1. No category

Ime in priimek:
Vpisna št:
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Oddelek za matematiko
Verjetnost
Teoretični izpit
19. februar 2015
Navodila
Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 10, ocena pa je
enaka številu pravilnih odgovorov, zaokroženo navzgor. Ko je ponujenih več možnosti,
je lahko pravilnih odgovorov več. Ko ni ponujenih odgovorov, na kratko pojasnite vaš
razmislek.
Naloga Točke
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Skupaj
1. Naj za dogodka A ⊂ B velja 0 < P (A) ≤ P (B) < 1. Sta lahko dogodka A in B
neodvisna? Utemeljite svoj odgovor.
2. Naj bosta nekonstantni slučajni spremenljivki X in Y neodvisni in enako porazdeljeni ter naj velja, da ima X enako porazdelitev kot (X + Y )/2. Ali ima
lahko X končno varianco? Utemeljite odgovor.
3. Naj za pozitivno slučajno spremenljivko X z zvezno gostoto fX (x) in porazdelitveno funkcijo FX (X) velja
fX (x)
= a + bxc
1 − FX (x)
za konstante a, b, c > 0. Izračunajte gostoto slučajne spremenljivke X.
4. Slučajni spremenljivki X in Y naj imata skupno gostoto
fX,Y (x, y) = 41 e−|x|−|y|
za (x, y) ∈ R2 . Izračunajte gostoto slučajne spremenljivke Z = |X| + |Y |.
5. Naj bosta X in N nenegativni celoštevilski slučajni spremenljivki z N ∼ Po(λ)
in
n k
P (X = k|N = n) =
p (1 − p)n−k
k
za neki p ∈ (0, 1). Pri tem je nk = 0 za k > n. Poiščite porazdelitev slučajne
spremenljivke X.
6. Slučajni vektor (X, Y ) naj ima gostoto oblike
g(x) h(y) za 0 ≤ y ≤ x
fX,Y (x, y) =
0
sicer.
Ali sta lahko X in Y neodvisni? Utemeljite vaš odgovor.
7. Naj za diskretne slučajne spremenljivke X, Y in Z velja
P (Z = zm |X = xk , Y = yl ) = P (Z = zm |X = xk )
za vsak možen par vrednosti xk in yl slučajnih spremenljivk X in Y in za vsako
možno vrednost zm . Pokažite, da je
E(Y Z|X = xk ) = E(Y |X = xk )E(Z|X = xk ) .
8. Slučajni spremenljivki X in Y naj imata enako varianco in naj velja
cov(X − 2Y, 3X + Y ) = 0 .
Izračunajte corr(X, Y ).
9. Naj bo S diskretna slučajna spremenljivka z vrednostmi na (0, 1), za katero je
E(S) = µ in var(S) = σ 2 . Nadalje naj bo slučajna spremenljivka N pogojno na
S = s porazdeljena binomsko Bin(n, s), kjer je n ∈ N fiksno število. Izračunajte
var(N ).
10. Naj bosta X in Y slučajni spremenljivke z gostoto fX,Y (x, y). Predpostavite, da
ima za poljubna a in b z a2 +b2 = 1 par (aX + bY, −bX + aY ) enako porazdelitev
kot par (X, Y ). Pokažite, da je gostota fX,Y (x, y) rotacijsko simetrična, torej
oblike
fX,Y (x, y) = h(x2 + y 2 )
za neko funkcijo h(u).