‫‪1‬‬
‫נוסחאות למבחן‬
‫הסקה על התוחלת – שונות ידועה‬
‫רווח סמך‬
‫‪2‬‬
‫‪p( x − ε ≤ µ ≤ x + ε ) = 1 − α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪⋅Ζ‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪n‬‬
‫=‪ε‬‬
‫גודל מדגם שיבטיח ‪ ε‬נתון ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪σ ⋅ Ζ α‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n = ‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪‬‬
‫בדיקת השערות‬
‫מבחן שמאלי‬
‫מבחן ימני‬
‫‪⋅ Ζ 1−α‬‬
‫‪H 0 : µ = µ0‬‬
‫‪H 0 : µ = µ0‬‬
‫‪H1 : µ > µ0‬‬
‫‪H1 : µ < µ0‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪K = µ0 +‬‬
‫נדחה ‪ H 0‬אם ‪x > K‬‬
‫‪⋅ Ζ1−α‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪K = µ0 −‬‬
‫נדחה ‪ H 0‬אם ‪x < K‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪µ0 − x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪α′ = φ‬‬
‫‪ σ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x − µ0‬‬
‫‪α ′ = φ‬‬
‫‪ σ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪µ 0 − µ1‬‬
‫‪K − µ1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪β =φ‬‬
‫‪=φ‬‬
‫‪+ Ζ1−α ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ σ‬‬
‫‪ σ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪µ 0 − µ1‬‬
‫‪K − µ1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪β = 1−φ‬‬
‫‪= 1−φ‬‬
‫‪− Ζ1−α ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ σ‬‬
‫‪ σ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כללי‬
‫מבחן דו זנבי‬
‫‪ - α‬ההסתברות לטעות מסוג ראשון ‪,‬‬
‫‪H 0 : µ = µ0‬‬
‫‪H0‬‬
‫‪H1 : µ ≠ µ 0‬‬
‫ההסתברות לדחות‬
‫‪H0‬‬
‫כאשר‬
‫נכונה‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫‪ - β‬ההסתברות לטעות מסוג שני ‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫ההסתברות לקבל ‪ H 0‬כאשר ‪H 1‬‬
‫נכונה‪.‬‬
‫‪ - π‬עצמת המבחן‪ .‬ההסתברות לדחות ‪H 0‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪⋅Ζ‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪n‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪K 2 = µ0 +‬‬
‫נדחה ‪ H 0‬אם ‪ x < K1‬או ‪x > K 2‬‬
‫כאשר ‪ Η 1‬נכונה‪.‬‬
‫‪π = 1− β‬‬
‫‪ - α ′‬עבור ‪ α > α ′‬נדחה ‪H 0‬‬
‫עבור ‪ α < α ′‬נקבל ‪H 0‬‬
‫גודל מדגם שיבטיח ‪ α , β‬נתונים לשני המבחנים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⋅Ζ‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪K1 = µ 0 −‬‬
‫‪ σ ⋅ (Ζ1−α + Ζ1− β ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n = ‬‬
‫‪µ1 − µ 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x − µ0‬‬
‫‪α ′ = 2 − 2 ⋅φ‬‬
‫‪ σ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
2
‫הסקה על התוחלת שונות לא ידועה‬
. Sˆ ‫אם שונות לא ידועה יש לחשב את סטיית התקן המתוקנת‬
Sˆ =
Σ( x i − x )
n −1
2
. Sˆ ‫ נכתוב‬σ ‫ ניתן להשתמש במבחנים עבור התוחלת שונות ידועה אך במקום‬n ≥ 30 ‫אם‬
‫רווח סמך‬
ε=
Sˆ
⋅t
α
n n −1,1− 2
,
p( x − ε ≤ µ ≤ x + ε ) = 1 − α
‫בדיקת השערות‬
‫מבחן שמאלי‬
‫מבחן ימני‬
H 0 : µ = µ0
H 0 : µ = µ0
Η1 : µ < µ 0
Η1 : µ > µ 0
K = µ0 −
Sˆ
⋅ t n −1,1−α
n
K = µ0 +
Sˆ
⋅ t n −1,1−α
n
x < K ‫ אם‬H 0 ‫נדחה‬
x > K ‫ אם‬H 0 ‫נדחה‬




x − µ0 

α ′ = Ftn−1 
Sˆ 


 n 




µ0 − x 

α ′ = Ftn−1 
Sˆ 


 n 




µ 0 − µ1

− t n −1,1−α 
β = 1 − Ftn−1 
ˆ
S


n






µ 0 − µ1

+ t n −1,1−α 
β = Ftn−1 
ˆ
S


n


‫מבחן דו זנבי‬
H 0 : µ = µ0
Η1 : µ ≠ µ 0
Sˆ
⋅t
α
n n −1,1− 2
Sˆ
K 2 = µ0 +
⋅t
α
n n −1,1− 2
K1 = µ 0 −
x > K 2 ‫ או‬x < K1 ‫ אם‬H 0 ‫נדחה‬


x − µ0
α ′ = 2 − 2 ⋅ Ftn−1 
Sˆ

n







‫‪3‬‬
‫הסקה על הפרופורציה‬
‫‪B‬‬
‫‪n‬‬
‫הסטטיסטי של המבחן ‪:‬‬
‫= ˆ‪p‬‬
‫‪ - B ,‬מספר מקיימי התכונה במדגם‪.‬‬
‫רווח סמך‬
‫ˆ‪pˆ ⋅ q‬‬
‫ˆ‪⋅ Ζ α , qˆ = 1 − p‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪p ( pˆ − ε ≤ p ≤ pˆ + ε ) = 1 − α , ε‬‬
‫חישוב גודל המדגם שיבטיח ‪ ε‬נתון ‪ :‬נפריד בין שני מצבים ‪:‬‬
‫‪ .1‬יש מידע מוקדם אודות שיעור מקיימי התכונה באוכלוסייה והיא ‪p′‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Ζ α‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪n = p ′ ⋅ (1 − p ′) ⋅  2‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .2‬אין מידע מוקדם ‪‬‬
‫‪‬‬
‫בדיקת השערות‬
‫‪Ζ α‬‬
‫‪1  1− 2‬‬
‫‪n = ⋅‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪‬‬
‫מבחן שמאלי‬
‫מבחן ימני‬
‫‪p0⋅ q0‬‬
‫‪⋅ Ζ1−α‬‬
‫‪n‬‬
‫‪H 0 : p = p0‬‬
‫‪H 0 : p = p0‬‬
‫‪Η 1 : p > p0‬‬
‫‪Η 1 : p < p0‬‬
‫‪K = p0 +‬‬
‫נדחה ‪ H 0‬אם ‪pˆ > K‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , β = φ K − p1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ p ⋅q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪p0⋅ q 0‬‬
‫‪⋅ Ζ1−α‬‬
‫‪n‬‬
‫‪K = p0 −‬‬
‫נדחה ‪ H 0‬אם ‪pˆ < K‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ˆp − p 0‬‬
‫‪α ′ = 1 − φ‬‬
‫‪p0 ⋅ q0‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , β = 1 − φ K − p1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ p ⋅q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ˆp − p 0‬‬
‫‪α ′ = φ‬‬
‫‪p0 ⋅ q0‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫גודל מדגם תחת טעויות סטטיסטיות נתונות )לשני המבחנים(‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ p ⋅ q ⋅ Ζ + p1 ⋅ q1 ⋅ Ζ1− β ‬‬
‫‪n =  0 0 1−α‬‬
‫‪‬‬
‫‪p1− p0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪H 0 : p = p0‬‬
‫דו זנבי‬
‫‪Η 1 : p ≠ p0‬‬
‫‪p0⋅ q 0‬‬
‫‪⋅Ζ α‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪K1 = p0 +‬‬
‫‪p0 ⋅ q0‬‬
‫‪⋅Ζ α‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪K 2 = p0 −‬‬
‫נדחה ‪ H 0‬אם ‪ pˆ < K1‬או ‪pˆ > K 2‬‬
4
‫הסקה על השונות‬
Sˆ 2 ‫מחשבים את‬
Sˆ =
Σ( x i − x )
n −1
2
‫רווח סמך‬
 (n − 1) ⋅ Sˆ 2
(
n − 1) ⋅ Sˆ 2 
2

 = 1−α
≤σ ≤
p
2
χ 2 n −1,α2 
 χ n −1,1− α2
‫בדיקת השערות‬
‫מבחן שמאלי‬
H0 :σ 2 = σ 0
H0 :σ 2 = σ 0
2
Η1 : σ 2 < σ 02
K=
σ 02
n −1
‫מבחן ימני‬
2
Η1 : σ 2 > σ 02
⋅ χ n2−1,α
K=
σ 02
n −1
⋅ χ n2−1,1−α
Sˆ 2 < K ‫ אם‬H 0 ‫נדחה‬
σ2

β = 1 − Fχ 2  02 ⋅ χ n2 −1,α 
n −1
 σ1

 (n − 1) ⋅ Sˆ 2 
α ′ = Fχ 2 

n −1
σ 02


Sˆ 2 > K ‫ אם‬H 0 ‫נדחה‬

σ 2
β = Fχ  02 ⋅ χ n2−1,1−α 
σ 1

2
n−1
 (n − 1) ⋅ Sˆ 2 

2
 σ0

α ′ = 1 − Fχ ⋅ 
2
n −1
‫מבחן דו זנבי‬
H0 :σ 2 = σ 0
2
Η1 : σ 2 ≠ σ 02
K1 =
K2 =
σ 02
⋅χ2
n −1
σ
n −1,
2
0
n −1
⋅χ2
α
2
n −1,1−
α
2
Sˆ 2 < K1 ‫ או‬Sˆ 2 > K 2 ‫ אם‬H 0 ‫נדחה‬
‫‪5‬‬
‫הסקה על הפרש תוחלות – מדגמים בלתי תלויים‬
‫‪ (1‬השונויות ‪ σ y2 , σ x2‬ידועות ‪.‬‬
‫נבחין בין ‪ 3‬מקרים ‪:‬‬
‫‪ (2‬השונויות אינן ידועות אך שוות ‪σ y2 = σ x2‬‬
‫‪ (3‬השונויות אינן ידועות ואינן שוות‬
‫‪ .1‬השונויות ידועות‪:‬‬
‫רווח סמך‬
‫[‬
‫]‬
‫‪p (x − y ) − ε ≤ µ x − µ y ≤ (x − y ) + ε = 1 − α‬‬
‫‪,‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⋅Ζ‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪σ y2‬‬
‫‪σ x2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ny‬‬
‫‪nx‬‬
‫=‪ε‬‬
‫בדיקת השערות‬
‫מבחן שמאלי‬
‫מבחן ימני‬
‫‪⋅ Ζ1−α‬‬
‫‪H 0 : µ x − µ y = µ0‬‬
‫‪H 0 : µ x − µ y = µ0‬‬
‫‪Η1 : µ x − µ y > µ 0‬‬
‫‪Η1 : µ x − µ y < µ 0‬‬
‫‪σ y2‬‬
‫‪ny‬‬
‫‪+‬‬
‫‪σ x2‬‬
‫‪nx‬‬
‫‪K = µ0 +‬‬
‫נדחה ‪ H 0‬אם ‪x − y > K‬‬
‫‪⋅ Ζ1−α‬‬
‫נדחה ‪ H 0‬אם‬
‫‪σ y2‬‬
‫‪ny‬‬
‫‪+‬‬
‫‪σ x2‬‬
‫‪nx‬‬
‫‪K = µ0 −‬‬
‫‪x−y<K‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (x − y ) − µ0 ‬‬
‫‪α′ = φ ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ σx +σy ‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪n y ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (x − y ) − µ0 ‬‬
‫‪α′ = 1−φ ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ σx +σy ‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪n y ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫מבחן דו זנבי‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⋅Ζ‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪⋅Ζ‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪σ y2‬‬
‫‪ny‬‬
‫‪σ y2‬‬
‫‪ny‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪σ x2‬‬
‫‪nx‬‬
‫‪σ x2‬‬
‫‪nx‬‬
‫‪K1 = µ 0 −‬‬
‫‪K 2 = µ0 +‬‬
‫נדחה ‪ H 0‬אם ‪ x − y > K 2‬או ‪x − y < K1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ .2‬שונויות אינן ידועות אך שוות ‪σ y2 = σ x2‬‬
‫ראשית יש לחשב את סטיית התקן המדגמית ‪. Sˆ x , Sˆ y‬‬
‫אם לא נתון כי השונויות שוות ‪ ,‬ניתן לבדוק זאת באמצעות כלל פשוט‪:‬‬
‫‪Sˆ x2‬‬
‫אם מתקיים ‪< 3‬‬
‫‪Sˆ y2‬‬
‫‪1‬‬
‫ניתן להניח שוויון שונויות‪.‬‬
‫<‬
‫‪3‬‬
‫כעת נחשב את השונות המשוקללת ‪Sˆ p‬‬
‫‪(nx − 1) ⋅ Sˆ x2 + (n y − 1)⋅ Sˆ y2‬‬
‫‪nx + n y − 2‬‬
‫= ‪Sˆ p‬‬
‫כעת נוכל להשתמש בנוסחאות הקודמות עם השינויים הבאים‪:‬‬
‫במקום‬
‫‪σ y2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ny‬‬
‫במקום‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪σ x2‬‬
‫‪nx‬‬
‫‪Ζ1−α , Ζ‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪1 1‬‬
‫נכתוב‬
‫‪+‬‬
‫‪nx n y‬‬
‫נכתוב‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫⋅ ‪Sˆ p‬‬
‫‪n x + n y − 2 ,1−‬‬
‫‪t‬‬
‫‪,‬‬
‫‪) t nx + n y − 2,1−α‬אם ‪nx + n y − 2 > 30‬‬
‫להישאר עם ‪(Z‬‬
‫במקום )( ‪φ‬‬
‫נכתוב ‪Ftnx +ny −2‬‬
‫‪ .3‬שונויות לא ידועות ושונות‬
‫יש לחשב את ‪ Sˆ y , Sˆ x‬וכן את ‪df‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ Sˆ 2 Sˆ y2 ‬‬
‫‪ x + ‬‬
‫‪ nx n y ‬‬
‫= ‪df‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Sˆ y2 / n y‬‬
‫‪Sˆ x2 / nx‬‬
‫‪+‬‬
‫‪nx − 1‬‬
‫‪ny −1‬‬
‫[ ]‬
‫]‬
‫[‬
‫כעת נוכל להשתמש בנוסחאות הרגילות )של מקרה ‪ (1‬עם השינויים הבאים ‪:‬‬
‫במקום‬
‫במקום‬
‫‪σ y2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ny‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪σ x2‬‬
‫‪nx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Sˆ x2 Sˆ y‬‬
‫‪+‬‬
‫נכתוב‬
‫‪nx n y‬‬
‫‪ Ζ1−α , Ζ‬נכתוב‬
‫‪1−‬‬
‫במקום )( ‪φ‬‬
‫נכתוב‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪df ,1−‬‬
‫‪t df ,1−α ,t‬‬
‫)( ‪Ftdf‬‬
‫ניתן‬
‫‪7‬‬
‫הסקה על הפרש פרופורציות מדגמים בלתי תלויים‬
‫‪8‬‬
‫הסקה על יחס שונויות‬
‫נתונות שתי אוכלוסיות בלתי תלויות המקיימות‪, y ~ N ( µ y , σ 2y ) , x ~ N ( µ x ,σ 2x ) :‬‬
‫‪σ 2x‬‬
‫הפרמטרים ‪ , µ x ,µ y , σ 2x , σ 2y‬אינם ידועים‪ .‬ההסקה היא על יחס השונויות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪σy‬‬
‫‪ .‬נוטלים שני‬
‫מדגמים בלתי תלויים בגודל ‪ n x‬ו – ‪ n y‬משתי האוכלוסיות ומכל מדגם מחשבים את ‪. ˆs x2 , ˆs y2‬‬
‫‪ˆs x2‬‬
‫‪ˆs x2‬‬
‫הסטטיסטי של המבחן הוא היחס בין השונויות המדגמיות‪ . 2 :‬הסטטיסטי‬
‫‪ˆs y2‬‬
‫‪ˆs y‬‬
‫התפלגות ‪ F‬באופן הבא‪~ Fnx −1,n y −1 :‬‬
‫בהתפלגות זו מתקיים הקשר הבא‪:‬‬
‫‪ˆs x2 ˆs y2‬‬
‫‪σ 2x σ 2y‬‬
‫מתפלג‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F( n y −1,n x −1 ),1−α‬‬
‫= ‪F( nx −1,n y −1 ),α‬‬
‫רווח סמך‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ = 1− α‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ˆs x2 ˆs y2‬‬
‫‪σ 2x‬‬
‫‪ ˆs x ˆs y‬‬
‫≤ ‪≤ 2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪F‬‬
‫‪σy F‬‬
‫‪ (nx −1,n y −1),1− α‬‬
‫‪(nx −1,n y −1),α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫בדיקת השערות‬
‫מבחן שמאלי‬
‫מבחן שמאלי‬
‫‪‬‬
‫‪σ 2x‬‬
‫‪= a0‬‬
‫‪H :‬‬
‫‪H 0 : σ 2x = a 0 ⋅ σ 2y   0 σ 2y‬‬
‫‪ or ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪H 1 : σ 2x > a 0 ⋅ σ 2y   H : σ x > a‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 1 σ 2y‬‬
‫‪k = a 0 ⋅ F( nx −1,n y −1 ),1−α‬‬
‫‪ˆs x2‬‬
‫נדחה ‪ H 0‬אם ‪> K‬‬
‫‪ˆs y2‬‬
‫‪σ 2x‬‬
‫‪: 2 = a0‬‬
‫‪σy‬‬
‫‪σ2‬‬
‫‪: 2x < a 0‬‬
‫‪σy‬‬
‫‪‬‬
‫‪H‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪H 0 : σ x = a 0 ⋅ σ y   0‬‬
‫‪ or ‬‬
‫‪H 1 : σ 2x < a 0 ⋅ σ 2y   H‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪k = a 0 ⋅ F( nx −1,n y −1 ),α‬‬
‫‪ˆs x2‬‬
‫נדחה ‪ H 0‬אם ‪< K‬‬
‫‪ˆs y2‬‬
‫מבחן דו זנבי‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ˆs x2‬‬
‫‪ˆs x2‬‬
‫<‬
‫‪K‬‬
‫אם‬
‫או‬
‫נדחה ‪ H 0‬אם ‪> K 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ˆs y2‬‬
‫‪ˆs y2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪σ 2x‬‬
‫‪= a0‬‬
‫‪H :‬‬
‫‪H 0 : σ 2x = a 0 ⋅ σ 2y   0 σ 2y‬‬
‫‪ or ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪H 1 : σ 2x ≠ a 0 ⋅ σ 2y   H : σ x ≠ a‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 1 σ 2y‬‬
‫‪k1 = a 0 ⋅ F‬‬
‫‪α , k 2 = a0 ⋅ F‬‬
‫‪( n x −1,n y −1 ),1−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( n x −1,n y −1 ),‬‬
‫‪9‬‬
‫מבחני ‪ χ 2‬לטיב התאמה‬
‫‪H 0 : pi = pi0‬‬
‫לל כך ‪H 1 :‬‬
‫נדחה ‪ H 0‬אם ‪> χ k2−1,1−α‬‬
‫‪(Oi − Ei )2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪Ei‬‬
‫‪i =1‬‬
‫∑‬
‫מבחני ‪ χ 2‬לאי תלות‬
‫אין תלות בין המשתנים‪H 0 :‬‬
‫יש תלות בין המשתנים ‪H 1 :‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪⋅ ( fi )⋅ ( f j‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪Eij‬‬
‫) ‪− Eij‬‬
‫‪2‬‬
‫נדחה ‪ H 0‬אם ‪> χ (2r −1)⋅( c −1),1−α‬‬
‫‪(O‬‬
‫‪ij‬‬
‫‪Eij‬‬
‫‪c‬‬
‫‪r‬‬
‫∑∑‬
‫‪i =1 j =1‬‬
‫התפלגויות מיוחדות‬
‫‪1‬‬
‫התפלגות אחידה‪:‬‬
‫‪b − a +1‬‬
‫= ) ‪x ~ U ( a, b) ⇒ p ( x = k‬‬
‫‪n‬‬
‫התפלגות בינומית‪x ~ B( p, n) ⇒ p( x = k ) =   ⋅ p k ⋅ (1 − p ) n − k :‬‬
‫‪k ‬‬
‫התפלגות גיאומטרית‪x ~ G ( p ) ⇒ p( x = k ) = (1 − p ) k −1 ⋅ p :‬‬
‫התפלגות פואסונית‪⋅ e −λ :‬‬
‫‪λk‬‬
‫!‪k‬‬
‫= ) ‪x ~ p (λ ) ⇒ p ( x = k‬‬
‫התפלגות נורמלית‪ :‬אם ) ‪ x ~ U ( µ , σ‬אזי‪:‬‬
‫‪a−µ‬‬
‫‪p( x ≤ a) = φ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ σ ‬‬
‫‪b−µ  a −µ ‬‬
‫‪p ( a ≤ x ≤ b) = φ ‬‬
‫‪ − φ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ σ   σ ‬‬
‫‪a−µ‬‬
‫‪p( x ≥ a) = 1 − φ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ σ ‬‬