1. No category

De fysikaliska parametrar som avgör
periodtiden för en fjäder
Teknisk Fysik, Chalmers tekniska högskola, Sverige
Robin Andersson
Email: [email protected]
Alexander Grabowski
Email: [email protected]
3 december 2012
Sammanfattning
Rapporten är om en undersökning av de fysikaliska parametrar
som påverkar periodtiden för en godtycklig fjäder. Syftet med undersökningen är att algebraiskt förmedla hur periodtiden beror på dess
parametrar, samt att få en en bättre kunskap om hur det experimentella arbetet effektivt kan användas för att avgöra eventuella teoretisk
samband.
Undersökningen har inlett med teoretiska tankeexperiment och
funderingar över vad som kan förväntas. Vilka senare har visat sig
stämma eller ej, via experimentella verifieringar.
Innehåll
1 Inledning
2
2 Teori
2
3 Metod
2
4 Resultat
6
5 Felanalys
11
6 Diskussion
12
A Appendix
A.1 Loggbok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
13
1
1
Inledning
Vi skall undersöka de fysikaliska parametrar som påverkar periodtiden
för en fjäder. Det kan anses vara självklart att periodtiden varierar från
fjäder till fjäder. Men vad är det med fjädern som gör att periodtiderna
skiljer sig åt? Materialet? Längden? Antal varv på fjädern? Med dessa
frågor skall vi undersöka vår hypotes om de faktorer som påverkar
periodtiden, och sedan kunna avgöra den teoretiska periodtiden för en
given fjäder. Med avseende på detta hoppas vi få en bättre uppfattning
om vad som kan tänkas påverka en given faktor, som i vårat fall är
periodtiden för en godtyckligt belastad fjäder. Samt att få en bättre
kunskap om den process som behövs genomföras för att avgöra ett
sådant fysikaliskt samband.
2
Teori
En mekanisk fjäder är ett elastiskt objekt som har förmågan att bevara
mekanisk energi. Utsätter man en upphängd fjäder för en konstant
belastning kommer fjädern att börja självsvänga på grund av den kraft
som påverkar fjädern. När fjädern dras ut så ökar den potentiella
energin i fjädern, som konsekvens av detta dras fjädern ihop igen eftersom den potentiella energin bidrar till att skapa en spänning i
materialet. Denna mekaniska spänning ger upphov till en kraft större
än belastningskraften. När fjädern sedan börjar återvända minskar
energin i fjädern och belastningskraften som fortfarande verkar på
fjädern blir allt mer dominant när den mekaniska energin i fjädern
minskar, och processen återstartar. Denna periodiska process leder
till en svängning med ett sinusoidalt tidsberoende. Periodtiden för
denna självsvängning beror på ett antal parametrar. Vår uppgift är
att ta reda på hur den beror på dessa parametrar, för att sedan kunna
förutsäga vad periodtiden för en godtyckligt belastad mekanisk fjäder
bör vara.
3
Metod
Undersökningen har inletts med en teoretisk analys om vilka parametrar som kan tänkas ha en inverkan på periodtiden T . De parametrar
som har valts att undersökas är:
• Längden ` på fjädern.
• Antal varv n i fjädersprialen.
• Trådtjockleken w på fjädern.
2
w
l
n
d
1
0
0
1
0
1
m
Figur 1: Figuren visar en modell över en godtycklig fjäder ihop med de undersökta parametrarna. De parametrar som visas i figuren är fjäderns längd
`, tjockleken på fjädertråden w, antal varv n i fjäderns spiral, fjäderns ytterdiameter d samt en godtycklig yttre belastning m. Observera att skjuvmodulen och elasticitetsmodulen är ytterliggare två parametrar som har
undersökts i rapporten.
3
• Den yttre diametern d på fjädern.
• Antingen elasticitetsmodulen E eller skjuvmodulen G, som båda
är egenskaper för fjäderns material.
• En yttre belastning m, som hänger i fjädern.
Se figur 1, för en figur över dessa parametrar.
Metodiken som sedan följde var stegvis väldigt lik för de olika
parametrarna. För att avgöra om det existerade ett samband mellan
T och m så inleddes det med experiment på en godtycklig fjäder.
Experimentet innebar att mäta periodtiden för tre olika belastningar
för tre olika fjädrar. Den experimentella uppställning som har använts
demonstreras i figur 2.
Efter undersökningen av periodtiden som en funktion av massan(belastningen), genomgick fortsatta experiment där enbart en parameter i taget varierades. Först undersöktes parametern `. Tidsmätningarna mättes som tidigare fast denna gången i en annan ordning. De tre undersökta fjädrarna varierade som sagt enbart med
`, samt tre olika belastningar m. På dessa utfördes tre mätningar
(en medelvärdesmätning av tiden per fjäder, där tiden mättes upp 50
gånger per belastning (m1 = 5 kg, m2 = 7 kg, m3 = 10 kg). Med hjälp
av linjarisering fås återigen ett eventuellt samband.
Processen ovan för hitta eventuellt samband mellan ` och T har
sedan applicerats för att hitta samband mellan ytterliggare okända
parametrar. Detta återupprepades för antal varv n på fjädern och
ytterdiametern d.
För övriga två hypotetiska parametrar, tråddiametern w och antingen, elasticitetsmodulen E eller skjuvmodulen G, har dimensionsanalys applicerats. Det blir då ett överbestämt ekvationssystem, ty,
det finns enbart två okända parametrar och tre ekvationer.
Ett problem som dyker upp med dimensionsanalysen är att det går
inte att avgöra om det är E, eller G som är den verkande parametern.
För att de båda har samma storhet, L−1 · M · T −2 .
För att avgöra om det är G eller E som är den verkande parametern
resonerades det kring situationen. De har tagits upp frågor kring vad
konsekvenserna bör vara om det är E, eller G som verkar. Samt en del
experiment har gjorts i hopp om att avgöra den verkande parametern,
dock utan framgång.
Konstanten α bestäms med hjälp av fjäderparametrarna och de
uppmätta tiderna genom sambandet:
q
α=
m·n·d3
G·w4
T
4
.
(1)
Figur 2: En bild som demonstrerar hur den experimentella uppställningen
av mätningarna har sett ut. På bilden ser vi en fjäder upphängd i en fast
ställning. I fjädern hänger det sedan en belastning m i ett snöre. Strax under
belastningen så ses fotocellen som har använts för att mäta periodtiderna.
Varje uppmätt tid fås då ljuset mellan ljusdioden och mottagaren bryts, vilket
sker varje gång belastningen hamnar i ett sådant läge att ljuset blockeras.
Då skickas den uppmätta tiden vidare till en dator, där man läser av den
uppmätta tiden T .
5
För att erhålla ett bättre värde används i detta fallet flera olika
fjädrar, belastningar och tider och α defineras som medelvärdet av
dessa.
4
Resultat
Det första praktiska experimentet som utfördes var att undersöka om
det existerade ett samband mellan periodtiden T och belastningen m.
I tabell- 1, 2 och 3 följer de uppmätta tiderna för det experimentet,
T (m).
Tabell 1: Fjäder 1. Tiderna T1 − T5 är medelvärden av 10 individuella uppmätta perioder. Där Tmedel är medelvärdet av T1 − T5 . Tabellen täcker de
tider som mättes för fjäder 1 med tre olika värden på m. Tabellen visar att
avvikelserna från respektive värde är väldigt små. I detta fall en avvikelse på
högst ±2 ms.
Uppmätta tider [s] m1 = 5 kg
T1
0.227
T2
0.224
T3
0.226
T4
0.227
T5
0.227
Tmedel
0.226
m2 = 7 kg
0.266
0.266
0.266
0.266
0.264
0.266
m3 = 10 kg
0.315
0.317
0.315
0.315
0.315
0.315
Tabell 2: Fjäder 2. Tabell över de uppmätta tiderna med tre olika värden på
m. Det är fem tidsmedelvärden för tre olika belastningar. Tabellen visar att
avvikelserna från respektive värde är väldigt små. I detta fall en avvikelse på
högst ±4 ms.
Uppmätta tider [s] m1 = 5 kg
T1
0.267
T2
0.264
T3
0.267
T4
0.267
T5
0.267
Tmedel
0.266
6
m2 = 7 kg
0.314
0.309
0.311
0.307
0.311
0.310
m3 = 10 kg
0.368
0.368
0.368
0.368
0.368
0.368
Tabell 3: Fjäder 3. Tabell över de uppmätta tiderna med tre olika värden på
m. Det är fem tidsmedelvärden för tre olika belastningar. Tabellen visar att
avvikelserna är väldigt små. I detta fall en avvikelse på högst ±3 ms.
Uppmätta tider [s] m1 = 5 kg
T1
0.359
T2
0.355
T3
0.355
T4
0.357
T5
0.355
Tmedel
0.356
m2 = 7 kg
0.419
0.418
0.418
0.418
0.418
0.418
m3 = 10 kg
0.493
0.495
0.496
0.496
0.498
0.496
Med hjälp av MATLAB beräknades det sökta (om det fanns något)
sambandet. Ur denna data (se figur 3) sågs ett tydligt samband,
Function T(m)
−0.6
−0.7
−0.8
ln (T) [s]
−0.9
−1
−1.1
−1.2
−1.3
−1.4
−1.5
−1.6
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
ln (m) [kg]
2
2.1
2.2
2.3
2.4
Figur 3:
√
T = α m,
där α motsvarar alla de okända parametrar och konstanter för periodtiden.
Nästa parameter som undersöktes var `, d.v.s. T (`). För detta
samband har principen nästan varit densamma. Med två olika fjädrar, där det enda som skiljde de åt var `, med tre olika belastningar
1 kg, 3 kg, 5 kg utfördes tidsmätningarna som tidigare för T (m).
7
Ur tabell 4 ses att avvikelserna är väldigt små, i princip försumbara. Ur figur 4 ses också att linjerna ligger nästan exakt på varandra.
Detta innebar att ` inte påverkar T . Ty, om ` hade varit en verkande
parameter hade figur 4 visat parallella linjer som ej skär varandra, om
vi utgår ifrån att mätvärdena är noggranna nog för att ej bidra med
olika lutningar på linjerna.
Function T(m)
0
ln (T) [s]
−0.5
−1
−1.5
−0.5
0
0.5
1
ln (m) [s]
1.5
2
2.5
Figur 4: Figuren är resultatet ifrån linjariseringen av T som en funktion
av m med enbart varierande längd på fjädrarna. I grafen ses de linjer som
ej är parallellt förskjutna utan istället är i princip på varandra. Detta är
också tanken ty detta indikerar att det ej existerar ett samband mellan T
och `. Dock existerar det små avvikelser på grund utav att noggrannheten i
mätvärdena ej är exakta.
Denna process har nu applicerats för att undersöka T (n) och T (d).
Tack vare att det inte fanns någon samband mellan T (`) kunde en
parameter i taget varieras vilket underlättar den process som behövdes
genomgå för att finna de övriga eventuella samband. För experimentet
för T (n) fås
T =α·
√
m · n,
där α åter igen motsvarar de okända parametrar och konstanter, och
även fann vi ett samband i experimentet för T (d),
√
T = α · m · n · d3 .
Nu återstog enbart w och, E eller G. Dessa samband togs fram med
hjälp av dimensionsanalys.
8
Dimensionsanalys:
Vi antar att det är elasticitetsmodulen E, vi har då
√
T = m · n · d3 · wa · E b · α,
där α nu är en konstant. Omskrivning av uttrycket nu i form av enheter
ger
1
3
T = M 2 · L 2 · La · L−b · M b · T −2b .



T :
1 = −2b, b = − 12
0 = a − b + 23 , a = −2
0 = 21 + b, OK!
L:


M :
s
⇒ T =α
m · n · r3
, α är en konstant.
E · w4
Men eftersom E och G har samma storheter, räcker ej dimensionsanalysen till. Dock, det har argumenterats en del kring situationen, se figur
5 för en överblick över kraftsituationen. Faktum är att det är G som
är den parameter som påverkar T , för att när fjädern komprimeras
eller förlängs så påverkas fjädern i själva verket av en vridning. Men
om det hade varit E (som det är för något som kallas för bladfjädrar),
så hade situationen snarare handlat om att försöka bryta fjädermaterialet. Vilket inte är situationen som vi undersöker. Med hjälp av
metoden omnämnd i ekvation 1 bestäms slutligen α till 17.5833.
Vilket ger oss det ungefärliga slututtrycket.
s
T = 17.583 ·
m · n · r3
G · w4
(2)
Tabell 4: Tabell över de uppmätta tiderna för fjäder 4, 5 och 6 med tre olika
belastningar m. Det är nio medelvärden. Medelvärdena är ifrån 50 tidsmätningar vardera. Dessa medelvärden bildar tre linjer. Det ses tydligt i tabellen
att avvikelserna är väldigt små, om någon avvikelse alls.
Uppmätta tider [s] m1 = 1 kg
Tmedel1
0.298
Tmedel2
0.298
Tmedel3
0.296
9
m2 = 3 kg
0.541
0.536
0.542
m3 = 5 kg
0.646
0.639
0.639
Figur 5: En figur över snittet på en del av fjädertråden från spiralen som
demonstrerar hur fjädern ”deformeras” under påverkan av yttre krafter.
Krafterna är en visualisering över de krafter som faktiskt verkar under de
experiment som har utförts i rapporten.
10
5
Felanalys
Inledningsvis bestäms konstantens medelvärde genom att olika fjädrar
belastas och parametrarna mäts mycket noggrannt. Därefter används
det framtagna medelvärdet och enskilt uppmätta konstantvärden behandlas enligt följande formel:
v
u
u
sα = t
n
X
1
·
(αk − αmedel )2 ,
n − 1 k=1
där sα är standardavvikelsen i de uppmätta konstantvärdena, αmedel
är konstantens aritmetiska medelvärde, n är antalet uppmätta värden på α och k är ett index som används för att skilja på de olika
konstantvärderna.
Slutligen bestäms felet i slututtrycket med hjälp av godtyckligt
valda mätvärden från en fjäder samt uppskattade standardavvikelser
enligt tabell 5.
Tabell 5: En tabell över vilka värden som används i felanalysen av slututtrycket.
Standardavvikelser
sα
sm
sd
sw
sG
sn
Några godtyckliga fjäderparametrar
α
m
d
w
G
n
Värden
1.8252
0.010 kg
0.002 m
1.8252 m
0.1 · 109 Pa
0.2 varv
Värden
17.5833
3.0 kg
0.0667 m
0.00415 m
81.0 · 109 Pa
0.2 varv
Standardavvikelsen i T kommer då att se ut enligt följande uttryck:
s
sT =
∂T
∂α
2
· s2α +
∂T
∂m
11
2
· s2m +
∂T
∂d
2
· s2d +
∂T
+
∂w
2
·
s2w
+
∂T
∂G
2
·
s2G
+
∂T
∂n
2
· s2n .
Detta ger ett fel på ca 0.0466 s i slututtrycket.
6
Diskussion
De parametrar som har haft en avgörande roll hos periodtiden anses inte vara självklara. D.v.s. att ` inte påverkar T medans tjockleken w gör det anses inte vara självklart. Därmed tycker vi att dessa
experiment har varit viktiga och avgörande för att få en förståelse
för hur mindre tydliga material- och fjäderegenskaper påverkar periodtiden. Den konstant som existerar i det funna samband har dock
väldigt varierande värden för att den beror mycket på noggrannheten i
mätningarna. Inte enbart tidsmätningarna utan också längdmätningar
som w och d, som har mäts med ett skjutmått. Givetvis har metoden
för en viss mätning en påverkan även där på felmarginaler. Det vill
alltså säga att mätmetoderna är viktiga för att få ett korrekt teoretiskt
samband. Felet i det uppskattade slututtrycket anser vi vara rimligt
(ca 47 ms för en belastning på 3 kg) för att de uppskattade felen i de
olika parametrarna är stora med tanke på exponenterna på vissa av
dem. Det är också nämnvärt att felet blir större med ökande massa.
Referenser
[1] Carl Nordling och Jonne Östman. Värden för skjuvmodul och elasticitetsmodul. Physics Handbook. Sverige, upplaga 8, 2006.
[2] Designer unknown. Mall för fjäderfiguren, enbart fjädern. Xfig inbuilt graphics.
[3] Newcomb Spring Corporation. http: // www. newcombspring.
com/ article_ modulous_ elasticity. html . Modulus in Shear
or Torsion and modulus in tension or bending.
12
A
A.1
Appendix
Loggbok
Figur 6: Sida 1/7, loggboken.
13
Figur 7: Sida 2/7, loggboken.
14
Figur 8: Sida 3/7, loggboken.
15
Figur 9: Sida 4/7, loggboken.
16
Figur 10: Sida 5/7, loggboken.
17
Figur 11: Sida 6/7, loggboken.
18
Figur 12: Sida 7, och sista sidan av loggboken.
19