1. No category

MW 7 januari 2013
KVANTMEKANIK SAMMANFATTNING
Om du hittar fel eller oklarheter, skicka mig ett mail.
1
Stern-Gerlach experiment
SGZ: En mätning av Sz ger något av de två möjliga resultaten Sz = ±~/2 som kallas spinn upp och
spinn ner.
Sekvenser av SG experiment:
Exp1: SGZ → SGZ: Om Sz mäts upprepade gånger fås samma resultat som vid första mätningen.
Exp2: SGZ → SGX: Om tillståndet preparerats till Sz = +~/2 så ger en följande mätning av Sx resultatet
±~/2 med sannolikhet 0.5 vardera.
Exp3: SGZ → SGX → SGZ: Om tillståndet preparerats till Sz = +~/2 och splittras i en SGX analysator
och en av de utgående strålarna skickas till en SGZ analysator, så är sannolikheten att få Sz = ±~/2 lika
med 0.5. Eftersom samma utfall INTE fås som i Exp1 så visar detta att mätningen med SGX analysatorn
ändrar systemets tillstånd.
Exp4: SGZ → MSGX → SGZ: Om tillståndet preparerats till Sz = +~/2, och skickas till en SGX
analysator och sedan blandas och skickas till en SGX analysator, så är sannolikheten att få Sz = +~/2
lika med 1, och sannolikheten att få Sz = −~/2 är 0. Dvs samma utfall fås som i Exp1, precis som om
MSGX analysatorn inte fanns.
Postulat: Kvantmekaniska tillstånd |Ψi är vektorer i ett vektorrum (Hilbert-rum) och innehåller all information som man kan ha om systemet.
Spinn upp och ner tillstånden hos Sz bildar en bas och skrivs som enhets-kolumnvektorerna:
|+i = ( 10 ) , |−i = ( 01 )
Ett allmänt spinntillstånd kan skrivas som en superposition av basvektorerna och ges av kolumnvektorn
|Ψi = a|+i + b|−i = ( ab ) där a, b är komplexa tal.
Kolumnvektorerna kallas även ket-vektorer. Motsvarande radvektorer kallas bra-vektor och skrivs
h+| = (1, 0) , h−| = (0, 1) , hΨ| = a∗ h+| + b∗ h−| = (a∗ , b∗ )
Inre produkten av två tillståndsvektorer |Ψi = a|+i + b|−i, |Φi = c|+i + d|−i definieras som hΨ|Φi =
a∗ c + b∗ d = hΦ|Ψi∗ och är ett komplext tal. Detta kallas Dirac notation eller “bra-ket” notation.
Inre produkten är positivt definit: hΨ|Ψi = |a|2 + |b|2 ≥ 0. Normen av en vektor är hΨ|Ψi1/2 .
Basvektorerna är ON: h+|+i = h−|−i = 1, h+|−i = h−|+i = 0. a, b fås genom a = h+|Ψi, b = h−|Ψi.
Alla kvantmekaniska tillståndsvektorer ska vara normerade: hΨ|Ψi = a∗ a + b∗ b = |a|2 + |b|2 = 1
Postulat: Sannolikheten att få spinn upp vid en mätning av Sz i tillståndet |Ψi = a|+i + b|−i
är P+ = |a|2 = |h+|Ψi|2 , och pss är P− = |b|2 = |h−|Ψi|2 . En mätning av Sz som ger spinn upp
ändrar systemets tillstånd till |+i, och spinn ner ändrar tillståndet till |−i (kollaps eller
projektion av tillståndet).
En mätning av Sx som ger resultatet Sx = ±~/2 ändrar systemets tillstånd till
1
√
√
= √12 ( 11 ) , |−ix = |+i−|−i
, = √12 −1
|+ix = |+i+|−i
2
2
En mätning Sy som ger resultatet Sy = ±~/2 ändrar tillståndet till
1
√
√
|+iy = |+i+i|−i
= √12 ( 1i ) , |−iy = |+i−i|−i
, = √12 −i
2
2
1
2
Operatorer och egenvärdesproblem
I kvantmekaniken representeras en observabel A av en operator Aˆ som verkar på ket-vektorerna och ger
ˆ
nya ket-vektorer som resultat: A|Ψi
= |Φi. Operatorn konstrueras så att den ger resultat som stämmer
med experiment och med motsvarande klassiska resultat. Ofta utelämnasˆtecknet på operatorn.
~ 1 0
Spinnoperatorer i Sz -basen: Sx = ~2 ( 01 10 ) , Sy = ~2 0i −i
0 , Sz = 2 0 −1
Spinnkomponenten i riktningen n = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) ges av operatorn
−iφ
Sn = S · n = Sx sin θ cos φ + Sy sin θ sin φ + Sz cos θ =
~
2
cos θ sin θe
sin θeiφ − cos θ
Bra-vektorn som motsvarar ket-vektorn A|Ψi = |Φi innehåller en ny operator: hΦ| = hΨ|A† som kallas
Hermiteska konjugatet eller adjungerade operatorn till A (”A-kors”, ”A-dagger” på engelska). Matriselementen är relaterade genom hα|A† |βi = hβ|A|αi∗ , dvs ”A-kors”=”A transponat-konjugat”. A kallas
Hermitesk (eller självadjungerande) om A† = A.
Egenvärdesproblemet för A: A|an i = an |an i, där an är egenvärden och |an i motsvarande egenvektorer.
Egenvärden och egenvektorer konstrueras genom att lösa den sekulära ekvationen det(A − λI) = 0, där I
är enhetsoperatorn. Egenvektorerna diagonaliserar en operator (eller en matris) eftersom en operator blir
diagonal i basen av sina egenvektorer, med egenvärdena som diagonalelement. Egenvektorerna är enhetsvektorer i sin egen bas. Exempel: Sz |±i = (±~/2)|±i , Sx |±ix = (±~/2)|±ix , Sy |±iy = (±~/2)|±iy .
Sats (Sturm-Liouville teori): 1. Egenvärdena till Hermiteska operatorer är reella. 2. Egenvektorer till
olika egenvärden är ortogonala. 3. Egenvektorerna bildar en fullständig bas.
Postulat: Varje fysikalisk observabel representeras av en Hermitesk operator.
Exempel: Sx† = Sx , Sy† = Sy , Sz† = Sz .
Fullständighetsrelationen: Ett allmänt
tillstånd
som en superposition av en fullständig
P
P |Ψi kan skrivas P
mängd basvektorer |an i: |Ψi = n cn |an i = n |an ihan |Ψi ⇒ n |an ihan | = I, där I är enhetsoperatorn
Enhetsoperatorns
termer kallas projektionsoperatorer: pn = |an ihan | och fullständighetsrelationen kan
P
skrivas n pn = I
Postulat: Egenvärdena an är de möjliga mätresultaten vid en mätning
av observabeln A.
P
Om ett system är i ett (normerat) superpositionstillstånd |Ψi = n |an ihan |Ψi så är sannolikheten att en mätning av A ger resultatet an lika med Pn = |han |Ψi|2 . En mätning som ger
resultatet an ändrar (eller kollapsar, eller projicerar) systemets tillstånd till motsvarande
(normerade) egentillstånd |an i.
P
Väntevärdet
cn |an i definieras som hAi = hΨ|A|Ψi och uppfyller
P hos en operator A i tillståndet |Ψi =
hAi =
an Pn =summa av mätvärdena gånger sannolikheterna. Väntevärdet ger medelvärdet av ett
stort antal upprepningar av en mätning av A i det identiskt preparerade tillståndet |Ψi
p
p
Osäkerheten hos en operator A i tillståndet |Ψi definieras som ∆A = h(A − hAi)2 = hA2 i − hAi2 .
Om systemet är i ett egentillstånd till A så blir ∆A = 0 och A kallas bestämd, annars blir ∆A > 0 och
A kallas osäker.
Kommutatorn mellan två operatorer A, B definieras [A, B] = AB − BA. Om AB = BA så är [A, B] = 0
och A, B säges kommutera.
Sats: A, B kommuterar ⇔ A, B har gemensamma egenfunktioner.
Om A, B kommuterar så kallas A, B kompatibla eller samtidigt mätbara, eftersom de kan vara bestämda
samtidigt om systemet är i ett gemensamt egentillstånd.
Om [A, B] 6= 0 så kallas observablerna inkompatibla och kan inte vara samtidigt bestämda.
Osäkerhetsprincipen: ∆A∆B ≥ 21 |h[A, B]i|
Spinnkomponenterna inkompatibla: [Sx , Sy ] = i~Sz (cykl.perm.) ⇒ saknar gemensamma egenfunktioner.
Totala spinnoperatorn i kvadrat ges av S 2 = Sx2 + Sy2 + Sz2 = 34 ~2 ( 10 01 ), dvs S 2 ∝ I.
S 2 kommuterar med alla spinnkomponentoperatorerna och är samtidigt mätbar med en av dessa.
Egenfunktionerna |+i, |−i till Sz är gemensamma egenfunktioner med S 2 .
2
3
Schrödingerekvationen
Postulat: Tidsutvecklingen hos ett kvantsystem ges av Hamiltonianen H som är operatorn
d
|Ψi.
som motsvarar systemets totala energi, genom Schrödinger-ekvationen: H|Ψi = i~ dt
Energiegenfunktionerna uppfyller H|En i = En |En i.
P
P
I energibasen ges tidsberoendet av |Ψ(t = 0)i = n cn |En i ⇒ |Ψ(t)i = n cn e−iEn t/~ |En i
Denna enkla form på tidsberoendet gäller bara i energibasen.
Sannolikheten att en energimätning ger En är tidsoberoende: Pn = |hEn |Ψ(t)i|2 = |cn |2 .
Energiegentillstånden kallas därför stationära tillstånd.
P
Energiväntevärdet är tidsoberoende: hHi = n |cn |2 En .
4
Kvantmekaniska ”paradoxer”
Flera kvantmekaniska förutsägelser som ursprungligen formulerades som kvantmekaniska paradoxer har
senare bekräftats experimentellt och är idag aktiva forskningsområden. Grundforskning (bl.a. vid AlbaNova) om sådana exotiska kvanteffekter är idag under snabb utveckling mot nya teknikområden inom
främst kvantkommunikation och kvantinformation.
EPR argumentet visar att kvantmekaniska korrelationer är icke-lokala och framfördes först för att visa att
kvantmekaniken är ofullständig och att det borde gå att formulera en mer fullständig teori. Senare experimentella studier av Bells olikhet har kunnat utesluta sådana möjligheter och visar att kvantmekaniken
fungerar.
Även ”Schrödingers katt” paradoxen studeras numera experimentellt (men inte i form av några djurförsök!). En utmaning är att få makroskopiska kvantmekaniska tillstånd att ha så långa koherenstider att
de kan studeras i experiment.
5
Bundna tillstånd
Egenvärdesrelationen för positionsobservabeln är x
ˆ|xi = x|xi, där x
ˆ är positionsoperatorn, egenvärdena
x är möjliga positionsmätvärden som är kontinuerliga reella tal, och |xi är basegenfunktionerna för
partiklar i positionen x. För att studera rumsberoende kvanttillstånd är detta en bekväm bas som kallas
positionsrepresentationen.
P
Med
P diskreta egenvärden an kan ett allmänt tillstånd utvecklas
P som en superposition |Ψi =
P n∗ cn |an i =
n |an ihan |Ψi, och inre produkten med tillståndet |Φi =
n dn |an i definieras hΦ|Ψi =
n dn cn .
I övergången till kontinuerliga egenvärden x blir sådana Rsummor oftast divergenta. Inre produkten defi∞
nieras därför om som en s.k. överlappsintegral: hΦ|Ψi = −∞ Φ∗ (x)Ψ(x)dx där vågfunktionen definieras
som Ψ(x) = hx|Ψi, analogt med cn = han |Ψi i diskreta fallet.
R∞
Väntevärden av operatorer i positionsrepresentationen definieras som hAi = −∞ Ψ∗ (x)AΨ(x)
P
Normeringskravet i diskreta fallet är hΨ|Ψi = n |han |Ψi|2 = 1.
Sannolikheten att en mätning av A ska ge värdet an är Pn = |han |Ψi|2 .
R∞
R∞
I kontinuerliga fallet är normeringskravet hΨ|Ψi = −∞ |hx|Ψi|2 dx = −∞ |Ψ(x)|2 dx = 1.
Sannolikheten att en positionsmätning ska hitta partikeln i (x, x + dx) är |Ψ(x)|2 dx, dvs |Ψ(x)|2 är en
sannolikhetstäthet.
Rb
Sannolikheten att hitta partikeln i ett intervall är P (a < x < b) = a |Ψ(x)|2 dx.
Allmänt är sannolikheten
att hitta en partikel som preparerats i tillståndet Ψ i tillståndet Ψ lika med
R∞
|hΦ|Ψi|2 = | −∞ Φ∗ (x)Ψ(x)dx|2
Ett
|Ψi =
R ∞ allmänt tillstånd kan skrivas som en superposition av positionsegentillstånd på Rintegralform
∞
|xihx|Ψidx,
vilket
ger
den
kontinuerliga
versionen
av
fullständighetsrelationen:
|xihx|dx
= I.
−∞
−∞
3
Postulat: Position och rörelsemängd representeras i kvantmekaniken av operatorerna x
ˆ=x
och pˆ = −i~d/dx. Operatorerna vars motsvarande klassiska uttryck är funktioner A(x, p) ges
av Aˆ = A(ˆ
x, pˆ).
2
ˆ = pˆ + V (x) vilket ger Schrödinger-ekvationen i positionsrepresentationen som
Hamiltonoperatorn är H
2m
2
~2 d Ψ(x)
ˆ
+ V (x)Ψ(x) = EΨ(x) Denna ekvation gäller i en dimension.
är en vågekvation: HΨ(x)
= − 2m
dx2
Motsvarande ekvation i tre dimensioner diskuteras i Kap. 7.
Kontinuitetsvillkor på vågfunktionen: 1. Ψ(x) är kontinuerlig i alla punkter x. 2. Ψ0 (x) är kontinuerlig
om inte V (x) = ∞.
Tillstånd i en attraktiv potential med energi E < V kallas bundna. För bundna tillstånd är de tillåtna
energiegenvärdena kvantiserade. Vågfunktionen för ett bundet tillstånd i en ändlig potential tränger in
i det klassiskt förbjudna området där E < V (x).
Bundna energiegentillstånd har hpi = 0. I ett tidsberoende bundet tillstånd som är en superposition
av energiegentillstånd kan hxi och hpi vara tidsberoende så att partikeln kan studsa fram och tillbaka i
potentialbrunnen.
Väntevärdena uppfyller Ehrenfests teorem: hp(t)i = mdhx(t)i/dt vilket motsvarar det klassiska sambandet p = mv. OBS: kvantmekaniskt gäller sambandet bara för väntevärden.
q
2
x<0,x>L
~2 k n
2
Oändlig potentialbrunn: V (x) = ∞
L sin kn x , En = 2m , kn =
0 0<x<L . Energiegentillstånd: φn (x) =
R
∞
nπ
∗
L , n = 1, 2, 3, ..., ∞ , hm|ni = −∞ φm (x)φn (x)dx = δm,n
Ett allmänt
R ∞superposition
P tillstånd vid tiden t kan skrivas som en
Ψ(x, t) = n cn φn (x)e−iEn t/~ där cn = hφn |Ψi = −∞ φ∗n (x)Ψ(x, t = 0)dx
Dubbelspaltexperiment: Vågfunktionen från de båda spaltöppningarna i en punkt
2 på detektorskärmen
2
ipr1 /~
ipr2 /~
2
2 ipr1 /~ ges av Ψ ≈ A e
+e
. Sannolikhetstätheten blir |Ψ| = |A| e
1 + eip(r2 −r1 )/~ | {z }
=1
= 2|A|2 (1 + cos p(r2 − r1 )/~). Inför de Broglie våglängden genom p/~ = 2π/λ. Interferensmaximum fås
då cos 2π(r2 − r1 )/λ = 1 ⇒ r2 − r1 = λ×heltal. Experimentet har genomförts för ljus, elektroner, atomer
och molekyler: http://en.wikipedia.org/wiki/Double-slit_experiment
6
Obundna tillstånd
d
Rörelsemängdsegenfunktionerna är plana vågor: pˆφp (x) = −i~ dx
φp (x) = pφp (x)
√
ipx/~
φp (x) = hx|pi = e
/ 2π~
För en fri partikel (V = 0) är rörelsemängdsegenfunktionerna även energiegenfunktioner:
√
ˆ E = − ~” φ00 (x) = EφE (x) , φE (x) = eipx/~ / 2π~ , E = p2 /2m
Hφ
2m E
En fri partikel har en våglängd λ som uppfyller de Broglie relationen: p = ~k = h/λ där k = 2π/λ är
vågvektorn.
Egenfunktioner till operatorer med kontinuerliga egenvärden normeras med delta-funktionsnormering.
Rörelsemängdsegenfunktionernas normering: hp|p0 i = δ(p − p0 )
Positionsegenfunktionerna i positionsrepresentationen ges av: φx0 (x) = hx|x0 i = δ(x − x0 )
d
I p-representationen (rörelsemängdsbasen) är positions och rörelsemängdsoperatorerna: pˆ = p , x
ˆ = i~ dp
√
∗
−ipx/~
Egentillstånden är φp0 (p) = hp|p√
/ 2π~
0 i = δ(p − p0 ) , φx (p) = hp|xi = hx|pi = e
d −ipx/~
eftersom x
ˆφx (p) = i~ dp e
/ 2π~ = xφx (p)
Kommuteringsrelation: [x, p] = i~
Osäkerhetsprincipen: ∆x∆p ≥ ~/2
4
Tunnling genom rektangulär potentialbarriär: V (x) =
n
V0 |x|<a
0 |x|>a
Transmissionssannolikhet T = |Ψtransmitterad /Ψinfallande /|2
Reflektionssannolikhet R = |Ψreflekterad /Ψinfallande /|2
T +R=1
2
2 2
)
sin2 2qa , k 2 = 2mE/~2 , q 2 = 2m(E − V0 )/~2
E > V0 : T = 1/ 1 + (k4k−q
2 q2
E < V0 : T = 1/ 1 +
(k2 +q 2 )2
4k2 q 2
sinh2 2qa , k 2 = 2mE/~2 , q 2 = 2m(V0 − E)/~2
För tunnling genom en barriär med bredden d = 2a i gränsen för en bred barriär, qd 1, blir
2 2
q
1
−2qd
∼ e−2qd
T =
→ (k16k
2 +q 2 )2 e
2
(k2 +q 2 )2
1+ 4k2 q2 sinh qd
| {z }
→e2qd /4
Denna formel ger den teoretiska basen för STM metoden: Scanning Tunneling Micoscropy. En tunnelström beror exponentiellt på avståndet mellan en atomärt skarp metallspets och en metallyta. Genom
att mäta tunnelströmmens positionsberoende vid svep med spetsen över ytan möjliggörs en bestämning
av atomernas positioner på ytan med atomär upplösning.
7
Rörelsemängdsmoment
Schrödingerekvationen i tre dimensioner är HΨ = (T + V )Ψ = EΨ(r)
Rörelsemängdsoperatorn: p = −i~∇
p2
~2
= − 2m
∇2 . Potentiella energioperatorn: V = V (r)
Kinetiska energioperatorn: T = 2m
Studera två partiklar i r1 , r2 med massor m1 , m2 bundna av en centralpotential:
p2
p2
p2
P2
H = 2m11 + 2m11 + V (|r2 − r1 |) = HCM + Hrel , HCM = 2M
, Hrel = 2µ
+ V (r),
där R = (m1 r1 + m2 r2 )/M, M = m1 + m2 , P = p1 + p2 är masscentrumkoordinater, och r = r2 −
r1 , p = µ(p2 /m2 − p1 /m1 ) är relativa kooordinater, samt µ är reducerade massan: µ = m1 m2 /M .
Masscentrumrörelsen är är samma som rörelsen hos en fri partikel med massan M och har plana vågor
P2
eiP·R/~ som egentillstånd med konserverad rörelsemängd P och energi E = 2M
. Sök stationära tillstånd
~2 2
hos den relativa rörelsen: HΨ = − 2µ ∇ Ψ + V (r)Ψ = EΨ(r).
Rörelsemängdsmomentoperatorer: L = r × p , L2 = L2x + L2y + L2z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
− z ∂y
− x ∂z
, Lz = −i~ x ∂y
− y ∂x
, Ly = −i~ z ∂x
Lx = ypz − zpy = −i~ y ∂z
Kommutatorer: [Lx , Ly ] = i~Lz (cykl. perm.), [L2 , Lx ] = [L2 , Ly ] = [L2 , Lz ] = 0.
⇒ L2 , Lz har gemensamma egenfunktioner. Lx , Ly , Lz saknar gemensamma egenfunktioner.
∂
∂
1
∂
∂
1
∂2
Laplace operator i sfäriska koordinater: ∇2 = r12 ∂r
r2 ∂r
+ r2 sin
θ ∂θ sin θ ∂θ + r 2 sin2 θ ∂φ2
h
∂
∂
∂
, L2 = −~2 sin1 θ ∂θ
sin θ ∂θ
+
Rörelsemängdsmomentoperatorer i sfäriska koordinater: Lz = −i~ ∂φ
~2 ∂
∂
SE i sfäriska koordinater: HΨ = − 2µr
r2 ∂r
Ψ+
2 ∂r
L2
2µr 2 Ψ
+ V (r)Ψ) = EΨ(r, θ, φ)
2µ
d
Separera variabler Ψ(r) = R(r)Y (θ, φ) ⇒ R1 dr
r2 dR
dr − ~2 (E − V (r)) = l(l + 1) =
⇒ L2 Y = l(l + 1)~2 Y (θ, φ) Separera mera: Y (θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ)
√
Egenfunktioner till Lz : Lz Φm (φ) = m~Φm (φ) , Φm (φ) = eimφ / 2π
1 L2 Y
~2 Y
Gemensamma egenfunktioner till L2 , Lz i Dirac-notation:
L2 |lmi = l(l + 1)~2 | lmi, Lz |lmi = m~|lmi.
Kvanttalen l, m är heltal. l kallas rörelsemängdsmomentkvanttalet och m magnetiska kvanttalet.
Möjliga värden: m = −l, −(l − 1), ..., 0, ..., (l − 1), l = 0, 1, 2, 3, ..., ∞
I positionsrepresentationen: L2 Ylm (θ, φ) = l(l + 1)~2 Ylm (θ, φ) , Lz Ylm (θ, φ) = m~Ylm (θ, φ)
Ylm kallas sfäriska funktioner och finns tabellerade.
5
1
∂2
sin2 θ ∂φ2
i
ON villkor: hl1 m1 |l2 m2 i =
R 2π
0
sin θdθ
Rπ
0
1
2
dφYlm
(θ, φ)∗ Ylm
(θ, φ) = δl1 ,l2 δm1 ,m2
1
2
Sannolikhet att hitta en partikel i tillståndet |lmi i rymdvinkelelementet dΩ = sin θdθdφ är |Ylm |2 sin θdθdφ.
8
Väteatomen
~2 d
Radiella Schrödinger-ekvationen − 2µr
r2 dR
2 dr
dr + V (r)R +
l(l+1)~
2µρ2 R
= ER(r)
2
Ze
Coulomb-potentialen med kärnladdning Ze (väte: Z = 1): V (r) = − 4π
0r
Eftersom mproton ≈ 2000melektron så är µ ≈ me
2
2
2 2
2
Sätt R(r)
= U (r)/r , ρ =
r/a , a = a0 /Z , a0 = 4π0 ~ /µe = 0.529 Å, E = −γ ~ /2µa ⇒
U 00 + −γ 2 + ρ2 − l(l+1)
U =0
ρ2
Bohr-radien: a0 = 0.529 Å.
2
1
1
~
Energinivåer: En = − 2µa
2 n2 = − 2n2
Ze2
4π0
2
µ
~2
= −13.6/n2 eV
Joniseringsenergin för väte (Z = 1): E∞ − E1 = 13.6 eV
Huvudkvanttalet: n = 1, 2, 3, ..., ∞.
Lösningen visar även att: l = 0, 1, 2, ..., n − 1 , m = −l, −l + 1, ..., 0, ..., l − 1, l
Radiella vågfunktioner: Rnl (r)
3/2
3/2 h
Z
R10 = 2 aZ0
e−Zr/a0 , R20 = 2 2a
1−
0
Zr
2a0
i
e−Zr/a0 , R21 = 2
Z
2a0
3/2
Zr −Zr/a0
a0 e
, osv
Polynomdelen kallas Laguerre-polynom av grad n − l − 1
Fulla vågfunktionen: Ψ(r, θ, φ) = Rnl (r)Yln (θ, φ)
R∞
Rπ
R 2π
2
Normering: hnlm|n0 l0 m0 i = δnn0 δll0 δmm0 , 0 [Rnl (r)] r2 dr = 1 , 0 sin θ dθ 0 dφ |Ylm |2 = 1
Sannolikhet att hitta partikeln i dr: |Rnl (r)|2 r2 dr
Sannolikhet att hitta partikeln i dV : |Ψ(r, θ, φ)|2 dV = |Rnl (r)|2 r2 dr |Yln (θ, φ)|2 sin θ dθ dφ
9
Harmoniska oscillatorn
p2
Hamiltonoperatorn: H = 2m
+ 12 mω 2 x2 = a† a + 21 ~ω = N + 12 ~ω
p
p
p
p
Stegoperatorer: a = mω
x + i mω
, a† = mω
x − i mω
2~
2~
q
q
~
x = 2mω
a† + a , p = i ~mω
a† − a
2
Nummeroperatorn: N = a† a , [N, H] = 0
Kommutatorer: [a, a† ] = 1 , [H, a] = −~ωa , [H, a† ] = −~ωa†
√
√
Normering: a|ni = n|n − 1i , a† |ni = n + 1|n + 1i
Energiegenvärden: H|En i = En |En i, En = (n + 1/2)~ω, n = 0, 1, 2, ..., ∞
Nummeroperatorns egenvärden: N |ni = n|ni, |ni = |En i, n = 0, 1, 2, ..., ∞
ON egenvektorer: hm|ni = δm,n
√
√
Matriselement: hm|a|ni = nδm,n−1 , hm|a† |ni = n + 1δm,n+1
Grundtillståndsvågfunktion: φ0 (x) =
mω 1/4 −x2 /2x20
e
π~
6
Klassisk vändpunkt: x0 =
p
Exciterade tillstånd: |ni =
Vågfunktioner: φn (x) =
~/mω
√1 (a† )n |0i
n!
√1
n!
mω n/2
π~
Hn (ξ)e−ξ
2
/2
, ξ 2 = (x/x0 )2
Hermite-polynomen Hn = n:te gradspolynom: H0 = 1 , H1 = 2ξ , H2 = 4ξ 2 − 2 , H3 = 8ξ 3 − 12ξ
Grundtillståndsväntevärden:
q
q
~
~
h0|(a† + a)|0i = 2mω
(h0|a† |0i + h0|a|0i) = 0
hxi = h0|x|0i = 2mω
| {z } | {z }
hx2 i = h0|x2 |0i =
~
†
2mω h0|(a
+ a)2 |0i =
=0
=0
† 2
~
) |0i + h0|a2 |0i + h0|a† a|0i +
2mω (h0|(a
| {z } | {z } | {z }
=0
=0
=0
h0|aa† |0i
| {z }
)=
~
2mω
=h0|a|1i=h0|0i=1
På liknande sätt fås: hpi = 0 , hp2 i = ~mω/2
p
p
Osäkerheter: ∆x = ~/2mω , ∆p = ~mω/2
Osäkerhetsprodukt: ∆x∆p = ~/2, dvs osäkerhetsrelationen uppfylls som en likhet.
Den Gaussiska grundtillståndsvågfunktionen säges därför ha minimal osäkerhet.
Exempel på superposition av stationära tillstånd. Antag att en oscillator är i en superposition av de två
lägsta energiegentillstånden:
−iωt/2
|Ψ(t)i = √12 |0ie−iE0 t/~ + |1ie−iE1 t/~ = e √2
|0i + |1ie−iωt ⇒
q ~
e−iωt/2
q ~
+iωt/2
†
−iωt
√
h0| + h1|e+iωt
a
+
a
|0i
+
|1ie
= 2mω cos ωt
hxi = hΨ(t)|x|Ψ(t)i = e √2
2mω
2
q
q
−iωt/2
+iωt/2
e √
~mω
†
−iωt
h0| + h1|e+iωt i ~mω
a
−
a
|0i
+
|1ie
=
−
hpi = hΨ(t)|p|Ψ(t)i = e √2
2
2 sin ωt
2
d
Detta demonstrerar återigen Ehrenfests teorem: hpi = m dt
hxi
Den första kvantmaskinen har nyligen konstruerats i form av en mekanisk oscillator, som bla kan oscillera
som en superposition liknande exemplet ovan. Denna bedrift utsågs till 2010 års största vetenskapliga
genombrott i tidskriften Science:
http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_machine
http://www.sciencemag.org/content/330/6011/1604
10
Störningsräkning
H = H0 + H 0 , H0 = ostörd Hamiltonian,
H 0 = störning som antas vara liten och ger en liten ändring av det ostörda systemet.
(0)
Ostörda systemet antas ha känd lösning: H0 |n(0) i = En |n(0) i
0
Sök lösning till det störda systemet: (H0 + H )|ni = En |ni
Ansätt lösningen till det störda systemet som en serie:
(2)
(0)
(1)
En = En + En + En + ...
|ni = |n(0) i + |n(1) i + |n(2) i + ...
där superscript (m) betecknar m:te ordningens korrektion och är proportionell mot störningen upphöjt
till m enligt formlerna nedan. Störningsräkning är motiverad om högre ordningens korrektioner är så
små att första eller andra ordningens korrektioner ger en användbar approximation, vilket ofta gäller.
Första ordningens störningsteori:
R (0)
(0)
(1)
(1)
(0)
En = En + En , En = hn(0) |H 0 |n(0) i = (φn )∗ H 0 φn dx
(0)
där φn (x) = hx|n(0) i är den ostörda vågfunktionen.
(0)
0
(0)
P
|ni = |n(0) i + |n(1) i , |n(1) i = m6=n hm (0)|H |n(0) i |m(0) i
En −Em
Andra ordningens störningsteori:
(0)
0
(0) 2
P
(2)
En = m6=n |hm (0)|H |n(0) i|
En −Em
Formlerna ovan gäller för icke-degenererade ostörda energinivåer. För degenererade ostörda energinivåer
fås de störda energinivåerna genom att diagonalisera störningen i det degenererade underrummet. I regel
7
kan dock basfunktionerna väljas på förhand så att H 0 blir diagonal. Då sparas räknearbete eftersom första
ordningens energikorrektionerna fås med samma formel som ovan för det icke-degenererade fallet.
Exempel på degenererad störningsräkning: Stark-effekt i väte för n = 2 tillstånd. OBS: bokens räkningar
innehåller flera fel i formlerna som korrigeras i bokens erratum (se länk från kurshemsidan).
11
Rörelsemängdsmoment
Allmänna rörelsemängdsmoment
Kommutationsrelationer: [Jx , Jy ] = i~Jz , [J 2 , Jx ] = 0 (cykl. perm.)
Stegoperatorer: J+ = Jx + iJy , J− = Jx − iJy
Gemensamma egenfunktioner: J 2 |jmj i = j(j + 1)~2 |jmj i , Jz |jmj i = mj ~|jmj i
j är halvtaligt: j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ... , mj = −j, ..., j i heltalssteg.
Addition av rörelsemängdsmoment J = J1 + J2
Okopplad bas: |j1 j2 m1 m2 i = |j1 m1 i|j2 m2 i
Kopplad bas: |j1 j2 JM i
Kopplade basfunktioner
J2 |JM i = J(J + 1)~2 |JM i , Jz |JM i = M ~|JM i där |j1 − j2 | ≤ J ≤ j1 + j2 och M = m1 + m2
Pj
Pj
j1 j2 J
Basbyte: |j1 j2 JM i = m1 1 =−j1 m2 2 =−j2 Cm
|j1 j2 m1 m2 i
1 m2 M
j1 j2 J
Clebsch-Gordan koefficienterna Cm
= hj1 j2 m1 m2 | j1 j2 JM i finns tabellerade.
1 m2 M
Exempel: addition av två spin-1/2:
triplett: |JM i = |11i = | + +i , |10i =
singlett: |00i =
|+−i+|−+i
√
2
, |1, −1i = | − −i
|+−i−|−+i
√
2
Hyperfinstruktur
Hyperfin växelverkan: H 0 =
A
~2 S
· I, där S elektronspinn 1/2, och I kärnspinn 1/2
Skriv om H 0 genom: J = S+I ⇒ J 2 = S 2 +I 2 +2S·I ⇒ S·I = 12 (J 2 −S 2 −I 2 ) ⇒ H 0 =
som är diagonal i den kopplade basen så att icke-degenererad störningsräkning gäller
A
2
2
2
2~2 (J −S −I )
Första ordningens korrektion till energin splittrar upp vätes grundtillstånd så att tripletten med J = 1
ligger högre än singletten med J = 0: ∆E (1) = A
12
Vätes finstruktur
Zeeman-effekt om spinnet försummas
Med B-fältet i z-riktningen blir störningen till Hamiltonianen H 0 = −µ · B = gl µB B
~ Lz
Första ordningens korrektion till energin: E (1) = hnlm|H 0 |nlmi = gl µB Bml
Zeeman-effekt med spinn i svaga magnetfält
Störningen ges av H 0 = −µ · B = µB B
~ (gl Lz + ge Sz )
Matriselement mha Wigner-Eckard teoremet:
mj ~ , hjmj |Lz |jmj i =
hjmj |Sz |jmj i = j(j+1)+s(s+1)−l(l+1)
2j(j+1)
(1)
j(j+1)+l(l+1)−s(s+1)
mj ~
2j(j+1)
Första ordningens Zeeman korrektion till energin EZ = hnlsjmj |H 0 |nlsjmj i = gj µB Bmj
8
Landé g-faktor med gl = 1 , ge = 2.00: gj = 1 +
1
Väte: s = 1/2 , j = l ± 1/2 ⇒ gj = 1 ± 2j+1
j(j+1)+s(s+1)−l(l+1)
2j(j+1)
(1)
Zeemann skift: EZ = hnlsjmj |H 0 |nlsjmj i = µB Bmj (1 ±
13
1
2j+1 )
Identiska partiklar
De fysikaliska tillstånden kan inte ändras vid utbyte av identiska partiklar. Utbyte av identiska partiklar
sker med utbytesoperatorn som defineras av P12 Ψ(x1 , x2 ) = Ψ(x2 , x1 ). Egenvärden i P12 Ψ(x1 , x2 ) =
λΨ(x1 , x2 ) är λ = ±1 och motsvarar tillstånd som är symmetriska: Ψ(x2 , x1 ) = Ψ(x1 , x2 ), eller antisymmetriska: Ψ(x2 , x1 ) = −Ψ(x1 , x2 ) under utbyte av partiklarna 1 och 2.
Symmetriseringspostulatet eller spinn-statistik teoremet (härleds i relativistisk kvantmekanik):
Alla partiklar i naturen är antingen fermioner eller bosoner.
Bosoner har symmetriska tillstånd och heltaliga spinn: s = 0, 1, 2, 3, ...
Fermioner har antisymmetriska tillstånd och halvtaliga spinn: s = 1/2, 3/2, ...
Pauli-principen: Två fermioner kan inte dela samma tillstånd, ty då blir Ψ(x2 , x1 ) = Ψ(x1 , x2 ) dvs
tillståndet symmetriskt.
Tillstånden som vi studerar kan faktoriseras i en rumsdel och en spinndel: |Ψi = |Ψrum i|Ψspinn i
A
Bosoner: |Ψi = |ΨSrum i|ΨSspinn i eller |Ψi = |ΨA
rum i|Ψspinn i (S=symmetrisk, A=antisymmetrisk))
S
A
Fermioner: |Ψi = |ΨSrum i|ΨA
spinn i eller |Ψi = |Ψrum i|Ψspinn i
Spinntillståndet för identiska spinn 1/2 partiklar (tex elektroner) är antingen:
symmetriska triplett-tillstånd: |S, M i = |11i = | + +i , |10i =
eller antisymmetriskt singlett-tillståndet: |S, M i = |00i =
9
|+−i+|−+i
√
2
|+−i−|−+i
√
2
, |1, −1i = | − −i