1. No category

Laboratorieøving 1 i TFE4120 - Kapasitans
25. februar 2013
Sammendrag
Vi skal benytte en
parallelplatekondensator
med justerbart gap til å
studere kapasitans. Oppgavene i forarbeidet beskrevet nedenfor må løses
i forkant av oppmøte til lab, og svar fremvises før laboratorieoppgavene
kan påbegynnes. For å få godkjent laboratorieøving må journal fremvises
med svar på laboppgavene i siste del av dette skrivet til stud. ass. før
laboratoriet forlates. Lykke til!
1
Forarbeid
1.1
Kapasitansen til en parallellplatekondensator
Fig. 1a viser oppsettet som skal brukes i denne laboratorieøvingen. I bildet
ser man en parallellplatekondensator: Den er sammensatt av to sirkulære ate
ledere med radius
2
a
separert med en avstand
d.
Utled det kjente kapasitansuttrykket nedenfor ved å anta at lederne er ideelle:
C=
0 r A
,
d
der
A = πa2
og
0 = 8.85 · 10−12 F/m.
(1)
Her er kapasitansen gitt som funksjon av relativ permitivitet
til materialet mellom platene og avstanden
1.2
r
d.
Oppsettet -kretsanalyse
Den generelle denisjonen av kapasitans mellom to legemer er:
Q
V
hvor Q er ladningen på det ene legemet og V
def
C =
(2)
er spenningen mellom de to legeme-
ne. Det er derfor interessant at uttrykket (1) relaterer kun geometriske størrelser
til
C
og ikke ladning eller spenning. Vi skal følgelig teste om vi gjennner den
lineære avhengigheten av
C
med
r
og
d−1
i g. 1a.
1
uttrykt i (1) gjennom oppsettet vist
Motstand
Oscilloskop
Signalgenerator
Parallellplatekondensator
(a) Bilde av oppsett
+
V1
−
Probe
Z1
+
+
−
Z3
Parallelplate
-kondensator
Vi
V0
Z2
−
(b) Krettsskjema
Figur 1
2
Oscilloskop
Oppsettet er satt opp etter kretsskjemaet vist i g. 1b. Vi skal nå gjennomgå
hvordan denne kretsen skal brukes til å måle
C.
Impedansformalisme
Vi er vant til å analysere enkle DC-kretser ved hjelp av Ohm's lov
V = I ·R
til
å relatere spenning, strøm og resistans. For AC-kretser bruker vi imidlertid en
endret versjon av Ohm's lov:
V = I · Z,
der resistansen
R
(3)
generaliseres til en størrelse kjent som impedans
Z.
Dersom
dette er nytt for deg bør du lese appendiks A hvor dette er beskrevet nærmere.
Impedansens amplitude
plekse fase
∠Z
|Z| angir hvor stor motstanden er, og impedansens kom-
angir hvordan komponenten forårsaker en forskyvning i fase av
ZR = R ,
ZL = jωL og kondensatorer får impedansen ZC = 1/jωC .
AC-signalet generert av signalgeneratoren. Motstander får impedansen
spoler får impedasen
Den samlede impedansen til impedanser som ligger i serie (rett etter hverandre)
er
Ztot = Z1 + Z2 + Z3 + · · · ,
(4)
og den samlede impedansen til impedanser som ligger i parallell er
1
1
1
1
=
+
+
··· .
Ztot
Z1
Z2
Z3
(5)
Spenningsdeling
Fra kretsskjemaet i g. 1b ser vi at spenningsfallet gjennom kretsen kan oppdeles
Vi = V1 + V0 .
I henhold til denisjonen (2) forstår vi at man trenger spenningen
nne
C.
(6)
V0
for å
Vi vet at strømmen som forlater signalgeneratorn må være lik sum-
men av strømmene som forgrener seg gjennom parallellplatekondensatoren og
oscilloskopet i kretsen, altså
IZ1 = IZ2 + IZ3 .
Ved å bruke (3) har vi derfor:
V0
Vi
=
Z1 + Z2 kZ3
Z2 kZ3
hvor Z2 kZ3 er parallellkoblingen av elementene Z2 og Z3 og kan nnes ved hjelp
av (5). I kretsen representerer Z3 en parallellkobling av oscilloskopets indre
motstand (∼ 1MΩ) og indre kapasitans (∼ 13 pF), og brukes for å beskrive
oppførselen til oscilloskopet sett utenfra. Vi skal her anta at Cosc C , og
dermed antar vi at den kapasitive delen i Z3 er neglisjerbar.
2
Regn ut hvor liten
d
Cosc C ved å bruke likn.
a = 0.08m, og for luft mellom
Finn først hva d må være for at
må være for at
(1). Parallellplatenes radius er ca.
platene har vi
r ≈ 1.
Tips :
C = Cosc .
3
Ved å stokke om på uttrykket får vi:
V0 = Vi ·
Z2 kZ3
.
Z1 + Z2 kZ3
(7)
Dette er kjent som spenningsdeling. I henhold til g. 1b har vi følgende denisjoner:
Z1
= R1
1
=
jωC
= Rosc
Z2
Z3
2
Finn
Z2 kZ3
uttrykt ved
C , Rosc ,
og
(8)
(9)
(10)
ω = 2πf ved hjelp av likn.
V0 /Vi . Finn deretter
(5). Bruk dette til å nne et uttrykk for
amplituden
|V0 /Vi |.
Vi har altså funnet en likning som relaterer de målbare størrelsene
og
ω = 2πf
til
C.
|Vi |, |V0 |
Før vi kan sette i gang med målinger må vi imidlertid først
bestemme hvilken frekvens
f
og størrelse
R1
som skal brukes i kretsen.
Frekvensavhengig impedans
Vi skal bruke oscilloskopet til å måle
|V0 |
slik vist i g. 1b. Det er derfor viktig
at oscilloskopet ikke påvirker spenningsfallet over parallellplatekondensatoren
og at det dermed kun går en forsvinnende liten strøm gjennom oscilloskopet.
Med andre ord må vi kreve at
|Z2 | |Z3 |. I motsatt fall, hvis |Z2 | |Z3 |, vil vi
nemlig ikke se eekten av at gapavstanden eller at materialet mellom platene på
parallellplatekondensatoren endres. Siden
fc hvor |Z2 | = |Z3 | slik
frekvens f > fc i kretsen vår.
en frekvens
med
2
Z2
avhenger av
ω = 2πf
fc som funksjon
Rosc ∼ 1MΩ. Regn
Finn et analytisk uttrykk for frekvensen
og
Rosc ,
|Z2 | = |Z3 |. Vi
fc når d = 5mm.
gitt at
estimat for
må vi nne
at vi kan sørge for å bruke vekselspenning
har at
av
C
ut et
For de verdiene som er blitt oppgitt bør vi operere med frekvenser en del
R1 . Siden vi skal
|V0 /Vi | for å nne C trenger vi å operere kretsen i et regime der forholdet
|V0 /Vi | endrer seg mye når vi varierer C . Dette får vi for eksempel til ved å
kreve at |V0 /Vi | = 1/2. Vi kan regne ut R1 fra dette, og nner:
p
Rosc
2 + 1) − 1
R1 = 2 2 2
1 + 3(ω 2 C 2 Rosc
(11)
ω C Rosc + 1
høyere enn ca. 5 kHz. Det eneste som nå mangler er verdien for
måle
Z2 = 1/jωC varierer
R1 for at |V0 /Vi | = 1/2
Siden impedansen til parallellplatekondensatoren
med
frekvens, vil følgelig den nødvendige verdien av
også
variere. Siden
R1
Z2
avtar med økt frekvens, vil også den nødvendige verdien av
avta med økt frekvens.
4
2
Vi er interessert i å bruke kretsen for frekvenser
likningen over til å nne en passende verdi av
rundt
R1
f > fc .
Bruk
for frekvenser
f = 10fc .
Kapasitansmåling
Vi bør altså velge en frekvens
f > fc .
Samtidig vet vi at kondensatorer ved
høye frekvenser begynner å oppføre seg som ledere, og en frekvens
f = 10fc
vil kunne tenkes å være litt for høyt. Når dere gjør laboratorieøvingen bør dere
derfor prøve dere frem for å nne en passende frekvens.
Med
R1
og
f
valgt er dere nå klare for å måle
C.
Som diskutert ovenfor går
det kun en forsvinnende liten strøm inn i oscilloskopet under disse forholdene,
og i g. 1b kan vi derfor erstatte oscilloskopet med en brutt krets. Dette betyr
at spenningsfallet
V0
avhenger bare av
Z2 ,
og ved en enkel spenningsdeling som
den gjort tidligere nner vi at:
1
|V0 | Z2 =
=p
2
2
|Vi |
Z1 + Z2 ω R1 C 2 + 1
(12)
Bemerkning : Legg merke til at dette uttrykket er litt forskjellig fra det dere tid-
(R1 /Rosc +
1)2 ≈ 1.35 i uttrykket i steden for ettallet i kvadratroten for frekvenser f ≈ 10fc .
Feilen er likevel liten og er neglisjerbar etterhvert som vi setter f større enn fc .
ligere har funnet: Slik vi har denert parameterene burde vi lagt til
Ved å stokke om på (12) uttrykk nner vi:
1
C=
ωR1
s
|Vi |2
−1
|V0 |2
(13)
Altså har vi nå funnet en likning som lar oss måle kapasitansen til parallellplatekondensatoren i kretsen ved hjelp av størrelsene
|Vi |, |V0 |,
og
ω = 2πf .
Dette
avslutter forarbeidet: Hvis dere har forstått alle stegene så langt er dere klare
for laboratorieøvingen! Husk å ta med utregningene for fremvisning til stud. ass.
og til bruk når dere skal ha laboratorieøving.
2
På laboratoriet
2.1
Forberedelse
2
Før dere tar fatt på laboppgaven må dere først fremvise svarene
på forarbeidet til en studass.
Nå skal dere sette opp kretsen vist i g. 1b: Dere skal bruke en motstand,
en AC-signalgenerator med justerbar frekvens, en parallellplatekondensator og
et oscilloskop.
5
2
Sett opp kretsen i henhold til kretsskjemaet og de verdiene dere
fant på forarbeidet (la oscilloskopet og signalgeneratoren forbli
plassert i hylla over labplassen slik at det blir mindre å rydde
opp). Sett signalgeneratoren til et AC-signal med en frekvens
f > fc
dere nner passelig. Juster tidsaksen og spenningsskala-
en på oscilloskopet slik at dere ser 2-4 perioder av signalet på
oscilloskopskjermen. NB! Husk å stille proben på 1X på
kanalene dere bruker.
2
d = 5 mm
|V0 /Vi | ≈ 1/2
Med en avstand på ca.
mellom kondensatorplate-
ne, sjekk om dere får
slik dere designet kretsen.
Juster frekvensen litt for å få dette til. Tilplass amplituden på
spenningssignalet slik at dere får tilstrekkelig måleamplitude for
|V0 |
å måle
2.2
Målinger
Se at
C
2
uten støy.
varier lineært med
d−1
Bruk oscilloskopet til å måle
måle
|Vi |
|V0 |
i g. 1b. Det kan være lurt å
med oscilloskopet også: Dette gjøres ved å koble pro-
ben til spenningskilden. Ved å trykke på oscilloskopets measure knapp kan man velge å måle amplituden til signalene (pk-pk ).
Man bør også måle frekvensen
f
(denne målingen er muligens
mer nøyaktig enn den oppgitt på signalgeneratoren).
2
Sett kondensatorplatene ca. 5 mm fra hverandre. Prøv og se at
gjør
f
stor går
en frekvens
2
f liten går |V0 /Vi | → 1, og at hvis du
|V0 /Vi | → 0. Hvorfor skjer dette? Velg deretter
større enn fc slik at |V0 /Vi | er rundt 1/2.
hvis du gjør frekvensen
Lag en tabell som vist nedenfor der dere ytter kondensatorplatene nærmere hverandre med en halv millimeter av gangen.
Dere vil se at amplituden
|V0 |
endrer seg mens
|Vi |
forblir uend-
ret. Regn ut kapasitansen ved hjelp av likn. (13). Tabellen og
utregningene kan for eksempel gjøres i Matlab eller Excel, men
skriv ned verdiene i journalen slik at de kan vises til stud. ass.
d
2
2
[m]
|V0 |
[V]
|Vi |
[V]
0.004
0.95
0.99
0.0035
0.88
0.99
···
···
···
Bruk dataen til å plotte
C
C [F/m]
···
···
···
vs.
d−1 .
Blir grafen lineær?
Frivillig : Bruk lineær regresjon til å nne stigningstallet til kurven. Bruk dette stigningstallet til å regne ut arealet til kondensatorplatene etter likn. (1). Stemmer dette sånn noenlunde?
6
Se at C er konstant mhp.
f
2
Still kondensatorplatene slik at de har en avstand på ca. 2 mm
2
Lag en tabell som vist nedenfor der dere øker frekvensen på
mellom seg. Velg en frekvens større enn
Se at
C
slik at
|V0 |/|Vi | ≈ 1/2.
signalgeneratorn mellom hver måling. Regn ut kapasitansen ved
hjelp av likn. (13).
f
2
fc
[Hz]
|V0 |
[V]
|Vi |
[V]
15k
0.78
1.99
20k
0.60
1.99
···
···
···
Bruk dataen til å plotte
øker med
C
C [F/m]
···
···
···
vs.
f.
Forblir C uendret?
r
2
Sett en bunke papir mellom kondensatorplatene og still avstan-
2
Regn ut
2
Bruk musematta dere har på arbeidsbenken: Regn ut
den slik at papirene nesten klemmes fast. Velg en frekvens større
enn
fc
slik at
|V0 | ≈ |Vi |/2.
Cpapir . Ta deretter ut papiret, og mål Cluft . Finn papir =
Cpapir /Cluft .
Cmusematte
2
Sammenlign verdiene med tabellverdier på nettet.
2
Samarbeid med et annet team slik at dere har to parallellplate-
Parallell- og seriekobling av kondensatorer (frivillig)
kondensatorer til rådighet (evt. spør stud.ass. om det nnes noen
til overs). Koble dem først i parallell og deretter i serie, og mål
kapasitansen i hvert tilfelle ved hjelp av det samme oppsettet
dere har brukt før. Foreslå en lov om parallell- og seriekoblede
kondensatorer og sammenlikn med likn. 2.95 og 2.97 i kompendiet (s. 40-41).
Kapasitansen til en Coax-kabel (frivillig)
2
Hvis vi bytter ut parallellplatekondensatoren i kretsskjemaet
med en Coax-kabel kan vi bruke det samme oppsettet med modiserte verdier til å måle Coax-kabelens kapasitans. Vi vet at
Coax-kabler typisk har kapasitansverdier av størrelsesorden 100
pF/m. Prøv om dere klarer å måle dette!
7
Figur 2: Slik skal labplassen se ut når den forlates
3
Rydding av labplass og godkjenning
Se g. 2: For å få godkjent lab må dere sørge for å forlate labplassen seende slik
ut. Spør en studass hvor parallellplatekondensatoren skal lagres. Finn deretter
en studass, vis at dere har gjort alt som står i labteksten og svart på alle spørsmålene. Etter dette gjenstår det bare å takke studassene for deres hjelp og ha
en n dag!
A
Impedanser
Vi skal her nne sammenhengen mellom strøm og spenning for en impedans,
i form av en resistans (motstand), en kapasitans (kondensator), eller en seriekobling/parallellkobling av slike. Vi kobler en ideell vekselsignalgenerator, med
harmonisk spenningsvariasjon
v(t) = Re{V exp(jωt)},
(14)
ω = 2πf , der f er frekvensen
V er en kompleks amplitude. Legg merke til at hvis
v(t) = V cos(ωt). Hvis ikke, dvs. at V = |V | exp(jφ), vil vi få en
til impedansen, se g. 3. Her er vinkelfrekvensen
og
V
j =
√
−1.
er reell, fås
Spenningen
ekstra fase inne i argumentet til cosinus-funksjonen:
v(t) = Re{|V | exp(jφ) exp(jωt)} = |V | cos(ωt + φ).
Den komplekse fasen
φ
(argumentet) til
signalet.
8
V
(15)
innebærer altså en faseforsinking av
vi (t)
Z
Figur 3: Krets med en vekselspenningkilde koblet over en impedans.
Vi ser først på tilfellet der impedansen er en motstand. Da har vi at strømmen
igjennom motstanden er
i(t) =
v(t)
= Re
R
V
exp(jωt)
R
(16)
i(t) = C dv/dt,
V
exp(jωt) ,
Z
i henhold til Ohms lov. For en kapasitans har vi at
i(t) = C Re{jωV exp(jωt)} = Re
og derfor
(17)
1
jωC kalles impedansen til kondensatoren. Vi ser at Z opptrer i (17)
på samme måte som R opptrer i (16), så impedansen Z er å anse som en
der
Z =
generalisert resistans.
Det er praktisk å denere en kompleks strøm
I=
I:
V
,
Z
(18)
slik at
i(t) = Re{I exp(jωt)}.
(19)
Om vi hadde kjent strømmen igjennom resistansen eller kapasitansen, i form
av (19), ville vi kunne regne oss tilbake til spenningen, på tilsvarende vis som
ovenfor. Dette gir (14), der
V = ZI .
Hva nå om vi parallellkobler to impedanser
Z1
og
Z2 ?
Siden den samme
spenningen er over de to impedansene, får vi strømmene
V
exp(jωt)},
Z1
V
i2 (t) = Re{
exp(jωt)},
Z2
i1 (t) = Re{
(20a)
(20b)
og derfor
i(t) = i1 (t) + i2 (t) = Re
V
V
+
Z1
Z2
exp(jωt)
9
= Re
V
exp(jωt) ,
Z
(21)
der
1
1
1
=
+
.
Z
Z1
Z2
(22)
Dette er altså uttrykket for impedansen til en parallellkobling. På tilsvarende
måte kan vi vise uttrykket
Z = Z1 + Z2
(23)
for en seriekobling. Man bruker da at strømmen er den samme igjennom de to
impedansene.
10