1. No category

Matematisk fysik I
Kompendiet
Lektor: Yury Shestopalov
e-mail:
[email protected]
Hemsidan:
Tel.
054-7001856
www.ingvet.kau.se\ ∼youri
Karlstads Universitet
2003
1
Inneh˚
all
1 Grundl¨
aggande begrepp av vektoranalys
1.1 Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Koordinatsystem . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Det cartesiska koordinatsystemet
1.3 Vektor- och matrisnormer . . . . . . . .
1.3.1 Konvergens av vektorf¨oljd . . . .
1.4 Rotation av koordinater . . . . . . . . .
1.5 Skal¨arprodukt . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Ortonormerad bas . . . . . . . .
1.6 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Skal¨ara f¨alt och vektorf¨alt . . . . . . . .
1.8 Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
8
8
9
10
12
12
15
15
16
17
19
2 Kurvor. Gradient
2.1 Kurvor p˚
a parameterform . . . . . . . . .
2.1.1 Tangent till en kurva . . . . . . . .
2.1.2 L¨angd av en kurva . . . . . . . . .
2.2 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Riktningsderivata . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Funktion v¨axer snabbast i riktningen grad
2.5 Normalvektor till niv˚
aytor . . . . . . . . .
2.6 Gradientf¨alt och potentialer . . . . . . . .
2.7 Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
23
24
25
26
27
28
29
30
31
3 Divergens och rotation av vektorf¨
alt
3.1 Definitionen av divergens . . . . . . .
3.2 Definitionen av rotation . . . . . . .
3.3 Viktiga vektoridentiteter . . . . . . .
3.4 Problem . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
38
38
40
41
41
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Kurvintegraler
46
4.1 Kurvintegralens definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 Ytor och ytintegraler. Gauss’
5.1 Ytor p˚
a parameterform . .
5.1.1 Tangent till en yta .
5.2 Ytintegraler . . . . . . . . .
5.2.1 Fl¨ode genom en yta .
5.3 Gauss’ divergenssats . . . .
divergenssats
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
48
48
50
51
52
54
5.4
Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6 Stokes’ sats
67
6.1 Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Heavisides stegfunktion. Diracs deltafunktion
7.1 Heavisides stegfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Diracs deltafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Impulsfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Definitionen av Diracs deltafunktion genom Laplacetransform
7.2.3 Vissa till¨ampningar: l¨osning av ordin¨ara diffekvationer . . .
75
75
78
78
79
80
8 Kroklinjiga koordinatsystem
8.1 Pol¨ara och cylindriska koordinater
8.1.1 Pol¨ara koordinater . . . .
8.1.2 Cylindriska koordinater . .
8.2 Kroklinjiga koordinater . . . . . .
8.3 Ortogonala koordinatsystem . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
82
82
82
83
83
85
9 Vektordifferentialoperatorer i kroklinjiga koordinater
9.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Divergens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Laplaces differentialoperator i kroklinjiga koordinater .
9.4 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
88
88
89
90
90
10 Tensorer
10.1 Definitioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Kronecker-delta och Levi–Civitas symbol . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Till¨ampningar av Kronecker-delta och Levi–Civitas symbol
10.3.2 Dualtensorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Tensorer och koordinattransformation . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Tv˚
a-dimensionella fallet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.1 Tv˚
a-dimensionella fallet och matriser . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
92
92
93
95
98
99
101
102
103
11 Dubbelintegraler och trippelintegraler
11.1 Dubbelintegraler . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1 Dubbelintegralens definition . . . . . .
11.1.2 R¨aknelagar f¨or dubbelintegraler . . . .
11.1.3 Ber¨akning av dubbelintegraler . . . . .
11.1.4 Variabelsubstitution i dubbelintegraler
11.2 Trippelintegraler . . . . . . . . . . . . . . . .
104
. 104
. 104
. 106
. 107
. 109
. 112
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11.2.1 Variabelsubstitution i trippelintegraler . . . . . . . . . . . . 114
11.2.2 Cylindriska koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
11.3 Sf¨ariska koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
12 Matriser och determinanter
118
12.1 Grundl¨aggande begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
12.2 Matrisalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
12.3 Determinanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
12.3.1 Permutationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
12.3.2 Cramers regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
12.4 Gausselimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
12.5 Ortogonala matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12.5.1 Inversmatrisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12.5.2 Transponerade matrisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12.5.3 Ortogonala koordinattransformationer . . . . . . . . . . . . 132
12.5.4 Symmetriska matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.5.5 Symmetriska matriser och rotation . . . . . . . . . . . . . . 133
12.5.6 Tensorer, ortogonala matriser och likformighetstransformation133
12.6 Hermitska och unit¨ara matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.6.1 Komplexa matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.6.2 Hermitska matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.6.3 Unit¨ara matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.6.4 Egenskaper hos konjugatmatriser . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.6.5 Paulis och Diracs matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.7 Normala matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
12.8 Bandmatriser och blockmatriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
12.8.1 Bandmatriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
12.8.2 Blockmatriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
12.9 Diagonalisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
12.9.1 Egenv¨arden och egenvektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
12.9.2 Egenv¨arden, egenvektorer och kvadratiska former . . . . . . 144
12.9.3 Egenv¨arden och egenvektorer till reella symmetriska matriser 145
12.9.4 Egenv¨arden och egenvektorer till Hermitska matriser . . . . 145
12.9.5 Spektralsatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13 Grupper
13.1 Grundbegrepp . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Definition av en grupp . . . . . . . . . .
13.3 Isomorfism . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Generatorer och cykliska grupper . . . .
13.5 Kontinuerliga grupper. Gruppgenerering
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
147
147
147
148
149
150
13.5.1 Rotation av koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
13.6 Generatorer av kontinuerliga grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
14 Serier
14.1 Grundbegrepp . . . . . . . . . .
14.2 Serier med ickenegativa termer .
14.3 Funktionsserier . . . . . . . . .
14.4 Likformig konvergens . . . . . .
14.5 Potensserier . . . . . . . . . . .
14.6 Geometriska matrisserien . . . .
14.7 Problem . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
152
. 152
. 152
. 157
. 157
. 158
. 162
. 162
15 Grundbegrepp av komplex analys. Analytiska funktioner
15.1 Komplexa tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.1 Konjugerade komplexa talet . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.2 Geometrisk tolkning av komplexa tal. Absolutbeloppet
15.1.3 Pol¨ar form av komplexa tal . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.4 De Moivres formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Komplexv¨ard funktion av en komplex variabel . . . . . . . . .
15.2.1 Real- och imagin¨ardel till en komplex funktion . . . . .
15.3 Analytiska funktioner. Cauchy–Riemanns ekvationer . . . . . .
15.3.1 Gr¨ansv¨arden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3.2 Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3.3 Cauchy–Riemanns ekvationer . . . . . . . . . . . . . .
15.3.4 Analytiska funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Cauchys integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.1 Komplexa kurvintegraler . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.2 Cauchys integralsats . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.3 Cauchys integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.4 Cauchys generella integralformel . . . . . . . . . . . . .
15.5 Taylors och Laurents utveckling . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.1 Komplexa serier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.2 Potensserie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.3 Taylors utveckling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.4 Laurents utveckling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6 Residykalkyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6.1 Isolerade singulariteter. Poler . . . . . . . . . . . . . .
15.6.2 Metoder f¨or residyber¨akning . . . . . . . . . . . . . . .
15.6.3 Residysats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6.4 Ber¨akning av reella integraler med residykalkyl . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
163
163
163
164
165
165
166
167
167
167
168
169
169
171
171
172
172
173
174
174
175
176
178
181
181
183
183
187
16 Differentialekvationer: Grundbegrepp
16.1 Differentialekvationer av f¨orsta ordningen . . . . . . . . . . . . . .
16.1.1 Linj¨ara differentialekvationer av f¨orsta ordningen . . . . .
16.1.2 Separabla ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Begynnelsev¨ardesproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 Linj¨ara differentialekvationer av andra ordningen . . . . . . . . .
16.3.1 Linj¨ara differentialekvationer av andra ordningen med konstanta koefficienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4 Singul¨ara punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.5 Frobenius’ metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.6 Randv¨ardesproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 Referenser
.
.
.
.
.
190
190
191
193
193
195
.
.
.
.
196
197
199
202
206
6
F¨
orord
Huvudm˚
alet av kompendiet ¨ar att till¨agna sig kunskaper om vissa matematiska
metoder som anv¨ands inom fysiken: serier, funktionsserier och likformig konvergens; matrisalgebra; grundbegrepp av komplex analys och gruppteori; differentialoch integralkalkyl i kroklinjiga koordinater; ordin¨ara differentialekvationer.
I Kompendiet, motsvarar problemnummer PROBLEM a.b.c detta i boken E.
Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition (AEM), t ex PROBLEM 8.1.1 ¨ar problemet 8.1.1 p˚
a s. 407 i AEM, avsnitt 8.1.
Exempel- och problemnummer (... Example , s. , A) mostvarar detta i boken
R. A. Adams, A Complete Course of Calcuclus, 4th Edition, Addison–Wesley,
1999 (A), t ex Example 8, s. 845, A ¨ar exemplet 8 p˚
a s. 845 i A, avsnitt 14.
7
1
1.1
Grundl¨
aggande begrepp av vektoranalys
Vektorer
En vektor ¨ar en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet.
Tv˚
a vektorer a och b ¨ar lika, a = b, om de har samma storlek och samma riktning.
En vektor (utom nollvektorn) kan anges med en riktad str¨aka, dvs en str¨aka
fr˚
an en punkt A (utg˚
angspunkt) till en annan punkt B (¨andpunkt).
Tv˚
a lika l˚
anga och lika riktade str¨akor anger samma vektor.
~ Vektorn s¨ags vara avsatt fr˚
Vektorn fr˚
an A till B kan betecknas AB.
an punkten
A. En vektor kan avs¨attas fr˚
an en godtycklig punkt. Nollvektorn svarar mot det
urartade fallet d˚
a A sammanfaller med B.
1.2
Koordinatsystem
Varje punkt l¨age i rymden kan anges med hj¨alp av ett koordinatsystem, som best˚
ar
t ex av tre mot varandra vinjkelr¨ata koordinataxlar.
Om tv˚
a icke-parallela vektorer ex och ey ¨ar givna i ett plan, kan varje vektor
u i planet entydigt skrivas som
u = xex + yey .
(1)
Vektorerna ex och ey kallas basvektorer. Vektorerna xex och yey kallas komposanter, talen x och y koordinater f¨or u (eller u’s komponenter), och beteckningen
u = (x, y) kan anv¨andas.
Om ex , ey och ez ¨ar tre i (tre-dimensionella) rummet givna vektorer som inte
ligger i ett plan, kan varje vektor u i rummet entydigt skrivas som
u = xex + yey + zez .
(2)
Vektorerna ex , ey och ez kallas basvektorer. Vektorerna xex , yey och zez kallas
komposanter, talen x, y och z koordinater f¨or u (u’s komponenter), och beteckningen u = (x, y, z) kan anv¨andas.
Om O (i detta sammanhang kallad origo) ¨ar en fix punkt i rummet (planet) ¨ar
~ , som kallas ortsvektorn f¨or P , och koordinater
varje punkt P best¨amd av vektor OP
~ upfattas som koordinater f¨or P . D˚
x, y, z f¨or OP
a har ortsvektorn f¨or P : (x, y, z)
utg˚
angspunkten O : (0, 0, 0) (origo) och a¨ndpunkten P : (x, y, z); beteckningen
r = [x, y, z] kan anv¨andas.
Man s¨ager att man har koordinaterna x, y, z i koordinatsystemet Oex ey ez eller
Oxyz (¨aven xyz). P˚
a motsvarande s¨att f˚
as koordinatsystemet Oex ey eller Oxy i
ett plan.
Vi inf¨or f¨oljande beteckningar: R a¨r m¨angden av alla reela tal, R2 a¨r m¨angden
av alla reela talpar (x, y) och R3 ¨ar m¨angden av alla reela taltripplar (x, y, z).
8
Geometriskt, R representeras av punkterna p˚
a en linje (tallinje), resp. punkterna
i ett plan eller i ett tre-dimensionellt rum.
En vektor med beloppet (storlek) 1 kallas enhetsvektor.
1.2.1
Det cartesiska koordinatsystemet
Om basvektorerna i ett koordinatsystem ¨ar parvis vinkelr¨ata enhetsvektorer kallas
koordinatsystemet ortonormerat, eller cartesiskt.
I ett cartesiskt koordinatsystem, (2) skrivas som
u = [x, y, z] = xi + yj + zk,
(3)
d¨ar basvektorerna
i = ex ,
j = ey ,
k = ez
¨ar cartesiska enhetsvektorer
i = [1, 0, 0],
j = [0, 1, 0],
k = [0, 0, 1].
(4)
Antag att en vektor a= P~Q har utg˚
angspunkten P : (x1 , y1 , z1 ) och ¨andpunkten
Q : (x2 , y2 , z2 ). D˚
a kallas tre talen
a1 = x2 − x1 ,
a2 = y2 − y1 ,
a3 = z2 − z1
(5)
a’s komponenter i koordinatsystemet xyz i rummet, och man skriver
a = [a1 , a2 , a3 ].
Vektors l¨angd (storlek)
q
|a| =
a21 + a22 + a23
(6)
L˚
at xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem och P : [x1 , y1 , z1 ] och Q : [x2 , y2 , z2 ]
tv˚
a punkter i rummet. Talet
p
|P − Q| = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2
kallas avst˚
andet mellan punkterna P och Q i rummet.
Exempel 1.1
Vektorn a= P~Q med utg˚
angspunkten P : (4, 0, 2) och ¨andpunkten Q : (6, −1, 2)
har komponenter
a1 = 6 − 4 = 2,
a2 = −1 − 0 = −1,
9
a3 = 2 − 2 = 0.
D˚
a a = [2, −1, 0] och l¨angden (avst˚
andet mellan punkterna P och Q)
p
√
|a| = 22 + (−1)2 + 02 = 5.
Om man v¨aljer (−1, 5, 8) som a’s utg˚
angspunkt, d˚
a, , enligt (5), ¨ar motsvarande
¨andpunkten (−1 + 2, 5 − 1, 8 + 0) = (1, 4, 8)
Exempel 1.2
a = [4, 0, 1] = 4i + k,
1.3
1
1
b = [2, −5, ] = 2i − 5j + k.
3
3
Vektor- och matrisnormer
L˚
at x, y ∈ Rn och α ∈ R ¨ar ett tal. En vektornorm || · || ¨ar en avbildning Rn → R,
med egenskaperna
||x|| ≥ 0 f¨or alla vektorer x,
||x|| = 0 om och endast om x = 0,
||αx|| = |α|||x||,
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (triangelolikheten).
De vanligaste vektornormer ¨ar
v
uX
u n 2
||x||2 = t
xj
(Euklidisk norm),
j=1
samt
||x||1 =
n
X
|xj | och ||x||∞ = max |xj |.
j
j=1
Exempel 1.3 L˚
at
¸ ·
¸
·
¸ ·
¸
·
p
1
y1
x1
=
;
=
, y=
x=
y2
0.05
x2
0.1
vara tv˚
a kolonnvektorer. D˚
a blir
v
u 2
uX
√
√
||x||2 = t
x2j = 1 + 0.12 = 1.01,
j=1
10
||x||1 =
2
X
|xj | = 1 + 0.1 = 1.1,
j=1
||x||∞ = max |xj | = 1.
j=1,2
||y||∞ = max |yj | = max{|p|, 0.05}.
j=1,2
||x + y||1 = |1 + p| + 0.15 ≤ 1 + |p| + 0.15 = 1.1 + (|p| + 0.05) = ||x||1 + ||y||1 .
||x+y||∞ = max{|1+p|, 0.15} ≤ max{1+|p|, 0.15} ≤ max{|p|, 0.05}+max{1, 0.1} = ||x||∞ +||y||∞
L˚
at || · || vara en vektornorm. Motsvarande matrisnorm definieras
||A|| = sup
||Ax||
, x 6= 0
||x||
Man kan visa, att en s˚
adan matrisnorm satisfierar ||A|| ≥ 0 f¨or alla matriser A,
||A|| = 0 om och endast om A = 0,
||αA|| = |α|||A||, α ∈ R,
||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||.
P˚
aminn att f¨or en kvadratisk matris A (av typ n × n) definieras potenser Ap
(p ¨ar ett positivt heltal) som successiv matrismultiplikation:
Ap = A · A · · · · · A p g˚
anger (p = 1, 2, . . . );
d¨ar

1
 0
I=
 .
0
0
1
.
0
...
...
...
...
A0 = I,
(7)

0
0 
.
. 
1
¨ar enhetsmatrisen (av typ n × n).
L˚
at || · || beteckna en vektornorm och motsvarande matrisnorm. Ur definitionen,
ser vi att
||Ax||
≤ ||A||.
||x||
D˚
a g¨aller
||Ax|| ≤ ||A|| · ||x||,
||AB|| ≤ ||A|| · ||B||.
(8)
Den andra olikheten f˚
as genom att anv¨anda den f¨orsta tv˚
a g˚
anger p˚
a ||ABx||.
p
F¨or potenser A av en kvadratisk matris A f˚
ar man
||Ap || ≤ ||A|| · ||A|| · · · · · ||A|| {p g˚
anger} ≤ ||A||p
11
(p = 1, 2, . . . ),
(9)
och
||Ap x|| ≤ ||Ap ||||x|| ≤ ||A||p ||x|| (p = 1, 2, . . . ).
(10)
Man kan visa ocks˚
a, att de vanligaste motsvarande matrisnormer f¨or en kvadratisk
matris A = [ajk ] av typ n × n ¨ar
v
uX
n
u n X
t
||A|| =
a2jk (Frobenius norm)
j=1 k=1
||A|| = max
k
n
X
|ajk | (Kolonnsumnorm)
j=1
||A||∞ = max
j
n
X
|ajk | (Radsumnorm).
k=1
Exempel 1.4
L˚
at
·
A = [ajk ] =
0.5 −0.25
−0.25 0.5
¸
vara en (symmetrisk) kvadratisk matris av typ 2 × 2. D˚
a blir
||A||∞ = max
j=1,2
2
X
|ajk | =
k=1
max{|a11 | + |a12 |, |a21 | + |a22 |} = max{0.5 + 0.25, 0.25 + 0.5} = 0.75.
1.3.1
Konvergens av vektorf¨
oljd
En vektorf¨oljd x(0) , x(1) , . . . , x(n) , . . . , kallas konvergent, om den konvergerar mot
en vektor u i en vektornorm ({x(n) } har ett gr¨ansv¨arde).
Det betyder att det finns en vektor u s˚
adan att ||x(n) − u|| g˚
ar mot 0 d˚
a n g˚
ar
mot o¨andligheten.
1.4
Rotation av koordinater
L˚
at xy vara ett cartesiskt koordinatsystem i planet och r en fix (given) vektor.
L˚
at x0 y 0 vara ett annat cartesiskt koordinatsystem roterad moturs (med vinkeln
φ) enligt
x0 = x cos φ + y sin φ,
y 0 = −x sin φ + y cos φ,
12
(11)
s˚
a att
A0x = Ax cos φ + Ay sin φ,
A0y = −Ax sin φ + Ay cos φ
(12)
blir koordinater i det nya cartesiska koordinatsystemet f¨or vektorn A, och vi
definierar Ax och Ay som A’s komponenter.
Anv¨and vidare en l¨amplig beteckning
x → x1 ,
y → y1 ,
(13)
a11 = cos φ, a12 = sin φ,
a21 = − sin φ, a22 = cos φ,
(14)
x01 = a11 x1 + a12 x2 ,
x02 = a21 x1 + a22 x2 ,
(15)
och skriv om (11)
eller
x0i
=
2
X
aij xj ,
i = 1, 2.
(16)
j=1
d¨ar
a12 = cos(x01 , x2 ) = sin φ,
a21 = cos(x02 , x1 ) = cos(φ + π/2) = − sin φ,
(17)
och
aij =
∂x0i
,
∂xj
i, j = 1, 2.
(18)
Vi har ortogonalitetsvillkor
2
X
aij aik = a1j a1k + a2j a2k =
i=1
=
=
=
=
=
=
a211 + a221 = cos2 φ + sin2 φ = 1,
a11 a12 + a21 a22 =
cos φ sin φ − sin φ cos φ = 0, (j
a12 a11 + a22 a21 =
sin φ cos φ − cos φ sin φ = 0, (j
a212 + a222 = cos2 φ + sin2 φ = 1,
13
(j = k = 1),
= 1, k = 2),
= 2, k = 1),
(j = k = 2)
(19)
eller
2
X
aij aik = δjk ,
j, k = 1, 2
(20)
i=1
d¨ar δjk ¨ar Kronecker-delta.
Invers rotation (φ → −φ) ger
xj =
2
X
aij x0i ,
j = 1, 2,
(21)
i=1
d¨ar
aij =
∂xj
,
∂x0i
i, j = 1, 2.
(22)
I ett N -dimensionellt rum, ¨ar vektorn
V = [V1 , V2 , . . . , VN ]
och
Vi0
=
N
X
aij Vj ,
i = 1, 2, . . . , N,
(23)
j=1
blir koordinater i det nya cartesiska koordinatsystemet. H¨ar
aij =
∂x0i
,
∂xj
i, j = 1, 2, . . . , N.
(24)
Man kan skriva om (23)
N
X
∂x0i
=
Vj ,
∂x
j
j=1
Vi0
i = 1, 2, . . . , N
(25)
i = 1, 2, . . . , N.
(26)
eller
Vi0
=
N
X
∂xj
j=1
∂x0i
Vj ,
Man kan visa ortogonalitetsvillkor
N
X
aij aik = δjk ,
i=1
d¨ar δjk ¨ar Kronecker-delta.
14
j, k = 1, 2, . . . , N
(27)
1.5
Skal¨
arprodukt
Vinkeln mellan tv˚
a vektorer erh˚
alls genom att man avs¨atter dem fr˚
an samma
punkt.
Om a och b ¨ar tv˚
a vektorer och γ vinkel mellan dem ¨ar skal¨arprodukten av a
och b
a · b = |a||b| cos γ om a 6= 0, b 6= 0
a · b = 0 om a = 0 eller b = 0.
Om a = [a1 , a2 , a3 ] och b = [b1 , b2 , b3 ], d˚
a,
a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
Vektorn a kallas normal till vektorn b om a · b = 0.
Skal¨arprodukten av tv˚
a vektorer a 6= 0 och b 6= 0 ¨ar 0 om och endast om de h¨ar
tv˚
a vektorerna ¨ar perpendikul¨ar, dvs vinkeln γ mellan a och b ¨ar γ = π/2 (90o )
(cos γ = 0).
Man kan best¨amma vektors l¨angd och vinkeln mellan tv˚
a vektorer genom
skal¨arprodukten
√
|a| = a · a
(28)
cos γ =
a·b
a·b
√
=√
|a||b|
a·a b·b
(29)
Exempel 1.5
Ber¨akna skal¨arprodukten, l¨angd och vinkeln mellan vektorer a= [1, 2, 0] och b=
[3, −2, 1]:
√
√
√
√
a · b = 1 · 3 + 2 · (−2) + 0 · 1 = −1, |a| = a · a = 5, |b| = b · b = 14;
γ = arccos
1.5.1
a·b
(−1)
= arccos √ = arccos (−0.11952) = 1.69061 = 96.865o
|a||b|
70
Ortonormerad bas
Den ortonormerade basen a, b, c i tre-dimensionella rummet best˚
ar av ortogonala
(cartesiska) enhetsvektorer
i = [1, 0, 0],
j = [0, 1, 0],
k = [0, 0, 1].
F¨or en given vektor
v = l1 a + l2 b + l3 c,
15
vi har
l1 = a · v,
l2 = b · v,
l3 = c · v.
Enhetsvektorerna i, j, k bildar standardbasen.
Exempel 1.6: Normalvektor till planet
Best¨am en enhetsvektor normal till planet 4x + 2y + 4z = −7.
L¨
osning. Ekvationen f¨or ett plan i tre-dimensionella rummet ¨ar
a · r = a1 x + a2 y + a3 z = c,
a = [a1 , a2 , a3 ] 6= 0,
r = [x, y, z].
Enhetsvektorn i riktningen a ¨ar
n=
1
a.
|a|
Likheten a · r = c dividerat med |a| ¨ar
n · r = p,
p=
c
.
|a|
n (och −n) ¨ar normalvektorn till planet.
√
√
a
I Exempel 4, a = [4, 2, 4], c = −7, |a| = 42 + 22 + 42 = 36 = 6; d˚
n = (1/6)a = [2/3, 1/3, 2/3], och avst˚
andet mellan planet och origo ¨ar |p| = 7/6.
1.6
Vektorprodukt
Vektorprodukten a × b av tv˚
a vektorer a = [a1 , a2 , a3 ] och b = [b1 , b2 , b3 ] ¨ar en
vektor v = a × b; dess l¨angd ¨ar
|v| = |a||b| sin γ
(γ a¨r vinkeln mellan vektorer a and b) och v
v bildar ett positivt orienterat h¨ogersystem.
Vi har
¯
¯ i j
¯
v = [v1 , v2 , v3 ] = a × b = ¯¯ a1 a2
¯ b1 b2
¯
¯
¯ a2 a3 ¯
¯,
v1 = ¯¯
b2 b3 ¯
a¨r perpendikul¨ar till a och b. a, b,
k
a3
b3
¯
¯
¯ a3 a1 ¯
¯,
v2 = ¯¯
b3 b1 ¯
16
¯
¯
¯
¯ = v1 i + v2 j + v3 k,
¯
¯
¯
¯
¯ a1 a2 ¯
¯
v3 = ¯¯
b1 b2 ¯
Exempel 1.7
Ber¨akna vektorprodukten av vektorerna a = [4, 0, −1] och b = [−2, 1, 3]:
¯
¯
¯
¯
¯
¯ i j k ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 0 −1 ¯
¯ −1 4 ¯
¯ 4 0 ¯
¯+j¯
¯
¯
¯
a × b = ¯¯ 4 0 −1 ¯¯ = i ¯¯
¯ 3 −2 ¯ + k ¯ −2 1 ¯ = i − 10j + 4k.
1 3 ¯
¯ −2 1 3 ¯
1.7
Skal¨
ara f¨
alt och vektorf¨
alt
L˚
at U vara ett omr˚
ade i rummet och l˚
at xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem.
Antag att vi f¨or varje punkt P = (x, y, z) ∈ U har definierat en vektor
v = v(P ) = [v1 (P ), v2 (P ), v3 (P ), ]
D˚
a s¨ager vi att v = v(P ) ¨ar ett vektorf¨alt i omr˚
adet U (v’s v¨arden ¨ar vektorer).
P˚
a motsvarande s¨att f˚
as definitionen av ett skal¨ar f¨alt
f = f (P )
d¨ar f (P ) = f (x, y, z) ¨ar en skal¨ar funktion av tre variabler definierad i omr˚
adet
U (f ’s v¨arden ¨ar reela tal). Omr˚
adet (m¨angden) U , som best˚
ar av alla de punkter
P = (x, y, z) f¨or vilka f (P ) existerar, kallas f ’s definitions m¨angd.
Exempel 1.8: Ett skal¨
art f¨
alt (avst˚
andet mellan punkterna i rummet)
L˚
at xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem. L˚
at vidare P : [x, y, z] vara en punkt
i rummet och P0 : [x0 , y0 , z0 ] en fix punkt i rummet. D˚
a kallas skal¨ara funktionen
p
f = f (P ) = f (x, y, z) = |P − P0 | = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2
avst˚
andet mellan punkterna P och P0 i rummet.
Exempel 1.9: Ett vektorf¨
alt (gravitationsf¨
alt)
En partikel A med massan M ¨ar bel¨agen i origo. Den attraherar genom gravitation
en partikel B med massan m i punkten P : [x, y, z] med en kraft p. I ett cartesiskt
koordinatsystem P : [x, y, z], P0 : [x0 , y0 , z0 ] = O : [0, 0, 0] och avst˚
andet mellan
punkterna P och P0 ¨ar
p
p
r = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = x2 + y 2 + z 2 .
Enligt Newtons gravitationslag ¨ar p riktad mot origo och |p| ¨ar omv¨ant proportionellt mot kvadraten p˚
a avst˚
andet till origo,
c
(30)
|p| = 2 , c = const.
r
17
Vektorn p har samma riktning som vektorn −r, d¨ar
r = [x, y, z] = xi + yj + zk
1
¨ar ortsvektorn f¨or P , |r| = r, och − r ¨ar en enhetsvektor som har samma riktning
r
som vektorn p (en enhetsvektor l¨angs p). Enligt (30) ¨ar d˚
a gravitationskraften
µ
¶
1
c
x
y
z
p = |p| − r = − 3 r = −c 3 i − c 3 j − c 3 k
(31)
r
r
r
r
r
D˚
a definierar (31) f¨or varje punkt P = (x, y, z) 6= O = (0, 0, 0) en vektor
p = p(P ) = [p1 (P ), p2 (P ), p3 (P )].
p = p(P ) ¨ar ett vektorf¨alt som kallas gravitationsf¨alt.
Betrakta en partikel A med massan M i punkten P0 : [x0 , y0 , z0 ] och en partikel B med massan m i punkten P : [x, y, z] (i ett cartesiskt koordinatsystem).
Avst˚
andet mellan punkterna P och P0 a¨r
p
r = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 ,
vektorn
r = P~0 P = [x − x0 , y − y0 , z − z0 ] = (x − x0 )i + (y − y0 )j + (z − z0 )k,
har utg˚
angspunkten P0 : (x0 , y0 , z0 ) och ¨andpunkten P : (x, y, z), och gravitationsf¨altet (gravitationskraften) ¨ar
µ
¶
1
c
x − x0
y − y0
z − z0
p = |p| − r = − 3 r = −c
i−c 3 j−c 3 k
(32)
3
r
r
r
r
r
L˚
at, t ex, P0 vara origo P0 = [0, 0, 0] och antag
a
p att punkterna P ligger p˚
2
2
2
2
enhetscirkel x + y = 1 i planet z = 0. Vi har |r| = x + y = 1 och vektorfunktionen (31) skrivas som
p = |p| (−r) = −cr,
(33)
D˚
a ¨ar p’s storlek konstant i varje punkt p˚
a cirkeln och har p motsatt riktning
mot ortsvektorn r.
F¨or en godtycklig cirkel x2 +y 2 = a2 och a¨ven en godtycklig sf¨ar x2 +y 2 +z 2 = a2
f˚
ar man samma p˚
ast˚
aende.
18
1.8
Problem
PROBLEM 8.1.1
Best¨am en vektor med utg˚
angspunkten P : (1, 1, 0) och ¨andpunkten Q : (4, 5, 0)
och dess l¨angd.
Lo
¨sning.
~
P Q =√v = [4 − 1, 5 − √
1, 0 − 0] = [3, 4, 0] = 3i + 4j.
2
2
|v| = 3 + 4 + 0 = 25 = 5.
PROBLEM 8.1.3
Best¨am en vektor med utg˚
angspunkten P : (1, 2, 3) och ¨andpunkten Q :
(2, 4, 6). och dess l¨angd.
L¨
osning.
P~Q =√v = [2 − 1, 4 − 2,√6 − 3] = [1, 2, 3] = i + 2j + 3k.
|v| = 12 + 22 + 32 = 14.
PROBLEM 8.1.9
L˚
at P~Q = v = [2, 3, 0] = 2i + 3j och utg˚
angspunkten vara P : (1, 0, 0). Best¨am
¨andpunkten Q : (x2 , y2 , z2 ).
L¨
osning.
P~Q = v = [x2 − 1, y2 − 0, z2 − 0] = [2, 3, 0].
D˚
a
x2 = 1√+ 2 = 3, y2√= 3 + 0 = 3, z2 = 0 + 0 = 0] and Q : (3, 3, 0)
|v| = 22 + 32 = 13.
PROBLEM 8.1.18
a = [3, −2, 1] = 3i − 2j + k,
b = [0, 3, 0] = 3j.
Best¨am |a + b| och |a| + |b|.
Lo
¨sning.
√
√
2
|a + b|
√= |[3 + 0, −2 +√3, 1 + 0]| =√|[3, 1, 1]| = 3 + 1 + 1 = 11.
2
|a| = 32 + 22 +
√ 1 = 14. |b| = 3 = 3.
|a| + |b| = 3 + 14. |a + b| < |a| + |b|.
PROBLEM 8.2.1
Ber¨akna skal¨arprodukten av vektorerna
19
a = [1, 3, 2] = i + 3j + 2k,
b = [2, 0, −5] = 2i − 5k,
c = [4, −2, 1] = 4i − 2j + k.
L¨
osning.
a · b = 1 · 2 + 3 · 0 + 2 · (−5) = 2 + 0 − 10 = −8 = b · a.
PROBLEM 8.2.4
L¨
osning.
2b + 3c = [2 · 2, 0, 2 · (−5)] + [3 · 4, 3 · (−2), 3 · 1] =
[4 + 12, 0 − 6, −10 + 3] = [16, −6, −7].
a · (2b + 3c) = 1 · 16 + 3 · (−6) + 2 · (−7) = 16 − 18 − 14 = −16 =
2a · b + 3a · c.
PROBLEM 8.2.25
Best¨am vinkeln mellan tv˚
a planen x + y + z = 1 och x + 2y + 3z = 6.
L¨
osning. Ekvationen f¨or ett plan i tre-dimensionella rummet ¨ar
a · r = a1 x + a2 y + a3 z = c,
a = [a1 , a2 , a3 ] 6= 0,
r = [x, y, z].
H¨ar,
a · r = x + y + z = 1,
a = [1, 1, 1],
c = c1 = 1
f¨or planet x + y + z = 1 och
b · r = x + 2y + 3z = 6,
b = [1, 2, 3],
r = [x, y, z],
c = c2 = 6
f¨or planet x + 2y√+ 3z = 6.
√
c1 = 1, |a| = √1 + 1 + 1 = 3;
√
c2 = 6, |b| = 1 + 22 + 32 = 14.
Enhetsnormalvektorn till planet x + y + z = 1 ¨ar
n1 =
1
1
a = √ a.
|a|
3
Enhetsnormalvektorn till planet x + 2y + 3z = 6 ¨ar
n2 =
1
1
b = √ b.
|b|
14
Vinkeln mellan tv˚
a plan a¨r vinkeln mellan tv˚
a normaler som a¨r lika med vinkeln
γ mellan vektorerna a och b. Man kan best¨amma vinkeln mellan tv˚
a, vektorer
20
genom skal¨arprodukten:
cos γ =
Vi har
cos γ =
a·b
a·b
√
=√
|a||b|
a·a b·b
(34)
1·1+1·2+1·3
a·b
6
√
=
= √ = 0.92582,
|a||b|
3 · 14
42
och
γ = arccos 0.92582 = 0.38760 ≈ 22.2o .
PROBLEM 8.3.1
Best¨am skal¨arprodukten och vektorprodukten av vektorerna a = [1, 2, 0], b =
[−3, 2, 0], och c = [2, 3, 4].
L¨
osning.
¯
¯
¯ i j k ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1 2 ¯
¯ = 8k;
a × b = ¯¯ 1 2 0 ¯¯ = k ¯¯
¯
−3
2
¯ −3 2 0 ¯
b × a = −a × b = −8k.
a · b = b · a = 1 · (−3) + 2 · 2 + 0 · 0 = −3 + 4 = 1.
PROBLEM 8.3.3
L¨
osning.
¯
¯
¯ i j k ¯
¯
¯
¯
¯ 2 0
a × c = ¯¯ 1 2 0 ¯¯ = i ¯¯
3 4
¯ 2 3 4 ¯
|a × c| = |c × a| =
¯
¯
¯
¯
¯−j¯ 1 0
¯
¯ 2 4
√
¯
¯
¯
¯
¯+k¯ 1 2
¯
¯ 2 3
82 + 42 + 1 =
√
¯
¯
¯ = 8i − 4j − k = [8, −4, −1];
¯
64 + 16 + 1 =
√
81 = 9.
a · c = 1 · 2 + 2 · 3 + 0 · 4 = 2 + 6 = 8.
PROBLEM 8.4.1
Betrakta skal¨ara f¨altet (tryckf¨a√
lt) f (x,√y) = 9x2 + 4y 2 och est¨am trycket i
punkterna (2, 4), (0.5, −3.25) och ( 17, 1/ 6).
L¨
osning.
21
f (2, 4) = 9 · 22 + 4 · 42 = 4 · (9 + 16) = 100.
2
f (0.5,
√ −3.25)
√ = 9 · 0.25 + 4 · (3.25) = 2.25 + 42.25 = 44.5.
f ( 17, 1/ 6) = 9 · 17 + 4 · (1/6) = 153 + 2/3 ≈ 153.667.
PROBLEM 8.4.2
En niv˚
akurva till funktionen f (x, y) ¨ar en kurva med ekvationen f (x, y) = c
d¨ar c a¨r en konstant.
Isobarer (kurvor av konstant tryck) ¨ar ellipser 9x2 + 4y 2 = c, c > 0, e.g.,
2
9x + 4y 2 = 1:
PROBLEM 8.4.4
L¨
osning. Isotermer (kurvor av konstant temperatur) ¨ar kurvorna med ekvationerna ln x2 + y 2 = c. Isotermerna ¨ar cirklar x2 + y 2 = C = ec > 0.
PROBLEM 8.4.5
L¨
osning. arctan y/x = c; d˚
a tan arctan y/x = y/x = C = tan c och isotermer
a¨r r¨ata linjer y = Cx.
PROBLEM 8.4.6
√
Lo
¨sning. Vi har x2 − y 2 = c, och isotermer a¨r parabeler y = ± x2 − c, c 6= 0,
eller r¨ata linjer y = x, c = 0.
PROBLEM 8.4.11
L¨
osning. En yta med ekvationen f (x, y, z) = c d¨ar c ¨ar en konstant kallas en
niv˚
ayta till funktionen f (x, y, z).
H¨ar niv˚
aytorna ¨ar planen 4x + 3y − z = c.
PROBLEM 8.4.12
Lo
aytorna a¨r elliptiska cylindrarna x2 + 3y 2 = c, c > 0.
¨sning. Niv˚
22
2
Kurvor. Gradient
2.1
Kurvor p˚
a parameterform
L˚
at xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva C p˚
a parameterform ges av tre ekvationer
x = x(t),
y = y(t),
z = z(t)
(t ∈ I),
(35)
dvs av vektorfunktionen
r(t) = [x(t), y(t), z(t)] = x(t)i + y(t)j + z(t)k
(t ∈ I),
(36)
d¨ar variabeln t kallas parameter. D˚
a t genoml¨oper intervallet I = (t0 , t1 ), s˚
a
genoml¨oper punkten (x(t), y(t), z(t)) punktm¨angden C i xyz-rummet (en rymdkurva). Ekvationerna (35) kallas kurvans ekvationer p˚
a parameter form. (36) kallas
kurvans ekvation p˚
a vektorform.
P˚
a analogt s¨att ges en kurva C i planet av tv˚
a ekvationer
x = x(t),
y = y(t)
(t ∈ I),
(37)
dvs av vektorfunktionen
r(t) = [x(t), y(t)] = x(t)i + y(t)j
(t ∈ I).
(38)
D˚
a t genoml¨oper intervallet I = (t0 , t1 ), s˚
a genoml¨oper punkten (x(t), y(t)) punktm¨angden C i xy-planet (en kurva i planet). Ekvationerna (37) kallas kurvans
ekvationer p˚
a parameter form, och (38) kallas kurvans ekvation p˚
a vektorform.
Man kan representera kurvor som projektioner i xy- och xz-planen
y = f (x),
z = g(x),
(39)
d¨ar variabeln x ∈ (a, b) a¨r en parameter, eller en sk¨arningslinje av tv˚
a ytor
F (x, y, z) = 0,
G(x, y, z) = 0.
(40)
Exempel 2.1: En r¨
at linje
L˚
at L vara en r¨at linje i ett koordinatsystem i rymden, P1 = (a1 , a2 , a3 ) ¨ar en fix
punkt och P = (x, y, z) ¨ar en r¨orlig punkt p˚
a L.
Om vektorn b = [b1 , b2 , b3 ] ¨ar parallel med linjen L g¨aller: man n˚
ar punkten P
genom att f¨orst g˚
a till P1 och sedan addera en vektor tb av l¨amplig l¨angd:
~ = OP
~ 1 + tb,
OP
23
~ ¨ar ortsvektorn f¨or punkten P och OP
~ 1 ¨ar ortsvektorn
d¨ar t ¨ar en parameter, OP
f¨or punkten P1 .
I koordinatform har vi
x = a1 + tb1 ,
y = a2 + tb2 ,
z = a3 + tb3 .
(41)
D˚
a ges en r¨at linje L genom punkten A p˚
a parameterform av vektorfunktionen
r(t) = a + tb = [a1 + tb1 , a2 + tb2 , a3 + tb3 ],
(42)
d¨ar a ¨ar ortsvektorn f¨or A och vektorn b (riktningsvektorn) ¨ar parallel med linjen.
Enligt (42) kan den r¨ata linjen L i xy-planet genom punkten A : (3, 2) som har
riktningsvektorn b = i + j = [1, 1, 0] (parallel med vektorn b) skrivas
r(t) = a + tb = [3, 2, 0] + t[1, 1, 0] = [3 + t, 2 + t, 0].
I koordinatform har vi
x = 3 + t,
y = 2 + t,
z = 0.
(43)
Exempel 2.2: Ellips, cirkel
Vektorfunktionen
r(t) = [a cos t, b sin t, 0] = a cos ti + b sin tj
(44)
ger en ellipse i xy-planet. Vi har sin2 t + cos2 t = 1, och
x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b
z = 0.
Om b = a, f˚
ar vi en cirkel med radien a p˚
a parameterform
r(t) = [a cos t, a sin t, 0] = a cos ti + a sin tj.
2.1.1
(45)
Tangent till en kurva
L˚
at C vara en rymdkurva p˚
a parameterform
x = x(t),
y = y(t),
z = z(t)
(t ∈ I),
eller
r(t) = [x(t), y(t), z(t)] = x(t)i + y(t)j + z(t)k (t ∈ I),
24
(46)
d¨ar x(t), y(t), z(t) ¨ar deriverbara funktioner (dvs C ¨ar en deriverbar kurva).
Vektorn
r(t + ∆t) − r(t)
r0 (t) = lim
, r0 (t) 6= 0
∆t→0
∆t
kallas tangentvektorn till kurvan C i punkten P eftersom r0 (t) ¨ar parallel med
tangent och vinkelr¨at mot ortsvektorn f¨or punkten P = (x, y, z). Motsvarande
enhetstangentvektorn
1
u = 0 r0 .
|r |
Enligt (42) kan ekvationen f¨or tangent till C i punkten P skrivas
q(w) = r + wr0 ,
d¨ar w ¨ar en parameter.
Exempel 2.3: Tangent till en ellips
Best¨am tangent till ellipsen
Vektorfunktionen
√ 1
x2
+ y 2 = 1 i punkten P : ( 2, √ ).
4
2
r(t) = [2 cos t, sin t, 0] = 2 cos ti + sin tj
ger en ellips (i xy-planet). Vi har
r0 (t) = −2 sin ti + cos tj,
µ
¶
π √
π
1
π
2 cos = 2, sin = √ ,
P →
4
4
4
2
och
·
¸
1
r (π/4) = − 2, √ .
2
D˚
a a¨r tangent till ellipsen i punkten P
·
¸
·
¸
√ 1
√
√ 1
1
0
2, √ + w − 2, √ = 2(1 − w)i + √ j.
q(w) = r(π/4) + wr (π/4) =
2
2
2
0
2.1.2
√
L¨
angd av en kurva
Z b√
r0 · r0 dt,
l=
a
r0 =
dr
,
dt
d¨ar r(t), a ≤ t ≤ b ¨ar parameterekvationerna f¨or (en del av) en kurva C.
25
B˚
agesl¨
angd av en kurva
s(t) =
Z t√
r0 · r0 dt˜,
r0 =
a
dr
.
dt˜
agen fr˚
an punkten (x(a), y(a), z(a)) till punkten (x(t), y(t), z(t)). .
¨ar l¨angden av b˚
B˚
agesl¨
angd som en parameter
L˚
at b˚
agesl¨angd s vara en parameter, t = s. D˚
a kan enhetstangentvektorn
skrivas
u(s) = r0 (s).
Exempel 2.4: B˚
agesl¨
angd som en parameter f¨
or en cirkel
En cirkel p˚
a parameterform ges av vektorfunktionen
r(t) = [a cos t, a sin t, 0] = a cos ti + a sin tj.
Vi har t = s/a eftersom b˚
agesl¨angden s = at, och
³s´ h
³s´
³ s ´i
s
s
r
= a cos
, a sin
= a cos i + a sin j
a
a
a
a
a
eller
2.2
µ
s∗
r −
a
¶
·
µ ∗¶
µ ∗ ¶¸
s
s
s∗
s∗
= a cos
, −a sin
= a cos i + a sin j.
a
a
a
a
Gradient
Vektorfunktionen
grad f = ∇f =
∂f
∂f
∂f
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
kallas gradienten av en (deriverbar skal¨ar) funktion f (x, y, z).
Vektordifferentialoperatorn ∇ definieras genom
∇=
∂
∂
∂
i+
j + k.
∂x
∂y
∂z
Gradientens komponenter som ¨ar vinkelr¨ata mot koordinatytan (koordinatplanet) x = const (dvs, ytan y, z, eller i riktningen i), resp. y = const (ytan x, z,
26
eller i riktningen j) och z = const (ytan x, y, eller i riktningen k), ¨ar
∂f
,
∂x
∂f
,
∇f · j =
∂y
∂f
∇f · k =
,
∂z
∇f · i =
(47)
Exempel:
f (x, y, z) = 2x + yz − 3y 2 ;
∂f
= 2,
∂x
∂f
= z − 6y,
∂y
∂f
= y,
∂z
grad f = ∇f = 2i + (z − 6y)j + yk.
2.3
Riktningsderivata
df
Riktningsderivatan Db f eller
av f i punkten P i riktningen b, |b| = 1, definieras
ds
genom
f (Q) − f (P )
Db f = lim
(s = |Q − P |),
s→0
s
d¨ar Q ¨ar en r¨orlig punkt p˚
a str˚
alen C i riktningen b.
I ett cartesiskt koordinatsystem i rummet, ges str˚
alen C p˚
a parameterform av
vektorfunktionen
r(s) = x(s)i + y(s)j + z(s)k = p0 + sb
(p0 ¨ar ortsvektorn f¨or P ). Enligt definitionen av riktningsderivata och kedjeregeln
df
derivatan av f (x(s), y(s), z(s)) med avseende p˚
a s
¨ar Db f =
ds
Db f =
x0 =
df
∂f 0 ∂f 0 ∂f 0
=
x +
y +
z,
ds
∂x
∂y
∂z
dx
,
ds
y0 =
dy
,
ds
z0 =
dz
.
ds
Likheten
r0 (s) = x0 i + y 0 j + z 0 k = b
ger
Db f =
df
= b · grad f
ds
27
(b ¨ar en enhetsvektor, |b| = 1), eller
Da f =
df
1
=
a · grad f
ds
|a|
(a 6= 0 ¨ar en godtycklig vektor).
Exempel 2.5: Gradient. Riktningsderivata
Best¨am riktningsderivatan av funktionen f (x, y, z) = 2x2 + 3y 2 + z 2 i punkten
P : (2, 1, 3) i riktningen a = i − 2k = [1, 0, −2].
L¨
osning.
f (x, y, z) = 2x2 + 3y 2 + z 2 ;
∂f
= 4x,
∂x
∂f
= 6y,
∂y
∂f
= 2z,
∂z
grad f = 4xi + 6yj + 2zk.
I punkten P : (2, 1, 3)
grad f = 8i + 6j + 6k = [8, 6, 6].
√
√
Vi f˚
ar |a| = |[1, −2]| = 1 + 4 = 5 och kan ber¨akna riktningsderivatan
Da f =
df
1
= √ (i − 2k) · (8i + 6j + 6k) =
ds
5
1
1
4
√ [1, 0, −2] · [8, 6, 6] = √ (1 · 8 + 0 · 6 + (−2) · 6) = − √ ≈ −1.789.
5
5
5
2.4
Funktion v¨
axer snabbast i riktningen grad
Visa att en funktion v¨axer snabbast i riktningen grad. Enligt definition av skal¨arprodukt
¨ar
Db f = b · grad f = |b||grad f | cos γ = |grad f | cos γ
(|b| = 1).
d¨ar γ a¨r vinkeln mellan vektorerna b och grad f . Riktningsderivatan Db f a¨r maximal resp minimal om cos γ = 1, γ = 0, resp. cos γ = −1, γ = π, dvs om b ¨ar
parallel med grad f resp. −grad f . Vi har allts˚
a
Sats 1.
L˚
at f (x, y, z) = f (P ) vara en deriverbar funktion.
(i) Riktningsderivatan Db f ¨ar maximal i riktningen
b=
grad f
|grad f |
28
och i denna riktning ¨ar
Db f = |grad f |.
(ii) Riktningsderivatan Db f ¨ar minimal i riktningen
b=−
grad f
|grad f |
och i denna riktning ¨ar
Db f = −|grad f |.
(grad f 6= 0).
2.5
Normalvektor till niv˚
aytor
En yta S i rummet med ekvationen
f (x, y, z) = c
kallas en niv˚
ayta till funktionen f (x, y, z).
Sats 2.
Om f (x, y, z) ¨ar en deriverbar (C1 ) funktion och grad f 6= 0 s˚
a ¨ar grad f en
normalvektor till niv˚
aytan f (x, y, z) = C.
Bevis. En rymdkurva C p˚
a parameterform ges av vektorfunktionen
r(t) = v(t) = [x(t), y(t), z(t)] = x(t)i + y(t)j + z(t)k.
Om C ligger p˚
aytan S,
f (x(t), y(t), z(t)) = c.
Tangent till C ¨ar
r0 (t) = x0 (t)i + y 0 (t)j + z 0 (t)k.
Om C ligger p˚
a ytan S, d˚
a ¨ar vektorn r0 (t) tangent till S. I en fix punkt P p˚
a S,
bildar alla denna vektorer ett plan kallas tangentplanet till S i punkten P . Dess
normal kallas normal till ytan S i punkten P . En vektor parallel med ytans normal
a¨r normalvektorn till ytan S i punkten P .
Enligt kedjeregeln ¨ar derivatan av f (x(t), y(t), z(t)) = c med avseende p˚
a t
∂f 0 ∂f 0 ∂f 0
x +
y +
z = grad f · r0 (t) = 0,
∂x
∂y
∂z
d¨ar
x0 =
dx
,
dt
y0 =
dy
,
dt
29
z0 =
dz
.
dt
D˚
a skal¨arprodukten ¨ar 0 ¨ar grad f vinkelr¨at mot tangentvektorer r0 i tangentplanet. D˚
a grad f ¨ar vinkelr¨at mot alla s˚
adana tangentvektorer ¨ar grad f en normalvektor till ytan.
Exempel 2.6: Gradient ¨
ar normal vektor till ytan
Best¨am normalvektor n till konen z 2 = 4(x2 + y 2 ) i punkten P : (1, 0, 2).
L¨
osning. En yta i rummet med ekvationen z 2 = 4(x2 + y 2 ), dvs
f (x, y, z) = 4x2 + 4y 2 − z 2 = 0
ayta f (x, y, z) = c till funktionen f (x, y, z) = 4x2 + 4y 2 − z 2 med c = 0.
¨a en niv˚
Partiella derivator ¨ar
∂f
= 8x,
∂x
∂f
= 8y,
∂y
∂f
= −2z,
∂z
och gradient ¨ar
grad f = 8xi + 8yj − 2zk.
I punkten P : (1, 0, 2)
Vi har |grad f | =
n=
2.6
√
grad f = 8i − 4k = [8, 0, −4].
√
64 + 16 = 80. Enhetsnormalvektorn ¨ar allts˚
a
1
1
1
2
1
grad f = √ (8i − 4k) = √ 4(2i − k) = √ i − √ k.
|grad f |
80
4 5
5
5
Gradientf¨
alt och potentialer
Ett vektorf¨alt p s¨ages vara ett gradientf¨alt om p kan skrivas p =grad f . Funktionen
f kallas en skal¨ar potential till p.
Skriv den h¨ar vektorfunktionen som beskriver gravitationskraft (gravitationsf¨alt)
µ
¶
x − x0
y − y0
z − z0
p = −c
i+
j+
k ,
r3
r3
r3
d¨ar
r = [x − x0 , y − y0 , z − z0 ] = (x − x0 )i + (y − y0 )j + (z − z0 )k
och
r = |r| =
Vi har
∂
∂x
p
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 .
µ ¶
x − x0
1
−2(x − x0 )
=−
=
2
2
2
r
2[(x − x0 ) + (y − y0 ) + (z − z0 ) ]
r3
30
∂
∂y
µ ¶
y − y0
1
=− 3 ,
r
r
∂
∂z
µ ¶
z − z0
1
=− 3 .
r
r
D˚
a ¨ar p gradienten av en (deriverbar skal¨ar) funktion
f (x, y, z) =
c
r
(r > 0) :
∂ ³c´
∂ ³c´
∂ ³c´
p = grad f =
i+
j+
k
∂x r
∂y r
∂z r
Enligt definitionen ¨ar f en skal¨ar potential till gravitationsf¨altet.
Enligt kedjeregeln ¨ar partiella derivatan av andra ordningen med avseende p˚
a
x, y, z
µ ¶
1
3(x − x0 )2
∂2 1
=
−
+
,
∂x2 r
r3
r5
µ ¶
1
∂2 1
3(y − y0 )2
=
−
+
,
∂y 2 r
r3
r5
µ ¶
∂2 1
1
3(z − z0 )2
=
−
+
.
∂z 2 r
r3
r5
Genom att addera h¨ogerleden och v¨ansterleden, man kan visa att potentialen f
satisfierar Laplaces ekvation
∂ 2f
∂ 2f
∂2f
∆f =
+ 2 + 2 =0
∂x2
∂y
∂z
Differentialoperatorn av andra ordningen
∆ = ∇2 =
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
kallas Laplaceoperator (Laplacian).
2.7
Problem
PROBLEM 8.5.1
Best¨am parameterekvationer (parameterform) f¨or en r¨at linje L genom punkten
A : (4, 2, 0); riktningsvektorn ¨ar b = i + j = [1, 1, 0].
L¨
osning.
En r¨at linje L genom punkten A p˚
a parameterform ges av vektorfunktionen
(42)
r(t) = a + tb = [a1 + tb1 , a2 + tb2 , a3 + tb3 ],
(48)
31
a ¨ar ortsvektorn f¨or A och vektorn b (riktningsvektorn) ¨ar parallel med linjen. H¨ar
r(t) = a + tb = [4 + t · 1, 2 + t · 1, 0] = [4 + t, 2 + t, 0] = (4 + t)i + (2 + t)j.
PROBLEM 8.5.9
r(t) = [t, t3 + 2, 0];
t = x,
d˚
a
y = x3 + 2, z = 0.
PROBLEM 8.5.10
Vektorfunktionen
r(t) = [3 cos t, 4 sin t, 0] = 3 cos ti + 4 sin tj
ger en ellips i xy-planet (eftersom koordinatekvationerna x = 3 cos t, y = 4 sin t
f¨or cartesiska koordinater ger ekvationen f¨or en ellips
x2 y 2
+
= 1,
32 42
z = 0.
PROBLEM 8.5.11
Vektorfunktionen
r(t) = [0, 5 cos t, 5 sin t] = 5 cos tj + 5 sin tk
ger en cirkel med radien 5 i yz-planet (cartesiska koordinater p˚
a parameterform
y = 5 cos t, z = 5 sin t ger
y 2 + z 2 = 25,
x = 0.
PROBLEM 8.5.17
Best¨am parameterekvationer (parameterform) f¨or rymdkurvan C : y 2 + (z − 3)2 =
9, x = 0.
Lo
¨sning.
Cartesiska koordinater p˚
a parameterform y = 3 cos t, z = 3 + 3 sin t ger y 2 +
(z − 3)2 = 9. D˚
a ger vektorfunktionen
r(t) = [0, 3 cos t, 3 + 3 sin t] = 3 cos tj + 3(1 + sin t)k
en cirkel med radien 3 och origo [0, 0, 3] i yz-planet (x = 0) .
32
PROBLEM 8.5.21
En rymdkurva C p˚
a parameterform ges av vektorfunktionen
r(t) = ti + t3 j = [t, t3 , 0].
D˚
a ¨ar
r0 (t) = i + 3t2 j = [1, 3t2 , 0].
en tangentvektor till C. Motsvarande enhetstangentvektorn
u=
1 0
1
r =√
(i + 3t2 j).
0
4
|r |
1 + 9t
I punkten P : (1, 1, 0)
r0 (t) = i + 3j = [1, 3, 0];
1
1
u = √ (i + 3j) = √ [1, 3, 0].
10
10
Enligt (42) kan ekvationen f¨or tangent till C i punkten P skrivas
q(w) = r + wr0 ,
d¨ar w ¨ar en parameter. H¨ar
q(w) = r + wr0 = i + j + w(i + 3j) = (1 + w)i + (1 + 3w)j = [1 + w, 1 + 3w, 0].
.
PROBLEM 8.5.22
Vektorfunktionen
r(t) = [2 cos t, 2 sin t, 0] = 2 cos ti + 2 sin tj
ger cirkeln
x2 + y 2 = 4,
z = 0.
i xy-planet. Tangentvektorn ¨ar
r0 (t) = −2 sin ti + 2 cos tj.
Motsvarande enhetstangentvektorn
u=
1 0 1
r = (−2 sin ti + 2 cos tj) = − sin ti + cos tj.
|r0 |
2
33
√ √
π
π √
π √
P : ( 2, 2, 0) → t = : 2 cos = 2, 2 sin = 2.
4
4
4
0
Tangent r i punkten t = π/4 ¨ar
√ √
√
r0 (π/4) = [− 2, 2, 0] = 2(−i + j).
Motsvarande enhetstangentvektorn
√
√
2
2
(−i + j) =
[−1, 1, 0].
u=
2
2
Tangenten till cirkeln x2 + y 2 = 4, z = 0 i punkten P skrivas
√
√
√
√
q(w) = r(π/4)+wr0 (π/4) = 2(i+j)+w 2(−i+j) = 2[(1−w)i+(1+w)i] = 2[1−w, 1+w, 0].
PROBLEM 8.5.23
Vektorfunktionen
r(t) = cos ti + 2 sin tj = [cos t, 2 sin t, 0]
ger en ellips x2 +
y2
= 1, z = 0 i xy-planet. Tangentvektorn till ellipsen ¨ar
4
r0 (t) = − sin ti + 2 cos tj = [− sin t, 2 cos t, 0].
Motsvarande enhetstangentvektorn
u=
1 0
1
(− sin ti + 2 cos tj).
r =√ 2
0
|r |
sin t + 4 cos2 t
√
π
P : (1/2, 3, 0) → t = :
3
r(t) i punkten t = π/3 ¨ar
r(π/3) = (1/2)i +
cos
√
π
1
π √
= , 2 sin = 3.
3
2
3
√
3j = [1/2, 3, 0].
r0 (t) i punkten t = π/3 ¨ar
√
0
r (π/3) = (−
√
3
)i + j = [− 3/2, 1, 0].
2
34
Enhetstangentvektorn i punkten t = π/3 ¨ar
p
√
√
√
2
((− 3/2)i + j) = √ ((− 3/2)i + j) = [− 3/7, 2/ 7, 0].
7
3/4 + 1
u= p
1
√
y2
= 1 i punkten P : (1/2, 3, 0) skrivas
4
√
√
3
q(w) = r(π/3) + wr0 (π/3) = ((1/2)i + 3j + w(−
)i + j
2
√
√
√
√
= [1/2, 3, 0] + w[− 3/2, 1, 0] = [1/2 − w 3/2, 3 + w, 0] =
√
√
(1/2 − w 3/2)i + ( 3 + wj).
Tangenten till ellipsen x2 +
PROBLEM 8.8.1
Best¨am derivatan
p
dw
av funktionen w = x2 + y 2 n¨ar x = e4t och y = e−4t .
dt
dw
∂w dx ∂w dy
=
+
=
dt
∂x dt
∂y dt
√ sinh 8t
x
y
4 8t
e8t − e−8t
4t
−4t
−8t
√
(4e ) + (−4e ) = (e − e ) = 4
= 4 2√
.
w
w
w
e8t + e−8t
cosh 8t
PROBLEM 8.9.1
Ber¨akna gradienten grad f till funktionen f (x, y) = x2 − y 2 och dess v¨arde och
belopp i punkten P : (−1, 3).
L¨
osning.
Gradienten till skal¨ara funktionen f (x, y) = x2 − y 2 a¨r en vektorfunktion
grad f =
∂f
∂f
i+
j = 2xi − 2yj.
∂x
∂y
I punkten P : (−1, 3) f˚
ar man en vektor
grad f = −2i − 6j = [−2, −6];
PROBLEM 8.9.2
35
|grad f | =
√
4 + 36 =
√
40.
Ber¨akna gradienten grad f till funktionen f (x, y) = xy och dess v¨arde i punkten
P : (1, 1).
L¨
osning.
grad f =
∂f
∂f
i+
j = yi + xj.
∂x
∂y
I punkten P : (1, 1) f˚
ar man en vektor
grad f = i + j = [1, 1].
PROBLEM 8.9.3
Ber¨akna gradienten grad f till funktionen f (x, y) = ln x2 + y 2 och dess v¨arde i
punkten P : (2, 0).
grad f =
∂f
∂f
2x
2y
i+
j= 2
i
+
j = (x2 + y 2 )−1 [2x, 2y].
∂x
∂y
x + y2
x2 + y 2
I punkten P : (2, 0)
grad f = i = [1, 0].
PROBLEM 8.9.7
Ber¨akna gradienten −grad f till f (x, y, z) = z/(x2 + y 2 ) och dess v¨arde i punkten
P : (0, 1, 2).
∂f
∂f
∂f
i−
j−
k=
∂x
∂y
∂z
2xz
2yz
1
i+ 2
j− 2
k = (x2 + y 2 )−2 [2xz, 2yz, −x2 − y 2 ].
2
2
2
2
2
(x + y )
(x + y )
x + y2
−grad f = −
At P : (0, 1, 2)
−grad f = 4j − k = [0, 4, −1].
PROBLEM 8.9.15
2
4
Ber¨akna enhetsnormalvektorn till r¨ata linje y = x − i punkten P : (2, 2).
3
3
L¨
osning.
Enligt Sats 2 ¨ar grad f en normalvektor till niv˚
akurvan f (x, y) = C (om
grad f 6= 0 och f (x, y) ¨ar en deriverbar funktion).
36
4
2
Vi har f (x, y) = x − y = ;
3
3
4
grad f = [ , −1],
3
5
|grad f | = .
3
D˚
a ¨ar enhetsnormalvektorn till r¨ata linje i alla punkter en konstant vektor
3
4 3
n = grad f = [ , − ] = [0.8, −0.6].
5
5 5
PROBLEM 8.9.21
Man kan visa att vektorfunktionen
v = [2x, 4y, 8z]
har potentialen f (x, y, z) = x2 + 2y 2 + 4z 2 . Vi har
v = grad f =
∂f
∂f
∂f
i+
j+
k = 2xi + 4yj + 8zk = [2x, 4y, 8z].
∂x
∂y
∂z
PROBLEM 8.9.29
Ber¨akna riktningsderivatan av funktionen f (x, y) = x2 + y 2 i punkten P : (1, 1) i
riktningen b = 2i − 4j.
L¨
osning.
df
Riktningsderivatan Db f eller
av f i punkten P i riktningen b ber¨aknas
ds
genom skal¨arprodukten
df
Db f =
= b · grad f
ds
(b ¨ar en enhetsvektor, |b| = 1), eller
Da f =
(a 6= 0 ¨ar en godtycklig vektor).
H¨ar
f (x, y) = x2 + y 2 ;
1
a · grad f
|a|
∂f
= 2x,
∂x
Gradienten
grad f = 2xi + 2yj.
37
∂f
= 2y,
∂y
I punkten P : (1, 1)
grad f = 2i + 2j = [2, 2, 0].
√
√
Ber¨akna |a| = |[2, −4]| = 4 + 16 = 20 och best¨am riktningsderivatan av
f (x, y) = x2 + y 2 i punkten P : (1, 1)
Da f =
3
1
df
1
1
2
= √ (2i−4j)·(2i+2j) = √ [2, −4]·[2, 2] = √ (2·2−4·2) = − √ .
ds
20
20
20
5
Divergens och rotation av vektorf¨
alt
3.1
Definitionen av divergens
L˚
at v(x, y, z) vara en deriverbar vektorfunktion
v(x, y, z) = v1 (x, y, z)i + v2 (x, y, z)j + v3 (x, y, z)k
Funktionen
div v =
∂v1 ∂v2 ∂v3
+
+
∂x
∂y
∂z
kallas divergensen av v (divergensen av vektorf¨altet v).
Definiera vektordifferentialoperatorn ∇ genom
∇=
∂
∂
∂
i+
j + k.
∂x
∂y
∂z
D˚
a kan man skriva divergensen som skal¨arprodukten
µ
¶
∂
∂
∂
div v = ∇ · v =
i+
j + k · (v1 i + v2 j + v3 k) =
∂x
∂y
∂z
∂v1 ∂v2 ∂v3
+
+
.
∂x
∂y
∂z
Exempel 3.1
v(x, y, z) = 3xzi + 2xyj − yz 2 k,
∂v1
= 3z,
∂x
∂v2
= 2x,
∂y
∂v3
= −2yz,
∂z
och
div v = 3z + 2x − 2yz.
38
Om f ¨ar en tv˚
a g˚
anger deriverbar funktion, d˚
a
grad f =
∂f
∂f
∂f
i+
j+
k.
∂x
∂y
∂z
och
div (grad f ) = ∇2 f =
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
+
+
,
∂x2
∂y 2
∂z 2
dvs
div (grad f ) = ∆f,
d¨ar ∆ ¨ar Laplaces differentialoperator.
Exempel 3.2 Gravitationskraften
Vektorfunktionen
µ
p = −c
¶
y − y0
z − z0
x − x0
i+
j+
k ,
r3
r3
r3
d¨ar
r = [x − x0 , y − y0 , z − z0 ] = (x − x0 )i + (y − y0 )j + (z − z0 )k
och
r = |r| =
p
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 ,
beskriver gravitationskraft (gravitationsf¨alt). Vi har
µ ¶
∂ 1
−2(x − x0 )
x − x0
=
=−
2
2
2
∂x r
2[(x − x0 ) + (y − y0 ) + (z − z0 ) ]
r3
µ ¶
µ ¶
∂ 1
y − y0
∂ 1
z − z0
=− 3 ,
=− 3 .
∂y r
r
∂z r
r
D˚
a ¨ar p gradienten av en (deriverbar skal¨ar) funktion
f (x, y, z) =
c
r
(r > 0) :
∂ ³c´
∂ ³c´
∂ ³c´
i+
j+
k
∂x r
∂y r
∂z r
Ett vektorf¨alt p s¨ages vara ett gradientf¨alt om p kan skrivas p =grad f . Funktionen
f kallas en skal¨ar potential till p. D˚
a ¨ar f en skal¨ar potential till gravitationsf¨altet.
Enligt kedjeregeln ¨ar partiella derivatan av andra ordningen med avseende p˚
a
x, y, z
µ ¶
3(x − x0 )2
∂2 1
1
+
,
=
−
∂x2 r
r3
r5
p = grad f =
39
µ ¶
1
3(y − y0 )2
1
=− 3 +
,
r
r
r5
µ ¶
∂2 1
1
3(z − z0 )2
=
−
+
.
∂z 2 r
r3
r5
∂2
∂y 2
Genom att addera h¨ogerleden och v¨ansterleden, man kan visa att potentialen f
satisfierar Laplaces ekvation
∆f =
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
+
+
= 0,
∂x2
∂y 2
∂z 2
s˚
a att
div p = div (grad f ) = ∇2 f = 0.
3.2
Definitionen av rotation
L˚
at x, y, z vara ett positivt orienterat cartesiskt koordinatsystem och
v(x, y, z) = v1 (x, y, z)i + v2 (x, y, z)j + v3 (x, y, z)k
en deriverbar vektorfunktion. D˚
a kallas vektorfunktionen
¯
¯
¯ i
¯
j
k
¯ ∂ ∂ ∂ ¯
curl v = ∇ × v = ¯¯ ∂x ∂y ∂z ¯¯ =
¯ v1 v2 v3 ¯
¶
µ
¶
µ
¶
µ
∂v1 ∂v3
∂v2 ∂v1
∂v3 ∂v2
−
i+
−
j+
−
k
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
rotationen av v (rotationen av vektorf¨altet v.
Exempel 3.3 Rotation av ett vektorf¨
alt
L˚
at x, y, z vara ett positivt orienterat cartesiskt koordinatsystem. Betrakta
vektorf¨altet
v(x, y, z) = yzi + 3zxj + zk.
Rotationen av v ¨ar
¯
¯ i
j
k
¯ ∂
∂
∂
¯
curl v = ¯ ∂x ∂y ∂z
¯ yz 3xz z
µ
¶ µ
¶
µ
∂z ∂(3xz)
∂(yz) ∂z
∂(3xz)
−
−
i+
j+
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
40
¯
¯
¯
¯=
¯
¯
∂(yz)
−
∂y
¶
k = −3xi + yj + 2zk.
3.3
Viktiga vektoridentiteter
L˚
at f vara en tv˚
a g˚
anger deriverbar funktion. D˚
a
curl (grad f ) = 0.
(49)
Bevis.
¯
¯ ¯
¯
¯ i
¯
j k ¯ ¯
¯ ∂ ∂ ∂ ¯ ¯ ∂i ∂j k
¯
∂
curl (grad f ) = ¯¯ ∂x ∂y ∂z ¯¯ = ¯¯ ∂x ∂y ∂z ¯¯ =
¯ ∂f ∂f ∂f ¯ ¯ fx fy fz ¯
∂x
∂y
∂z
µ
¶
µ
¶
µ
¶
∂fz ∂fy
∂fx ∂fz
∂fy ∂fx
=
−
i+
−
j+
−
k=
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
= (fzy − fyz )i + (fxz − fzx )j + (fyx − fxy )k = 0.
(50)
Enligt (49) ¨ar ett gradientf¨alt, som kan skrivas grad f , virvelfria.
L˚
at v vara en tv˚
a g˚
anger deriverbar vektorfunktion (dess komponenter ¨ar tv˚
a
g˚
anger deriverbara funktioner). D˚
a
div (curl v) = 0.
(51)
Bevis.
∂
div (curl v) =
∂x
µ
∂v3 ∂v2
−
∂y
∂z
¶
∂
+
∂y
µ
∂v1 ∂v3
−
∂z
∂x
¶
∂
+
∂z
µ
∂v2 ∂v1
−
∂x
∂y
(v3yx − v2zx ) + (v1zy − v3xy ) + (v2xz − v1yz ) = 0.
Enligt (51) ¨ar ett f¨alt, som kan skrivas curl v, k¨allfria.
3.4
Problem
PROBLEM 8.10.1
Best¨am divergensen av
v(x, y, z) = v1 (x, y, z)i + v2 (x, y, z)j + v3 (x, y, z)k = xi + yj + zk.
L¨
osning.
Divergensen definieras genom
div v =
∂v1 ∂v2 ∂v3
+
+
∂x
∂y
∂z
41
¶
=
H¨ar,
v1 (x, y, z) = x,
v2 (x, y, z) = y,
v3 (x, y, z) = z,
och
div v = 1 + 1 + 1 = 3.
PROBLEM 8.10.2
Best¨am divergensen av
v(x, y, z) = v1 (x, y, z)i + v2 (x, y, z)j + v3 (x, y, z)k = x2 i + y 2 j + z 2 k.
L¨
osning.
Vi har
v1 (x, y, z) = x2 ,
v2 (x, y, z) = y 2 ,
v3 (x, y, z) = z 2 ,
och
div v = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z).
PROBLEM 8.10.5
Best¨am divergensen av
v(x, y) = v1 (x, y)i + v2 (x, y)j = (x2 + y 2 )−1 (−yi + xj).
L¨
osning.
v1 (x, y) = (−y)(x2 + y 2 )−1 ,
v2 (x, y) = (−y)(x2 + y 2 )−1 ,
och
div v = 2xy(x2 + y 2 )−2 − 2xy(x2 + y 2 )−2 = 0.
PROBLEM 8.10.13b
Best¨am divergensen av
f v(x, y, z) = f v1 (x, y, z)i + f v2 (x, y, z)j + f v3 (x, y, z)k,
Lo
¨sning.
div f v =
=f
f = f (x, y, z).
∂f v1 ∂f v2 ∂f v3
+
+
∂x
∂y
∂z
∂v2
∂v3
∂f
∂f
∂f
∂v1
+f
+f
+ v1
+ v2
+ v3
=
∂x
∂y
∂z
∂x
∂x
∂x
42
(52)
f div v + v · grad f.
Anv¨and (52) f¨or att ber¨akna
div (f v(x, y, z)),
f (x, y, z) = r−3/2 = (x2 + y 2 + z 2 )−3/2 ,
v = xi + yj + zk.
Vi har
div v = 3.
grad f = −3r−5/2 (xi + yj + zk)
och
div (f v) = f div v+v·grad f = 3r−3/2 −3r−5/2 [x, y, z]·[x, y, z] = 3r−3/2 −3r−5/2 r = 0.
PROBLEM 8.10.14
Ber¨akna ∆f = ∇2 f av
f (x, y) = (x − y)/(x + y).
L¨
osning.
f ¨ar en tv˚
a g˚
anger deriverbar funktion om x 6= −y, och
grad f = ∇f =
∂f
∂f
i+
j=
∂x
∂y
2y
2x
i−
j,
2
(x + y)
(x + y)2
D˚
a
∇2 f = div (grad f ) =
∂ 2f
∂2f
x−y
+
=4
.
2
2
∂x
∂y
(x + y)3
PROBLEM 8.10.15
Ber¨akna ∆f = ∇2 f av
f (x, y, z) = 4x2 + 9y 2 + z 2 .
L¨
osning.
f ¨ar en tv˚
a g˚
anger deriverbar funktion, och
grad f = ∇f =
∂f
∂f
∂f
i+
j+
k=
∂x
∂y
∂z
8xi + 18yj + 2zk = [8x, 18y, 2z].
43
D˚
a
∇2 f = div (grad f ) =
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
+
+
= 8 + 18 + 2 = 28.
∂x2
∂y 2
∂z 2
PROBLEM 8.11.2
Best¨am rotationen av
v = [2y, 5x, 0].
L¨
osning.
¯
¯ i
¯ ∂
curl v = ¯¯ ∂x
¯ 2y
µ
¶
µ
∂(0) ∂(5x)
∂(2y)
i+
−
−
∂y
∂z
∂z
¯
k ¯¯
∂
∂ ¯
∂y
∂z ¯ =
5x 0 ¯
¶
µ
¶
∂(0)
∂(5x) ∂(2y)
j+
k=
−
∂x
∂x
∂y
j
0 · i + 0 · j + (5 − 2) · k = 3k.
PROBLEM 8.11.3
Best¨am rotationen av
1
v = (x2 + y 2 + z 2 )(i + j + k).
2
L¨
osning.
1
v1 (x, y, z) = v2 (x, y, z) = v3 (x, y, z) = v(x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 )
2
och
∂v
= q,
∂q
D˚
a
µ
curl v =
∂v ∂v
−
∂y ∂z
¶
µ
i+
q = x, y, z.
∂v ∂v
−
∂z ∂x
¶
µ
j+
∂v ∂v
−
∂x ∂y
¶
k=
(y − z)i + (z − x)j + (x − y)k = [y − z, z − x, x − y].
PROBLEM 8.11.13
Best¨am rotationen av
v = [x, y, −z].
44
(vektorf¨altet av str¨omning).
Lo
¨sning.
¯
¯
¯ i
¯
j
k
¯ ∂ ∂
¯
∂
curl v = ¯¯ ∂x ∂y ∂z ¯¯ =
¯ x y −z ¯
µ
¶
µ
¶
µ
¶
∂(−z) ∂y
∂x ∂(−z)
∂y ∂x
−
i+
−
j+
−
k=
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x ∂y
0 · i + 0 · j + 0 · k = 0.
Str¨omningen ¨ar virvelfri.
div v = 1 + 1 − 1 = 1.
r(t) = [c1 et , c2 et , c3 e−t ].
PROBLEM 8.11.14
¯
¯
¯ i j k ¯
¯
¯
u × v = ¯¯ u1 u2 u3 ¯¯ =
¯ v1 v2 v3 ¯
(u2 v3 − u3 v2 )i − (u1 v3 − u3 v1 )j + (u1 v2 − u2 v1 )k.
div (u × v) =
∂(u2 v3 − u3 v2 ) ∂(u3 v1 − u1 v3 ) ∂(u1 v2 − u2 v1 )
+
+
=
∂x
∂y
∂z
∂(u2 v3 ) ∂(u3 v1 ) ∂(u1 v2 ) ∂(u3 v2 ) ∂(u1 v3 ) ∂(u2 v1 )
+
+
−
−
−
=
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
∂v3
∂u3
∂v1
∂u1
∂v2
∂u3
∂v2
∂u1
∂v3
∂u2
∂v1
∂u2
+u2
+v1
+u3
+v2
+u1
−v2
−u3
−v3
−u1
−v1
−u2
=
v3
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
µ
¶
µ
¶
µ
¶
∂(u3 ) ∂(u2 )
∂(u1 ) ∂(u3 )
∂(u2 ) ∂(u1 )
v1
−
+ v2
−
+ v3
−
+
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
¶
µ
¶
µ
¶
µ
∂(v3 ) ∂(v1 )
∂(v1 ) ∂(v2 )
∂(v2 ) ∂(v3 )
−
+ u2
−
+ u3
−
=
u1
∂z
∂y
∂x
∂z
∂y
∂x
v · curl u − u · curl v.
D˚
a
div (u × v) = v · curl u − u · curl v.
PROBLEM 8.11.15
45
Best¨am rotationen f u av
u = yi + zj + xk
d¨ar f = xyz.
L¨
osning.
curl f u = grad f × u + f curl u
H¨ar
grad f = [yz, xz, xy],
u = [y, z, x],
¯
¯
¯
¯ i
j
k
¯
¯
grad f × u = ¯¯ yz xz xy ¯¯ =
¯ y z x ¯
= (x2 z − xyz)i − (xy 2 − xyz)j + (yz 2 − xyz)k = [x2 z − xyz, xy 2 − xyz, yz 2 − xyz].
µ
¶
µ
¶
µ
¶
∂x ∂z
∂y ∂x
∂z ∂y
curl u =
−
i+
−
j+
−
k=
∂y ∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
−i − j − k = [−1, −1, −1].
curl f u = (x2 z − xyz)i − (xyz − xy 2 )j + (yz 2 − xyz)k − (xyz)(i + j + k) =
(x2 z − 2xyz)i − (xy 2 − 2xyz)j + (yz 2 − 2xyz)k.
4
Kurvintegraler
4.1
Kurvintegralens definition
Om C ¨ar en orienterad kurva med parameterekvationen
P = P (t) (x = x(t),
y = y(t),
t : t0 → t1 ,
(53)
och f (P ) och g(P ) a¨r reela
(eller
komplexa)
funktioner,
definierade
p˚
a
C,
s˚
a
R
definieras kurvintegralen C f (P )dg(P )
Z
z = z(t)) t ∈ I = (t0 , t1 ),
Z
t=t1
f (P )dg(P ) =
C
f (P (t))dg(P (t)),
t=t0
(om integralen i h¨ogerledet existerar).
46
(54)
En kurvintegral av vektorfunktionen F(r) definieras
Z
Z b
dr
F(r) · dr =
F(r(t)) · dt,
dt
a
C
eller komponentvis
Z
Z
Z b
F(r) · dr = (F1 dx + F2 dy + F3 dz) =
(F1 x0 + F2 y 0 + F3 z 0 )dt (0 = d/dt).
C
C
a
Exempel 4.1 En kurvintegral i planet
Ber¨akna kurvintegralen n¨ar F(r) = [−y, −xy] och C ¨ar (orienterade) cirkelb˚
agen
fr˚
an begynnelsepunkten (1, 0) till slutpunkten (0, 1).
L¨
osning. En cirkel med radien 1 (enhetscirkeln) i xy-planet p˚
a parameterform
ges av vektorfunktionen
r(t) = [cos t, sin t] = cos ti + sin tj,
(55)
och
r(t) = [cos t, sin t],
t : 0 → π/2
ger en orienterad cirkelb˚
age. Parameterintervallet I = (t0 , t1 ) har a¨ndpunkterna
t0 = 0 och t1 = π/2. Vid s˚
adan orientering ¨ar
P (0) = (cos 0, b sin 0) = (1, 0)
begynnelsepunkt och
P (π/2) = (a cos π/2, b sin π/2) = (0, 1)
slutpunkt p˚
a den orienterad cirkelb˚
agen.
Vi har x = cos t, y = sin t och kan skriva vektorfunktionen F(r) p˚
a enhetscirkeln
F(r(t)) = −y(t)i − x(t)y(t)j = [− sin t, − cos t sin t] = − sin ti − cos t sin tj.
Best¨am
r0 (t) = − sin ti + cos tj
och ber¨akna kurvintegralen:
Z
Z π/2
F(r) · dr =
(− sin ti − cos t sin tj) · (− sin ti + cos tj)dt =
C
Z
π/2
0
2
Z
π/2
2
(sin t − cos t sin t)dt =
0
[(1/2)(1 − cos 2t) − cos2 t sin t]dt =
0
Z
Z
π/2
(1/2)
π/2
[(1 − cos 2t)dt −
0
0
47
cos2 td cos t =
π 1
− .
4 3
5
Ytor och ytintegraler. Gauss’ divergenssats
5.1
Ytor p˚
a parameterform
L˚
at xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En yta S p˚
a parameterform
ges av tre ekvationer
x = x(u, v),
y = y(u, v),
z = z(u, v),
(u, v) ∈ D,
(56)
dvs av vektorfunktionen
r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k [(u, v) ∈ D],
(57)
d¨ar variabelna u, v kallas parametrar. Omr˚
adet D ligger i uv-planet och kallas
parameteromr˚
ade. D˚
a u, v genoml¨oper omr˚
adet D [(u, v) ∈ D], s˚
a genoml¨oper
punkten
P = P (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
en viss punktm¨angd S i xyz-rummet (en yta). Ekvationerna (56) kallas ytans
ekvationer p˚
a parameter form. (57) kallas ytans ekvation p˚
a vektorform. (57) kan
skrivas kort
r = r(u, v)
[(u, v) ∈ D],
(58)
d¨ar r(u, v) ¨ar ortsvektorn f¨or den punkt p˚
a S, som motsvarar parameterv¨ardena
~ v).
r(u, v) = OP (u,
En yta S med ekvationen
z = f (x, y),
x = g(y, z)
eller
y = h(x, z)
kan parameterframst¨allas av
x = u,
y = v,
z = f (x, y),
etc., och vektorekvationen ¨ar d˚
a
r = [u, v, f (u, v)] [(u, v) ∈ D],
(59)
Parameteromr˚
adet R ¨ar projektionen av S p˚
a xy- (yz-, xz-) planet Man kan ocks˚
a
definiera en yta med en ekvation
g(x, y, z) = 0,
48
t ex,
x 2 + y 2 + z 2 = a2 ,
eller
z=+
p
z ≥ 0,
a2 − x2 − y 2
ger halvklotytan av radien a och origo O.
Exempel 5.1 En cylinderyta p˚
a parameterform.
Ekvationen
x2 + y 2 = a 2 ,
−∞ ≤ z ≤ ∞,
(60)
ger en cylinderyta av radien a och origo O. Den h¨ar parameterform
r(u, v) = [a cos u, a sin u, v] = a cos ui + a sin uj + vk,
u, v i rektangel R : 0 ≤ u ≤ 2π,
−∞ ≤ v ≤ ∞.
r(u, v)’s komponenter ¨ar
x = a cos u,
y = a sin u,
z = v.
(61)
Observera att varje punkt x, y, z definierad med (61) satisfierar cylinderns ekvation
(60) och att omv¨ant varje punkt x, y, z p˚
a cylindern [x, y, z satisfierar (60)] kan
skrivas p˚
a formen (61) eftersom
x2 + y 2 = a2 cos2 u + a2 sin2 u = a2 (cos2 u + sin2 u) = a2 .
Ekvationen
x2 + y 2 = a2 ,
−1 ≤ z ≤ 1
ger en cylinderyta av radien a, h¨ojden 2 och origo O. Den h¨ar parameterform
r(u, v) = [a cos u, a sin u, v] = a cos ui + a sin uj + vk,
u, v i rektangel R : 0 ≤ u ≤ 2π, −1 ≤ v ≤ 1.
r(u, v)’s komponenter ¨ar
x = a cos u,
y = a sin u,
z = v.
Exempel 5.2 En klotyta p˚
a parameterform
Klotytan x2 + y 2 + z 2 = a2 p˚
a parameterform ges av vektorfunktionen
r(u, v) = a cos v cos ui + a cos v sin uj + a sin vk,
49
u, v i rektangel R : 0 ≤ u ≤ 2π, −π/2 ≤ v ≤ π/2.
r(u, v)’s komponenter ¨ar
x = a cos v cos u,
y = a cos v sin u,
z = a sin v.
y = r cos v sin u,
z = r sin v,
Vi anv¨ander sf¨ariska koordinaterna
x = r cos v cos u,
d¨ar r ¨ar avst˚
andet till origo och u och v ¨ar tv˚
a vinklar. Man ocks˚
a anv¨ander
sf¨ariska koordinater p˚
a formen
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ,
r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π, −π ≤ φ ≤ π.
Exempel 5.3 En konyta p˚
a parameterform
p
Konytan z = + x2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ H p˚
a parameterform ges av vektorfunktionen
r(u, v) = u cos vi + u sin vj + uk,
u, v in rectangle R : 0 ≤ v ≤ 2π, 0 ≤ u ≤ H.
r(u, v)’s komponenter a¨r
x = u cos v,
y = u sin v,
z = u.
Observera att x2 + y 2 = z 2 .
5.1.1
Tangent till en yta
L˚
at C vara en kurva p˚
a ytan S
u = u(t),
v = v(t)
och ˜r(u(t), v(t)) ¨ar ortsvektorn f¨or punkten P som ligger p˚
a C. Enligt kedjeregeln
f˚
ar vi en tangentvektor till kurvan C
˜r0 (t) =
∂r 0 ∂r 0
d˜r
=
u +
v.
dt
∂u
∂v
D˚
a ¨ar partiella derivatorna (vektorfunktioner) ru och rv i punkten P tangentvektorer till ytan S i punkten P . Antag att de h¨ar vektorfunktionerna a¨r linj¨art
oberoende. D˚
a sp¨anner ru och rv upp ett plan α, som kallas tangentplanet till
ytan S i punkten P . Enligt definitionen av vektorprodukt, ger vektorprodukten
N = ru × rv 6= 0.
50
en normalvektor till ytan S i punkten P (eftersom vektorprodukten ¨ar vinkelr¨at
mot planet α). Motsvarande enhetsnormalvektorn
n=
1
1
N=
ru × rv .
|N|
|ru × rv |
Om ytan S ges av en ekvation
g(x, y, z) = 0,
d˚
a
n=
1
grad g.
|grad g|
Exempel 5.4 Enhetsnormalvektor till klotytan
g(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − a2 = 0:
n=
hx y z i x
1
y
z
1
grad g = grad g =
, ,
= i + j + k.
|grad g|
a
a a a
a
a
a
Exempel 5.5 Enhetsnormalvektor till konytan
p
g(x, y, z) = −z + x2 + y 2 = 0:
"
#
1
1
x
y
n=
grad g = √ p
,p
, −1 =
|grad g|
2
x2 + y 2
x2 + y 2
p
5.2
x
y
i+ p
j − k.
x2 + y 2
x2 + y 2
Ytintegraler
Betrakta en yta S med parameterekvationerna
r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k,
och normalvektorn
N = ru × rv 6= 0;
motsvarande enhetsnormalvektorn
n=
1
N.
|N|
51
u, v ∈ R
Om F(r) ¨ar en vektorfunktion, definierad p˚
a S, s˚
a s¨atter vi
Z Z
Z Z
F · ndA =
F(r(u, v)) · N(u, v)dudv,
S
R
kallas normalytintegralen av vektorfunktionen (vektorf¨alt) F(r) ¨over ytan S.
L¨agg marke till att
ndA = n|N|dudv = |N|dudv,
och vi antar att parameterna u, v tillh¨or ett omr˚
ade R i u, v-planet.
Skriv motsvarande uttryck komponentvis:
F = [F1 , F2 , F3 ) = F1 i + F2 j + F3 k,
n = [cos α, cos β, cos γ] = cos αi + cos βj + cos γk,
N = [N1 , N2 , N3 ) = N1 i + N2 j + N3 k,
och
Z Z
Z Z
F · ndA =
S
(F1 cos α + F2 cos β + F3 cos γ)dA =
S
Z Z
(F1 N1 + F2 N2 + F3 N3 )dudv.
S
5.2.1
Fl¨
ode genom en yta
Ytintegralen (56) kan uppfattas som F’s fl¨ode genom ytan S.
Exempel 5.6
Ber¨akna v¨atskefl¨odet genom paraboliska cylindern
S : y = x2 , 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3
om hastighetsvektorn i en v¨atskestr¨omning ¨ar v = F = [3z 2 , 6, 6xz].
L¨
osning. Ytan S p˚
a parameterform ges av vektorfunktionen
r(u, v) = [u, u2 , v] = ui + u2 j + vk,
0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 3
(man kan s¨atta x = u, z = v, y = x2 = u2 .
Partiella derivatorna (vektorfunktioner) ru och rv ,
ru = [1, 2u, 0],
52
rv = [0, 0, 1],
(62)
¨ar tangentvektorer till ytan S i en punkt P ∈ S som sp¨anner upp tangentplanet
till S i punkten P . Vektorprodukten
N = ru × rv 6= 0.
¨ar en normalvektor till ytan S
tangentplanet). Vi har
¯
¯
¯
N = ru × rv = ¯¯
¯
i punkten P (vektorprodukten ¨ar vinkelr¨at mot
¯
¯
¯
¯ = 2ui − j = [2u, −1, 0].
¯
¯
i j k
1 2u 0
0 0 1
Motsvarande enhetsnormalvektorn
n=
1
1
N= √
(2ui − j).
|N|
1 + 4u2
P˚
a ytan S,
F(r(u, v)) = F(S) = [3v 2 , 6, 6uv] = 3(v 2 i + 2j + 2uvk).
D˚
a
F(r(u, v)) · N(u, v) = 3[v 2 , 2, 2uv] · [2u, −1, 0] = 3(2uv 2 − 2) = 6(uv 2 − 1).
Parameterna u, v genoml¨oper rektangeln R : 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 3. Nu, kan vi
skriva och ber¨akna v¨atskefl¨odet
Z Z
Z Z
F · ndA =
F(r(u, v)) · N(u, v)dudv =
S
Z
3Z
2
R
Z
3
2
6(uv −1)dudv = 6(
0
0
Z
v dv
0
Z
2
2
3
Z
2
udu−
0
0
dudv) = 6(32 ·2−6) = 72.
0
Exempel 5.7 En ytintegral
Ber¨akna ytintegral av vektorfunktionen F = [x2 , 0, 3y 2 ] ¨over planet
S : x + y + z = 1, 0 ≤ x, y, z ≤ 1.
L¨
osning. S¨att x = u och y = v, d˚
a z = 1 − u − v, och S ges av
r(u, v) = [u, v, 1 − u − v],
0 ≤ v ≤ 1, 0 ≤ u ≤ 1 − v.
53
Vi har
ru = [1, 0, −1],
rv = [0, 1, −1];
normalvektorn ¨ar
¯
¯ i j k
¯
N = ru × rv = ¯¯ 1 0 −1
¯ 0 1 −1
¯
¯
¯
¯ = i + j + k = [1, 1, 1].
¯
¯
Motsvarande enhetsnormalvektorn
n=
1
1
N = √ (i + j + k).
|N|
3
P˚
a ytan S,
F(r(u, v)) = F(S) = [u2 , 0, 3v 2 ] = u2 i + 3v 2 k.
F(r(u, v)) · N(u, v) = [u2 , 0, 3v 2 ] · [1, 1, 1] = u2 + 3v 2 .
Parameterna u, v genoml¨oper triangeln R : 0 ≤ v ≤ 1, 0 ≤ u ≤ 1 − v. Nu, kan vi
skriva och ber¨akna ytintegralen:
Z Z
Z Z
Z Z
F · ndA =
F(r(u, v)) · N(u, v)dudv =
(u2 + 3v 2 )dudv =
S
R
Z
1Z
1−v
R
Z
2
1
2
(u + 3v )dudv =
0
Z
0
1
= (1/3)
Z
1
(1 − v) dv + 3
1−v
dv
0
3
0
Z
Z
1
2
u du + 3
0
Z
1
v (1 − v)dv = (1/3)
1−v
v dv
0
2
0
Z
2
du =
0
Z
1
3
t dt + 3
0
(v 2 − v 3 )dv =
0
(1/3) · (1/4) + 3(1/3 − 1/4) = 1/3.
5.3
Gauss’ divergenssats
Om v(x, y, z) ¨ar en deriverbar vektorfunktion,
v(x, y, z) = v1 (x, y, z)i + v2 (x, y, z)j + v3 (x, y, z)k,
d˚
a kallas (skal¨ara) funktionen
div v =
∂v1 ∂v2 ∂v3
+
+
∂x
∂y
∂z
divergensen av v.
L˚
at T vara ett omr˚
ade i rummet, begr¨ansad av en yta S med enhetsnormalvektorn n som ¨ar riktad ut˚
at fr˚
an omr˚
adet T . Antag att normalvektorn n varierar
54
kontinuerlig l¨angs S, med m¨ojligt undantag f¨or en punktm¨angd med arean 0 (kanter och h¨orn, dvs, punkter och linjer) Om F(x, y, z) ¨ar ett vektorf¨alt (en vektorfunktion) av klassen C 1 (dvs, F(x, y, z) = [F1 , F2 , F3 ] ¨ar deriverbar och partiella
∂F1 ∂F2
derivatorna
,
, etc. ¨ar kontinuerlig i ett omr˚
ade T 0 i rummet s˚
adant att
∂x ∂y
T ⊂ T 0 ), s˚
a g¨aller Gauss’ divergenssats
Z Z Z
Z Z
div FdV =
F · ndA.
T
S
Komponentvis,
¶
Z Z Z µ
Z Z
∂F1 ∂F2 ∂F3
+
+
dxdydz =
(F1 cos α + F2 cos β + F3 cos γ)dA.
∂x
∂y
∂z
T
S
eller
Z Z Z µ
T
∂F1 ∂F2 ∂F3
+
+
∂x
∂y
∂z
¶
Z Z
(F1 dydz + F2 dzdx + F3 dxdy).
dxdydz =
S
Exempel 5.8
Ber¨akna ytintegralen
Z Z
(x3 dydz + x2 ydzdx + x2 zdxdy),
I=
(63)
S
d¨ar ytan S best˚
ar av cylindern x2 + y 2 = a2 (0 ≤ z ≤ b) och cirkelna z = 0 och
z = b (x2 + y 2 ≤ a2 ) (S best˚
ar av tre delar av j¨amna ytor).
L¨
osning. I (63), ¨ar F(x, y, z) = [F1 , F2 , F3 ] en deriverbar vektorfunktion och
dess komponenter a¨r
F1 = x3 ,
F2 = x2 y,
F3 = x2 z.
D˚
a ¨ar divergensen av F = [F1 , F2 , F3 ]
div F =
∂F1 ∂F2 ∂F3
+
+
= 3x2 + x2 + x2 = 5x2 .
∂x
∂y
∂z
Polara koordinater inf¨ores
x = r cos θ,
y = r sin θ
(cylindrical coordinates r, θ, z)
dxdydz = rdrdθdz,
55
Enligt Gauss’ divergenssats, reduceras ytintegralen till en trippelintegral ¨over omr˚
adet
T begr¨ansad av en cylindrisk yta S,
Z Z
Z Z Z
Z Z Z
3
2
2
(x dydz + x ydzdx + x zdxdy) =
div FdV =
5x2 dxdydz =
S
T
Z
Z
b
Z
a
2π
5
Z
a
5b
0
Z
z=0
r=0
T
r2 cos2 θrdrdθdz =
θ=0
Z
a4 2π
r cos θdrdθ = 5b
cos2 θdθ =
4
0
0
4 Z 2π
5
a
5b
(1 + 2 cos θ)dθ = πba4 .
8 0
4
2π
3
2
Exempel 5.9 Verifiera Gauss’ divergenssats
Betrakta ytintegralen
Z Z
I=
F · ndA,
F = 7xi − zk
S
¨over klotytan S : x2 + y 2 + z 2 = 4. Ber¨akna integralen direkt och med hj¨alp av
Gauss’ divergenssats.
L¨
osning. F(x, y, z) = [F1 , F2 , F3 ] a¨r en deriverbar vektorfunktion och dess
komponenter ¨ar
F = [F1 , 0, F3 ], F1 = 7x, F3 = −z.
Divergensen av F ¨ar
div F =
∂F1 ∂F2 ∂F3
+
+
= 7 + 0 − 1 = 6.
∂x
∂y
∂z
Enligt Gauss’ divergenssats,
Z
Z
Z Z
Z Z
4
I=
div FdV = 6
dxdydz = 6 · π23 = 64π.
3
T, ball
T, ball
(64)
Ytintegralen ¨over S kan ber¨aknas direkt. Klotytan S : x2 + y 2 + z 2 = 4 av radien
2 p˚
a parameterform ges av vektorfunktionen
S : r(u, v) = 2 cos v cos ui + 2 cos v sin uj + 2 sin vk,
u, v in rectangle R : 0 ≤ u ≤ 2π, −π/2 ≤ v ≤ π/2.
56
Best¨am partiella derivator
ru = [−2 sin u cos v, 2 cos v cos u, 0],
rv = [−2 sin v cos u, −2 sin v sin u, 2 cos v],
och normalvektorn
¯
¯
i
j
k
¯
0
N = ru ×rv = ¯¯ −2 sin u cos v 2 cos v cos u
¯ −2 sin v cos u −2 sin v sin u 2 cos v
¯
¯
¯
¯ = [4 cos2 v cos u, 4 cos2 v sin u, 4 cos v sin v].
¯
¯
P˚
a ytan S,
x = 2 cos v cos u,
z = 2 sin v,
och
F(r(u, v)) = F(S) = [7x, 0, −z] = [14 cos v cos u, 0, −2 sin v].
D˚
a
F(r(u, v)) · N(u, v) =
(14 cos v cos u)4 cos2 v cos u+(−2 sin v)(4 cos v sin v) = 56 cos3 v cos2 u−8 cos v sin2 u.
Parameterna u, v genoml¨oper rektangeln R : 0 ≤ u ≤ 2π, −π/2 ≤ v ≤ π/2. Nu,
kan vi skriva och ber¨akna ytintegralen
Z Z
Z Z
F · ndA =
F(r(u, v)) · N(u, v)dudv =
S
R
Z
2π
Z
−π/2
8
0
(7 cos3 v cos2 u − cos v sin2 v)dudv =
−π/2
( Z
)
Z π/2
Z π/2
7 2π
8
(1 + cos 2u)du
cos3 vdv − 2π
cos v sin2 vdv =
2 0
−π/2
−π/2
Z π/2
Z π/2
56π
cos3 vdv − 16π
cos vdv sin2 vdv =
( Z
8π 7
−π/2
π/2
−π/2
Z
(1 − sin2 v)d sin v − 2
−π/2
π/2
)
dv sin2 vd sin v
−π/2
½ Z 1
Z
2
8π 7
(1 − t )dt − 2
−1
1
¾
2
t dt
=
−1
8π[7 · (2 − 2/3) − 4/3] = 8π · 4/3 · 6 = 64π.
som sammanfaller med v¨ardet (64).
57
=
Exempel 5.10 Till¨
ampningar av Gauss’ divergenssats
Enligt medelv¨ardessats f¨or trippelintegraler,
Z Z Z
f (x, y, z)dV = f (x0 , y0 , z0 )V (T )
T
d¨ar (x0 , y0 , z0 ) ¨ar en punkt i T och V (T ) ¨ar T ’s .
Enligt Gauss’ divergenssats,
Z Z Z
Z
Z
1
1
div F(x0 , y0 , z0 ) =
div FdV =
F · ndA.
V (T )
V (T ) S(T )
T
V¨alj en fix punkt P : (x1 , y1 , z1 ) i T och krympa T till P s˚
a att maximum avst˚
andet
d(T ) mellan punkter i T och P g˚
ar mot 0. D˚
a f˚
ar man en annan definition av
divergens
Z
Z
1
F · ndA.
div F(x1 , y1 , z1 ) = lim
d(T )→0 V (T ) S(T )
Det betyder att divergensen ¨ar oberoende av ett cartesiskt koordinatsystem i rummet.
Exempel 5.11
Differentialoperatorn av andra ordningen
∆ = ∇2 =
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
kallas Laplaceoperator (Laplacian). En tv˚
a g˚
anger deriverbar funktion f som satisfierar Laplaces ekvation i ett omr˚
ade T , dvs
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
∆f =
+ 2 + 2 = 0,
∂x2
∂y
∂z
kallas en harmonisk funktion i T .
Man kan transformera en dubbelintegral av Laplacian ∆w till en kurvintegral
∂w
av dess normalderivatan
:
∂n
Z Z
Z
∂w
2
∇ wdxdy =
ds.
R
C ∂n
[Normalderivatan grad w·n av en funktion w a¨r riktningsderivatan av w i riktningen
n, d¨ar n ¨ar normalvektorn till kurvan C].
58
Visa att man kan ocks˚
a transformera en trippelintegral av Laplacian ∆f till
en ytintegral av dess normalderivatan S¨att
F = grad f ;
d˚
a
div F = div grad f =
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
+
+
= ∇2 f.
∂x2
∂y 2
∂z 2
Vi har ocks˚
a
F · n = grad f · n
Enligt Gauss’ divergenssats, f˚
ar vi
Z Z Z
Z Z
∂f
2
dA.
∇ f dxdydz =
∂n
T
S
Vi har visat att om f (x, y, z) ¨ar en harmonisk funktion i T (∇2 f = 0 i T ), d˚
a
a¨r ytintegralen av dess normalderivatan o¨ver en godtycklig (orienterbar) yta S i T
noll:
Z Z
∂f
dA = 0.
∂n
S
5.4
Problem
PROBLEM 9.5.1
Best¨am en normalvektor och enhetsnormalvektorn till xy-planet
r(u, v) = [u, v] = ui + vj
samt parameterkurvorna u = const och v = const.
Lo
a vektorer a = [a1 , a2 , a3 ] och b =
¨sning. Vektorprodukten a × b av t˚
[b1 , b2 , b3 ] ¨ar en vektor v = a × b som ¨ar vinkelr¨at mot a och b, och a, b, v bildar
bildar ett positivt orienterat h¨ogersystem:
¯
¯
¯ i j k ¯
¯
¯
v = [v1 , v2 , v3 ] = a × b = ¯¯ a1 a2 a3 ¯¯ = v1 i + v2 j + v3 k,
¯ b1 b2 b3 ¯
d¨ar
¯
¯
¯ a2 a3 ¯
¯,
v1 = ¯¯
b2 b3 ¯
¯
¯
¯ a3 a1 ¯
¯,
v2 = ¯¯
b3 b1 ¯
59
¯
¯
¯ a1 a2 ¯
¯.
v3 = ¯¯
b1 b2 ¯
Parameterekvationerna
r(u, v) = [u, v, 0] = ui + vj;
definierar xy-planet. Best¨am partiella derivator
ru = [1, 0, 0] = i,
rv = [0, 1, 0] = j.
Vektorprodukten ru × rv ger en normalvektor N 6= 0 till xy-planet
¯
¯
¯ i j k ¯
¯
¯
N = ru × rv = ¯¯ 1 0 0 ¯¯ = k.
¯ 0 1 0 ¯
Motsvarande enhetsnormalvektorn
n=
1
1
N = k = k.
|N|
1
Parameterkurvorna u = const och v = const a¨r r¨ata linjer.
PROBLEM 9.5.3
Best¨am en normalvektor till konytan
r(u, v) = u cos vi + u sin vj + cuk = [u cos v, u sin v, cu]
samt parameterkurvorna u = const och v = const.
p
Lo
¨sning. Motsvarande konytan ges av funktionen z = c x2 + y 2 . Vi har
¯
¯
¯
N = ru ×rv = ¯¯
¯
ru = [cos v, sin v, c], rv = [−u sin v, u cos v, 0],
¯
i
j
k ¯¯
cos v
sin v c ¯¯ = −cu cos vi−cu sin vj+uk = −u[c cos v, c sin v, −1].
−u sin v u cos v 0 ¯
¨ar en normalvektor till konytan. Parameterkurvorna u = const ¨ar cirklar x2 + y 2 =
u2 , z = cu, och v = const ¨ar r¨ata linjer y = x tan v.
PROBLEM 9.5.13
Best¨am parameterekvationerna f¨or planet 3x + 4y + 6z = 24.
60
L¨
osning. Vi har z = 4 − (1/2)x − (2/3)y. D˚
a ger x = 8u och y = 6v parameterekvationer
r(u, v) = [8u, 6v, 4(1 − u − v)] = 8ui + 6vj + 4(1 − u − v)k.
En annan parameterform f˚
as genom x = u och y = v
˜r(u, v) = [u, v, 4 − (1/2)u − (2/3)v] = ui + vj + (4 − (1/2)u − (2/3)v)k.
Planet 3x + 4y + 6z = 24 ges av parameterekvationerna
r(u, v) = [8u, 6v, 4(1 − u − v)]
D˚
a
ru = [8, 0, −4],
rv = [0, 6, −4],
och en normalvektor N 6= 0
¯
¯ i j k
¯
N = ru × rv = ¯¯ 8 0 −4
¯ 0 6 −4
¯
¯
¯
¯=
¯
¯
24i + 32j + 48k = 8(3i + 4j + 6k) = 8[3, 4, 6].
Motsvarande enhetsnormalvektorn
n=
1
1
N = √ (3i + 4j + 6k).
|N|
61
PROBLEM 9.5.15
Best¨am parameterekvationerna f¨or ellipsoiden x2 + y 2 + (1/4)z 2 = 1.
L¨
osning. S¨att
x = cos v cos u,
y = cos v sin u,
z = 2 sin v.
D˚
a f˚
ar vi ellipsoiden x2 + y 2 + (1/4)z 2 = 1 och dess parameterekvationerna
r(u, v) = cos v cos ui + cos v sin uj + 2 sin vk,
Vidare,
ru = − cos v sin ui + cos v cos uj,
rv = − sin v sin ui − sin v cos uj + 2 cos vk.
61
Normalvektorn N 6= 0
¯
¯
i
j
k
¯
¯
0
N = ru ×rv = ¯ − cos v sin u cos v cos u
¯ − sin v sin u − sin v cos u 2 cos v
¯
¯
¯
¯ = 2 cos2 v cos ui+2 cos2 v sin uj+sin v cos vk.
¯
¯
PROBLEM 9.5.24
Best¨am enhetsnormalvektor till ellipsoiden 4x2 + y 2 + 9z 2 = 36.
L¨
osning. Vi har ellipsoidens ekvation g(x, y, z) = 4x2 + y 2 + 9z 2 − 36 = 0.
Ber¨akna partiella derivator
∂g
= 8x,
∂x
∂g
= 2y,
∂y
∂g
= 18z.
∂z
Vidare,
grad g = 2[4x, y, 9z],
|grad g| = 2
p
16x2 + y 2 + 81z 2 .
Enhetsnormalvektorn ges av
n=
p
1
1
grad g = p
grad g =
|grad g|
2 16x2 + y 2 + 81z 2
1
16x2 + y 2 + 81z 2
1
[4x, y, 9z] = p
16x2 + y 2 + 81z 2
(4xi + yj + 9zk).
PROBLEM 9.5.25
Best¨am enhetsnormalvektor till planet 4x − 4y + 7z = −3.
L¨
osning. Planets ekvation skrivas z = 1/7(−3 − 4x + 4y). Ins¨attning av x = u,
y = v i ytans vektorparameterekvationer
r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k
ger parameterekvationer till planet
r(u, v) = [u, v, 1/7(−3 − 4u + 4v)] = ui + vj + 1/7(−3 − 4u + 4v)k.
Vi har
ru = [1, 0, −4/7],
62
rv = [0, 1, 4/7].
(65)
Normalvektorn N 6= 0
¯
¯
¯ i j
¯
k
¯
¯
¯
N = ru × rv = ¯ 1 0 −4/7 ¯¯ =
¯ 0 1 4/7 ¯
(4/7)i − (4/7)j + k = (1/7)(4i − 4j + 7k) = (1/7)[4, −4, 7].
Motsvarande enhetsnormalvektorn
n=
1
1
N = (4i − 4j + 7k).
|N|
9
(66)
Man kan ocks˚
a skriva planets ekvation som g(x, y, z) = 4x − 4y + 7z + 3 = 0.
Best¨am partiella derivator
∂g
= 4,
∂x
∂g
= −4,
∂y
grad g = [4, −4, 7],
|grad g| =
D˚
a
∂g
= 7.
∂z
√
162 + 162 + 49 = 9,
och enhetsnormalvektorn ges av
n=
1
1
grad g = (4i − 4j + 7k)
|grad g|
9
som sammanfaller med v¨ardet (66).
PROBLEM 9.6.1
Ber¨akna ytintegralen d˚
a F = [3x2 , y 2 , 0] och S ¨ar triangeln som ligger i planet
r(u, v) = [u, v, 2u + 3v],
0 ≤ u ≤ 2, −1 ≤ v ≤ 1.
L¨
osning. Vi har
ru = [1, 0, 2],
normalvektorn
¯
¯ i j k
¯
N = ru × rv = ¯¯ 1 0 2
¯ 0 1 3
rv = [0, 1, 3];
¯
¯
¯
¯ = −2i − 3j + k = [−2, −3, 1].
¯
¯
Motsvarande enhetsnormalvektorn
n=
1
1
N = √ (−2i − 3j + k).
|N|
14
63
P˚
a ytan S
F(r(u, v)) = F(S) = [3u2 , v 2 , 0] = 3u2 i + v 2 j).
D˚
a
F(r(u, v)) · N(u, v) = [3u2 , v 2 , 0] · [−2, −3, 1] =
−6u2 − 3v 2 = −3(2u2 + v 2 ).
Parameterna u, v genoml¨oper rektangeln R : 0 ≤ u ≤ 2, −1 ≤ v ≤ 1. Nu, kan vi
skriva och ber¨akna ytintegralen
Z Z
F · ndA =
S
Z Z
Z Z
(2u2 + v 2 )dudv =
F(r(u, v)) · N(u, v)dudv = −3
Z
R
1
= −6
Z
2
dv
−1
Z
1
2
u du − 3
0
R
Z
2
2
v dv
−1
Z
du == −12
0
Z
2
2
1
u du − 6
0
v 2 dv =
−1
−6[2 · (8/3) + 2/3] = −32 − 4 = −36.
PROBLEM 9.6.5
Ber¨akna ytintegralen d˚
a F = [x − z, y − x, z − y] och S a¨r konytan
r(u, v) = u cos vi + u sin vj + uk,
u, v i rektangeln R : 0 ≤ v ≤ 2π, 0 ≤ u ≤ 3.
L¨
osning. Vi har konytans parameterekvationer och kan ber¨akna partielle derivator
ru = [cos v, sin v, 1],
rv = [−u sin v, u cos v, 0].
Normalvektorn N 6= 0 till konytan ¨ar
¯
¯
¯
¯
i
j
k
¯
¯
¯
sin v 1 ¯¯ = −u cos vi−u sin vj+uk = −u[cos v, sin v, −1].
N = ru ×rv = ¯ cos v
¯ −u sin v u cos v 0 ¯
P˚
a konytan S
F(r(u, v)) = F(S) = [u cos v − u, u sin v − u cos v, u − u sin v] =
u[(cos v − 1)i + (sin v − cos v)j + (1 − sin v)k].
D˚
a
F(r(u, v)) · N(u, v) = u[cos v − 1, sin v − cos v, 1 − sin v] · (−u)[cos v, sin v, −1] =
64
−u2 [cos v(cos v−1)+sin v(sin v−cos v)+sin v−1] = −u2 (1−cos v−sin v cos v+sin v−1) =
−u2 (sin v − cos v − sin v cos v).
Parameterna u, v genoml¨oper rektangeln R : 0 ≤ u ≤ 3, 0 ≤ v ≤ 2π. Nu, kan vi
skriva och ber¨akna ytintegralen
Z Z
Z Z
F · ndA =
F(r(u, v)) · N(u, v)dudv =
S
R
Z Z
u2 (sin v − cos v − sin v cos v)dudv =
−
R
Z
Z
2π
=−
u2 du =
(sin v − cos v − sin v cos v)dv
0
Z
(−1/3)(
3
Z
2π
Z
2π
sin vdv −
0
2π
cos vdv −
0
sin v cos vdv) = (−1/3)(0 + 0 + 0) = 0.
0
0
PROBLEM 9.7.13
Ber¨akna ytintegralen ¨over l˚
adans ytan T : |x| ≤ 1, |y| ≤ 3, |z| ≤ 2 d˚
a F =
[x2 , 0, z 2 ]
L¨
osning. Vi har vektorfunktionen
F1 = x2 ,
F3 = z 2 .
F2 = 0,
Divergensen av F = [F1 , F2 , F3 ] ¨ar
div F =
∂F1 ∂F2 ∂F3
+
+
= 2x + 2z.
∂x
∂y
∂z
Enligt Gauss’ divergenssats, a¨r ytintegralen lika med trippelintegralen ¨over l˚
adan
T
Z Z
Z Z Z
F · ndA =
div FdV =
S
Z Z Z
2
Z
T
2
(x + z)dxdydz = 2
T
Z
Z
2
dz
−2
Z
3
−3
Z
3
dz
z=−2
Z
1
dy
Z
y=−3
−1
65
(x + z)dxdydz =
x=−1
Z
3
zdz
−2
PROBLEM 9.7.15
Z
2
xdx +
1
dy
1
dy
−3
dx = 0.
−1
Ber¨akna ytintegralen d˚
aF = [cos y, sin x, cos z] och S ¨ar en yta som best˚
ar av
cylinderns yta x2 + y 2 = 4 (|z| ≤ 2) och tv˚
a cirklar som ligger i planen z = −2
och z = 2 (x2 + y 2 ≤ 4)
L¨
osning. Vi har
F1 = cos y,
F2 = sin x,
F3 = cos z.
Divergensen av F = [F1 , F2 , F3 ] ¨ar
div F =
∂F1 ∂F2 ∂F3
+
+
= − sin z.
∂x
∂y
∂z
Anv¨and polara koordinater
x = r cos θ,
y = r sin θ
(cylindrical coordinates r, θ, z)
D˚
a f˚
ar vi
dxdydz = rdrdθdz,
Enligt Gauss’ divergenssats, a¨r ytintegralen lika med trippelintegralen o¨ver omr˚
adet
T i rummet begr¨ansad av cylinderns yta S av radien 2 och h¨ojden 4,
Z Z
Z Z Z
Z Z Z
Z 2
Z 2 Z
F·ndA =
div FdV = −
sin zdxdydz = −
sin zdz
S
T
T
z=−2
r=0
PROBLEM 9.8.1
Verifiera fundamentala egenskapen av l¨osningar till Laplaces ekvation d˚
af (x, y, z) =
2
2
2
2z − x − y och S ¨ar l˚
adans yta T : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4.
L¨
osning. S¨att
F = grad f = [−2x, −2y, 4z].
D˚
a
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
div F = div grad f =
+ 2 + 2 = ∇2 f = −2 − 2 + 4 = 0,
2
∂x
∂y
∂z
som betyder att f (x, y, z) = 2z 2 − x2 − y 2 ¨ar en harmonisk funktion.
Nu ber¨akna ytintegraler ¨over 6 sidor av T ’s yta. B¨orja med sidan parallel med
x, y-planet som ligger i planet z = 4, sedan betrakta sidan som ligger i planet
z = 0, etc.:
Z Z
∂f
dA =
∂n
S
66
2π
rdrdθ = 0.
θ=0
¯
Z Z
∂f ¯¯
dxdy −
∂z ¯z=4
S
S
¯
Z Z
Z Z
∂f ¯¯
dydz −
∂x ¯x=1
S
S
¯
Z Z
Z Z
∂f ¯¯
dxdz −
∂y ¯y=2
S
S
Z Z
¯
∂f ¯¯
dxdy+
∂z ¯z=0
¯
∂f ¯¯
dydz+
∂x ¯x=0
¯
∂f ¯¯
dxdz =
∂y ¯y=0
4 · 4 · 2 − 0 + (−2) · 8 − 0 + (−4) · 4 − 0 = 0.
PROBLEM 9.8.3
Ber¨akna ytintegralen
Z Z
I=
F · ndA,
F = [x, z, y]
S
¨over h¨ogre klotytan S : x2 + y 2 + z 2 = 4, z ≥ 0. Anv¨and Gausss divergensesats.
L¨
osning. Vi har
F = [x, z, y],
F1 = x,
F2 = z,
F3 = y.
Divergensen av F ¨ar
div F =
∂F1 ∂F2 ∂F3
+
+
= 1 + 0 + 0 = 1,
∂x
∂y
∂z
Enligt Gausss divergensesats,
Z Z
Z
Z Z Z
16π
1 4
.
I=
div FdV =
dxdydz = · π23 =
2 3
3
T, one half of ball
T
6
Stokes’ sats
L˚
at x, y, z vara ett positivt orienterat cartesiskt koordinatsystem och
v(x, y, z) = v1 (x, y, z)i + v2 (x, y, z)j + v3 (x, y, z)k
en deriverbar vektorfunktion. D˚
a kallas vektorfunktionen
¯
¯
¯
¯ i
¯
¯ ∂ ∂j k
∂
curl v = ∇ × v = ¯¯ ∂x ∂y ∂z ¯¯ =
¯ v1 v2 v3 ¯
67
µ
∂v3 ∂v2
−
∂y
∂z
¶
µ
i+
∂v1 ∂v3
−
∂z
∂x
¶
µ
j+
∂v2 ∂v1
−
∂x
∂y
¶
k
rotationen av v (rotationen av vektorf¨altet v.
Betrakta en yta S, som har en orienterad randkurva C som genoml¨opes precis
ett varv. Antag att S har en enhetsnormalvektor n, som varierar kontinuerlig
l¨angs S, och ¨ar riktad enligt skruvregeln: en normalvektor som r¨or sig l¨angs C’s
genoml¨oppsrriktning, har ytan till v¨anster av sig.
Om nu F(x, y, z) ¨ar ett vektorf¨alt (en vektorfunktion) av klassen C 1 (dvs,
∂F1 ∂F2
F(x, y, z) = [F1 , F2 , F3 ] ¨ar deriverbar och partiella derivatorna
,
, etc. ¨ar
∂x ∂y
kontinuerlig i ett omr˚
ade T i rummet s˚
adant att S ⊂ T ), s˚
a g¨aller Stokes’ sats
Z Z
Z
(curl F) · ndA =
F · r0 (s)ds,
(67)
S
C
d¨ar n ¨ar enhetsnormalvektorn till S r0 (s) ¨ar enhetstangentvektorn till C, s ¨ar
b˚
agesl¨angden av C och man integrerar l¨angs C enligt skruvregeln.
Vi skall skriva Stokes’ sats komponentvis. P˚
aminn att ytan S p˚
a parameterform
ges av tre ekvationer
x = x(u, v),
y = y(u, v),
z = z(u, v),
(u, v) ∈ D,
(68)
dvs av vektorfunktionen
r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k [(u, v) ∈ D],
(69)
d¨ar variabelna u, v kallas parametrar. Omr˚
adet D ligger i uv-planet och kallas
parameteromr˚
ade. D˚
a u, v genoml¨oper omr˚
adet D [(u, v) ∈ D], s˚
a genoml¨oper
punkten
P = P (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
en viss punktm¨angd S i xyz-rummet (en yta). Ekvationerna (68) kallas ytans
ekvationer p˚
a parameterform. (69) kallas ytans ekvation p˚
a vektorform och kan
skrivas kort
r = r(u, v)
[(u, v) ∈ D],
(70)
d¨ar r(u, v) ¨ar ortsvektorn f¨or den punkt p˚
a S, som motsvarar parameterv¨ardena
~ v).
r(u, v) = OP (u,
Nu kan vi skriva Stokes’ sats komponentvis
¶
µ
¶
µ
¶ ¸
Z Z ·µ
∂F3 ∂F2
∂F1 ∂F3
∂F2 ∂F1
−
−
−
N1 +
N2 +
N3 dudv
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
R
68
Z
˜
C
(F1 dx + F2 dy + F3 dz),
d¨ar R [R = D i (70)] ¨ar parameteromr˚
adet i uv-planet begr¨ansad av randkurvan C˜
som motsvarar S med parametervektorfunktionen r(u, v) [(70)] och normalvektorn
N(u, v) = [N1 , N2 , N3 ] = ru × rv .
Exempel 6.1 Verifiera Stokes’ sats
Verifiera Stokes’ sats f¨or vektorfunktionen
F = [y, z, x] = yi + zj + xk
och ytan (paraboloid) S
z = f (x, y) = 1 − (x2 + y 2 ),
z≥0
L¨
osning. Kurvan C ¨ar cirkeln r(s) = [cos s, sin s, 0]. Enhetstangentvektor till
C a¨r r0 (s) = [− sin s, cos s, 0]. D˚
a f˚
ar man kurvintegralen
Z
Z 2π
0
[sin s(− sin s) + 0 + 0]ds = −π.
F · r (s)ds =
0
C
Enligt Stokes’ sats, f˚
ar vi
¯
¯ i
¯ ∂
curl F = ¯¯ ∂x
¯ y
¶
µ
µ
∂y
∂x ∂z
−
i+
−
∂y ∂z
∂z
¯
k ¯¯
∂ ¯
∂z ¯ =
x ¯
j
∂
∂y
z
∂x
∂x
¶
µ
j+
∂z ∂y
−
∂x ∂y
¶
k=
−i − j − k = [−1, −1, −1].
Normalvektorn
N = grad (z − f (x, y)) = [2x, 2y, 1].
Vidare, ber¨aknar vi skal¨arprodukten och f˚
ar
curl F · N = [−1, −1, −1] · [2x, 2y, 1] = −2x − 2y − 1.
Best¨am dubbelintegralen genom att anv¨anda polara koordinater x = r cos θ, y =
r sin θ:
Z Z
Z Z
Z Z
(curl F)·ndA =
(−2x−2y−1)dxdy =
(−2r cos θ−2r sin θ−1)rdrdθ,
S
˜
R
R
69
˜ a¨r cirkeln r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π. Vi har
d¨ar R
Z Z
(−2r cos θ − 2r sin θ − 1)rdrdθ =
˜
R
Z
Z
2π
−2
cos θdθ
0
Z
1
Z
2π
rdr−2
sin θdθ
0
Z
1
rdr−
0
0
Z
2π
1
dθ
0
rdr = 0+0−π = −π.
0
Exempel 6.2 Ber¨
akna en kurvintegral med hj¨
alp av Stokes’ sats.
Betrakta kurvintegralen
Z
F · r0 (s)ds,
C
d¨ar
F = [y, xz 3 , −zy 3 ] = yi + xz 3 j − zy 3 k,
och C ¨ar cirkeln
x2 + y 2 = 4,
z = −3.
Ber¨akna integralen direkt och med hj¨alp av Stokes’ sats.
Lo
at en yta begr¨ansad av (randkurvan) C vara ytan S : x2 + y 2 ≤ 4
¨sning. L˚
som ligger i planet z = −3. D˚
a ¨ar normalvektorn till S n = k = [0, 0, 1] (dvs, en
konstant vektor), och Stokes’ sats ger
¯
¯
¯ i
j
k ¯¯
¯ ∂
∂
∂
¯=
curl F = ¯¯ ∂x ∂y
∂z
¯
¯ y xz 3 −zy 3 ¯
µ
∂(−zy 3 ) ∂(xz 3 )
−
∂y
∂z
¶
µ
i+
∂y ∂(−zy 3 )
−
∂z
∂x
¶
µ
j+
∂(xz 3 ) ∂y
−
∂x
∂y
¶
k
−3z(y 2 + xz)i + (z 3 − 1)k = [−3z(y 2 + xz), 0, z 3 − 1].
curl F · N = curl F · k = z 3 − 1
och
curl F · N|z=−3 = −33 − 1 = −28.
D˚
a
Z Z
Z
Z
(−28)dxdy = −28π22 = −112π.
(curl F) · ndA =
S
x2 +y 2 ≤4
z=−3
70
6.1
Problem
PROBLEM 9.9.1
Ber¨akna ytintegralen
Z Z
(curl F) · ndA,
S
d¨ar F = [z 2 , 5x, 0] och S ¨ar kvadraten
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, z = 1.
L¨
osning. Vi har
r(u, v) = [u, v, 1],
0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1,
ru = [1, 0, 0],
rv = [0, 1, 0];
enhetsnormalvektorn
¯
¯ i j k
¯
N = ru × rv = ¯¯ 1 0 0
¯ 0 1 0
¯
¯
¯
¯ = k = [0, 0, 1].
¯
¯
P˚
a ytan S,
F(r(u, v)) = F(S) = [1, 5u, 0] = i + 5uj.
D˚
a
¯
¯
¯
¯ i
¯
¯ ∂ ∂j k
∂ ¯
¯
curl F = ¯ ∂x ∂y ∂z ¯ =
¯ 1 5x 0 ¯
¶
µ
¶
µ
¶
µ
∂1 ∂0
∂x ∂1
∂0
∂x
−5
i+
−
j+5
−
k = 5k
∂y
∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
curl F · n = 5
Parameterna u, v genoml¨oper kvadraten R : 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1. Nu, kan vi
skriva och ber¨akna ytintegralen
Z Z
Z Z
curl F · ndA =
5dudv = 5.
S
R
Enligt Stokes’ sats, f˚
ar vi
Z
Z
0
F · r (s)ds = (F1 dx + F2 dy + F3 dz) =
C
C
71
Z
0
Z
Z
1
F1 |y=0 dx −
Z
1
0
F1 |y=1 dx +
Z
1
1 · dx −
0
Z
1
0
1
1 · dx +
Z
1
F2 |x=1 dy −
Z
0
0
F2 |x=0 dy =
1
5 · dy −
0
1
0 · dy = 1 − 1 + 5 − 0 = 5
0
(vi integrerade i planet z = 1).
PROBLEM 9.9.3
Ber¨akna ytintegralen
Z Z
(curl F) · ndA,
S
d¨ar F = [ez , ez sin y, ez cos y] och S a¨r cylindriska paraboloiden
z = y 2 , 0 ≤ x ≤ 4 0 ≤ y ≤ 2.
L¨
osning. S¨att x = u, y = v; d˚
a f˚
ar vi z = y 2 = v 2 , och motsvarande parameterekvationerna f¨or den h¨ar cylindriska paraboloiden
r(u, v) = [u, v, v 2 ],
0 ≤ u ≤ 4 0 ≤ v ≤ 2.
Vidare
ru = [1, 0, 0],
rv = [0, 1, 2v],
och normalvektorn
¯
¯ i j k
¯
N = ru × rv = ¯¯ 1 0 0
¯ 0 1 2v
¯
¯
¯
¯ = −2vj + k = [0, −2v, 1].
¯
¯
Ber¨akna rotationen
¯
¯
¯
¯ i
j
k
¯
¯ ∂
∂
∂
¯=
curl F = ¯¯ ∂x
∂y
∂z
¯
¯ ez ez sin y ez cos y ¯
µ
¶
µ z
¶
µ z
¶
∂ez sin y
∂ez cos y
∂e
∂e sin y ∂ez
z ∂ cos y
−
−
−
e
i+
j+
k=
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
−2ez sin yi + ez j.
P˚
a ytan S,
2
2
curl F = F(S) = ev [−2 sin v, 1, 0] = ev (−2 sin vi + j).
72
D˚
a
2
curl F · N = −2vev .
Parameterna u, v genoml¨oper rektangeln R : 0 ≤ u ≤ 4 0 ≤ v ≤ 2. Nu, kan vi
skriva och ber¨akna ytintegralen
Z Z
Z Z ³
´
2
curl F · ndA =
−2vev dudv =
S
R
Z
Z
4
−
du
0
Z
2
v2
4
2
e dv = −4
0
et dt = −4(e4 − 1).
0
Enligt Stokes’ sats, f˚
ar vi
Z
Z
0
F · r (s)ds = (F1 dx + F2 dy + F3 dz) =
C
Z
Z
4
0
F1 |z=0 dx−
Z
4
0
C
Z
F1 |z=4 dx+
Z
4
4
1 · dx −
0
Z
2
2
0
Z
(F2 + F3 z (y))|x=4 dy−
Z
2
e4 · dx +
0
2
2
0
2
0
(F2 + F3 z 0 (y))|x=0 dy =
2
(ey sin y + 2yey cos y)dy−
0
2
ey sin y + 2yey cos ydy = 4 − 4e4 + I − I = −4(e4 − 1).
0
PROBLEM 9.9.7
Ber¨akna kurvintegralen
Z
Z
0
F · r (s)ds = (F1 dx + F2 dy + F3 dz),
C
C
d¨ar F = [−5y, 4x, z] och C ¨ar cirkeln
x2 + y 2 = 4, z = 1.
L¨
osning. Cirkeln ligger i planet z = 1; d˚
a a¨r enhetsnormalvektorn n = k =
[0, 0, 1].
Ber¨akna rotationen
¯
¯
¯ i
¯
j
k
¯ ∂
¯
∂
∂
curl F = ¯¯ ∂x ∂y ∂z ¯¯ =
¯ −5y 4x z ¯
73
µ
∂x
∂z
−4
∂y
∂z
¶
µ
i+
∂(−5y) ∂z
−
∂z
∂x
¶
µ
j+4
∂x ∂(−5y)
−
∂x
∂y
¶
k = 9k.
D˚
a
curl F · n = 9,
och ytintegralen i Stokes’ sats ger kurvintegralen:
Z Z
Z Z
curl F · ndA = 9
dudv = 9π22 = 36π.
S
R
PROBLEM 9.9.9
Ber¨akna kurvintegralen
Z
Z
0
F · r (s)ds = (F1 dx + F2 dy + F3 dz),
C
C
d¨ar F = [4z, −2x, 2x] och C ¨ar ellipsen
x2 + y 2 = 1, z = y + 1.
L¨
osning. Ellipsen ligger i planet z = y + 1; d˚
a ¨ar enhetsnormalvektorn
N = −j + k = [0, −1, 1]
eftersom
r(u, v) = [u, v, v + 1],
ru = [1, 0, 0],
rv = [0, 1, 1],
och en normalvektor till planet z = y + 1
¯
¯ i j k
¯
N = ru × rv = ¯¯ 1 0 0
¯ 0 1 1
Vidare,
¯
¯
¯
¯ = −j + k = [0, −1, 1].
¯
¯
¯
¯
¯
¯ i
j
k
¯
¯ ∂
∂
∂ ¯
¯
curl F = ¯ ∂x ∂y
∂z ¯ =
¯ 4z −2x 2x ¯
µ
¶
µ
¶
µ
¶
∂x
∂x
∂x
∂z
∂z
∂x
2
+2
−4
i+ 4 −2
j−2
k = 2(j − k).
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
74
Ber¨akna skal¨arprodukten
curl F · N = [0, −1, 1] · [0, 2, −2] = −4.
Ytintegralen i Stokes’ sats o¨ver parametercirkeln R : u2 + v 2 ≤ 1 ger kurvintegralen:
Z Z
Z Z
curl F · ndA = −4
dudv = −4π.
S
R
Ellipsens ekvation kan ocks˚
a skrivas
x2 +
√
(y 0 )2
= 1, y 0 = 2y,
2
(observera att ellipsen ligger i planet S : z = y + 1), och normalvektorn till det
h¨ar planet ¨ar
1
n = √ [0, −1, 1].
2
D˚
a f˚
ar vi
Z Z
Z Z
1
1 √
curl F · ndA = −4 √
dA = −4 √ π 2 = −4π,
2 S
2
S
eftersom integralen l¨angs ellipsen S ¨ar lika med ellipsens area.
7
Heavisides stegfunktion. Diracs deltafunktion
7.1
Heavisides stegfunktion
Heaviside stegfunktion definieras
½
u(t − a) =
0 om t < a,
1 om t > a.
Laplacetransformen av en funktion f (t) definieras
Z ∞
F (s) = L (f ) =
e−st f (t)dt.
0
F¨
ordr¨
ojningssatsen.
L˚
at F (s) vara Laplacetransformen av f (t). D˚
a ¨ar
e−as F (s)
75
Laplacetransformen av avsk¨arningsfunktionen
½
0
om t < a,
f˜(t) = f (t − a)u(t − a) =
f (t − a) om t > a,
L [f (t − a)u(t − a)] = e−as F (s),
eller
f (t − a)u(t − a) = L−1 {e−as F (s)}.
Bevis. Av Laplacestransformens definition f¨oljer att
Z ∞
Z ∞
−as
−as
−st
e F (s) = e
e f (t)dt =
e−s(t+a) f (t)dt.
0
0
Variabelsubstitutionen t + a = t0 ger
Z
−as
e F (s) =
∞
0
e−st f (t0 − a)dt0 .
a
F¨or att f˚
a Laplacestransformen, m˚
aste man integrera ¨over intervallet (0, ∞). Vi g¨or
det genom att anv¨anda definitionen av Heavisides stegfunktion och avsk¨arningsfunktionen
och ers¨atter f (t0 − a) med f (t0 − a)u(t0 − a) (p˚
aminn att f (t) = 0 f¨or negativa t)
Z ∞
0
−as
e−st f (t0 − a)u(t0 − a)dt0 = L [f (t − a)u(t − a)].
e F (s) =
0
Best¨am Laplacetransformen av stegfunktionen u(t − a)
Z ∞
Z ∞
¯∞
1
−st
L [u(t − a)] =
e u(t − a)dt =
e−st dt = − e−ts ¯t=a
s
0
a
och Laplacetransformen a¨r
1
L [u(t − a)] = e−as .
s
Exempel 7.1 F¨
ordr¨
ojningssatsen
Betrakta originalfunktionen

om 0 < t < π,
 2
0
om π < t < 2π,
f (t) =

sin t om t > 2π,
76
(71)
Best¨am Laplacetransformen F (s).
Lo
¨sning. Skriv f (t) i (71) med h¨ajlp av Heavisides stegfunktion, dvs, anv¨and
avsk¨arning: f (t) → f (t)u(t)
och
f¨ordr¨ojning: f (t)u(t) → f (t − a)u(t − a)

om 0 < t < π,
 2u(t)
2u(t) − 2u(t − π) = 0
om π < t,
f (t) =

2u(t) − 2u(t − π) + u(t − 2π) sin t = f (t) f¨or alla t > 0.
D˚
a
f (t) = 2u(t) − 2u(t − π) + u(t − 2π) sin t
∀t > 0,
(vi skriv den sista termen som u(t − 2π) sin (t − 2π) eftersom sin x ¨ar en periodisk
funktion), och
2 2
1
F (s) = − e−πs + 2
e−2πs
s s
s +1
eftersom Laplacetransformen av f (t) = sin ωt ¨ar
L (f ) =
ω
.
s2 + ω 2
och Laplacetransformen av sin t ¨ar
L (sin t) =
s2
1
.
+1
Exempel 7.2
Betrakta Laplacetransformen
F (s) =
2
2
4
s
− 2 e−2s − e−2s + 2
e−πs .
2
s
s
s
s +1
(72)
Best¨am originalfunktionen f (t).
Lo
¨sning. Utan exponentialfunktioner, har fyra termer
2
,
s2
−
2
,
s2
4
− ,
s
s2
s
+1
(73)
i (72) originalfunktioner 2t, −2t, −4 och cos t eftersom Laplacetransformen av
cos ωt ¨ar
s
.
L (cos ωt) = 2
s + ω2
77
och
s
(ω = 1).
s2 + 1
Enligt f¨ordr¨ojningssatsen, kan man skriva originalfunktionen f (t) som har Laplacetransformen F (s) (72) med h¨ajlp av Heavisides stegfunktion:
L (cos t) =
f (t) = 2t − 2(t − 2)u(t − 2) − 4u(t − 2) + u(t − π) cos (t − π) =
2t − 2tu(t − 2) − 4u(t − 2) − cos tu(t − π).
D˚
a

if 0 < t < 2,
 2t
2t − 2t = 0
if 2 < t < π,
f (t) =

2t − 2t − cos t = − cos t if t > π,
7.2
7.2.1
Diracs deltafunktion
Impulsfunktioner
Betrakta en funktionsf¨oljd som kallas impulsfunktionen
½
1/k, a ≤ t ≤ a + k,
fk (t − a) =
0,
t∈
/ [a, a + k],
Dess impuls Ik definieras som integralen
Z ∞
Z
Ik =
fk (t − a)dt =
0
a+k
a
(74)
1
dt = 1.
k
Man kan skriva impulsfunktionen f (t) (74) med h¨ajlp av Heavisides stegfunktion
fk (t − a) =
1
[u(t − a) − u(t − (a + k))].
k
Impulsfunktionens Laplacetransform ¨ar d˚
a
L (fk (t − a)) =
1 −as
1 − e−ks
[e
− e−(a+k)s ] = e−as
.
ks
ks
Skriv en formell definition (en formell gr¨anspuls)
δ(t − a) = lim fk (t − a).
k→0
δ(t − a) kallas Diracs deltafunktion.
78
7.2.2
Definitionen av Diracs deltafunktion genom Laplacetransform
Laplacetransformen L {δ(t−a)} av Diracs deltafunktion definieras som ett gr¨ansv¨arde
L {δ(t − a)} = lim L (fk (t − a)) = lim e−as
k→0
e
−as
k→0
1 − e−ks
=
ks
1 − (1 − ks + O(ks)2 )
lim
= e−as lim [1 + O(ks)] = e−as ,
k→0
k→0
ks
Vi har
L {δ(t − a)} = e−as ,
och
L {δ(t)} = 1.
Man kan betrakta fler funktionsf¨oljder (impulsfunktioner), som anv¨ands f¨or att
definiera Diracs deltafunktion:
½
1
1
n, − 2n
≤ t ≤ 2n
,
δn (t) =
(75)
1
0, |t| > 2n ,
n
2 2
δn (t) = √ e−n x ,
π
1
n
δn (t) =
,
π 1 + n2 x2 Z
n
sin nx
1
δn (t) =
=
eixt dt.
πx
2π −n
(76)
(77)
(78)
Man kan visa att i alla fall (75)–(78),
Z ∞
In =
δn (t)dt = 1.
(79)
0
I fallet (75), har vi
Z
Z
∞
1/2n
δn (t)f (t)dt = n
−∞
f (t)dt =
−1/2n
1
= n f (t∗n ) = f (t∗n ),
n
och
Z
∞
lim
n→0
−∞
t∗n ∈ [−
δn (t)f (t)dt = lim f (t∗n ) = f (0),
n→0
79
1 1
, ]
2n 2n
(80)
s˚
a att man kan anv¨anda likheten
Z ∞
δ(t)f (t)dt = f (0)
(81)
−∞
f¨or att definiera (best¨amma) ’v¨arden’ av Diracs deltafunktion.
Vi har ocks˚
a
1
δ(at) = δ(t), a > 0.
a
7.2.3
(82)
Vissa till¨
ampningar: l¨
osning av ordin¨
ara diffekvationer
PROBLEM 5.3.21 (AEM)
L¨os begynnelsev¨ardesproblemet
y 00 + 6y 0 + 8y = e−3t − e−5t ,
y(0) = 0, y 0 (0) = 0.
(83)
L¨
osning. Vi l¨oser begynnelsev¨ardesproblemet med hj¨alp av Laplaces metod.
Steg 1. S¨att
Y = L (y),
r(t) = e−3t − e−5t ,
R = L (r) = L (e−3t ) − L (e−5t ) =
1
1
−
,
s+3 s+5
och Laplacetransformera b˚
ada leden i y 00 + 6y 0 + 8y = r(t)
L (y 00 ) + 6L (y 0 ) + 8L (y) =
1
1
−
,
s+3 s+5
och f˚
a sidoekvationen
[s2 Y − sy(0) − y 0 (0)] + 6[sY − y(0)] + 8Y =
1
1
−
s+3 s+5
eller
1
1
−
.
s+3 s+5
Steg 2. L¨os ekvationen genom att anv¨anda transferfunktionen
(s2 + 6s + 8)Y =
Q = Q(s) =
s2
1
.
+ 6s + 8
Vi f˚
ar
µ
Y (s) =
1
1
−
s+3 s+5
¶
µ
Q(s) =
80
1
1
−
s+3 s+5
¶
s2
1
.
+ 6s + 8
Partialbr˚
aksuppdelning ger
µ
¶
1
1
1
1
s + 6s + 8 = (s + 2)(s + 4), Q(s) = 2
=
−
,
s + 6s + 8
2 s+2 s+4
µ
¶µ
¶
1
1
1
1
−
−
=
2Y (s) =
s+3 s+5
s+2 s+4
2
1
1
1
1
−
−
+
=
(s + 3)(s + 2) (s + 5)(s + 2) (s + 3)(s + 4) (s + 5)(s + 4)
2 1
2
2
2 1
−
+
−
.
3s+2 s+3 s+4 3s+5
D˚
a
1 1
1
1
1 1
−
+
−
.
3s+2 s+3 s+4 3s+5
Steg 3. Ber¨akna l¨osningen
Y (s) =
1
1
y(t) = L−1 (Y ) = e−2t − e−3t + e−4t − e−5t =
3
3
1 −5t 3t
1
e (e − 3e2t + 3et − 1) = e−5t (et − 1)3 .
3
3
PROBLEM 5.3.23 (AEM)
L¨os begynnelsev¨ardesproblemet
y 00 + 9y = r(t),
r(t) = 8 sin t, 0 < t < π, 0, t > π;
y(0) = 0, y 0 (0) = 4.
L¨
osning. Vi l¨oser begynnelsev¨ardesproblemet med hj¨alp av Laplaces metod.
Steg 1. S¨att
Y = L (y),
r(t) = 8[u(t) − u(t − π)] sin t = 8u(t) sin t − 8u(t − π) sin(t − π).
8
8
− e−πs 2
.
+1
s +1
Laplacetransformera b˚
ada leden i differentialekvationen y 00 + 9y = r(t)
R(s) = L (r) = 8L (u(t) sin t) − 8L (u(t − π) sin(t − π)) =
L (y 00 ) + 9L (y) = R(s),
och f˚
a sidoekvationen
[s2 Y − sy(0) − y 0 (0)] + 9Y = R(s),
81
s2
eller
(s2 + 9)Y = 4 + R(s).
Steg 2. L¨os ekvationen genom att anv¨anda transferfunktionen
Q = Q(s) =
Vi f˚
ar
1
.
s2 + 9
4
1
1
1
1
+8 2
− 8e−πs 2
=
2
2
+9
s +1s +9
s +1s +9
¶
µ
1
1
1
4
1
−πs
+
−
−e
−
=
s2 + 9 s2 + 1 s2 + 9
s2 + 1 s2 + 9
Y (s) =
s2
3
1
1
1
+ 2
− e−πs 2
+ e−πs 2
.
+9 s +1
s +1
s +9
Steg 3. Ber¨akna l¨osningen
s2
1
y(t) = L−1 (Y ) = sin 3t + sin t − u(t − π) sin t + u(t − π) sin 3t.
3
D˚
a
y(t) = sin 3t + sin t,
0 < t < π,
och man kan skriva
y(t) = sin 3t + sin t − sin t +
8
8.1
8.1.1
4
1
sin 3t = sin 3t,
3
3
t > π.
Kroklinjiga koordinatsystem
Pol¨
ara och cylindriska koordinater
Pol¨
ara koordinater
L¨aget av en punkt P = (x, y) i planet ¨ar best¨amt av dess avst˚
and r fr˚
an origo
O = (0, 0) och riktinigsvinkeln θ f¨or str˚
alen (vektor) OP
p
x = r cos θ,
r = x2 + y 2 ,
y
y = r sin θ,
tan θ = .
(84)
x
82
8.1.2
Cylindriska koordinater
Cylindriska koordinater ρ, φ, z i rummet
x = x(ρ, θ) = ρ cos φ, −∞ < x < ∞,
y = y(r, θ) = ρ sin φ, −∞ < y < ∞,
z = z, −∞ < z < ∞,
¨ar generaliserade pol¨ara koordinater (i planet).
8.2
Kroklinjiga koordinater
Cylindriska koordinater ρ, φ, z a¨r ett exempel (ett speciellt fall) av generaliserade
kroklinjiga koordinater q1 , q2 , q3
x = x(q1 , q2 , q3 ),
y = y(q1 , q2 , q3 ),
z = z(q1 , q2 , q3 ),
−∞ < x = ρ cos φ < ∞,
−∞ < y = ρ sin φ < ∞
−∞ < z < ∞.
q1 = q1 (x, y, z),
q2 = q2 (x, y, z),
q3 = q3 (x, y, z),
p
0 ≤ ρ = x2 + y 2 < ∞
0 ≤ φ = arctan y/x < 2π,
−∞ < z < ∞.
(85)
Inversa relationer
Best¨am differentialer dx, dy och dz i (85)
∂x
∂x
∂x
dq1 +
dq2 +
dq3 =
∂q1
∂q2
∂q3
3
X
∂x
dqi ,
=
∂qi
i
dx =
∂y
∂y
∂y
dq1 +
dq2 +
dq3 =
∂q1
∂q2
∂q3
3
X
∂y
dqi ,
=
∂qi
i
dy =
∂z
∂z
∂z
dq1 +
dq2 +
dq3 =
∂q1
∂q2
∂q3
3
X
∂z
=
dqi ,
∂q
i
i
dz =
83
(86)
Vi antar att vi betraktar ett metriskt rum (Riemannrum eller ett rum med
en Riemannmetrik). I det kroklinjiga koordinatsystemet (i ett Riemannrum) kan
kvadraten p˚
a avst˚
andet mellan tv˚
a grannpunkter,
ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2
skrivas som en kvadratisk form
ds2 = g11 dq12 + g12 dq1 dq2 + g13 dq1 dq3 +
+ g21 dq2 q1 + g22 dq22 + g23 dq2 dq3 +
+ g31 dq3 q1 + g32 dq3 dq2 + g33 dq32 +
3
X
=
gij dqi dqj .
(87)
i,j=1
Vi har
(a1 + a2 + a3 )2 = a21 + a22 + a23 + 2(a1 a2 + a3 a2 + a3 a1 ) =
3
3
X
X
2
=
ai + 2
ai aj ,
i=1
i,j=1, i6=j
eller
(a1 + a2 + a3 )2 = a21 + a1 a2 + a1 a3 +
+ a2 a1 + a22 + a2 a3 +
+ a3 a1 + a3 a2 + a23 +
3
X
=
ai aj .
i,j=1
Ur (88) f¨oljer (med ai =
dx
dy
dz
2
2
2
=
=
=
∂x
dqi ,
∂qi
i = 1, 2, 3)
¶2
3 µ
X
∂x
i
∂qi
i
∂y
∂qi
i
∂z
∂qi
3 µ
X
3 µ
X
dqi2 + 2
3
X
i,j=1, i6=j
¶2
dqi2
+2
3
X
i,j=1, i6=j
¶2
dqi2
+2
3
X
i,j=1, i6=j
84
∂x
∂x
dqi
dqj ,
∂qi ∂qj
∂y
∂y
dqi
dqj ,
∂qi ∂qj
∂z
∂z
dqi
dqj ,
∂qi ∂qj
(88)
(89)
eller
dx2l
¶2
3 µ
X
∂xl
=
∂qi
i
3
X
+ 2
i,j=1, i6=j
dqi2 +
∂xl ∂xl
dqi
dqj ,
∂qi
∂qj
l = 1, 2, 3,
x = x1 , y = x2 ,
z = x3 ,
och
2
ds
2
2
2
= dx + dy + dz ≡
=
¶2
3 X
3 µ
X
∂xl
i
+ 2
∂qi
l
3
X
=
3
X
i,j=1
l
+
dx23
=
3
X
dqi2 +
∂qi ∂qj
l
+
dx22
dx2l =
l
3
X
∂xl ∂xl
i,j=1, i6=j
3
X
dx21
(90)
dqi dqj =
∂xl ∂xl
dqi dqj
∂qi ∂qj
Likst¨alla faktorer gij som multiplicerar dqi dqj i (87) och (90):
gij =
3
X
∂xl ∂xl
l
∂qi ∂qj
=
∂x ∂x
∂y ∂y
∂z ∂z
=
+
+
,
∂qi ∂qj ∂qi ∂qj ∂qi ∂qj
i, j = 1, 2, 3.
(91)
gij ¨ar metriska koefficienter.
8.3
Ortogonala koordinatsystem
I ortogonala koordinatsystem
gij = 0,
i 6= j,
i, j = 1, 2, 3.
85
(92)
S¨att gii = h2i , i = 1, 2, 3, d¨ar hi kallas skalafaktorer, och skriv om (90):
ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 = dx21 + dx22 + dx23 =
" 3 µ
#
3
X
X ∂xl ¶2
=
dqi2 =
∂q
i
i
l
3
X
=
(hi dqi )2 .
(93)
(94)
i
Skalafaktorerna kan definieras
dsi = hi dqi ,
i = 1, 2, 3.
Differentialvektorn skrivs
dr = h1 dq1 e1 + h2 dq2 e2 + h3 dq3 e3 =
3
X
hi dqi ei
(95)
i
och en kurvintegral av vektorfunktionen V(r)
Z
F(r) · dr =
C
3 Z
X
Vi hi dqi .
(96)
i
Areaelement dσij och volymelement dτ i koordinater qi ¨ar
dσij = dsi dsj = hi hj dqi dqj
och
dτ = ds1 ds2 ds3 = h1 h2 h3 dq1 dq2 dq3
Antag att Jacobideterminanten
¯
¯ ∂x ∂x
∂(x, y)
¯ 1 ∂q2
J=
= ¯ ∂q
∂y
∂y
∂(q1 , q2 ) ¯ ∂q
∂q2
1
¯
¯
∂x ∂y
∂x ∂y
¯
−
6= 0.
¯=
¯ ∂q1 ∂q2 ∂q2 ∂q1
Areaelementet dσ i koordinater q1 , q2 ) ¨ar d˚
a
¯µ
¶¯
¯ ∂(x, y) ¯
¯ dq1 dq2 ,
dσ = dxdy = ¯¯
∂(q1 , q2 ) ¯
d¨ar beloppet av Jacobideterminanten
µ
¶
∂(x, y)
∂x ∂y
∂x ∂y
J=
−
= h1 h2 .
=
∂(q1 , q2 )
∂q1 ∂q2 ∂q2 ∂q1
86
(97)
Areaelementet utvecklas
dσ = ds2 ds3 e1 + ds3 ds1 e2 + ds1 ds2 e3 =
= h2 h3 dq2 dq3 e1 + h3 h1 dq3 dq1 e2 + h1 h2 dq1 dq2 e3 .
Normalytintegralen av vektorfunktionen (vektorf¨alt)
V(r) = [V1 , V2 , V3 ] = V1 e1 + V2 e2 + V3 e3
¨over ytan S skrivs
Z Z
Z Z
V · dσ =
V · ndA =
S
S
Z Z
=
V1 h2 h3 dq2 dq3 + V2 h3 h1 dq3 dq1 + V3 h1 h2 dq1 dq2 .
(98)
Problem 8.1
Betrakta ett tv˚
a-dimensionellt ortogonalt kroklinjigt koordinatsystem q1 , q2 ,
x = x(q1 , q2 ),
y = y(q1 , q2 ),
Visa att Jacobideterminanten
Ã
∂x
∂(x, y)
∂q1
J=
=
∂y
∂(q1 , q2 )
∂q1
∂x
∂q2
∂y
∂q2
!
=
∂x ∂y
∂x ∂y
−
= h1 h2 .
∂q1 ∂q2 ∂q2 ∂q1
(99)
(100)
L¨
osning. Enligt definitionen (92) av ett ortogonalt kroklinjigt koordinatsystem
q1 , q2 , (99), g¨aller
g12 = g21 = 0,
d¨ar
g12 = g21 =
∂x ∂x
∂y ∂y
+
∂q1 ∂q2 ∂q1 ∂q2
(se (91)). S¨att
∂y
∂x
= ai ,
= bi ,
∂qi
∂qi
µ ¶2 µ ¶2
∂x
∂y
gii =
+
= a2i + b2i = h2i ,
∂qi
∂qi
i = 1, 2,
87
(101)
och skriv om villkoret (101) som
a1 a2 = −b1 b2 .
(102)
Vidare
h21 h22 = (a21 + b21 )(a22 + b22 ) =
= a21 a22 + a21 b22 + b21 a22 + b21 b22 =
= 2b21 b22 + a21 b22 + b21 a22 ,
och kvadraten p˚
a Jacobideterminanten (97)
J2 =
=
=
=
9
9.1
(a1 b2 − a2 b1 )2 =
a21 b22 − 2a1 b2 a2 b1 + a22 b21 =
2b21 b22 + a21 b22 + b21 a22 =
h21 h22 .
Vektordifferentialoperatorer i kroklinjiga koordinater
Gradient
L˚
at x, y, z vara ett positivt orienterat cartesiskt koordinatsystem. Vektorfunktionen
∂f
∂f
∂f
∇f =
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
kallas gradienten av en (deriverbar skal¨ar) funktion f (x, y, z) . Vektordifferentialoperatorn ∇ (del) definieras genom
∇=
∂
∂
∂
i+
j + k.
∂x
∂y
∂z
Anv¨and p˚
ast˚
aendet att en funktion v¨axer snabbast i riktningen grad f¨or att definiera
gradienten ∇ψ(q1 , q2 , q3 ) (en vektorfunktion) i kroklinjiga koordinater q1 , q2 , q3 .
Skriv (som i (47)) den komponenten som ¨ar vinkelr¨ata mot koordinatytan q1 =
const (dvs i riktningen e1 )
e1 · ∇ψ(q1 , q2 , q3 ) = ∇ψ|1 =
1 ∂ψ
∂ψ
=
∂s1
∂h1 ∂q1
Genom att upprepa resonemangen f¨or q2,3 = const och addera, f˚
ar vi
∇ψ(q1 , q2 , q3 ) =
3
X
1 ∂ψ
ei .
∂h
∂q
i
i
i=1
88
9.2
Divergens
L˚
at x, y, z vara ett positivt orienterat cartesiskt koordinatsystem och
v(x, y, z) = v1 (x, y, z)i + v2 (x, y, z)j + v3 (x, y, z)k
en deriverbar vektorfunktion. D˚
a kallas funktionen
div v =
∂v1 ∂v2 ∂v3
+
+
∂x
∂y
∂z
divergensen av v. Man kan skriva divergensen som skal¨arprodukten
µ
¶
∂
∂
∂
div v = ∇ · v =
i+
j + k · (v1 i + v2 j + v3 k) =
∂x
∂y
∂z
∂v1 ∂v2 ∂v3
+
+
.
∂x
∂y
∂z
F¨or att best¨amma divergensen i (ortogonala) kroklinjiga koordinater q1 , q2 , q3 ,
anv¨and definitionen av divergens som ett gr¨ansev¨arde
R
V·σ
∇ · V(q1 , q2 , q3 ) = R lim R
(103)
dτ
dτ →0
d¨ar differentialvolymelementet dτ = h1 h2 h3 dq1 dq2 dq3 (infinitesimal,
dvs o¨
R
Randligt
liten storhet) begr¨ansas av en infinitesimal yta S. Ytintegralen V · σ = S V · σ
(se ocks˚
a (56)) kan uppfattas som V’s fl¨ode genom S. Ytintegralen kan skrivas
approximativt som summan av differenser av (ute- och inre-) fl¨odena genom tre
par av sidoytor av den infinitesimala l˚
adan R begr¨ansad av S. Skriv ett uttryck
f¨or ett s˚
adant fl¨ode genom sidoytan S1 : q1 = const:
fl¨ode = [V1 · arean av S1 + fl¨odets inkrement (till¨agg) genom R] - V1 · arean av S1
eller
∂
(V1 h2 h3 )dq1 ] − V1 h2 h3 dq2 dq3 =
∂q1
∂
(V1 h2 h3 )dq1 dq2 dq3 .
=
∂q1
[V1 h2 h3 −
(104)
Genom att upprepa resonemangen f¨or q2,3 = const och addera, f˚
ar vi
Z
V(q1 , q2 , q3 ) · σ =
(105)
·
=
¸
∂
∂
∂
(V1 h2 h3 ) +
(V2 h1 h3 ) +
(V3 h1 h2 ) dq1 dq2 dq3
∂q1
∂q2
∂q3
89
Division genom den infinitesimala differentialvolymelementet dτ = h1 h2 h3 dq1 dq2 dq3
ger divergensen
∇ · V(q1 , q2 , q3 ) =
=
9.3
1
h1 h2 h3
·
(106)
¸
∂
∂
∂
(V1 h2 h3 ) +
(V2 h1 h3 ) +
(V3 h1 h2 ) dq1 dq2 dq3
∂q1
∂q2
∂q3
Laplaces differentialoperator i kroklinjiga koordinater
S¨att V(q1 , q2 , q3 ) = ∇ψ(q1 , q2 , q3 ) och anv¨and (106) f¨or att f˚
a Laplaces differentialoperator i kroklinjiga koordinater
∆q1 ,q2 ,q3 ψ = ∇ · ∇ψ(q1 , q2 , q3 ) =
·
µ
¶
µ
¶
µ
¶¸
1
∂
∂
∂
h2 h3 ∂ψ
h1 h3 ∂ψ
h2 h1 ∂ψ
=
+
+
.
h1 h2 h3 ∂q1
h1 ∂q1
∂q2
h2 ∂q2
∂q3
h3 ∂q3
9.4
Rotation
Vektorfunktionen
¯
¯
¯
¯ i
¯
¯ ∂ ∂j k
∂ ¯
¯
∇ × v = ¯ ∂x ∂y ∂z ¯ =
¯ v1 v2 v3 ¯
¶
µ
¶
µ
¶
µ
∂v1 ∂v3
∂v2 ∂v1
∂v3 ∂v2
−
i+
−
j+
−
k
=
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
(107)
kallas rotationen av v i ett kartesiskt koordinatsystem x, y, z med ortogonala enhetsvektorerna i, j, k .
F¨or att best¨amma rotationen
R R ∇ × V i (ortogonala) kroklinjiga koordinater
q1 , q2 , q3 , betrakta ytintegralen S ∇×Vdσ ¨over en infinitesimal yta S som tillh¨or
koordinatytan q1 = const. Enligt medelv¨ardessatsen f¨or ytlintegraler
Z Z
∇ × Vdσ =
(108)
S
= e1 · (∇ × V) · arean av infinitesimalt ytelement S =
= e1 · (∇ × V)h2 h3 dq2 dq3 .
Nu anv¨and Stokes’ sats och skriv
Z Z
Z
∇ × Vdσ = e1 · (∇ × V)h2 h3 dq2 dq3 = =
V · dr,
S
C
d¨ar kurvan C ligger i koordinatytan q1 = const.
90
(109)
R Betrakta S som en infinitesimal (kroklinjig) rektangel och skriv kurvintegralen
V · dr l¨angs fyra sidorna 1, 2, 3 och 4 av dess (slutna) randkurva C:
C
1: C1 : (q2 , q3 ) → (q2 + ds2 = q2 + h2 dq2 , q3 )
2: C2 : (q2 + ds2 , q3 ) → (q2 + ds2 , q3 + ds3 = q2 + h3 dq3 )
3: C3 : (q2 + ds2 , q3 + ds3 ) → (q2 , q3 + ds3 )
4: C4 : (q2 , q3 + ds3 ) → (q2 , q3 )
I koordinatytan q1 = const skrivs (enligt (96)) differentialvektorn
dr = h2 dq2 e2 + h3 dq3 e3
och kurvintegralen
Z
V(r) · dr =
C
3 Z
X
Vi hi dqi .
i=2
D˚
a f˚
ar vi kurvintegralen l¨angs C = C1 + C2 + C3 + C4
Z
V(q1 , q2 , q3 ) · dr =
C
=
4 Z
X
i=1
Z
=
V · dr =
Ci
Z
(V2 h2 + V3 h3 )dq2 +
Z
C1
−
(V2 h2 + V3 h3 )dq3 −
C2
Z
(V2 h2 + V3 h3 )dq2 −
C3
(V2 h2 + V3 h3 )dq3 .
C4
Skriv nu huvudtermer av kurvintegralens Taylors utveckling
{ [V2 · l¨angden av C1 + kurvintegralens inkrement (till¨agg) l¨angs C1
med avseende p˚
a q2 ]
+ [V3 · l¨angden av C2 + kurvintegralens inkrement (till¨agg) l¨angs C2
med avseende p˚
a q3 ] }
−
{ [V2 · l¨angden av C3 + kurvintegralens inkrement (till¨agg) l¨angs C3
med avseende p˚
a q2 ]
+ [V3 · l¨angden av C4 + kurvintegralens inkrement (till¨agg) l¨angs C4
med avseende p˚
a q3 ,] }
91
(110)
eller
Z
V(q1 , q2 , q3 ) · dr =
C
·
¸
∂
= V2 h2 dq2 + V3 h3 +
(V3 h3 )dq2 dq3 −
∂q2
·
¸
∂
− V2 h2 +
(V2 h2 )dq3 dq2 − V3 h3 dq3 =
∂q3
¸
·
∂
∂
(h3 V3 ) −
(h2 V2 ) dq2 dq3 .
=
∂q2
∂q3
Enligt (109), f˚
ar vi rotationens f¨orsta komponent
·
¸
1
∂
∂
(∇ × V) 1 =
(h3 V3 ) −
(h2 V2 )
h2 h3 ∂q2
∂q3
(111)
(112)
Genom att upprepa resonemangen f¨or e2,3 = const i (109), f˚
ar vi 2:a och 3:e rotationens komponenter. Vidare, kan man skriva rotationen som en vektorfunktion
∇×V =
= e1 (∇ × V) 1 + e2 (∇ × V) 2 + e3 (∇ × V) 3 =
¸
·
1
∂
∂
=
(h3 V3 ) −
(h2 V2 ) −
h2 h3 ∂q2
∂q3
¸
·
1
∂
∂
−
(h3 V3 ) +
(h1 V1 ) +
h1 h3 ∂q1
∂q3
¸
·
1
∂
∂
+
(h2 V2 ) −
(h1 V1 ) ,
h1 h2 ∂q1
∂q2
(113)
(114)
eller, som determinanten (107)
¯
¯ eh eh eh
1 ¯¯ 1∂ 1 2∂ 2 3∂ 3
∇×V =
∂q2
∂q3
h1 h2 h3 ¯¯ ∂q1
h1 V1 h2 V2 h3 V3
10
10.1
¯
¯
¯
¯.
¯
¯
(115)
Tensorer
Definitioner
Ett reellt tal a (skal¨ar) ¨ar en tensor av rangen 0,
a.
92
(116)
I ett tre-dimensionellt rum, anges vektorer som reela taltripplar (x, y, z) (3 = 31
reella tal) och ¨ar tensorer av rangen 1 och framst¨alls


a1
ai =  a2  .
(117)
a3
En tensor av rangen 2 har 32 = 9 komponenter och framst¨alls


a11 a12 a13
aik = [ai1 ai2 ai3 ] =  a21 a22 a23  .
a31 a32 a33
En tensor av rangen 3 har 33 = 27 komponenter och framst¨alls


a111 a121 a131
 a211 a221 a231 


 a311 a321 a331 


 
 a112 a122 a132 
aik1


.
a
a
a
aikl =  aik2  = 
212
222
232


 a312 a322 a332 
aik3


 a113 a123 a133 


 a213 a223 a233 
a313 a323 a333
(118)
(119)
En tensor av rangen 4 har 34 = 81 komponenter och framst¨alls
aiklm = [aikl1 aikl2 aikl3 ] = . . . .
(120)
En tensor av rangen n har 3n komponenter.
10.2
Tensoralgebra
Likhet. En tensor aik... av rangen n a¨r lika med en tensor bik... av samma rang
n (n = 0, 1, 2, 3 . . . ) om alla deras respektiva komponenter ¨ar lika med varandra.
Detta betecknas
aik... = bik... ,
t ex,
ai = bi
d¨ar
om a1 = b1 , a2 = b2 , a3 = b3 ,



b1
a1
ai =  a2  , bi =  b2 
b3
a3

93
Addition. Summan av tv˚
a tensorer aik... och bik... av samma rang definieras
komponentvis och betecknas
cik... = aik... + bik... ,
t ex,
ci = ai + bi
om c1 = a1 + b1 , c2 = a2 + b2 , c3 = a3 + b3 ,
d¨ar



b1
a1
ai =  a2  , bi =  b2  .
a3
b3

Den transponerade tensoren aik (av rangen2) betecknas
aTik = aki
(aik :s rader och kolonner har bytt plats) och definieras elementvis som den transpone
erade 3 × 3 matrisen AT = A,


a11 a21 a31
AT =  a12 a22 a32 
a13 a23 a33
d ¨ar


a11 a12 a13
A =  a21 a22 a23  .
a31 a32 a33
Den symmetriska tensoren aik (av rangen 2) definieras
aik = aki .
Den antisymmetriska tensoren definieras
aik = −aki .
L˚
at aik vara en tensor av rangen 2. D˚
a ¨ar tensorn
1
Sik = (aik + aki )
2
94
(121)
symmetrisk (eftersom Sik = Ski ) och tensorn
1
Aik = (aik − aki )
2
(122)
antisymmetrisk (eftersom Sik = −Ski ).
Varje tensor aik av rangen 2 kan framst¨allas som summan av symmetriska och
antisymmetriska tensorer
1
1
aik = (aik + aki ) + (aik − aki ).
2
2
(123)
Summan av alla diagonalelement av en tensor aik av rangen 2 betecknas
aii = a11 + a22 + a33 .
(124)
Den h¨ar summan ¨ar en tensor av rangen 0 (ett tal).
Genereliserade multiplikation (genereliserade produkten) av tv˚
a tensorer
ai och bk av rangen 1 ¨ar en tensor av rangen 1 + 1 = 2. Genereliserade produkten
definieras elementvis som (vanliga) produkter av alla element av ai och bk och
betecknas
ai bk = cik ,
bk ai = c∗ik ,
(125)
d¨ar




a1
b1
ai =  a2  , bi =  b2  ,
a3
b3
s˚
a att



b1 a1 b2 a1 b3 a1
a1 b1 a1 b2 a1 b3
cik =  a2 b1 a2 b2 a2 b3  = c∗ik =  b1 a2 b2 a2 b3 a2  .
b1 a3 b2 a3 b3 a3
a3 b1 a3 b2 a3 b3

10.3
Kronecker-delta och Levi–Civitas symbol
Kronecker-delta. En tensor av rangen 2
½
1, i = k,
δik =
0, i 6= k,
95
(i, k = 1, 2, 3),
(126)
som kan skrivas ocks˚
a som enhetsmatrisen


1 0 0
δik =  0 1 0  ,
0 0 1
kallas Kronecker-delta. Kronecker-delta ¨ar en symmetrisk tensor, δik = δki , och
δii = δ11 + δ22 + δ33 = 3.
(127)
I fallet av en tensor δis δsq av rangen 4,
δis δsq = δi1 δ1q + δi2 δ2q + δi3 δ3q = δiq .
(128)
Man kan visa detta elementvis. Vi har, t ex
i = q = 1 : δ1s δs1 = δ11 δ11 + δ12 δ21 + δ13 δ31 = 1 × 1 + 0 + 0 = 1 = δ11 ,
i = 1, q = 2 : δ1s δs2 = δ11 δ12 + δ12 δ22 + δ13 δ32 = 1 × 0 + 0 × 1 + 0 = 0 = δ12 ,
...
(129)
Man kan kolla ocks˚
a identiteter
δis δqs = δsi δqs = δsi δsq = δiq .
Levi–Civitas symbol. En tensor av rangen 3
½
0,
i = k eller i = l eller k = l,
eikl =
±1, i 6= k, k 6= l, i 6= l,
96
(130)
(i, k, l = 1, 2, 3),
(131)
kallas Levi–Civitas symbol. Den kan skrivas

e111
 e211



  e311
 e112
eik1

eikl =  eik2  = 
 e212
 e312
eik3

 e113

 e213
e313


0
0
0
 0
0
1 


 0 −1 0 


 0

0
−1



0
0 
=  0
.
 1
0
0 


 0
1
0 


 −1 0
0 
0
0
0
e121
e221
e321
e122
e222
e322
e123
e223
e323
e131
e231
e331
e132
e232
e332
e133
e233
e333







=






(132)
Exempel 10.1
Den generaliserade produkten eikl epqr
¯
¯ δip
¯
eikl epqr = ¯¯ δkp
¯ δlp
¨ar en tensor av rangen 6, och det g¨aller
¯
δiq δir ¯¯
δkq δkr ¯¯ .
(133)
¯
δlq δlr
Det ¨ar l¨att att kolla, t ex, att elementet
¯
¯ δ11 δ12 δ13
¯
1 = e123 e123 = ¯¯ δ21 δ22 δ23
¯ δ31 δ32 δ33
97
¯ ¯
¯ ¯ 1 0 0
¯ ¯
¯=¯ 0 1 0
¯ ¯
¯ ¯ 0 0 1
¯
¯
¯
¯ = 1.
¯
¯
(134)
I fallet r = l, f˚
ar vi, med hj¨alp av (130)
¯
¯
¯ δip δiq δil ¯
¯
¯
eikl epql = ¯¯ δkp δkq δkl ¯¯ =
¯ δlp δlq δll ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ δiq δil ¯
¯ δip δil ¯
¯ δip δiq ¯
¯ − δlq ¯
¯
¯
¯
= δlp ¯¯
¯ δkp δkl ¯ + δll ¯ δkp δkq ¯ =
δkq δkl ¯
= δlp (δkl δiq ) − δil δkq ) − δlq (δkl δip − δil δkp ) +
¯
¯
¯ δip δiq ¯
¯=
¯
+ δll ¯
δkp δkq ¯
= (δpk δiq ) − δip δkq ) − (δqk δip − δiq δkp ) + 3(δip δkq − δiq δkp ) =
= (3δip δkq − 2δip δkq ) − (3δiq δkp − 2δpk δiq ) =
(135)
¯
¯
¯ δip δiq ¯
¯
= δip δkq − δiq δkp = ¯¯
(136)
δkp δkq ¯
(h¨ar anv¨ands att Kronecker-delta ¨ar en symmetrisk tensor, δik = δki ).
I fallet r = l och q = k, f˚
ar vi enligt (135)
¯
¯
¯ δip δik ¯
¯ = 3δip − δik δkp =
eikl epkl = ¯¯
δkp δkk ¯
= 3δip − δip = 2δip .
I fallet r = l, q = k och p = i, f˚
ar vi
¯
¯
¯ δii δik ¯
¯ = 3 × 3 − δik δki =
eikl eikl = ¯¯
δki δkk ¯
= 9 − δii = 9 − 3 = 6.
10.3.1
(137)
(138)
(139)
(140)
Till¨
ampningar av Kronecker-delta och Levi–Civitas symbol
En transformation xk → yi av tv˚
a tensorer xk och yi av rangen 1 kan skrivas p˚
a
tensorform
yi = aik xk ,
(141)
a matrisform (komponentvis, som ett linj¨art
d¨ar aik ¨ar en tensor av rangen 2, eller p˚
ekvationssystem med n obekanta)
y1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
y2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
y3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 .
98
(142)
(143)
(144)
Om aik = δik , s˚
a g¨aller
yi = δik xk
eller yi = xi ,
(145)
Man kan skriva
xi = δik xk ,
(146)
och generalisera detta
δik akl = ail ,
δik aklm = ailm .
(147)
Man kan visa att i fallet av Levi–Civitas symbol,
δik eikl = 0.
10.3.2
(148)
Dualtensorer
Tensorerna


a1
ai =  a2 
a3


0
a3 −a2
a1 
och aik =  −a3 0
a2 −a1 0
(149)
kallas dualtensorer. Kolla att
aik = eikl al .
(150)
Vi anv¨ander oss Levi–Civitas symbol (132) och skriver om (150) p˚
a matrisform


0
0
0
 0
0
1 


 0 −1 0 



 0
 a1
0
−1




0
0 
eikl al = 
 0
 a2 =
 1

0
0  a3

 0
1
0 


 −1 0
0 
0
0
0


0 × a1 + 0 × a2 + 0 × a3
0 × a1 + 0 × a2 + 1 × a3
0 × a1 + (−1) × a2 + 0 × a3
0 × a1 + 0 × a2 + 0 × a3
1 × a1 + 0 × a2 + 0 × a3 
=  0 × a1 + 0 × a2 + (−1) × a3
0 × a1 + 1 × a2 + 0 × a3
(−1) × a1 + 0 × a2 + 0 × a3
0 × a1 + 0 × a2 + 0 × a3


0
a3 −a2

−a3 0
a1  = aik .
=
a2 −a1 0
99
Visa nu motsvarande invers relation
1
al = eikl aik .
2
Vi har (enligt (137) och (146))
(151)
1
1
1
eikl aik = eikl eikm am = 2δlm am = al .
2
2
2
(152)
Exempel 10.2 (se Arfken and Weber, pr. 2.9.5, s. 149).
P˚
aminn att vektorprodukten a × b av
[b1 , b2 , b3 ] ¨ar en vektor
¯
¯ i
¯
v = [v1 , v2 , v3 ] = a × b = ¯¯ a1
¯ b1
eller komponentvis
¯
¯
¯ a2 a3 ¯
¯ = a2 b3 −a3 b2 ,
v1 = ¯¯
b2 b3 ¯
dvs
tv˚
a vektorer a = [a1 , a2 , a3 ] och b =
¯
j k ¯¯
a2 a3 ¯¯ = v1 i + v2 j + v3 k,
b2 b3 ¯
¯
¯
¯ a3 a1 ¯
¯ = a3 b1 −a1 b3 ,
v2 = ¯¯
b3 b1 ¯
¯
¯
¯ a1 a2 ¯
¯ = a1 b2 −a2 b1 ,
v3 = ¯¯
b1 b2 ¯

a2 b3 − a3 b2
v =  a3 b1 − a1 b3  .
a1 b2 − a2 b1

Detta uttrycks genom Levi–Civitas symbol. Vi betraktar vektorerna a = [a1 , a2 , a3 ]
och b = [b1 , b2 , b3 ] som tensorer ak och bl av rangen 1 och anv¨ander (151) f¨or att
best¨amma tensorprodukten
eikl ak bl = (eikl bl )ak = bik ak ,
d¨ar

0
b3 −b2
b1 
bik =  −b3 0
b2 −b1 0
(153)

¨ar en dualtensor (149) som motsvarar bi (se (149)–(151)). Vidare



a1
0
b3 −b2
b1   a2  =
bik ak =  −b3 0
a3
b2 −b1 0


a2 b3 − a3 b2

a3 b1 − a1 b3  = a × b.
=
a1 b2 − a2 b1
100
(154)
(155)
Vi har visat att
eikl ak bl = a × b.
10.4
(156)
Tensorer och koordinattransformation
Skriv koordinattransformation
A0i
=
N
X
aij Aj ,
i = 1, 2, . . . , N
(157)
j=1
d¨ar aij ¨ar cosinus f¨or vinkeln mellan x0i -axeln och xj -axeln.
En m¨angd Aj s˚
adan att
A0i
N
X
∂x0i
=
Aj ,
∂x
j
j=1
i = 1, 2, . . . , N
(158)
vid koordinattransformation kallas kontravariant vektor.
Komponentm¨angder best˚
aende av komponenter Aij , Bji 0 och Cij0 s˚
adana att
N
N X
X
∂x0i ∂x0j kl
A ,
=
∂xk ∂xl
k=1 l=1
i, j = 1, 2, . . . , N
(159)
Bji 0
N
N X
X
∂x0i ∂xl k
=
B ,
∂xk ∂x0j l
k=1 l=1
i, j = 1, 2, . . . , N
(160)
Cij0
N
N X
X
∂xk ∂xl
=
Ckl ,
∂x0i ∂x0j
k=1 l=1
i, j = 1, 2, . . . , N
(161)
A
ij 0
vid koordinattransformation kallas resp. kontravariant, blandad och kovariant tensorer av rangen 2. Man skriver ocks˚
a
Aij 0 =
∂x0i ∂x0j kl
A .
∂xk ∂xl
(162)
I cartesiska koordinatsystem
∂xj
∂x0i
=
= aij ,
∂x0i
∂xj
i, j = 1, 2, . . . , N,
(163)
och det finns ingen skillnad mellan kontravariant och kovariant koordinattransformationer.
101
10.5
Tv˚
a-dimensionella fallet
Anv¨and beteckningen
∂x0i
= aij
∂xj
(164)
och skriv om (159)–(161) i fallet N = 2:
2 X
2
X
∂x0i ∂x0j kl
A =
=
∂x
k ∂xl
l=1 k=1
à 2
!
2
X
X
=
aik
ajl Akl =
ij 0
A
k=1
=
2
X
l=1
¡
¢
aik aj1 Ak1 + aj2 Ak2 =
k=1
¡
¢
¡
¢
= ai1 aj1 A11 + aj2 A12 + ai2 aj1 A21 + aj2 A22 =
= ai1 aj1 A11 + ai1 aj2 A12 + ai2 aj1 A21 + ai2 aj2 A22 ,
i, j = 1, 2,
(165)
s˚
a att, t ex elementet
110
A
2
2 X
X
∂x01 ∂x01 kl
=
A =
∂x
k ∂xl
l=1 k=1
= a211 A11 + a11 a12 A12 + a12 a11 A21 + a212 A22 ,
Bji 0
2 X
2
X
∂x0i ∂xl k
=
B =
∂xk ∂x0j l
k=1 l=1
=
=
2
X
k=1
2
X
Ã
aik
2
X
(166)
!
alj Blk
=
l=1
¡
¢
aik a1j B1k + a2j B2k =
k=1
¡
¢
¡
¢
= ai1 a1j B11 + a2j B21 + ai2 a1j B12 + a2j B22 =
= ai1 a1j B11 + ai1 a2j B21 + ai2 a1j B12 + ai2 a2j B22 ,
i, j = 1, 2,
(167)
102
s˚
a att, t ex elementet
B11 0
2 X
2
X
∂x01 ∂xl k
=
B =
∂xk ∂x01 l
l=1 k=1
= a211 B11 + a11 a21 B21 + a12 a11 B12 + a12 a21 B22 .
10.5.1
(168)
Tv˚
a-dimensionella fallet och matriser
P˚
aminn att matrisprodukten C = AB av n × n kvadratiska matriser A = [aik ] och
B = [bkj ], C = [cjk ], definieras s˚
a att C:s element cjk ¨ar skal¨arprodukten mellan
i-te raden i A och k-te kolonnen i B:
cij =
n
X
aik bkj ,
i, j = 1, 2, . . . , n
(169)
k=1
Observera att AB 6= BA.
Betrakta 2 × 2 kvadratiska matriser
·
¸
· 11
¸
a11 a12
A
A12
ik
A = [aik ] =
och D = [A ] =
a21 a22
A21 A22
(170)
Den transponerade matrisen definieras
·
T
A = [aki ] =
a11 a21
a12 a22
¸
(171)
(A:s rader och kolonner har bytt plats).
Visa att tensortransformation (159) och (165) kan skrivas p˚
a matrsiformen som
en (matris)produkt av tre kvadratiska matriser. Enligt definitionen av matrisprodukten,
· 11
¸ ·
¸
A
A12
a11 a21
T
DA =
·
=
A21 A22
a12 a22
·
¸
a11 A11 + a12 A12 a21 A11 + a22 A12
=
,
(172)
a11 A21 + a12 A22 a21 A21 + a22 A22
och
·
T
ADA =
·
=
a11 a12
a21 a22
¸
¸ ·
a11 A11 + a12 A12 a21 A11 + a22 A12
=
·
a11 A21 + a12 A22 a21 A21 + a22 A22
(173)
a11 a21 A11 + a11 a22 A12 + a12 a21 A21 + a12 a22 A22
a211 A11 + a11 a12 A12 + a12 a11 A21 + a212 A12
11
12
21
22
a21 a11 A + a21 a12 A + a22 a11 A + a22 a12 A
a221 A11 + a21 a22 A12 + a22 a21 A21 + a222 A22
103
¸
=
¡P
¢ P2
¡P
¢ ¸
· P2
a1k ¡ 2l=1 a1l Akl ¢
a1k ¡ 2l=1 a2l Akl ¢
k=1
k=1
P2
P2
P2
= P2
=
kl
kl
k=1 a2k
l=1 a1l A
k=1 a2k
l=1 a2l A
" P
#
P2
2
kl
kl
a
a
A
a
a
A
1k
1l
1k
2l
Pk,l=1
= [Aij 0 ] = A0 .
= Pk,l=1
2
2
kl
kl
a
a
A
a
a
A
2k
1l
2k
2l
k,l=1
k,l=1
11
Dubbelintegraler och trippelintegraler
11.1
Dubbelintegraler
L˚
at xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet och U vara ett omr˚
ade i
planet xy (integrationsomr˚
adet).
Vi antar ofta att integrationsomr˚
adet begr¨ansas av en enkel sluten kurva C i
xy-planet, som inte sk¨ar sig sj¨alv och genoml¨opes precis ett varv i positivt led; dvs,
en kurva som kan beskrivas av en r¨orlig punkt, som r¨or sig s˚
a att den ˚
aterkommer
till stratpukten, utan att n˚
agon punkt p˚
a kurvan passerats tv˚
a g˚
anger.
11.1.1
Dubbelintegralens definition
Antag f¨orst att
U = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
(174)
¨ar en rektangel.
L˚
at x0 , x1 , . . . , xn och y0 , y1 , . . . , yn vara godtyckliga, fr˚
an varandra skilda punkter
s˚
adana att
a = x0 < x1 < . . . xm−1 < xm = b,
c = y0 < y1 < . . . yn−1 < yn = d.
(175)
Motsvarande mn delrektanglar
Rij = {(x, y) : xi−1 ≤ x ≤ xi , yj−1 ≤ y ≤ yj },
∆xi = xi−1 − xi ,
∆yj = yj−1 − xj ,
1 ≤ i ≤ m − 1,
1 ≤ j ≤ n − 1,
(176)
(177)
ger en indelning P av omr˚
adet U : U = ∪Rij .
Arean av rektangeln Rij ¨ar
∆Aij = ∆xi ∆yj = (xi − xi−1 )(yj − yj−1 ).
Diametern av rektangeln Rij (l¨angden av dess diagonal) ¨
ar
q
q
diam Rij = (∆xi )2 + (∆yj )2 = (xi − xi−1 )2 + (yj − yj−1 )2
104
(178)
(179)
L˚
at ||P || vara det st¨orsta av talen diam Rij ,
||P || =
max
1≤i≤m−1, 1≤j≤n−1
diam Rij
(180)
eller en norm av indelningen P .
Talet ||P || ¨
ar indelningens finhet: om ||P || ¨
ar litet ¨
ar indelningen fin.
Antag att en funktion f (x, y) ¨ar kontinuerlig i D och p˚
a randen till D.
∗ ) godtyckligt och s¨
att
V¨alj fr˚
an varje delomr˚
ade Rij en punkt (x∗ij , yij
R(f, P ) =
m X
n
X
∗
f (x∗ij , yij
)∆Aij ,
(181)
i=1 j=1
som kallas en Riemannsumma.
∗ ) ≥ 0, d˚
∗ )∆A volymen av ett prisma med basen
Om f (x∗ij , yij
a a¨r termen f (x∗ij , yij
ij
∗ ).
Rij och h¨ojden f (x∗ij , yij
∗ ) med en index k = 1, 2, . . . , N , d¨
Man kan numrera alla Rij och punkter (x∗ij , yij
ar
N = mn.
Dubbelintegralen definieras som ett gr¨
ansv¨
arde
Z
Z
I=
f (x, y)dA = lim
||P ||→0
D
N
X
f (x∗k , yk∗ )∆Ak ,
dA = dxdy,
(182)
k=1
dvs, om det till varje givet tal ² > 0 finns ett tal δ = δ(²) > 0 s˚
adant att
|I − R(f, P )| ≤ ²
(183)
∗)∈R .
f¨or varje indelning P av omr˚
adet D och godtyckliga punkter (x∗ij , yij
ij
Vi antar d˚
a att gr¨ansv¨ardet (182) existerar n¨
ar indelningens finhet g˚
ar mot 0 (antalet
delomr˚
aden g˚
ar mot o¨andligheten, N → ∞).
L˚
at C vara en sluten kurva i xy-planet, som inte sk¨ar sig sj¨alv och genoml¨opes
precis ett varv i positivt led (moturs). Antag att f (x, y) ¨ar en begr¨ansad funktion
¯ = D ∪ C som omslutes av C. Enligt definition,
i det slutna begr¨ansade omr˚
adet D
ade i planet begr¨ansat om det kan inneslutas av en cirkel. D˚
a kan man
¨ar ett omr˚
ta en (begr¨ansad) axelparallel rektangel R som innesluter omr˚
adet D. Definiera
en utvidgning f˜(x, y) av funktionen f (x, y) i R
f˜(x, y) = f (x, y), (x, y) ∈ D,
¯
f˜(x, y) = 0, (x, y) ∈
/ D [(x, y) ∈ R \ D]
Funktionen f (x, y) s¨ages vara integrerbar o¨ver omr˚
adet D, och man kan definiera
dubbelintegralen av funktionen f (x, y) ¨over omr˚
adet D som
Z Z
Z Z
f (x, y)dxdy =
f˜(x, y)dxdy.
(184)
D
R
105
Sats 1 En (begr¨ansad) funktion f (x, y) som ¨ar kontinuerlig i ett begr¨ansat
omr˚
ade D som omslutes av randkurvan C s˚
adan att C best˚
ar av flera ¨andliga
kurvor ¨ar integrerbar ¨over omr˚
adet D.
11.1.2
R¨
aknelagar f¨
or dubbelintegraler
Z Z
f (x, y)dA = 0 om arean av D
D
¨ar 0.
(185)
Z Z
1dA =
arean av D.
D
(186)
Z Z
Om f (x, y) ≥ 0 i D
→
f (x, y)dA = V ≥ 0,
(187)
D
d¨ar V
a¨r volymen av kroppen (prisma) o¨ver D
och under ytan z = f (x, y).
Z Z
Om f (x, y) ≤ 0 i D
f (x, y)dA = −V ≤ 0,
→
(188)
D
d¨ar V
¨ar volymen av kroppen (prisma) under D
Z Z
och ¨over ytan z = f (x, y).
Z Z
(Lf (x, y) + M g(x, y)) dA = L
D
Z Z
f (x, y)dA + M
D
Z Z
Om f (x, y) ≤ g(x, y) i D
→
g(x, y)dA. (189)
D
Z Z
f (x, y)dA ≤
D
g(x, y)dA.
¯Z Z
¯ Z Z
¯
¯
¯
¯≤
f
(x,
y)dA
|f (x, y)|dA.
¯
¯
D
D
Z Z
k Z
X
f (x, y)dA =
D
j=1
(191)
Z
f (x, y)dA.
Dk
d¨ar a¨r D = ∪Dk en indelning av omr˚
adet D.
106
(190)
D
(192)
11.1.3
Ber¨
akning av dubbelintegraler
x-, y-enkelomr˚
aden. L˚
at D vara ett omr˚
ade i xy-planet som definieras av
D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c(x) ≤ y ≤ d(x)}
(193)
d¨ar c(x) och d(x) ¨ar kontinuerliga och c(x) ≤ d(x) f¨or a ≤ x ≤ b. Ett s˚
adant
omr˚
ade D kallas ett y-enkelomr˚
ade.
Om
D = {(x, y) : a(y) ≤ x ≤ b(y), c ≤ y ≤ d}
(194)
d¨ar a(y) och d(y) a¨r kontinuerliga och a(y) ≤ b(y) f¨or c ≤ y ≤ d. d˚
a kallas D ett
x-enkelt omr˚
ade.
Betrakta t ex ett y-enkelomr˚
ade begr¨ansad av x = a och x = b, a < b, och
y = c(x) och y = d(x), c(x) ≤ d(x). Antag att en kropp K begr¨ansas av randytan
z = f (x, y) och omr˚
adet D i xy-planet. L˚
at A(x) vara arean av kroppens snittyta
med planet x = x, s˚
a a¨r
Z b
Z Z
volymen av K =
A(x)dx =
f (x, y)dA.
(195)
a
D
Vi kan anv¨anda formeln (195) f¨or att ge en metod att ber¨akna en dubbelintegral
genom iteration av tv˚
a enkelintegraler.
1. Betrakta ett integrationsomr˚
ade som a¨r ett x-enkelomr˚
ade begr¨ansad av
y = c och y = d, c < d, och x = a(y) och x = b(y), a(y) ≤ b(y), dvs
c ≤ y ≤ d,
a(y) ≤ x ≤ b(y).
D˚
a
Z Z
Z Z
f (x, y)dA =
D
Z
ÃZ
d
f (x, y)dxdy =
b(y)
dy
D
!
f (x, y)dx .
c
(196)
a(y)
I dubbelintegralen (196) itererar vi, dvs integrerar f¨orst i x-led (vi f˚
ar en ny integrand som ¨ar en funktion av y) och sedan i y-led.
Vi kan ocks˚
a g¨ora tv¨artom.
2. Betrakta ett integrationsomr˚
ade som ¨ar ett y-enkelomr˚
ade begr¨ansad av
x = a och x = b, a < b, och y = c(x) och y = d(x), c(x) ≤ d(x), dvs
a ≤ x ≤ b,
c(x) ≤ y ≤ d(x).
D˚
a
Z Z
Z Z
f (x, y)dA =
D
Z
f (x, y)dxdy =
D
d(x)
dx
a
107
ÃZ
b
!
f (x, y)dy .
c(x)
(197)
I dubbelintegralen (197) itererar vi, genom att integrera f¨orst i y-led (vi f˚
ar en ny
integrand som a¨r en funktion av x) och sedan i y-led.
Exempel 11.1 (se Ex. p˚
a s. 837, A)
Ber¨akna volymen av det omr˚
ade som begr¨ansas av xy-planet och paraboloiden
2
2
z =1−x −y .
L¨
osning. Paraboloidens sk¨arning med xy-planet f˚
ar man genom att i dess
2
2
ekvation z = 1 − x − y s¨att z = 0. Vi f˚
ar en enhetscirkel D1 = {(x, y) : x2 + y 2 =
1}. Den s¨okta volymen V a¨r d˚
a
Z Z
V =
(1 − x2 − y 2 )dxdy.
D1
F¨or att ber¨akna integralen, inf¨or vi pol¨ara koordinater (84) och f˚
ar
Z Z
V =
(1 − r2 )dA.
(198)
D1
Areaelementet dA i pol¨ara koordinater ¨ar dA = rdθ × dr. Integrationsomr˚
adet i
pol¨ara koordinater blir en rektangel
R = {(r, θ) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π}
Iterera integralen (198) och ber¨akna volymen V
Z
Z Z
Z 1
2
2
(1 − r )rdr
V =
(1 − r )dA =
0
D1
1
dθ =
2
(1 − r )rdr =
= 2π
0
=
2π
0
Z
π
enhet.
2
(199)
µ
¶¯r=1
r2 r4 ¯¯
−
=
2
4 ¯r=0
Exempel 11.2 (se Example 2, s. 839, A)
Ber¨akna arean av det vinkelomr˚
ade R som begr¨ansas av kurvan r = f (θ) och
str˚
alarna θ = α och θ = β.
Lo
adet a¨r lika med volymen av en cylinder
¨sning. Arean A av det h¨ar vinkelomr˚
som har h¨ojden 1 och basen R:
Z Z
Z Z
A =
dxdy =
rdrdθ =
R
R
Z
Z β Z f (θ)
1 β
f (θ)2 dθ areaenhet.
=
dθ
rdr =
2
α
α
0
108
11.1.4
Variabelsubstitution i dubbelintegraler
Betrakta en dubbelintegral av funktionen f (x, y) ¨over omr˚
adet D,
Z Z
f (x, y)dxdy.
D
Antag att x och y ¨ar kontinuerligt deriverbara funktioner av tv˚
a variabler,
x = x(u, v),
y = y(u, v),
och att u och v omv¨ant ¨ar entydigt best¨amda av x och y genom dessa samband
Punkterna (x, y) i integrationsomr˚
adet D i xy-planet motsvaras d˚
a omv¨andbart
entydigt av punkter (u, v) i ett visst omr˚
ade S i uv-planet (olika punkter (x, y) ∈ D
alltid ger upphov till olika punkter (u, v) ∈ S). D˚
a kan man skriva invers funktioner
u = u(x, y),
v = v(x, y),
d¨ar x och y omv¨ant ¨ar entydigt best¨amda av u och v (olika punkter (u, v) ∈ S ger
upphov till olika punkter (x, y) ∈ D).
Antag att Jacobideterminanten
· ∂x ∂x ¸
∂(x, y)
∂x ∂y ∂x ∂y
∂v
J=
= ∂u
=
−
6= 0.
(200)
∂y
∂y
∂(u, v)
∂u ∂v ∂v ∂u
∂u
∂v
Areaelementet dA i koordinater u, v ¨ar
¯
¯
¯ ∂(x, y) ¯
¯ dudv,
¯
dA = dxdy = ¯
∂(u, v) ¯
d¨ar beloppet av Jacobideterminanten
¯
¯ ¯
¯ ∂(x, y) ¯ ¯ ∂x
¯ = ¯ ∂u
|J| = ¯¯
∂y
∂(u, v) ¯ ¯ ∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
¯ ¯
¯
¯ ¯ ∂x ∂y ∂x ∂y ¯
¯=¯
¯
¯ ¯ ∂u ∂v − ∂v ∂u ¯ .
Formeln f¨or variabelsubstitution i dubbelintegral ¨ar d˚
a
¯
¯
Z Z
Z Z
¯ ∂(x, y) ¯
¯ dudv.
¯
f (x, y)dxdy =
g˜(u, v) ¯
¯
∂(u,
v)
D
S
Exempel 11.3 (se Example 7, s. 845, A)
109
(201)
Ber¨akna arean av den elliptiska skivan E som begr¨ansas av ellipsen
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
L¨
osning. Variabelsubstitutionen
x = x(u, v) = au,
y = y(u, v) = bv,
(202)
transformerar den elliptiska skivan E s˚
a att man f˚
ar enhetscirkel D1 = {(u, v) :
u2 + v 2 = 1} i uv-planet. Jacobideterminanten a¨r
¯ ∂x ∂x ¯
¯ ∂x ∂y ∂x ∂y
∂(x, y) ¯¯ ∂u
∂v ¯ =
J=
= ¯ ∂y ∂y
¯ ∂u ∂v − ∂v ∂u = ab.
∂(u, v)
∂u
∂v
Areaelementet dA i koordinater u, v ¨ar
dA = dxdy = |J|dudv = ab dudv,
Variabelsubstitutionen (202) i den xy-dubbelintegralen
Z Z
1dxdy = arean av E
E
ger d˚
a arean:
Z Z
Z
Z
1dxdy =
E
abdudv = ab × (arean av D1 ) = πab.
D1
Exempel 11.4 (se Example 8, s. 845, A)
adet D som begr¨ansas av fyra paraboler
Ber¨akna arean av det omr˚
y = x2 ,
x = y2,
y = 2x2 ,
x = 3y 2 .
L¨
osning. Vi f˚
ar koordinater av parabolernas sk¨arningspunkter genom att skriva deras ekvationer som
y
= 1,
x2
x
= 1,
y2
110
y
= 2,
x2
x
= 3.
y2
(203)
D˚
a transformerar variabelsubstitutionen
y
,
x2
x
v = v(x, y) = 2 ,
y
u = u(x, y) =
(204)
omr˚
adet D s˚
a att man f˚
ar rektangeln R = {(u, v) : 1 ≤ u ≤ 2, 1 ≤ v ≤ 3} i
uv-planet (enligt (203)). I st¨allet f¨or att ber¨akna Jacobideterminanten
J=
∂(x, y)
,
∂(u, v)
best¨am Jacobideterminanten
J
−1
=
=
=
=
¯
∂u ¯¯
∂(u, v) ¯¯ ∂u
∂x
¯
= ∂v ∂y
∂v ¯
∂(x, y) ¯ ∂x
∂y
∂u ∂v ∂u ∂v
−
=
∂x ∂y ∂y ∂x
(−2y) (−2x)
1 1
4xy
1
− 2 2 =
−
=
3
3
3
x
y
x y
(xy)
(xy)2
3
= 3u2 v 2 .
(xy)2
Nu f˚
ar vi
J=
∂(x, y)
1
= 2 2.
∂(u, v)
3u v
Areaelementet dA i koordinater u, v ¨ar
dA = dxdy = |J|dudv =
dudv
,
3u2 v 2
och arean
Z Z
Z Z
dudv
1dxdy =
=
3u2 v 2
D
R
Z
Z Z
1 2 du 3 dv
=
=
3 1 u2 1
v2
"
¯2 # "
¯3 #
¸
·
1 ¯¯
1
1
1 1 2
1
1
1 ¯¯
1
=
− ¯ × − ¯ =
(1 − )(1 − ) = × × = .
3
u 1
v 1
3
2
3
3 2 3
9
111
11.2
Trippelintegraler
L˚
at xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet och D (en kropp) vara ett
omr˚
ade i rummet xyz (integrationsomr˚
adet). Vi antar ofta att integrationsomr˚
adet
begr¨ansas av en enkel sluten yta S i xyz-rummet. Antag att en funktion f (x, y, z) ¨ar
begr¨ansad (kontinuerlig) i D och p˚
a randen till D. Trippelintegralen av funktionen
f (x, y, z) ¨over omr˚
adet D,
Z Z Z
Z Z Z
f (x, y, z)dV eller
f (x, y, z)dxdydz
(205)
D
D
definieras f¨orst (p˚
a liknande s¨att som dubbelintegralen) n¨ar integrationsomr˚
adet
D = B = {(x, y, z) : x0 ≤ x ≤ x1 , y0 ≤ y ≤ y1 , z0 ≤ z ≤ z1 }
(206)
ada (box).
¨ar en l˚
L˚
at D vara ett omr˚
ade i rummet xyz (en kropp). (vi antar ofta att integrationsomr˚
adet begr¨ansas av en enkel sluten yta S i xyz-rummet). Antag att en
funktion f (x, y, z) ¨ar begr¨ansad (kontinuerlig) i D och p˚
a randen till D. Definiera
trippelintegralen av funktionen f (x, y, z) ¨over omr˚
adet D,
Z Z Z
Z Z Z
f (x, y, z)dV eller
f (x, y, z)dxdydz
(207)
D
D
med h¨ajlp av utvidgning f˜(x, y, z) av funktionen f (x, y, z) i en l˚
ada B, D ⊂ B,
f˜(x, y, z) = f (x, y, z), (x, y, z) ∈ D,
¯
f˜(x, y, z) = 0, (x, y, z) ∈
/ D [(x, y, z) ∈ B \ D]
som
Z Z Z
Z Z Z
f˜(x, y, z)dxdydz.
f (x, y, z)dxdydz =
D
(208)
B
Funktionen f (x, y, z) s¨ages vara integrerbar ¨over omr˚
adet D, och man kan
definiera trippelintegralen av funktionen f (x, y, z) ¨over omr˚
adet D.
Man kan visa att
Z Z Z
dV.
(209)
Volymen av B =
B
R¨aknelagarna f¨or dubbelintegraler g¨aller med uppenbara modifikationer f¨or
trippelintegraler.
Exempel 11.5 (se Example 2, s. 849, A)
L˚
at
B = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c}
112
vara en l˚
ada. Ber¨akna trippelintegralen
Z Z Z
I=
(xy 2 + z 3 )dV
B
av funktionen f (x, y, z) = xy 2 + z 3 ¨over omr˚
adet B.
Lo
sning.
Integrationsomr˚
adet
B
har
formen
s˚
adan att
¨
B = (x, y, z) : 0 ≤ z ≤ c, (x, y) ∈ R1 = {0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b},
B = (x, y, z) : 0 ≤ y ≤ b, (x, z) ∈ R2 = {0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ z ≤ c},
B = (x, y, z) : 0 ≤ x ≤ a, (y, z) ∈ R3 = {0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c}
och rektanglarna R1 , R2 och R3 sammanfaller med B:s projektion (basen) p˚
a
resp. xy- xz- och yz-planet. S˚
a g¨aller ber¨akningsformeln (iterationsformeln) (vi
ska iterera, dvs integrera t ex f¨orst i x-led och sedan i yz-led):
Z c Z b Z a
Z Z Z
2
3
(xy + z )dxdydz =
dz
dy
(xy 2 + z 3 )dx =
I =
B
0
0
0
¶¯x=a
Z c Z b µ 2 2
¯
xy
=
dz
dy
+ xz 3 ¯¯
=
2
0
0
x=0
¶¯x=a
Z c Z b µ 2 2
¯
xy
3 ¯
=
dz
dy
+ xz ¯
=
2
0
0
x=0
¶
¶¯y=b
Z c Z bµ 2 2
Z c µ 2 3
¯
ay
ay
3
3 ¯
=
dz
+ az dy =
dz
+ ayz ¯
=
2
6
0
0
0
y=0
¶
µ 2 3
¶¯z=c
Z cµ 2 3
a b z abz 4 ¯¯
ab
3
=
+ abz dz =
+
=
¯
6
6
4
0
z=0
a2 b3 c abc4
=
+
.
6
4
Exempel 11.6 (se Example 4, s. 851, A)
Ber¨akna volymen av kroppen R begr¨ansad av planet z = 3−2y ovanf¨or paraboloiden
z = x2 + y 2 .
L¨
osning.
Z Z Z
Volymen av R = V =
dV.
R
Integrationsomr˚
adet R ¨ar symmetriskt s˚
a vi kan ta R:s del som ligger i x > 0
Paraboloidens sk¨arning med planet z = 3 − 2y ger en kurva 3 − 2y = x2 + y 2 , och
vi f˚
ar d˚
a att deras sk¨arningskurva ligger p˚
a cylindern x2 + (y + 1)2 = 4, eller
p
x = 3 − 2y − y 2 ,
113
mellan y = −3 och y = 1. Trippelintegralen ber¨aknas genom upprepad integration
f¨orst i z-led och sedan i x- och y-led:
Z Z Z
Z
Z √
Z
3−2y−y 2
1
V
=
dV = 2
R
=
=
.
.
.
=
=
=
=
=
11.2.1
dx
dz =
x2 +y 2
0
¶¯x=√3−2y−y2
x ¯¯
2
dy
(3 − 2y − x2 − y 2 )dx = 2
(3 − 2y − y 2 )x −
dy =
3 ¯x=0
−3
0
−3
!
p
Z 1Ã
Z
2 )3
p
(
3
−
2y
−
y
4 1
2
2
2
(3 − 2y − y ) 3 − 2y − y −
dy
(3 − 2y − y 2 )3/2 dy =
3
3
−3
−3
Z 1
4
(4 − (y + 1)2 )3/2 dy =
3 −3
< y + 1 = 2 sin θ, [−3, 1] → [−π/2, π/2],
(4 − (y + 1)2 )3/2 = (4 − 4 sin2 θ)3/2 = 43/2 (cos2 θ)3/2 = 8 cos3 θ >
< dy = 2 cos θ >
Z
Z
64 π/2
64 π/2
3
cos θ cos θdθ =
cos4 θdθ =
3 −π/2
3 −π/2
¶2
µ
Z
128 π/2 1 + cos 2θ
dθ =
3 0
2
¶
µ
Z
32 π/2
1 + cos 4θ
dθ =
1 + 2 cos 2θ +
3 0
2
µ
¶
Z
32 π/2 3
1
+ 2 cos 2θ + cos 4θ dθ =
3 0
2
2
Z
Z π
1 2π
32 3 π
cos vdv = 8π.
+2
cos udu +
3 22
2 0
0
Z
=
dy
−3
3−2y
1
Z √3−2y−y2
Z
1
µ
Variabelsubstitution i trippelintegraler
Betrakta en trippelintegral av funktionen f (x, y, z) ¨over omr˚
adet D,
Z Z Z
f (x, y)dxdy.
D
Antag att x, y och z ¨ar kontinuerligt deriverbara funktioner av tre variabler,
x = x(u, v, w),
y = y(u, v, w),
z = z(u, v, w),
114
3
och att u v och w omv¨ant ¨ar entydigt best¨amda av x, y och z genom dessa samband Punkterna (x, y, z) i integrationsomr˚
adet D i xyz-rummet motsvaras d˚
a
omv¨andbart entydigt av punkter (u, v, w) i ett visst omr˚
ade S i uvw-rummet (olika punkter (x, y, z) ∈ D alltid ger upphov till olika punkter (u, v, w) ∈ S). D˚
a kan
man skriva invers funktioner
u = u(x, y, z),
v = v(x, y, z),
w = w(x, y, z),
d¨ar x, y och z omv¨ant ¨ar entydigt best¨amda av u v och w (olika punkter (u, v, w) ∈
S ger upphov till olika punkter (x, y, z) ∈ D).
Betrakta Jacobideterminanten
 ∂x ∂x ∂x 
∂u
∂v
∂w
∂(x, y, z)
∂y
∂y 
∂y
=
J=
=  ∂u
∂v
∂w
∂(u, v, w)
∂z
∂z
∂z
·
¸
· ∂u ∂v ∂w ¸
∂x ∂y ∂z
∂y ∂z
∂x ∂y ∂z
∂y ∂z
−
−
−
+
∂u ∂v ∂w ∂w ∂v
∂v ∂u ∂w ∂w ∂u
·
¸
∂x ∂y ∂z ∂y ∂z
−
∂w ∂u ∂v ∂v ∂u
och antar att
J 6= 0.
(210)
Volymelementet dV i koordinater u, v, w ¨ar
¯
¯
¯ ∂(x, y, z) ¯
¯ dudvdw,
dV = dxdydz = ¯¯
∂(u, v, w) ¯
Formeln f¨or variabelsubstitution i trippelintegral ¨ar d˚
a
¯
¯
Z Z Z
Z Z Z
¯ ∂(x, y, z) ¯
¯
¯ dudvdw,
f (x, y, z)dxdydz =
g(u, v, w) ¯
¯
∂(u,
v,
w)
D
S
d¨ar
g(u, v, w) = f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))
Exempel 11.7 (se Example 1, s. 856, A)
115
(211)
Ber¨akna volymen av ellipsoiden E som begr¨ansas av ytan
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1.
a2
b
c
L¨
osning. Anv¨and variabelsubstitution
x = x(u, v, w) = au,
y = y(u, v, w) = bv,
z = z(u, v, w) = cw
Punkterna (x, y, z) i integrationsomr˚
adet E i xyz-rummet,
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 ≤ 1,
a2
b
c
motsvaras d˚
a omv¨andbart entydigt av punkter (u, v, w) i B i uvw-rummet
u2 + v 2 + w2 ≤ 1.
Jacobideterminanten

J=
∂(x, y, z)
=
∂(u, v, w)
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
∂w



a 0 0
 =  0 b 0  = abc.
0 0 c
Volymelementet dV i koordinater u, v, w ¨ar
¯
¯
¯ ∂(x, y, z) ¯
¯
¯ dudvdw = abcdudvdw,
dV = dxdydz = ¯
∂(u, v, w) ¯
Formeln f¨or variabelsubstitution i trippelintegral ger d˚
a E:s volym
Z Z Z
Z Z Z
4
V =
dxdydz =
abcdudvdw = abc (Volymen av B) = πabc.
3
E
B
11.2.2
Cylindriska koordinater
Cylindriska koordinater r, θ, z i rummet
x = x(r, θ) = r cos θ,
y = y(r, θ) = r sin θ
z = z,
116
¨ar generaliserade pol¨ara koordinater (i planet). Volymelementet dV i cylindriska
koordinater r, θ, z ¨ar
¯
¯
¯ ∂(x, y, z) ¯
¯ drdθdz = rdrdθdz.
dV = dxdydz = ¯¯
∂(r, θ, z) ¯
Om integrationsomr˚
adet E i xyz-rummet begr¨ansas av ytor som ¨ar cylindriska
(dvs, beskrivas t ex av ekvationer f (x, y) = 0, f (y, z) = 0 eller f (x, z) = 0) eller
om integranden f (x, y, z) har cylindrisk symmetri (t ex f (x, y, z) = f (x2 + y 2 , z),
¨ar det ofta l¨ampligt att inf¨ora cylindriska koordinater.
Exempel 11.8 (se Example 3, s. 858, A)
Ber¨akna trippelintegralen
Z Z Z
(x2 + y 2 )dV
I=
D
adet D som begr¨ansas av cylindriska ytor x2 + y 2 = 1 och x2 + y 2 = 4
¨over omr˚
och plan z = 0, z = 1, x = 0 och x = y.
L¨
osning. Cylindriska koordinater inf¨ores. De cylindriska ytorna x2 + y 2 = 1
och x2 + y 2 = 4 f˚
ar d˚
a ekvationerna r = 1 och r = 2, planen x = 0 och x =
y f˚
ar ekvationerna θ = π/2 och θ = π/4, integranden blir x2 + y 2 = r2 , och
integrationsomr˚
adet begr¨ansas av planen r = 1, r = 2, θ = π/4, θ = π/2, z = 0
och z = 1. Allts˚
a ¨ar trippelintegralen
Z Z Z
Z 1 Z π/2 Z 2
³ π π ´ r4 ¯¯2 15π
2
2
2
¯ =
I=
(x + y )dV =
dz
dθ
r rdr = 1
−
.
2
2 4¯
16
D
11.3
0
π/4
1
1
Sf¨
ariska koordinater
Sf¨ariska koordinater r, φ, θ i rummet
x = x(r, φ, θ) = r sin φ cos θ,
y = y(r, φ, θ) = r sin φ sin θ
z = z(r, φ, θ) = r cos φ,
En punkts l¨age i rummet besrivs d˚
a av avst˚
andet till origo r och tv˚
a vinklar θ
och φ.
p
p
Observera att i sf¨ariska koordinater r, φ, θ, x2 + y 2 + z 2 = r och x2 + y 2 =
r2 sin φ .
Volymelementet dV i sf¨ariska koordinater r, φ, θ a¨r
¯
¯
¯ ∂(x, y, z) ¯
¯ drdφdθ = r2 sin φdrdφdθ.
dV = dxdydz = ¯¯
∂(r, φ, θ) ¯
117
Om integrationsomr˚
adet E i xyz-rummet begr¨ansas av ytor som ¨ar sf¨ariska
eller koniska eller om integranden f (x, y, z) har sf¨ariska symmetri (t ex f (x, y, z) =
f (x2 + y 2 + z 2 )), ¨ar det ofta l¨ampligt att inf¨ora sf¨ariska koordinater.
I sf¨ariska p
koordinater r, φ, θ har klotytan x2 + y 2 + z 2 = a2 ekvationen r = a.
Konen kz = x2 + y 2 (k > 0) har ekvationen tan θ = k, dvs θ = arctan k.
Exempel 11.9 (se Example 6, s. 861, A)
Densitetet i en halvkula H av radien a avtar med avst˚
andet ρ fr˚
an dess origo
O som k(2a − ρ), d¨ar k = const. Ber¨akna kroppens totala massa.
L¨
osning. Sf¨ariska koordinater inf¨ores s˚
a att halvkulan H ligger i halvrummet
z ≥ 0 ovanf¨or xy-planet. Integrationsomr˚
adet begr¨ansas av planet z = 0 och
klotytan H : x2 + y 2 + z 2 = a2 , z ≥ 0, som har ekvationen r = a i sf¨ariska
koordinater. Allts˚
a ¨ar massan lika med trippelintegralen
Z Z Z
Z Z Z
k(2a − ρ)ρ2 sin φdrdφdθ =
k(2a − ρ)dV =
m =
H
H
Z 2π Z π/2
Z a
= k
dθ
sin φdφ
(2a − ρ)ρ2 dr =
0
0
0
µ
¶¯ρ=a
2a 3 1 4 ¯¯
5
= 2πk × 1 ×
ρ − ρ ¯
= πk 4 .
3
4
6
ρ=0
12
12.1
Matriser och determinanter
Grundl¨
aggande begrepp
Ett linj¨art ekvationssystem med n obekanta har formen
E1 :
E2 :
En :
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn
= b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn
= b2
...
.....
an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn
= bn
Introducera matriserna

a11 a12
 a21 a22
A=
 .
.
an1 an2
118

. . . a1n
. . . a2n 
,
...
. 
. . . ann
(212)
s˚
a A = [ajk ] ¨ar en kvadratisk matris av typ n × n, och

a11 . . . a1n b1
 a21 . . . a2n b2
˜ = [A b] = 
A
 .
. ... .
an1 . . . ann bn


,

och vektorerna (kolonnvektorer)




x1
b1
x =  ... , b =  ... 
xn
bn
kan (kvadratiska) ekvationssystemet skrivas p˚
a matrisform
Ax = b.
(213)
Ekvationssystemet

Ax = 0,

0
0 =  ... 
0
(214)
kallas ett homogent system.
En l¨osning till systemet (212) ¨ar en m¨angd av n talen x1 , x2 , . . . , xn som
satisfierar alla n ekvationerna. De bildar kolonnvektorn x.
Ekvationssystemet (212) har en entydig l¨osning om och endast om det A 6= 0
(matrisen A ¨ar inverterbar, eller icke-singul¨ar). Man kan d˚
a multipliciera systemet
fr˚
an v¨anster med inversen A−1 och f˚
ar
x = A−1 b.
Det a¨r l¨ampligt ofta att uppfatta matrisen A som best˚
aende av n kolonnvektorer:




a11 a12 . . . a1n
a
1j
 a21 a22 . . . a2n 
 = [a1 a2 . . . an ] , d¨ar aj =  . . .  , j = 1, 2, . . . n.
A=
 .
. ...
. 
anj
an1 an2 . . . ann
D˚
a kan vi skriva ekvationssystemet Ax = b p˚
a formen
x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an = b
119
Systemet ¨ar l¨osbart f¨or varje h¨ogerledet b d˚
a och endast d˚
a kolonnvektorerna
a1 a2 . . . an utg¨or en bas i Rn , eller ekvivalent, d˚
a kolonnvektorerna ¨ar linj¨art
oberoende:
d1 a1 + d2 a2 + · · · + dn an = 0 d˚
a och endast d˚
a
talen dj = 0, j = 1, 2, . . . n.
En matris A, vars kolonnvektorer ¨ar linj¨art oberoende, ¨ar inverterbar (ickesingul¨ar), och systemet Ax = b har entydig l¨osning f¨or varje h¨ogerledet b
Exempel 12.1
Betrakta en matris
·
A=
2 4
6 3
¸
·
= [a1 a2 ] ,
a1 =
2
6
¸
·
,
a2 =
4
3
¸
.
D˚
a ekvationssystemet Ax = b med h¨ogerledet
· ¸
1
b=
2
blir
2x1 + 4x2 = 1
6x1 + 3x2 = 2
12.2
(215)
(216)
Matrisalgebra
Om A och B ¨ar tv˚
a (rektangul¨ara) matriser av samma storlek (m × n, m rader
och n kolonner), definieras deras summa och differens

 

a11 a12 . . . a1m
b11 b12 . . . b1m
 a21 a22 . . . a2m   b21 b22 . . . b2m 
±
=
A±B=
(217)
 .
. ...
.   .
. ...
. 
an1 an2 . . . anm
bn1 bn2 . . . bnm

a11 ± b11 a12 ± b12
 a21 ± b21 a22 ± b22
=

.
.
an1 ± bn1 an21 ± bn2
och produkten av ett tal c och en matris

ca11 ca12
 ca21 ca22
cA = 
 .
.
can1 can2
120
...
...
...
...

a1m ± b1m
a2m ± b2m 
,

.
anm ± bnm

. . . ca1m
. . . ca2m 

...
. 
. . . canm
(218)
Matrismultiplikation, dvs matrisprodukten
C = AB
av matriser A och B, C = [cjk ], ¨ar definierad om antalet kolonner i A ¨ar lika med
antalet rader i B, dvs A = [ajk ] ¨ar en matris av typ n × m (n rader, m kolonner)
och B = [bjk ] a¨r en matris av typ m × n (m rader, n kolonner). Elementet cjk a¨r
skal¨arprodukten mellan j-te raden i A och k-te kolonnen i B. Observera att
AB 6= BA.
S¨arskild, matrismultiplikation a¨r definierad om A och B a¨r kvadratiska matriser
som har samma storlek och om A = [ajk ] ¨ar en matris av typ n × m och B = x ¨ar
en kolonnvektor med m rader (och 1 kolonn). D˚
a matrisprodukten b = Ax blir en
kolonnvektor med n rader (och 1 kolonn) som skrivas i formen av ekvationssystemet
(212)
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1m xm
= b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xm
= b2
...
.....
an1 x1 + an2 x2 + · · · + anm xm
= bn ,
Exempel 12.2
L˚
at
1
1
Q= T=
4
4
·
2 1
1 2
¸
·
,
b=
1
1
¸
.
D˚
a, enligt definitionen av matrisprodukten,
·
¸· ¸
·
¸
1
1 2 1
1 2+1
3
1
Qb = Tb =
=
= b.
1
4
4 1 2
4 1+2
4
Skriv potenser
µ ¶p
1
Q = Q · Q · ··· · Q =
Tp
4
p
genom att utf¨ora successiv matrismultiplikation p g˚
anger (p = 1, 2, 3, 4):
·
¸ ·
¸ ·
¸ ·
¸
2 1
2 1
4+1 2+2
5 4
2
T =T·T=
·
=
=
,
1 2
1 2
2+2 1+4
4 5
µ ¶2
·
¸
1
1 5 4
2
Q =
T =
;
4
16 4 5
2
121
¸· ¸
· ¸
· ¸
1 9
9 1
5 4
1
=
=
= q 2 b;
4 5
1
16 9
16 1
¸ ·
¸ ·
¸ ·
¸
1
5 4
10 + 4 8 + 5
14 13
·
=
=
,
2
4 5
5 + 8 4 + 10
13 14
µ ¶3
·
¸
1
1 14 13
3
2
Q =
T =
;
4
64 13 14
·
¸· ¸
·
¸ µ ¶3
1 27
1 14 13
3
1
3
=
=
b;
Q b=
1
64 13 14
64 27
4
·
¸ ·
¸ ·
¸ ·
¸
2 1
14 13
28 + 13 26 + 14
41 40
4
3
T =T·T =
·
=
=
,
1 2
13 14
14 + 26 13 + 28
40 41
µ ¶4
·
¸
1
1
41 40
4
4
Q =
T =
;
4
256 40 41
¸· ¸
¸ µ ¶4
·
·
1
1
3
41 40
1
81
4
Q b=
=
=
b.
1
256 40 41
256 81
4
·
1
Q b=
16
·
2
T3 = T · T 2 =
1
2
Skriv flera exempel av matrismultiplikation f¨or rektangul¨ara matriser.
Exempel 12.3
L˚
at


1 1
A= 1 2 
1 3
vara en rektangul¨ar matris av storlek 3 × 2. Man kan framst¨alla matrisen som
 
 
1
1
A = [a1 a2 ] , a1 =  1  , a2 =  2  .
1
3
Ta en kolonnvektor
Vi har


0
b =  0 .
1
·
¸
1 1 1
A =
.
1 2 3
 
·
¸ 0
·
¸ · ¸
1 1 1  
0+0+1
1
T
0 =
A b=
=
.
1 2 3
0+0+3
3
1
T
122
·
AT A =
1 1 1
1 2 3
¸


·
¸ ·
¸
1 1
1+2+3
3 6
 1 2 = 1+1+1
=
.
1+2+3 1+2·2+3·3
6 14
1 3
Observera att
A · B 6= B · A
men
A · O = O,
d¨ar den (rektangul¨ara) matrisen

0
 0
O=
 .
0
0
0
.
0
...
...
...
...

0
0 

. 
0
kallas nullmatrisen.
Vanliga algebraiska egenskaper g¨aller (alla matriser har samma storlek):
A+B
A + (B + C)
A + (−A)
A+O
=
=
=
=
Introducera en (rektangul¨ar) matris

1 1
 1 1
1=
 . .
1 1
En kvadratisk matris

1
 0
I=
 .
0
B + A,
(A + B) + C,
O,
A.
...
...
...
...

1
1 
.
. 
1
...
...
...
...

0
0 

. 
1
0
1
.
0
kallas enhetsmatrisen (av typ n × n).
Produkten av en kolonnvektor x och en radvektor xT eller yT ,


x1
x =  . . .  , xT = [x1 , . . . xn ]
xn
123
(219)

x1
x =  ... ,
xn

yT = [y1 , . . . yn ]
definieras
x · xT = x21 + · · · + x2n ,
x · yT = x1 y1 + · · · + xn yn .
T ex
12.3


2
x =  1 ,
3
yT = [3, 0, 2],
x · yT = 12.
Determinanter
Vid studiet av linj¨ara ekvationssystem ¨ar det naturligt att betrakta vissa funktioner
av ekvationernas koefficienter, som f˚
att namnet determinanter.
12.3.1
Permutationer
Antag att n element a1 , a2 , . . . , an ¨ar givna (man kan alltid representera dem med
ordningstalen 1, 2, . . . , n) och l˚
at oss anordna dem i f¨oljd efter varandra p˚
a alla
m¨ojliga s¨att. Varje s˚
adan anordning kallas f¨or permutation av de n elementen.
Betrakta en kvadratisk matris av typ n × n


a1 a2 . . . an
 b1 a2 . . . bn 

A=
 c1 c2 . . . c n  ,
. . ... .
och definiera A’s determinant
¯
¯
¯
¯
Dn = Dn (A) = ¯¯
¯
¯
a1 a2
b1 b2
c1 c2
. .
...
...
...
...
an
bn
cn
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
genom att bilda ett polynom
Dn =
X
²i,j,k,... ai bj ck . . .
(220)
i,j,k,...
d¨ar ²i,j,k,... = 1 f¨or j¨amna permutationer och ²i,j,k,... = −1 f¨or udda permutationer
124
Skriv determinanterna av ordningarna 2 och 3:
¯
·
¸ ¯
¯ a1 a2 ¯
a1 a2
¯ = a1 b2 − a2 b1 .
det
= ¯¯
b1 b2
b1 b2 ¯
eller
¯
¯ a11 a12
¯
¯ a21 a22
¯
¯ a11 a12 a12
¯
¯ a21 a22 a23
¯
¯ a31 a32 a33
¯
¯
¯ = a11 a22 − a12 a21 .
¯
¯
¯
¯
¯ =
¯
¯
(221)
= a11 a22 a33 − a11 a23 a32 + a12 a23 a31 −
− a12 a21 a33 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 ,
eller
12.3.2
¯
¯ a11 a12 a13
¯
¯ a21 a22 a23
¯
¯ a31 a32 a33
¯
¯
¯
¯
¯
¯ a22 a23 ¯
¯ = a11 ¯
¯
¯
¯ a32 a33 ¯ −
¯
¯
¯
¯
¯
¯ a21 a23 ¯
¯ a21 a22 ¯
¯ + a13 ¯
¯
− a12 ¯¯
¯ a31 a32 ¯ =
a31 a33 ¯
= a11 a22 a33 − a11 a23 a32 + a12 a23 a31 −
− a12 a21 a33 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 .
(222)
Cramers regel
Man ocks˚
a anv¨anda en ekvivalent metod att l¨osa linj¨ara ekvationssystem som
kallas Cramers regel.
Exempel 12.4
Betrakta tex ekvationssystemet
2x1 + 4x2 = 1
6x1 + 3x2 = 2
med 2 × 2 koefficientmatrisn
·
A=
och kolonnvektorerna
·
x=
x1
x2
2 4
6 3
¸
¸
,
·
, b=
125
(223)
1
2
¸
.
Skriv systemet i formen
·
2 4
6 3
¸·
¸
x1
x2
˜ ¨ar en 2 × 3 matris
A
=
·
˜ = [A b] =
A
Vi har
·
det
2 4
6 3
·
1
2
2 4 1
6 3 2
¸
.
¸
.
¸
= −18,
dvs., det A 6= 0. D˚
a har ekvationssystemet (223) en entydig l¨osning, matrisn A ¨ar
inverterbar (icke-singul¨ar), och vi kan skriva l¨osningen enligt Cramers regel:
·
¸
·
¸
1
1
1 4
2 1
x1 = − det
= 5/18, x2 = − det
= 2/18.
2 3
6 2
18
18
Men att best¨amma inversen till en n × n matris (och att anv¨anda Cramers
regel) ¨ar en m¨odosam procedur och det ¨ar oftast enklare att l¨osa systemet med
elimination och Gausselimination som betraktas vidare.
12.4
Gausselimination
Det finns tv˚
a huvudklasser av metoder f¨or numerisk l¨osning av linj¨ara ekvationssystem, direkt och iterativa metoder. Med en direkt metod, ber¨aknar man
l¨osningen genom att utf¨ora ett ¨andligt antal aritmetiska operationer. Om man
skulle r¨akna utan avrundningsfel, skulle den ber¨aknade l¨osningen vara den exakta l¨osningen till ekvationssystemet. Den mest grundl¨aggande direkta metoden f¨or
l¨osning av linj¨ara ekvationssystem a¨r Gausselimination (GE).
M˚
alet med GE ¨ar att ¨overf¨ora koefficientmatrisen p˚
a h¨ogertriangul¨ar form.
Metoden inneb¨ar att man adderar multipler av ekvationerna till varandra. L¨osningen
f˚
as sedan genom bak˚
at substitution.
Man kan anv¨anda tre element¨ara operationer utan att bryta mot systemsl¨osning:
(1) byta varje tv˚
a rader (dvs., ekvationer);
(2) multipliciera en rad (dvs., en ekvation) med ett tal (6= 0);
(3) ers¨atta en rad med summan av den h¨ar raden och en annan rad multiplicierad med ett tal.
T ex f˚
as l¨osningen till systemetet (223),
E1 :
E2 :
2x1 + 4x2 = 1
6x1 + 3x2 = 2
126
med hj¨alp av GE.
1 Begynnelsematris
·
A=
2 4 1
6 3 2
¸
,
˜ med maximalelementet
Byta raderna 2 och 1 f¨or att f˚
a augmenterad matrisen A
a11
·
¸
rad
1
6
3
2
˜ = [A b] =
A
,
rad 2 2 4 1
eller systemet
6x1 + 3x2 = 2
2x1 + 4x2 = 1
(224)
(225)
Maximalelementet a11 = 6 (‘pivot´) ¨ar i den f¨orsta kolonnen och f¨orsta raden.
2 Reducera kol 1 av rad 2 till noll
Dividera ekvationen (224) med 6, multipliciera med 2 (dvs., multipliciera (224)
med 1/3) och subtrahera fr˚
an ekvationen (225). Man f˚
ar
6x1 + 3x2 = 2
3x2 = 1/3,
˜ med en h¨ogertriangul¨ar (upp˚
eller systemet Rx = b
at triangul¨ar) matris
¸
·
6 3
.
R=
0 3
Skriv resultatet i matrisformen:
·
gammalrad 1
gammalrad 2 - 2(gammalrad 1 )/6
6 3 2
0 3 1/3
¸
.
3 Best¨amm l¨osningen x1 , x2 med substitution i omv¨and ordning (bak˚
at substitution).
Genom att i den f¨orsta ekvationen s¨atta in x2 = (1/3)/3 = 1/9 erh˚
alls x1 =
(2 − 3 · (1/9))/6 = 5/18:
x1 = (2 − 3 · (1/9))/6 = 5/18
x2 = 2/18.
127
Betrakta som exempel systemet
E1 : 3x1 + 6x2 + 9x3 = 3
E2 : 2x1 + (4 + p)x2 + 2x3 = 4
E3 : −3x1 − 4x2 − 11x3 = −5
med 3 × 3 koefficientmatrisn
(226)
(227)
(228)

3
6
9
A =  2 4 + p 2 ,
−3 −4 −11
och kolonnvektorna





x1
3
x =  x2  , b =  4  .
−5
x3
˜ till systemet (226)–(228) ¨ar en 3 × 4 matris
Augmenterade matrisen A


3
6
9
3
˜ = [A b] =  2 4 + p 2
4 ,
A
−3 −4 −11 −5
Skriv (226)–(228) i formen



 
3
3
6
9
x1
 2 4 + p 2   x2  =  4  .
−5
−3 −4 −11
x3
Till¨amp GE.
1 Begynnelsematris


rad 1 3
6
9
3
 rad 2 2 4 + p 2
4 .
rad 3 −3 −4 −11 −5
Maximalelementet a11 = 3 (‘pivot´) ¨ar i den f¨orsta kolonnen och f¨orsta raden.
2 Reducera kol 1 av rader 2 och 3 till noll
2.1 Dividera ekvationen (226) med 3, multipliciera med 2 (dvs., multipliciera
(226) med 2/3) och subtrahera fr˚
an ekvationen (227). Man f˚
ar
3x1 + 6x2 + 9x3 = 3
p · x2 − 4x3 = 2
−3x1 − 4x2 − 11x3 = −5
128
(229)
(230)
(231)
2.2 Dividera ekvationen (229) med 3, multipliciera med (-3) [dvs., multipliciera (229) med (-1)] och subtrahera fr˚
an (231). Man f˚
ar
3x1 + 6x2 + 9x3 = 3
p · x2 − 4x3 = 2
2x2 − 2x3 = −2
Man kan skriva resultatet i matrisformen:

gammalrad 1
 gammalrad 2 - 2( gammalrad 1 )/3
gammalrad 3 + 3( gammalrad 1 )/3
(232)
(233)
(234)

3 6 9
3
0 p −4 2  .
0 2 −2 −2
Byta rader 2 och 3

gammalrad 1
 gammalrad 3
gammalrad 2

3 6 9
3
0 2 −2 −2  .
0 p −4 2
Maximalelementet a22 = 2 (‘pivot´) ¨ar i den andra kolonnen och andra raden.
Motsvarande systemet
3x1 + 6x2 + 9x3 = 3
2x2 − 2x3 = −2
p · x2 − 4x3 = 2
(235)
(236)
(237)
3 Reducera kol 2 av rad 3 till noll
Dividera ekvationen (236) med 2, multipliciera med p (dvs., multipliciera (236)
med p/2) och subtrahera fr˚
an (237):
3x1 + 6x2 + 9x3 = 3
2x2 − 2x3 = −2
(−4 + p)x3 = 2 + p
eller

gammalrad 1

gammalrad 2
gammalrad 3 - p( gammalrad 2 )/2

3 6
9
3
0 2
−2
−2  ,
0 0 −4 + p 2 + p
4 Best¨amm l¨osningen x1 , x2 , x3 med substitution i omv¨and ordning.
129
(238)
(239)
(240)
N¨ar p = 0, systemet (238)–(240) med den upp˚
ata triangul¨ara matrisn


3 6 9
R =  0 2 −2  ,
0 0 −4
har formen
3x1 + 6x2 + 9x3 = 3
2x2 − 2x3 = −2
−4x3 = 2
(241)
Genom att i den andra ekvationen s¨atta in x3 = 2/(−4) = −0.5 erh˚
alls x2 =
0.5(−2 + 2 · (−0.5)) = −1.5 och i den f¨orsta ekvationen x3 = −0.5 och x2 = −1.5
erh˚
alls x1 = (3 − 6 · (−1.5) − 9 · (−0.5))/3 = 5.5:
x1 = (3 − 6 · (−1.5) − 9 · (−0.5))/3 = 5.5
x2 = 0.5(−2 + 2 · (−0.5)) = −1.5
x3 = −0.5
12.5
(242)
Ortogonala matriser
Tv˚
a m¨angder (’trippelpar’) Vi i ett koordinatsystem i rummet xi och Vi0 i ett
koordinatsystem x0i s˚
adana att
Vi0
=
3
X
aij Vj ,
i = 1, 2, 3,
(243)
aij xj ,
i = 1, 2, 3,
(244)
j=1
d¨ar
x0i
=
3
X
j=1
definierar en koordinattransformation (rotation), ¨ar komponenter av en vektor.
Vektorn definieras som en transformation (243) som definieras i sin tur genom
vektorns komponenter Vi . Vektorn har samma l¨angd i b˚
ada koordinatsystem, dvs
3
X
x2i
3
X
(x0i )2 =
=
i=1
=
i=1
à 3
3
X
X
i=1
=
!Ã
aij xj
j=1
3 X
3
X
xj xk
j=1 k=1
!
aik xk
=
k=1
3
X
i=1
130
3
X
aij aik
(245)
om och endast om
3
X
aij aik = δjk ,
j, k = 1, 2, 3,
(246)
i=1
d¨ar δjk ¨ar Kronecker-delta.
Vi ser att villkoret att l¨angden ¨ar invariant i koordinatsystem roterad med
n˚
agon vinkel ger oss ortogonalitetsvillkoren (246) som sammanfaller med (27).
Motsvarande kvadratiska matriser


3
a11 a12 a13
X


A = [ajk ] = a21 a22 a23
d¨ar
aij aik = δjk (j, k = 1, 2, 3) (247)
i=1
a31 a32 a33
kallas ortogonala matriser.
(19) och (20) ¨ar ortogonalitetsvillkoren i tv˚
a-dimensionella fallet.
12.5.1
Inversmatrisen
Man kan definiera inversen till en (n × n kvadratisk) matris A = [ajk ] med hj¨alp
av matrisprodukten och tv˚
a villkor
AA−1 = A−1 A = I,
d¨ar

1
 0
I=
 .
0
0
1
.
0
...
...
...
...
(248)

0
0 

. 
1
¨ar enhetsmatrisen.
Ekvationssystemet (212) har en entydig l¨osning om och endast om det A 6= 0
(matrisen A ¨ar inverterbar, eller icke-singul¨ar). Man kan d˚
a multipliciera systemet
−1
fr˚
an v¨anster med inversen A och f˚
ar
x = A−1 b.
12.5.2
Transponerade matrisen
e definieras elementvis
Den transponerade matrisen AT = A
a
˜ji = aij ,
i, j = 1, 2, 3,
131
(249)
eller


a11 a21 a31
e =  a12 a22 a32 
AT = A
a13 a23 a33
(250)
(A:s rader och kolonner har bytt plats). Nu kan ortogonalitetsvillkoren (246) skrivas om med hj¨alp av den transponerade matrisen och matrismultiplikation
e = I.
AA
(251)
Vidare, kan man (h¨oger-)multiplicera (251) med A−1 och best¨amma inversen till
en (n × n kvadratisk) ortogonal matris som den transponerade matrisen
−1
e
AAA
= IA−1 = A−1
e = A−1 .
eller A
(252)
Vi f˚
ar ocks˚
a
e = AA
e = I.
AA
(253)
(252) och (253) ¨ar ekvivalenta med (246) och kan betraktas som definitioner av
ortogonalitetsvillkor och ortogonala matriser.
12.5.3
Ortogonala koordinattransformationer
L˚
at i, j och k vara tre ortogonala enhetsvektorerna. D˚
a ¨ar elementet aij av den
ortogonala matrisen (247) cosinus f¨or vinkeln mellan x0i -axeln och xj -axeln (se
(157)) i det roterade koordinatsystemet x0i . Om vi antar att ortogonalitetsvillkoren
(246) g¨aller, d˚
a definierar likheterna
x1 = a11 i + a12 j + a13 k,
x2 = a21 i + a22 j + a23 k,
x3 = a31 i + a32 j + a33 k
(254)
ortogonala vektorerna x1 , x2 och x3 .
12.5.4
Symmetriska matriser
En symmetrisk matris definieras
e eller aji = aij ,
A=A
i, j = 1, 2, 3.
(255)
En antisymmetrisk matris definieras
e
A = −A.
(256)
Man kan framst¨alla varje matris som summan av en symmetrisk matris 0.5(A+
e
e
A) och en antisymmetrisk matris 0.5(A − A),
e + 0.5(A − A).
e
A = 0.5(A + A)
132
(257)
12.5.5
Symmetriska matriser och rotation
Man kan beskriva rotation av ett koordinatsystem med hj¨alp av koordinattransformationen (244) som kan skrivas p˚
a matrisformen
r1 = Ar
(258)
Nu rotera koordinatsystemet med en koordinattransformation till, som ges med
n˚
agon (kanske icke-ortogonal) matris B och skrivs p˚
a matrisformen
Br1 = BAr = (Ar)0 =
BA(B−1 B)r =
(BAB−1 )Br = (BAB−1 )r0 =
A0 r0 ,
r01 =
=
=
=
(259)
d¨ar matrisen
A0 = BAB−1
(260)
verkar i rummet x0 , y 0 , z 0 (och matrisen A i rummet x, y, z) och definierar rotation
av vektorn Br.
Koordinattransformationen (260) kallas likformighetstransformationen.
12.5.6
Tensorer, ortogonala matriser och likformighetstransformation
Skriv (260) komponentvis
a0ij
=
N
N X
X
bik akl (B−1 )lj ,
i, j = 1, 2, . . . , N.
(261)
k=1 l=1
Om B ¨ar en ortogonal matris,
e lj = blj ,
(B−1 )lj = (B)
(262)
d˚
a f˚
ar vi
a0ij
=
N X
N
X
bik blj akl ,
i, j = 1, 2, . . . , N,
(263)
k=1 l=1
som sammanfaller med definitionen (160) av en tensor av rangen 2.
D˚
a kan en matris A som definierar en ortogonal likformighetstransformation
betraktas som en tensor, s˚
a att man kan betrakta en godtycklig ortogonal matris
A som en tensor av rangen 2.
133
12.6
Hermitska och unit¨
ara matriser
12.6.1
Komplexa matriser
Betrakta matriser
aende av komplexa element (komplexa tal) akl =
√ A = [akl ] best˚
a0kl + ia00kl , i = −1.
Den konjugerade matrisen (eller konjugatmatrisen) definieras som A∗ = [a∗kl ]
a akl
d¨ar a∗kl = a0kl − ia00kl ¨ar konjugatet till akl (det komplexa talet a∗kl kallas ocks˚
konjugerat).
Den transponerade konjugatmatrisen definieras som A+ = [a∗lk ], eller
f∗ = A
˜ ∗.
A+ = A
12.6.2
(264)
Hermitska matriser
Den Hermitska matrisen ¨ar en komplex matris A s˚
adan att
A = A+ .
(265)
e
Om A ¨ar en reell matris (dvs best˚
aende av reella element (reella tal)), d˚
a A+ = A
och reella Hermitska matriser ¨ar symmetriska matriser.
12.6.3
Unit¨
ara matriser
Den unit¨ara matrisen ¨ar en komplex matris U s˚
adan att
U+ = U−1 .
(266)
e och reella unit¨ara matriser ¨ar ortogonala
Om U ¨ar en reell matris, d˚
a U−1 = A
matriser.
12.6.4
Egenskaper hos konjugatmatriser
Man kan visa att
(AB)∗ = A∗ B∗ ,
(AB)+ = B+ A+ .
12.6.5
(267)
(268)
Paulis och Diracs matriser
Definiera Paulis m¨angden σ som en vektor
σ = [σ1 , σ2 , σ3 ]
134
(269)
best˚
aende av Paulis matriser
·
¸
·
¸
0 1
0 −i
σ1 =
, σ2 =
,
1 0
i 0
·
σ1 =
1 0
0 −1
¸
.
(270)
Best¨am matrispotensen
·
¸ ·
¸ ·
¸
0 1
0 1
0·0+1·1 0·1+1·0
2
σ1 = σ1 · σ1 =
·
=
=
1 0
1 0
1·0+0·1 1·1+0·0
·
¸
1 0
=
= 12 .
(271)
0 1
Man kan visa ocks˚
a att
σi σj + σj σi = 2δij 12 ,
σi σj = iσk ,
σi2 = 12 .
(272)
(273)
(274)
σ/2 = 0.5[σ1 , σ2 , σ3 ]
(275)
En vektor
uppfyller kommutativa relationer
[σi , σj ] ≡ σi σj − σj σi = 2i²ijk σk
(276)
d¨ar den tre-dimensionella Levi–Civitas symbol ²ijk definieras
²123 = ²231 = ²312 = 1,
²132 = ²213 = ²321 = −1,
²ijk = 0 f¨or andra permutationer.
(277)
Vi har ocks˚
a att summorna av diagonalelementen
tr σ1 = 0 + 0 = 0,
tr σ2 = 0 + 0 = 0,
tr σ3 = 1 − 1 = 0
(278)
De tre Paulis matriser och enhetsmatrisen 12 bildar en fullst¨andig m¨angd. Det
betyder att en godtycklig 2 × 2 (komplex) matris M kan utvecklas
·
¸ · 0
¸
a0 a1
a0 + ia000 a01 + ia001
M =
=
=
a2 a3
a02 + ia002 a03 + ia003
¸
·
¸ ·
a0 0
0 a1
=
=
+
a2 0
0 a3
·
¸
·
¸
1
0
0
1
= a0
+ a1
= ...
0 a3 /a0
a2 /a1 0
·
¸
·
¸
·
¸
·
¸
1 0
1 0
0 −i
0 1
= 0.5a0
+ 0.5a0
+ 0.5ia1
+ 0.5a1
+ ··· =
0 1
0 −1
i 0
1 0
= m0 12 + m1 σ1 + m2 σ2 + m3 σ3 = m0 + m · σ,
(279)
135
d¨ar m = [m1 , m2 , m3 , m4 ] ¨ar en konstant vektor.
Diracs matriser (eller γ-matriser) definieras

1 0
·
¸

1
0
0 1
2
γ0 = γ 0 =
=

0 −12
0 0
0 0

0
0
0
0 
,
−1 0 
0 −1
(280)

1
0 
.
0 
0
(281)
och

·
γ=
0 12
−12 0
¸
0
0 0
 0
0 1
=
 0 −1 0
−1 0 0
Vi har

1

0
γ02 = 
 0
0
 
0 0
0
1 0 0
0
 0 1 0
1 0
0 
0
·


0 −1 0
0 0 −1 0
0 0 −1
0 0 0 −1


1
  0
=
  0
0
0
1
0
0
0
0
1
0

0
0 
 = I = 1 (282)
0 
1
och

γ0 γ + γγ0
12.7
 
1 0 0
0
0
0 0 1
 0 1 0
  0
0
0 1 0
 
= 
 0 0 −1 0  ·  0 −1 0 0
0 0 0 −1
−1 0 0 0

 
0
0 0 1
1 0 0
0
 0


0 1 0   0 1 0
0
+ 
 0 −1 0 0  ·  0 0 −1 0
−1 0 0 0
0 0 0 −1


0 0 0 0
 0 0 0 0 

= 
 0 0 0 0  = O = 0.
0 0 0 0


+



=

(283)
Normala matriser
Den normala matrisen ¨ar en komplex matris A s˚
adan att
[A, A+ ] = AA+ − A+ A = 0.
136
(284)
Om r 6= 0 ¨ar en egenvektor till en normal matris A som motsvarar egenv¨ardet
λ till A, skrivs det
A = λr eller Br = 0,
d¨ar B = A − λI
(285)
och I ¨ar enhetsmatrisen.
Vi har
B+ = (A − λI)+ = A+ − λ∗ I,
(286)
d¨ar λ∗ = λ0 − iλ00 ¨ar det konjugerade komplexa talet λ = λ0 + iλ00 , och
[B, B+ ] = (A − λI)(A+ − λ∗ I) − (A+ − λ∗ I)(A − λI) =
= AA+ − λA+ − λ∗ A + λλ∗ − A+ A + λ∗ A + λA+ − λ∗ λ = 0,
s˚
a att B = A − λI ¨ar en normal matris.
Ur detta, f¨oljer att
B+ r = (A − λI)+ r = 0,
(287)
s˚
a att λ∗ ¨ar ett egenv¨arde till A+ .
Man kan visa ocks˚
a att egenvektorer till en normal matris A som motsvarar
olika egenv¨arden λ1 6= λ2 till A ¨ar ortogonala.
12.8
Bandmatriser och blockmatriser
12.8.1
Bandmatriser
L˚
at x = (x1 , x2 , . . . , xn ) vara en n-dimensionell rad- (eller kolonn) vektor. Definiera
en kvadratisk matris av typ n × n


x1 0 . . . 0
 0 x2 . . . 0 

diag(x) = 
 .
. ... . 
0 0 . . . xn
och kvadratiska matriser (av typ n × n)

0 x1 0 0 . . .
0
 0 0 x2 0 . . .
0

 0 0 0 x3 . . .
0


0
diag(x, 1) =  0 0 0 0 . . .
 . .
.
.
.
.
.
.

 0 0 0 0 . . . xn−1
0 0 ... 0 0
0





,




137





diag(x, −1) = 




0 0 0
x1 0 0
0 x2 0
0 0 x3
.
.
.
0 0 0
0 0 ...
0
0
0
0
.
...
0
...
...
...
...
...
0
xn−1
0
0
0
0
.
0
0





,




d¨ar

I−1



=



0
1
0
0
.
0
0 0
0 0
1 0
0 1
. .
0 ...
0
0
0
0
.
0
x = (x1 , x2 , . . . , xn−1 ).


0 1 0
... 0
 0 0 1

... 0 

 0 0 0

... 0 
 , I+1 =  0 0 0


... 0 
 . . .

... . 
 0 0 0
1 0
0 0 ...
0 ... 0
0 ... 0
1 ... 0
0 ... 0
. ... .
... 0 1
0
0 0





.




Matriserna I (enhetsmatris) och I± kallas ibland basbandmatriser. Matriserna
I± och diag(x, ±1) kallas element¨ara bandmatriser. Man kan skriva
I±1 = diag(I, ±1).
(288)
Exempel 12.5
Skriv vissa matrisuttryck n¨ar det ¨ar l¨ampligt att anv¨anda element¨ara bandmatriser:




a 0 ... 0
a+b
0
...
0
 0 a ... 0 

a + b ...
0 
 , aI + bI =  0
,
aI = 
(289)
 . . ... . 
 .
.
...
. 
0 0 ... a
0
0
... a + b

0
 1
1−I=
 .
1

aI−1



=



0
a
0
0
.
0
1
0
.
1
...
...
...
...
0 0 0 ... 0
0 0 0 ... 0
a 0 0 ... 0
0 a 0 ... 0
. . . ... .
0 ... 0 a 0

1
1 
,
. 
0

2
 1
1+I=
 .
1





,



bI+1
138




=




0
0
0
0
.
0
0
1
2
.
1
...
...
...
...
b 0
0 b
0 0
0 0
. .
0 0
0 ...

1
1 

. 
2
0 ... 0
0 ... 0
b ... 0
0 ... 0
. ... .
... 0 b
0
0 0
(290)





 . (291)




Uttrycket

aI−1 + cI + bI+1




=




c
a
0
0
.
0
0
b 0
c b
a c
0 a
. .
0 0
0 ...
0 ...
0 ...
b ...
c ...
. ...
... c
0
a
0
0
0
0
.
b
c
0
0
0
..
.
0
0
0
..
.





.




(292)
get ett exempel av en tridiagonal bandmatris.
Exempel 12.6
En tridiagonal bandmatris

x1 z 1 0 0
 y1 x2 z2 0

 0 y2 x3 z3

T =  ..
..
.. ..
 .
.
. .

 0 0 0 0
0 0 0 0
···
···
···
..
.
···
···
0
0
0
...
yn−2 xn−1 zn−1
0
yn−1 xn









(293)
d¨ar vektorer
x = (x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn ),
y = (y1 , y2 , . . . , yn−1 ),
x = (z1 , z2 , . . . , zn−1 ),
skrivs
T = diag(x) + diag(z, 1) + diag(y, −1)
(294)
Exempel 12.7
Betrakta linj¨ara ekvationsystemet
0.5x1 − 0.25x2 = 1
−0.25x1 + 0.5x2 = 1.
Det har en symmetrisk matris av typ 2 × 2
·
¸
· ¸
0.5 −0.25
1
A=
. H¨ogerledet b =
.
−0.25 0.5
1
139
(295)
Best¨am matrisen
·
I−A=
1 0
0 1
·
¸
−
d¨ar
0.5 −0.25
−0.25 0.5
·
2 1
1 2
T=
¸
·
¸
=
0.5 0.25
0.25 0.5
¸
= aT,
1
och a = .
4
Exempel 12.8
Antag att alla diagonalelementen
D˚
a kan man skriva

 
1 a12 . . . a1n
1 0
 a21 1 . . . a2n   0 1

=
 .
. ...
.   . .
an1 an2 . . . 1
0 0
av en matris A = [ajk ] ¨ar lika med 1: ajj = 1.
...
...
...
...
 
0
0
0
 a21 0
0 
+
.   .
.
1
an1 an2
 
... 0
0 a12
 0 0
... 0 
+
... .   . .
... 0
0 0
...
...
...
...
eller
A = I + L + U,
d¨ar L och U a¨r h¨oger- och v¨anstertriangul¨ara matriser med nollelementen p˚
a
huvuddiagonalerna. Ins¨attning i systemet Ax = b ger
Ax = (I + L + U)x = b,
eller
x = b − Lx − Ux.
(296)
Exempel 12.9
Betrakta ett linj¨art ekvationssystem med n = 3 obekanta
2x + y + z = 4
x + 2y + z = 4
x + y + 2z = 4
˜ = b, d¨ar alla diagonalelementen av en matris A
˜ a¨r
Skriv systemet i formen Ax
lika med 1 (ajj = 1, j = 1, 2, 3):
x + 1/2y + 1/2z = 2
1/2x + y + 1/2z = 2
1/2x + 1/2y + z = 2,
140

a1n
a2n 
,
. 
0
eller
x = 2 − 1/2y − 1/2z
y = 2 − 1/2x − 1/2z
z = 2 − 1/2x − 1/2y
Matrisen
˜ = I + L + U,
A
eller


 
 
 
0
0 0
0 1/2 1/2
1 1/2 1/2
1 0 0
 1/2 1 1/2  =  0 1 0  +  1/2 0 0  +  0 0 1/2  .
0 0
0
1/2 1/2 0
0 0 1
1/2 1/2 1
skrivs
A = I + 0.5I+1 + 0.5I−1 + 0.5I+2 + 0.5I−2
(297)
d¨ar

I+2
12.8.2

0 0 1
=  0 0 0 ,
0 0 0

I−2

0 0 0
=  0 0 0 .
1 0 0
(298)
Blockmatriser
H¨ar ¨ar n˚
agra exempel av blockmatriser




1 0 0
0 2 2
A1 =  0 1 0  , A2 =  0 1 1  ,
0 0 0
0 0 0

1
 2
A4 = 
 0
0
2
1
0
0
0
0
3
4


0
0 
,
4 
3
0
 1
A7 = 
 1
0
1
0
0
1

1
 2
A5 = 
 3
4
1
0
0
1
1
0
0
1

0
1 
,
1 
0
2
5
5
3
3
5
5
2

0 0 0
A3 =  1 2 0  ,
3 4 0

4
3 
,
2 
1

1
 2
A8 = 
 0
0
141


0
 0
A6 = 
 0
0
2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
5
7
9
0
(299)
0
3
3
0

0
0 
 (300)
0 
0

6
8 
.
0 
9
(301)
0
3
3
0
Man kan framst¨alla blockmatriser som matriser best˚
aende av submatriser (delmatriser); de submatriserna har mindre storlek (de kan vara ¨aven rad- och kolonnvektorer), t ex
·
¸
·
¸
I 0
1 0
A1 =
, I=
,
(302)
0 0
0 1
·
0 R
0 0
A2 =
·
0 0
R 0
A3 =

¸
·
,
R=
¸
·
,
R=


1
x

2
A5 =  RT  = [x R y] = 

3
yT
4
d¨ar
T


3
5 
,
5 
2

1
 2
x=
 3
4
2
 5
R=
 5
3
·
T
R =

1 2
3 4
2
5
5
3
¸
,
(303)
.
(304)
¸
3
5
5
2

4
3 
,
2 
1
2 5 5 3
3 5 5 2
(305)
¸
,


,

xT = [1, 2, 3, 4],
etc.
Betrakta ett viktigt exempel av en

R I
 I R

 0 I

 . .
A=
 . .

 . .

 0 0
0 0
2 2
1 1

4
 3 

y=
 2 ,
1
yT = [4, 3, 2, 1],
blockbandmatris av storlek N × N , N > 8,

0 ... 0
I ... 0 

R ... 0 

. ... . 
;
(306)
. ... . 

. ... . 

0 ... I 
0 ... R
142
h¨ar ¨ar R en tridiagonal bandmatris av storlek n × n,


−4 1
0 ... 0
 1 −4 1 . . . 0 


 0

1
−4
.
.
.
0


 .

.
.
.
.
.
.
,
R=
 .
.
. ... . 


 .

.
.
.
.
.
.


 0
0
0 ... 1 
0
0
0 . . . −4
(307)
I enhetsmatrisen av storlek n × n. Ta n = 3, d˚
a




1 0 0
−4 1
0
R =  1 −4 1  . I =  0 1 0  ,
0 0 1
0
1 −4
och skriv motsvarande

−4
 1

 0

 1

 0
A=
 0

 .

 0

 0
0
A:
1
0
1
0
0
0
−4
1
0
1
0
0
1
−4
0
0
1
0
0
0
−4 1
0
0
1
0
1 −4 1
0
0
1
0
1 −4 0
... ...0 ... ... ... ...
...
0
1
0
0 −4
...
0
0
1
0
1
...
0
0
0
1
0
12.9
Diagonalisering
12.9.1
Egenv¨
arden och egenvektorer
... 0
... 0
... 0
... 0
... 0
... 0
... .
1
0
−4 1
1 −4
(308)








.







(309)
Definition. L˚
at A vara en n × n (kvadratisk) matris. Med en egenvektor till A
menas en n-dimensionell kolonnvektor r 6= 0 s˚
adan att
A = λr
(310)
d¨ar λ ¨ar ett tal som kallas ett egenv¨arde till A.
Likheten A = λr kan skrivas (A − λI)r = 0 eller p˚
a komponent form
(a11 − λ)r1 + a12 r2 + · · · + a1n rn = 0
a11 r1 + (a22 − λ)r2 + · · · + a2n rn = 0
... ... .
a11 r1 + a12 r2 + · · · + (ann − λ)rn = 0
143
(311)
(312)
(313)
(314)
Detta kan ses som ett linj¨art homogent ekvationssystem med n obekanta; systemetmatrisen ¨ar


a11 − λ
a12
...
a1n
 a21
a22 − λ . . .
a2n 
,
A − λI = 
(315)


.
.
...
.
an1
an2
. . . ann − λ
Det n¨odv¨andiga och tillr¨ackliga villkoret f¨or att ett s˚
adant system skall ha icketriviala l¨osningar r 6= 0 ¨ar att systemets determinant
¯
¯
¯ a11 − λ
a12
...
a1n ¯¯
¯
¯ a21
a22 − λ . . .
a2n ¯¯
(316)
det (A − λI) = |A − λI| = ¯¯
¯ 6= 0,
.
.
...
.
¯
¯
¯ an1
an2
. . . ann − λ ¯
Vi ser att det n¨odv¨andiga och tillr¨ackliga villkoret f¨or att ett tal λ skall vara ett
egenv¨arde till A ¨ar att λ ¨ar rot till sekularekvationen
|A − λI| = 0.
12.9.2
(317)
Egenv¨
arden, egenvektorer och kvadratiska former
Bilda en symmetrisk 3 × 3 matris A och en kolonnvektor n,




a11 a12 a13
n1
A =  a12 a22 a23  , n =  n2  .
a13 a23 a33
n3
Man kan betrakta t ex den symmetriska

Ixx
A = I =  Ixy
Ixz
(318)
tr¨oghetsmatrisen (intertiamatrisen)

Ixy Ixz
Iyy Iyz 
(319)
Iyz Izz
Ber¨akna matrisprodukten



a11 a12 a13
n1
nT An = [n1 , n2 , n3 ]  a12 a22 a23   n2  =
a13 a23 a33
n3


a11 n1 + a12 n2 + a13 n3
= [n1 , n2 , n3 ]  a12 n1 + a22 n2 + a23 n3  =
a13 n1 + a23 n2 + a33 n3
= a11 n21 + a22 n22 + a33 n23 + 2a12 n1 n2 + 2a13 n1 n3 + 2a23 n2 n3 =
= q(n1 , n2 , n3 )
(320)
144
q = q(n1 , n2 , n3 ) kallas en kvadratisk form av grad 2.
Vi inf¨or nu nya cartesiska koordinater med of¨or¨andrat origo och dessa koordinater skall v¨aljas s˚
a, att q f˚
ar en enklare form. Sambandet mellan koordinater ges
av en (reell) ortogonal matris P s˚
a att n = Pn0 . Inversen till den (3×3 kvadratiska)
ortogonala matrisen P f˚
as som den transponerade matrisen
e = PT = P−1 ,
P
(321)
s˚
a att n0 = PT n. och vi f˚
ar, enligt (320),
nT An = (Pn0 )T A(Pn0 ) =
= (n0 )T (PT AP)n0 == (n0 )T Dn0 =

 0 
λ1 0 0
n1
= [n01 , n02 , n03 ]  0 λ2 0   n02  =
n03
0 0 λ3
= λ1 (n01 )2 + λ2 (n02 )2 + λ3 (n03 )2 .
12.9.3
(322)
Egenv¨
arden och egenvektorer till reella symmetriska matriser
Sats. Egenv¨ardena till en reell symmetrisk matris A ¨ar reella.
Sats. Egenvektorer som motsvarar olika egenv¨arden till en reell symmetrisk matris
A ¨ar ortogonala.
Sats. Om en reell symmetrisk matris A har egenv¨ardena λ1 , λ2 , . . . , λn , d¨ar
varje egenv¨arden r¨aknas upp s˚
a m˚
anga g˚
anger som dess multiplicitet anger, s˚
a kan
man till dessa egenv¨arden hitta en tillh¨orande f¨oljd av inb¨ordes ortogonala och
normerade egenvektorer r1 , r2 , . . . , rn till matrisen A.
12.9.4
Egenv¨
arden och egenvektorer till Hermitska matriser
12.9.5
Spektralsatsen
Antag nu att alla egenv¨ardena λ1 , λ2 , . . . , λn till en reell symmetrisk matris A har
multiplicitet 1 (dvs egenv¨ardena ¨ar enkla r¨otter till sekularekvationen) och bilda
en ortogonal matris
P = [r1 , r2 , . . . , rn ].
145
(323)
Dess kolonnvektorer ¨ar parvis ortogonala och normerade egenvektorer till A: (ri , rj ) =
0, i 6= j, och ||ri || = 1. Ber¨akna matrisprodukten
PT AP = PT A[r1 , r2 , . . . , rn ] =
= PT [Ar1 , Ar2 , . . . , Arn ] =
 T 
r1
 rT2 

= 
 . . .  [λ1 r1 , λ2 r2 , . . . , λ2 rn ] =
rTn


λ1 rT1 r1 λ2 rT1 r2 . . . λn rT1 rn
 λ1 rT2 r1 λ2 rT2 r2 . . . λn rT2 rn 
=
= 


.
.
...
.
T
T
T
λ1 rn r1 λ2 rn r2 . . . λn rn rn


λ1 0 . . . 0
 0 λ2 . . . 0 
 = D = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ).
= 
 .
. ... . 
0 0 . . . λn
(324)
Spektralatsen f¨
or symmetriska matriser.
Antag att en reell symmetrisk matris A har egenv¨ardena λ1 , λ2 , . . . , λn , d¨ar varje
egenv¨arden r¨aknas upp s˚
a m˚
anga g˚
anger som dess multiplicitet anger. Till dessa
egenv¨arden finns det en tillh¨orande f¨oljd av parvis ortogonala och normerade egenvektorer r1 , r2 , . . . , rn till matrisen A. Bildas sedan en ortogonal matris P (323)
s˚
a ¨ar PT AP ¨ar en diagonalmatris vars diagonalelement i ordning ¨ar egenv¨ardena
λ1 , λ2 , . . . , λn till matrisen A.
Genom multiplikation av matrislikheten (324)
PT AP = D,
(325)
med P fr˚
an v¨anster och med PT fr˚
an h¨oger erh˚
alls
A = PDPT ,
(326)
varvid utnyttjats att PT P = PPT = I.
Spektralatsen f¨
or symmetriska positivt definita matriser.
Varje symmetrisk positivt definit matris A kan faktoriseras symmetriskt,
A = LDLT ,
(327)
d¨ar L a¨r en v¨anstertriangul¨ar matris med ettor p˚
a huvuddiagonalen och D a¨r en
diagonalmatris med positiva diagonalelement.
146
13
13.1
Grupper
Grundbegrepp
Antag att ∗ ¨ar en kompositionsregel p˚
a m¨angden M . Vad m˚
aste d˚
a kr¨avas av ∗ f¨or
att varje linj¨ar ekvation med koefficienter i M , dvs a ∗ x = b, d¨ar a, b ∈ M , skall ha
en l¨osning i M ? Och vad skall g¨alla f¨or att en s˚
adan l¨osning skall vara entydig? Det
finns flera matematiska system d¨ar motsvarande ekvation har en entydig l¨osning.
Om t ex A och B ¨ar kvadratiska matriser av samma storlek med reella element,
s˚
a vet vi att om A ¨ar inverterbar (detA6= 0) s˚
a har den linj¨ara ekvationen AX=B
en entydig l¨osning X=A−1 B.
Det visar sig finnas tre n¨odv¨andiga egenskaper som en kompositionsregel ∗ p˚
a
en m¨angd M m˚
aste ha f¨or att en linj¨ar ekvation skall ha en entydig l¨osning i M .
Om dessa egenskaper ¨ar uppfyllda, s˚
a s¨ages M tillsammans med ∗ utg¨ora en grupp.
13.2
Definition av en grupp
ˆ = (G, ∗) a¨r en m¨angd G tillsammans med en komposiDefinition. En grupp G
tionsregel ∗ p˚
a m¨angden G
ˆ
ˆ ¨ar tv˚
ˆ element, d˚
ˆ dvs (a, b) → a ∗ b ¨ar
(i) om a ∈ G och b ∈ G
a G’s
a a ∗ b ∈ G,
en avbildning G × G → G.
(ii) ∗ ¨ar associativ: (a ∗ b) ∗ c =a ∗ (b ∗ c).
(iii) G inneh˚
aller ett neutralt element e med avseende p˚
a ∗ s˚
adant att a ∗ e =
e∗a=a
(iv) varje element i G har en invers i G med avseende p˚
a ∗.
Om ∗ dessutom ¨ar kommutativ s˚
a s¨ages (G, ∗) vara en abelsk grupp.
Exempel 13.1
Om Z, Q, R och C a¨r resp. m¨angder av heltal 0, ±1, ±2, . . . , rationella tal
p/q p, q ∈ Z, q √
6= 0, reella (rationella och irrationella) tal och komplexa tal a + bi,
a, b ∈ R, i = −1, d˚
a ser vi att (Z, +), (Q, +), (R, +) och (C, +) ¨ar abelska
grupper (med avseende p˚
a addition +). D¨aremot ¨ar inte (N, +) en grupp (d¨ar N
agon
¨ar en m¨angd av naturliga tal 0, 1, 2, . . . ), eftersom t. ex. talet 2∈ N inte har n˚
invers (-2∈
/ N ).
Att (Q, ·), (R, ·) och (C, ·) inte ¨ar grupper med avseende p˚
a multiplikation ·
beror p˚
a att 0 saknar invers med avseende p˚
a kompositionsregeln ·.
Exempel 13.2
147
Om Mm×n (R) ¨ar en m¨angd av alla m × n rektangul¨ara matriser A = akl med
rationella element akl , d˚
a ¨ar Mm×n (R, +) en abelsk grupp under (elementvis) matrisaddition +. Vi ser ocks˚
a att m¨angden Mn×n (R) = Mn (R) tillsammans med
matrismultiplikation inte utg¨or en grupp eftersom (singul¨ara) matriser med determinant lika med noll inte ¨ar inverterbara (de saknar invers). Om vi sorterar bort
alla s˚
adana erh˚
aller vi dock en grupp, den s˚
a kallade allm¨anna linj¨ara gruppen
GLn (R) = {A ∈ Mn (R) : det A 6= 0}.
(328)
Eftersom matrismultiplikation inte ¨ar kommutativ ¨ar GLn (R) inte en abelsk grupp.
13.3
Isomorfism
Definition. En avbildning f : A → B (fr˚
an A till B, d¨ar A ¨ar f s definitionsm¨angd
och B ¨ar f s m˚
alm¨angd) s¨ages vara
(i) injektiv, om f (a1 ) = f (a2 ) medf¨or att a1 = a2 f¨or alla a1 och a2 i A.
(ii) surjektiv, om f s m˚
alm¨angd sammanfaller med B: Im f = B.
En avbildning f : A → B s¨ages vara bijektiv, om f ¨ar b˚
ade injektiv och surjektiv.
Sats. En avbildning f : A → B ¨ar bijektiv, om och endast om den ¨ar inverterbar.
Exempel 13.3
Funktionen f (x) = 3x + 5 ¨ar en inverterbar avbildning fr˚
an R till R (d¨ar R ¨ar
m¨angden av reella tal), och dess invers ges av g(y) = (y − 5)/3. Vi har n¨amligen
att
µ
¶
y−5
y−5
(f ∗ g)(y) = f [g(y)] = f
=3·
+5=y
3
3
och
(g ∗ f )(x) = g[f (x)] = g(3x + 5) =
(3x + 5) − 5
= x.
3
Definition. L˚
at G och H vara tv˚
a grupper. En bijektiv avbildning φ : G → H
s¨ages vara enisomorfism, om den upfyller
φ(ab) = φ(a)φ(b)
(329)
f¨or alla a, b ∈ G. Om det finns en isomorfism fr˚
an G till H, s˚
a s¨ages G och H vara
isomorfa, vilket betecknas G ∼ H.
Med hj¨alp av induktion kan man enkelt visa att
φ(a1 a2 . . . an ) = φ(a1 )φ(a2 ) . . . φ(an )
148
(330)
g¨aller f¨or alla a1 a2 . . . an
Exempel 13.4
Avbildningen φ : Z→2Z definierad som φ(a) = 2a f¨or alla heltal a ¨ar en isomorfism (med avseende p˚
a addition), eftersom den ¨ar bijektiv,
φ(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = φ(a) + φ(b)
(331)
D¨armed ¨ar grupperna Z och 2Z isomorfa.
Exempel 13.5
Betrakta avbildningen
φ : GLn (R) → R∗
definierad φ(A) = det A ∀A ∈ GLn (R)
(332)
Av r¨aknelagarna f¨or determinanter f¨oljer att
φ(AB) = det AB = det Adet B = φ(A)φ(B)
(333)
s˚
a (329) ¨ar uppfylt. Men φ ¨ar inte en isomorfism eftersom den inte ¨ar bijektiv.
Tv˚
a olika matriser kan n¨amligen ha samma determinant. Till exempel har 2 × 2
matriser
·
¸
·
¸
1 0
2 0
och
1 4
1 2
b˚
ada determinanten 4.
Sats. F¨or gruppisomorfismer g¨aller f¨oljande p˚
ast˚
aenden:
(i) identitetsavbildningen ² : G → G ¨ar en isomorfism;
(ii) om avbildningen φ : G → H ¨ar en isomorfism, s˚
a ¨ar dess invers φ−1 : H → G
ocks˚
a en isomorfism.
13.4
Generatorer och cykliska grupper
Antag att G ¨ar en grupp och att a ¨ar ett element i denna. En undergrupp H i G
som inneh˚
aler a m˚
aste inneh˚
alla ocks˚
a varje potens ak av a, d¨ar k ≥ 1.
Man kan visa att
H = {ak , k ∈ Z}
(334)
a¨r en undergrupp i G. H kallas cykliska undergruppen genererad av a och betecknas
< a >.
149
Exempel 13.6
Den undergrupp i Z som genereras av talet 5 ges av
5Z =< 5 >= {k · 5, k ∈ Z} = {5k, k ∈ Z}
(335)
Detta ¨ar precis m¨angden av alla heltalsmutipler av 5.
Sats. Varje o¨andlig cyklisk grupp ¨ar isomorf med Z.
L˚
at G =< a > vara en o¨andlig cyklisk grupp. Vi p˚
ast˚
ar att avbildningen
φ(n) = an
f¨or alla n ∈ Z
(336)
an Z till G.
¨ar en isomorfism fr˚
13.5
Kontinuerliga grupper. Gruppgenerering
13.5.1
Rotation av koordinater
Rotation av koordinater (med vinkeln φ) enligt
x0 = x cos φ + y sin φ,
y 0 = −x sin φ + y cos φ,
definierar en m¨ang av rotationsmatriser
·
¸
cos φ sin φ
R(φ) =
− sin φ cos φ
(337)
(338)
Superposition av tv˚
a rotationer med vinklarna φ1 och φ2 ges som produkten av
motsvarande rotationsmatriser
·
¸·
¸
cos φ1 sin φ1
cos φ2 sin φ2
R(φ1 )R(φ2 ) =
=
(339)
− sin φ1 cos φ1
− sin φ2 cos φ2
·
¸
cos(φ1 + φ2 ) sin(φ1 + φ2 )
=
− sin(φ1 + φ2 ) cos(φ1 + φ2 )
¨ar en ny rotationsmatris.
M¨angden av s˚
adana rotationsmatriser tillsammans med en kompositionsregel
ˆ = SO(2). Kolla
som ¨ar kommutativ matrismultiplikation bildar en abelsk grupp G
definitionen:
(i) om A och B a¨r tv˚
a element av m¨angden av rotationsmatriser, d˚
a A B ∈ SO(2)
enligt (339).
150
(ii) matrismultiplikationen ¨ar associativ: (A∗B)∗ C = A∗(B∗ C).
(iii) ett neutralt element E med avseende p˚
a matrismultiplikationen (s˚
adant att
A∗E = A∗E = E∗A = A) ¨ar enhetsrotationsmatrisen
·
¸
1 0
E = R(0) =
(340)
0 1
med φ = 0.
(iv) varje element har en invers med avseende p˚
a matrismultiplikationen, som ¨ar
rotationsmatrisen
·
¸
cos φ − sin φ
−1
R = R(−φ) =
(341)
sin φ cos φ
eftersom, enligt (339),
·
R(φ)R(−φ) = R(−φ)R(φ) =
13.6
cos(φ − φ) sin(φ − φ)
− sin(φ − φ) cos(φ − φ)
¸
= E.
Generatorer av kontinuerliga grupper
En rotationsmatris kan skrivas
·
¸
cos φ sin φ
R(φ) =
= 12 cos φ + iσ2 sin φ = exp (iσ2 φ)
− sin φ cos φ
d¨ar Paulis matriser
·
¸
0 1
σ1 =
,
1 0
·
σ2 =
0 −i
i 0
¸
·
,
σ1 =
1 0
0 −1
(342)
¸
.
D˚
a ¨ar matrismultiplikationen av rotationsmatriser ekvivalent med addition av deras argument,
R(φ2 )R(φ1 ) = exp (iσ2 φ2 )exp (iσ2 φ1 ) = exp (iσ2 (φ1 + φ2 )) =
= R(φ1 + φ2 )
(343)
Vi s¨oker efter exponentmatriser S s˚
adana att
R = exp (i²S),
²→0
(344)
n¨ar gruppelement R ¨ar i omgivningen av enhetselementet E. Infinitesimala transformationer S kallas generatorer av en kontinuerlig grupp.
151
14
Serier
14.1
L˚
at
Grundbegrepp
∞
X
an vara en serie. Partialsumman SN och resttermen RN definieras
n=1
SN =
N
X
an ,
∞
X
RN =
n=1
an .
(345)
n=N +1
Om talf¨oljden {SN } har ett gr¨ansv¨arde S, s˚
a s¨ages den serien
konvergent (konvergera) och ha summan S =
∞
X
∞
X
an vara
n=1
an .
n=1
Resttermuppskattning inneb¨ar att vi uppskattar trunkeringfelet, dvs f¨ors¨oker
finna ett tal R s˚
adan att |RN | ≤ R (en ¨ovre grans f¨or RN ).
∞
X
an ¨ar
N¨
odv¨
andigt villkor f¨or konvergens av en serie
n=1
lim an = 0.
(346)
n→∞
Absolutkonvergent serie. En serie
serien
∞
X
∞
X
an kallas absolutkonvergent om den
n=1
|an | ¨ar konvergent.
n=1
Absolutkonvergens medf¨
or konvergens. Om serien
s˚
a konvergerar ocks˚
a den serien
∞
X
∞
X
|an | konvergerar,
n=1
an .
n=1
14.2
Serier med ickenegativa termer
Vi ska betrakta serier med ickenegativa termer
∞
X
an ,
an ≥ 0.
n=1
152
(347)
P∞
F¨or en serie med ickenegativa termer
n=1
an g¨aller
Serien ¨ar konvergent →
Partialsummorna ¨ar upp˚
at begr¨ansade
Partialsummorna ¨ar upp˚
at begr¨ansade → Serien ¨ar konvergent.
(348)
(349)
J¨
amf¨
orelsekriteriet. Antag att 0 ≤ an ≤ bn f¨or alla n. D˚
a g¨aller
∞
X
bn
konvergent
∞
X
→
n=1
∞
X
an
konvergent,
(350)
bn
divergent.
(351)
n=1
an
divergent
∞
X
→
n=1
n=1
Integralkriteriet. Antag att funktionen f (x) ¨ar kontinuerlig, positiv och avtagande f¨or x ≥ 1. D˚
a g¨aller
Z
∞
f (x)dx konvergent
→
1
∞
X
f (n) konvergent,
(352)
f (n) divergent.
(353)
n=1
Z
∞
f (x)dx divergent
→
1
∞
X
n=1
Man kan visa att resttermen kan uppskattas
Z
∞
X
RN = S − SN =
∞
f (n) ≤
f (x)dx.
(354)
¨ar absolutkonvergent.
(355)
¨ar divergent.
(356)
N
n=N +1
Rotkriteriet. Om gr¨ansv¨ardet
lim |an |1/n = k
n→∞
existerar, s˚
a g¨aller
k<1
→
∞
X
an
n=1
k>1
→
∞
X
an
n=1
153
Kvotkriteriet. Om gr¨ansv¨ardet
¯
¯
¯ an+1 ¯
¯=k
lim ¯
n→∞ ¯ an ¯
existerar, s˚
a g¨aller
k<1
∞
X
→
an
¨ar absolutkonvergent.
(357)
an
(358)
n=1
k>1
→
∞
X
¨ar divergent.
n=1
Exempel 14.1
Betrakta en alternerande serie
S=
∞
X
(−1)n+1
n=1
n2
=1−
1 1
1
+ −
+ ....
4 9 16
(359)
Man kan visa att i det fallet |RN | ≤ |aN +1 |. Vi har |aN +1 | = 1/(N + 1)2 och
|RN | ≤
1
.
(N + 1)2
(360)
Best¨am hur m˚
anga termer m˚
aste man ta med f¨or att ber¨akna S med 3 KD: |RN | ≤
0.5 · 10−3 , vilket ger en olikhet
1
≤ 0.5 · 10−3 .
2
(N + 1)
(361)
Dess l¨osning a¨r
N≥
√
2 · 10−3 − 1 =
√
2000 − 1
(362)
och man kan ta N = 44 eftersom 442 = 1936 < 2000 < 452 = 2025.
Exempel 14.2
Betrakta en serie med positiva termer
∞
X
1
1
1
S=
=1+
+
+ ....
4
n
16 81
n=1
154
(363)
Man kan skriva om (363)
S=
∞
X
f (n),
f (x) =
n=1
1
x4
(x ≥ 1)
(364)
och visa att resttermen kan uppskattas
RN = S − SN =
Z
∞
X
Z
∞
RN ≤
N
Z
f (x)dx.
(365)
N
n=N +1
H¨ar
∞
f (n) ≤
Z r
dx
lim
= lim
x−4 dx =
r→∞ N x4
r→∞ N
¯r
µ
¶
1
x−3 ¯¯
1
1
= − lim
= lim
−
=
r→∞ (−3) ¯
3 r→∞ r3 N 3
dx
=
x4
r
N
1
=
.
3N 3
(366)
Best¨am hur m˚
anga termer m˚
aste man ta med f¨or att ber¨akna S med 3 KD: |RN | ≤
0.5 · 10−3 , vilket ger en olikhet
1
≤ 0.5 · 10−3 .
3
3N
(367)
Dess l¨osning ¨ar
µ
N≥
2 · 10−3
3
¶1/3
µ
=
2000
3
¶1/3
≈ 8.7
(368)
och man kan ta N = 9 eftersom 8 < N < 9.
Exempel 14.3
Betrakta en serie med positiva och negativa termer
S=
∞
X
n=1
2
an ,
e−bn
an =
sin(cn),
n
(369)
H¨ar ¨ar b > 0 och c givna tal (parametrar). Best¨am hur m˚
anga termer m˚
aste man
ta med f¨or att ber¨akna S med noggranhet ²; dvs, best¨am N s˚
adan att
|RN | < ²,
R N = S − SN =
∞
X
n=N +1
155
an .
(370)
J¨amf¨or (369) med en k¨and serie som har positiva termer, dvs skriv en olikhet
¯
¯
¯ e−bn2
¯ e−bn2
2
¯
¯
|an | = ¯
sin(cn)¯ =
|sin(cn)| ≤ An = e−bn · n (n > 1)
(371)
¯ n
¯
n
och anv¨and (365) f¨or en serie
S=
∞
X
An .
n=1
Vi har
RN =
Z
∞
X
Z
∞
An ≤
e
−bx2
−bx2
xdx = lim
r→∞
N +1
n=N +1
r
e
N +1
1
xdx = lim
2 r→∞
Z
r
2
e−bx dx2 =
N +1
Z r2
Z r2
1
1
−bu
=
lim
e du = − lim
de−bu =
r→∞
r→∞
2
2b
(N +1)2
(N +1)2
¯
2
1
1
2
r
= − lim e−bu ¯(N +1)2 = e−b(N +1) .
2b r→∞
2b
(372)
Nu l¨os olikheten
2
RN < ² :
e−b(N +1)
<²
2b
och best¨am gr¨ansen f¨or N :
r
N>
1
1
ln
− 1.
b 2b²
Om t ex b = 1 och ² = 10−4 , f˚
ar vi
r
10000
N > ln
− 1 = 2.9184 . . . .
2
(373)
(374)
D˚
a ¨ar det tillr¨ackligt att ta med tre termer f¨or att ber¨akna S i (369) (om b = 1
och c a¨r ett godtyckligt tal) med noggranheten ² = 10−4 .
Kolla resultatet (ta c = 1 och r¨akna med fyra KD):
S≈
2
2
X
e−n
n=1
n
sin n = e−1 sin 1 +
e−4
sin 2 = 0.7011
2
och
S≈
2
3
X
e−n
n=1
n
sin n = e−1 sin 1 +
e−4
e−9
sin 2 +
sin 3 = 0.7011,
2
3
156
eftersom
e−9
sin 3 < 0.5 · 10−4 .
3
Om b = 2 och ² = 10−4 , f˚
ar vi
r
1 10000
N>
ln
− 1 = 1.9778 . . . .
2
4
(375)
D˚
a a¨r det tillr¨ackligt att ta med tv˚
a termer.
14.3
∞
X
Funktionsserier
uk (x) kallas en funktionsserie; h¨ar ¨ar termen uk = uk (x) en funktion av vari-
k=1
abeln x. Partialsumman Sn = Sn (x) och resttermen Rn = Rn (x) definieras
Sn (x) =
n
X
uk (x),
Rn (x) =
k=1
∞
X
uk (x).
(376)
k=n+1
Om till varje x ∈ [a, b] har funktionsf¨oljden {Sn (x)} ett gr¨ansv¨arde S = S(x),
∞
X
uk (x) vara konvergent (konvergera) och ha sums˚
a s¨ages den funktionsserien
man S(x) =
∞
X
k=1
uk (x).
k=1
14.4
Likformig konvergens
Definition. Om till varje tal ² > 0 finns det ett heltal N oberoende av x ∈ [a, b]
s˚
adant att
|Sn (x) − S(x)| < ² f¨or alla n ≥ N
och a ≤ x ≤ b,
(377)
kallas funktionsserien likformigt konvergent i intervallet [a, b].
Weierstrass’ j¨
amfo
¨relsekriteriet (M-kriteriet). Antag att |un (x)| ≤ an
f¨or alla x ∈ [a, b]. D˚
a g¨aller
∞
X
n=1
an
konvergent
→
∞
X
un (x) likformigt konvergent, x ∈ [a, b]. (378)
n=1
157
14.5
Potensserier
En funktionsserie av den speciella typen
∞
X
an (x − x0 )n
(379)
n=0
kallas en potensserie. Den geometriska serien
∞
X
axk ¨ar en potensserie med ak = a
k=1
och x0 = 0.
F¨or varje potensserie
∞
X
an (x − x0 )n g¨aller: det finns ett icke-negativt tal R
n=1
s˚
adant att potensserien absolutkonvergent f¨or alla x med |x−x0 | < R och divergent
∞
X
f¨or alla x med |x − x0 | > R. H¨ar R = 0 om
an (x − x0 )n konvergerar endats f¨or
x = x0 och R = ∞ om
∞
X
n=1
an (x − x0 )n konvergerar f¨or alla reella x.
n=1
Talet R ≥ 0 kallas konvergensradie och intervallet |x − x0 | < R kallas kon∞
X
vergensintervall till potensserie
an (x − x0 )n (som konvergerar inom intervallet
|x − x0 | < R).
F¨or konvergensradien g¨aller
n=1
1
=
R
1
=
R
lim |an |1/n ,
¯
¯
¯ an+1 ¯
¯
¯,
lim
n→∞ ¯ an ¯
(380)
n→∞
(381)
Exempel 14.4 Geometriska serien.
Varje polynom av formen
xn − 1
har uppenbart nollst¨allet 1 och ¨ar d¨armed enligt faktorsatsen j¨amnt delbart med
x − 1:
xn − 1 = (x − 1)(xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1).
(382)
D˚
a kan man ber¨akna en geometrisk summa med kvoten x
2
n−1
a + ax + ax + · · · + ax
=
n−1
X
k=0
158
axk = a
1 − xn
1−x
(383)
och visa att geometriska serien
∞
X
axk
k=0
¨ar konvergent om |x| < 1 (divergent om |x| ≥ 1) och
∞
X
axk = a
k=0
1
= a(1 − x)−1 ,
1−x
|x| < 1.
T ex, om x = 3/4 och a = 1, den geometriska serien
∞ µ ¶k
X
3
1
=
= 4.
4
1 − (3/4)
k=0
Den geometriska serien
∞
X
(384)
(385)
axn ¨ar en potensserie med an = a (a 6= 0) som har
n=1
konvergensintervallet |x| < 1 och konvergensradien R = 1, eftersom
1
a
= lim = 1.
n→∞
R
a
Exempel 14.5
Betrakta en geometrisk serie
∞
X
xn i intervallet |x| ≤ q, d¨ar 0 < q < 1 Vi har
n=0
|un (x)| = |x|n ≤ an = q n
f¨or alla x ∈ [0, q]. D˚
a g¨aller, enligt M-kriteriet,
∞
X
q
n
konvergent
→
n=1
∞
X
un (x) likformigt konvergent
(386)
n=1
i intervallet |x| ≤ q.
Exempel 14.6
Visa att den geometriska serien
xk inte ¨ar likformigt konvergent i intervallet
k=0
(−1, 1). Partialsumman
Sn = Sn (x) =
∞
X
n
X
k=0
xk =
1
1
1 − xn+1
=
− xn+1
.
1−x
1−x
1−x
159
(387)
Till varje x ∈ (−1, 1) har funktionsf¨oljden {Sn (x)} ett gr¨ansv¨arde
µ
¶
1
1
1
n+1
S = S(x) =
= lim
−x
,
1 − x n→∞ 1 − x
1−x
och resttermens absolutbelopp
|Sn (x) − S(x)| = |x|n+1
1
.
1−x
(388)
Vi ser att till varje tal ² > 0 finns det ett v¨arde x ∈ (−1, 1) i omgivningen av x = 1
s˚
adant att |x|n+1 ≈ 1, δ = 1 − x ¨ar infinitesimalt och
|Sn (x) − S(x)| = |x|n+1
1
1
> ² om δ < .
δ
²
(389)
Exempel 14.7
∞
X
1
a¨r likformigt konvergent i intervallet [s, ∞) :
Visa att Dirichlets serie
nx
n=1
s ≤ x < ∞, d¨ar s > 1. Vi har
s ≤ x → nx ≥ ns
1
1
→
≤ s.
x
n
n
(n = 1, 2, . . . ) →
∞
X
1
1
¨ar konvergent enligt integralkriteriet: funktionen f (x) = s ¨ar kons
n
x
n=1
R∞
tinuerlig, positiv och avtagande f¨or x > 1 och den generaliserade integralen 1 dx
xs
a¨r konvergent, eftersom
Z ∞
Z r
dx
= lim
x−s dx =
s
r→∞
x
1
1
¯r
µ
¶
1
x1−s ¯¯
1
lim 1 − s−1 =
= lim
=
r→∞ 1 − s ¯
s − 1 r→∞
r
1
1
=
(s > 1).
s−1
Serien
Vidare, enligt M-kriteriet,
∞
X
1
ns
n=1
konvergent
→
∞
X
1
nx
n=1
likformigt konvergent, x ∈ [s, ∞).
160
Exempel 14.8
∞
X
1
¨ar likformigt konvergent i intervallet [s, ∞) : s ≤
n
1
+
x
n=0
x < ∞, d¨ar s > 1. Vi har
Visa att serien
1
= 1 6= 0 om 0 ≤ x < 1,
n→∞ 1 + xn
1
1
=
6 0 om x = 1,
=
lim
n→∞ 1 + xn
2
lim
s˚
a att serien divergerar om 0 ≤ x ≤ 1, eftersom det n¨odv¨andiga villkoret f¨or
∞
X
konvergens av en serie
an ¨ar
n=1
lim an = 0.
n→∞
Vidare, anv¨and olikheterna och sedan M-kriteriet
xn ≥ sn → 1 + xn ≥ 1 + sn
1
1
→
≤
→
n
1+x
1 + sn
1
1
1
→
≤ n = q n , q = < 1.
n
1+s
s
s
x ≥ s
Serien
∞
X
→
n
q , q < 1, ¨ar konvergent. D˚
a ¨ar serien
n=0
i intervallet x ∈ [s, ∞) enligt M-kriteriet.
∞
X
n=0
(n = 1, 2, . . . , s > 1) →
1
likformigt konvergent
1 + xn
Exempel 14.9
Visa att serien
∞
X
an cos nx ¨ar likformigt konvergent i intervallet (−∞, ∞),
n=0
dvs, f¨or alla reella x, om serien
∞
X
an ¨ar absolutkonvergent.
n=0
Vi anv¨ander M-kriteriet. H¨ar
|un (x)| = |an || cos nx| ≤ |an | f¨or alla x.
D˚
a g¨aller
∞
X
n=1
|an | konvergent
→
∞
X
an cos nx likformigt konvergent f¨or alla x.
n=1
161
Exempel 14.10
De serierna
cos x =
∞
X
(−1)n
n=0
(2n)!
x2n ,
∞
X
(−1)n 2n+1
sin x =
x
(2n + 1)!
n=0
¨ar potensserier med
(−1)n
, a2n+1 = 0 (n = 0, 1, 2, . . . )
(2n)!
(−1)n
=
, a2n = 0 (n = 0, 1, 2, . . . ),
(2n + 1)!
a2n =
a2n+1
som har konvergensintervallet |x| < ∞ och konvergensradien R = ∞ (dvs konvergerar f¨or alla reella x), eftersom, t ex
1
=
R
14.6
1
= 0.
n→∞ ((2n)!)1/n
lim |a2n |1/n = lim
n→∞
Geometriska matrisserien
Man kan generalisera (384) och f˚
a geometriska matrisserien genom att anv¨anda
matrispotenser (7), matrisaddition, olikheten (9) och definition av konvergens i
matrisnormer. D˚
a f˚
ar man
∞
X
m
A = lim
k=1
m→∞
m
X
Am = (I − A)−1 ,
||A|| < 1,
(390)
k=1
d¨ar A ¨ar en kvadratisk matris av typ n × n.
14.7
Problem
Problem 14.1
Best¨am hur m˚
anga termer m˚
aste man ta med f¨or att ber¨akna S med tre och fyra
162
KD:
a) S =
b) S =
∞
X
(−1)n+1
n=1
∞
X
n=1
c) S =
n
1
;
n3
∞
X
sin n
n=1
15
;
n2
;
Grundbegrepp av komplex analys. Analytiska
funktioner
15.1
Komplexa tal
M¨angden av komplexa tal z = x + iy, d¨ar x och y ¨ar reella tal och i ¨ar imagin¨ara
enheten (i2 = −1), kan betraktas som m¨angden av reella talpar
z ≡ (x, y)
Observera att (x, y) 6= (y, x) (x + iy 6= y + ix). x = Re z och y = Im z kallas
resp. realdelen och imagin¨ardelen av komplexa talet z = x + iy. Realdelen och
imagin¨ardelen betecknas ocks˚
a x = <z och y = =z.
Addition av komplexa tal definieras komponentvis
z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i.
Multiplikation av komplexa tal definieras
z1 z2 = (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 ).
S¨arskild
i2 = i · i = (0, 1) · (0, 1) = (0 − 1 · 1, 0 + 0) = −1.
15.1.1
Konjugerade komplexa talet
Om vi har ett komplext talet z = x + iy, d˚
a kallas
z ∗ = x − iy
det konjugerade komplexa talet z ∗ kallas ocks˚
a z konjugerat eller konjugatet till
talet z = x + iy.
163
15.1.2
Geometrisk tolkning av komplexa tal. Absolutbeloppet
Det komplexa talet z = x + iy kan tolkas i planet, f¨orsett med ett ortonormerat
(cartesiskt) koordinatsystem, antingen som punkten (ett reellt talpar) (x, y) med
koordinaterna x, y eller som vektorn z med komponenterna x, y. I detta sammanhang kallas planet det komplexa talplanet (eller z-planet).
p
Absolutbeloppet av det komplexa talet z = x + iy definieras |z| = x2 + y 2 .
|z| kan tolkas som l¨angden av vektorn z. |z1 − z2 | kan d¨arf¨or tolkas som l¨angden
av vektorn z1 − z2 , dvs avst˚
andet mellan punkterna z1 och z2 . Uppenbarligen ¨ar
|z1 − z2 | = |z2 − z1 | och | − z| = |z|.
Observera att
zz ∗ = (x + iy)(x − iy) = x2 + y 2 = |z|2 .
Sats (dubbelsidiga triangelolikheten). F¨or tv˚
a godtyckliga komplexa tal z1
och z2 g¨aller
|z1 | − |z2 | ≤ ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 ± z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
(391)
Bevis. Olikheten |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | g¨aller, eftersom summan av tv˚
a sidors
l¨angder i en triangel alltid ¨ar st¨orre ¨an l¨angden av den tredje sidan.
Olikheten ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 − z2 | g¨aller enligt f¨oljande:
|z1 |
|z1 | − |z2 |
|z2 − z1 |
||z1 | − |z2 ||
=
≤
≥
≤
|(z1 − z2 ) + z2 | ≤ |z1 − z2 | + |z2 | →
|z1 − z2 | som kan skrivas
−(|z1 | − |z2 |) eller
|z1 − z2 |
(392)
Olikheten ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 + z2 | g¨aller enligt f¨oljande:
|z1 + z2 | = |z1 − (−z2 )| ≥ ||z1 | − | − z2 || = ||z1 | − |z2 ||.
Exempel 15.1
Tag komplexa talen z1 = x1 + iy1 = 1 + 2i och z2 = x2 + iy2 = 4 − 3i. Vi har
z1 − z2 = (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 ) = −3 + 5i,
q
q
√
√
2
2
|z1 | =
x1 + y1 = 5, |z2 | = x22 + y22 = 25 = 5,
q
√
√
|z1 − z2 | = x22 + y22 = 9 + 25 = 34,
√
|z1 | − |z2 | =
5 − 5 < 0.
164
Den dubbelsidiga triangelolikheten (391) ger allts˚
a
√
√
5 − 5 ≤ ||z1 | − |z2 || = | 5 − 5| ≤ |z1 − z2 | =
|z1 | − |z2 | =
√
√
=
34 ≤ |z1 | + |z2 | = 5 + 5.
(393)
eller med 2 decimaler
−2.76 < 2.76 < 5.10 < 5.83 < 7.24.
15.1.3
Pol¨
ar form av komplexa tal
Det komplexa talet z = x + iy som tolkas som vektorn z med komponenterna x, y
kan framst¨allas i pol¨ar form
z = x + iy = reiθ = r(cos θ + i sin θ)
(394)
d¨ar r = |z| och θ = arg z (argumentet f¨or z). Argumentet θ = θ0 + n · 2π, d¨ar n ¨ar
ett godtyckligt heltal, och man kan v¨alja n s˚
a att −π < θ ≤ π. θ0 = arctan y/x
kallas argumentets principalv¨arde.
Exempel 15.2
Skriv p˚
a pol¨ar form
z
z
z
z
=
=
=
=
1 = cos 0 + i sin 0 = cos 2π + i sin 2π = ei0 = e2iπ ,
π
i = cos π/2 + i sin π/2 = ei 2 ,
−1 = cos π + i sin π = eiπ ,
3π
−i = cos 3π/2 + i sin 3π/2 = ei 2 ,
Ã√
√ !
2
2
z = 2 − 2i = 2 2
−
i =
2
2
√
√ 7π
= 2 2(cos 7π/4 + i sin 7π/4) = 2 2ei 4 .
√
15.1.4
(395)
De Moivres formel
(cos θ + i sin θ)n = (cos nθ + i sin nθ)
(396)
Man kan skriva ocks˚
a
z n = (reiθ )n = rn (cos nθ + i sin nθ).
165
(397)
15.2
Komplexv¨
ard funktion av en komplex variabel
En komplexv¨ard funktion f = f (z) av den komplexa variabeln z s¨ages f¨oreligga om
mot varje komplext tal z i en given m¨angd Df svarar ett eller flera komplexa tal
w = f (z). Df kallas funktionens definitionsm¨angd.
En komplex funktion f = f (z) av den komplexa variabeln z kallas entydig om
mot varje z i Df svarar ett och endast ett w = f (z).
En komplex funktion f = f (z) av z kallas flertydig om mot varje z i Df svarar
flera w = f (z).
Exempel 15.3
f (z) = z 2 ¨ar en entydig funktion. Funktionens definitionsm¨angd ¨ar hela komplexa planet C: Df = C.
Exempel 15.4
Den logaritmiska funktionen definieras
ln z = ln(reiθ ) = ln r + iθ.
(398)
f (z) = ln z ¨ar en flertydig funktion eftersom
ln z = ln(reiθ ) = ln r + i(θ + 2πn),
n = 0, ±1, ±2, . . . ,
och den har o¨andligt m˚
anga v¨arden f¨or varje z 6= 0.
Exempel 15.5
Om t ¨ar en reell variabel (=t = 0), vi har, enligt (397),
eit − e−it
eit + e−it
, sin t =
.
2
2
och man kan definiera funktionerna sin z och cos z
eiz + e−iz
eiz − e−iz
cos z =
, sin z =
.
2
2i
och hyperboliska funktionerna sinh z och cosh z
cos t =
cosh z =
ez + e−z
,
2
sinh z =
ez − e−z
.
2
(399)
(400)
(401)
Vi har ocks˚
a
e−t + et
= cosh t,
2
e−t − et
e−t − et
sin it =
= −i
= i sinh t.
2i
2
cos it =
166
(402)
15.2.1
Real- och imagin¨
ardel till en komplex funktion
Betrakta en komplex funktion w = f (z) av den komplexa variabeln z, d¨ar z = x+iy
och w = u + iv. D˚
a ¨ar
u + iv = f (x + iy).
(403)
H¨arav f˚
as
<f (x + iy) = u = u(x, y),
=f (x + iy) = v = v(x, y)
(404)
d¨ar u(x, y) och v(x, y) a¨r reellv¨arda funktioner av tv˚
a rella variabler x och y. (403)
kan allts˚
a skrivas
f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y).
(405)
Funktionerna u(x, y) och v(x, y) kallasreal- resp. imagin¨ardelen till den komplexa
funktionen f (z).
Exempel 15.6
f (z) = z 2 = (x + iy)2 = (x2 − y 2 ) + i(2xy) = u(x, y) + iv(x, y),
<f = u(x, y) = x2 − y 2 , =f = v(x, y) = 2xy.
(406)
Exempel 15.7
Anv¨and (402) och best¨am
sin z = sin(x + iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y
cos z = cos(x + iy) = cos x cosh y − i sin x sinh y,
(407)
s˚
a att
< sin z = sin x cosh y,
< cos z = cos x cosh y,
= sin z = cos x sinh y.
= cos z = − sin x sinh y.
15.3
Analytiska funktioner. Cauchy–Riemanns ekvationer
15.3.1
Gr¨
ansv¨
arden
Definition. Antag att f (z) en entydig komplex funktion av den komplexa variabeln z och z0 ¨ar en punkt som tillh¨or antingen definitionsm¨angden Df eller dess
randkurva. Om till varje tal ² > 0 finns det ett tal δ > 0 s˚
adant att
|f (z) − w0 | < ² om 0 < |z − z0 | < δ,
167
z ∈ Df ,
(408)
kallas w0 funktionens gr¨ansv¨arde d˚
a z → z0 och betecknas
lim f (z) = w0 .
z→z0
(409)
OBS! Denna definition kr¨aver ingenting f¨or z = z0 .
Definitionen inneb¨ar att oberoende av hur z → z0 (z g˚
ar mot z0 ) s˚
a skall
f (z) → w0 .
15.3.2
Derivata
Definition. Antag att f (z) en entydig komplex funktion av den komplexa variabeln z p˚
a ett ¨oppet omr˚
ade Ω och att z ∈ Ω. D˚
a definieras derivatan f 0 (z) i
punkten z som gr¨ansv¨ardet
f (z + ∆z) − f (z)
f 0 (z) = lim
.
(410)
∆z→0
∆z
OBS! Enligt gr¨ansv¨ardetsdefinitionen skall gr¨ansv¨ardet (410) vara oberoende
av hur ∆z → 0 genom komplexa v¨arden. Detta a¨r mycket str¨angare krav a¨n det
som g¨aller vid definitionen av derivata till en funktion av en reell variabel.
Exempel 15.8
Best¨am derivatan f 0 (z) till funktionen f (z) = z 2 :
(z + ∆z)2 − z 2
=
∆z→0
∆z
z 2 + 2z∆z + ∆z 2 − z 2
= lim (2z + ∆z) = 2z.
= lim
∆z→0
∆z→0
∆z
f 0 (z) =
lim
(411)
Exempel 15.9
Best¨am derivatan f 0 (z) till konjugatet till talet z = x + iy, f (z) = z ∗ = x − iy:
(z + ∆z)∗ − z ∗
=
∆z→0
∆z
(∆z)∗
z ∗ + (∆z)∗ − z ∗
= lim
=
= lim
∆z→0 ∆z
∆z→0
∆z
(∆x∗
(∆x
(1) = lim
= lim
= 1 (∆z = ∆x),
∆x→0 ∆x
∆x→0 ∆x
(i(∆y)∗
(−i∆y
(2) = lim
= lim
= −1 (∆z = i∆y),
∆z→0
∆z→0
i∆y
i∆y
och derivatan till f (z) = z ∗ existerar inte.
f 0 (z) =
lim
168
(412)
15.3.3
Cauchy–Riemanns ekvationer
Antag att f (z) = u(x, y) + iv(x, y) ¨ar definierad och entydig p˚
a en cirkelskiva
0
|z − z0 | < δ kring en punkt z0 = x0 + iy0 och f (z0 ) existerar. D˚
a g¨aller Cauchy–
Riemanns ekvationer
u0x (x0 , y0 ) = vy0 (x0 , y0 ), u0y (x0 , y0 ) = −vx0 (x0 , y0 ),
f 0 (z0 ) = u0x (x0 , y0 ) + ivx0 (x0 , y0 ) = vy0 (x0 , y0 ) − iu0y (x0 , y0 ).
(413)
(414)
Exempel 15.10
Betrakta f (z) = z 2 och kolla Cauchy–Riemanns ekvationer:
f (z) = z 2 = (x + iy)2 = (x2 − y 2 ) + i(2xy) = u(x, y) + iv(x, y),
u0x = vy0 = 2x, u0y = −vx0 = −2y.
15.3.4
(415)
Analytiska funktioner
Funktionen f (z) kallas analytisk i punkten z0 om f 0 (z) existerar p˚
a n˚
agon cirkelskiva |z − z0 | < δ.
Funktionen f (z) kallas analytisk p˚
a omr˚
adet Ω om f (z) ¨ar analytisk i alla
punkter i Ω.
Exempel 15.11
Funktionen f (z) = z 2 ¨ar analytisk i varje punkt z ∈ C och d¨armed analytisk
p˚
a omr˚
adet C. Funktionen f (z) = z ∗ ¨ar d¨aremot inte analytisk i n˚
agon punkt.
Vi ser att om en funktion f (z) a¨r analytisk i punkten z0 , d˚
a g¨aller Cauchy–
Riemanns ekvationer. F¨or att f˚
a en omv¨andning m˚
aste vi l¨agga till en f¨oruts¨attning
enligt f¨oljande.
Antag att
(1) f (z) = u(x, y)+iv(x, y) ¨ar definierad och entydig p˚
a en cirkelskiva |z−z0 | < δ
kring punkten z0 = x0 + iy0 ,
(2) u0x (x, y), u0y (x, y), vx0 (x, y) och vy0 (x, y) existerar p˚
a cirkelskivan |z − z0 | < δ
och kontinuerliga i punkten z0 ,
(3) Cauchy–Riemanns ekvationer ¨ar uppfylda i punkten (x0 , y0 ).
D˚
a existerar derivatan
f 0 (z0 ) = u0x (x0 , y0 ) + ivx0 (x0 , y0 ) = vy0 (x0 , y0 ) − iu0y (x0 , y0 ).
Exempel 15.12
169
(416)
Betrakta en analytisk funktion f (z) = u(x, y) + iv(x, y). P˚
aminn att vektorfunktionen
∂f
∂f
i+
j=
∂x
∂y
∂f ∂f
= [ ,
]
∂x ∂y
grad f (x, y) = ∇f =
kallas gradienten av en (deriverbar skal¨ar) funktion f (x, y). Vi har
∂u
,
∂x
∂v
grad v(x, y) = [ ,
∂x
grad u(x, y) = [
∂u
],
∂y
∂v
].
∂y
I ortogonala koordinatsystem (i planet) q1 , q2 , (99),
q1 = q1 (x, y),
q2 = q2 (x, y),
g¨aller villkoret (92)
g12 = g21 = 0,
d¨ar
g12 = g21 =
∂q1 ∂q1 ∂q2 ∂q2
+
∂x ∂y
∂x ∂y
(se (91)). Man kan betrakta realdelen och imagin¨ardelen till den analytiska funktionen f (z) = u(x, y) + iv(x, y) som ett koordinatsystem u, v (i planet)
u = u(x, y),
v = v(x, y),
D˚
a f˚
ar man enligt Cauchy–Riemanns ekvationer (413)
∂u ∂u ∂v ∂v
∂v ∂v ∂v ∂v
+
=−
+
= 0.
∂x ∂y ∂x ∂y
∂y ∂x ∂x ∂y
Detta inneb¨ar att u, v a¨r ett ortogonalt koordinatsystem, dvs u(x, y) = c1 och
v(x, y) = c2 ¨ar ortogonala kurvor (se Ex. 6.2.1).
P˚
aminn att om grad f 6= 0 s˚
a ¨ar grad f en normalvektor till niv˚
akurvan
f (x, y) = c. D˚
a ¨ar grad u ortogonal mot kurvan u(x, y) = c1 och grad v ortogonal mot kurvan v(x, y) = c2 och grad u och grad v ¨ar ortogonala.
170
15.4
Cauchys integralformel
15.4.1
Komplexa kurvintegraler
Antag att C ¨ar en kontur z = z(t), a ≤ t ≤ b, fr˚
an punkten z1 = z(a) till punkten
z2 = z(b), och f (z) a¨r en komplexv¨ard kontinuerlig (eller styckevis kontinuerlig)
funktion definierad p˚
a C (dvs f (z(t)) ¨ar kontinuerlig eller styckevis kontinuerlig
funktion av t p˚
a [a, b]). D˚
a definieras konturintegralen
Z
Z
b
f (z)dz =
C
f (z(t))z 0 (t)dt.
(417)
a
En komplex kurvintegral av f (z) = u + iv kan definieras som kurvintegralen
av vektorfunktionen F(r) = [u, v]
Z
Z
Z
Z
Z
f (z)dz =
F(r)·dr = (u+iv)(dx+idy) = (udx−vdy)+i (vdx+udy).
C
C
C
C
C
Exempel 15.13
R
Ber¨akna C z 2 dz d˚
a C ¨ar linjesegmentet fr˚
an 0 till 2 + i:
C = {z : z = (2 + i)t, 0 ≤ t ≤ 1}.
Vi har z 0 = ((2 + i)t)0 = 2 + i och
Z
Z 1
Z 1
2
2 2
3
z dz =
(2 + i) t (2 + i)dt = (2 + i)
t2 dt =
C
0
0
¯
3 ¯t=1
t
2
11
1
= (2 + i)3 ¯¯ = (2 + i)3 = + i.
3 t=0 3
3
3
Exempel 15.14
R
Ber¨akna C z1 dz d˚
a C ¨ar enhetscirkeln (ett varv i positiv led)
C = {z : z = eit , 0 ≤ t ≤ 2π}.
Vi har z 0 = ieit och
Z
Z 2π it
Z 2π
1
ie
dz =
dt = i
dt = 2πi.
eit
C z
0
0
Exempel 15.15
R n
1
Ber¨akna 2πi
z dz d˚
a C ¨ar cirkeln (ett varv i positiv led)
C
171
(418)
C = {z : z = reit , 0 ≤ t ≤ 2π}.
Vi har z 0 = ireit och
Z
Z 2π
1
1
n
z dz =
rn eint ireit dt =
2πi C
2πi 0
Z
¯t=2π
rn+1
1
rn+1 2π i(n+1)t
e
dt =
ei(n+1)t ¯t=0 =
=
2π 0
2π i(n + 1)
n+1
r
=
[cos(n + 1)t + i sin(n + 1)t]|t=2π
t=0 = 0
2i(n + 1)π
om n 6= −1. Om n = −1,
Z
Z
1
1
1
1
n
z dz =
dz = 2πi
= 1.
2πi C
2πi C z
2πi
(419)
(420)
Uppskattning av absolutbeloppet av en komplex integral. Antag att C
a C och |f (z)| ≤ M
¨ar en given kontur med l¨angden L(C), f (z) ¨ar kontinuerlig p˚
p˚
a C. D˚
a ¨ar
¯Z
¯
¯
¯
¯ f (z)dz ¯ ≤ M L(C).
(421)
¯
¯
C
15.4.2
Cauchys integralsats
Om f (z) a¨r analytisk inom och p˚
a en enkel, sluten kontur C, s˚
a a¨r
Z
f (z)dz = 0.
(422)
C
15.4.3
Cauchys integralformel
Om f (z) ¨ar analytisk inom och p˚
a en enkel, sluten kontur C och z0 ¨ar en godtycklig
punkt inom C, d˚
a ¨ar
Z
f (z)
1
dz.
(423)
f (z0 ) =
2πi C z − z0
Exempel 15.16
R
Ber¨akna C (9−z2z)(z+i) dz d˚
a C ¨ar cirkeln (ett varv i positiv led)
it
C = {z : |z| = 2, : z = 2e , 0 ≤ t ≤ 2π}.
172
S¨att
f (z) =
z
.
9 − z2
f (z) ¨ar analytisk inom och p˚
a C. Vi har
Z
Z
z
f (z)
−i
π
dz =
dz = 2πif (−i) = 2πi
= .
2
2
9−i
5
C (9 − z )(z + i)
C z+i
15.4.4
(424)
Cauchys generella integralformel
Om f (z) a¨r analytisk inom och p˚
a en enkel, sluten kontur C och z0 a¨r en godtycklig
punkt inom C, d˚
a existerar derivatan f (n) (z) f¨or alla n ≥ 1 och
Z
n!
f (z)
(n)
f (z0 ) =
dz.
(425)
2πi C (z − z0 )n+1
Cauchys uppskattning av f (n) (z). Om f (z) ¨ar analytisk inom och p˚
a cirkelskivan Dr = {z : |z − z0 | < r} och |f (z)| ≤ Mr p˚
a cirkeln Cr = {z : |z − z0 | = r}.
D˚
a ¨ar
|f (n) (z)| ≤
Mr n!
,
rn
n = 0, 1, 2, . . . .
(426)
Man kan uppskatta derivatorna |f 0 (z)| (n = 1) och |f 00 (z)| (n = 2):
|f 0 (z)| ≤
Mr
,
r
|f 00 (z)| ≤
2Mr
.
r2
(427)
Exempel 15.17
L˚
at f (z) = e2z och l˚
at C vara en cirkel C = {z : |z| = r, r > 1}. Ber¨akna
Z
e2z
dz.
4
C (z + 1)
Vi har
f (3) (z0 ) = (e2z )(3) = 8e2z ,
¯
Z
Z
¯
3
3!
f (z) ¯¯
e2z
2z0 ¯
dz
=
dz,
8e z0 =−1 =
2πi C (z − z0 )4 ¯z0 =−1
πi C (z + 1)4
Z
C
e2z
πi −2 8πi
dz =
8e = 2 .
4
(z + 1)
3
3e
173
(428)
Exempel 15.18
Om |f (z)| ≤ 1 p˚
a cirkeln C = {z : |z| = 2} och f (z) ¨ar analytisk inom
cirkelskivan D2 = {z : |z| < 2}, s˚
a m˚
aste, enligt (427),
1
1·2
1
, |f 00 (z)| ≤ 2 = ,
2
2
2
1·1·2·3
3
000
|f (z)| ≤
= .
23
4
|f 0 (z)| ≤
15.5
Taylors och Laurents utveckling
15.5.1
Komplexa serier
L˚
at
∞
X
(429)
uk vara en komplex serie. Partialsumman Sn och resttermen Rn definieras
k=1
Sn =
n
X
uk ,
∞
X
R n = S − Sn =
k=1
uk .
(430)
k=n+1
Om den komplexa talf¨oljden {Sn } har ett (komplext) gr¨ansv¨arde S, s˚
a s¨ages
∞
X
uk vara konvergent (konvergera) och ha summan
den givna komplexa serien
S=
∞
X
k=1
uk .
k=1
N¨
odv¨
andigt villkor f¨or konvergens av en komplex serie
∞
X
uk ¨ar
k=1
lim uk = 0.
(431)
k→∞
Absolutkonvergent serie. En komplex serie
gent om den reella serien
∞
X
∞
X
uk kallas absolutkonver-
k=1
|uk | ¨ar konvergent.
k=1
Absolutkonvergens medf¨
or konvergens. Om serien
s˚
a konvergerar ocks˚
a den komplexa serien
∞
X
k=1
174
∞
X
k=1
uk .
|uk | konvergerar,
Geometriska serien. En komplex serie av formen
∞
X
az k = a + az + az 2 + . . . ,
(432)
k=0
d¨ar a och z ¨ar komplexa tal, kallas en (komplex) geometrisk serie med kvoten z.
Den ¨ar absolutkonvergent f¨or |z| < 1, eftersom den reella serien
∞
X
k
|az | = |a|
∞
X
k=1
|z|k
k=1
a¨r konvergent. Dess summa
∞
X
1
= a(1 − z)−1 ,
az k = a
1−z
k=0
15.5.2
|z| < 1.
(433)
Potensserie
En funktionsserie av den speciella typen
∞
X
ak (z − z0 )k
(434)
k=0
kallas en potensserie. Den geometriska serien
∞
X
az k ¨ar en potensserie med ak = a
k=1
och z0 = 0.
F¨or varje potensserie
∞
X
ak (z − z0 )k g¨aller: det finns ett icke-negativt tal R
k=1
s˚
adant att potensserien absolutkonvergent f¨or alla z med |z −z0 | < R och divergent
∞
X
f¨or alla z med |z − z0 | > R. H¨ar R = 0 om
ak (z − z0 )k konvergerar endats f¨or
z = z0 och R = ∞ om
∞
X
k=1
ak (z − z0 )k konvergerar f¨or alla komplexa z.
k=1
Talet R ≥ 0 kallas konvergensradie och cirkeln {z : |z − z0 | = R} kallas
∞
X
konvergenscirkel till potensserie
ak (z − z0 )k (som konvergerar inom cirkelskivan
DR = {z : |z − z0 | < R}).
F¨or konvergensradien g¨aller
k=1
1
=
R
1
=
R
lim |ak |1/k ,
¯
¯
¯ ak+1 ¯
¯,
lim ¯
k→∞ ¯ ak ¯
k→∞
175
(435)
(436)
Exempel 15.19
Den geometriska serien
∞
X
az k ¨ar en potensserie med ak = a (a 6= 0) som har
k=1
konvergenscirkeln {z : |z| = 1} och konvergensradien R = 1, eftersom
1
a
= lim = 1.
k→∞
R
a
Serien divergerar i alla punkter p˚
a denna cirkeln.
Exempel 15.20
∞
X
zk
k=0
k!
(437)
¨ar en potensserie som konvergerar f¨or alla komplexa z, eftersom
1
1/(k + 1)!
1
= lim
= lim
= 0.
k→∞ k + 1
R k→∞ 1/k!
15.5.3
(438)
Taylors utveckling
Antag att f (z) ¨ar analytisk inom och p˚
a en enkel, sluten kontur C och skriv
Cauchys integralformel
Z
f (z 0 ) 0
1
dz =
f (z) =
2πi C z 0 − z
Z
1
f (z 0 )
=
dz 0 =
(439)
0
2πi C (z − z0 ) − (z − z0 )
Z
f (z 0 )
1
dz 0
=
0
0
2πi C (z − z0 )[1 − (z − z0 )/(z − z0 )]
d¨ar |q| = |(z − z0 )/(z 0 − z0 )| < 1 eftersom |(z − z0 )| < |(z 0 − z0 )| (z 0 ∈ C och z
inom C). Vidare
µ
¶2
∞
X
(z − z0 )n
1
z − z0
z − z0
1
2
+·
·
·
=
=
=
1+q+q
+·
·
·
=
1+
+
1 − (z − z0 )/(z 0 − z0 )
1−q
z 0 − z0
z 0 − z0
(z 0 − z0 )n
n=0
176
och
1
f (z) =
2πi
=
1
2πi
Z
f (z 0 )
Z
C
f (z 0 )
Z
C
1
1
dz 0 =
0
1 − q (z − z0 )
∞
X
1
(z − z0 )n
(z 0
− z0 )
n=0
(z 0
− z0
)n
dz 0 =
∞
X
(z − z0 )n
dz 0 =
0 − z )n+1
(z
0
C
n=0
Z
∞
X
1
f (z 0 )
=
(z − z0 )n
dz 0 =
0 − z )n+1
2πi
(z
0
C
n=0
=
1
2πi
f (z 0 )
(440)
∞
(n)
1 X
(z0 )
nf
=
(z − z0 )
,
2πi n=0
n!
som ¨ar den s¨okte Taylors utveckling av f (z). Observera att vi anv¨ande formeln
(425)
Z
n!
f (z)
(n)
f (z0 ) =
dz.
2πi C (z − z0 )n+1
Potensserieutveckling av analytiska funktioner. Antag att f (z) ¨ar analytisk f¨or alla z inom cirkelskivan DR = {z : |z − z0 | < R}. D˚
a g¨aller f¨or alla dessa
z
f (z) =
∞
X
f (k) (z0 )
k!
k=0
(z − z0 )k .
(441)
Exempel 15.21
Betrakta f (z) = ez . Vi har f (n) (z) = ez (n = 1, 2, . . . ), f (n) (0) = 1 (n =
1, 2, . . . ), f (z) = ez ¨ar analytisk i hela komplexa planet C. D˚
a
z
e =
∞
X
zk
k=0
(442)
k!
enligt (440) och (441). Speciellt f˚
as, t ex
1+i
e
=
∞
X
(1 + i)k
k=0
177
k!
.
(443)
Exempel 15.22
P˚
a samma s¨att erh˚
alles
sin z =
∞
X
(−1)k
k=0
z 2k+1
z3 z5
=z−
+
− ...
(2k + 1)!
3!
5!
(444)
z 2k
z2 z4
=1−
+
− ...,
(2k)!
2!
4!
(445)
och
cos z =
∞
X
(−1)k
k=0
f¨or alla komplexa z
Exempel 15.23
Man finner analogt (med z0 = 0) att
∞
X
1
=
(−1)k z k = z − z + z 2 + z 4 − . . .
f (z) =
z + 1 k=0
(446)
f¨or |z| < 1. Punkten z = −1 ¨ar singul¨ar f¨or f (z) = 1/(1 + z). F¨or |z| > 1 ¨ar f (z)
analytisk med potensserien (446) divergent; den framst¨aller allts˚
a inte f (z) f¨or
alla dessa z.
15.5.4
Laurents utveckling
Antag att f (z) a¨r analytisk inom och p˚
a den o¨ppna cirkelringen z : r < |z−z0 | < R
med 0 < r < R. D˚
a finns det komplexa tal a0 , a1 , a2 , . . . , ak , . . . , och a−1 , a−2 ,
a−3 , . . . , a−k , . . . , s˚
adana att likheten
f (z) =
∞
X
k
ak (z − z0 ) +
∞
X
k=1
k=0
a−k
.
(z − z0 )k
(447)
f¨or alla z i den ¨oppna cirkelringen. Serien i h¨ogerledet av (447) kallas Laurentserien
till f (z) p˚
a cirkelringen z : r < |z − z0 | < R. Koefficienterna ak a¨r best¨amda av
formeln
Z
1
f (z)
ak =
dz, k = 0, ±1, ±2, . . . ,
(448)
2πi C (z − z0 )k+1
d¨ar C ¨ar en godtycklig cirkel z : |z − z0 | = r0 med r < r0 < R.
Exempel 15.24
178
Betrakta
1
1
f (z) =
=
(z − a)(z − b)
a−b
µ
1
1
−
z−a z−b
¶
(a 6= b). H¨ar r = 0 och R = |a − b|.
Exempel 15.25
Funktionen
f (z) = −
1
(z − 2)(z + 3)
¨ar analytisk ¨overallt utom i z = 2 och z = −3. Antag att vi vill utveckla f (z) i
en Laurentserie inneh˚
alande potenser av z. D˚
a ¨ar z0 = 0 och det finns tre m¨ojliga
omr˚
aden d¨ar f (z) kan utvecklas i Laurentserie av ¨onskat slag:
z : |z| < 2, z : 2 < |z| < 3 och z : 3 < |z|.
Vi har
−1/5
1/5
1
=
+
f (z) = −
(z − 2)(z + 3)
z−2 z+3
P˚
a cirkelskivan z : |z| < 2 ¨ar |z/2| < 1 och d˚
a kan vi med hj¨alp av den geometriska
serien skriva
1
1
1
1
+
=
10 1 − z/2 15 1 + z/3
∞
∞
1 X ³ z ´k
1 X ³ z ´k
−
=
+
=
10 k=0 2
15 k=0
3
¶
∞ µ
X
1 1
1 (−1)k
=
+
zk .
k
k
10
2
15
3
k=0
f (z) =
(449)
P˚
a cirkelskivan z : 2 < |z| < 3 ¨ar |2/z| < 1 och |z/3| < 1 och d˚
a kan vi med hj¨alp
av den geometriska serien skriva
1
1
1
1
+
=
5z 1 − 2/z 15 1 + z/3
∞ µ ¶k
∞
1 X 2
1 X ³ z ´k
= −
+
=
−
5z k=0 z
15 k=0
3
¶
∞ µ
∞
X
2k−1 1
1 (−1)k k X
z +
−
.
=
15 3k
5
zk
k=1
k=0
f (z) = −
179
(450)
P˚
a cirkelskivan z : |z| > 3 ¨ar |3/z| < 1 och d˚
a kan vi skriva
1
1
1
1
+
=
5z 1 − 2/z 5z 1 + 3/z
¶k
∞ µ ¶k
∞ µ
1 X 2
3
1 X
= −
−
+
=
5z k=0 z
5z k=0
z
¶
∞ µ
X
2k−1 (−3)k−1 1
=
−
+
.
k
5
5
z
k=1
f (z) = −
(451)
Att de erh˚
allna serierna a¨r Laurentserien till f (z) p˚
a resp. omr˚
aden f¨oljer av
entydighetssatsen: om
∞
X
f (z) =
ak (z − z0 )k
k=−∞
f¨or alla z i en o¨ppen cirkelring z : r < |z − z0 | < R s˚
a m˚
aste denna serie vara
Laurentserien till f (z) p˚
a cirkelringen.
Exempel 15.26
Betrakta funktionen
f (z) =
1
1
1
=
− .
z(z − 1)
z−1 z
Best¨am koefficienterna ak k = 0, ±1, ±2, . . . (z0 = 0 i (448))
Z
Z
1
1
1
1
1
ak =
dz = −
dz =
k+1
k+2
2πi C z(z − 1) z
2πi C z (z − 1)
Z X
∞
1
1
= −
z m k+2 dz =
2πi C m=0 z
∞ Z
1 X
dz
= −
=
2πi m=0 C z k+2−m
∞ Z
1 X
z m−k−2 dz.
= −
2πi m=0 C
Cirkelns ekvationer p˚
a parameterform a¨r z = reit , z 0 = ireit och vi har, enligt
(418) och (420), att
Z
1
z n dz = 0, n 6= −1,
2πi C
Z
1
z n dz = 1, n = −1.
2πi C
180
D˚
a
Z
1
z m−k−2 dz = 0,
2πi C
Z
1
z m−k−2 dz = 1,
2πi C
m − k 6= 1,
m − k = 1,
och
ak =
ak =
∞ µ
X
m=0
∞ µ
X
m=0
1
−
2πi
1
−
2πi
¶
Z
Z
z
m−k−2
z
m−k−2
dz
1
z(z−1)
i den ¨oppna cirkelringen z : 0 < |z| < 1
dz
C
= 0,
k = −1, 0, 1, 2, . . . ,
¶
= −1,
k = . . . , −2, −1.
C
Laurentserieutveckling av f (z) =
a
¨ar d˚
∞
∞
X
X
a−k
1
k
ak z +
=
=
z(z − 1)
zk
k=1
k=0
∞
X
1
2
zk .
= − − 1 − z − z − ··· = −
z
k=−1
Observera att man f˚
ar samma resultat med med hj¨alp av den geometriska serien
(433):
∞
∞
X
1
1
1
1 X k
zk .
f (z) =
z =−
=− −
=− −
z(z − 1)
z 1−z
z k=0
k=−1
15.6
Residykalkyl
15.6.1
Isolerade singulariteter. Poler
Antag att f (z) ¨ar analytisk f¨or z : |z − z0 | < R utom i punkten z0 , dvs f (z) har
isolerad singularitet i z0 . D˚
a har f (z) p˚
a en ¨oppen cirkelring z : 0 < |z − z0 | < R
Laurentserien
f (z) =
=
∞
X
ak (z − z0 )k =
k=−∞
∞
X
k
ak (z − z0 ) +
k=0
∞
X
k=1
= Σ1 + Σ 2 .
181
a−k
=
(z − z0 )k
(452)
Summan Σ2 brukar kallas den singul¨ara delen till f (z) kring punkten z0 . Σ1 ¨ar en
analytisk funktion f¨or z : |z − z0 | < R.
Pol av ordning n. Antag att f (z) har isolerad singularitet i punkten z0 och
l˚
at Σ2 vara den singul¨ara delen till f (z) kring z0 . Om
Σ2 =
n
X
k=1
a−k
a−1
a−n
=
+
·
·
·
+
,
(z − z0 )k
z − z0
(z − z0 )n
a−n 6= 0,
(453)
s˚
a kallas z0 en pol av ordning n till f (z) (n = 1, 2, . . . ).
Exempel 15.27
Laurentserieutveckling av f (z) =
1
z(z−1)
f ¨or z : 0 < |z| < 1 ¨ar
∞
X
1
1
= Σ1 + Σ 2 = −
zk − ,
z(z − 1)
z
k=0
1
med a−n = a−1 = −1 6= 0.
och z0 = 0 en pol av ordning n = 1 till f (z) = z(z−1)
1
Laurentserieutveckling till f (z) = z(z−1) f ¨or z : 0 < |z − 1| < 1 ¨ar
1
1
1
== Σ1 + Σ2 = − −
z(z − 1)
z 1−z
1
och z0 = 1 en pol av ordning n = 1 till f (z) = z(z−1)
med a−n = a−1 = −1 6= 0,
eftersom Σ1 = 1/z ¨ar en analytisk funktion f¨or z : |z − 1| < 1.
Exempel 15.28
Laurentserieutveckling av f (z) =
godtyckligt positivt tal) ¨ar
sin z
z3
f ¨or z : 0 < |z| < R (d¨ar R ¨ar ett
sin z
= Σ 1 + Σ2 =
z3
µ
¶
1
z3 z5
= 3 z−
+
− ... =
z
3!
5!
̰
!
2k+1
1 X
z
(−1)k
=
= 3
z
(2k + 1)!
k=0
=
1
1
z2
−
+
− ...
z 2 3! 5!
(454)
z
och z0 = 0 en pol av ordning n = 2 till f (z) = sin
med a−n = a−2 = 1 6= 0
z3
2
(och a−1 = 0), eftersom Σ2 = 1/z och Σ1 = −1/3! + z 2 /5! − . . . a¨r en analytisk
funktion f¨or z : |z| < R.
182
15.6.2
Metoder f¨
or residyber¨
akning
Om a ¨ar en pol av ordning m till f (z), s˚
a ¨ar
1
dm−1
[(z − a)m f (z)].
z→a (m − 1)! dz m−1
resz=a f (z) = lim
(455)
Speciellt ¨ar, om a ¨ar en enkelpol av ordning m = 1,
resz=a f (z) = lim [(z − a)f (z)].
z→a
Exempel 15.29
Betrakta
1
1
1
=
.
z2 + 4
z + 2i z − 2i
D˚
a ¨ar z = ±2i enkelpoler av ordning 1 och, enligt (456),
f (z) =
1
i
=− ,
z→2i
4i
4
1
i
resz=−2i f (z) = lim [(z + 2i)f (z)] = − = .
z→−2i
4i
4
resz=2i f (z) = lim [(z − 2i)f (z)] =
Exempel 15.30
Betrakta
f (z) =
z 3 + 2z
.
(z − i)3
D˚
a ¨ar z = i en pol av ordning m = 3 och, enligt (455),
dm−1
1
[(z − i)3 f (z)] =
z→i (m − 1)! dz m−1
1 d2 3
= lim
[z + 2z] =
z→i 2 dz 2
d
1
1
lim [3z 2 + 2] = lim[6z] = 3i.
=
2 z→i dz
2 z→i
resz=i f (z) = lim
15.6.3
Residysats
Integrera termvis Laurentserieutvecklingen
f (z) =
∞
X
ak (z − z0 )k
k=−∞
183
(456)
till f (z) l¨angs cirkeln C = {z : |z − z0 | = r (z − z0 = reθ , 0 ≤ θ < 2π):
¯z=z
Z
(z − z0 )k+1 ¯¯ 1
k
ak (z − z0 ) = ak
= 0, k 6= −1,
k + 1 ¯z=z1
C
Z
Z
−1
a−1
(z − z0 )
= a−1
C
C
s˚
a att
ireθ
dθ = 2πia−1 ,
reθ
k = −1
Z
f (z)dz = 0 + 2πia−1 = 2πia−1 ,
C
och
1
2πi
Z
f (z)dz = a−1 .
(457)
C
1
i Lauz − z0
rentserieutveckling till f (z) p˚
a omr˚
adet z : 0 < |z − z0 | ≤ R. Beteckning:
Med residyn till f (z) i punkten z0 menas koefficienten a−1 f¨or
a−1 = a−1,z0 = resz=z0 f (z).
(458)
Residysatsen. Antag att f (z) ¨ar analytisk inom och p˚
a en enkel, sluten kontur
C utom i ett ¨andligt antal punkter z1 , z2 , . . . , zn inom C. D˚
a ¨ar
Z
n
n
X
X
a−1,zk .
(459)
res z=zk f (z) = 2πi
f (z)dz = 2πi
C
k=1
k=1
Exempel 15.31
Betrakta funktionen
f (z) = z −1 (ez − 1)−1 =
1
1
=
.
z(ez − 1)
g(z)
H¨ar g(z) = z(ez − 1) och g(z0 ) = 0, d¨ar z0 = 0. Taylorserieutveckling av g(z) ¨ar
̰
!
X zk
g(z) = z(ez − 1) = z
−1 =
k!
k=0
¶
µ
¶
µ
z2 z3
z2
+ ··· − 1 = z z +
+
+ ... =
= z 1+z+
2
2
6
µ
¶
z z2
2
= z 1+ +
+ . . . = z 2 g˜(z),
2
6
184
d¨ar g˜(0) 6= 0. Vidare kommer vi att anv¨anda funktionen
µ
¶
z z2
1 z
q(z) =
+
+ ··· = z
+ + ... .
2
6
2 6
Vi har
µ
¶2
·
³z
´¸2
1 z
2 1
q (z) = z
+ + ...
=z
+
+ ...
=
2 6
2
6
·
³z
´ ³z
´2 ¸
2 1
= z
+
+ ... +
+ ...
=
4
6
6
z2 z3
=
+
+ ....
4
6
2
2
(460)
Skriv om
1
1
= 2
g(z)
z 1+
1
= 2 G(z),
z
f (z) =
z
2
1
=
2
+ z6 + . . .
d¨ar G(z) ¨ar analytisk f ¨or z : |z| < R (R ¨ar n˚
agot positivt tal), G(0) = 1 och
Taylorserieutveckling av G(z) ¨ar d˚
a
G(z) =
z
2
1
=
2
+ z6 + . . .
1+
1
=
= 1 − q + q2 − · · · =
1 + q(z)
z2 z3
z z2
+ ··· +
+
+ ··· =
= 1− −
2
6
4
6
= 1 + G1 z + . . . ,
d¨ar G1 = − 12 6= 0. Laurentserieutveckling av f (z) ¨ar d˚
a
1
1
1
1
11
G(z) = 2 (1 − z + . . . ) = 2 −
+ ··· =
2
z
z
2
z
2z
= Σ 1 + Σ2
f (z) =
f ¨or z : 0 < |z| < R (d¨ar R ¨ar ett godtyckligt positivt tal) och z0 = 0 en pol av
ordning n = 2 till f (z) = z(ez1−1) med a−n = a−2 = 1 6= 0 och a−1 = −0.5, eftersom
Σ2 =
11
1
−
2
z
2z
185
och Σ1 ¨ar en analytisk funktion f¨or z : |z| < R.
Residyn till f (z) = z(ez1−1) i punkten z0 = 0 ¨ar
1
a−1 = a−1,0 = resz=0 f (z) = − .
2
(461)
Exempel 15.32
Betrakta funktionen
f (z) = z −n (ez − 1)−1 =
1
z n (ez
− 1)
=
1
.
g(z)
H¨ar
g(z) = z n (ez − 1) = z n (z + z 2 /2 + . . . ) = z n+1 (1 + z/2 + . . . )
och g(0) = 0, d¨ar z = 0 ¨ar ett nollst¨alle av ordning n + 1 till g(z) och allts˚
a en
pol av ordning n + 1 till f (z). Man kan skriva
f (z) =
ez
1
1
z
= g1 (z) n+1 ,
n+1
−1z
z
g1 (0) = 1.
Taylorserieutveckling av g1 (z) ¨ar, enligt Arfken, (5.144),
g1 (z) =
∞
X
Bk z k
k!
k=0
,
d¨ar
dk
dk
Bk = lim k [g1 (z)] = lim k
z→0 dz
z→0 dz
µ
z
z
e −1
¶
,
k = 0, 1, 2, . . . ,
¨ar Bernoullis tal. Vi har
∞
X
Bk z k Bn z n
g1 (z) =
+
k!
n!
k=0,k6=n
f (z) =
1
z n+1
Ã
(n = 1, 2, . . . ),
∞
X
Bn z n
Bk z k
+
n!
k!
k=0,k6=n
Bn 1
1
=
+ n+1
n! z z
∞
X
Bk z k
,
k!
k=0,k6=n
186
!
=
(462)
och
resz=0 f (z) =
Bn
,
n!
n = 1, 2, . . . .
(463)
Speciellt a¨r, om n = 1 och z = 0 a¨r en pol av ordning 2,
µ
¶
d
z
B1 = lim
=
z→0 dz
ez − 1
¶
µ z
e − 1 − zez
=
= lim
z→0
(ez − 1)2
µ
¶
z + z 2 /2 − z − z 2 + O(z 3 )
= lim
=
z→0
(z + z 2 /2 + O(z 3 ))2
µ
¶
−z 2 /2 + O(z 3 )
= lim
=
z→0
z 2 (1 + z/2 + O(z 2 ))2
µ
¶
−1/2 + O(z)
−1/2 + 0
1
= lim
=
=
−
,
z→0
(1 + z/2 + O(z 2 ))2
(1 + 0)2
2
som sammanfaller med (461) i exemplet ovan. H¨ar, betecknar O(z m ) (m = 1, 2, 3)
en funktion s˚
adan att O(z m ) = z m Pm (z), d¨ar Pm (0) 6= 0 och Pm (z) ¨ar analytisk
f¨or z : |z| < R med n˚
agot R > 0.
15.6.4
Ber¨
akning av reella integraler med residykalkyl
Betrakta reella integraler av typ I
Z 2π
I=
f (sin θ, cos θ)dθ,
(464)
0
d¨ar integranden f = f (x, y) ¨ar en rationell funktion i x och y (dvs, f ¨ar kvoten
mellan tv˚
a polynom). S¨att
z = eiθ ,
0 ≤ θ < 2π,
(465)
och best¨am
dz
och dθ = −i ,
z
µ
¶
1
1
=
z−
,
2i
z
µ
¶
1
1
=
z+
.
2
z
dz = ieiθ dθ = iz dθ
eiθ − e−iθ
sin θ =
2
iθ
e + e−iθ
cos θ) =
2
187
(466)
(467)
Allts˚
a ¨ar
Z
Z
2π
I=
f (sin θ, cos θ)dθ =
0
f(
C
z − z −1 z + z −1
,
, )dθ,
2i
2
(468)
d¨ar C ¨ar enhetscirkeln (ett varv i positiv led) C = {z : z = eit , 0 ≤ t ≤ 2π}
(eller C = {z : |z| = 1}). Den sistn¨amnda komplexa integralen (468) ber¨aknas
med residysatsen.
Exempel 15.33
Ber¨akna integralen
Z 2π
Z
I=
f (sin θ, cos θ)dθ =
0
Vi har
2π
0
dθ
√
.
2 + 3 sin θ
(469)
Z
dz
√ z−z−1 ¢ =
3 2i
C iz 2 +
Z
Z
dz
dz
2
√
√ =√
=
,
2
2
3 C z + √4i3 z − 1
C 2iz + 0.5 3z − 0.5 3
I =
¡
(470)
d¨ar C ¨ar enhetscirkeln C = {z : |z| = 1}.
4i
L˚
at h(z) = z 2 + √ z − 1. D˚
a
3
2i
1
4
h(z) = 0 → (z + √ )2 = − + 1 = − →
3
3
3
2i
i
z = −√ ± −√ →
3
3
√
i
z = z1 = − √ , z = z2 = −i 3.
3
Dessa b˚
ada punkter z1 och z2 ¨ar nollst¨allen till h(z) och allts˚
a enkelpoler till
i
integranden 1/h(z). Av dessa poler, ligger endast z1 = − √3 inom enhetscirkeln C
√
(eftersom |z1 | = √13 < 1 och |z2 | = 3 > 1). z1 a¨r en enkelpol, och enligt (456)
resz=z1
1
1
= resz=z1 2
=
4i
h(z)
z + √3 z − 1
¸
·
1
=
= lim (z − z1 )
z→z1
(z − z1 )(z − z2
1
1
´.
=
= ³√
1
z1 − z2
√
i
3−
3
188
Enligt residysatsen (459) f˚
ar vi
2
4πi
1
1
I = √ 2πiresz=z1
= √ ³√
h(z)
3
3i
3−
=
√1
3
´=
4π
= 2π.
3−1
Exempel 15.34
Ber¨akna integralen
Z 2π
Z
I=
f (sin θ, cos θ)dθ =
0
2π
0
dθ
,
1 + ² cos θ
0 < |²| < 1.
(471)
Vi har
Z
dz
=
−1
C z [1 + (²/2)(z + z )]
Z
2
dz
= −i
,
2
² C z + (2/²)z + 1
I = −i
(472)
d¨ar C ¨ar enhetscirkeln C = {z : |z| = 1}.
2
L˚
at h(z) = z 2 + z + 1. D˚
a h(z) = 0 →
²
1
z = z1 = − −
²
1
z = z2 = − +
²
1√
1 − ²2 ,
²
1√
1 − ²2 ,
²
Dessa b˚
ada punkter z1 och z2 ¨ar nollst¨allen till h(z) och allts˚
a enkelpoler till
integranden 1/h(z). Av dessa poler, ligger endast z2 inom enhetscirkeln C, eftersom
189
|z2 | < 1 och |z1 | > 1. Visa att |z2 | < 1:
|²|
|²|2
|²|2 − |²|
−2|²| + |²|2
1 − 2|²| + |²|2
<
<
<
<
<
1
|²|
0, 2|²|2 − 2|²| < 0,
−|²|2
1 − |²|2
p
(1 − |²|)2 < ( 1 − |²|2 )2 (1 − |²|2 > 0)
p
1 − |²|2
1 − |²| <
p
1 − 1 − |²|2 < |²|
p
|1 − 1 − |²|2 | < |²|
p
|1 − 1 − |²|2 |
< 1
|²|
|z2 | < 1.
z2 ¨ar en enkelpol, och enligt (456)
1
1
= resz=z1 2 2
=
resz=z1
h(z)
z + ²z + 1
·
¸
1
= lim (z − z2 )
=
z→z2
(z − z1 )(z − z2
1
1
²
1
=
= 2√
= √
.
2
z2 − z1
2 1 − ²2
1−²
²
Enligt residysatsen (459) f˚
ar vi
Z
2π
dθ
=
1 + ² cos θ
0
2
1
1
2²
√
−i 2πiresz=z1
= 2π
=
²
h(z)
² 2 1 − ²2
2π
= √
, |²| < 1.
1 − ²2
I =
16
16.1
Differentialekvationer: Grundbegrepp
Differentialekvationer av f¨
orsta ordningen
Den enklaste formen f¨or en differentialekvation av f¨orsta ordningen ¨ar
y 0 = h(x).
190
(473)
En s˚
adan ekvation kan l¨osas direkt. Om
Z
H(x) = h(x)dx [H 0 (x) = h(x)]
a¨r en primitiv till h(x) s˚
a a¨r ju
y(x) = H(x) + C
den alm¨anna (fullst¨andiga) l¨osningen till (473). Konstanten C best¨ams av n˚
agot
begynnelsevillkor.
Exempel 16.1
En differentialekvation av f¨orsta ordningen
y 0 = 2x
kan l¨osas direkt:
dy
= 2x,
dx
Z
dy = 2xdx,
(474)
Z
dy =
2xdx,
y = x2 + C.
(475)
Exempel 16.2
Differentialekvationen av f¨orsta ordningen
y0 = y
(476)
satisfieras av y = cex eftersom
y 0 = (cex )0 = c(ex )0 = cex = y.
16.1.1
Linj¨
ara differentialekvationer av fo
¨rsta ordningen
En linj¨ar differentialekvation av f¨orsta ordningen ¨ar
L(y) ≡ y 0 + g(x)y = h(x).
(477)
H¨ar a¨r g och h givna kontinuerliga funktioner i ett o¨ppet intervall p˚
a reela axeln
x. L kallas en linj¨ar differentialoperator (av f¨orsta ordningen) eftersom
L(y1 + y2 ) = (y1 + y2 )0 + g(x)(y1 + y2 ) = y10 + y20 + g(x)y1 + g(x)y2 = L(y1 ) + L(y2 ).
L(αy) = (αy)0 + g(x)(αy) = αy 0 + αg(x)y = αL(y)
191
och
L(αy1 + βy2 ) = αL(y1 ) + βL(y2 ).
(478)
Om y1 och y2 l¨oser de tv˚
a ekvationerna
L(y) = h1 (x)
respektive
L(y) = h2 (x)
s˚
a l¨oser y1 + y2 ekvationen
L(y) = h1 (x) + h2 (x)
och αy1 l¨oser ekvationen
L(y) = αh1 (x).
Detta kallas superpositionprincipen.
Exempel 16.3
L¨os differentialekvationen
y 0 (x) = x + y.
(479)
L¨
osning. Funktionen y0 (x) = cex satisfierar den homogena ekvationen
y0 − y = 0
(480)
som motsvarar ekvationen y 0 = x + y. Man kan kolla detta genom att visa att
(480) har karakteristiska polynomet
r−1
med nollst¨allet r = 1. Den fullst¨andiga l¨osningen y0 (x) till homogena ekvationen
(480) ¨ar d˚
a
y0 = cex .
Best¨am en partikul¨ar l¨osning yp (x) till ekvationen (479):
yp = ax + b : yp0 − yp = (ax + b)0 − (ax + b) = −ax + (a − b) = x
→ a = −1, b = a = −1,
och yp (x) = −x − 1.
Den (fullst¨andiga) l¨osningen till ekvationen (479) blir
y = y0 + yp = cex − x − 1.
192
(481)
16.1.2
Separabla ekvationer
En differentialekvation av f¨orsta ordningen s¨ages vara separabel eller ha separabla
variabler om den kan skrivas p˚
a formen
g(y)y 0 = h(x).
(482)
En s˚
adan ekvation kan l¨osas direkt.
Exempel 16.4
Differentialekvationen av f¨orsta ordningen
y0 = y
har separabla variabler och kan l¨osas direkt:
Z
Z
dy
dy
dy
= y,
= dx,
= dx,
dx
y
y
ln |y| = x + C, y = ex+C = ex eC = cex .
16.2
(483)
Begynnelsev¨
ardesproblem
F¨or att fixera vilken av o¨andligt m˚
anga l¨osningar man s¨oker m˚
aste man ge till¨aggsvillkor
av typen y(a) = α (eller y(x0 ) = y0 ). Detta kallas ett begynnelsevillkor och problemet att l¨osa
y 0 = f (x, y) y(x0 ) = y0 ,
(484)
kallas begynnelsev¨ardesproblemet.
Exempel 16.5
L¨os begynnelsev¨ardesproblemet
y 0 = 2x y(0) = 1.
(485)
L¨
osning. Den fullst¨andiga l¨osningen y(x) till ekvationen y 0 = 2x ¨ar
y = x2 + C.
Satisfiera begynnelseillkoret
y(0) = 1 → 0 − C = 1 → C = 1,
193
(486)
och l¨osningen till begynnelsev¨ardesproblemet ¨ar
y = x2 + 1.
(487)
Exempel 16.6
L¨os begynnelsev¨ardesproblemet
y 0 (x) = x + y,
y(0) = 0.
(488)
Den (fullst¨andiga) l¨osningen till ekvationen (479) y 0 = x + y blir, enligt (481),
y = cex − x − 1.
Satisfiera begynnelseillkoret
y(0) = 0 → c − 0 − 1 = 0 → c = 1.
Den (exakta) l¨osningen till begynnelsev¨ardesproblemet (488) ¨ar
y(x) = ex − x − 1.
Kolla detta:
y 0 (x) = (ex − x − 1)0 = ex − 1 = (ex − 1 − x) + x = y + x,
y 0 (0) = 1 − 1 − 0 = 0.
Exempel 16.7
L¨os begynnelsev¨ardesproblemet
y 0 = −y − 3(x + 1),
y(0) = 2,
y = y(x),
(489)
L¨
osning. L¨os den homogena ekvationen
y0 + y = 0
(490)
som motsvarar ekvationen y 0 = −y − 3(x + 1). (490) har karakteristiska polynomet
r+1
med nollst¨allet r = −1. Den fullst¨andiga l¨osningen y0 (x) till homogena ekvationen
(490) ¨ar d˚
a
y0 = Ce−x .
194
Best¨am en partikul¨ar l¨osning yp (x) till ekvationen (489):
yp = ax + b :
yp0 + yp = (ax + b)0 + (ax + b) = ax + (a + b) = −3x − 3
→ a = −3, b = 0
och yp (x) = (−3) · x + 0 = −3x.
Den fullst¨andiga l¨osningen till ekvationen (489) blir
y = y0 + yp = Ce−x − 3x.
Satisfiera begynnelseillkoret
y(0) = 2 → C − 0 = 2 → C = 2.
Den (exakta) l¨osningen till begynnelsev¨ardesproblemet (489) ¨ar d˚
a
y(x) = 2e−x − 3x.
Kolla att y(0) = 2e0 − 0 = 2 och
y 0 = (2e−x − 3x)0 = −2e−x − 3 = −y − 3x − 3,
dvs upfyller ekvationen (489).
16.3
Linj¨
ara differentialekvationer av andra ordningen
En linj¨ar differentialekvation av andra ordningen ¨ar
M (y) ≡ y 00 + a(x)y 0 + b(x)y = h(x).
(491)
H¨ar ¨ar a, b och h givna kontinuerliga funktioner. M kallas en linj¨ar differentialoperator (av andra ordningen) eftersom M satisfierar (478).
Ekvationen
y 00 + a(x)y 0 + b(x)y = 0
(492)
kallas den till (491) h¨orande homogena ekvationen. (491) kallas inhomogena ekvationen
L˚
at yp vara en given l¨osning till (491). D˚
a a¨r funktionen y l¨osning till (491) om
och endast om y ¨ar av formen
y = yh + yp ,
d¨ar funktionen yh ¨ar en l¨osning till motsvarande homogena ekvationen (492).
L¨osningen yp kallas partikul¨arl¨osning.
195
16.3.1
Linj¨
ara differentialekvationer av andra ordningen med konstanta koefficienter
Betrakta ekvationen
y 00 + ay 0 + by = 0
(493)
med konstanta (komplexa) koefficienterna a och b. L¨osningen till homogena ekvationen (493) ¨ar av formen
y = C1 er1 x + C2 er2 x ,
r1 6= r2 ,
(494)
r1 = r2 = r,
(495)
eller
y = (C1 + C2 x)erx ,
d¨ar r1 och r2 ¨ar nollst¨allena till motsvarande karakteristiska polynomet
r2 + ar + b.
(496)
y 00 − 4y 0 + 3y = 0
(497)
r2 − 4r + 3
(498)
Exempel 16.8
Ekvationen
har karakteristiska polynomet
med nollst¨allena r1 = 1 och r2 = 3. Den fullst¨andiga l¨osningen till homogena
ekvationen (497) a¨r
y = C1 ex + C2 e3x .
Exempel 16.9
Ekvationen
y 00 + y = 0
(499)
r2 + 1
(500)
har karakteristiska polynomet
196
med komplexa nollst¨allena r1 = i och r2 = −i (h¨ar i2 = −1). Den fullst¨andiga
l¨osningen till (499) ¨ar
y = C1 eix + C2 e−ix = C1 cos x + iC1 sin x + C2 cos x − iC2 sin x = C˜1 cos x + C˜2 sin x,
(501)
eftersom
eix = cos x + i sin x,
e−ix = cos x − i sin x.
16.4
Singul¨
ara punkter
Betrakta en differentialekvation av andra ordningen
y 00 = f (x, y, y 0 ).
(502)
a ¨ar x0 en regul¨ar punkt. Om y och y 0
Om y, y 0 och y 00 ¨ar begr¨ansade i punkten x0 , s˚
a ¨ar x0 en singul¨ar punkt.
¨ar begr¨ansade i punkten x0 och y 00 ¨ar obegr¨ansad i x0 , s˚
Betrakta nu en homogen linj¨ar differentialekvation av andra ordningen (491)
y 00 + P (x)y 0 + Q(x)y = 0.
(503)
H¨ar ¨ar P och Q givna funktioner i ett ¨oppet intervall p˚
a reela axeln x som inneh˚
aller punkten x0 . Skriv om (503)
y 00 = f (x, y, y 0 ),
f (x, y, y 0 ) = −P (x)y 0 − Q(x)y.
(504)
H¨ar, kan man best¨amma regul¨ara och singul¨ara punkter genom koefficienterna P
och Q med hj¨alp av ovanst˚
aende definitionen. Om P och Q ¨ar begr¨ansade funktioner i punkten x0 , s˚
a ¨ar x0 en regul¨ar punkt. Om P och/eller Q ¨ar obegr¨ansade
i x0 , s˚
a ¨ar x0 en singul¨ar punkt.
Vi ska betrakta tv˚
a typer av (isolerade) singul¨ara punkter.
1. Om P (x) eller Q(x) ¨ar en obegr¨ansad funktion i punkten x0 och (x − x0 )P (x)
och (x − x0 )2 Q(x) ¨ar begr¨ansade d˚
a x → x0 , s˚
a kallas x0 en h¨avbar singul¨ar punkt.
2. Om P (x) och Q(x) ¨ar obegr¨ansade funktioner i punkten x0 och (x−x0 )P (x) →
∞ och (x − x0 )2 Q(x) → ∞ d˚
a x → x0 , s˚
a kallas x0 en v¨asentlig singul¨ar punkt.
Exempel 16.10
I fallet av en linj¨ar differentialekvationer av andra ordningen med konstanta
koefficienter (493)
y 00 + ay 0 + by = 0,
197
(505)
¨ar alla reella x regul¨ara punkter till (505).
Exempel 16.11
I fallet av en linj¨ar differentialekvation av andra ordningen (491)
y 00 + a(x)y 0 + b(x)y = 0,
(506)
d¨ar a och b ¨ar kontinuerliga funktioner i ett ¨oppet intervall p˚
a reela axeln x som
inneh˚
aller en punkt x0 , s˚
a ¨ar x0 en regul¨ar punkt till (506).
Exempel 16.12
Betrakta en Eulers ekvation
a1 x2 y 00 + a2 xy 0 + a3 y = 0,
(507)
d¨ar ak 6= 0, k = 1, 2, 3. Skriv om (507)
y 00 = f (x, y, y 0 ), f (x, y, y 0 ) = −P (x)y 0 − Q(x)y,
a2 1
a3 1
P (x) =
, Q(x) =
.
a1 x
a1 x2
H¨ar, ¨ar P och Q obegr¨ansade i x0 = 0, s˚
a ¨ar x0 = 0 en singul¨ar punkt. Vidare,
a2
a2 1
= ,
a1 x
a1
a
1
a3
3
(x − x0 )2 Q(x) = x2
=
2
a1 x
a1
(x − x0 )P (x) = x
a x → 0, s˚
a ¨ar x0 = 0 en h¨avbar singul¨ar punkt till (507).
¨ar begr¨ansade d˚
Exempel 16.13
Betrakta Bessels ekvation
x2 y 00 + xy 0 + (x2 − n2 )y = 0,
d¨ar n ¨ar ett reellt tal. Skriv om (508)
y 00 = f (x, y, y 0 ), f (x, y, y 0 ) = −P (x)y 0 − Q(x)y,
1
n2
P (x) =
, Q(x) = 1 − 2 .
x
x
198
(508)
H¨ar, ¨ar P och Q obegr¨ansade i x0 = 0, s˚
a ¨ar x0 = 0 en singul¨ar punkt. Vidare,
(x − x0 )P (x) = x
2
(x − x0 ) Q(x) = x
1
= 1,
xµ
2
n2
1− 2
x
¶
= x2 − n2
a x → 0, s˚
a ¨ar x0 = 0 en h¨avbar singul¨ar punkt till (508).
¨ar begr¨ansade d˚
Exempel 16.14
Betrakta Legendres ekvation
(1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + l(l + 1)y = 0,
(509)
d¨ar l ¨ar ett heltal. Skriv om (509)
y 00 = f (x, y, y 0 ), f (x, y, y 0 ) = −P (x)y 0 − Q(x)y,
2x
l(l + 1)
P (x) = −
, Q(x) =
.
2
1−x
1 − x2
H¨ar, ¨ar P och Q obegr¨ansade i x1 = −1 och x2 = 1, s˚
a ¨ar ±1 singul¨ara punkter.
Vidare,
2x
= 2x,
1 − x2
l(l + 1)
(x − 1)2 (x + 1)2 Q(x) = (x − 1)2 (x + 1)2
= l(l + 1)(1 − x2 )
1 − x2
(x − 1)(x + 1)P (x) = −(x − 1)(x + 1)
a x → ±1, s˚
a ¨ar ±1 h¨avbara singul¨ara punkter till (509).
¨ar begr¨ansade d˚
16.5
Frobenius’ metod
Vi ska f¨ors¨oka best¨amma en (partikul¨ar) l¨osning y = yp till differentialekvationen
y 00 + P (x)y 0 + Q(x)y = 0 med hj¨alp av potensserien (437)
yp (x) = x
k
∞
X
n=0
n
an x =
∞
X
an xk+n = xk (a0 + a1 x + a2 x2 + . . . ),
(510)
n=0
som konvergerar mot l¨osningen till differentialekvationen i omgivningen av punkten
0.
Exempel 16.15
199
Best¨am en partikul¨ar l¨osning y = yp till differentialekvationen
y 00 + w2 y = 0
(511)
med potensserien (510). Derivera termvis serien (510)
yp0
=
yp00 =
∞
X
n=0
∞
X
an (k + n)xk+n−1 =
(512)
an (k + n)(xk+n−1 )0 =
n=0
∞
X
an (k + n)(k + n − 1)xk+n−2 .
(513)
n=0
Ins¨attning i differentialekvationen (511) ger
∞
X
an (k + n)(k + n − 1)xk+n−2 + w2
n=0
∞
X
an xk+n = 0.
(514)
n=0
Detta ¨ar uppfyllt, om koefficienterna f¨or potenser x0 = 1, x1 = x, x2 , . . . , xk , . . .
alla a¨r 0. H¨arav f˚
as f¨oljande villkor p˚
a koefficienterna an :
a0 k(k − 1) = 0,
(515)
Vi antar att a0 6= 1, s˚
a ¨ar
k(k − 1) = 0,
k = 0
eller
k = 1.
dvs
(516)
(517)
(518)
I den f¨orsta serien (514) byter vi summationsindex genom att s¨atta n = j + 2. I
den andra serien (514) s¨attes n = j. D˚
a f˚
ar vi
aj+2 (k + j + 2)(k + j + 1) + w2 aj = 0,
eller
aj+2 = −aj
w2
,
(k + j + 2)(k + j + 1)
(519)
Antag f¨orst att (517) g¨aller. D˚
a, enligt (519) med k = 0,
aj+2 = −aj
w2
.
(j + 2)(j + 1)
200
(520)
Av (520) f¨oljer genast att
w2
w2
= − a0 ,
2 . . . 1 µ 2!
¶µ
¶
w2
w2
w2
w4
= −a2
= −
−
a0 = + a0 ,
4...3
3...4
1...2
4!
¶µ 4¶
µ
2
2
6
w
w
w
w
= −a4
= −
a0 = − a0 ,
6...5
5...6
4!
6!
a2 = −a0
a4
a6
etc.
(521)
Allm¨ant f˚
ar vi succesivt (med hj¨alp av induktion)
a2n = (−1)n
w2n
a0 ,
(2n)!
n = 1, 2, . . . .
(522)
och serieutvecklingen (510) av den s¨okta partikul¨ara l¨osningen y = yp i fallet k = 0
blir
¶
µ
(wx)2 (wx)4 (wx)6
yp (x) = y(x)|k=0 = a0 1 −
+
−
+ ... =
(523)
2!
4!
6!
∞
2n
X
n (wx)
= a0
(−1)
= a0 cos wx.
(2n)!
n=0
Om man antar att (518) g¨aller, d˚
a , enligt (519) med k = 1,
aj+2 = −aj
w2
,
(j + 3)(j + 2)
(524)
och (524) ger
w2
w2
= − a0 ,
3...2
3!
w2
w4
= −a2
== + a0 ,
5...4
5!
w6
w2
= − a0 ,
= −a4
7...6
7!
a2 = −a0
a4
a6
etc.
(525)
Allm¨ant f˚
ar vi succesivt (med hj¨alp av induktion)
a2n = (−1)n
w2n
a0 ,
(2n + 1)!
201
n = 1, 2, . . . .
(526)
och serieutvecklingen (510) av den s¨okta partikul¨ara l¨osningen y = yp i fallet k = 1
blir
µ
¶
(wx)2 (wx)4 (wx)6
yp (x) = y(x)|k=1 = a0 x 1 −
+
−
+ . . . = (527)
3!
5!
7!
µ
¶
a0
(wx)3 (wx)5 (wx)7
=
wx −
+
−
+ ... =
w
3!
5!
7!
∞
a0 X
(wx)2n+1
a0
=
(−1)n
=
sin wx.
w n=0
(2n + 1)!
w
Vi har f˚
att tv˚
a partikul¨ara l¨osningar y = a0 cos wx och y = aw0 sin wx till
differentialekvationen (511) y 00 + w2 y = 0. Om vi tar a0 = 1 och w = 1, d˚
a ger
(523) och (527) Taylorserieutveckling till y = cos x och y = sin x
∞
X
x2n
cos x =
,
(−1)n
(2n)!
n=0
(528)
∞
X
x2n+1
sin x =
(−1)n
.
(2n + 1)!
n=0
(529)
Observera att y = cos x och y = sin x definieras genom potensserierna (528) och
(529).
16.6
Randv¨
ardesproblem
Randv¨ardesproblemet f¨or linj¨ara differentialekvationen av andra ordningen y 00 +
q(x)y = 0 skrivas som
½ 00
y + q(x)y = 0, y = y(x), a < x < b,
(530)
y(a) = y0 , y(b) = y1 ,
d¨ar q(x) ¨ar en given kontinuerlig funktion.
F¨or randv¨ardesproblem med icke-konstant koefficienten q, m˚
aste man i allm¨anhet
ber¨akna en approximativ l¨osning.
Exempel 16.16
Skriv den exakta l¨osningen till randv¨ardesproblemet f¨or en linj¨ar differentialekvation av andra ordningen
½ 00
y − y = −x, y = y(x), 0 < x < 3,
(531)
y(0) = 0, y(3) = 3.
202
L¨
osning. Ekvationen
y 00 − y = 0
(532)
r2 − 1
(533)
har karakteristiska polynomet
med nollst¨allena r1 = 1 och r2 = −1. Den fullst¨andiga l¨osningen y0 (x) till homogena ekvationen (532) ¨ar
y0 = C1 ex + C2 e−x .
Best¨am en partikul¨ar l¨osning yp (x) till ekvationen (531):
yp = ax + b :
yp00 − yp = (ax + b)00 − (ax + b) = 0 − ax − b = −x
→ a = 1, b = 0
och yp (x) = 1 · x + 0 = x
Den fullst¨andiga l¨osningen till ekvationen (531) blir
y = y0 + yp = C1 ex + C2 e−x + x.
Satisfiera randvillkor
y(0) = 0 → C1 + C2 + 0 = 0 → C2 = −C1 ;
y(3) = 3 → C1 e3 − C1 e−3 + 3 = 3, C1 (e3 − e−3 ) = 0 → C1 = 0.
Den (exakta) l¨osningen till randv¨ardesproblemet (531) ¨ar
y(x) = x.
(534)
Exempel 16.17
L¨os randv¨ardesproblemet f¨or den linj¨ara differentialekvationen av andra ordningen
½ 00
y + 4y = 2(2x2 + 1), y = y(x), 1 < x < 5,
(535)
y(1) = 1, y(5) = 25.
L¨
osning. Ekvationen
y 00 + 4y = 0
203
(536)
har karakteristiska polynomet
r2 + 4
(537)
med nollst¨allena r1 = 2i och r2 = −2i. Den fullst¨andiga l¨osningen till homogena
ekvationen (536) ¨ar
y0 = C1 cos 2x + C2 sin 2x.
Best¨am en partikul¨ar l¨osning yp (x) till ekvationen (535) som ett andragradspolynom (eftersom h¨ogerledet 4x2 + 2 ¨ar ett andragradspolynom):
yp = ax2 + bx + c :
yp00 + 4yp = (ax2 + bx + c)00 + 4(ax2 + bx + c) =
2a + 4ax2 + 4bx + 4c = 4x2 + 2
→ a = 1, b = 0, c = 0,
och yp (x) = x2 .
Den fullst¨andiga l¨osningen till ekvationen (535) blir
y = y0 + yp = C1 cos 2x + C2 sin 2x + x2 .
Satisfiera randvillkor
y(1) = 1 → C1 cos 2 + C2 sin 2 + 1 = 1 → C2 = −C1 (cos 2/ sin 2);
y(5) = 25 → C1 cos 10 + C2 sin 10 + 25 = 25, →
C1 (cos 10 − sin 10(cos 2/ sin 2)) = 0 → C1 = 0, C2 = 0.
Den (exakta) l¨osningen till randv¨ardesproblemet (535) ¨ar
y(x) = x2 .
(538)
Exempel 16.18
Skriv den exakta l¨osningen till randv¨ardesproblemet f¨or en linj¨ar differentialekvation av andra ordningen
½ 00
y − 9y = 0, y = y(x), 0 < x < 1,
(539)
y(0) = 0, y(1) = sinh(3).
L¨
osning. Ekvationen
y 00 − 9y = 0
204
(540)
har karakteristiska polynomet
r2 − 9
(541)
med nollst¨allena r1 = 3 och r2 = −3. Den fullst¨andiga l¨osningen till homogena
ekvationen (540) a¨r
y = C1 e3x + C2 e−3x .
Satisfiera randvillkor [p˚
aminn att sinh z = 0.5(ez − e−z )]:
y(0) = 0 → C1 + C2 = 0 → C2 = −C1 ;
y(1) = sinh(3) → C1 e3 − C1 e−3 = sinh(3) = 0.5(e3 − e−3 ) → C1 = 0.5.
Den (exakta) l¨osningen till randv¨ardesproblemet (539) ¨ar
y = 0.5(e3x − e−3x ) = sinh 3x.
205
(542)
17
Referenser
1. G. B. Arfken and H. J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 5th Edition,
Harcourt, Academic, 2001 (AW).
2. E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition (AEM).
3. P.-A. Svensson, Abstrakt algebra, Studentlitteratur, 2001.
4. G. Wahde, Analytiska funktioner f¨or tekniska till¨ampningar, Chalmers Tekniska
H¨ogskola, 1990.
5. J. Petersson, Matematisk analys. Del 2, 2000.
6. J. Petersson, Till¨ampad linj¨ar algebra, 1999.
7. R. A. Adams, A Complete Course of Calcuclus, 4th Edition, Addison–Wesley,
1999 (A).
206