1. No category

'Buffons nål'-problem som en linjärkombination
'Buffons nål'-problem finns som en relativt utförlig simulering på hemsidan www.indstat.se och
knappen [Simuleringar]. I detta dokument belyser vi problemet som en s.k. linjärkombination av
variabler. (Se också PDF-dolumentet på samma hemsida.)
Följande enkla figur får visa hur nålens 'övre' respektive 'undre' ändpunkt kan beskrivas som en
summa av två variabler:
Figuren visar en nål med längden L och
med vinkel α. Nålen är kastad mellan två
parallella linjer med avståndet d mellan
dem.
Läget för nålens bägge ändpunkter kan
nu beskrivas som en summa av två avstånd.
X är en variabel som är likformigt fördelad [0, d] och vinkeln är också likformigt
fördelad över [0, 90°].
Vi kan nu uttrycka problemet med hjälp av två modeller:
Om
Om
L
sin(α ) < 0
2
L
X + sin(α ) > d
2
X−
korsar nålen den undre linjen
korsar nålen den undre linjen
€
Simulering. Med hjälp av Minitab simulerar vi X-data från en rektangulärfördelning och vinklar
från en annan rektangulärfördelning, dessa vinklar räknas sedan om till avstånd med hjälp av
€
sinusfunktionen. Därefter summeras dessa värden och vi låter programmet beräkna andelen kast
där någon ändpunkt överskrider en linje. Sedan kan vi lätt skatta 'träffsannolikhet' och jämföra
resultatet med de teoretiska värdena på hemsidan.
(OBS på hemsidans simulering finns en 'längdkonstant' som är förhållandet mellan nålens längd
och avståndet mellan linjerna.):
let k1 = 50000
let k2 = 1
let k3 = 0.55
# Antal kast med nålen.
# Avstånd mellan de parallella linjerna.
# 'Längdkonstant', se ovan.
random k1 c1;
uniform 0 k2.
# Värden för nålens tyngdpunkt (X).
#
random k1 c2;
uniform 0 1.5708.
# Värden för vinkeln 'alfa' mellan 0
# och 90 grader (1.5708 radians).
let c4 = k3/2*sin(c2)
let c6 = c1 + c4
let c7 = c1 - c4
# Halva nålens längd gånger sinus för vinkeln.
# Nålens 'övre ändpunkt'.
# Nålens 'undre ändpunkt'.
© Ing-Stat - statistics for the industry www.ing-stat.nu
Rev A . 2013-03-07 . 1(2)
histogram c6;
# Histogram för 'Övre' ändpunktens läge.
density;
title 'Övre ändpunktens läge';
line 1 0 1 1.1;
size 2;
color 2;
axlabel 1 'Övre ändpunktens läge';
axlabel 2 '';
scale 1;
hdispl 0 0 0 0;
scale 2;
hdispl 0 0 0 0;
ldispl 0 0 0 0.
histogram c7;
# Histogram för 'Undre' ändpunktens läge.
density;
title 'Undre ändpunktens läge';
line 0 0 0 1.1;
size 2;
color 2;
axlabel 1 'Undre ändpunktens läge';
axlabel 2 '';
scale 1;
hdispl 0 0 0 0;
scale 2;
hdispl 0 0 0 0;
ldispl 0 0 0 0.
let k4 = (sum(c6 > 1) + sum(c7 < 0))/k1
print k4
# Skattning av 'träffsäkerhet'.
Vi kan nu jämföra resultatet i k1 med "Teo 'träffsäkerhet'" på hemsidan och med ett stort stickprov
(som här 50 000 kast) blir överenstämmelsen väldigt bra.
Kör också simuleringen med olika värden på 'längdkonstanten' (k3 ovan) och se att överensstämmelsen mellan denna simulering och det teoretiska värdet på hemsidan är god.
Sammanfattning
I detta papper har vi tittat på 'Buffons nål'-problem som en linjärkombination av två variabler
nämligen tyngdpunktens läge samt sträckan beroende på nålens vinkel.
Närhelst man arbetar med att t.ex. sätta ihop fysiska komponenter till en större enhet har man
kombinationer av variabler (kombinationer av 'mätvärden'). Dessa kombinationer kan vara mer
eller mindre komplicerade och kanske 'icke-linjära' som t.ex. då man beräknar resistansen hos två
eller flera parallellkopplade motstånd.
En teoretisk och utförlig behandling av problemet kan lätt bli väldigt komplicerad men ofta går det,
som i detta fall, att simulera situationen. ■
© Ing-Stat - statistics for the industry www.ing-stat.nu
Rev A . 2013-03-07 . 2(2)