1. No category

Kapitel I
Introduktion och f¨orsta grundlagen
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Introduktion
Vad ¨
ar Termofysik?
Termofysiken handlar om att studera system best˚
aende av ett
stort antal partiklar (atomer, molekyler, ...) i vilka temperaturen
spelar en viktig roll
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Introduktion
Vad ¨
ar Termofysik?
Termofysik
=
Termodynamik
+
Statistisk mekanik
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Introduktion
Vad ¨
ar Termofysik?
Termodynamik
I
I
En fenomenologisk beskrivning av egenskaperna av makroskopiska
system i j¨amvikt
Definiera makroskopiska fysikaliska storheter, sk.
tillst˚
andsvariabler, som beskriver systemets tillst˚
and, och har ett
entydigt v¨arde vid j¨amvikt
◦ t.ex. P, V, T f¨
or gaser etc.
I
Hitta empiriska relationer mellan tillst˚
andsvariablerna,
tillst˚
andsekvationer, t.ex.
h(P, V, T ) = 0
f¨
or gaser
(1)
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Introduktion
Vad ¨
ar Termofysik?
I
I
Oftast beh¨
ovs endast en f˚
atal tillst˚
andsvariabler f¨
or att beskriva
systemet
I de flesta fall st¨ammer tillst˚
andsekvationen ¨
overens med
experimenten endast f¨
or ett begr¨ansat intervall av v¨arden p˚
a
tillst˚
andsvariablerna, t.ex. den ytterst viktiga idealgaslagen
P V = N kB T
I
(2)
ger egentligen noggranna v¨arden endast f¨
or monoatom¨ara gaser med
l˚
ag densitet, h¨
og temperatur och l˚
agt tryck.
Ursprungliga motivationen f¨
or termodynamiken var att f¨orst˚
a
˚
angmaskiner och hur man kunde effektivera dem
Aeolipyle, Heron
av Alexandria
(ca. 10-70 e.Kr.)
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Introduktion
Vad ¨
ar Termofysik?
Statistiska mekaniken
I
Till¨ampar statistiska metoder f¨
or att studera system som best˚
ar av
ett stort antal partiklar
I
Uppgift att h¨arleda, utg˚
aende fr˚
an de mikroskopiska egenskaperna av
atomer eller molekyler, de makroskopiska egenskaperna f¨or systemet
I
Ger en f¨
orklaring f¨
or termodynamiken utg˚
aende fr˚
an den
fundamentala atom¨ara (kvant)mekaniska teorin
I
En statistisk beskrivning absolut n¨
odv¨andig! Om¨
ojligt, och inte
heller ¨
onskv¨art, att f¨
olja de ca.
NA ≈ 6.02 · 1023
atomerna i ett makroskopiskt system.
(3)
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Introduktion
Vad tas upp p˚
a denna kurs?
I
Termodynamikens grundlagar
I
Termodynamikens statistiska beskrivning
I
Till¨ampningar
◦ Temperatur, v¨
arme, entropi, ...
◦ Vad ¨
ar temperatur, entropi, etc. egentligen?
◦
◦
◦
◦
◦
◦
Idealgasen
Kylmaskiner, v¨
armepumpar
Bensin- och dieselmotorn
Faser, fasdiagram
Reella gaser
B-E och F-D statistik
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Introduktion
Vad tas upp p˚
a denna kurs?
N¨ar beh¨ovs kursens inneh˚
all?
I
Exempel: Vattnets kretslopp
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Repetition av differentialkalkyl
N¨
odv¨
andiga matematiska metoderna
Matematiken som beh¨ovs i termofysiken:
I
Derivering och integrering av funktioner av en variabel
◦ Given f (x), ber¨
akna f 0 (x),
R
dx f (x)
I
Differentialen av en funktion av en variabel
I
Partialderivering av funktioner av flere variabler
◦ Given f (x), ber¨
akna df
◦ Given f (x, y, . . .), ber¨
akna
I
∂f ∂f
,
∂x ∂y
etc.
Differentialen av funktioner av flere variabler
◦ Given f (x, y, . . .), ber¨
akna df
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Repetition av differentialkalkyl
Differentialen
Differentialen
Given en funktion f (x) definieras differentialen av f
df (x, ∆x) ≡ f 0 (x)∆x
I
F¨
orkortas oftast df
I
Funktion av tv˚
a variabler
I
Samma r¨akneregler som derivatan, t.ex. d(f g) = (df )g + f (dg)
(4)
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Repetition av differentialkalkyl
Partialderivatan
I
I
Derivatan ger lutningen av grafen f¨
or en funktion av en variabel
Hur g¨
ora detta f¨
or en funktion av flera variabler?
◦ En yta har ett o¨
andligt antal tangenter vid varje punkt!
Partialderivatan
Partialderivatan ger lutningen i en av koordinataxlarnas riktning, t.ex. f¨or
en funktion f (x, y) ger
∂f (x, y) ∂x (a,b)
lutningen av f (x, y) i punkten (a, b) i riktningen av x-axeln. Ber¨aknas
som
df (x, b) dx a
dvs. som en vanlig derivering med avseende p˚
a x men d¨ar y behandlas
som en konstant!
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Repetition av differentialkalkyl
Partialderivatan
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Repetition av differentialkalkyl
Partialderivatan
I
I uttrycket ∂f (x, y)/∂y ¨ar det klart att x h˚
alls konstant, och skrivs
d¨arf¨
or ofta helt enkelt ∂f /∂y. I termodynamiken d¨aremot ¨ar det
kutym att skriva
∂f
∂y x
d¨ar nedre indexet x ber¨attar de variabler som h˚
alls konstant
I
Orsaken ¨ar f¨
oljande: i matematiken ¨ar x och y oberoende, medan i
termodynamiken ¨ar tillst˚
andsvariablerna inte oberoende, de ¨ar
relaterade via en tillst˚
andsekvation. D¨armed ¨ar det ytterst viktigt att
veta vilka variabler som h˚
alls konstanta!
I
Notera ocks˚
a f¨
oljande: i matematiken kan symbolerna x och y bytas
ut med andra (t.ex. χ och υ), men detta kan inte g¨oras med
tillst˚
andsvariablerna eftersom de representerar fysikaliska storheter!
Observera ocks˚
a att
E = E(S, V ) och E = E(N, T )
a olika funktioner trots att de representerar samma storhet
¨ar tv˚
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Repetition av differentialkalkyl
Partialderivatan
Exempel fr˚
an element¨ara ell¨aran
Elektriska effekten
P = P (I, U ) = IU
kan ocks˚
a ges, med hj¨alp av Ohms lag U = RI, som
P = P (I, R) = RI 2
eller ocks˚
a
U2
R
Notera allts˚
a att P (I, U ), P (I, R) och P (U, R) ¨ar alla olika funktioner.
P = P (U, R) =
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Repetition av differentialkalkyl
Differentialen f¨
or funktioner av flere variabler
Differentialen f¨or en funktion av flere variabler
I
I
(Exakta) differentialen df f¨
or f (x1 , x2 , . . . , xn ) ges av
∂f
∂f
df =
dx1 +
dx2 + · · ·
∂x1 x2 ,x3 ,...,xn
∂x2 x1 ,x3 ,...,xn
(5)
Funktion av 2n variabler
Exempel: P = P (T, V, N )
⇒ dP =
∂P
∂T
dT +
V,N
∂P
∂V
dV +
T,N
∂P
∂N
dN
T,V
(6)
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Grundl¨
aggande begrepp
System
I
I termofysiken betraktas system avgr¨ansade fr˚
an omgivningen
I
Ett system ¨ar en godtycklig samling materia vars egenskaper kan
entydigt och fullst¨andigt beskrivas av ett antal makroskopiska
parametrar
OMGIVNING
SYSTEM
GRÄNS / VÄGG
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Grundl¨
aggande begrepp
System
Isolerade system
I
I
V¨axelverkar inte med omgivningen
Ofta anv¨and teoretisk konstruktion
◦ Termosflaska
Slutna system
I
Kan utv¨axla energi men inte materia med omgivningen
◦ V¨
axthus
¨
Oppna
system
I
Kan utv¨axla energi samt materia med sin omgivning
◦ Havet
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Grundl¨
aggande begrepp
Termodynamisk j¨
amvikt
J¨amvikt
I
Ett system ¨ar i j¨amvikt med sin omgivning d˚
a de makroskopiska
variablerna som beskriver systemet inte l¨angre f¨
or¨andras med tiden
I
Systemet s¨ags d˚
a vara i ett visst termodynamiskt tillst˚
and
I
Om systemet rubbas fr˚
an j¨amviktstillst˚
andet, uppn˚
ar det i allm¨anhet
ett j¨amviktsl¨age igen efter en typisk tidsperiod, den sk.
relaxationstiden τ
I
Klassiska termodynamiken studerar system som ¨ar i j¨amvikt
Studiet av system som inte ¨ar i j¨amvikt kallas f¨
or
icke-j¨amviktstermodynamik eller transportteori. I dem ¨ar
tidsberoendet av de makroskopiska variablerna av intresse, t.ex.
∂P
∂t = · · · .
Det finns ocks˚
a system som ¨ar, och h˚
alls, helt utanf¨or
termodynamisk j¨amvikt p.g.a. n˚
agon yttre p˚
averkan. S˚
adana kallas
drivna system (eng. driven systems). Ifall tillst˚
andet i systemet ¨ar
tidsoberoende, kan man s¨aga att de ¨ar i dynamisk j¨amvikt (eng.
steady state).
I
I
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Grundl¨
aggande begrepp
Termodynamiska processer
Termodynamisk process
I
En process ¨ar en f¨or¨andring av systemet fr˚
an ett termodynamiskt
tillst˚
and till ett annat
◦ t.ex. (P1 , V1 , T1 ) → (P2 , V2 , T2 )
Isobarisk process: P h˚
alls konstant
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Grundl¨
aggande begrepp
Termodynamiska processer
Isokorisk/isometrisk/isovolymetrisk process: V h˚
alls konstant
Isotermisk process: T h˚
alls konstant
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Grundl¨
aggande begrepp
Termodynamiska processer
Adiabatisk process: inget v¨armeutbyte med omgivningen
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Grundl¨
aggande begrepp
Termodynamiska processer
Reversibel process
I
L˚
at en process f¨
or¨andra ett system fr˚
an tillst˚
andet A till tillst˚
andet
B. Om man fr˚
an tillst˚
and B kan ˚
aterg˚
a till tillst˚
and A p˚
a s˚
a s¨att att
ingen f¨
or¨andring skett i systemet eller i omgivningen j¨amf¨ort med
ursprungsl¨aget d˚
a man var i tillst˚
and A, ¨ar processen reversibel
I
En process kan (oftast) f˚
as att g˚
a tillbaka till tillst˚
and B fr˚
an att ha
varit i tillst˚
and A, men detta orsakar en permanent f¨or¨andring av
omgivningen. D˚
a ¨ar processen A → B irreversibel
I
Reversibla processer ¨ar en idealisation, men kan emuleras om
systemet f¨
or¨andras mycket l˚
angsamt fr˚
an A till B, dvs. tiden f¨or
processen t >> τ . D˚
a ¨ar varje skede i ¨
overg˚
angen i j¨amvikt med
omgivningen.
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Grundl¨
aggande begrepp
Termodynamiska processer
I
F¨or reversibla processer kan en kurva mellan tillst˚
anden ritas ut t.ex.
i ett PV-diagram
P
A
B
V
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Grundl¨
aggande begrepp
Termodynamiska processer
Cyklisk process
I
En cyklisk process ¨ar en serie av processer med resultatet att
systemet ˚
aterkommer till utg˚
angsl¨aget i slutet av cykeln
◦ t.ex. i en fyr-stegs process: A → B → C → D → A
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Temperatur
Vad ¨ar temperatur?
I
I
I
En varm kropp med temperaturen T1 och en kallare kropp med
temperaturen T2 : T1 > T2
Varm
Kall
T1
T2
F¨ors¨att systemen i termisk kontakt
Varm
Kall
T1
T2
V¨anta tills systemet kommer i j¨amvikt:
Ts
Ts
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Temperatur
Vad ¨ar temperatur?
Temperatur ¨ar ett m˚
att p˚
a ben¨agenheten f¨
or ett system att spontant
avge energi till sin omgivning. N¨ar tv˚
a system ¨ar i termisk kontakt har
det system som spontant f¨
orlorar energi en h¨
ogre temperatur
I
Hur kan man m¨ata temperatur?
Termodynamikens 0:e huvudsats
Tv˚
a system, b¨agge enskilt i termisk j¨amvikt med en tredje, ¨ar i j¨amvikt
sinsemellan
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Temperatur
Hur m¨ata temperatur?
1. Placera f¨
orem˚
alet F vars temperatur man vill f˚
a reda p˚
a i termisk
kontakt med en kropp A och v¨anta att de kommer till j¨amvikt
2. A skall ha en egenskap som beror av temperaturen p˚
a ett s¨att som
¨ar v¨al k¨ant, A ¨ar en termometer
3. Om A har kalibrerats med en standardtermometer, garanterar 0:e
grundlagen att man f˚
ar konsistenta resultat
I
”0:e grundlagen: termometrar fungerar!”
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Temperatur
I
Flesta termometrar utnyttjar materialers (oftast v¨atskor eller gaser)
v¨armeutvidgning: material upptar (vid samma tryck) en st¨orre volym
d˚
a de ¨ar varma
I
S¨att kvicksilver (t.ex.) i en sluten beh˚
allare, s¨ag att temperaturen ¨ar
0 grader vid vattnets fryspunkt och 100 vid kokpunkten, och dra
streck med j¨amna mellanrum mellan dessa
I
Kunde anv¨anda andra egenskaper ocks˚
a, t.ex. elektriska resistansen
f¨
or n˚
at material
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Temperatur
I
Beroendet oftast endast approximativt line¨art med avseende p˚
a
temperaturen
I
Olika termometrar ger d˚
a litet olika temperaturer f¨or t.ex. ljummet
vatten
I
Kvicksilver ¨
overg˚
ar till fast form vid l˚
aga temperaturer, f¨or˚
angas vid
h¨oga
I
Vilken termometer en perfekt standardtemrometer? Beh¨over en
mera fundamental definition p˚
a temperatur
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Temperatur
I
Om man m¨ater trycket f¨
or en gas i en given volym vid olika
temperaturer och med olika m¨angd gas:
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Temperatur
I
Om man m¨ater trycket f¨
or en gas i en given volym vid olika
temperaturer och med olika m¨angd gas:
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Temperatur
SI enheten f¨or temperatur: kelvin
I
Absoluta nollpunkten ≡ 0 K
I
Trippelpunkten vatten-is-˚
anga ≡ 273.16 K (0.01 ◦ C)
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
V¨
arme
V¨arme
V¨arme (Q)¨ar energi som spontant ¨
overf¨
ors fr˚
an ett system till ett annat
p.g.a. en temperaturdifferens mellan systemen
I
I
Spontant g˚
ar v¨armen fr˚
an en varmare till en kallare kropp
Genom att s¨atta in energi i systemet kan riktningen f¨or v¨armetfl¨odet
¨andras
◦ G˚
ar ˚
at elektricitet att kyla ner maten i frysen
I
¨
Observera ordet Ӭ
overf¨
ors”. Aven
om man kan s¨atta till eller ta
v¨arme fr˚
an ett system, kan man inte s¨aga att ett system har en viss
m¨angd v¨arme!
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
V¨
arme
V¨
armekapacitet
V¨armekapacitet
Hur mycket v¨arme m˚
aste man tillf¨
ora f¨
or att ¨
oka ett systems temperatur
med en m¨angd ∆T ?
Svar: en m¨angd ∆Q = C∆T d¨ar C ¨ar v¨armekapaciteten
I
Olika v¨armekapaciteter beroende p˚
a hur v¨arme¨
overf¨oringen sker
I
V¨armekapacitet vid konstant volym
∂Q
CV =
∂T V
I
I
V¨armekapacitet vid konstant tryck
∂Q
CP =
∂T P
F¨
orh˚
allandet γ = CP /CV kallas f¨
or det adiabatiska indexet
(7)
(8)
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Arbete
Arbete
Arbete (W ) ¨ar en s˚
adan ¨
overf¨
oring av energi till eller fr˚
an ett system som
inte ¨ar v¨arme
I
Till skillnad fr˚
an v¨arme ¨ar energifl¨
odet inte spontant orsakad av en
temperaturdifferens, oftast kan en ”akt¨
or” finnas som aktivt g¨or
arbete och s¨atter in energi i systemet, energi¨
overf¨
oringen sker inte
automatiskt
I
P˚
a samma s¨att som med v¨arme kan man inte ange att ett system
skulle inneh˚
alla en viss m¨angd arbete
I
D¨aremot kan man ange hur mycket v¨arme som tillf¨ordes systemet
eller hur mycket arbete som utf¨
ordes p˚
a systemet
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Arbete
I
En viktig form av arbete ¨ar kompressionsarbete
I
dW
¯ = F dx = P Adx = −P dV
I
G¨aller strikt taget endast f¨
or en reversibel f¨
or¨andring (P m˚
aste vara
v¨aldefinierad vilket kr¨aver j¨amvikt vid varje infinitesimala f¨orflyttning
av kolven)
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Arbete
Teckenkonvention
I
dW
¯ > 0 arbete utf¨
ors p˚
a systemet
I
dW
¯ < 0 arbete utf¨
ors av systemet p˚
a omgivningen
I
dQ
¯ > 0 v¨arme tillf¨
ors systemet
I
dQ
¯ < 0 v¨arme tas ut fr˚
an systemet
Q<0
W>0
W<0
Q>0
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Arbete
Exempel: Isotermisk compression av en idealgas
I
Anta, att vi pressar ihop en idealgas i ett slutet system p˚
a ett
reversibelt s¨att och att dess temperatur h˚
alls konstant
Z
V2
W =−
P dV = N kB T ln
V1
I
V1 > V2 ⇒ W > 0 (kompression)
I
V2 > V1 ⇒ W < 0 (expansion)
P
V
V2
V1
V1
V2
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Arbete
I
Notera att arbetet beror p˚
a den tagna v¨agen
R
R
dW
¯
=
6
W
=
dW
¯
C2
C1
C2
I
WC1 =
I
Utf¨
orda arbetet i en cyklisk process i allm¨anhet 6= 0
P
C2
A
C1
B
V
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Termodynamikens f¨
orsta grundlag
I
Energins bevarande ¨ar en fundamental princip som i
termodynamiken kommer till uttryck i den f¨
orsta grundlagen:
Termodynamikens 1:a grundlag
Energin bevaras och v¨arme och arbete ¨ar b¨agge olika former av energi
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Termodynamikens f¨
orsta grundlag
I
Systemets + omgivningens totala energi Etot ¨ar konstant
⇒ ∆Etot = 0 = ∆Esystem + ∆Eomgivning
I
⇒ ∆Esystem ≡ ∆U = −∆Eomgivning
I
I
U kallas f¨
or systemets inre energi
L˚
at omgivninen avge v¨arme ∆Q till systemet
I
Om omgivningen utf¨
or arbetet ∆W p˚
a systemet
I
◦ ∆UQ = ∆Q, ∆Eomgivning,Q = −∆Q
◦ ∆UW = ∆W , ∆Eomgivning,W = −∆W
Termodynamikens 1:a grundlag
dU = dQ
¯ + dW
¯
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Termodynamikens f¨
orsta grundlag
Exempel: slutet U = U (T, V ) system
∂U
∂T V
∂U
∂V T
I
dU =
dT +
I
dQ
¯ = dU − dW
¯ = dU + P dV , reversibelt kompressionsarbete
I
ger
CV
CP
=
dV
∂U
∂T
= CV +
V
∂U
∂V
+P
T
∂V
∂T
P
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Termodynamikens f¨
orsta grundlag
Exempel: sluten idealgas
I
F¨
or idealgaser g¨aller (detta visas senare)
U = κN kB T
I
d¨ar κ ¨ar en konstant utan enheter
Detta ger f¨
oljande viktiga resultat:
CV
= κN kB
CP
= CV + N kB
κ+1
=
κ
= CV dT
γ
dU
Kapitel I - Introduktion och f¨
orsta grundlagen
Termodynamikens f¨
orsta grundlag
Exempel: Adiabatisk kompression/expansion av sluten idealgas
I
Adiabatisk process: inget v¨armeutbyte ⇒ dQ
¯ =0
I
Fr˚
an detta samt f¨
orsta grundlagen med reversibelt
kompressionsarbete f˚
as
T V γ−1 = konstant
P V γ = konstant