Kapitel I - Introduktion och första grundlagen
Kapitel I Introduktion och f¨orsta grundlagen Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Introduktion Vad ¨ ar Termofysik? Termofysiken handlar om att studera system best˚ aende av ett stort antal partiklar (atomer, molekyler, ...) i vilka temperaturen spelar en viktig roll Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Introduktion Vad ¨ ar Termofysik? Termofysik = Termodynamik + Statistisk mekanik Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Introduktion Vad ¨ ar Termofysik? Termodynamik I I En fenomenologisk beskrivning av egenskaperna av makroskopiska system i j¨amvikt Definiera makroskopiska fysikaliska storheter, sk. tillst˚ andsvariabler, som beskriver systemets tillst˚ and, och har ett entydigt v¨arde vid j¨amvikt ◦ t.ex. P, V, T f¨ or gaser etc. I Hitta empiriska relationer mellan tillst˚ andsvariablerna, tillst˚ andsekvationer, t.ex. h(P, V, T ) = 0 f¨ or gaser (1) Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Introduktion Vad ¨ ar Termofysik? I I Oftast beh¨ ovs endast en f˚ atal tillst˚ andsvariabler f¨ or att beskriva systemet I de flesta fall st¨ammer tillst˚ andsekvationen ¨ overens med experimenten endast f¨ or ett begr¨ansat intervall av v¨arden p˚ a tillst˚ andsvariablerna, t.ex. den ytterst viktiga idealgaslagen P V = N kB T I (2) ger egentligen noggranna v¨arden endast f¨ or monoatom¨ara gaser med l˚ ag densitet, h¨ og temperatur och l˚ agt tryck. Ursprungliga motivationen f¨ or termodynamiken var att f¨orst˚ a ˚ angmaskiner och hur man kunde effektivera dem Aeolipyle, Heron av Alexandria (ca. 10-70 e.Kr.) Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Introduktion Vad ¨ ar Termofysik? Statistiska mekaniken I Till¨ampar statistiska metoder f¨ or att studera system som best˚ ar av ett stort antal partiklar I Uppgift att h¨arleda, utg˚ aende fr˚ an de mikroskopiska egenskaperna av atomer eller molekyler, de makroskopiska egenskaperna f¨or systemet I Ger en f¨ orklaring f¨ or termodynamiken utg˚ aende fr˚ an den fundamentala atom¨ara (kvant)mekaniska teorin I En statistisk beskrivning absolut n¨ odv¨andig! Om¨ ojligt, och inte heller ¨ onskv¨art, att f¨ olja de ca. NA ≈ 6.02 · 1023 atomerna i ett makroskopiskt system. (3) Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Introduktion Vad tas upp p˚ a denna kurs? I Termodynamikens grundlagar I Termodynamikens statistiska beskrivning I Till¨ampningar ◦ Temperatur, v¨ arme, entropi, ... ◦ Vad ¨ ar temperatur, entropi, etc. egentligen? ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ Idealgasen Kylmaskiner, v¨ armepumpar Bensin- och dieselmotorn Faser, fasdiagram Reella gaser B-E och F-D statistik Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Introduktion Vad tas upp p˚ a denna kurs? N¨ar beh¨ovs kursens inneh˚ all? I Exempel: Vattnets kretslopp Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Repetition av differentialkalkyl N¨ odv¨ andiga matematiska metoderna Matematiken som beh¨ovs i termofysiken: I Derivering och integrering av funktioner av en variabel ◦ Given f (x), ber¨ akna f 0 (x), R dx f (x) I Differentialen av en funktion av en variabel I Partialderivering av funktioner av flere variabler ◦ Given f (x), ber¨ akna df ◦ Given f (x, y, . . .), ber¨ akna I ∂f ∂f , ∂x ∂y etc. Differentialen av funktioner av flere variabler ◦ Given f (x, y, . . .), ber¨ akna df Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Repetition av differentialkalkyl Differentialen Differentialen Given en funktion f (x) definieras differentialen av f df (x, ∆x) ≡ f 0 (x)∆x I F¨ orkortas oftast df I Funktion av tv˚ a variabler I Samma r¨akneregler som derivatan, t.ex. d(f g) = (df )g + f (dg) (4) Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Repetition av differentialkalkyl Partialderivatan I I Derivatan ger lutningen av grafen f¨ or en funktion av en variabel Hur g¨ ora detta f¨ or en funktion av flera variabler? ◦ En yta har ett o¨ andligt antal tangenter vid varje punkt! Partialderivatan Partialderivatan ger lutningen i en av koordinataxlarnas riktning, t.ex. f¨or en funktion f (x, y) ger ∂f (x, y) ∂x (a,b) lutningen av f (x, y) i punkten (a, b) i riktningen av x-axeln. Ber¨aknas som df (x, b) dx a dvs. som en vanlig derivering med avseende p˚ a x men d¨ar y behandlas som en konstant! Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Repetition av differentialkalkyl Partialderivatan Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Repetition av differentialkalkyl Partialderivatan I I uttrycket ∂f (x, y)/∂y ¨ar det klart att x h˚ alls konstant, och skrivs d¨arf¨ or ofta helt enkelt ∂f /∂y. I termodynamiken d¨aremot ¨ar det kutym att skriva ∂f ∂y x d¨ar nedre indexet x ber¨attar de variabler som h˚ alls konstant I Orsaken ¨ar f¨ oljande: i matematiken ¨ar x och y oberoende, medan i termodynamiken ¨ar tillst˚ andsvariablerna inte oberoende, de ¨ar relaterade via en tillst˚ andsekvation. D¨armed ¨ar det ytterst viktigt att veta vilka variabler som h˚ alls konstanta! I Notera ocks˚ a f¨ oljande: i matematiken kan symbolerna x och y bytas ut med andra (t.ex. χ och υ), men detta kan inte g¨oras med tillst˚ andsvariablerna eftersom de representerar fysikaliska storheter! Observera ocks˚ a att E = E(S, V ) och E = E(N, T ) a olika funktioner trots att de representerar samma storhet ¨ar tv˚ Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Repetition av differentialkalkyl Partialderivatan Exempel fr˚ an element¨ara ell¨aran Elektriska effekten P = P (I, U ) = IU kan ocks˚ a ges, med hj¨alp av Ohms lag U = RI, som P = P (I, R) = RI 2 eller ocks˚ a U2 R Notera allts˚ a att P (I, U ), P (I, R) och P (U, R) ¨ar alla olika funktioner. P = P (U, R) = Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Repetition av differentialkalkyl Differentialen f¨ or funktioner av flere variabler Differentialen f¨or en funktion av flere variabler I I (Exakta) differentialen df f¨ or f (x1 , x2 , . . . , xn ) ges av ∂f ∂f df = dx1 + dx2 + · · · ∂x1 x2 ,x3 ,...,xn ∂x2 x1 ,x3 ,...,xn (5) Funktion av 2n variabler Exempel: P = P (T, V, N ) ⇒ dP = ∂P ∂T dT + V,N ∂P ∂V dV + T,N ∂P ∂N dN T,V (6) Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Grundl¨ aggande begrepp System I I termofysiken betraktas system avgr¨ansade fr˚ an omgivningen I Ett system ¨ar en godtycklig samling materia vars egenskaper kan entydigt och fullst¨andigt beskrivas av ett antal makroskopiska parametrar OMGIVNING SYSTEM GRÄNS / VÄGG Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Grundl¨ aggande begrepp System Isolerade system I I V¨axelverkar inte med omgivningen Ofta anv¨and teoretisk konstruktion ◦ Termosflaska Slutna system I Kan utv¨axla energi men inte materia med omgivningen ◦ V¨ axthus ¨ Oppna system I Kan utv¨axla energi samt materia med sin omgivning ◦ Havet Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Grundl¨ aggande begrepp Termodynamisk j¨ amvikt J¨amvikt I Ett system ¨ar i j¨amvikt med sin omgivning d˚ a de makroskopiska variablerna som beskriver systemet inte l¨angre f¨ or¨andras med tiden I Systemet s¨ags d˚ a vara i ett visst termodynamiskt tillst˚ and I Om systemet rubbas fr˚ an j¨amviktstillst˚ andet, uppn˚ ar det i allm¨anhet ett j¨amviktsl¨age igen efter en typisk tidsperiod, den sk. relaxationstiden τ I Klassiska termodynamiken studerar system som ¨ar i j¨amvikt Studiet av system som inte ¨ar i j¨amvikt kallas f¨ or icke-j¨amviktstermodynamik eller transportteori. I dem ¨ar tidsberoendet av de makroskopiska variablerna av intresse, t.ex. ∂P ∂t = · · · . Det finns ocks˚ a system som ¨ar, och h˚ alls, helt utanf¨or termodynamisk j¨amvikt p.g.a. n˚ agon yttre p˚ averkan. S˚ adana kallas drivna system (eng. driven systems). Ifall tillst˚ andet i systemet ¨ar tidsoberoende, kan man s¨aga att de ¨ar i dynamisk j¨amvikt (eng. steady state). I I Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Grundl¨ aggande begrepp Termodynamiska processer Termodynamisk process I En process ¨ar en f¨or¨andring av systemet fr˚ an ett termodynamiskt tillst˚ and till ett annat ◦ t.ex. (P1 , V1 , T1 ) → (P2 , V2 , T2 ) Isobarisk process: P h˚ alls konstant Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Grundl¨ aggande begrepp Termodynamiska processer Isokorisk/isometrisk/isovolymetrisk process: V h˚ alls konstant Isotermisk process: T h˚ alls konstant Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Grundl¨ aggande begrepp Termodynamiska processer Adiabatisk process: inget v¨armeutbyte med omgivningen Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Grundl¨ aggande begrepp Termodynamiska processer Reversibel process I L˚ at en process f¨ or¨andra ett system fr˚ an tillst˚ andet A till tillst˚ andet B. Om man fr˚ an tillst˚ and B kan ˚ aterg˚ a till tillst˚ and A p˚ a s˚ a s¨att att ingen f¨ or¨andring skett i systemet eller i omgivningen j¨amf¨ort med ursprungsl¨aget d˚ a man var i tillst˚ and A, ¨ar processen reversibel I En process kan (oftast) f˚ as att g˚ a tillbaka till tillst˚ and B fr˚ an att ha varit i tillst˚ and A, men detta orsakar en permanent f¨or¨andring av omgivningen. D˚ a ¨ar processen A → B irreversibel I Reversibla processer ¨ar en idealisation, men kan emuleras om systemet f¨ or¨andras mycket l˚ angsamt fr˚ an A till B, dvs. tiden f¨or processen t >> τ . D˚ a ¨ar varje skede i ¨ overg˚ angen i j¨amvikt med omgivningen. Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Grundl¨ aggande begrepp Termodynamiska processer I F¨or reversibla processer kan en kurva mellan tillst˚ anden ritas ut t.ex. i ett PV-diagram P A B V Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Grundl¨ aggande begrepp Termodynamiska processer Cyklisk process I En cyklisk process ¨ar en serie av processer med resultatet att systemet ˚ aterkommer till utg˚ angsl¨aget i slutet av cykeln ◦ t.ex. i en fyr-stegs process: A → B → C → D → A Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Temperatur Vad ¨ar temperatur? I I I En varm kropp med temperaturen T1 och en kallare kropp med temperaturen T2 : T1 > T2 Varm Kall T1 T2 F¨ors¨att systemen i termisk kontakt Varm Kall T1 T2 V¨anta tills systemet kommer i j¨amvikt: Ts Ts Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Temperatur Vad ¨ar temperatur? Temperatur ¨ar ett m˚ att p˚ a ben¨agenheten f¨ or ett system att spontant avge energi till sin omgivning. N¨ar tv˚ a system ¨ar i termisk kontakt har det system som spontant f¨ orlorar energi en h¨ ogre temperatur I Hur kan man m¨ata temperatur? Termodynamikens 0:e huvudsats Tv˚ a system, b¨agge enskilt i termisk j¨amvikt med en tredje, ¨ar i j¨amvikt sinsemellan Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Temperatur Hur m¨ata temperatur? 1. Placera f¨ orem˚ alet F vars temperatur man vill f˚ a reda p˚ a i termisk kontakt med en kropp A och v¨anta att de kommer till j¨amvikt 2. A skall ha en egenskap som beror av temperaturen p˚ a ett s¨att som ¨ar v¨al k¨ant, A ¨ar en termometer 3. Om A har kalibrerats med en standardtermometer, garanterar 0:e grundlagen att man f˚ ar konsistenta resultat I ”0:e grundlagen: termometrar fungerar!” Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Temperatur I Flesta termometrar utnyttjar materialers (oftast v¨atskor eller gaser) v¨armeutvidgning: material upptar (vid samma tryck) en st¨orre volym d˚ a de ¨ar varma I S¨att kvicksilver (t.ex.) i en sluten beh˚ allare, s¨ag att temperaturen ¨ar 0 grader vid vattnets fryspunkt och 100 vid kokpunkten, och dra streck med j¨amna mellanrum mellan dessa I Kunde anv¨anda andra egenskaper ocks˚ a, t.ex. elektriska resistansen f¨ or n˚ at material Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Temperatur I Beroendet oftast endast approximativt line¨art med avseende p˚ a temperaturen I Olika termometrar ger d˚ a litet olika temperaturer f¨or t.ex. ljummet vatten I Kvicksilver ¨ overg˚ ar till fast form vid l˚ aga temperaturer, f¨or˚ angas vid h¨oga I Vilken termometer en perfekt standardtemrometer? Beh¨over en mera fundamental definition p˚ a temperatur Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Temperatur I Om man m¨ater trycket f¨ or en gas i en given volym vid olika temperaturer och med olika m¨angd gas: Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Temperatur I Om man m¨ater trycket f¨ or en gas i en given volym vid olika temperaturer och med olika m¨angd gas: Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Temperatur SI enheten f¨or temperatur: kelvin I Absoluta nollpunkten ≡ 0 K I Trippelpunkten vatten-is-˚ anga ≡ 273.16 K (0.01 ◦ C) Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen V¨ arme V¨arme V¨arme (Q)¨ar energi som spontant ¨ overf¨ ors fr˚ an ett system till ett annat p.g.a. en temperaturdifferens mellan systemen I I Spontant g˚ ar v¨armen fr˚ an en varmare till en kallare kropp Genom att s¨atta in energi i systemet kan riktningen f¨or v¨armetfl¨odet ¨andras ◦ G˚ ar ˚ at elektricitet att kyla ner maten i frysen I ¨ Observera ordet ”¨ overf¨ ors”. Aven om man kan s¨atta till eller ta v¨arme fr˚ an ett system, kan man inte s¨aga att ett system har en viss m¨angd v¨arme! Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen V¨ arme V¨ armekapacitet V¨armekapacitet Hur mycket v¨arme m˚ aste man tillf¨ ora f¨ or att ¨ oka ett systems temperatur med en m¨angd ∆T ? Svar: en m¨angd ∆Q = C∆T d¨ar C ¨ar v¨armekapaciteten I Olika v¨armekapaciteter beroende p˚ a hur v¨arme¨ overf¨oringen sker I V¨armekapacitet vid konstant volym ∂Q CV = ∂T V I I V¨armekapacitet vid konstant tryck ∂Q CP = ∂T P F¨ orh˚ allandet γ = CP /CV kallas f¨ or det adiabatiska indexet (7) (8) Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Arbete Arbete Arbete (W ) ¨ar en s˚ adan ¨ overf¨ oring av energi till eller fr˚ an ett system som inte ¨ar v¨arme I Till skillnad fr˚ an v¨arme ¨ar energifl¨ odet inte spontant orsakad av en temperaturdifferens, oftast kan en ”akt¨ or” finnas som aktivt g¨or arbete och s¨atter in energi i systemet, energi¨ overf¨ oringen sker inte automatiskt I P˚ a samma s¨att som med v¨arme kan man inte ange att ett system skulle inneh˚ alla en viss m¨angd arbete I D¨aremot kan man ange hur mycket v¨arme som tillf¨ordes systemet eller hur mycket arbete som utf¨ ordes p˚ a systemet Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Arbete I En viktig form av arbete ¨ar kompressionsarbete I dW ¯ = F dx = P Adx = −P dV I G¨aller strikt taget endast f¨ or en reversibel f¨ or¨andring (P m˚ aste vara v¨aldefinierad vilket kr¨aver j¨amvikt vid varje infinitesimala f¨orflyttning av kolven) Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Arbete Teckenkonvention I dW ¯ > 0 arbete utf¨ ors p˚ a systemet I dW ¯ < 0 arbete utf¨ ors av systemet p˚ a omgivningen I dQ ¯ > 0 v¨arme tillf¨ ors systemet I dQ ¯ < 0 v¨arme tas ut fr˚ an systemet Q<0 W>0 W<0 Q>0 Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Arbete Exempel: Isotermisk compression av en idealgas I Anta, att vi pressar ihop en idealgas i ett slutet system p˚ a ett reversibelt s¨att och att dess temperatur h˚ alls konstant Z V2 W =− P dV = N kB T ln V1 I V1 > V2 ⇒ W > 0 (kompression) I V2 > V1 ⇒ W < 0 (expansion) P V V2 V1 V1 V2 Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Arbete I Notera att arbetet beror p˚ a den tagna v¨agen R R dW ¯ = 6 W = dW ¯ C2 C1 C2 I WC1 = I Utf¨ orda arbetet i en cyklisk process i allm¨anhet 6= 0 P C2 A C1 B V Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Termodynamikens f¨ orsta grundlag I Energins bevarande ¨ar en fundamental princip som i termodynamiken kommer till uttryck i den f¨ orsta grundlagen: Termodynamikens 1:a grundlag Energin bevaras och v¨arme och arbete ¨ar b¨agge olika former av energi Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Termodynamikens f¨ orsta grundlag I Systemets + omgivningens totala energi Etot ¨ar konstant ⇒ ∆Etot = 0 = ∆Esystem + ∆Eomgivning I ⇒ ∆Esystem ≡ ∆U = −∆Eomgivning I I U kallas f¨ or systemets inre energi L˚ at omgivninen avge v¨arme ∆Q till systemet I Om omgivningen utf¨ or arbetet ∆W p˚ a systemet I ◦ ∆UQ = ∆Q, ∆Eomgivning,Q = −∆Q ◦ ∆UW = ∆W , ∆Eomgivning,W = −∆W Termodynamikens 1:a grundlag dU = dQ ¯ + dW ¯ Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Termodynamikens f¨ orsta grundlag Exempel: slutet U = U (T, V ) system ∂U ∂T V ∂U ∂V T I dU = dT + I dQ ¯ = dU − dW ¯ = dU + P dV , reversibelt kompressionsarbete I ger CV CP = dV ∂U ∂T = CV + V ∂U ∂V +P T ∂V ∂T P Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Termodynamikens f¨ orsta grundlag Exempel: sluten idealgas I F¨ or idealgaser g¨aller (detta visas senare) U = κN kB T I d¨ar κ ¨ar en konstant utan enheter Detta ger f¨ oljande viktiga resultat: CV = κN kB CP = CV + N kB κ+1 = κ = CV dT γ dU Kapitel I - Introduktion och f¨ orsta grundlagen Termodynamikens f¨ orsta grundlag Exempel: Adiabatisk kompression/expansion av sluten idealgas I Adiabatisk process: inget v¨armeutbyte ⇒ dQ ¯ =0 I Fr˚ an detta samt f¨ orsta grundlagen med reversibelt kompressionsarbete f˚ as T V γ−1 = konstant P V γ = konstant
© Copyright 2024