1. No category

Framväxten av ett ramverk för partikelfysik
Relativistisk Kvantfältteori
Jens Fjelstad
2010–03–15
Innehåll
• Otillräckligheten hos icke–relativistisk kvantmekanik
◦ elektronens spinn
◦ uteslutningsprincipen
◦ kvantstatistik
• Diracekvationen & relativistisk kvantmekanik
• Kvantfältteori & kvantelektrodynamik
2 / 22
Zeemaneffekten
• Breddning [1896] och uppsplittring [1897] av
spektrallinjer i magnetiska fält [Pieter Zeeman]
• “Förklarades” i en klassisk modell för ljus [Lorentz, 1896]
• Klassisk elektronbana – magnetiskt moment
• Senare: (ban–)rörelsemängdsmomentet kvantiserat.
◦ kvanttal: l = 0, 1, 2, . . ., ml = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l
◦ energinivåer i magnetiskt fält ∝ ml
3 / 22
Den anomala Zeemaneffekten
• Uppplittring i fler linjer än vad Lorentz förutsade [Cornu, 1898]
• ∆E ∝ mgB i magnetfält B [Landé 1921]
◦ m: kvanttal
j(j + 1) + R(R + 1) − l(l + 1) ~ ~ ~
◦ g =1+
,j =l +R
2j(j + 1)
◦ “m, R & j är halvtaliga för alkalimetallerna”, R = 1/2
◦ man antog R associerad med “inre elektronskal”
4 / 22
Paulis uteslutningsprincip
• Wolfgang Pauli visade att R omöjligt kan härröra till inre
elektronskal, utan måste vara associerad till en egenskap hos
valenselektronen själv; elektronen har en icke–klassiskt
beskrivbar tvåvärdhet (zweideutigkeit) [1924]
5 / 22
Paulis uteslutningsprincip
• Wolfgang Pauli visade att R omöjligt kan härröra till inre
elektronskal, utan måste vara associerad till en egenskap hos
valenselektronen själv; elektronen har en icke–klassiskt
beskrivbar tvåvärdhet (zweideutigkeit) [1924]
• Elektronens nya egenskap beskrivs av ett kvanttal mR = ±1/2
[Goudsmit]
• Fullständig uppsättning kvanttal: (n, l, ml , mR )
• Stoners regel [1924]: antalet elektroner i ett fyllt elektronskal är
dubbla antalet kvanttal (n, l, ml ) svarande mot fixt n
• Pauli postulerar: I en atom kan två eller fler elektroner aldrig
befinna sig i tillstånd beskrivna av samma värden (n, l, ml , mR ).
Om en elektron har tillståndet (n, l, ml , mR ) så är tillståndet
upptaget (ockuperat).
5 / 22
Elektronens Spinn
• På Ehrenfests inrådan undervisar doktoranden Samuel
Goudsmit 1925 George Uhlenbeck (även han student) om
“spektralzoologi”.
• Då de diskuterade uteslutningsprincipen och kvanttalet mR
insåg Uhlenbeck att det betyder att elektronen har en
~ är elektronens rörelsemängdsmoment
“rotationsfrihetsgrad”, R
pga spinn kring sin egen axel [1925]
• Klassiska bilden ej rättvisande, men elektronen uppför sig som
om den kan spinna på två sätt kring sin egen axel.
6 / 22
Kvantstatistik
• Heisenberg [1926]: övergångar i ett system av två identiska
harmoniska oscillatorer sker mellan tillstånd med samma
symmetriegenskap då koordinaterna permuteras
◦ Ψ(x1 , x2 ) = Ψ(x2 , x1 ) symmetrisk
◦ Ψ(x1 , x2 ) = −Ψ(x2 , x1 ) antisymmetrisk
• Wigner [1926] attackerade problemet med N identiska partiklar,
övergångar sker inom s.k. irreducibla representationer av den
symmetriska gruppen SN av permutationer av N element
• Uteslutningsprincipen är uppfylld då
Ψ(x1 , ms1 ; x2 , ms2 ) = −Ψ(x2 , ms2 ; x1 , ms1 )
◦ ms : spinnkvanttalet
◦ analogt för N identiska partiklar
◦ sägs uppfylla Fermi–Dirac statistik (modernt: fermioner)
• Fotoner har symmetrisk vågfunktion
◦ sägs uppfylla Bose–Einstein statistik (modernt: bosoner)
7 / 22
Relativistisk Kvantmekanik
2
2 2
• Klein–Gordon ekvationen ∇2 − 12 ∂ 2 φ = m 2c φ
c ∂t
~
◦ relativistisk (till skillnad från Schrödinger ekv.)
◦ ej kompatibel med sannolikhetstolkning
◦ problemet: andra ordningens tidsderivata
• Schrödinger ekv. för elektronen med spinn [Pauli]
H11 H12
H21 H22
ψ1
ψ2
∂
= i~
∂t
ψ1
ψ2
• Dirac [1928]: kvadratroten ur c 2~
p 2 − E 2 = m2 c 4
“A great deal of my work is just playing with equations and
seeing what they give.”
8 / 22
Relativistisk Kvantmekanik
2
2 2
• Klein–Gordon ekvationen ∇2 − 12 ∂ 2 φ = m 2c φ
c ∂t
~
• Schrödinger ekv. för elektronen med spinn [Pauli]
• Dirac [1928]:
∂
mc
γµ µ +
ψ=0
∂x
~
där γ µ är 4 × 4–matriser och ψ har 4 komponenter
 µ

µ
µ
µ 
γ11 γ12
γ13
γ14
ψ1
µ
µ
µ
µ 


γ
γ
γ
γ
21
22
23
24 
 ψ2
γµ = 
 γ µ γ µ γ µ γ µ  , ψ =  ψ3
31
32
33
34
µ
µ
µ
µ
γ41
γ42
γ43
γ44
ψ4
ψ: spinor
8 / 22




Relativistisk Kvantmekanik
2
2 2
• Klein–Gordon ekvationen ∇2 − 12 ∂ 2 φ = m 2c φ
c ∂t
~
• Schrödinger ekv. för elektronen med spinn [Pauli]
• Dirac [1928]:
mc
µ ∂
γ
+
ψ=0
∂x µ
~
◦ relativistisk
◦ i centralpotential är spinn en automatisk konsekvens
◦ Schrödingers teori som gräns då E << mc 2
8 / 22
Diracekvationen och Diracs hålteori
• Diracekvationen framgångsrik i vissa avseenden, men
p
• E = ± c 2~
p 2 − m2 c 4
◦ kan i kvantmekanik ej kasta bort lösningar med negativ energi
◦ Kleins paradox
• Hålteorin: vakuum är ett tillstånd med (nästan) alla negativa
energitillstånd upptagna (“Dirachavet”), och
uteslutningsprincipen gäller
◦ ett icke–ockuperat tillstånd i havet ser ut
som en partikel med laddningen +e och
positiv energi, Dirac föreslog detta var
protonen
◦ då ψ kopplar till EM–fält kan elektron-hål
par bildas via absorption av fotoner –
partikelantalet ej bevarat!
9 / 22
Positronen
• Flertal invändningar mot protonhypotesen [1930]
◦ väteatomens livstid ∼ 10−10 s [Oppenheimer, Tamm]
◦ ett hål har exakt samma massa som en elektron [Weyl]
• Dirac [1931]: “ A hole, if there were one, would be a new kind of
particle, unknown to experimental physics, having the same
mass and opposite charge of the electron.” han kallar den
“anti–elektron”
• Carl Anderson [1932] detekterar partiklar
med liten massa och positiv laddning i
observationer av kosmisk strålning, en
redaktör på tidskriften Science föreslår
namnet “positron”
10 / 22
Kort sammanfattning
• Ny ingrediens: spinn – konsekvens av relativistisk
kvantmekanik
• Udda tolkning – hålteorin, automatiskt en mångpartikelteori
11 / 22
Klassisk fysik och dess kvantisering
• Klassisk (fundamental) fysik:
◦ partikelmekanik (Newtonsk & relativistisk) – dynamiken hos
klassiska punktpartiklar
◦ fältteori – Maxwells teori för elektromagnetism (relativistisk),
Newtons teori för gravitation (Newtonsk)
• Deras kvantiserade motsvarigheter:
◦ (icke–relativistisk) kvantmekanik – Schrödingers
vågmekanik/Heisenbergs matrismekanik
◦ relativistisk kvantmekanik – Diracekvationen
◦ kvantiserad Maxwellteori?? – krävs pga fotonbegreppet, kopplar
till laddade partiklar
◦ (kvantiserad Newtonsk gravitation?)
12 / 22
Kvantelektrodynamik – första stegen
• Förarbete av Born, Heisenberg & Jordan [1925]
• Dirac [1927]: kvantteorin för EM-fält kopplat till en väteatom
~ = −∇A0 − ∂ A,
~ B
~ =∇×A
~
◦ vektorpotential Aµ : E
∂t
~
X
◦ fourieruppdelning Aµ =
aµ (~k , t) + aµ† (~k , t) ei k ·~x
~
k
◦ kommuteringsrelationer [aµ (~k , t), aν† (~k 0 , t)] = δµν δ~k ,~k 0
P
◦ Hamiltonian H = j,~k hc|~k | aj† (~k )aj (~k ) + 12
◦ ∞ många harmoniska oscillatorer (en för varje ~k , j)
◦ a† (~k ) skapar & aj (~k ) förintar en foton med energi hc|~k |
j
• Dirac beräknade approximativt amplituderna för emission och
absorption av en foton
13 / 22
Kvantelektrodynamik – första stegen
• Förarbete av Born, Heisenberg & Jordan [1925]
• Dirac [1927]: kvantteorin för EM-fält kopplat till en väteatom
• Dirac beräknade approximativt amplituderna för emission och
absorption av en foton
◦ första pappret: “Radiative processes...in which more than one
light–quantum take part simultaneously are not allowed...”
(1:a ordningens störningsteori)
◦ andra pappret: i 2:a ordningens störningsteori följer att amplituden
har två bidrag:
γ + ei → e0 → γ 0 + ef
γ + ei → e00 + γ + γ 0 → γ 0 + ef
◦ högre ordningar i störningsteori (mer exakta approximationer)
inkluderar automatiskt flerpartikelprocesser
13 / 22
Kvantelektrodynamik – första stegen
• Förarbete av Born, Heisenberg & Jordan [1925]
• Dirac [1927]: kvantteorin för EM-fält kopplat till en väteatom
• Dirac beräknade approximativt amplituderna för emission och
absorption av en foton
• I kvantelektrodynamik är (nästan uteslutande) endast
approximativa beräkningar möjliga: störningsteori
◦ storhet f ≈ f0 + αf1 + α2 f2 + . . .
1
e2
◦ α = ~c
≈ 137
: finstrukturkonstanten
◦ man beräknar succesivt bidrag från högre och högre ordningar i α
13 / 22
Fältkvantisering och Kvantstatistik
• Kommuteringsrelationerna i Diracs kvantisering av
Maxwellfältet kan sammanfattas
[Aµ (~x , t), A†ν (~x 0 , t)] = δµν δ(~x − ~x 0 )
• Pascual Jordan & Oscar Klein [1927] visar:
P
◦ för ett kvantfält φ(x, t) = k (ak (t)uk (x) + ak† (t)uk∗ (x)) s.a.
[φ(x, t), φ† (x 0 , t)] = δ(x − x 0 )
gäller
◦ partiklarna som skapas av ak† (t) uppfyller Bose–Einstein statistik
• Jordan & Wigner [1928] visar:
P
◦ för ett kvantfält ψ(x, t) = k ak (t)uk (x) + ak† (t)uk∗ (x) s.a.
{ψ(x, t), ψ † (x 0 , t)} = δ(x − x 0 )
där {A, B} = AB + BA (antikommutatorn), gäller
◦ partiklarna som skapas av ak† (t) uppfyller Fermi–Dirac statistik
14 / 22
Relativistisk invarians i kvantfältteori
• Speciell relativitetsteori: symmetri under den s.k.
Lorentzgruppen
◦ rotationer i rummet
◦ Lorentz boostar
• Jordan, Pauli & Heisenberg (i olika konstellationer) [1928]:
◦ gav en allmän formulering av relativistiska fältteorier
15 / 22
Relativistisk invarians i kvantfältteori
• Speciell relativitetsteori: symmetri under den s.k.
Poincarégruppen
◦ rotationer i rummet
◦ Lorentz boostar
◦ translationer i rum och tid
• Jordan, Pauli & Heisenberg (i olika konstellationer) [1928]:
◦ gav en allmän formulering av relativistiska fältteorier
15 / 22
Relativistisk invarians i kvantfältteori
• Speciell relativitetsteori: symmetri under den s.k.
Lorentzgruppen
• Jordan, Pauli & Heisenberg (i olika konstellationer) [1928]:
◦ gav en allmän formulering av relativistiska fältteorier, utgående
från en verkansintegral (se Claes föreläsning om
symmetrier/“minsta verkans princip”)
Z
S = L(φ, ∂φ)
Z ~2 −B
~ 2 är en Lorentzinvariant verkan för
◦ Jordan [1908]: S =
E
Maxwellfältet
◦ lösningar till de klassiska fältekvationerna minimerar verkan S
◦ givet hur φ transformerar under rotationer och Lorentzboostar är
det relativt enkelt att lista ut hur S kan se ut för att ge manifest
Lorentzinvarianta fältekvationer
◦ gav recept för hur dessa, i princip, kvantiseras
15 / 22
Gaugeinvarians
• Heisenberg & Pauli [1928]: till synes oöverstigligt hinder att
kvantisera Maxwell teori enligt receptet, verkan S
“degenererad”
◦ S måste formuleras i termer av vektorpotentialen Aµ
~ B
~ bestämmer ej Aµ unikt, Aµ & Aµ + ∂χ ger samma elektriska
◦ E,
∂x µ
och magnetiska fält för godtycklig funktion χ
◦ Aµ innehåller redundanta (och icke–fysikaliska) frihetsgrader
∂χ
, ψ 7→ eiχ ψ kallas U(1) gaugetransformation (ψ
∂x µ
“materiefält” kopplat till EM–fältet)
• Aµ 7→ Aµ +
16 / 22
Gaugeinvarians
• Heisenberg & Pauli [1928]: till synes oöverstigligt hinder att
kvantisera Maxwell teori enligt receptet, verkan S
“degenererad”
∂χ
• Aµ 7→ Aµ +
, ψ 7→ eiχ ψ kallas U(1) gaugetransformation (ψ
∂x µ
“materiefält” kopplat till EM–fältet)
• H & P fann 1929 hur en teori med gaugeinvarians kan
behandlas
• Weyl [1919]: gaugeinvarians ⇒ bevarande av elektrisk laddning
• principen om gaugeinvarians fruktbar: leder naturligt till
icke–triviala fältteorier, generaliseringar av Maxwellteori (ex.vis i
standardmodellen)
16 / 22
Kvantelektrodynamik – problem med ∞
• Fock [1933], Heisenberg [1934]: elektronens vågfunktion 7→
kvantfältet ψ – kvantelektrodynamik därmed en genuin
kvantfältteori, hålteorin död
• Framgångsrik, men med problem
• Elektronens självenergi
◦ klassiskt: lima→0 e2 /a
◦ (icke–relativistisk) kvantmekanik: lima→0 e2 /a [Jordan & Klein,
Heisenberg & Pauli]
◦ kvantelektrodynamik: lima→0 e2 /a2 , ännu värre! [Oppenheimer]
(det finns ∞ många intermediära tillstånd e → γ 0 + e0 → e)
◦ Dirac [1934]: definiera fysikalisk energi och laddning genom att
subtrahera bidraget från Dirachavet (uttryckt i hålteori, kräver
noggrann subtraktion av divergerande storheter (∞ − ∞))
17 / 22
Kvantelektrodynamik – problem med ∞
• Fock [1933], Heisenberg [1934]: elektronens vågfunktion 7→
kvantfältet ψ – kvantelektrodynamik därmed en genuin
kvantfältteori, hålteorin död
• Framgångsrik, men med problem
• Elektronens självenergi
◦ Dirac [1934]: definiera fysikalisk energi och laddning genom att
subtrahera bidraget från Dirachavet (uttryckt i hålteori, kräver
noggrann subtraktion av divergerande storheter (∞ − ∞))
• Vakuumpolarisation
◦ Dirac [1933]: pga elektron–positron parproduktion skärmas en
elektrisk laddning i vakuum, och beror på vid vilken energi den
mäts. (∞ − ∞)
• Delvis fungerande recept, men otillfredställande situation
• “Inget” händer fram till ∼ 1947
17 / 22
Spin–Statistik teoremet
• Partiklar kan ha
◦ heltaligt spinn (0, 1, 2, ...)
◦ halvtaligt spinn (1/2, 3/2, 5/2, ...) (elektronen, protonen,
neutronen alla spinn 1/2)
◦ eller helicitet för masslösa partiklar (fotonen har helicitet 1)
• Teoremet [Fierz 1939, Pauli 1940, Schwinger 1950, Feynman]:
Partiklar med heltaligt spinn är bosoner, partiklar med halvtaligt
spinn är fermioner
• Beviset (eller bevisen ...) kräver relativistisk kvantfältteori
18 / 22
Modern Kvantelektrodynamik (QED)
• Nya huvudpersoner: Julian Schwinger (1918–1994),
Sin-ItiroTomonaga (1906–1979), Richard Feynman
(1918–1988), Freeman Dyson (1923–).
• Schwinger, Tomonaga, Feynman oberoende av varandra gav
en manifest Lorentz– och gauge–invariant formulering av
störningsteori i kvantelektrodynamik
• Feynmans formulering mest elegant:
◦ vägintegral
Z
i
DAµ Dψe ~ S[Aµ ,ψ]
◦ störningsteori organiserad i Feynmandiagram
• Dyson [1949]: Feynmans approach är ekvivalent med
Schwingers och Tomonagas approacher
19 / 22
Feynmandiagram
•
R
i
DAµ Dψe ~ S[Aµ ,ψ] = O(1) + O(α) + O(α2 ) + . . .
• Bidraget av ordning αn representeras av diagram med n loopar
• “Inre linjer” kallas virtuella partiklar
20 / 22
Feynmandiagram
•
R
i
DAµ Dψe ~ S[Aµ ,ψ] = O(1) + O(α) + O(α2 ) + . . .
• Bidraget av ordning αn representeras av diagram med n loopar
• “Inre linjer” kallas virtuella partiklar
• I störningsteori: växelverkan sker genom utbyte av virtuella
partiklar, elektromagnetisk växelverkan sker genom utbyte av
virtuella fotoner
20 / 22
Renormering
• “Utnyttja” att vi inte känner teorin för godtyckligt höga energier:
inkludera endast bidrag upp till en viss given energi Λ
• Resultat a’priori beroende av “cut–off” energin Λ, men ofta
tillräckligt noggrannt för experimentella syften (effektiv fältteori)
• Ibland möjligt ta Λ → ∞ med ändligt svar, teorin kallas då
renormerbar
ex: Standardmodellen
• Centralt för QED: proceduren måste ske utan att bryta
gaugeinvarians!
21 / 22
Härnäst
• 70–85:
◦ standardmodellen (Sheldon Glashow, Stephen Weinberg & Abdus
Salam)
◦ konceptuell förståelse av kvantfältteori & renormering (Kenneth
Wilson)
• Se näst–nästa föreläsning
22 / 22