השדה החשמלי , בנושא חוק קולון 1 קובץ תרגילים מספר . חישובי שדה

‫‪-1-‬‬
‫קובץ תרגילים מספר ‪ 1‬בנושא חוק קולון‪ ,‬השדה החשמלי‬
‫חישובי שדה חשמלי וחוק גאוס‪.‬‬
‫חוק קולון‬
‫‪ .1‬בקובייה שאורך מקצועה ‪ a‬מוצב מטען ‪ q‬בכל פינה‪ .‬הוכח כי הכוח השקול הפועל על כל‬
‫‪0.262q 2‬‬
‫מטען נתון ע"י‪:‬‬
‫‪ε 0a 2‬‬
‫‪ .2‬כוח הדחייה האלקטרוסטטי הפועל בין שני יונים זהים והמרוחקים מרחק של‬
‫‪ 5 × 10−10 m‬הוא ‪. 3.7 × 10−9 N‬‬
‫א‪ .‬מצא את המטען של כל יון‪.‬‬
‫‪−19‬‬
‫ב‪ .‬כמה אלקטרונים חסרים מכל יון ? תשובה‪ :‬א‪ . 3.2 ×10 c .‬ב‪ 2 .‬אלקטרונים‪.‬‬
‫= ‪.F‬‬
‫‪ .3‬שני כדורים מוליכים זהים הטעונים במטענים מנוגדי סימן מושכים זה את זה בכוח של‬
‫‪ 0.108 N‬כאשר הם מרוחקים מרחק של ‪ 50cm‬זה מזה‪ .‬במצב זה מחברים ביניהם תיל‬
‫מוליך‪ ,‬מחכים להתייצבות המערכת ואז מסירים את התיל‪ .‬ידוע כי כעת הכדורים דוחים‬
‫זה את זה בכוח של ‪ . 0.036 N‬אם ידוע כי לאחר חיבור התיל מטעני‬
‫הכדורים שווים מצא מה היו המטענים המקוריים על הכדורים‪.‬‬
‫תשובה‪ q1 = −1μ c, q1 = 3μ c :‬ולהפך‪.‬‬
‫‪ .4‬שני כדורים קטנים וזהים בעלי מסה ‪ m‬כל אחד טעונים במטען זהה‬
‫‪θ θ L‬‬
‫‪ q‬ותלויים מהתקרה בעזרת שני חוטים קלים שאורכם ‪ L‬כמוראה‬
‫שעבורו‬
‫קטנות‬
‫לזווית‬
‫בקירוב‬
‫כי‬
‫הראה‬
‫בציור‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫‪1/ 3‬‬
‫‪ tan θ ≈ sin θ ≈ θ‬המרחק ביניהם נתון ע"י‪:‬‬
‫⎞ ‪⎛ q2L‬‬
‫⎜=‪.x‬‬
‫⎟‬
‫⎠ ‪⎝ 2πε 0 mg‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ .5‬חלקיק ‪ ( q = +2e ) α‬נע על הקו הניצב למרכז מולקולת‬
‫המימן‪ .‬המרחק בין שני הגרעיני המימן הוא ‪ . b‬באיזה מרחק‬
‫ממרכז המולקולה ירגיש חלקיק ה ‪ α‬את כוח הדחייה‬
‫‪b‬‬
‫=‪.x‬‬
‫המקסימאלי ? תשובה‪:‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+e‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ .6‬שני חלקיקים זהים הנושאים מטען חשמלי חיובי ‪ + q‬כל אחד‬
‫מוחזקים למקומם כך שהמרחק ביניהם הוא ‪ . d‬חלקיק‬
‫‪+e‬‬
‫נקודתי שלישי הנושא מטען ‪ , −Q‬והחופשי לנוע‪ ,‬מוצב בתחילה‬
‫במנוחה בנקודה על האנך האמצעי לקו המקשר בין שני המטענים ובמרחק ‪ x‬מהמרכז‪.‬‬
‫א‪ .‬הראו כי אם המרחק ‪ x‬קטן בהשוואה ל ‪ d -‬יבצע החלקיק שמטענו ‪ −Q‬תנועה‬
‫הרמונית פשוטה לאורך האנך האמצעי‪ .‬מהי תדירותה הזוויתית ?‬
‫ב‪ .‬חשבו את מהירותו המקסימאלית של ‪ −Q‬אם הוא משוחרר ממנוחה מנקודה‬
‫שמרחקה מהמרכז הוא ‪. A << d‬‬
‫‪kqQ‬‬
‫‪16kQq‬‬
‫‪. v max = 4 A‬‬
‫= ‪ ω‬ב‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪md‬‬
‫‪md 3‬‬
‫המכללה האקדמית להנדסה סמי שמעון‪ :‬פיסיקה ‪ 2‬ב'‪ :‬ד"ר בראונשטיין דורון‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫‪-2-‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ .7‬ארבעה חלקיקים זהים הנושאים מטען חשמלי ‪+Q‬‬
‫כל אחד מוצבים בפינותיו של ריבוע שאורך צלעו ‪a‬‬
‫]המטענים מקובעים למקומם[‪ .‬מטען נקודתי חמישי‬
‫‪ , −q‬נמצא במנוחה בגובה ‪ z‬מעל מישור הריבוע על‬
‫האנך למישור הריבוע והעובר דרך מרכזו ]ראו איור[‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את הכוח שארבעת המטענים המוצבים בפינות‬
‫הריבוע מפעילים על המטען החמישי‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי מסת המטען החמישי היא ‪ m‬וכי ‪. z << a‬‬
‫הראו כי הוא יבצע תנועה הרמונית פשוטה‪ .‬מהו זמן‬
‫המחזור של התנועה ?‬
‫‪128 k qQ‬‬
‫‪4k q Q z‬‬
‫‪ . F = −‬ב‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫‪3/ 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪mL‬‬
‫⎞ ‪⎛ 2 a2‬‬
‫⎟ ‪⎜z +‬‬
‫⎠‪2‬‬
‫⎝‬
‫‪−q‬‬
‫‪+Q‬‬
‫‪+Q‬‬
‫‪z‬‬
‫‪a‬‬
‫‪+Q‬‬
‫‪+Q‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪.ω‬‬
‫השדה החשמלי‬
‫‪ .8‬דיפול חשמלי מוצב בשדה לא אחיד‪ .‬האם קיים כוח נטו הפועל על הדיפול ?‬
‫‪ .9‬מטענים נקודתיים מוצבים במקום הספרות של שעון כך ש במיקום הספרה ‪ 1‬מוצב מטען‬
‫‪ , −q‬במיקום הספרה ‪ 2‬מוצב מטען ‪ −2q‬וכדומה בכל מספר מוצב מטען נקודתי שלילי‬
‫שגודלו ‪ nq‬כך ש ‪ n‬הוא מספר בין אחת לשנים עשרה כולל‪ .‬בהנחה שהמטענים אינם‬
‫מפריעים לתפקודו התקין של השעון מצא על איזו שעה יצביע המחוג הקטן )מחוג השעות(‬
‫כאשר כיוונו יהיה ככיוון השדה החשמלי השקול במרכז השעון ? תשובה‪ .9:30 :‬הדרכה‪:‬‬
‫נצלו את הסימטריה של הבעיה והביטו בשני מטענים הנמצאים בקצותיו של קוטר‪.‬‬
‫‪ .10‬טיפוס מסוים של קוואדרופול )‪ (Quadrupole‬חשמלי נוצר ע"י ‪ 4‬מטענים נקודתיים‬
‫המוצבים בקדקודיו של‬
‫ריבוע שאורך צלעו ‪. 2a‬‬
‫‪x‬‬
‫נקודה ‪ p‬נמצאת במרחק‬
‫‪−q‬‬
‫‪+q‬‬
‫‪ x‬ממרכז הקואדרופול‬
‫על קו המקביל לשתיים‬
‫מצלעות הריבוע )ראה‬
‫ציור(‪ .‬עבור ‪x >> a‬‬
‫‪+q‬‬
‫‪−q‬‬
‫הראה כי השדה החשמלי‬
‫‪2a‬‬
‫ידי‬
‫על‬
‫נתון‬
‫) ‪3 ( 2qa 2‬‬
‫= ‪ . E‬הדרכה‪ :‬ניתן להתייחס להקוואדרופול כאל‬
‫הביטוי‪:‬‬
‫‪2πε 0 x 4‬‬
‫סופרפוזיציה של שני דיפולים‪.‬‬
‫‪ .11‬באיזה מרחק ‪ z‬על הציר של דסקה טעונה בצפיפות שטחית ‪ σ‬ורדיוס ‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫השדה החשמלי מקסימאלי‪ .‬תשובה‪:‬‬
‫= ‪.z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+ +‬‬
‫‪+‬‬
‫‪p‬‬
‫‪r‬‬
‫‪- -‬‬
‫המכללה האקדמית להנדסה סמי שמעון‪ :‬פיסיקה ‪ 2‬ב'‪ :‬ד"ר בראונשטיין דורון‪.‬‬
‫איור תרגיל ‪12‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‬‫‬‫‪-‬‬
‫‪-3‬‬‫‪ .12‬מוט זכוכית דק כופף לצורת חצי מעגל שרדיוסו ‪ . r‬מטען ‪ + q‬מפולג בצורה אחידה לאורך‬
‫החצי העליון ומטען ‪ −q‬מפולג אחידות לאורך החצי התחתון של הצורה‪ .‬מצא את השדה‬
‫החשמלי בנקודה ‪ , p‬מרכז חצי המעגל‬
‫תשובה‪:‬‬
‫]ראו איור בעמוד קודם[‪.‬‬
‫‪q‬‬
‫‪E‬‬
‫=‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−q‬‬
‫‪π ε 0r 2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ .13‬על מוט מבודד באורך ‪ L‬מפוזר מטען‬
‫חשמלי ‪ −q‬בצפיפות אחידה‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪L‬‬
‫א‪ .‬חשב את צפיפות המטען האורכית‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השדה החשמלי בנקודה ‪p‬‬
‫הנמצאת במרחק ‪ a‬מקצה המוט‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראה כי במרחקים גדולים‪ a >> L ,‬תשובתך לסעיף ב' תצטמצם לשדה‬
‫של מטען נקודתי‪.‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫= ‪.E‬‬
‫= ‪ . E‬ג‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ λ = − .‬ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4πε 0 a‬‬
‫)‪4πε 0 a(a + L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪---------------‬‬
‫‪ .14‬שני מוטות דקים בעלי אורך ‪ 2A‬נושאים מטען‬
‫חשמלי ‪ +Q‬כל אחד המפוזר על פניהם בצורה‬
‫אחידה‪ .‬המוטות מונחים לאורך ציר ה ‪x -‬‬
‫כשהמרחק בין מרכזיהם הוא ‪ . a‬הראו כי הכוח‬
‫שהמוטות מפעילים האחד על השני נתון בביטוי‪:‬‬
‫⎞ ‪kQ 2 ⎛ a 2‬‬
‫‪. F = 2 ln ⎜ 2‬‬
‫⎟ ‪2‬‬
‫‪4A‬‬
‫⎠ ‪⎝ a − 4A‬‬
‫‪2A‬‬
‫‪2A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .15‬הציור הבא מתאר דיפול חשמלי‪ .‬הראה כי רכיבי השדה החשמלי בנקודה ) ‪ p ( x, z‬נתונים‬
‫על ידי‪:‬‬
‫) ‪p ( 2z 2 − x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4πε 0 ( x 2 + z 2 )5/ 2‬‬
‫= ‪, Ez‬‬
‫‪3 pxz‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4πε 0 ( x 2 + z 2 )5/ 2‬‬
‫= ‪ , Ex‬כאשר ‪ p = qd‬הוא‬
‫מומנט הדיפול ונקודת השדה רחוקה מאוד מהדיפול‪ ,‬כלומר עבור ‪ . x, z >> d‬הראה כי‬
‫השדה מצטמצם לביטוי שקיבלנו בכיתה עבור נקודה רחוקה הנמצאת על ציר ה ‪. x -‬‬
‫הדרכה‪ :‬יש להשתמש בקירוב הבינום‪.‬‬
‫‪ .16‬מוט מבודד "חצי אינסופי" טעון בצורה אחידה בצפיפות אורכית ‪ . + λ‬הראה כי השדה‬
‫החשמלי בנקודה ‪ p‬הנמצאת בגובה ‪ R‬מעל קצה המוט מכוון בזווית של ‪ 45D‬עם המוט‬
‫]ראו איור בעמוד קודם[‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫) ‪p ( x, z‬‬
‫‪p‬‬
‫‪+q‬‬
‫‪90D‬‬
‫‪x‬‬
‫‪d‬‬
‫‪−q‬‬
‫ציור תרגיל ‪15‬‬
‫ציור תרגיל ‪16‬‬
‫המכללה האקדמית להנדסה סמי שמעון‪ :‬פיסיקה ‪ 2‬ב'‪ :‬ד"ר בראונשטיין דורון‪.‬‬
‫‪-4-‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .17‬תיל מבודד בצורת חצי מעגל שרדיוסו ‪ R‬נושא מטען חשמלי כללי‬
‫‪ + q‬בצפיפות אורכית ‪] λ = λ0 cos θ‬ראו איור[‪ R λ0 .‬הוא קבוע‬
‫מספרי והזווית ‪ θ‬מוגדרת באיור שלהלן‪.‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬הביעו את הקבוע ‪ λ0‬באמצעות ‪ q‬ו‪. R -‬‬
‫ב‪ .‬מהו כוח שיפעל על מטען ‪ +Q‬שיוצב במרכז חצי‬
‫המעגל ?‬
‫‪kπ qQ‬‬
‫‪q‬‬
‫= ‪.F‬‬
‫= ‪ . λ0‬ב‪.‬‬
‫תשובות‪ :‬א‪.‬‬
‫‪4R2‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪ .18‬מוט מבודד דק שאורכו ‪ L‬נושא בחציו העליון מטען‬
‫בצפיפות אחידה ‪ + λ‬ובחציו התחתון מטען בצפיפות‬
‫‪. −λ‬‬
‫א‪ .‬השתמש בשיקולי סימטריה על מנת למצוא את כיוונו‬
‫של השדה החשמלי בנקודה ‪. P‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השדה החשמלי בנקודה ‪. p‬‬
‫ג‪ .‬קח את הגבול בו ‪ y >> L‬ומצא את השתנות השדה‬
‫במרחקים גדולים‪ .‬איזה סוג של שדה הוא מזכיר?‬
‫‪z‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪p‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫תשובה‪:‬א‪ .‬השדה בכיוון ציר ‪ z‬השלילי‪.‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪2k λ y 2 + L2 / 4 − y‬‬
‫‪k λ L2‬‬
‫= ‪ E‬זהו שדה של דיפול חשמלי במרחקים‬
‫= ‪ . Ez‬ג‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪4 y3‬‬
‫‪y y 2 + L2 / 4‬‬
‫גדולים‪.‬‬
‫‪ .19‬חשבו את השדה החשמלי של מישור מטען אינסופי הטעון בצפיפות מטען שטחית ‪σ‬‬
‫כסופרפוזיציה של אינסוף תילים בעלי אורך אינסופי‪ .‬השדה של תיל אינסופי חושב‬
‫בכיתה‪.‬‬
‫‪σ‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫= ‪.E‬‬
‫‪ .20‬חישוק טבעתי מחומר מבודד שרדיוסו ‪ R‬טעון באופן אחיד במטעו ‪. q‬‬
‫מהחישוק מוצאים קטע קטן שנראה ממרכז החישוק בזווית מרכזית‬
‫‪ . 2θ‬חשב את השדה החשמלי במרכז החישוק‪.‬‬
‫‪kq sin θ‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫= ‪.E‬‬
‫‪π R2‬‬
‫‪2θ‬‬
‫‪ .21‬חשב את השדה החשמלי בגובה ‪ z‬מעל מרכזה של דסקה מעגלית שרדיוסה ‪ R‬והטעונה‬
‫במטען ‪ q‬בצפיפות לא אחידה ‪ . σ (r ) = α r 2‬הביעו תשובתכם באמצעות ‪ . q‬הדרכה‪:‬‬
‫תזדקקו לאינטגרל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫)‬
‫‪x 2 + 2a 2‬‬
‫‪x2 + a2‬‬
‫(‬
‫=‬
‫‪4kq z z − R 2 + z 2‬‬
‫‪R4 R2 + z 2‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪3/ 2‬‬
‫) ‪( x2 + a2‬‬
‫∫‪.‬‬
‫=‪E‬‬
‫המכללה האקדמית להנדסה סמי שמעון‪ :‬פיסיקה ‪ 2‬ב'‪ :‬ד"ר בראונשטיין דורון‪.‬‬
‫‬‫‬‫‬‫‪-‬‬
‫‪+λ‬‬
‫‪−λ‬‬
‫‪-5-‬‬
‫‪h‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ .22‬התייחסו לגליל חלול בעל רדיוס ‪ R‬וגובה ‪h‬‬
‫הנושא מטען כללי ‪ +Q‬בצפיפות אחידה‪ .‬חשבו‬
‫את השדה החשמלי במרחק ‪ d‬מאחד מבסיסיו‪.‬‬
‫⎛‬
‫⎞‬
‫⎜ ‪kQ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫תשובה‪⎟ :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫⎟ ‪2‬‬
‫‪h ⎜ d 2 + R2‬‬
‫⎠ ‪(d + h) + R‬‬
‫⎝‬
‫‪R‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪ .23‬התייחסו לגליל מלא בעל רדיוס ‪ R‬וגובה ‪ h‬הנושא מטען כללי ‪ +Q‬בצפיפות אחידה‪.‬‬
‫חשבו את השדה החשמלי במרחק ‪ d‬מאחד מבסיסיו‪.‬‬
‫)‬
‫תשובה‪+ R 2 + d 2 + R 2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(d + h‬‬
‫(‬
‫‪2kQ‬‬
‫‪h−‬‬
‫‪R 2h‬‬
‫‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ .24‬נתונה קליפה חצי כדורית בעלת רדיוס ‪ R‬הנושאת מטען‬
‫חשמלי בצפיפות שטחית אחידה ‪ . σ‬חשבו את השדה החשמלי‬
‫בנקודה ‪ A‬הנמצאת במרכז הקליפה הכדורית ובנקודה ‪B‬‬
‫הנמצאת בקצה התחתון שלה‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫תשובה‪E A = k π σ , EB = 2 k π σ :‬‬
‫חוק גאוס‪:‬‬
‫‪ .25‬במאמרו משנת ‪ 1911‬כתב ארנסט רתרפורד‪ " 1‬על מנת לקבל סדר גודל של הכוח הנדרש‬
‫על מנת להסיח חלקיק ‪ α‬ממסלולו נתייחס לאטום כמכיל מטען נקודתי חיובי ‪ze‬‬
‫במרכזו של כדור‪ ,‬והמוקף בהתפלגות אחידה של מטען ‪ . − ze‬השדה החשמלי ‪ E‬במרחק‬
‫‪ r‬ממרכז הכדור הוא‬
‫‪ze ⎛ 1‬‬
‫⎞ ‪r‬‬
‫= ‪ . E‬אשרו את הטענה של‬
‫⎟‪⎜ 3− 3‬‬
‫‪4πε 0 ⎝ r‬‬
‫⎠ ‪R‬‬
‫רתרפורד‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .26‬נתון כדור בראשית הצירים‪ .‬רדיוס הכדור הוא‬
‫‪ R‬והוא טעון הומוגנית‪ .‬בכדור חלל כדורי‬
‫שקוטרו ‪) R‬ראה ציור(‪ .‬חשב את השדה‬
‫בנקודות ‪ A, B, O‬ועל ציר ה – ‪ x‬במרחק‬
‫‪ . x >> R‬הדרכה‪ :‬השתמשו בסופרפוזיציה‪.‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪17 kQ‬‬
‫‪kQ‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫= ‪, EA‬‬
‫= ‪, EA‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪18 R‬‬
‫‪2R2‬‬
‫‪O‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. Eo = − k‬‬
‫‪ 1‬ארנסט רתרפורד היה פיזיקאי וכימאי חתן פרס נובל לכימה לשנת ‪ .1908‬תרם רבות לחקר מבנה האטום וביקועו‪.‬‬
‫המכללה האקדמית להנדסה סמי שמעון‪ :‬פיסיקה ‪ 2‬ב'‪ :‬ד"ר בראונשטיין דורון‪.‬‬
‫‪A‬‬