מבחן סיום ט תשעג מועד א - Emath
בשיתוף המרכז הישראלי לקידום מדעי המתמטיקה התכנית לנוער מוכשר במתמטיקה ע"ש ויקטור בנטטה מבחן סיום -כיתה ט' תשע"ג – מועד א' יש לכתוב את הפתרונות בעט רגיל בלבד .בחינה שתרשם בעפרון -לא יהיה ניתן לערער עליה .שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה. חומר עזר מותר בשימוש :מחשבון )לא גרפי( ,דפי נוסחאות מצורפים. משך המבחן :שלוש שעות. מבנה השאלון :במבחן 3פרקים. בפרק א' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות .1-3 בפרק ב' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות .4-6 בפרק ג' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות .7-9 מפתח ההערכה :הניקוד על כל השאלות שווה. תשובות ללא דרך )חישוב /הסבר( לא תקבלנה ניקוד. 1 3 2 עליך לענות על שתיים מהשאלות ) .1-3לכל שאלה 16נקודות( 3 שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. פרק א' – אלגברה ,סדרות ,גיאומטריה אנליטית 33 ) .נקודות( .1א .תלמיד החובב לימודי סדרות מתמטיות שאל את "מפלצת הסדרות", מפלצת שאוהבת לחשב סדרות ,האם ניתן להביע כל איבר במקום ה n -של סדרה כלשהי על ידי הפרש בין סכומי הסדרה .המפלצת ענתה :כן ,הרי מתקיים. an = S n − S n −1 : האם המפלצת צודקת? נמק! ב .נתון טור הנדסי אינסופי יורד ,שכל איבריו חיוביים. מסמנים ב Sn -את סכום nהאיברים הראשונים בטור .מסמנים ב S -את סכום הטור. בונים טור חדש שהאיבר במקום ה n -שלו הוא ההפרש. S − S n : ) (1הראה שהטור החדש שנוצר גם הוא טור הנדסי אינסופי יורד. ) (2אם ידוע שבטור הנתון , S 2 = 216, S = 243 :חשב את סכום הטור האינסופי החדש. אין קשר בין הסעיפים ת.ד 1570רמת גן 52115 ,טל 1700-72-72-73 .פקס 03-5351571 :דוא"ל[email protected] : www.yuni.co.il בשיתוף המרכז הישראלי לקידום מדעי המתמטיקה התכנית לנוער מוכשר במתמטיקה ע"ש ויקטור בנטטה x + 15b 1 − a2 3 − .2נתונה המשוואה = 2ax − 5bx 2a − 5b x מצא עבור אילו ערכי : a ) a, bפרמטרים(. א .לא יהיו פתרונות למשוואה הנתונה. ב .יהיה למשוואה פתרון יחיד. בתשובותיך הבע את aבאמצעות bבמידת הצורך. אין קשר בין הסעיפים הקודמים לסעיף הבא: ג .בהנחה שהחוקיות נמשכת ,מצא נוסחה לאיבר במקום ה n -בסדרה: 2iln 3 4iln 4 6iln 5 8iln 6 10iln 7 , ,− , ,− ,... 3 9 27 81 243 − .3על המעגל x 2 + y 2 = R 2נסמן נקודה כלשהי . Aמהנקודה Aנעביר מקביל לציר . x על המקביל נקצה מנקודה Aקטע באורך 2Rיחידות בכיוון החיובי של ציר xונקבל את הנקודה ) P(x, yבקצה הקטע. א .הוכח כי המקום הגיאומטרי של כל הנקודות ) P(x, yהמתקבלות בדרך זו הוא מעגל. רשום את שיעורי מרכז המעגל ואת רדיוסו. ב .המקום הגיאומטרי של מרכזי כל המעגלים המשיקים למעגל שקיבלת בסעיף א' ולישר x = -tהוא פרבולה קנונית .הבע את tואת משוואת הפרבולה באמצעות t ) . Rקבוע(. ת.ד 1570רמת גן 52115 ,טל 1700-72-72-73 .פקס 03-5351571 :דוא"ל[email protected] : www.yuni.co.il בשיתוף המרכז הישראלי לקידום מדעי המתמטיקה התכנית לנוער מוכשר במתמטיקה ע"ש ויקטור בנטטה פרק ב' – טריגונומטריה במישור ,גיאומטריה )ניתן לפתור בשיטות של גאומטרייה 1 3 אוקלידית או בכל דרך אחרת( 33 ) .נקודות( 2 3 שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. עליך לענות על שתיים מהשאלות ) .4-6לכל שאלה 16נקודות( A .4המרובע ABCDחסום במעגל. נתון כי 7 :ס"מ = 10 , ABס"מ = 8 , BCס"מ = 5 , CDס"מ = . DA D B א .חשב את רדיוס המעגל החוסם את המרובע . ABCD ב .חשב את זויות המשולש . △ ADB C .5אלכסוני טרפז שווה שוקיים ABCDמאונכים זה לזה ,ואורך כל אחד מהם הוא . m כל אחת מהזויות שעל-יד הבסיס הגדול היא . α ) m sin(α − 450 ) m sin(α + 450 ואורך הבסיס הקטן הוא א .הוכח כי אורך הבסיס הגדול הוא sin α sin α ב .חשב את גודל זוית , αאם היחס בין אורך הבסיס הגדול לבין אורך הבסיס הקטן הוא . 3 .6נתון מעגל שמרכזו Oורדיוסו . R B PAמשיק למעגל בנקודה . A ABהוא מיתר במעגל. הנקודה Mהיא אמצע המיתר . AB ) PB ⊥ ABראה שרטוט(. R א .הוכח: OM O M . 2iOM + BP = 2 R i A ב .מאריכים את הישר OMכך שיחתוך את PA בנקודה שנסמנה ב . F -נסמן. OM = b , FM = a : הבע בעזרת aו b -את היחס בין שטח המרובע PBMF לשטח המשולש . MOA ת.ד 1570רמת גן 52115 ,טל 1700-72-72-73 .פקס 03-5351571 :דוא"ל[email protected] : www.yuni.co.il P בשיתוף המרכז הישראלי לקידום מדעי המתמטיקה התכנית לנוער מוכשר במתמטיקה ע"ש ויקטור בנטטה פרק ג' – חשבון דיפרנציאלי של פונקציות טריגונומטריות ,פולינומים ,רציונאליות, 1 3 שורש ריבועי ,מעריכיות לוגריתמיות 33 ) .נקודות( 2 3 שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. עליך לענות על שתיים מהשאלות ) .7-9לכל שאלה 16נקודות( .7לפונקציה 2 ax −3 a ) f ( x) = x eפרמטר( יש נקודת קיצון בנקודה שבה . y = 3 e 2 .iחשב את ערכו של . a > 0 , a .iiהצב 2 3 = aוחקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א( תחום הגדרה ב( חיתוך עם הצירים ג( נקודות קיצון ד( תחומי עליה וירידה ה( נקודות פיתול ו( תחומי קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה ז( אסימפטוטות המקבילות לצירים. .iiiשרטט סקיצה של גרף הפונקציה. sin x .8נתונה הפונקציה cos x + 1 = ) f ( xבתחום . 0 ≤ x ≤ 2π חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א .תחום הגדרה ב .נקודות חיתוך עם הצירים ג .שיעור ה x -של נקודות אי הרציפות בפונקציית ) f ( xבתחום הנתון ד .נקודות קיצון )אם ישנן( ה .תחומי עלייה/ירידה )אם ישנן( ו .תחומי חיוביות/שליליות .9במעגל שרדיוסו 12ס"מ עובר מיתר במרחק 2ס"מ מהמרכז. במקטע שנוצר חסום מלבן. הוכח :שטח המלבן , Sמקיים. S ≤ 42 7 : 2 בהצלחה !!! ת.ד 1570רמת גן 52115 ,טל 1700-72-72-73 .פקס 03-5351571 :דוא"ל[email protected] : www.yuni.co.il בשיתוף המרכז הישראלי לקידום מדעי המתמטיקה התכנית לנוער מוכשר במתמטיקה ע"ש ויקטור בנטטה פתרונות סופיים .1א .לא; n > 1ב (1) .הוכחה )121.5 (2 )2 n i ln( n + 2 .2א a = 2.5b, 5b, 0 .ב a ≠ 2.5b, 5b, 0 .ג. 3n a n = ( − 1) n i .3א .מרכז ) ; ( 2R,0רדיוס Rבt = R , y 2 = 8RX . .4א .ס"מ R = 5.47ב∢A = 113.0350 ,∢B = 27.1910 ,∢D = 39.7740 . .5א .הוכחה בα = 750 . 3a .6א .הוכחה ב. b . i .7 2 3 =a .iiא( x ≠ 0ב( אין ג( (1, e ) min 2 3 ד( עולה , 1 < x :יורדת( x < 0 ) ∪ ( 0 < x < 1) : ה( אין ו( קעורה כלפי מעלה בכל תחומה. ז( אנכית) x = 0 :מצד ימין .משמאל זהו "חור"(. .iii y גרף: x 1 .8א 0 ≤ x < π ∪ π < x ≤ 2π .ב (0, 0), (2π , 0) .ג. x = π . ד. min ep (0, 0) , max ep (2π ,0) . ה .עולה בכל תחום הגדרתה0 ≤ x < π ∪ π < x ≤ 2π , ו .תחום חיובי , 0 < x < π :תחום שלילי. π < x < 2π : .9הוכחה. ת.ד 1570רמת גן 52115 ,טל 1700-72-72-73 .פקס 03-5351571 :דוא"ל[email protected] : www.yuni.co.il
© Copyright 2024