Kvantfysikens grunder
Räkneövning 3
våren 2015
Assistent: Christoffer Fridlund
06.02.2015
1
Uppgift 1
Beräkna energinivåernas energier i eV för enkelt joniserat helium (He+ ) samt identifiera alla
övergångar i He+ som befinner sig i det synliga området 350-700 nm. (B & M 3.17).
Konstanter:
e = 1, 6021773 · 10−19 C
h = 6, 626076 · 10−34 Js
me = 9, 1093897 · 10−31 kg
c = 299792458 m/s
FACIT
För vanligt väte är energinivåerna givna av
En0 = −
1 me e4
13, 6 eV
≈−
.
2
2
2
n2
0 8n h
(1)
Eftersom enkelt joniserat Helium bara skiljer sig från väte med kärnladdningen som är 2e+ , kan
vi direkt skriva upp energinivåerna för detta system som
En = 22 En0 ≈ −
54, 4 eV
.
n2
Sedan räknar vi ut energierna i elektronvolt för våglängderna 350 nm och 700 nm. Detta ger oss
Eγ = hν =
hc
λ
⇒
E350 ≈ 3, 54 eV,
E700 ≈ 1, 77 eV,
vilket ger oss
E350 =
E700 =
54, 4 eV
n2
54, 4 eV
n2
⇒
n=4
⇒
n = 5.
Detta betyder alltså att övergångar i intervallet λ = 350 − 700 nm måste starta från n > 4 och
sluta vid n = 4 eller också kan de starta från n > 5 och stanna vid n = 5. Ytterligare är det
möjligt att starta från n = 4 eller n = 5 och ta sig neråt till något lägre n så, att man håller
sig i det önskade intervallet. Vi börjar med att kolla vart vi kan ta oss om vi startar från n = 4
eller n = 5,
54, 4 eV
42
54, 4 eV
−
42
54, 4 eV
−
52
54, 4 eV
−
52
−
54, 4 eV
32
54, 4 eV
−−
22
54, 4 eV
−−
42
54, 4 eV
−−
32
−−
≈ 2, 6 eV
≈ 10, 2 eV
≈ 1, 2 eV
≈ 3, 7 eV.
2
D.v.s. endast övergången E4 → E3 passar in i intervallet 1,77 eV → 3,54 eV. Då skall vi ännu
kolla från hur högt n vi kan ta oss till n = 4 respektive n = 5, så att vi är i det krävda intervallet,
54, 4 eV
54, 4 eV
−−
2
n
42
54, 4 eV
54, 4 eV
−
−−
n2
52
−
> 1, 77 eV
⇒n≥6
> 1, 77 eV
⇒ n ≥ 12.
Detta betyder att övergångarna En → E4 , n ≥ 6 och En → E5 , n ≥ 12 också är möjliga. Dessa
är alla möjliga övergångar, de summeras i det följande
E4 → E3
En → E4 , n ≥ 6
En → E5 , n ≥ 12.
3
Uppgift 2
Hur ser Bohrs formel för positroniums (e− e+ ) energinivåer ut och vilken radie har positronium? Vilken banhastighet har elektronen i positronium? Härled en formel för våglängderna i
positroniums Balmerserie. (B & M 3.19).
Konstanter:
me = 9, 1093897 · 10−31 kg
e = 1, 6021773 · 10−19 C
0 = 8, 85419 · 10−12 F/m
h = 6, 626076 · 10−34 Js
h
~=
2π
FACIT
Vi betraktar ett system där e− snurrar runt e+ med massan µe (se figuren). Om vi tillämpar
Bohrs kvantiseringsvillkor L = µe vn rn = n~ på centripetalkraften,
<
vn
e-
e
rn
e+
Figur 1: Positronium i den semi-klassiska bilden där en elektron med massan µe snurrar runt en
stillastående positron.
Fcent =
µe vn2
n2 ~2
=
rn
µe rn3
(2)
och balanserar den med Coulombkraften Fc =
Fc = Fcent ⇔
får vi
1 e2
n2 ~2
4π0 n2 ~2
=
⇔
r
=
.
n
4π0 rn2
µe rn3
µe e2
Om vi insätter detta i vn =
vn =
1 e2
2 ,
4π0 rn
n~
µe rn
(3)
får vi
n~ µe e2
e2
=
.
µe 4π0 n2 ~2
4π0 n~
(4)
Vi kan också beräkna energin som
1
1 e2
µe e 4
e2
µe e2
En = Kn − Un = µe vn2 −
=
−
2
4π0 rn
2(4π0 )2 n2 ~2 4π0 4π0 n2 ~2
4
µe e
= −
.
2(4π0 )2 n2 ~2
4
Då vi ytterligare har positronium i fråga, kan vi räkna µe som
µe =
m+
me− me+
m−
= e = e
me− + me+
2
2
me− = me+ ,
(5)
och vi har slutligen
me e4
6, 8 eV
=−
2
2
2
n2
160 n h
e2
2, 2 Mm/s
=
20 nh
n
20 n2 h2
= 0, 11n2 nm.
πme e2
En = −
vn =
rn =
Våglängderna i positroniums Balmerserie (nf = 2) ges av
hc
λ
=
=
=
Z 2 µE0 1
1
( 2 − 2)
m
ni
nf
12 m2e E0 1
1
( 2 − 2)
me
2
ni
E0 1
1
( − )
2 n2i
4
Detta ger ett uttryck för våglängden:
2hc
λ=−
E0
1
n2i
−
1
4
(6)
5
Uppgift 3
En mesisk atom bildas då en myon ersätter en elektron i en normal atom. Bestäm radien för det
första Bohrorbitalet och grundtillståndets energi i en mesisk väteatom. Myonens massa är 105,7
MeV/c2 . (B & M 3.21).
Konstanter:
e = 1, 6021773 · 10−19 C
mp = 1, 6726231 · 10−27 kg
me = 9, 1093897 · 10−31 kg
h = 6, 626076 · 10−34 Js
0 = 8, 85419 · 10−12 F/m
mµ = 1, 88422 · 10−28 kg
FACIT
För en väteatom gäller
En = −
där µe =
mp me
mp +me .
En = −
där µµ =
1 µe e4
,
20 8n2 h2
Om atomen är mesisk gäller istället
1 µµ e4
,
20 8n2 h2
mp mµ
mp +mµ .
rn =
(7)
(8)
Detta ger oss också rn som
0 n2 h2
.
πµµ e2
(9)
Från (9) och (8) får vi också
E1 ≈ −2529 eV
r1 ≈ 2, 8 · 10−13 m
6
Uppgift 4
Partikel-våg-dualiteten är otroligt viktig för vår förståelse för kvantmekanikne, coh därför tar vi
hjälp av en lite mer erafren föreläsare.
Se Richard Feynmans föreläsning i ämnet från 50 år tillbaka:
http://www.youtube.com/watch?v=hUJfjRoxCbk
och sammanfatta innehållet i ca 10 meningar.
Övningen ger dubbelt så många poäng som en vanlig uppgift.
FACIT
7