne glede na to, na
katerem mestu v kanalu se pojavita. Položaj minimuma in maksimuma je povezan s frekvenco
opazovanega zvočnega valovanja. Če je v kanalu vozel stoječega valovanja, v katerem gre
amplituda proti nič, potem gre dejansko razmerje SWR proti neskončnosti. To se lahko zgodi
samo, če je amplituda vpadnega valovanja popolnoma enaka amplitudi odbitega valovanja. To
velja v primeru, ko gre koeficient R =>1. V tem primeru lahko iz enačbe
p(d , t )  Ae it (e ikd  R  e ikd )
vidimo, da morata imeti eikd in Rּe-ikd obrnjeno fazo, da bi imeli dani točki pogoj za vozel
oziroma za pmin. Obratno velja za hrbet stoječega valovanja. V točki, kjer imamo pmax, morata
biti vektorja imaginarne amplitude popolnoma v fazi. Zaradi tega lahko enačbo preoblikujemo
v obliko:
p max 1  R
SWR  1

R
SWR 

SWR  1
p min 1  R
Zvočno polje v kanalu je torej odvisno od impedance na obeh zaključkih kanala.
1.7.1 KANAL S TOGO ZAPRTIM KONCEM
Če je konec kanala idealno togo zaprt, tako da se nič energije vpadnega zvočnega valovanja
ne absorbira oziroma izgubi iz kanala (slika 11), potem je hitrost delcev na površini zaključka
kanala enaka nič. To pomeni, da gre impedanca pri d=0 oziroma pri x=L proti neskončnosti.
Posledično gre koeficient refleksije proti 1. Odbito zvočno valovanje od popolnoma togega
zaključka v kanalu ohranja amplitudo in fazo. Odbito zvočno valovanje tako postane popolna
kopija vpadnega valovanja z nasprotno smerjo širjenja. Pri tem pride na steni togega materiala
do podvajanja zvočnega tlaka. Popolnoma togo zaprt kanal je primer prehoda valovanja iz
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 22 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
"mehkega" medija na "tog" medij. V tem primeru je torej Z2 >> Z1 in enačba za reflektivnost
limitira proti 1:
u(x=L)=0

(x=L)= 0
R

Rtog zakljucek kanala 1
Z 2  Z1
 R 1
Z 2  Z1
L
x
d
Bat
Zn
Slika 11. Kanal s togo zaprtim koncem
Ker se vsa energija zvočnega valovanja odbije nazaj v kanal, dobita izraza za zvočni tlak in
hitrost delcev naslednjo obliko:
p ( x)  Ae  ikL (e ikd  e  ikd )
u ( x) 
A ikL ikd
e (e  e ikd )
Z0
Na površini togega zaključka kanala pri kL=0 je razmerje med vpadnim valovanjem in vsoto
vpadnega in odbitega valovanja enako 2, kot se lahko razbere iz prikaza odboja kvadratnega
impulza od toge stene na sliki 12. Do podvajanja pride, ker se faza odbitemu valovanju
ohranja. Medtem je na istem mestu hitrost delcev enaka 0, kar je logično, saj delci medija tik
ob togem zaključku ne morejo nihati. Teoretično razmerje SWR gre proti neskončnosti.
MEJA
Slika 12. Odboj kvadratnega zvočnega impulza od toge stene v kanalu
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 23 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
Slika 13. Impedanca po zaprtem kanalu s premikajočim se batom na nasprotni strani
Če je izvor vibrirajoč bat, potem lahko zapišemo robni pogoj za hitrost gibanja bata:
u (0, t )  U 0 e it
V tem primeru postaneta izraza za u(x,t) in p(x,t):
u ( x, t )  u 0 e it
sin k ( L  x)
sin kl
in
p ( x, t )  iZ 0 u 0 e it
cos k ( L  x)
sin kl
Akustična impendanca v zaprtega kanala dobi obliko:
Z  iZ 0 ctgkl 
ki je predstavljena na sliki 13. Akustična impedanca je odvisna od produkta kl, ki predstavlja
razmerje med dolžino kanala in valovno dolžino zvočnega valovanja. Iz slike 13 lahko
razberemo, da zaprti kanal dolžine 0, /2, 3/2,... predstavlja za vir (nihajoč bat) neskončno
impedanco.
1.7.2 KANAL S PROSTIM KONCEM
Če je valovna dolžina mnogo večja od karakteristične prečne dimenzije kanala (>>d), potem
zvočni tlak na površini konca odprtega kanala teoretično pade na nič. Načeloma si pojav lahko
predstavljamo kot impedančno neujemanje. Na ustju odprtega kanala si lahko predstavljamo
da se ravno valovanje želi hipoma spremeniti v sferično valovanje (Slika 14), kar pa fizikalno
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 24 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
ni mogoče. V naravi je malo diskretnih preskokov na tem velikostnem razredu opazovanja
medija. V angleški literaturi se uporablja pojem "pressure release surface". Akustična
impedanca sferičnega valovanja v bližnjem polju pri zelo majhnem radiju (kr<<1) ima poleg
realnega tudi izredno veliko imaginarno komponento, ki deluje nazaj na valovanje tik ob
koncu kanala.
L
x
d
TR
A
Bat
B
Slika 14. Odboj valovanja od prostega konca kanala
MEJA
Slika 15. Časovni potek odboja kvadratnega zvočnega impulza od
prostega konca kanala
Na sliki 15 je prikazan odboj teoretičnega kvadratnega zvočnega impulza od prostega konca
kanala. Polni pravokotnik predstavlja zvočni impulz, prazni pravokotnik pa sliko, kako bi se
ta impulz širil, če motnje (odprtine kanala) ne bi bilo. Pomembno je, da amplituda impulza po
odboju spremeni predznak. Posledično se na prostem koncu kanala zvočni tlak vpadnega in
odbitega zvočnega valovanja izničita. Ker se energija valovanju ohranja, ima hitrost nihanja
delcev medija na prostem koncu maksimalno amplitudo.
u(x=L)=max
in
p(x=L)= 0 
Z(x=L)0
 Rodprtega konca kanala  -1
Predpostavimo, da imamo pri x=0 zvočni vir, ki na tem mestu ustvarja zvočni tlak vpadnemu
valovanju. Robne pogoje za izvor zvočnega tlaka torej lahko zapišemo: p(0, t )  P0eit . Ob
predpostavki idealnega odboja zvočnega valovanja lahko zapišemo enačbo za zvočni tlak:
p ( x, t )  Ae ikl (e ikd  e  ikd )e it  2iAe ikl (sin kl  x)e it
Da v enačbi zadostimo robnim pogojem za vir: p(0,t)=P0eit, mora biti
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 25 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
Ae ikl 
tako, da končna rešitev dobi obliko:
p( x, t )  P0
P0
2i sin kl
sin k ( L  x) it
e
sin kl
Takoj vidimo, da ima enačba pol pri kl = n. V primeru, ko je dolžina kanala enaka
večkratniku polovice valovne dolžine, dobimo resonanco kanala. Enostavno lahko določimo
tudi hitrost delcev:
P cos k ( L  x) it
u ( x, t )  0
e
sin kl
iZ 0
Če primerjamo enačbi za p(x,t) in u(x,t) v togo zaprtem kanalu z enačbama za p(x,t) in u(x,t) v
prosto odprtem kanalu lahko ugotovimo, da ima prosto odprti kanal z robnim pogojem
zvočnega tlaka pri x=0 enako resonanco kot zaprti kanal z robnim pogojem hitrosti gibanja
bata pri x=0.
Impedanca se po kanalu spreminja, toda po vsej dolžini ima čisto reaktivni značaj. Zvočna
intenzivnost v kanalu je enaka nič, saj je neto pretok energije zvočnega valovanja po kanalu
enak 0. Impedanco, kot jo vidi vir, dobimo tako da predpostavimo d=L. Če je dolžina kanala
celoštevilčni večkratnik polovice valovne dolžine, potem je impedanca za vir enaka nič. Če pa
je l=/4, l=3/4 .... potem je impedanca za vir neskončna.
V primeru, da namesto vira zvočnega tlaka uporabimo realen premikajoč bat (zvočnik z
nihajočo membrano), se robni pogoji spremenijo. Pri x=0 imamo določeno hitrost delcev in ne
zvočnega tlaka. Ker je koeficient refleksije še vedno R=-1, se enačba za impedanco
poenostavi v naslednjo obliko:
Z (d )  iZ 0 tan(kl )
Slika 16. Potek zvočnega tlaka in hitrosti delcev pri stoječem valovanju v odprtem kanalu,
skupaj z impedanco
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 26 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
1.7.2.1 KOREKCIJA KONCA ODPRTEGA KANALA
Do sedaj smo predpostavili, da je zvočni tlak zvočnega valovanja na odprtem koncu kanala
enak 0. To je načeloma res samo pri pogoju, da je valovna dolžina zvočnega valovanja, ki se
širi po kanalu, precej večja od prečne dimenzije kanala (>>a). Če bi bila ta ocena popolnoma
pravilna, potem se zvočno valovanje iz kanala sploh ne bi smelo širiti. Zvočnega vira,
zaprtega v kanal z odprim koncem, se iz kanala ne bi smeli slišati. Dejansko pa zvočni tlak na
odprtem koncu kanala ne pade čisto na nič. Zato se lahko del zvočnega valovanja razširi iz
kanala v okolico.
Sevanje zvoka iz kanala lahko opišemo, če upoštevamo nihanja zadnje plasti medija v kanalu
tik ob njegovem izstopu. To plast lahko obravnavamo kot bat, ki se premika iz kanala nazaj v
kanal, kot je prikazano na sliki 17. Sevalna impedanca Z0 predstavlja impedanco, ki jo
atmosfera naloži na akustično sevanje iz konca kanala, to je na teoretični bat. To lahko
opazujemo in ocenjujemo preko trodimenzionalnega zvočnega polja, ki nastane zaradi
teoretičnega bata in se nahaja na koncu kanala. Teoretični bat se giblje s hitrostjo delcev u0.
Sevalna impedanca Zac je definirana kot:
Z ac 
povprecni zvocni tlak po površini bata p 0

Akusticna masna hitrost bata
u0
Akustična masna hitrost bata je: u 0  Su 0
s
2r
dx
s
2r
dx
a)
b)
Slika 17. Korekcija prostega konca kanala s teoretičnim batom: a) zadnja plast medija v
kanalu pri prehodu zvočnega valovanja iz kanala v okolico prestopi iz kanala b).
Da problem prevedemo v bolj obvladljivo obliko, predpostavimo, da je zaključek kanala v
neskončni togi plošči, ki preprečuje gibanje fluida po zunanjem robu kanala nazaj proti viru
zvoka. Predpostavimo lahko tudi denimo okrogel kanal in okrogel bat. Tako lahko uporabimo
teorijo sevanja zvoka vibrirajočega bata na neskončni plošči in z njeno pomočjo določimo
impedanco, kot jo vidi zadnja plast medija v kanalu. Če imamo kanal, ki se končuje z
neskončno prirobnico (ventilacijski jašek na steni), potem lahko zapišemo sevalno impedanco
z realnim in imaginarnim delom Z ac  R  iX :
Z ac 
 0 c0
R(2kr )  iX (2kr )
a 2
Pri tem je r radij kanala in radij predpostavljenega bata na zunanjem koncu. R in X sta
funkciji, ki imata podobno obliko kot jo ima izraz za realni in imaginarni del akustične
impedance pulzirajoče krogle (slika 18). Ker se valovanje na izstopu kanala spremeni iz
ravnega valovanja v sferično valovanje, je podobnost med izrazi logična. Funkciji R in X se
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 27 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
lahko imenujeta tudi funkciji sevanja bata in sta v literaturi tabelirani. Nas zanima predvsem
obnašanje teh dveh funkcij pri nizkih frekvencah, to je v primeru ko je 2kr<<1. Poleg slike 18
je prikazan razvoj teh dveh funkcij v M'claurinovo vrsto. Prva člena v M'claurinovi vrsti sta
tista, ki nas zanimata, saj pri nizkih frekvencah ostale člene v vrsti lahko zanemarimo.
( kr ) 2
( kr ) 4
( kr ) 6


 ......
R1 
1  2 1  2 2  3 1  2 2  32  4
X1 
4  2 kr ( 2 kr ) 3
( 2 kr )5 
 2
 2 2 

  3
3 5 3 5 7 
1,2
R1(kr)
1,0
0,8
0,6
0,4
X1(kr)
0,2
0
2
4
6
8
10 12 14 16
kr
Slika 18. Sevalna impedanca, [18]
Tako lahko zapišemo enačbo za impedanco kot jo zazna zadnja plast medija v kanalu:
Z ac   0 c0
2
k
i
2
 8r 

 3 
 0a 2 
a 2
 8r 
Vidimo, da dominira pozitivna reaktanca, ki predstavlja maso  0a 2   . To je cilinder
 3 
 8r 
medija (fluida), ki ima enak prerez kot ga ima kanal, in dolžino   . Ko valovanje oziroma
 3 
tlačna motnja pride do konca kanala, ne zazna stanja brez omejitve, temveč breme, ki se v
glavnem sestoji iz navideznega podaljšanja kanala. Od tu izhaja tudi znana korekcija dolžine
kanala zaradi odprtega konca.
l 
8r
 0,85a
3
Poleg reaktance mase, zaradi dodatne navidezne dolžine kanala l, potujoča motnja zazna tudi
majhno upornost sevanju (prvi člen v Maclaurinovi vrsti se v angleški literaturi imenuje
"radiation resistence"). Upornost sevanju je za faktor kr manjša od reaktance. Efektivna
dolžina kanala za akustiko je torej daljša od njene fizične dimenzije in znaša l '  l  l .
Seveda je korekcija odvisna tudi od frekvence. Če je r<<l potem je korekcija zelo majhna,
praktično zanemarljiva. Po drugi strani pa je korekcija l za zelo kratke kanale lahko glavni
del efektivne dolžine kanala l'. Če vzamemo za primer luknjo v togi steni debeline l (slika 19),
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 28 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
potem je akustična dolžina luknje l'=l+l+l. Dve korekciji sta potrebni zaradi dveh koncev
kanala. Ker sevata obe strani odprtine, je upornost sevanja še enkrat večja kot pri navadnem
odprtem kanalu. Impedanca odprtine s površino S je tako:
 0 c0 k 2
 l'
 i 0
Zac  2
S
2
Slika 19. Korekcija kratkega kanala
Rezultati izračunov, ki temeljijo na modelih in meritvah, kažejo, da je opisana ocena korekcije
l dolžine kanala na zgornji meji. Spodnja meja korekcije l znaša:
l 
a
4
 0,7854r
Korekcija, ki smo jo podali, velja za kanale, ki se končajo na površini neskončne toge stene.
To predpostavko smo uporabili, ker se večina prezračevalnih kanalov konča na steni.
Korekcijski koeficient dolžine kanala, ki se konča v neomejenem prostoru, kar pomeni, da
njegov konec stoji v prostem zvočnem polju, je nekoliko drugačen. Kanal našega modela je
tak primer, zato moramo poznati tudi korekcijo za tako izveden zaključek kanala.
Motnja, ki se širi po kanalu in pride do njegovega izstopa, se deloma odbije in deloma odcepi
v prosto zvočno polje. Pri tem se zvočno valovanje širi tudi ob zunanji steni kanala nazaj proti
vstopnemu koncu kanala. Korekcija efektivne akustične dolžine kanala je za tako prosti konec
nekoliko manjša:
l  0,6133r
1.7.2.2 KOEFICIENT REFLEKSIJE ODPRTGA KONCA KANALA
Analitčna rešitev za izračun koeficienta refleksije odprtega konca nevgrajenega kanala, ki
nima prirobnice, je precej bolj kompleksna kot za vgrajen kanal z neskončno prirobnico.
Koeficient refleksije v dani točki je odvisen od akustične impedance Z v tej točki. Na prostem
koncu kanala je akustična impedanca Z enaka sevalni impedanci Zac, definirani v enačbi:
Z ac  R1  iX 1  Z 0
1 R
1 R
Sevalno impedanco lahko zapišemo s pomočjo koeficienta refleksije:
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 29 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
R  R e i ( 2 k )
Pri tem pa velja:
Absolutna komponenta koeficienta refleksije R je prikazana na sliki 20 levo, koeficient  , ki
opisuje fazni zamik odbitega valovanja, pa je prikazan na sliki 20 desno. Ta teoretični rezultat
pojasnjuje obliko zvočnih polj, ki se pojavljajo v rezultatih eksperimentalnega dela.
1
Korekcija prostega konca
Radij cevi
Koeficien refleksije IRI
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
3
2
4
5
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
3
2
kr
4
5
kr
a)
b)
Slika 20. Koeficient refleksije v kanalu s prostim koncem a) in
korekcija prostega konca kanala b)
Empirični približek vrednostim za absolutno vrednost koeficienta refleksije in korekcijo faze
lahko podamo tudi s polinomom v naslednji obliki:

 0,6133  0,1168(kr ) 2
r

r
 0,6393  0,1104kr
za kr  0,5 ,
za 0,5  kr  2 ,
R  1  0,01336kr  0,59079(kr ) 2  0,3357(kr ) 3  0,06432(kr ) 4
za 0  kr  1,5
Ker imamo v signalih, ki nas zanimajo, samo najnižje frekvence, pri katerih velja kr<0,5
oziroma r < 0,08, lahko izpeljemo radiacijsko impedanco. Iz slike 20 lahko razberemo, da je
koeficient refleksije odprtega konca kanala za najnižje frekvence skoraj 1, in da je fazna
razlika med vpadnim in odbitim valovanjem malo manj kot . To pomeni, da se zvočno
valovanje v kanalu, ko pride do odprtega konca, odbije skoraj v celoti nazaj v kanal, pri tem
pa se valovanju obrne faza. Zaradi tega je zvočni tlak na odprtini kanala praktično skoraj
vedno okoli 0. Koeficient refleksije je odvisen od razmerja med valovno dolžino in premerom
kanala. Odprtina kanala deluje na sevanje zvoka iz kanala kot filter, ki prepušča visoke
frekvence. Istočasno pa odprtina deluje pri odboju valovanja nazaj v kanal kot filter, ki
prepušča samo nizke frekvence.
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 30 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
1.7.3 KONEC KANALA S POPOLNO ABSORPCIJO
Kanal, ki ima tako izveden zaključek, bomo imenovali gluhi kanal, analogno poimenovanju
gluhi sobi. Koeficient refleksije gluhega konca kanala gre proti nič, ker gre amplituda
odbitega zvočnega valovanja proti nič. Posledično je specifična akustična impedanca enaka Z0
in je neodvisna od položaja v kanalu. To je logično, saj imamo v kanalu samo tisti del
valovanja, ki se širi v pozitivno smer. Konec kanala s popolno absorpcijo zagotavlja pogoje,
ki jih v teoriji lahko opišemo tudi s pojmom neskončno dolgega kanala.
1.7.4 KONEC KANALA S POLJUBNO IMPEDANCO
V realnosti idealno tog zaključek kanala ne obstaja. Prav tako v realnosti ne obstaja idealno
prost zaključek kanala niti ne poznamo popolne absorpcije. Tanke stene, ki zapirajo
prezračevalne kanale, niso dovolj toge, ali pa tesnenje ni dovolj dobro izvedeno. Tudi prosti
konec kanala se ne obnaša tako, kot predvidevajo osnovne teoretične predpostavke. Akustične
karakteristike realnega zaključka kanala opisujemo s kompleksnim koeficientom refleksije R
Z A in B smo definirali kompleksni amplitudi dveh valovanj, ki se širita v nasprotni smeri.
Koeficient refleksije smo zapisali z enačbo
R
B  e ikx
A  e ikx
Sedaj bomo predpostavili, da je konec kanala zaključen z znano impedanco, ki jo bomo
označili z Zn.
L
x
d
Bat
Zn
Slika 21. Kanal z zaključkom s poljubno impedanco
Če je Zn kompleksno število, iz enačbe R 
Zn  Z0
sledi, da je tudi koeficient refleksije R
Zn  Z0
kompleksno število. Koeficient refleksije R bomo zato zapisali v polarni obliki R  R e i . Pri
tem je  fazni kot med vpadnim in odbitim valovanjem. Če tako zapisan koeficient refleksije
zapišemo v enačbo:
p ( x)  Ae  ikL (eikd  R  e  ikd )
dobimo:
p ( x)  Ae  ikL (eikd  R ei (  kd ) )
Razdalja do prvega maksimuma je tako podana z:
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 31 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
1
(kd ) max  
2
Naslednji maksimumi se pojavijo pri diskretnih večkratnikih n. Prvi minimum zvočnega
tlaka se pojavi, ko je zadoščeno naslednjemu pogoju:
1
1
(kd ) min    
2
2
Ali se najprej pojavi minimum ali maksimum je odvisno od velikosti . Če je  v prvem ali
drugem kvadrantu ( <) potem mora v zadnji enačbi nastopiti predznak plus, da je produkt
kd pozitiven. V takem primeru je jasno, da se najprej pojavi maksimum, ki mu 90 kasneje
sledi minimum. Če pa je  v tretjem ali četrtem kvadrantu ( >) potem v zgornji enačbi
nastopi predznak minus in posledično se najprej pojavi minimum. Slika se obrne, če
primerjamo hitrosti delcev in zvočni tlak. Kot ponavadi je maksimum zvočnega tlaka pri
minimumu hitrosti delcev in minimum zvočnega tlaka pri maksimumu hitrosti delcev (Slika
13 in Slika 16).
3.1.4.5. SPREMEMBA PREREZA KANALA
Poudariti moramo, da analiza dogajanja ob širjenju zvočnega valovanja skozi spremembo
prereza kanala velja samo za ravno valovanje. Se pravi, za širjenje valovanja z valovnimi
dolžinami, ki so precej večje od prečnih dimenzij kanala. Analizo bomo začeli z razširitvijo
neskončno dolgega kanala (Slika 22). Zvočno polje na levi strani kanala je sestavljeno iz
vpadnega valovanja Ae-ikx, ki prihaja od vira, in iz odbitega valovanja
RAeikx, ki se odbije od motnje v kanalu. Mimo razširitve se širi valovanje (1-R)e-ikx, ki samo
tvori zvočno polje v razširjenem delu kanala. Zvočno polje lahko zapišemo z zvočnim tlakom
in hitrostjo delcev na obeh straneh razširitve. Indeks 1 označuje točko v kanalu tik pred
razširitvijo, indeks 2 pa označuje točko tik po razširitvi. R označuje koeficient refleksije
vpadnega zvočnega valovanja, ki ga iščemo. Zvočni tlak in hitrost delcev sta povezana preko
Eulerjeve enačbe.
p1 ( x)  A(e  ikx  R  e ikx )
u1 ( x) 
A ikx
(e  R  e ikx )
0c
p 2 ( x)  (1  R) Ae  ikx
u 2 ( x)  (1  R)
doc.dr.Jurij Prezelj
A ikx
e
0c
stran: 32 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
x
x=0
-ikx
S1
Ae
(1-R)Aeikx
R Aeikx
S2
Slika 22. Sprememba prereza kanala se odraža kot sprememba impedance
Koeficienta refleksije zvočnega valovanja od razširitve še ne poznamo. Določajo ga robni
pogoji tik ob razširitvi pri x=0 (Slika 16). Tlak tik pred razširitvijo je enak tlaku tik po
razširitvi. Če ne bi bil, bi se medij pospešeno gibal. Masni pretok pri širjenju valovanja mora
biti tik pred razširitvijo enak masnemu pretoku tik za razširitvijo. Ker imamo pri zvočnem
valovanju zanemarljivo majhne spremembe tlaka v primerjavi z atmosferskim tlakom, lahko
spremembo gostote zanemarimo in zapišemo zakon o ohranitvi volumskega pretoka.
S1u1 ( x  0)  S 2 u 2 ( x  0)
Enačbe za hitrost delcev vstavimo v robni pogoj in zapišemo lahko koeficient refleksije:
S2
S1
R
S
1 2
S1
1
Iz zgornje enačbe lahko vidimo, da je koeficient refleksije teoretično neodvisen od frekvence,
dokler imamo ravno valovanje. Za natančnejšo analizo bi morali upoštevati korekcisjki
koeficient ob zaključku ožjega dela kanala, kot smo to naredili pri korekciji prostega konca
kanala.
Nenadna sprememba prereza vodnika valovanja torej povzroči delni odboj valovanja, tudi če
sta impendanci medijev v obeh delih cevi enaki. Če imamo nenadno zožitev kanala (S2<S1),
potem le-ta deluje kot akustični element s koeficientom refleksije R, ki leži med 0 in 1. Če
imamo obraten primer, se pravi nenadno razširitev (S2>S1), potem le-ta deluje kot akustični
element s koeficientom refleksije R, ki leži med –1 in 0.
Poudariti je potrebno, da pri stacionarnem zvočnem valovanju z nenadno spremembo prereza
kanala ne dosežemo zmanjšanja moči zvočnega valovanja. Nenadna sprememba prereza
kanala samo odbije del vpadnega valovanja nazaj proti viru, s tem ko ustvari neujemanje
karakterističnih impedanc. Ker z razširitvijo in zožitvijo prereza kanala ne dosežemo
disipacije energije valovanja, glušnike, ki delujejo na tem principu, imenujemo nedisipacijski
glušniki oziroma reaktivni glušniki. Izračunamo lahko teoretične prenosne izgube za nenadno
spremembo prereza kanala. Rešitve so prikazane na sliki 23.
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 33 / 38
Vaja – Osnove akustike
Prenosna izgube [dB]
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
TL 
2

S 2  S1 
10 log
4 S1 S 2
Slika 23.Prenosne izgube ob nenadni razširitvi kanala,
3.1.4.6. EKSPANZIJSKA KOMORA
Enostavna razširitev oziroma zožitev kanala ni zelo učinkovito orodje za preprečevanje
širjenja zvočnega valovanja. Šele če se prerez kanala spremeni za šestkrat, se zvočnemu
valovanju, ki pride preko te razširitve, amplituda zmanjša na polovico, kar je razvidno iz
diagrama na sliki 23. Če dve spremembi prereza kanala združimo tako, da dobimo
ekspanzijsko komoro, kot je prikazano na sliki 24, se prenosne izgube precej izboljšajo.
Zvočno polje v dotočnem neskončnem kanalu je sestavljeno iz vpadnega valovanja Ae-ikx in iz
odbitega valovanja RAeikx. V ekspanzijski komori imamo prav tako zvočno polje, sestavljeno
iz vpadnega valovanja, ki pride skozi razširitev, in iz odbitega valovanja, ki se odbije pri
zožitvi kanala. Zaradi priročnosti bomo zvočni tlak in hitrost delcev v ekspanzijski komori
zapisali v klasični obliki za p(x,t) in v(x,t). V zadnjem, tretjem neskončnem delu kanala pa
zvočno polje sestavlja samo tisti del zvočnega valovanja, ki pride iz ekspanzijske komore.
p1  A(e  ikx  R  e ikx )
u1 
A ikx
(e  R  e ikx )
0c
p 2  A( sin kx   cos kx)
u2 
A
i ( sin kx   cos kx)
0c
p3  T  Ae ik ( x  L )
u3  T 
doc.dr.Jurij Prezelj
A ik ( x  L )
e
0c
stran: 34 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
x
x=0
L
S2
-ikx
S1
ikx
Ae
R Ae
ikx
Ae-ikx
Tae
Ae
-ikx
Slika 24: Ekspanzijska komora
Na voljo imamo štiri robne pogoje. Pri vstopu v ekspanzijsko komoro (x=0) lahko uporabimo
zakon o ohranitvi volumskega pretoka in dejstvo, da mora biti tlak tik pred vstopom v
ekspanzijsko komoro enak tlaku tik za vstopom v ekspanzijsko komoro. Enako velja tudi na
drugi strani ekspanzijske komore pri x=L. Ti štirje robni pogoji so:
p1 ( x  0)  p 2 ( x  0)
S1u1 ( x  0)  S 2 u 2 ( x  0)
p 2 ( x  L)  p3 ( x  L)
S 2 u 2 ( x  L)  S 3 u 3 ( x  L)
Robne pogoje vstavimo v enačbe za opis zvočnega tlaka in hitrosti delcev treh zvočnih polj,
tako da dobimo sistem štirih enačb s štirimi neznankami R, T,  in .
1 R  
S1 (1  R)  iS 2
 sin kL   cos kL  T
S 2 ( cos kL   sin kL)  iTS 3
Za nas je pomemben predvsem koeficient T, ki predstavlja uspešnost ekspanzijske komore pri
preprečevanju širjenja zvočnega valovanja skozi kanal. Ko sistem rešimo, dobimo:
T
2
 S3 
S
S 
1   cos kL  i 3  2  sin kL
S1 

 S 2 S1 
V primeru, da sta preseka vstopnega kanala in izstopnega kanala enaka, prenosne izgube
lahko zapišemo spodnjo enačbo za TL katere rešitve so predstavljene na sliki 25.
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 35 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
Prenosna izgube [dB]
2

 1 S
S2 
1
TL  10 log 1     sin 2 kL 

 4  S 2 S1 
l/
Slika 25. Prenosne izgube zvočnega valovanja v ekspanzijski komori
1.5 OSNOVNA VALOVNA ENAČBA ZA SFERIČNO VALOVANJE
Do sedaj smo ves čas govorili o ravnem valovanju. Osnovna značilnost ravnega valovanja je,
da z oddaljevanjem valovanja od izvora valovna fronta ohranja obliko ravnine, pri tem pa
amplituda ostaja enako velika. Tako valovanje je praktično prisotno v ceveh. Drug, dejanski
način širjenja motnje pa je s sferičnim valovanjem po prostoru. Pri tem zvočni vir seva zvok
enakomerno na vse strani. Ker se površina valovne fronte veča, lahko pričakujemo, da se bo
amplituda zvočnega valovanja, ki se sferično širi manjšala z oddaljevanjem od izvora.
Splošna oblika valovne enačbe je zapisana v kartezijskem koordinatnem prostoru:
2 p 
1 2 p
c 2 t 2
Prehod iz kartezijskega koordinatnega prostora v sferične koordinate je določen:
2 p 
 2 p 2 p

r 2 r r
2 p 
 2 ( pr ) 1
r 2 r
Tako dobi valovna enačba v sferičnih koordinatah naslednjo obliko:
 2 ( pr ) 1  2 ( pr )
0
 2
t 2
r 2
c
Splošna rešitev valovne enačbe za sferično valovanje je:
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 36 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
Vaja – Osnove akustike
p(r , t ) 
1
1
f1 (ct  k )  f 2 (ct  r )
r
r
pri tem sta f1 in f2 poljubni funkciji. Drugi člen v rešitvi predstavlja valovanje ki se
konvergentno širi v točko izvora. Ker to ni mogoče (razen pri imploziji kavitacijskega
mehurčka, atomski bombi in drugih nelinearnih pojavih) lahko drugi člen zanemarimo tako da
dobi rešitev naslednjo obliko:
p(r , t ) 
A
sin(t  kr )
r
pri tem je potrebno paziti, saj A ni amplituda, ampak njen faktor z enoto Pa m. Iz enačbe se
tudi jasno vidi singularnost v točki izvora, zato lahko s to enačbo opisujemo samo
omnidirekcionalne izvore zvoka, ki imajo končno veliko površino in s tem radij. Kompleksna
oblika zapisa tlaka sferičnega valovanja ima obliko:
p(r , t ) 
A i (t  kr )
e
r
1.6 HITROST DELCEV PRI SFERIČNEM VALOVANJU
Osnovna valovna enačba opisuje povezavo zvočnega tlaka s krajevnimi koordinatami in
časom. Pogosto pa nas zanima kakšno hitrost imajo delci ki nihajo okoli svoje ravnotežne
lege. S pomočjo Eulerjeve enačbe opisuje s kakšnim pospeškom se pospeši fluid z gostoto 
če nanj deluje tlačna razlika. S pomočjo te enačbe lahko iz gradienta tlaka izračunamo hitrost
delcev fluida.
Eulerjeva enačba:
grad p = - a
Ker smo predpostavili sferično valovanje se tlak spreminja samo po eni dimenziji, to je po r.
p
dv
 
r
dt
p(r , t ) 
A
sin(t  kr )
r
p
A
A
  2 k sin(t  kr )  k cos(t  kr )
r
r
r
1 p
dv

dt
 r
hitrost gibanja delcev v dobimo z integriranjem tlačnega gradienta po času.
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 37 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA
v
Vaja – Osnove akustike
A
1  A

 2 k sin(t  kr )  k cos(t  kr )dt


  r
r

v
A
1 A

k sin t cos kr  cos t sin kr   k cos t cos kr  sin t sin kr dt
2


r
 r

v
1A
  r 2
 cos t cos kr sin t sin kr  A  sin t sin kr cos t cos kr 
k


  k






 r 

v
1
1

k  2 cos(t  kr )  sin(t  kr )
  r
r

v
A
1
A 1

cos(t  kr )  sin(t  kr )
2

c  r
r

Hitrost delcev pri sferičnem valovanju lahko zapišemo tudi s pomočjo rešitve osnovne
valovne enačbe za sferično valovanje.
p(r , t ) 
1
1
f 1 (ct  k )  f 2 (ct  r )
r
r
Že prej smo ugotovili da drugi člen lahko zanemarimo.
p(r , t ) 
1
f 1 (ct  k )
r
Če je f(r,t) odvod funkcije F(r,t) potem lahko hitrost delcev pri valovanju zapišemo:
v(r , t ) 
1 1
1

F (ct  r )  f (ct  r )
2

c  r
r

kompleksna oblika hitrosti delcev sferičnega valovanja ima obliko:
v(r , t ) 
vA  1
k
 i  e i (t kr )
2

r
i  r
vA je faktor amplitude hitrosi delcev, zato za hitrost velja enako, kot za tlak, da ima v točki
singularnost, tako, da lahko te rešitve uporabimo samo za izvore zvoka s končno veliko
površino.
doc.dr.Jurij Prezelj
stran: 38 / 38