1. No category

Finančna matematika 2
1. seminarska naloga
Mihael Perman in Matija Vidmar
Študijsko leto: 2014/2015
V vseh nalogah je dan filtriran verjetnostni prostor (Ω, F, (Ft )t≥0 , P), ki zadošča običajnim pogojem. Z (Wt )t≥0 ali (Bt )t≥0 označimo, razen če ni drugače povedano, standardno
Brownovo gibanje glede na filtracijo (Ft )t≥0 .
1
1. Naj bodo X1 , X2 , . . . neodvisne in enako porazdeljene. Naj bo Sn = X1 + X2 + · · · Xn .
Predpostavite, da za t ∈ R velja φ(t) = log(MX1 (t)) < ∞.
a. Prepričajte se, da je Mn = exp(tSn − nφ(t)) martingal.
b. Če je t ≥ 0 in φ(t) ≥ 0, je za vsak opcijski čas
P(ST ≥ x, T ≤ n) ≤ e−tx+φ(t)n .
Dokažite.
c. Predpostavite, da so Xk porazdeljene standardno normalno. Naj bo xn = αf (αn−1 ) za
α > 1, kjer je
f (α) = (2α log log α)1/2 .
Dokažite, da je
P( sup Sk ≥ xn ) ≤ ((n − 1) log α)
−α
.
k≤αn
d. Dokažite, da je
lim sup √
k→∞
Sk
≤1
2k log log k
s.g. .
2. Naj bodo S1 , S2 , . . . , Sn delne vsote zaporedja neodvisnih slučajnih spremenljivk s pričakovano
vrednostjo 0. Dokažite naslednje trditve:
a. E(S1+ ) ≤ E(S2+ ) ≤ · · · ≤ E(Sn+ ).
b. P(Sj ≥ −2E(Sn+ )) ≥ 1/2 za vse 1 ≤ j ≤ n.
c. Za poljuben a ≥ 0 je
P( max Sj ≥ a + 2E(Sn+ )) ≤ 2P(Sn ≥ a) .
1≤j≤n
3. Naj bodo X1 , X2 , . . . , Xn neodvisne enako porazdeljene slučajne spremenljivke z X1 > 0,
EX1 = µ in E(X1q ) < ∞ za 1 < q ≤ 2. Dokažite
" q−1 #
n
X
1
X
+
(n
−
1)µ
1
(EX1 )q ≤ E(
Xj )q ≤ E X1
.
n j=1
n
Namig: Pogojni Jensen.
4. Naj bo B standardno Brownovo gibanje in definirajte
Z
1 t
L(t, ) =
1(Bs ∈ (−, ))ds .
0
Pokažite, da obstaja limita
lim L(t, )
↓0
2
v L smislu.
5. Ornstein-Uhlenbeckov proces (Xt : t ≥ 0) zadošča enačbi
dXt = µXt dt + σdBt ,
kjer je (Bt : t ≥ 0) Brownovo gibanje.
2
a. Poiščite rešitev enačbe.
Namig: Pomnožite obe strani enačbe z e−µt , izračunajte d(e−µt Xt ) in primerjajte.
b. Izračunajte E(Xt ) in var(Xt ).
6. Naj bo n ∈ N in naj bodo W (1) , . . . , W (n) neodvisna standardna Brownova gibanja, a =
(a1 , . . . , an ) ∈ Rn pa dan neničelen vektor.
a. Pri katerih pogojih na a je proces
(1)
W = (a1 Wt
(2)
+ a2 Wt
(n)
+ · · · + an Wt
, t ≥ 0)
standardno Brownovo gibanje?
b. Izračunajte hW, W (i) it , t ≥ 0, i = 1, . . . , n.
7. Proces (Xt : t ≥ 0) naj zadošča enačbi dXt = µ(Xt )dt + σ(Xs )dBs , kjer sta µ in σ Lipshitzevo
zvezni funkciji. Naj bo u(x, t) dvakrat zvezno odvedljiva funkcija. Pokažite, da je proces
Z t
∂u
∂u σ ∂ 2 u
+ ·
(Xs , t)ds
Mt = u(Xt , t) −
+µ·
∂t
2 ∂x2
∂x
0
lokalni martingal.
Rt
8. Naj bo Xt = 0 Ws2 dWs , t ≥ 0.
a. Izrazite proces X s pomočjo procesov Yt = Wt3 , t ≥ 0, in Zt =
Rt
0
Ws ds, t ≥ 0.
(d)
b. Izračunajte cov(Yt , Zt ) ob upoštevanju dejstva, da je Zt = N (0, t3 /3) (za t ≥ 0).
c. Izračunajte hY, Zit (za t ≥ 0)?
9. Naj bo Wt + dt, t ≥ 0, Brownovo gibanje s tendenco d ∈ R. Za a > 0 naj bo T = Ta,d čas
ustavljanja
T = inf{t ≥ 0 : Wt + dt = a}.
Laplaceova transformacija T je
√
E(e−rT ) = e−a(−d+
d2 +2r)
.
a. Pokažite, da je E(T ) < ∞, natanko tedaj ko je d > 0. V tem primeru tudi izračunajte
E(T ).
b. Denimo, da smo izbrali d > 0 glede na izid pozitivne slučajne spremenljivke D > 0,
neodvisne od (Wt )t≥0 . Pri kakšnem pogoju na D obstaja E(T ) v tem primeru?
c. Izračunajte E(T ) v primeru, ko je D porazdeljena po zakonu Gamma(2, 1) z gostoto
xe−x , x > 0.
10. Dan je proces Xt = et/2 cos(Wt ), t ≥ 0.
a. Predstavite ga kot Itôv proces in pokaži, da je martingal. Izračunajte E(cos(Wt )) in
E(cos2 (Wt )) (za t ≥ 0)?
b. Izračunajte E(hXit ) (za t ≥ 0).
Rt
Rt
11. Naj bo Xt = 0 sWs dWs in Yt = 0 Xs dWs , t ≥ 0. Določite hY it in hX, Y it ; z uporabo Itôve
izometrije izračunajte E(Yt2 ) in cov(Xt , Yt ) (za t ≥ 0).
Namig: predstavite W = (Wt )t≥0 kot Itôv proces.
3
12. Naj bo T a = inf{t ≥ 0 : Wt = a}, a ∈ R, čas prvega trenutka, ko se W dotakne nivoja a. Naj
bo
T = inf{t ≥ T 1 : Wt = 0}
čas, ko Brownovo gibanje prvič zavzame vrednost nič po tem, ko je zavzelo vrednost ena.
Privzamete lahko, da je T čas ustavljanja.
a. Izračunajte porazdelitvi T in T − T 1 . Kaj lahko rečeteš o njuni večrazsežni porazdelitvi?
b. Izračunajte P(T < T 3 ).
13. Naj bo Xt = exp(Wt ), t ≥ 0.
a. Pokažite, da je proces X submartingal in poiščite njegovo Doob-Meyerjevo dekompozicijo.
b. Določite njegovo kvadratično variacijo hXit in izračunajte E[hXit ] (t ≥ 0).
c. Za 0 ≤ u ≤ s izračunajte E[exp(aWu + bWs )].
d. Z uporabo Itôve formule predstavite hXi2 kot integral glede na proces kvadratične
variacije hXi.
e. Z uporabo prejšnjih dveh točk izračunajte E[hXi2t ] (t ≥ 0).
14. Naj bo M = (Mt )t≥0 dan zvezen lokalni martingal, M0 = 0 s.g. Dokažite, da sta naslednji
trditvi ekvivalentni.
a. Za poljuben predvidljiv proces Ht iz dejstva, da za vsak t ≥ 0 obstaja konstanta c(t) da
velja sup0≤s≤t |Hs | ≤ c(t), sledi H1(0,t] ∈ L2 (M ) za vsak t ≥ 0.
b. Proces M je martingal z končnim drugim momentom.
15. Naj bo M = (Mt )t≥0 zvezen nenegativen martingal, za katerega velja
lim Mt = 0 s.g.
t→∞
a. Naj bo M0 = a in c ≥ a > 0. Pokažite, da velja
a
P sup Mt ≥ c =
c
t≥0
Namig : pomagajte si z izrekom o opcijskem ustavljanju za čas ustavljanja Tc := inf{t ≥
0 : Mt = c}.
b. S pomočjo prejšnje točke pokažite, da velja
d
E[sup Ms |Ft ] =
s≥t
Mt
,
U
kjer enakost velja v porazdelitvi in je U slučajna spremenljivka enakomerno porazdeljena
na intervalu [0, 1] in neodvisna od Ft .
(1)
(n)
16. Naj bodo (Wt )t≥0 , . . . , (Wt
vsa v točki 0, in naj bo
)t≥0 neodvisna Brownova gibanja (in n ≥ 2), ki se ne začnejo
Rt =
r
(1)
Wt
2
2
(n)
+ · · · + Wt
a. Pokažite, da ima Rt enako porazdelitev kot rešitev stohastične diferencialne enačbe
dXt = dWt +
n−1
dt
2Xt
pri začetnem pogoju X0 = R0 6= 0. Privzemamo, da rešitev obstaja za t ≥ 0.
4
b. Naj bo za n ≥ 3
f (x) = −x−(n−2) .
Pokažite, da je Mt = f (Rt∧T ) lokalni martingal. Sklepajte, da je P(T0 = ∞) = 1 za
Ta = inf{t ≥ 0 : Rt = a}.
17. Naj bo T > 0 fiksen čas in
H = 1{0≤WT ≤1}
S Ht označimo martingal
Ht = E [H|Ft ]
za 0 ≤ t ≤ T .
a. Z uporabo lastnosti Markova za Brownovo gibanje izrazite Ht s pomočjo funkcije napak
Z z
2
2
e−u du .
erf(z) = √
π 0
b. S pomočjo Itôve formule in izraza iz prejšnje točke izrazite Ht kot stohastični integral
po Brownovem gibanju. Z drugimi besedami, poiščite tak proces ft , da velja
Z t
Ht = c +
fs dWs
0
18. Naj bo (t ≥ 0):
t
Z
eWs dWs
Mt =
t
Z
0
s
e− 2 dWs
in Nt =
0
a. Določite porazdelitev Nt .
b. Izračunajte E(Mt2 ).
c. Izračunajte cov(Mt , Nt ).
19. Naj bosta W (1) in W (2) neodvisni standardni Brownovi gibanji. Definirajmo
4
2
(1)
(1)
Mt = Wt
− 6 Wt
t + 3t2
(2)
(1)
in Nt = ((Wt )2 − t)((Wt )2 − t),
t≥0
Definirajmo še časa
(1)
T = inf{t ≥ 0 : |Wt | = r}
(1)
(2)
in S = inf{t ≥ 0 : (Wt )2 + (Wt )2 = r2 }
za dan radij r > 0.
a. Pokažite, da sta M in N martingala.
b. S pomočjo martingala M in izreka o ustavljanju izračunajte E(T 2 ).
c. S pomočjo martingalov M in N izračunajte var(S).
20. Z uporabo krepke lastnosti Markova za Brownovo gibanje W izračunajte verjetnost
P(T−2 > T2 > T−1 > T1 ),
kjer je za a ∈ R, Ta = inf{t ≥ 0 : Wt = a}.
5
21. Proces X je določen s stohastično diferencialno enačbo
dXt
=
Xt (1 − Xt )dWt
X0
=
x ∈ (0, 1).
Privzamete lahko, da ima ta enačba enolično krepko zvezno rešitev, ki je omejena na interval
Xt ∈ [0, 1] za vse 0 ≤ t < ∞. Za dana a, b > 0, kjer velja 0 < x − a < x + b < 1, definirajmo
čas ustavljanja
T = Tx−a ∧ Tx+b ,
kjer je za l ∈ R, Tl = inf{t ≥ 0 : Xt = l}.
a. S pomočjo kvadratne variacije procesa X dokažite, da velja E(T ) < ∞.
b. Z uporabo izreka o opcijskem ustavljanju določite porazdelitev XT . Pri tem lahko uporabite trditev iz (a) naloge.
c. Naj bo
h(x) = (2x − 1) log
x
1−x
.
Uporabite Itôvo formulo in s pomočjo prejšnje točke ter izreka o opcijskem ustavljanju
izračunajte E(T ).
22. Naj bo
t
Z
Bt = (1 − t)
0
dWs
,
1−s
t ≥ 0.
a. Zapišite semimartingalsko dekompozicijo procesa B.
b. Pokažite, da je B Gaussov proces in izračunaj var(Bt ) ter cov(Bs , Bt ) (za 0 ≤ s < t).
Ali prepoznaš to kovariančno funkcijo?
c. Določite porazdelitev vektorja (Bt , B1−t ) za 0 < t < 1/2.
23. Naj bosta W (1) in W (2) neodvisni standardni Brownovi gibanji in naj bo
r
Rt =
(1)
Wt
2
+1
(2)
2
+ Wt
,
t≥0
Pokažite, da je (log Rt )t≥0 lokalni martingal.
24. Procesa X in Y sta definirana kot rešitvi sistema linearnih stohastičnih diferencialnih enačb
dXt
= −Yt dt + dWt1
dYt
= Xt dt + dWt2
X0
= x0
Y0
= y0 ,
kjer sta W 1 in W 2 neodvisni standardni Brownovi gibanji.
a. Za t ≥ 0 izračunajte var(Xt ), var(Yt ) in cov(Xt , Yt ), ob predpostavki, da rešitev (X, Y )
obstaja.
b. Eksplicitno izračunajte rešitvi X = (Xt )t≥0 in Y = (Yt )t≥0 .
c. Določite porazdelitvi Xt in Yt ter izračunajte cov(Xt , Xs ) (za 0 ≤ s < t).
25. Naj bo
3t
t
Xt = e3Wt − 2 − 3eWt − 2
Z
0
6
t
e2Ws −s ds,
t ≥ 0.
a. Pokažite, da je X lokalni martingal. Seveda lahko upoštevate, da je
Z t
e2Ws −s ds, t ≥ 0
A=
0
proces z omejeno totalno variacijo.
b. Izračunajte E(At ) (za t ≥ 0).
c. Ali je X tudi L2 martingal?
26. Rešite stohastično diferencialno enačbo
dXt
=
cos(t)dWt − tan(t)Xt dt
X0
=
0.
Izračunajte tudi E(Xt ) in Var(Xt ) (za t ≥ 0).
27. Odgovorite na spodnji vprašanji in odgovora utemeljite.
a. Ali obstaja neničelna zvezno odvedljiva funkcija g, da je proces
(g(t)Wt2 )t≥0
lokalni martingal?
b. Kakšna mora biti funkcija f , da bo obstajal tak g, da je proces
(g(t)f (Wt ))t≥0
lokalni martingal? Privzemite, da je f dvakrat zvezno odvedljiva.
28. Najdite ustrezne Ht , da bo veljalo:
a.
BT3
Z
=
T
Ht dBt .
0
b.
T
Z
Bt3 dt
0
Z
=
T
Ht dBt .
0
Rt
29. Naj bosta B (1) in B (2) Brownovi gibanji, za kateri velja hB (1) , B (2) it = 0 ρ(u)du za zvezno
funkcijo ρ z vrednostmi na (−1, 1). Definirajte procesa W (1) in W (2) s predpisoma
Z t
Z tp
(1)
(1)
(2)
(1)
Wt = Bt
in Bt =
ρ(u)dWu +
1 − ρ2 (u)dWu(2) .
0
0
a. Pokažite, da je W (2) Brownovo gibanje.
b. Izračunajte hW (1) , W (2) i.
c. Dokažite, da sta W (1) in W (2) neodvisna procesa.
(µ)
30. Dani naj bosta števili δ in µ. Naj bo Bt = Bt + µt Brownovo gibanje s trendom. Definirajte
Z t
δ2
(µ)
Xt =
exp δ Bt − Bs(µ) − (t − s) ds .
2
0
Pokažite, da velja
Z
Xt =
t
Z
(1 + δµXs ) ds + δ
0
Xs dBs .
0
7
t