Kvantfysikens grunder
Räkneövning 1
våren 2015
Assistent: Christoffer Fridlund
20.01.2015
1
Uppgift 1
Beräkna hur stor strålningseffekt från Solen som når Jorden, Solens totala utstrålade effekt samt
Solens temperatur. Följande data ges
Konstanter:
S = 1350 W/m2
rJ
6
= 6, 37 · 10 m
11
R = 1, 5 · 10
8
m
rS = 6, 96 · 10 m
Solkonstanten
Jordens radie
Jordbanans radie
Solens radie
Vid vilken våglängd kan man förvänta sig toppen i solens energispektrum? (B & M 2.2).
FACIT
Strålningen träffar jorden i ett cirkelplan (se figur 1), vilket ger strålningseffekten enligt följande:
PJ = SπrJ2 ≈ 1, 7 · 1017 W,
(1)
rS
<
J <
<
<
<
r
rJ
R
2
J
Figur 1: Vi ser jorden till vänster och solen till höger i bilden. Figuren illusterar också hur
strålningen från solen träffar jordytan i cirkelplanet A.
Solens totala utstrålade effekt beräknar vi genom att ta reda på vilket värde ”solarkonstanen”
har vid solens yta. Vi kallar den för KS . Den totala utstrålade effekten är densamma på jordens
avstånd från solen som vid solens yta.
PrJ
= PrS ⇔ S4πR2 = KS 4πrS2 ⇔ KS = S
PrS
= KS 4πrS2 = 4πr2 S ≈ 3, 8 · 1026 W.
R2
⇒
rS2
(2)
(3)
Om vi approximerar solen till en svartkropp (en rätt god approximation), kan vi beräkna solens
yttemperatur m.h.a. Stefan-Bolzmanns lag KS = σTS4 , σ = 5, 67 · 10−8 W/m2 K4 , vilket ger oss
TS =
SR2 1/4
σrS2
≈ 5770 K.
(4)
2
Om vi fortsätter att betrakta solen som en svartkropp kan vi beräkna dess spektrums vågtopp
m.h.a. Wiens lag λm TS = 2, 898 · 10−3 Km. Detta ger
λm =
2, 898 · 10−3 Km
≈ 502 nm.
TS
(5)
3
Uppgift 2
Uppskatta antalet fotoner som emitteras per sekund från en 100 W lampa genom att anta att
ljusets våglängd har medelvärdet 500 nm. På vilket avstånd från källan är fotonflödet 100 fotoner
per sekund och kvadratcentimeter? (B & M 2.16).
Konstanter:
Plampa = 100 W
λ = 500 nm
h = 6, 626076 · 10−34 Js
c = 299792458 m/s
FACIT
Eftersom effekt är energi per tidsenhet och vi utgår ifrån att fotoner är energikvanta med energin
Eγ = hν = h λc , där vi använt c = λν, kan vi beräkna antalet fotoner/tidsenehet som
λPlampa
Plampa
=
≈ 2, 5 · 1020 st/s.
Eγ
hc
Om vi antar att lampan och ljuskällan är ungefär sfäriska, så att källan sänder ifrån sig ljus lika
mycket i alla riktningar, kan vi beräkna på vilket avstånd fotonflödet är 100 st/(s· cm2 ) som
Plampa
1
·
= 100 st/(s · cm2 ) ⇔
Eγ
4πs2
λPlampa 1/2
≈ 4, 5 · 108 cm = 4500 km,
s=
4πhc100
där s betecknar avståndet från lampan.
4
Uppgift 3
Härled Weins förskjutningslag λmax T = konstant ur Plancks lag samt ange ett värde för konstanten.
Konstanter:
h = 6, 626076 · 10−34 Js
c = 299792458 m/s
k = 1, 380658 · 10−23 J/K
FACIT
Plancks lag är given som
uν (T ) =
8πν 2
hν
.
3
hν/kT
c e
−1
(6)
Om vi vill finna detta spektrums maximum i avseende å λ, måste vi byta variabler från ν
till λ och söka nollstället för integralen över alla våglängder. Detta skall ge ossR Wiens lag. Då
∞
vi ytterligare vet att den totala utstrålade intensiteten är given av M (T ) = 0 Mν dν, där
Mν = 4c uν (T ), kan vi byta variabler enligt vågekvationen c = νλ från ν till λ. Variabelbytet är
alltså det följande
c = νλ ⇔ ν =
c
c
⇒ dν = − 2 dλ,
λ
λ
(7)
vilket ger oss
Z
0
M (T ) = −
∞
c c 8πh c3
1
dλ =
2
3
3
hc/λkT
λ 4 c λ e
−1
Z
∞
0
2πhc2
dλ
.
5
hc/λkT
λ e
−1
(8)
Wiens lag ger oss maximat för detta spektrum i avseende å våglängden, vilket på matematiska
helt enkelt betyder att vi skall derivera spektret i avseende å λ. D.v.s. vi har villkoret
∂M (T )
=0
∂λ
(9)
att satisfiera. Då gör vi det:
∂M (T )
∂λ
Z
∞
2πhc −5λ−6
=
0
Z
=
0
1
2
∞
ehc/λkT − 1
2πhc2
λ6 (ehc/λkT − 1)
+λ
hc hc/λkT
λkT e
ehc/λkT − 1
−1
−5
(ehc/λkT − 1)2
!
−5
e
hc/λkT
hc
· − 2
λ kT
dλ
dλ = 0.
Denna integral kan vara = 0 på 3 sätt. Om λ = 0, är den noll p.g.a. att då går exponentfunktionen
till ∞ och vi dividerar med oändligt. Om λ = ∞ dividerar vi med ∞ igen i termen λ16 och hela
uttrycket går mot 0. Vi kommer att strunta i dessa två nollställen eftersom vi vet att spektret
för en svart kropp har en buckla på mitten och avtar på båda sidor om bucklan. D.v.s. dessa
två två nollställen är inte spektrets maximum. Det sista alternativet är
5
hc hc/λkT
λkT e
ehc/λkT − 1
− 5 = 0,
eller givet i omskriven form
1
1−
5kT λ
hc
1
5
−
−x
1−e
x
e−hc/kT λ
−
= 0
⇔
= 0,
x=
hc
.
ktλ
Denna ekvation går inte att lösa analytiskt, så vi tar och gör det numeriskt (med dator eller
miniräknare). Detta ger oss x = 4.965..., så att vi slutligen får
λm T =
hc
≈ 2, 897 · 10−3 Km,
kx
vilket är Wiens lag i mycket god approximation. I experiment har denna konstant uppmätts
vara 2, 896 · 10−3 Km.
6
Uppgift 4
Härled Stefan-Boltzmanns lag för den utstrålade intensiteten M (T ) = σT 4 utgående från
Plancks lag. Här bör man beakta att den energidensitet uν som anges i Plancks lag gäller
för energidensiteten inne i en kavitet. Sambandet mellan den utstrålade totala
och
R ∞intensiteten
3
4
energin inne i kaviteten är M = 4c U . Vid integreringen behövs integralen 0 exx−1 dx = π15 .
Beräkna även konstanten σ.
Konstanter:
h = 6, 626076 · 10−34 Js
c = 299792458 m/s
k = 1, 380658 · 10−23 J/K
FACIT
I denna uppgift kan vi använda integralen vi härledde för M (T ) i föregående uppgift, där vi
härledde Wiens lag från Plancks lag. D.v.s. uttrycket
Z
M (T ) =
0
∞
2πhc
dλ
.
5
hc/λkT
λ e
−1
Vi gör variabelbytet x =
hc
λkT ,
(10)
vilket ger oss
hc
hc 1
⇒ dλ = −
dx ⇒
kT x
kT x2
Z 0
Z
hc 1
dx
2πhc2 − kT
2π(kT )4 ∞ x3
2π 5 (kT )4
x2
M (T ) =
=
dx
=
,
5
hc
ex − 1
h3 c2
ex − 1
15h3 c2
∞
0
λ =
kT x
R ∞ 3 dx
4
där vi använt integralen 0 xex −1
= π15 , som ges i uppgiften, i det sista steget.
Om vi jämför resultatet med Stefan-Boltzmanns lag M (T ) = σT 4 får vi
σ=
2π 5 k 4
≈ 5, 67 · 10−8 W/m2 K4 ,
15h3 c2
vilket överensstämmer nästan ”felfritt” med experimentella värden.
7
Uppgift 5
Strålningen från en svartkropp med temperaturen 500 K träffar en metallyta vars utträdesarbete är 0,214 eV. Bestäm vid vilken våglängd strålningsspektret har sitt maximum samt beräkna
den längsta våglängd som förmår lösgöra fotoelektroner från metallytan. Vilken andel av svartkroppsstrålningens totala emittans M (T ) har en möjlighet att producera fotoelektroner från
metallytan? Visa även uträkningen som en dimensionslös integral över Planckfördelningen. (B
& M 2.19).
Konstanter:
h = 6, 626076 · 10−34 Js
c = 299792458 m/s
Eγ
T
= 0, 214 eV
= 500 K
FACIT
Strålningsspektrets maximum ges av Wiens lag som
λm T = 2, 898 · 10−3 Km ⇒ λm =
2, 898 · 10−3 Km
≈ 5, 80 · 10−6 m.
T
Eftersom Eγ = h λc och en foton minst måste ha energin Eγ = 0, 214 eV för att lösgöra en
elektron från metallytan, är den längsta våglängden som förmår göra detta
0, 214 eV = h
cλmax
hc
λmax =
≈ 5, 79 · 10−6 m.
⇔
0, 214 eV
Endast fotoner med kortare våglängd än λmax kan producera fotoelektroner. Detta kan anges
som en integral i formen
Z
λmax
Mλmax (T ) =
0
2πhc2
dλ
.
5
hc/λkT
λ e
−1
Andelen av svartkroppsstrålningens totala emittans som kan producera fotoelektroner kan anges
m.h.a. Stefan-Boltzmanns lag M (T ) = σT 4 som en dimensionslös integral i formen
δM =
Mλmax (T )
=
M (T )
Z
0
λmax
2πhc2
dλ
.
σT 4 λ5 ehc/λkT − 1
8
Uppgift 6
Med en ultraviolett ljuskälla med effekten 40 W och våglängden 248 nm belyses en magnesiumyta
2 m från källan. Bestäm antalet fotoner som emitteras från källan per sekund och det antal som
per ytenhet och sekund träffar Mg-ytan. Magnesium har utträdesarbetet 3,68 eV. Beräkna den
kinetiska energin hos de snabbaste elektronerna som emitteras från ytan. Bestäm även den högsta
våglängden med vilken fotoelektroner kan emitteras från magnesium. (B & M 2.18).
Konstanter:
h = 6, 626076 · 10−34 Js
c = 299792458 m/s
Plampa = 40 W
s = 2m
λ = 248 nm
FACIT
Eftersom effekt är energi per tidsenhet kan vi bestämma antalet fotoner per sekund som emitteras
från källan som
Plampa
λPlampa
=
≈ 5, 0 · 1019 st/s.
Eγ
hc
För att beräkna fotoner/sekund och ytenhet som träffar magnesiumytan måste vi veta ytans
form. Detta anges inte i uppgiften. Då måste vi hitta på en passlig yta. Vi antar att ytan är
på ett konstant avstånd från en sfärisk ljuskälla, d.v.s. ytan ligger hela tiden på ett avstånd av
s = 2 m från källan. Då kan vi lösa problemet genom beräkningen
Plampa
5, 0 · 1019 st/s
=
= 1 · 1018 st/sm2 .
Eγ 4πs2
4πs2
De snabbaste fotoelektronerna kommer att ha den kinetiska energin
K = Eγ − 3, 68 eV =
hc
− 3, 68 eV ⇒
λ
K = 1, 32 eV.
Den längsta våglängden som kan producera fotoelektroner är
Eγ =
hc
hc
= 3, 68 eV ⇒ λ =
≈ 337 nm
λ
3, 68 eV
9