Vektorgeometri f¨ or gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten f¨ or teknik Linn´ euniversitetet Linj¨ ara avbildningar I Inneh˚ all En liten tillbakablick: Ortogonala projektioner Avbildningar Linj¨ ara avbildningar N˚ agra exempel p˚ a linj¨ ara avbildningar i planet N˚ agra exempel p˚ a linj¨ ara avbildningar i rummet Ett exempel p˚ a en icke-linj¨ ar avbildning  februari  2(25) En liten tillbakablick: Ortogonala projektioner Avsikten med denna f¨ orel¨ asning ¨ ar att vi ska b¨ orja titta p˚ a s˚ a kallade linj¨ ara avbildningar. Med hj¨ alp av linj¨ ara avbildningar kan man bilda nya vektorer utifr˚ an gamla, genom att t.ex. rotera, spegla eller projicera dem. F¨ or att bl.a. kunna handskas med projektioner av vektorer, ska vi inleda med att h¨arleda en formel, som man ibland kallar f¨or projektionsformeln. Denna formel finns inte omn¨ amnd vid detta namn i boken, men man kan ana den i exempel 7 i kapitel 4. Problemet ¨ar f¨oljande: Vi vill projicera en vektor x ortogonalt mot en annan vektor v 6= 0. Resultatet y av projektionen kommer d˚ a att uppfylla y = λv f¨or n˚ agot tal λ, eftersom y och v ¨ ar parallella. Fr˚ agan ¨ ar hur vi r¨aknar ut detta λ. Eftersom det r¨ or sig om en ortogonal projektion, kommer vi (givetvis) f¨ oruts¨ atta att vi anv¨ander oss av en ON-bas. x y  februari  v 3(25) F¨ or att luska ut hur λ i formeln y = λv kan t¨ ankas se ut, b¨orjar vi med att s¨atta u = x − y. D˚ a¨ ar u den bl˚ a vektorn i figuren nedan. Denna vektor ¨ar ortogonal mot v , s˚ a med hj¨alp av r¨ aknelagarna f¨ or skal¨ arprodukt f˚ ar vi 0 = u · v = (x − y ) · v = x · v − y · v ⇐⇒ y · v = x · v . Vi vet ju att y = λv , eftersom y och v ¨ ar parallella. Om vi i v¨ ansterledet till ekvationen y · v = x · v d¨ arf¨ or ers¨ atter y med λv s˚ a f˚ ar vi, med ytterligare lite hj¨ alp av n˚ agra r¨ akneregler f¨or skal¨ arprodukt, att λv · v = x · v ⇐⇒ λ(v · v ) = x · v ⇐⇒ λ = x ·v . |v |2 Vi har funnit ett uttryck f¨ or λ som enbart inneh˚ aller x och v (de tv˚ a vektorer som ¨ar givna redan fr˚ an b¨ orjan). x u =x −y v  februari  y 4(25) Sats (Projektionsformeln) Om y a a en annan ¨r den ortogonala projektionen av en vektor x p˚ vektor v = 6 0, s˚ a¨ ar y = λv , d¨ ar λ= x ·v . |v |2 Exempel Best¨ am den ortogonala projektionen y av x = (1, −1, 2) p˚ a vektorn v = (1, 3, −1). L¨osning. Eftersom λ= x ·v 1 · 1 + (−1) · 3 + 2 · (−1) −4 = = , |v |2 12 + 32 + (−1)2 11 4 12 4 4 v = (− 11 , − 11 , 11 ). L¨agg m¨arke till s˚ a ger projektionsformeln y = − 11 att y och v pekar i motsatta riktningar (vilket beror p˚ a att vinkeln mellan x och v ¨ar trubbig).  februari  5(25) Avbildningar I dina tidigare matematikstudier har du s¨ akert sysslat en hel del med funktioner. En funktion ¨ ar en regel som talar om hur man ska r¨akna ut ett tal utifr˚ an ett redan givet tal, ofta med hj¨ alp av en formel. Exempel p˚ a funktioner ¨ ar f1 (x ) = sin x , f2 (x ) = x 2 + 1 och f3 (x ) = ln(x + 2). H¨ar s¨ ager de olika reglerna (formlerna) att vi, f¨or varje reellt tal x , ska f1 : Ber¨ akna sinus av x f2 : Kvadrera x och addera sedan 1 till resultatet f3 : Addera 2 till x och ber¨ akna sedan (den naturliga) logaritmen av resultatet. Ett annat namn f¨or funktioner ¨ ar avbildningar, fast ibland betraktar man s˚ adana som mer generella ¨ an vad funktioner ¨ ar. Om man h˚ aller p˚ a med funktioner, ¨ar det n¨ amligen ofta underf¨ orst˚ att att man arbetar med tal; man matar in ett tal i funktionen, och funktionen svarar genom att mata ut ett tal. N¨ ar det g¨ aller avbildningar beh¨over det inte vara just tal som utg¨ or in- och utdata; f¨ or v˚ ar del kommer det att vara vektorer i rummet eller i planet.  februari  6(25) Definition (Avbildning, Bild) Med en avbildning F av rummets vektorer, avser vi en regel som till varje vektor u ordnar en entydigt best¨ amd vektor F (u) i rummet. Vektorn F (u ) kallas f¨or bilden av vektorn u genom F . I definitionen ovan kan vi ¨ aven ers¨ atta ”rummet” med ”planet”, s˚ a allts˚ a vi ¨aven kan t¨anka oss avbildningar av planets vektorer. Exempel p˚ a avbildningar av rummets vektorer skulle kunna vara • Spegla varje vektor i rummet i ett givet plan • Rotera varje vektor i rummet ett halvt varv runt en given r¨ at linje • Projicera varje vektor i rummet ortogonalt mot ett givet plan. Om vi har givet en avbildning F och k¨ anner koordinaterna f¨or en vektor u (i en given bas), s˚ a vill vi smidigt kunna r¨akna ut vilka koordinater som bilden F (u ) har. F¨ or s.k. linj¨ ara avbildningar visar det sig att sambandet mellan koordinaterna f¨ or u och F (u ) kan uttryckas med hj¨alp av en matris.  februari  7(25) Om X ¨ ar en kolonnmatris med tre element (d.v.s. en 3 × 1-matris), och om A ¨ar en 3 × 3-matris, s˚ a kommer Y , d¨ ar Y = AX , att liksom X vara en kolonnmatris med tre element. Detta kan vi utnyttja, f¨or att definiera en avbildning F av rummets vektorer, p˚ a f¨ oljande vis: L˚ at x = (x1 , x2 , x3 ) vara en vektor i rummet, och l˚ at X vara motsvarande kolonnmatris. Vi definierar bilden F (x ) som den vektor y = (y1 , y2 , y3 ) som svarar mot kolonnmatrisen Y = AX , d¨ar A ¨ar en given 3 × 3-matris.  februari  8(25) Exempel Vi definierar en avbildning F av rummets vektorer med hj¨alp av matrisen   −1 4 0 1 . A =  3 −2 2 0 −2 H¨ ar ges bilden till vektorn x = (1, 2, −5) genom F av F (x ) = (7, −6, 12), eftersom      −1 4 0 1 7  3 −2 1  2 = −6 . 2 0 −2 −5 12 Vektorn x = (3, 1, 2) har ˚ a sin sida bilden F (x ) = (1, 9, 14) (verifiera detta!).  februari  9(25) Med anknytning till f¨oreg˚ aende exempel: L˚ at x 1 och x 2 vara tv˚ a vektorer i rummet, och X 1 , X 2 motsvarande kolonnmatriser. D˚ a f˚ ar vi F (x 1 + x 2 ) genom att ber¨ akna matrisprodukten A(X 1 + X 2 ). Enligt en r¨ aknelag f¨or matrisr¨ akning g¨ aller A(X 1 + X 2 ) = AX 1 + AX 2 . H¨ ar ¨ ar AX 1 och AX 2 de kolonnmatriser som svarar mot F (x 1 ) respektive F (x 2 ). Matrisekvationen ovan kan allts˚ a ¨aven skrivas F (x 1 + x 2 ) = F (x 1 ) + F (x 2 ). (1) Vidare: Om x ¨ar en vektor i rummet med motsvarande kolonnmatris X , och om λ ¨ ar ett godtyckligt reellt tal, s˚ a f˚ as F (λx ) genom att ber¨akna matrisprodukten A(λX ). Men A(λX ) = λAX , d¨ ar h¨ ogerledet kan tolkas som λF (x ). Allts˚ a har vi ¨aven att F (λx ) = λF (x ). (2) Avbildningar med egenskaperna (1) och (2) ¨ ar av speciellt intresse. . .  februari  10(25) Linj¨ara avbildningar Definition (Linj¨ar avbildning) En avbildning F av rummets (planets) vektorer kallas linj¨ ar, om det (i) f¨ or alla vektorer x 1 och x 2 i rummet (planet) g¨aller F (x 1 + x 2 ) = F (x 1 ) + F (x 2 ), (ii) f¨ or varje vektor x i rummet (planet) och varje reellt tal λ g¨aller F (λx ) = λF (x ). Varje linj¨ar avbildning F uppfyller F (0) = 0. I boken visas detta genom att s¨atta λ = 0 i formeln F (λx ) = λF (x ), men vi kan ocks˚ a visa detta genom att s¨atta x 1 = x 2 = 0 i formeln F (x 1 + x 2 ) = F (x 1 ) + F (x 2 ): F (0 + 0) = F (0) + F (0). V¨ ansterledet ¨ar h¨ar lika med F (0). Allts˚ a¨ ar F (0) + F (0) = F (0) och nu f¨ oljer F (0) = 0 genom att subtrahera b˚ ada leden med F (0).  februari  11(25) N˚ agra exempel p˚ a linj¨ ara avbildningar i planet Om inget annat s¨ags, utg˚ ar vi ifr˚ an att det koordinatsystem (O , e 1 , e 2 ) som anv¨ands ¨ ar ortonormerat. Exempel (Ortogonal projektion p˚ a en r¨at linje) Betrakta den r¨ata linje L i planet som p˚ a normalform har ekvationen 2x1 + 3x2 = 0. (L¨ agg m¨arke till att denna linje g˚ ar genom origo O .) L˚ at P vara den avbildning av planets vektorer som projicerar varje vektor ortogonalt p˚ a L. L P (x ) = (y1 , y2 ) O b x = (x1 , x2 ) Antag att x = (x1 , x2 ) ¨ ar en vektor i planet, och att P(x ) = (y1 , y2 ) ¨ar resultatet av att x projiceras ortogonalt p˚ a L. Vi letar efter ett samband mellan (y1 , y2 ) och (x1 , x2 ). Ett s˚ adant samband kan vi hitta genom att anv¨ anda projektionsformeln som vi h¨ arledde inledningsvis; vi kan helt enkelt se P(x ) som den ortogonala projektionen av x p˚ a en riktningsvektor till L.  februari  12(25) Vi beh¨ over allts˚ a en riktningsvektor till L f¨ or att komma vidare. En s˚ adan ¨ ar enkel att l¨asa av, om ekvationen f¨ or linjen ¨ar skriven p˚ a parameterform: Genom att i ekvationen 2x1 + 3x2 = 0 s¨atta t.ex. x2 = 2t och sedan l¨osa ut x1 , f˚ ar vi x1 = −3t x2 = 2t , s˚ a en riktningsvektor f¨ or L ges allts˚ a av v = (−3, 2). Projektionsformeln ger nu att P(x ) = λv , d¨ ar λ= −3x1 + 2x2 x ·v = . |v |2 13 P˚ a koordinatform f˚ ar vi d¨ armed −3x1 + 2x2 1 (y1 , y2 ) = λ(−3, 2) = (−3, 2) = (9x1 − 6x2 , −6x1 + 4x2 ). 13 13 Vi f˚ ar ett linj¨art samband mellan (y1 , y2 ) och (x1 , x2 ) enligt ( 9 6 y1 = 13 x1 − 13 x2 1 y1 9 −6 x1 ⇐⇒ = . 4 6 4 y2 x2 13 −6 x1 + 13 x2 y2 = − 13 Sambandet mellan x och P(x ) kan allts˚ a beskrivas med hj¨alp av en matris, s˚ a P a r d¨ a rmed en linj¨ a r avbildning. ¨  februari  13(25) Exempel (Spegling i en r¨at linje) S (x ) = (y1 , y2 ) 2u L˚ at L vara samma r¨ata linje i planet, L som i det f¨orra exemplet, d.v.s. linjen u = P (x ) − x 2x1 + 3x2 = 0. O L˚ at S vara den avbildning av planets vektorer som speglar varje vektor i L. x = (x1 , x2 ) I f¨ orra exemplet kom vi fram till att P(x ), projektionen av x p˚ a L, kan skrivas med hj¨alp av projektionsformeln som P(x ) = λv , d¨ar v ¨ar en riktningsvektor f¨or linjen och λ = (x · v )/|v |2 . S¨att u = P(x ) − x . D˚ a blir S (x ) = x + 2u = x + 2(P(x ) − x ) = 2λv − x . b Med samma riktningsvektor v = (−3, 2) som tidigare, s˚ a blir detta p˚ a koordinatform (y1 , y2 ) = 2λ(−3, 2) − (x1 , x2 ) = (−6λ − x1 , 4λ − x2 ), d¨ ar, precis som i exemplet med projektionen, λ =  februari  −3x1 + 2x2 . 13 14(25) Koordinaterna y1 och y2 blir d¨ armed lika med −3x1 + 2x2 − x1 13 1 1 (−6(−3x1 + 2x2 ) − 13x1 ) = (5x1 − 12x2) = 13 13 y1 = −6λ − x1 = −6 · respektive y2 = 4λ − x2 = 4 · = −3x1 + 2x2 − x2 13 1 1 (4(−3x1 + 2x2 ) − 13x2 ) = (−12x1 − 5x2 ). 13 13 P˚ a matrisform kan vi skriva detta som 1 y1 5 −12 x1 = , y2 x2 13 −12 −5 s˚ aa ar. ¨ven denna avbildning a ¨r linj¨  februari  15(25) Exempel (Sned projektion p˚ a en r¨at linje) a = (1, 2) Pa (x ) = (y1 , y2 ) L˚ at som tidigare L vara den r¨ ata linjen 2x1 + 3x2 = 0, och l˚ at a = (1, 2) vara en vektor i planet. Vi definierar Pa som O den avbildning som projicerar vektorerx = (x1 , x2 ) na i planet p˚ a L, l¨angs med vektorn a. Vi har h¨ar vad man ibland kallar f¨ or en sned projektion; projektionen ar inte ortogonal. D¨arf¨ or kan vi inte anv¨ anda projektionsformeln f¨or ¨ att plocka fram koordinaterna f¨ or Pa (x ); den fungerar bara f¨or ortogonala projektioner. b I st¨ allet utnyttjar vi att (y1 , y2 ) m˚ aste vara sk¨ arningspunkten mellan L och den r¨ata linje som g˚ ar genom punkten (x1 , x2 ) och har a som riktningsvektor. En godtycklig punkt p˚ a denna linje har koordinaterna (x1 , x2 ) + t (1, 2) = (x1 + t , x2 + 2t ) f¨ or n˚ agot v¨arde p˚ a t, och vi s¨oker t s˚ a att denna punkt ocks˚ a ligger p˚ a L, d.v.s. s˚ a att 1 2(x1 + t ) + 3(x2 + 2t ) = 0 ⇐⇒ t = − (2x1 + 3x2 ). 8  februari  16(25) Detta ger att 1 1 y1 = x1 + t = x1 − (2x1 + 3x2 ) = (6x1 − 3x2 ) 8 8 och 1 2 y2 = x2 + 2t = x2 − (2x1 + 3x2 ) = (−4x1 + 2x2 ). 8 8 ¨ Aven h¨ar ¨ar det allts˚ a fr˚ agan om en linj¨ ar avbildning, eftersom sambandet mellan koordinaterna f¨ or Pa (x ) och x kan skrivas p˚ a matrisform 1 y1 6 −3 x1 = . y2 2 x2 8 −4  februari  17(25) N˚ agra exempel p˚ a linj¨ ara avbildningar i rummet Vi kommer, liksom i fallet med avbildningar i planet, utg˚ a fr˚ an att vi anv¨ ander ett ortonormerat koordinatsystem (O , e 1 , e 2 , e 3 ). Exempel (Ortogonal projektion p˚ a ett plan) L˚ at P vara den avbildning av rummets vektorer som projicerar varje vektor i rummet ortogonalt mot planet x1 + 3x2 − x3 = 0. (Notera att origo O ligger i planet.) Vektorn u = x − P(x ) ¨ ar parallell med planets normalvektor n, s˚ a u = λn f¨or n˚ agot tal λ, vilket ger P(x ) = x − u = x − λn. Talet λ kan r¨aknas ut med hj¨ alp av projektionsformeln, eftersom u kan tolkas som den ortogonala projektionen av x p˚ a n. x n u = x − P (x ) = λn P (x )  februari  18(25) Av planets ekvation x1 + 3x2 − x3 = 0 framg˚ ar det att n = (1, 3, −1), s˚ a ekvationen P(x ) = x − λn blir p˚ a koordinatform (y1 , y2 , y3 ) = (x1 , x2 , x3 ) − λ(1, 3, −1) = (x1 − λ, x2 − 3λ, x3 + λ). Enligt projektionsformeln ¨ ar λ = x1 + 3x2 − x3 x ·n = , vilket ger 2 |n| 11 x1 + 3x2 − x3 1 = (10x1 − 3x2 + x3 ), 11 11 1 x1 + 3x2 − x3 = (−3x1 + 2x2 + 3x3 ) y2 = x2 − 3λ = x2 − 3 · 11 11 x1 + 3x2 − x3 1 y3 = x3 + λ = x3 + = (x1 + 3x2 + 10x3 ), 11 11 y1 = x1 − λ = x1 − eller p˚ a matrisform      10 −3 1 x1 y1 1 −3 y2  = 2 3  x 2  . 11 1 3 10 x3 y3 Avbildningen ¨ar allts˚ a linj¨ ar.  februari  19(25) L˚ at v 1 = (2, 4, 3), v 2 = (1, 3, −1) och v 3 = (2, 0, 2). Vad ¨ar d˚ a P(v 1 ), P(v 2 ) respektive P(v 3 ), d.v.s. hur ser den ortogonala projektionen p˚ a planet x1 + 3x2 − x3 = 0 ut, f¨ or respektive vektor? Koordinaterna f¨or P(v 1 ) f˚ ar vi genom matrismultiplikationen        10 −3 1 11 2 1 1 1  11 = 1 , −3 2 3 4 = 11 11 1 3 10 44 3 4 s˚ a P(v 1 ) = (1, 1, 4). Denna vektor ¨ ar allts˚ a den skugga som v 1 kastar p˚ a planet, d˚ a detta belyses ”rakt uppifr˚ an”. N¨ ar det g¨aller v 2 s˚ a noterar vi att v 2 = n ¨ ar normalvektor till planet. Som s˚ adan kan den inte n˚ agon skugga alls p˚ a planet, eftersom projektionen ju ¨ar ortogonal. Allts˚ a P(v 2 ) b¨ or vara nollvektorn. Detta bekr¨ aftas ocks˚ a av att      10 −3 1 1 0 1  −3 2 3  3 = 0 . 11 1 3 10 −1 0  februari  20(25) Slutligen ber¨aknar vi P(v 3 ), d¨ ar v 3 = (2, 0, 2), p˚ a samma s¨att; vi f˚ ar        10 −3 1 22 2 2 1     1  −3 2 3 0 = 0 = 0 . 11 11 1 3 10 22 2 2 ar lika med sin egen skugga. Vi noterar att P(v 3 ) = v 3 , d.v.s. v 3 ¨ Hur kommer det sig? ar parallell med planet, och d¨armed ortogonal F¨ orklaringen ¨ar att v 3 ¨ mot den riktning som projektionen sker.  februari  21(25) Exempel (Spegling i ett plan) Vi ska h¨ar studera den avbildning S som speglar varje vektor i samma plan x1 + 3x2 − x3 = 0 som i f¨ oreg˚ aende exempel. Om u ¨ ar den ortogonala projektionen av x p˚ a normalvektorn n, s˚ a ¨ar S (x ) + 2u = x , vilket ger S (x ) = x − 2λn, d¨ ar n = (1, 3, −1) och λ = n x1 + 3x2 − x3 (se f¨ oreg˚ aende exempel). 11 x = (x1 , x2 , x3 ) u = λn S (x ) = (y1 , y2 , y3 )  februari  22(25) Ekvationen S (x ) = x − 2λn blir p˚ a koordinatform (y1 , y2 , y3 ) = (x1 , x2 , x3 ) − 2λ(1, 3, −1) = (x1 − 2λ, x2 − 6λ, x3 + 2λ), och med uttrycket λ = (x1 + 3x2 − x3 )/11 insatt f˚ ar vi efter litet r¨ akningar 1 x1 + 3x2 − x3 = (9x1 − 6x2 + 2x3 ) 11 11 x1 + 3x2 − x3 1 y2 = x2 − 6 · = (−6x1 − 7x2 + 6x3 ) 11 11 1 x1 + 3x2 − x3 = (2x1 + 6x2 + 9x3 ), y3 = x3 + 2 · 11 11 y1 = x1 − 2 · d.v.s. p˚ a matrisform      y1 9 −6 2 x1 1 y2  = −6 −7 6 x2  . 11 2 6 9 y3 x3 Med andra ord har vi att g¨ ora med ¨ annu en linj¨ ar avbildning.  februari  23(25) Hur ser d˚ a spegelbilderna ut, av samma tre vektorer v 1 = (2, 4, 3), v 2 = (1, 3, −1) och v 3 = (2, 0, 2), som vi tidigare projicerade ortogonalt p˚ a samma plan? Vi har att S (v 1 ) = (0, −2, 5), eftersom        9 −6 2 0 2 0 1 1  −22 = −2 . −6 −7 6 4 = 11 11 2 6 9 55 3 5 Vi skulle kunna r¨akna ut S (v 2 ) och S (v 3 ) p˚ a samma s¨att, men kan ocks˚ a f¨ ora ett geometriskt resonemang om vad resultatet m˚ aste bli. atanke, hur b¨or Vektorn v 2 ¨ar ju normalvektor till planet. Med detta i ˚ dess spegelbild S (v 2 ) se ut? N¨ ar vi ber¨aknade projektionen av v 3 p˚ a planet, fann vi att v 3 var lika ar parallell med planet. Hur b¨or med sin egen skuggbild, eftersom v 3 ¨ d¨ arf¨ or dess spegelbild S (v 3 ) i samma plan se ut? Verifiera slutsatserna genom att ber¨ akna motsvarande matrismultiplikationer.  februari  24(25) Ett exempel p˚ a en icke-linj¨ ar avbildning De avbildningar vi hittills sett exempel p˚ a, har alla varit linj¨ara, eftersom de har kunnat beskrivas med hj¨ alp av matriser, s˚ atillvida att y = F (x ) motsvaras av Y = AX f¨ or n˚ agon matris A. H¨ ar kommer ett exempel p˚ a en avbildning som inte ¨ar linj¨ar: Exempel (Translation av vektor) L˚ at a 6= 0 vara en vektor i rummet (planet), och betrakta avbildningen Ta , som f¨ or varje vektor x definieras av Ta (x ) = x + a. Avbildningen Ta ¨ar en s.k. translation. Ta (x ) = x + a a x Om Ta vore linj¨ar, skulle den ha avbildat nollvektorn p˚ a sig sj¨alv, med det g¨or den inte: Ta (0) = 0 + a = a 6= 0.  februari  25(25)