1. No category

Noter til Generel Relativitetsteori
– Eksamensnoter til Generel Relativitetsteori og Kosmologi
Pia Jensen, http://fys.bozack.dk,
9. november 2011,
Version 1.0.
2
Indholdsfortegnelse
Indledning
Denne samling af noter er lavet i løbet af min eksamenslæsning til kurset Generel Relativitetsteori
og Kosmologi på Niels Bohr Institutet under Københavns Universitet, efteråret 2011. Noterne
følger bogen “An Introduction to General Relativity – Spacetime and Geometry” af Sean M.
Carroll, og afsnitsnummereringen i samlingen er den samme som i bogen. Pensum i kurset var
som følger:
◮
◮
◮
◮
◮
◮
◮
Kapitel
Kapitel
Kapitel
Kapitel
Kapitel
Kapitel
Kapitel
1.1 og 1.9
2.1-6 og 2.8 (uden s. 57-59)
3.1-9 (uden side s. 111-113, 124m-126, 137-139 og 143m-144)
4.1-2, 4.5 og 4.7
5.1-7 (uden s. 198m-204 og 228-229)
6.5 (uden s. 256-261)
8.1-5
Videre blev der også uddelt en 3-siders note om bøjning af lys pga. solen, som også vil blive
gennemgået til sidst i dette notesæt. Jeg har også taget en del mere med af kapitel 1, for at komme
godt igennem den grundlæggende matematik, og for at få en opfrisker på speciel relativitetsteori.
Notesamlingen gennemgår den grundlæggende teori til eksamen – de første par kapitler – samt
den teori der skal fremlægges til eksamen i løbet af de fem eksamensspørgsmål. Selve eksamensspørgsmålene kan ses i appendiks A (på side 88), hvor der også er en lille gennemgang af hvad der
giver mening at tale om til hvert spørgsmål.
Formålet med eksamen skulle ligge på fysikken, koncepterne og logikken, og ikke så meget på
udregninger – men det var fint hvis man kunne tage nogle enkelte udledninger af mere teknisk art
med.
Indholdsfortegnelse
1 Speciel relativitetsteori og flad rumtid
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Rum og tid, hver for sig og sammen .
1.3 Lorentz transformationer . . . . . . . .
1.4 Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Dual vektorer (one-forms) . . . . . . .
1.6 Tensorer . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Energi og impuls . . . . . . . . . . . .
2 Manifolder
2.1 Tyngdekraften som en geometri
2.2 Hvad er en manifold? . . . . . .
2.3 Vektorer igen . . . . . . . . . .
2.4 Tensorer igen . . . . . . . . . .
2.5 Metrikken . . . . . . . . . . . .
2.6 Et ekspanderende univers . . .
2.8 Tensor densiteter . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
5
8
8
10
11
12
.
.
.
.
.
.
.
16
16
18
21
22
23
24
25
Indholdsfortegnelse
3
3 Kurvatur
3.1 Oversigt . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Kovariant afledte . . . . . . . . . . . .
3.3 Parallel transport og geodætiske baner
3.4 Egenskaber for geodætiske baner . . .
3.5 Et ekspanderende univers igen . . . .
3.6 Riemann kurvatur tensoren . . . . . .
3.7 Riemann tensorens egenskaber . . . .
3.8 Symmetrier og Killing vektorer . . . .
3.9 Maksimalt symmetriske rum . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
27
27
27
30
32
33
36
37
39
42
4 Tyngdekraft
4.1 Fysik i en kurvet rumtid . .
4.2 Einsteins ligning . . . . . .
4.5 Den kosmologiske konstant
4.7 Ækvivalensprincippet igen .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
44
44
46
48
50
.
.
.
.
.
.
.
51
51
53
54
55
58
61
64
6 Mere generelle sorte huller
6.5 Ladede (Reissner-Nordstr¨
om) sorte huller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
68
8 Kosmologi
8.1 Maksimalt symmetriske universer
8.2 Robertson-Walker metrik . . . .
8.3 Friedmann ligningen . . . . . . .
8.4 Evolution af skalafaktoren . . . .
8.5 Rødskifte og afstande . . . . . .
70
70
73
75
78
81
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Schwarzschild løsningen
5.1 Schwarzschild metrikken . . . . . . . . . . . . .
5.2 Birkhoffs teorem . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Singulariteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Geodætiske baner for Schwarzschild . . . . . .
5.5 Eksperimentelle tests . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Schwarzschild sorte huller . . . . . . . . . . . .
5.7 Den maksimalt udvidede Schwarzschild løsning
9 Afbøjning af lys ved solen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
86
Appendikser
A Eksamensspørgsmål
88
B Vigtige ligninger
89
Indeks
90
4
Indholdsfortegnelse
Oversigt over beviser, sætninger og definitioner
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Rumtid . . . . . . . . . . . . . . . .
Inertialsystem . . . . . . . . . . . . .
Notation . . . . . . . . . . . . . . . .
Rumtids-diagram . . . . . . . . . . .
Proper tid . . . . . . . . . . . . . . .
Tangentrum . . . . . . . . . . . . . .
Tangentvektor til kurve . . . . . . .
Dual rum . . . . . . . . . . . . . . .
Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tensor produkt . . . . . . . . . . . .
Indre produkt . . . . . . . . . . . . .
Kronecker delta . . . . . . . . . . . .
Invers metrik . . . . . . . . . . . . .
Fire-hastighed . . . . . . . . . . . .
Impuls-firevektor . . . . . . . . . . .
Energi-impuls tensoren . . . . . . . .
Det svage ækvivalensprincip (WEP)
Einsteins ækvivalensprincip (EEP) .
Gravitationelt rødskifte . . . . . . .
Manifold . . . . . . . . . . . . . . . .
Mapning . . . . . . . . . . . . . . . .
Åbent sæt . . . . . . . . . . . . . . .
Manifold (matematisk) . . . . . . . .
Kædereglen . . . . . . . . . . . . . .
Tangentrum (generel manifold) . . .
Kommutator . . . . . . . . . . . . .
Tensor (generel manifold) . . . . . .
Linie-element (generel manifold) . .
Metrikken på kanonisk form . . . . .
Lokale intertialkoordinater . . . . .
Levi-Civita symbolet . . . . . . . . .
Tensor densitet . . . . . . . . . . . .
Forbindelseskoefficienter . . . . . . .
Kovariant afledte . . . . . . . . . . .
Torsion tensoren . . . . . . . . . . .
Christoffel forbindelsen . . . . . . . .
Parallel transport . . . . . . . . . . .
Retningsbestemt kovariant afledte .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
6
6
7
7
8
9
10
11
11
12
12
12
13
13
14
16
17
17
18
19
19
20
20
21
22
22
23
23
24
25
25
28
29
29
29
30
31
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
4.1
4.2
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.10
8.11
8.12
8.13
8.14
8.15
Parallel transport (matematisk) . .
Geodætisk bane . . . . . . . . . . .
Affin parameter . . . . . . . . . . .
Det kosmologiske rødskifte . . . .
Riemann tensoren . . . . . . . . .
Bianchi identiteten . . . . . . . . .
Ricci tensoren og Ricci skalaren . .
Einstein tensoren . . . . . . . . . .
Symmetri . . . . . . . . . . . . . .
Isometri . . . . . . . . . . . . . . .
Killing vektor . . . . . . . . . . . .
Maksimalt symmetrisk rum . . . .
Einsteins ligning . . . . . . . . . .
Den kosmologiske konstant . . . .
Schwarzschild metrikken . . . . . .
Schwarzschild radius . . . . . . . .
Birkhoffs teorem . . . . . . . . . .
Singularitet . . . . . . . . . . . . .
Det effektive potentiale . . . . . .
Tortoise koordinater . . . . . . . .
Eddington-Finkelstein koordinater
Hændelseshorisont . . . . . . . . .
Kruskal koordinater . . . . . . . .
Isotropi . . . . . . . . . . . . . . .
Homogenitet . . . . . . . . . . . .
Maksimal symmetri . . . . . . . .
de Sitter rum . . . . . . . . . . . .
Anti-de Sitter rum . . . . . . . . .
Einstein statisk univers . . . . . .
Friedmann ligningerne . . . . . . .
Einstein-de Sitter modellen . . . .
Milne universet . . . . . . . . . . .
Nedkøling af gas . . . . . . . . . .
Rødskifte . . . . . . . . . . . . . .
Luminositets-afstand . . . . . . . .
Proper bevægelses-afstand . . . . .
Vinkeldiameter-afstand . . . . . .
Lookback tid . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
31
32
34
37
38
38
39
39
39
41
42
48
49
51
53
53
54
56
62
63
64
65
70
70
70
71
71
72
77
80
80
82
82
83
84
84
85
1
1
1.1
Speciel relativitetsteori og flad rumtid
5
Speciel relativitetsteori og flad rumtid
Motivation
Einsteins generelle relativitetsteori kan beskrives med nogle få essentielle ord: Mens de fleste naturkræfter kan repræsenteres som felter i rumtiden, så er tyngdekraften en egenskab ved rumtiden
selv. Specielt er tyngdekraft en manifestation af kurvatur af rumtiden.
For at forstå rumtiden og hvordan kurvaturen af denne kan omsættes til en tyngdekraft, er det
godt lige at se på hvordan vi plejer at arbejde med tyngdekraften, med Newtonsk mekanik. Der er
to basale elementer: En ligning der fortæller hvordan tyngdefeltet ser ud når der er en masse, og en
ligning for hvordan en masse reagerer på et tyngdefelt. Potentialet er relateret til massedensiteten
ρ ved Poisson’s ligning,
∇2 Φ = 4πGρ,
hvorved accelerationen af en partikel er givet ved
a = −∇Φ,
og kraften på massen er så F = ma, hvor m er massen af den påvirkede partikel.
For at kunne definere generel relativitetsteori bliver man nødt til at erstatte disse ligninger
med noget der har at gøre med rumtidens kurvatur. Ligningen der fortæller hvordan rumtiden
reagerer på masse og energi er Einsteins ligning, der er givet ved
1
Rµν − Rgµν = 8πGTµν .
2
Venstresiden er et mål for rumtidens kurvatur, mens højresiden måler energi og impuls af stof.
Ligningen der fortæller hvordan stof reagerer på rumtidens kurvatur er givet ved den geodætiske
ligning, der giver geodætiske baner xµ (λ) i rumtiden som masserne vil følge,
σ
ρ
d2 xµ
µ dx dµ
+
Γ
= 0.
ρσ
dλ2
dλ dλ
De geodætiske kurver er faktisk hvad der svarer til rette linier i Eukludisk rum, og er kurver med
kortest mulig afstand mellem to punkter, i en eventuel kurvet rumtid.
Det er vigtigt at forstå at tyngdekraften ikke er en kraft – den er nærnere en del af rumtiden. Det
giver faktisk mening at sige at en bold der flyver i luften er mere uaccelereret end en bold der
ligger stille på et bord; bolden der ligger på bordet bliver afbøjet fra den geodætiske kurve som
den gerne vil følge.
Det grundlæggende koncept brugt til at beskrive rumtidens kurvatur er den metriske tensor, oftest kaldt gµν . Metrikken fortæller kurvaturen af rummet ved at opskrive afvigelsen fra Pythagoras
teorem (∆l)2 = (∆x)2 + (∆y)2 , der kun er gyldig i det flade Euklidiske rum.
1.2
Rum og tid, hver for sig og sammen
Speciel relativitetsteori er en teori der handler om strukturen af rumtiden, og den er en erstatning
for Newtonsk mekanik.
6
1
Speciel relativitetsteori og flad rumtid
Definition 1.1 (Rumtid) Rumtiden er et fire-dimensionelt sæt med et label for tid og tre for
rum. Et enkelt punkt i dette sæt kaldes for en hændelse, et event. Banen for en partikel igennem
◭
rumtiden kaldes for en verdenslinie.
En speciel ting ved den specielle relativitetsteori ift. den Newtonske mekanik, er samtidighed, at to
hændelser kan ske “samtidigt”. I speciel relativitetsteori er der ikke nogen veldefineret samtidighed.
I stedet definerer man en lys-kegle, en light-cone, der er samlingen af kurver igennem rumtiden
som det er muligt for lys at komme fra og til igennem hændelsen. Fysiske partikler kan ikke rejse
hurtigere en lyset, og bliver altså altid inden for disse lys-kegler.
Definition 1.2 (Inertialsystem) Den naturlige generalisation af karthesiske koordinater i rummet til rumtiden er et inertialsystem. Man opsætter koordinater (t, x, y, z), hvor de tre rumlige
koordinater (x, y, z) er kartesiske, mens tids-koordinaten t skal defineres mere specielt. Det kartesiske koordinatsystem (x, y, z) bevæger sig uaccelereret, og herfra vil tiden være defineret ved
at sætte en masse ure ind i koordinatsystemet, alle bevægende sig med det. Sender man nu en
lysstråle fra et punkt 1 i rummet til et punkt 2, og så tilbage igen (med hastighed hhv. c og
−c), så skal urene nu stilles så tiden på uret i punkt 2, t2 er halvvejs mellem tiden på uret i
punkt 1 ved afsændelsen, t1 , og ankomsten t′1 , altså t2 = (t′1 + t1 )/2.
Med denne definition af koordinatsystemet er det kun muligt at lave lokale sammenligninger
◭
– og man kan f.eks. ikke sammenligne to ure langt væk fra hinanden på samme tid.
Det er muligt at konstruere masse er inertialsystemer på denne måde, med forskel på start-position,
tid, vinkel og (konstant) hastighed. Rumtidsintervallet, eller the spacetime interval, mellem to
hændelser er givet ved
(∆s)2 = −(c∆t)2 + (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 .
Denne er invariant, beholder sin form, under et skift til et andet inertialsystem (t′ , x′ , y ′ , z ′ ), så
(∆s)2 = −(c∆t′ )2 + (∆x′ )2 + (∆y ′ )2 + (∆z ′ )2 ,
selv om man kan have roteret rum og tid ind i hinanden. Man tænker altså på den fire-dimensionelle
rumtid som et enkelt rum, kaldt Minkowski rummet.
Sætning 1.3 (Notation) Der bruges en bestemt notation i bogen, som skal introduceres her.
Koordinater på rumtiden beskrives med græske bogstaver der går fra 0 til 3, hvor 0 er for
tids-koordinaten, altså
xµ :
x0 = ct,
x1 = x,
x2 = y,
x3 = z.
Oftest bruges der også bare c = 1. Ofte bruger man latinske bogstaver til kun at henvise til den
rumlige del af en koordinat, så
xi :
x1 = x,
x2 = y,
x3 = z.
1
Speciel relativitetsteori og flad rumtid
7
Ofte skrives rumtidsintervallet også på en kortere form (i hvert fald kortere når det bliver mere
avanceret), som metrikken, hvor man bruger to sænkede indekser,
ηµν

−1
0

=
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0

0
0

,
0
1
hvorved man har den simple notation (bemærk at der summes over indekser der er både hævede
og sænkede, dummy indekser)
◭
(∆s)2 = ηµν ∆xµ ∆xν .
Definition 1.4 (Rumtids-diagram) En meget brugbar ting i relativitetsteorien er et rumtidsdiagram, hvor man simpelthen plotter ting i et koordinatsystem med koordinaterne (t, x, y, z).
Hvis man bare bruger en enkelt rumlig dimension, og så den tidslige (som oftest plottes opad),
ser man lys-keglerne defineret ved at have hældning ±c = ±1. Sættet af alle punkter inden for
fortiden og fremtiden af et punkts lys-kegle kaldes for tidsligst, eller time-like, separarede veje,
mens dem der ligger uden for lys-keglen er rumligt, eller space-like, separerede veje. Dem der
ligger præcist på keglen kaldes for null, light-like, separerede.
t
tidslig
null
x
rumlig
Rumtidsintervallet mellem tidsligt separerede punkter er negativ, og mellem rumligt separerede
punkter er positivt. Den er nul for null separerede punkter.
Definition 1.5 (Proper tid) At rumtidsintervallet er negativt for tidsligt separerede punkter er
irriterende, så man definerer proper time τ med
(∆τ )2 = −(∆s)2 = −ηµν ∆xµ ∆xν .
Dette er den tid som en observatør der rejser på en ret linie mellem de to punkter vil måle.
Det er vigtigt at bemærke at tids-koordinaten og proper time ikke er de samme. Hvis en
observatør rejser en længere vej, vil denne måle en kortere proper time end hvis den rette linie
mellem punkterne blev fulgt!
◭
8
1
Speciel relativitetsteori og flad rumtid
Nogen gange bliver man nødt til at arbejde med differentialer i stedet for hele linier. Det infinitesimale linieelement er
ds2 = ηµν dxµ dxν .
Hvis man nu ser på en parametriseret kurve igennem rumtiden, xµ (λ), kan man finde længden af
kurven for rumlige kurver til at være
Z r
dxµ dxν
ηµν
∆s =
dλ,
dλ dλ
mens man for tidslige kurver i stedet bruger proper time, der vil være givet ved
Z r
dxµ dxν
−ηµν
dλ.
∆τ =
dλ dλ
Begge disse vil være nul for null kurver.
1.3
Lorentz transformationer
Der er flere transformationer mellem forskellige inertialsystemer. De mest simple er translationer,
der simpelthen skifter koordinaterne i rum og/eller tid
′
′
xµ → xµ = δµµ (xµ + aµ ),
′
hvor aµ er et sæt med fire konstante tal, og δµµ er den fire-dimensionelle version af Kronecker delta
symbolet
(
′
1 når µ = µ′ ,
δµµ =
0 når µ , µ′ .
Andre transformationer inkluderer rumlige rotationer og boosts (et skift med en konstant hastighed). Disse er lineære transformationer, hvor man ganger xµ med en rumtids-uafhængig matrice,
så
′
′
xµ = Λµ ν xν .
Det er dog kun en bestemt slags matricer der efterlader rumtidsintervallet invariant; disse kaldes
for Lorentz transformationerne, og overholder
′
′
ηρσ = Λµ ρ Λν σ ηµ′ ν ′ .
1.4
Vektorer
I rumtiden er vektorer fire-dimensionelle, og kaldes ofte for fire-vektorer. Hver vektor befinder sig
i et bestemt punkt i rumtiden, og markerer altså ikke afstanden eller vejen mellem to punkter,
som man oftest tænker på vektorer i det tre-dimensionelle Eukludiske rum.
Definition 1.6 (Tangentrum) Til hvert punkt p i rumtiden kan man associere et sæt af alle
mulige vektorer i det punkt. Dette sæt kaldes for tangentrummet ved p, eller Tp . Navnet kommer
1
Speciel relativitetsteori og flad rumtid
9
fra at man tænker på et rum i færre dimensioner, hvor man har en kurvet flade, der i hvert
punkt har et sæt af tangentvektorer – et plan tangent til fladen i punktet.
Tp
b
p
manifold M
Et vektorrum er en samling af objekter der kan lægges sammen og ganges med reelle tal på en
lineær måde. Så hvis V og W er vektorer, og a og b er reelle tal, så skal der gælde at
(a + b)(V + W ) = aV + bV + aW + bW.
Ethvert vektorrum har også en nul-vektor, der er en identitet ved addition. Et vektorfelt er et sæt
af vektorer hvor der er præcist en vektor i hvert punkt i rummet.
Ofte skriver man vektorerne med en basis, der er et sæt af vektorer der spanner vektorrummet
(så alle vektorer er en lineær kombination af basisvektorerne) og er lineært uafhængige (der er
ikke en af basisvektorerne der er en lineær kombination af de andre). Der er uendeligt mange valg
af basisvektorer, men der vil altid være det samme antal for et givent vektorrum, og dette tal er
dimensionaliteten af rummet.
Hvis man har en basis af fire vektorer eˆ(µ) , kan man skrive en vektor som
A = Aµ eˆ(µ) = A0 eˆ(0) + A1 eˆ(1) + A2 eˆ(2) + A3 eˆ(3) ,
hvor man kalder koefficienterne Aµ for komponenterne af vektoren A, ofte egentlig bare refereret
til som vektoren Aµ . Den egentlige vektor er et abstrakt objekt, mens komponenterne bare er
koefficienterne i et eller andet givent koordinatsystem.
Sætning 1.7 (Tangentvektor til kurve) Et standardeksempel på en vektor i rumtiden er tangentvektoren til en kurve. En parametriseret kurve igennem rumtiden er specificeret som xµ (λ),
hvorved tangentvektoren V (λ) er
dxµ
.
Vµ =
dλ
′
Den egentlige vektor er V = V µ eˆ(µ) . Under en Lorentz transformation Λµ µ vil koordinaterne
xµ ændre sig, mens parameteren λ er den samme. Derfor vil komponenterne af vektoren ændre
sig som
′
′
V µ → V µ = Λµ µ V µ .
Derimod vil vektoren V selv ikke ændres under transformationen, da den jo ikke har noget
at gøre med hvilket koordinatsystem man ser på den fra – den er invariant under Lorentz
◭
transformationer.
10
1
Speciel relativitetsteori og flad rumtid
Det faktum at vektorer er invariante under Lorentz transformationer kan lede frem til at finde ud
af hvordan basisvektorerne transformerer, nemlig med den inverse transformation.
1.5
Dual vektorer (one-forms)
Når man har defineret et vektorrum, kan man definere et tilhørende vektorrum med samme dimension, kaldt et dual vektorrum. Dual rummet skrives sådan at hvis Tp er tangentrummet i punktet
p, så er Tp∗ cotangent rummet, der er dual rummet til Tp .
Definition 1.8 (Dual rum) Dual rummet er rummet med alle lineære mapninger fra det originale vektorrum til de reelle tal; hvis ω ∈ Tp∗ er en dual vektor, så opererer den som en mapning
så
ω(aV + bW ) = aω(V ) + bω(W ) ∈ R,
hvor V, W ∈ Tp og a, b ∈ R. Det gode ved disse mapninger er at de selv former et vektorrum,
◭
for hvis ω og η er dual vektorer, så er (aω + bη)(V ) = aω(V ) + bη(V ).
Man kan introducerer basisvektorer θˆ(ν) for dual rummet ved at kræve
θˆ(ν) (ˆ
e(µ) ) = δµν ,
hvorved man kan skrive alle dual vektorer som en lineær kombination af disse og deres komponenter,
ω = ωµ θˆ(µ) .
Ligesom for vektorer skriver man ofte bare ωµ når man henviser til hele dual vektoren.
Et andet navn for dual vektorer er one-forms. Ofte henviser man til vektorer i et tangentrum Tp
som kontravariante vektorer, mens dual vektorer i dual rummet Tp∗ kaldes for kovariante vektorer.
Måden at skrive vektorer og dual vektorer med komponenter gør det nemt at opskrive hvordan
en dual vektor virker på en vektor. Det kan nemlig vises at
ω(V ) = ωµ V µ ∈ R.
Faktisk gælder der også at vektorrummet er dual rummets dual rum, så V (ω) = ω(V ).
I rumtiden er man ikke kun interesseret i enkelte vektorfelter, men derimod i felter af vektorer og dual vektorer. Her er virkningen af en dual vektor på en vektor ikke længere et enkelt tal,
men derimod en skalar funktion på rumtiden.
Eksempel 1 (Gradient) Det simpleste eksempel på en dual vektor er gradienten af en skalar
funktion,
∂φ ˆ(µ)
θ .
dφ =
∂xµ
1
Speciel relativitetsteori og flad rumtid
11
Man skriver ofte gradienten med følgende korte notation, fordi det er en dual vektor,
∂φ
= ∂µ φ,
∂xµ
så selv om xµ har et hævet indeks, bliver det et sænket fordi det er i bunden af en differential◭
operator.
1.6
Tensorer
Definition 1.9 (Tensor) En ligetil generalisation af vektorer og dual vektorer er tensorer. Lige
som en dual vektor er en lineær mapning fra vektorer til R, er en tensor T af typen (eller rank)
(k, l) en multilineær mapning fra en samling af dual vektorer og vektorer til R,
T : Tp∗ × · · · × Tp∗ × Tp × · · · × Tp → R.
| {z }
| {z }
k gange
l gange
Dermed er en skalar en type (0, 0) tensor, en vektor er en type (1, 0) tensor og en dual vektor
◭
er en type (0, 1) tensor.
At en tensor kaldes multilineær betyder bare at den opererer lineært på hvert af sine argumenter.
Rummet med alle (k, l) tensorer er også et vektorrum. For at lave en basis for dette vektorrum
er det dog nødvendigt at definere en ny operation, kaldt et tensorprodukt, som skrives ⊗.
Definition 1.10 (Tensor produkt) Hvis T er en (k, l) tensor og S er en (m, n) tensor, er (k +
m, l + n) tensoren T ⊗ S givet ved
T ⊗ S(ω (1) , . . . , ω (k) , . . . , ω (k+m) , V (1) , . . . , V (l) , . . . , V (l+n) )
= T (ω (1) , . . . , ω (k) , V (1) , . . . , V (l) ) × S(ω (k+1) , . . . , ω (k+m) , V (l+1) , . . . , V (l+n) ),
hvor ω (i) og V (i) er hele dual vektorer og vektorer, ikke bare komponenter.
◭
Man kan nu finde basisvektorerne for et rum af (k, l) tensorer ved at udregne alle tensorerne med
formen
eˆ(µ1 ) ⊗ · · · ⊗ eˆ(µk ) ⊗ θˆ(ν1 ) ⊗ · · · ⊗ θˆ(νl ) .
I en fire-dimensionel rumtid vil der være 4k+l basis tensorer i alt. Man kan derved skrive sin tensor
ved linearkombinationen
T = T µ1 ···µk ν1 ···νl eˆ(µ1 ) ⊗ · · · ⊗ eˆ(µk ) ⊗ θˆ(ν1 ) ⊗ · · · ⊗ θˆ(νl ) .
Oftest vil man bare henvise til tensoren som T µ1 ···µk ν1 ···νl . Videre kan dens virkning på vektorer
og dual vektorer skrives som
T (ω (1) , . . . , ω (k) , V (1) , . . . , V (l) ) = T µ1 ···µk ν1 ···νl ωµ(1)
· · · ωµ(k)
V (1)ν1 · · · V (l)νl .
1
k
12
1
Speciel relativitetsteori og flad rumtid
En (k, l) tensor har altså k hævede indekser og l sænkede indekser.
Det kan vises at når man transformerer en tensor, så vil hvert hævet indeks transformere som
en vektor, mens hvert sænket indeks vil transformere som en dual vektor.
Bemærk at man ikke nødvendigvis er nødt til at bruge en tensor som en lineær mapning fra
sæt af vektorer og dual vektorer til R, selv om det var sådan den blev defineret. Man kan f.eks.
godt lade en (1, 1) tensor være en mapning fra vektorer til vektorer, så T µ ν : V µ → T µ ν V µ , hvilket
er en vektor. Man kan også lade en tensor operere på en tensor for at få en tredje tensor, f.eks.
U µ ν = T µρ σ S σ ρν .
Definition 1.11 (Indre produkt) Et eksempel på en tensor er metrikken, ηµν . Dennes virkning
på to vektorer er så brugbar at den får sit eget navn – det indre produkt, skalarproduktet eller
prikproduktet
η(V, W ) = ηµν V µ W ν = V · W.
Lige som i det gode gamle Euklidiske rum, vil to vektorer med indre produkt nul blive kaldt
for ortogonale. Normen er defineret som det indre produkt af en vektor med sig selv, og der
gælder her at


så er V µ tidslig
 < 0,
µ ν
◭
hvis ηµν V V er
= 0,
så er V µ null


µ
> 0,
så er V rumlig.
Definition 1.12 (Kronecker delta) Kronecker deltaet δρµ er en (1, 1) tensor, som man normalt tænker på at være en mapning fra vektorer til vektorer. Denne er simpelthen identitetsmapningen.
For denne unikke tensor behøver man ikke at tænke på om de hævede eller sænkede indekser
kommer først, da δ µ ρ er numerisk identisk med δρ µ .
◭
Definition 1.13 (Invers metrik) Den inverse metrik η µν er en type (2, 0) tensor defineret som
den “inverse” af metrikken,
η µν ηνρ = ηρν η νµ = δρµ .
Denne inverse metrik har faktisk præcist de samme elementer som metrikken selv, når der er
◭
tale om et fladt karthesisk rum.
1.9
Energi og impuls
Man starter ud med verdenslinien af en enkelt partikel. Denne er specificeret af en mapning fra R
til rumtiden M , hvor M står for manifolden der repræsenterer rumtiden. Man tænker normalt på
banen som en parametriseret kurve xµ (λ). Tangentvektoren til denne kurve er dxµ /dλ.
1
Speciel relativitetsteori og flad rumtid
13
Et interessant objekt er normen af tangentvektoren for kurven, der karakteriserer banen; hvis
tangentvektoren er tidslig/null/rumlig ved en parameterværdi λ, så kaldes banen også for tidslig/null/rumlig.
Definition 1.14 (Fire-hastighed) Banerne for massive partikler vil altid være tidslige. Det er
muligt at udregne τ (λ) for en sådan kurve, og derefter invertere for at få λ(τ ), så man kan få sin
kurve parametriseret med proper tiden i stedet for λ. Tangentvektoren i denne parametrisering
kaldes for fire-hastigheden U µ
Uµ =
dxµ
,
dτ
som altid er normaliseret pga. dτ 2 = −ηµν dxµ dxν , så ηµν U µ U ν = −1. Fire-hastigheden er ikke
en hastighed igennem rummet, men derimod en hastighed igennem rumtiden.
◭
I en partikels hvilesystem har fire-hastigheden altid komponenter U µ = (1, 0, 0, 0).
Definition 1.15 (Impuls-firevektor) Impuls-firevektoren er relateret til fire-hastigheden ved
pµ = mU µ ,
hvor m er hvilemassen af partiklen. Energien af en partikel er den tidslige komponent af en
partikel, E = p0 . Bemærk at denne ikke er invariant under Lorentz transformationer, da den
bare er en komponent i en vektor. Dette giver dog fin mening, da energien selvfølgelig ikke er
den samme for en partikel der ligger stille og en partikel der bevæger sig.
I en partikels hvilesystem har man at p0 = m, og dette er det samme som Einstein’s berømte
formel, E = mc2 (når man husker at c = 1 her).
I et inertialsystem der bevæger sig kan man finde komponenterne af pµ ved en Lorentz
transformation: For en partikel der bevæger sig med tre-hastigheden v = dx/dt langs x-aksen
gælder der at
1
.
pµ = (γm, vγm, 0, 0),
γ= √
1 − v2
For små v giver dette de velkendte p0 = m + mv 2 /2, hvile-energi plus kinetisk energi, og
p1 = mv, Newtonsk impuls.
For mere generelle tilfælde vil der gælde at
pµ pµ = −m2 ,
eftersom pµ pµ = m2 Uµ U µ , og U µ er normaliseret så dens norm er −1. Dette kan også skrives
som
p
E = m2 + p 2 ,
hvor p2 = δij pi pj .
◭
14
1
Speciel relativitetsteori og flad rumtid
Definition 1.16 (Energi-impuls tensoren) Selv om fire-impulsen giver en komplet beskrivelse
af energien om impulsen af en enkelt partikel, kan det nogen gange være nødvendigt at arbejde
med større systemer, der består af mange partikler. I stedet for at specificere alle de individuelle
fire-impulser kan man i stedet beskrive systemet som en væske – et kontinuum der ar karakteriserert med makroskopiske egenskaber som tæthed, tryk, entropi, viskositet, osv. Væsken har et
overordnet fire-hastigheds felt, men et enkelt fire-impuls felt er ikke nok til at beskrive energien
og impulsen af hele væsken. Man definerer i stedet energi-impuls tensoren, T µν .
Hvis man forestiller sig et infinitesimal element af væsken i dets hvilesystem, hvor der ikke er
nogen samlet bevægelse, gælder der følgende: T 00 er “fluksen af p0 (energi) i x0 (tids) retningen”,
eller simpelthen hvilesystemets energidensitet, ρ. Tilsvarende er T 0i = T 0i impulsdensiteten.
Rumkomponenterne T ij er impuls-fluksen, eller stressen. De diagonate elementer T ii er det man
◭
normalt tænker på som trykket pi .
Eksempel 2 (Støv) Det simpleste eksempel på en energi-impuls tensor er støv, der er en samling af partikler der ikke har nogen hastighed i forhold til hinanden, hvorved fire-hastigheds
feltet U µ (x) simpelthen er den konstante kollektive fire-hastighed af partiklerne.
Man kan nu definere antal-fluks fire vektoren (number-flux fire vektoren) ved
N µ = nU µ ,
hvor n er antals-densiteten af partiklerne, som målt i deres hvilesystem. Så er N 0 antalsdensiteten af partikler, som målt i et hvilket som helst andet system, og N i er fluksen af
partikler i xi retningen.
Hvis man forestiller sig at alle partiklerne har samme masse m, vil energi-densiteten af støvet
være
ρ = mn.
Per definition vil ρ specificere støvet helt. Men ρ måler kun energi-densiteten i hvilerammen,
hvad med alle de andre rammer?
Man kan nu bemærke at både n og m er nul-komponenter af fire-vektorer i deres hvilesystem,
µ
N = (n, 0, 0, 0) og pµ = (m, 0, 0, 0). Derfor er ρ 00-komponenten af tensoren p ⊗ N , når den
måles i hvilesystemet. Derfor defineres energi-impuls tensoren for støv til at være
µν
Tstøv
= pµ N µ = mnU µ U ν = ρU µ U ν ,
hvor ρ er energi-densiteten i hvilesystemet.
◭
Eksempel 3 (Perfekt væske) En perfekt væske kan beskrives med to egenskaber, en hvilesystems energi-densitet ρ og et isotropisk hvilesystems-tryk p, der er trykket i alle retninger.
1
Speciel relativitetsteori og flad rumtid
15
Isotropien betyder at T µν er diagonal i hvilesystemet, hvor den er
µν
Tstøv

ρ 0
0 p

=
0 0
0 0
0
0
p
0

0
0

.
0
p
Denne er dog kun gyldig i en flad rumtid, og man vil gerne have et udtryk der er mere generelt.
For støv var sådant et udtryk givet ved T µν = ρU µ U ν , så man kunne jo gætte på at udtrykket
for den perfekte væske var T µν = (ρ+p)U µ U ν , hvilket dog ikke er helt nok. Det endelige udtryk
er
µν
µ ν
Tperf.
væske = (ρ + p)U U + pηµν ,
som er korrekt i alle inertialsystemer.
◭
En perfekt væske er generel nok til at beskrive rigtig mange forskellige systemer. For at bestemme
udviklingen af sådan en væske definerer man en tilstandsligning der forbinder energi-densiteten
med trykket, p = p(ρ). Støv er et specialtilfælde hvor p = 0, mens en isotropisk gas a fotoner har
udtrykket p = ρ/3. Et mere specielt tilfælde er vakuum energien, hvor energi-impuls tensoren er
proportional med metrikken
µν
Tvakuum
= −ρvakuum η µν .
Vakuum er altså en form for perfekt væske med pvakuum = −ρvakuum .
Ud over at være symmetrisk, har T µν en anden og mere vigtig egenskab, den er bevaret, hvilket
betyder at
∂µ T µν = 0.
Dette er fire ligninger (en for hver ν), hvor nul-komponenten svarer til energibevarelse, mens de
tre andre, ∂µ T µk = 0, svarer til bevarelse af det k’te komponent af impulsen.
16
2
2
Manifolder
Manifolder
2.1
Tyngdekraften som en geometri
Det dynamiske felt der giver anledning til tyngdekraften er den metriske tensor der beskriver
kurvaturen af rumtiden selv, ikke et eller andet udefrakommende felt der propagerer igennem
rumtiden. Den fysiske indsigt der ledte Einstein til denne konklusion i sin tid, var universaliteten af den gravitationelle interaktion, formuleret ved ækvivalensprincippet (eller the principle of
equivalence).
Sætning 2.1 (Det svage ækvivalensprincip (WEP)) Det svage ækvivalensprincip, eller WEP
for the weak equivalence principle, siger at den inertielle masse og gravitationelle masse af et
hvilkent som helst objekt er den samme.
◭
Dette lyder måske underligt, men massen der indgår i f.eks. Newtons 2. lov, F = mi a, den inertielle
masse, er ikke nødvendigvis den samme som den proportionalitetskonstant der indgår i en masses
respons til et gravitationelt felt, som f.eks. i Fg = −mg ∇Φ. Man kan tænke på mg /mi som den
gravitationelle ladning af massen. WEP siger at
m i = mg
for ethvert objekt.
En direkte konsekvens af WEP er at opførslen af frit faldende partikler er universel, og uafhængig at deres masse, nemlig at
a = −∇Φ.
Fra dette kan det konkluderes at der eksisterer en foretrukken klasse af baner igennem rumtiden,
kaldt inertielle (eller frit-faldende) baner, hvor uaccelererede partikler rejser. Her betyder uaccelereret at partiklerne kun føler tyngdekraft, og ikke andre udefrakommende kræfter. Dette er
tydeligvis ikke tilfældet for andre kræfter, som f.eks. den elektromagnetiske, hvor partikler kan
have forskellige ladninger.
Universaliteten af tyngdekraften, som den udledes fra WEP, kan også formuleres på en anden
måde: Der er ikke nogen måde at se forskel på effekterne af et gravitationelt felt og effekterne
af at være i et accelererende koordinatsystem, hvis man ser på frit faldende partikler. Dette bør
dog kun menes for “små nok områder” i rumtiden, for hvis man er i et stort nok område, vil
man f.eks. kunne se at det graviationelle felt fra en planet ikke var fladt. WEP kan derfor også
skrives: Bevægelsen af frit faldende partikler er den samme i et gravitationelt felt og i et uniformt
accelererende koordinatsystem i små nok områder af rumtiden.
Det var dog logisk for Einstein at energi og masse er to navne på den samme størrelse, og han
ville derfor udvide WEP til en mere generel sætning. Ideen var simpelthen er der ikke var nogen
måde over hovedet for en observatør at se forskel på et gravitationelt felt og et accelererende
koordinatsystem, uanset hvilket eksperiment der blev udført.
2
Manifolder
17
Sætning 2.2 (Einsteins ækvivalensprincip (EEP)) Einsteins ækvivalensprincip, eller EEP for
Einstein equivalence principle, siger at i små nok regioner i rumtiden vil fysikkens love reduceres til dem i den specielle relativitetsteori – det er umuligt at detektere eksistensen af et
◭
gravitationelt felt ved at lave lokale eksperimenter.
EEP foreslår at den gravitationelle kraft har at gøre med kurvaturen af rumtiden. I den specielle relativitetsteori er inertialsystemer vigtige, men disse kan ikke bruges når der arbejdes med
tyngdekraften – der er ikke noget gravitationelt neutralt object imod hvilket man kan måle en
acceleration. I stedet definereres “uaccelereret” eller “frit faldende” som følgende tyngdefeltet, og
ikke andre kræfter. Hermed er “at bevæge sig uaccelereret” pludselig blevet at bevæge sig efter
det tyngdefelt der nu engang er til stede.
I den specielle relativitetsteori kan man definere et inertialsystem til simpelthen at udspænde
hele universet, men pga. inhomogeniteter i det gravitationelle felt er dette ikke længere muligt i
den generelle relativitetsteori. I stedet bliver man nødt til at definere lokale inertisystemer, som
følger individuelle frit faldende partikler i små nok områder i rumtiden.
Man er nødt til at finde et matematisk værktøj der kan være konsistent med disse fysiske teorier, hvilket betyder at man skal forestille sig at rumtiden er kurvet, og at tyngdekraften er en
manifestation af denne kurvatur. Den matematiske struktur man skal bruge for at gøre dette kaldes for en differentiabel manifold. Dette er essentielt set et sæt der lokalt ligner fladt rum, men
kan have en meget anderledes global geometri.
Det er ikke muligt at bevise at tyngdekraften skulle være et produkt at en kurvatur, men det
er muligt at foreslå det som en id´e, og se om konsekvenserne passer med virkeligheden.
Sætning 2.3 (Gravitationelt rødskifte) Man skal forestille sig to raketter i en afstand z fra
hinanden, og begge bevæger sig med en konstant acceleration a i et område langt væk fra
alle gravitationelle felter. Til tiden t0 udsender den bagerste raket en foton med bølgelængde
λ0 . Raketterne forbliver i den konstante afstand fra hinanden, så fotonen når den forreste
raket efter tiden ∆t = z/c. I denne tid vil raketterne have accelereret til en ekstra hastighed
∆v = a∆t = az/c. Derfor vil fotonen der når den forreste raket være rødskiftet med den
konventionelle Dopplereffekt, ved
∆v
az
∆λ
=
= 2.
λ0
c
c
Ifølge EEP burde det samme ske i et uniformt gravitationelt felt. Man kan altså forestille
sig et tårn med højde z på overfladen af en planet med et gravitationelt felt med styrke ag .
Observatørerne i “raketten” øverst i tårnet kun kan observere fotoner der kommer fra jorden, og
kan ellers ikke se andet. Dermed vil EEP direkte føre til at en foton udsendt med bølgelængde
λ0 fra jordoverfladen vil blive rødskiftet med en mængde
∆λ
ag z
= 2 .
λ0
c
Dette er det gravitationelle rødskift.
◭
18
2
Manifolder
Ligningen for det gravitationelle rødskifte skrives nogen gange på en anden form, hvor man bruger
det Newtonske potentiale Φ, hvor a = ∇Φ. Et ikke-konstant gravitationelt felt kræver at man
integrerer, og man får derved at
Z
Z
∆λ
1
1
∇Φdt = 2
∂z Φdz = ∆Φ,
=
λ0
c
c
hvor ∆Φ er den totale ændring i det gravitationelle potentiale, igen med c = 1.
t
∆t1
∆t0
z0
z1
z
Ud fra det gravitationelle rødskifte kan man også konkludere at rumtiden må være kurvet. Hvis
man tegner et rumtids-diagram for eksperimentet, hvor en person udsender lys med bølgelængde
λ0 fra en højde z0 , op til toppen af tårnet i højden z1 , så vil tiden imellem begyndelsen af en
enkelt bølge og slutningen af samme bølge være givet ved ∆t0 = λ0 /c, mens det samme interval
ved absorptionen må være ∆t0 = λ1 /c. Hvis det gravitationelle felt er statisk, så vil alle bølger
følge en kongruent vej, og simpel geometri ville så sige at tiderne ∆t0 og ∆t1 var ens. Men det
er det ikke, da det gravitationelle rødskifte siger at ∆t1 > ∆t0 . Dette kan fortolkes som at uret i
tårnets top løber hurtigere – rumtiden hvor fotonerne rejste er kurvet.
2.2
Hvad er en manifold?
Normalt arbejder man med egenskaber af n-dimensionelle Eulidiske rum, Rn , sættet af n-tupler
(x1 , . . . , xn ), der ofte har en flad positiv definit metrik med komponenter δij . Man kan lave analyse
på sådanne rum, differentation, integration, funktionsegenskaber, osv. Der findes dog også kurvede
rum som man gerne vil gøre sådan noget på, f.eks. kugler.
Definition 2.4 (Manifold) En manifold er et rum der kan være kurvet og have en kompliceret
topologi, men ser ud som Rn i lokale regioner. Hele manifolden er lavet ved at “sy” sådanne
områder sammen.
◭
Dimensionaliteten n af de Euklidiske rum der bruges lokalt skal være den samme i alle dele af
manifolden, og da er manifolden også i n dimensioner. Eksempler på manifolder er
◮ Rn selv. Dette er logisk, eftersom Rn selvfølgelig ser ud som Rn lokalt også.
◮ Den n-dimensionelle kugle S n . Denne kan indlejres i Rn+1 som en flade hvor alle punkter
har samme afstand til et centrum. Cirkelen er S 1 , kuglen (to-kuglen) er S 2 , osv.
◮ Det direkte produkt mellem to manifolder er en manifold. Så givet en manifold M og en
manifold M ′ med dimension n og n′ , kan man lave en ny manifold M × M ′ med dimension
n + n′ , der indeholder ordnede par (p, p′ ) hvor p ∈ M og p′ ∈ M ′ .
2
Manifolder
19
Det er dog nødvendigt at formalisere definitionen af en manifold lidt mere end at den består af
regioner der “lokalt ligner Rn ” der er “syet glat sammen”.
Definition 2.5 (Mapning) Givet to sæt M og N , er en mapning φ : M → N en sammenhæng
der for hvert element i M tildeler en præcist ´en værdi i N . En mapning er altså bare en simpel
generalisation af en funktion.
Givet to mapninger φ : A → B og ψ : B → C, defineres kompositionen ψ ◦ φ : A → C ved
operationen (ψ ◦ φ)(a) = ψ(φ(a)). Så a ∈ A, φ(a) ∈ B, og dermed er (ψ ◦ φ)(a) ∈ C.
ψ◦φ
A
C
φ
ψ
B
En mapning φ : M → N kaldes for injektiv (eller one-to-one) hvis hvert element i N har
maksimalt et element af M mapped på sig, og surjektiv (eller onto) hvis hvert element i N har
mindst et element af M mapped på sig.
En mapning der både er injektiv og surjektiv kaldes invertibel (eller bijektiv), og her kan
man definere en invers mapning φ−1 : N → M ved (φ−1 ◦ φ)(a) = a.
φ
M
N
φ−1
Selv om mapningen ikke er invertibel er det stadig altid muligt at definere pre-billedet φ−1 (U ),
der er defineret for et hvilken som helst undersæt U ⊆ N som sættet af elementer fra M der
bliver mapped til U .
Sættet M kaldes for domænet for mapningen φ : M → N , mens sættet af punkter i N som
M mappes på kaldes for billedet.
◭
En mapning mellem Euklidiske rum, φ : Rm → Rn , tager en m-tuple (x1 , x2 , . . . , xm ) til en n-tuple
(y 1 , y 2 , . . . , y n ), og kan tænkes på som en samling af n funktioner φi med m variable. Der henvises
til disse funktioner som værende C p hvis deres p første afledte eksisterer og er kontinuerte, mens
der henvises til hele mapningen φ : Rm → Rn som værende C p hvis dette mindst gælder for alle
funktionerne. Mapninger der er C ∞ kaldes nogen gange for glatte (eller smooth).
Definition 2.6 (Åbent sæt) En åben bold er sættet af alle punkter x i Rn således at |x − y| < r
P
for en eller anden fastsat y ∈ Rn og r ∈ R, hvor |x − y| = | i (xi − y i )2 |1/2 . Altså er den åbne
bold den inderste del af en n-kugle med radius r og centrum y.
Et åbent sæt i Rn er så et sæt konstrueret fra et arbitrært antal åbne bolde. Så V ∈ Rn er
◭
åben hvis der for alle y ∈ V er en åben bold centreret i y der er komplet inden i V .
Et kort (eller chart eller bare koordinatsystem) består af et subsæt U af et sæt M , sammen med
en injektivt mapning φ : U → Rn , således at billedet φ(U ) er åbent i Rn . Så kan det siges at U er
et åbent sæt i M .
20
2
Manifolder
Rn
M
φ
U
φ(U )
Et C ∞ atlas er en indekseret samling af kort {(Uα , φα )} der overholder de to krav
◮ Foreningen af Uα ’erne er lig med M .
◮ Kortene er “syet” glat sammen. Mere præcist, hvis to kort overlapper, Uα ∩ Uβ , ∅, så vil
n
n
mapningen (φα ◦φ−1
β ) tage punkter i φβ (U α∩Uβ ) ⊂ R hen til et åbent sæt φα (Uα ∩Uβ ) ⊂ R ,
og alle disse mapninger skal være C ∞ .
Rn
M
Uβ
Uα
φα (Uα )
φα
φα ◦ φ−1
β
φβ
φβ (Uβ )
φβ ◦ φ−1
α
Disse maps er kun
defineret på de
farvede områder
Rn
Så et kort er hvad man normalt tænker på som et koordinatsystem på et åbent sæt, mens et atlas
er en samling af kort der er glat forbundet i deres overlap.
Definition 2.7 (Manifold (matematisk)) En C ∞ n-dimensional manifold er simpelthen et sæt
◭
M sammen med et maksimalt atlas, der indeholder alle mulige kompatible kort.
Kravet om at sættet skal være C ∞ kan godt slækkes, og kravet om et maksimalt atlas er for at
undgå at to ækvivalente manifolder med forskellige atlas’er ikke tæller som to forskellige manifolder.
Bemærk at definitionen af en manifold ikke kræver en indlejring i et større-dimensionelt rum.
Det er ofte nemt at tænke på manifolder sådan, men det er ikke strengt nødvendigt.
De fleste manifolder kan ikke dækkes af kun et kort, hvorfor det var nødvendigt at gå igennem
så mange definitioner. Det simpleste eksempel er to-kuglen S 2 , der kan mappes til R2 ved f.eks.
stereografisk projektion. Men denne misser enten det ene punkt i sydpolen eller nordpolen, hvorfor
man er nødt til at have to kort til at mappe hele S 2 til R2 .
Sætning 2.8 (Kædereglen) En enkelt lille del af den konventionelle kalkulus skal bruges i det
følgende, og det er derfor værd lige at tage det med. Man har to mapninger f : Rm → Rn og
g : Rn → Rl , og dermed kompositionen (g ◦ f ) : Rm → Rl . Man kan nu navngive de forskellige
variable på rummene som xa på Rm , y b på Rn og z c på Rl . Kædereglen forbinder så de partielle
2
Manifolder
21
afledte for de individuelle mapninger,
X ∂f b ∂g c
∂
(g ◦ f )c =
,
a
∂x
∂xa ∂y b
b
der normalt forkortes som
X ∂y b ∂
∂
=
.
∂xa
∂xa ∂y b
b
Når m = n kaldes determinanten af matricen ∂y b /∂xa for Jacobianten for mapningen, og
◭
mapningen er invertibel når Jacobianten er forskellig fra nul.
2.3
Vektorer igen
Man kan forestille sig at man ville konstruere et tangentrum i et punkt p på en manifold M , ved
kun at bruge ting der var egenskaber for M . Man kan se på sættet af alle parametriserede kurver
i M som går igennem p, dette er rummet af alle mapninger γ : R → M således at p er i billedet
af γ. Det ville så være logisk at definere tangentrummet som sættet af tangentvektorer til disse
kurver i p, men en tangentvektor på en manifold er endnu ikke blevet defineret!
Definition 2.9 (Tangentrum (generel manifold)) Man definerer F som værende rummet med
alle glatte funktioner på M (altså alle C ∞ mapninger f : M → R). Alle kurver igennem p
definerer en operator på dette rum, den retningsafhængige afledte, der mapper f → df /dλ i p.
Tangentrummet kan da identificeres med rummet af retningsafhængige afledte operatorer
◭
langs kurver igennem p.
Det kan nu vises at dette rum faktisk er et vektorrum, og at det er det rum der blev ledt efter –
det har altså samme dimensionalitet som M , og giver en naturlig ide om hvad der menes med en
vektor der peger i en bestemt retning.
Den nemmeste måde at vise at rummet faktisk er tangentrummet, er at finde en basis for det.
Hvis man har et kort med koordinater xµ , er der et logisk sæt af afledte i punktet p, nemlig de
retningsbestemte afledte ∂µ . Dette er faktisk netop definitionen af en partielt afledt af xµ – den
retningsbestemte afledte langs en kurve xν = konstant for alle ν , µ, parametriseret af xµ selv.
Det kan nu vises at de partielle afledte {∂µ } ved p former en basis for tangentrummet Tp , ved at
se at
dxµ
d
=
∂µ .
dλ
dλ
Denne ligning er ligesom den normale ligning V = V µ eˆ(µ) , hvor vektoren nu er V = d/dλ, og
basisvektorerne er ∂µ . Denne basis kaldes for koordinatbasisen for Tp .
Det er også muligt at finde hvordan disse vektorer transformerer når man skifter koordinatsystem, ved simpelthen at kræve at V = V µ ∂µ er invariant under denne. Derved findes det at
′
′
Vµ =
∂xµ µ
V .
∂xµ
22
2
Manifolder
Denne kaldes også for vektortransformationsloven.
Definition 2.10 (Kommutator) Eftersom en vektor i et punkt kan tænkes på som en retningsbestemt differentialoperator langs en kurve i dette punkt, kan man definere et vektorfelt som
en mapning fra de glatte funktioner til de glatte funktioner ved at tage en afledt i hvert punkt.
Givet sådan to vektorfelter X og Y , kan man nu definerer kommutatoren [X, Y ] ved dens
virkning på en funktion f (xµ )
[X, Y ](f ) = X(Y (f )) − Y (X(f )).
Denne operator er koordinat-uafhængig, og er faktisk i sig selv et vektorfelt (den opererer
lineært, og overholder Leibniz reglen). Komponenterne af kommutatoren kan findes til at være
[X, Y ]µ = X λ ∂λ Y µ − Y λ ∂λ X µ .
2.4
◭
Tensorer igen
Igen kan kotangentrummet tænkes på som sætte af lineære mapninger ω : Tp → R. Et eksempel
på en sådan er gradienten af en funktion f , df , der når den opererer på en tangentvektor d/dλ
netop giver den retningsbestemte afledte
d
df
df
=
.
dλ
dλ
En dual vektor eksisterer, ligesom en vektor, kun i det punkt hvor den er defineret, og aafhænger
ikke af information om andre steder på manifolden.
Lige som de partielle afledte er en basis for tangentrummet, er gradienterne af koordinatfunktionerne xµ en basis for kotangentrummet, således at en dual vektor kan skrives som ω = ωµ dxµ .
Denne transformerer som
ωµ′ =
∂xµ
ωµ ,
∂xµ′
altså med den omvendte partielle afledte af hvordan en vektor transformerer.
Definition 2.11 (Tensor (generel manifold)) Lige som i det flade rum defineres en (k, l) tensor
som en multilineær mapning fra en samling af k dual vektorer og l vektorer til R. Denne kan
skrives som
T = T µ1 ···µk ν1 ···νl ∂µ1 ⊗ · · · ⊗ ∂µk ⊗ dxν1 ⊗ · · · ⊗ dxνl .
Koordinattransformationer foregår ved at de hævede indekser transformerer som vektorer, mens
de sænkede transformerer som dual vektorer, og der gælder altså at
′
T
µ′1 ···µ′k
ν1′ ···νl′
′
∂xµk ∂xν1
∂xµ1
∂xνl µ1 ···µk
·
·
·
=
·
·
·
ν1 ···νl .
′ T
′
∂xµ1
∂xµk ∂xν1
∂xνl
◭
2
Manifolder
23
Desværre er det ikke alle tensor operationer fra det flade rum der kan oversættes direkte til en
generel metrik. F.eks. er den partielt afledte af en tensor ikke generelt en ny tensor. Dette kan man
se ved simpelthen at udregne den partielt afledte af en dual vektor, ∂µ Wµ , og skifte koordinater
for at se om den transformerer som den skal,
ν
∂xµ ∂xν
∂xµ ∂ ∂xν
∂x
∂xµ ∂
∂
∂
′
=
+ Wν µ′ µ ν ′ .
W
W
W
=
ν
ν
ν
′
′
′
′
′
µ
µ
µ
ν
µ
ν
µ
∂x
∂x ∂x
∂x
∂x ∂x
∂x
∂x ∂x ∂x
Det sidste af de to udtryk burde ikke være der hvis ∂µ Wµ faktisk transformerede som en (0, 2)
tensor. Derfor bliver det senere nødvendigt at definere en ny form for partielt afledt – den kovariant
afledte.
2.5
Metrikken
Den metriske tensor i et kurvet rum er meget vigtig, og får sit eget navn gµν (mens ηµν er reserveret
til kun at tale om Minkowski metrikken). Der er ikke mange krav til metrikken, andet end at den
er en symmetrisk (0, 2) tensor.
Ofte tages metrikken som værende ikke-degeneret (så determinanten g = |gµν | er forskellig fra
nul), hvorved det er muligt at definere en invers metrik g µν ved
g µν gνσ = gλσ g λµ = δσµ .
Symmetrien af gµν fortæller at g µν også er symmetrisk. Metrikken og dens inverse kan bruges til
at hæve og sænke indekser, lige som i den specielle relativitetsteori.
Sætning 2.12 (Linie-element (generel manifold)) I speciel relativitetsteori havde man linieelementet ds2 = ηµν dxµ dxν , men nu ved man at dxµ i virkeligheden er en basis dual vektor,
hvorfor det virker naturlig at bruge ordene “metrik” og “linie-element” om det samme,
ds2 = gµν dxµ dxν .
◭
Den metriske tensor indeholder al den information der er brug for til at beskrive kurvaturen af
manifolden. I et fladt rum er metrikken konstant igennem hele rummet (selvfølgelig kun med det
rette koordinatsystem, som dog altid kan findes), men generelt vil metrikken være en funktion af
koordinaterne som man ser rummet med.
Sætning 2.13 (Metrikken på kanonisk form) Man sætter matrikken på sin kanoniske form for
at karakterisere rummet meget groft. Man kan simpelthen skrive den som en diagonal på formen
gµν = diag(−1, −1, . . . , −1, +1, +1, . . . , +1, 0, 0, . . . , 0),
hvor diag betyder en diagonal matrice med de givne elementer. Signaturen af metrikken er
antallet af positive og negative egenværdier, f.eks. kalder man Minkowski metrikken for minusplus-plus-plus. Hvis nogen af egenværdierne er nul, kaldes metrikken for degenereret, og den vil
ikke have en invers.
Hvis alle fortegnene er positive kaldes metrikken Euklidisk eller Riemannian (eller bare
positivt definit). Hvis der derimod er et enkelt minustegn kaldes metrikken for Lorentzian eller
24
2
Manifolder
pseudo-Riemannian. En metrik med et andet forhold mellem positive og negative fortegn kaldes
◭
indefinit.
Definition 2.14 (Lokale intertialkoordinater) Det viser sig at i et hvilkent som helst punkt
p ∈ M eksisterer der et koordinatsystem xµˆ i hvilket gµˆνˆ tager sin kanoniske form, og de første
afledte ∂σˆ gµˆνˆ er nul, således at
gµˆνˆ (p) = ηµˆνˆ ,
∂σˆ gµˆνˆ (p) = 0.
Sådanne koordinater kaldes for lokale intertialkoordinater (eller locally intertial coordinates), og
de lokale basisvektorer laver et lokalt Lorentz inertialsystem. Hattene over indekserne fortæller
at man er i et sådant koordinatsystem.
◭
Til første orden vil metrikken i p se ud til at være fladt rum, og det er netop det der menes med
“små nok områder i rumtiden”.
Lokale inertialkoordinater er virkelig brugbare. Bedst af alt er det ikke generelt nødvendigt
at lave koordinaterne, det er ofte nok bare at vide at de kan laves. Det normale trick er at tage
et spørgsmål af fysisk interesse, svare på det i konteksten af de lokale inertialkoordinater, og så
udtrykke svaret i en koordinat-uafhængig form.
2.6
Et ekspanderende univers
Et simpelt eksempel på en ikke-triviel Lorentzian geometri er den fire-dimensionelle kosmologiske
rumtid med metrik
ds2 = −dt2 + a2 (t)[dx2 + dy 2 + dz 2 ].
Dette beskriver et univers hvor rum til en bestemt tid t er det tre-dimensionelle Euklidiske rum,
som udvider sig som en funktion af tid. Funktionen a(t) kaldes for skalafaktoren.
Verdenslinier xi der bliver ved konstante rumlige koordinater kaldes for comoving. Områder i
rummet det udvider sig sammen med hele rummet (så grænserne er ved faste rumlige koordinater)
kaldes for comoving volumener.
Denne metrik er et specielt tilfælde af en Robertson-Walker metrik, med fladt rum i hver tidsøjeblik. Typiske løsninger for skalafaktoren er potensfunktioner,
a(t) = tq ,
0 < q < 1.
Et univers domineret af stof har q = 2/3, mens et univers domineret af stråling har q = 1/2. En
vigtig egenskab er at skalafaktoren går mod nul for t → 0, så vores rumtid stopper når t kommer
helt derned.
Lys-kegler i denne kurvede geometri er defineret at null vejene, hvor ds2 = 0. Hvis man holder
y og z konstante, har man altså 0 = −dt2 + t2q dx2 , der giver hældninger
dx
= ±t−q
dt
⇒
t = (1 − q)1/(1−q) (±x − x0 )1/(1−q) ,
2
Manifolder
25
hvor x0 er en integrationskonstant. Disse kurver definerer lys-keglerne i det ekspanderende univers.
Den stiplede linie i bunden af figuren er t = 0 linien, og her vil lys-keglerne tangere, eftersom
0 < q < 1.
t
En vigtig ting i denne rumtid er at lyskeglerne ikke nødvendigvis skærer hinanden i fortiden,
hvilket de altid gjorde i Minkowski rummet. Hver hændelse definerer en hændelseshorisont, uden
for hvilken der eksisterer verdenslinier som ikke kan have haft nogen indflydelse på hvad der sker
i denne hændelse. Dette er selvfølgelig fordi der ikke er noget der kan påvirke en hændelse uden
for lys-keglen.
2.8
Tensor densiteter
Definition 2.15 (Levi-Civita
defineret ved


 +1
ǫ˜µ1 µ2 ···µn =
−1


0
symbolet) Det komplette antisymmetriske Levi-Civita symbol er
hvis µ1 µ2 · · · µn er en lige permutation af 0 1 · · · (n − 1),
hvis µ1 µ2 · · · µn er en ulige permutation af 0 1 · · · (n − 1),
ellers.
◭
Definition 2.16 (Tensor densitet) Levi-Civita symbolet ændrer sig ikke under koordinattransformationer, og er altså ikke en tensor. Faktisk transformerer den næsten som en tensor, men
med en determinant foran,
∂xµ′ ∂xµ1 ∂xµ2
∂xµn
·
·
·
ǫ˜µ′1 µ′2 ···µ′n = µ ǫ˜µ1 µ2 ···µn µ′
′
′ .
∂x ∂xµn
∂x 1 ∂xµ2
Objekter der transformerer på denne måde kaldes for tensor densiteter.
◭
Et andet eksempel på en tensor densitet er determinanten af metrikken, g = |gµν |. Det kan vises
at denne transformerer som
∂xµ′ −2
′
g(xµ ) = µ g(xm u),
∂x Dette er altså heller ikke en ren tensor transformation, men det minder lidt om den måde LeviCivita symbolet transformerede, med en Jacobiant foran, denne gang dog i potensen −2. Denne
26
2
Manifolder
potens af Jacobianten kaldes for tensor densitetens vægt: Levi-Civita symbolet er en tensor densitet
med vægt 1, mens determinanten af metrikken er en tensor densitet med vægt −2.
Tensor densiteter er dog ikke lige så rare som tensorer, og der er heldigvis en simpel måde at
konvertere en tensor densitet til en tensor – man ganger simpelthen med |g|w/2 , hvor w er vægten.
F.eks. er Levi-Civita tensoren givet ved
ǫµ1 µ2 ···µn =
og denne transformerer som en tensor.
p
|g|˜
ǫµ1 µ2 ···µn ,
3
3
3.1
Kurvatur
27
Kurvatur
Oversigt
Kurvatur er ret nemt at forstå som en abstrakt egenskab, men det er lidt sværere at stille op
matematisk. For at gøre dette skal man opstille noget der hedder en forbindelse (eller connection),
der giver en måde at forbinde vektorer i forskellige tangentrum i punkter tæt på hinanden. Der
kan laves en unik forbindelse ud fra metrikken, som er givet ved et objekt kaldt et Christoffel
symbol,
1
Γλµν = g λσ (∂µ gνσ + ∂ν gσµ − ∂σ gµν ).
2
Den grundlæggende brug af en forbindelse er at tage den kovariant afledte, ∇µ (en generalisering
af den partielt afledte), der er givet ved
∇µ V ν = ∂µ V ν + Γνµσ V σ ,
og lignende for andre tensorer. Forbindelsen bruges også i definitionen af geodætiske baner (en
generalisation af rette linier i fladt rum). En kurve x(λ)µ er en geodætisk bane hvis den overholder
d2 xµ
dxρ dxσ
+ Γµρσ
= 0,
2
dλ
dλ dλ
der kaldes for den geodætiske ligning. Endelig er det tekniske udtryk for kurvaturen indeholdt i
Riemann tensoren, en (1, 3) tensor der findes ud fra forbindelsen ved
Rρ σµν = ∂µ Γρνσ − ∂ν Γρµσ + Γρµλ Γλνσ − Γρνλ Γλµσ .
Alt hvad man gerne vil vide om kurvaturen af en manifold er givet i Riemann tensoren – den er
kun nul hvis metrikken er helt flad.
3.2
Kovariant afledte
Det er naturligt at tænke på kurvaturen som noget der kun afhænger af metrikken. Man finder dog
ved lidt nærmere undersøgelse af kurvaturen i stedet afhænger af forbindelsen, der kan afhænge af
metrikken (men ikke nødvendigvis gør det). Man kan dog vise at eksistensen af en metrik definerer
en bestemt forbindelse, hvis kurvatur man så kan tænke på som metrikkens kurvatur. Dette er
netop hvad der gøres i den generelle relativitetsteori.
Forbindelsen er nødvendig når man skal forsøge at fikse at den partielt afledte ikke er en
god tensor operator – man vil gerne have en kovariant afledt, der reducerer til den partielt afledte
i et fladt rum med inertialkoordinater, men ellers transformerer en tensor på en arbitrær manifold.
I det flade rum i inertialkoordinater er den partielle differentationsoperator ∂µ en mapning fra
(k, l) tensorfelter til (k, l + 1) tensorfelter, som virker lineært på sine argumenter, og overholder
Leibniz reglen for tensor produkter. Alt dette skal vores nye partielle afledte også overholde, men
det skal være på en koordinat-invariant måde, så man definerer en kovariant afledt ∇ til at gøre
det samme som ∂, men på en invariant måde.
∇ skal være en mapning fra (k, l) tensorfelter til (k, l + 1) tensorfelter med egenskaberne
28
3
Kurvatur
◮ Linearitet: ∇(T + S) = ∇T + ∇S.
◮ Leibniz (produkt) regelen: ∇(T ⊗ S) = (∇T ) ⊗ S + T ⊗ (∇S).
Hvis ∇ skal overholde Leibniz regelen kan man altid skrive den som en partielt afledt plus en
eller anden lineær transformation – så man kan lave sin kovariante afledte ved først at bruge den
partielt afledte, og så lægge en korrektion oveni.
Definition 3.1 (Forbindelseskoefficienter) For hver retning µ vil den kovariante afledte ∇µ
være givet ved den partielt afledte plus en korrektion specificeret med en sæt af n matricer
(Γµ )ρ σ (en n × n matrice for hver µ, hvor n er dimensionaliteten af manifolden). Oftest skriver
man bare disse matricer, kaldt forbindelseskoefficienterne (eller the connection coefficients),
◭
uden parentesen, som Γρµσ .
Der skal altså gælde at den kovariante afledte på en vektor er
∇µ V ν = ∂µ V ν + Γνµλ V λ .
Man kan nu bestemme transformationsegenskaberne for Γνµλ ’erne ved at kræve at den venstre side
er en (1, 1) tensor. Med dette finder man af forbindelseskoefficienterne transformerer som
′
′
Γνµ′ λ′
′
∂xµ ∂xλ ∂ 2 xν
∂xµ ∂xλ ∂xν ν
Γ
+
.
=
′
′
µλ
∂xµ ∂xλ ∂xν
∂xµ′ ∂xλ′ ∂xµ ∂xλ
Dette er tydeligvis ikke som en tensor, og det fortæller altså at forbindelseskoefficienterne ikke
er komponenter af en tensor! Men det er fint, for de er stadig lavet på en sådan måde at ∇µ V ν
transformerer som en tensor.
Man kan tilsvarende opskrive den kovariante afledte af en dual vektor som
˜ λ ωλ ,
∇µ ων = ∂µ ων + Γ
µν
˜ ν er et nyt sæt matricer, der ikke nødvendigvis er de samme som dem der bruges for
hvor Γ
µλ
˜ ν og Γλ koefficienterne skal der laves to krav mere for den
vektorer. For at sammenligne Γ
µν
µλ
kovariante afledte:
◮ Den skal kommutere med sammentrækninger: ∇µ (T λ λρ ) = (∇T )µ
λ
λρ .
◮ Den skal reducere til partielle afledte på skalarer: ∇µ φ = ∂µ φ.
Den første af disse to er ækvivalent med at sige at Kronecker deltaet skal være kovariant konstant,
∇µ δνλ = 0, hvilket selvfølgelig giver god mening.
˜ σ = −Γσ , og dermed kan man altså opskrive den kovariante
Med disse kan det nu vises at Γ
µλ
µλ
afledte af en dual vektor som
∇µ ων = ∂µ ων − Γλµν ωλ .
3
Kurvatur
29
Definition 3.2 (Kovariant afledte) Forbindelseskoefficienterne indeholder al nødvendig information for at tage den kovariante afledte af en tensor af arbitrær størrelse. For hvert hævet
indeks skal man tilføje et led med en +Γ, mens man for hvert sænket indeks skal tilføje et led
med en −Γ. Altså er det generelle udtryk for den kovariante afledte
∇σ T µ1 µ2 ···µk ν1 ν2 ···νl = ∂σ T µ1 µ2 ···µk ν1 ν2 ···νl
+ Γµσλ1 T λµ2 ···µk ν1 ν2 ···νl + Γµσλ2 T µ1 λ···µk ν1 ν2 ···νl + · · ·
− Γλσν1 T µ1 µ2 ···µk λν2 ···νl − Γλσν2 T µ1 µ2 ···µk ν1 λ···νl − · · ·
◭
For at definere den kovariant afledte skal man altså bare have en forbindelse på sin manifold, specificeret i et koordinatsystem som et sæt af koefficienter Γλµν . Man kan lave rigtig mange forskellige
forbindelser, men i den generelle relativitetsteori definerer metrikken også en unik forbindelse, som
bliver brugt.
Det kan vises at et hvilkent som helst sæt af forbindelseskoefficienter kan skrives som en anden
ˆ λ + S λ µν . Det kan også vises at man kan finde
forbindelse, plus en tensor korrektion, Γλµν = Γ
µν
en ny forbindelse ved simpelthen at rotere de sænkede indekser på forbindelseskoefficienterne, fra
Γλµν til Γλνµ .
Definition 3.3 (Torsion tensoren) For en hvilken som helst forbindelse er det muligt at definere
torsions tensoren ved
T λ µν = Γλµν − Γλνµ = 2Γλ[µν] .
Torsionen er antisymmetrisk i de sænkede indekser, og en forbindelse der er symmetrisk i sine
◭
sænkede indekser kaldes derfor for torsions-fri.
Det er nu muligt at definere en unik forbindelse på en manifold med metrik gµν ved at introducere
to nye krav:
◮ Forbindelsen skal være torsions-fri: Γλµν = Γλνµ .
◮ Forbindelsen skal være metrisk kompatibel: ∇ρ gµν = 0.
At en forbindelse er metrisk kompatibel (eller metric compatible) betyder at den kovariante afledte
af metrikken mht. denne forbindelse er nul over alt. Dette betyder direkte at Levi-Civita tensoren
og den inverse metrik også har kovariant afledt lig nul, ∇λ ǫµνρσ = 0 og ∇ρ g µν = 0.
En metrisk kompatibel kovariant afledt vil desuden kommutere med hævning og sænkning af
indekser, så for et vektorfelt V λ vil der gælde at gµλ ∇ρ V λ = ∇ρ (gµλ V λ ) = ∇ρ Vµ .
Sætning 3.4 (Christoffel forbindelsen) Der er præcis en torsion-fri forbindelse på en given
manifold der er kompatibel med metrikken på denne manifold. Det kan vises at denne er givet
ved
1
Γσµν = g σρ (∂µ gνρ + ∂ν gρµ − ∂ρ gµν ).
2
Dette er en af de vigtigste formler i hele dette emne.
30
3
Kurvatur
Denne forbindelsen for metrikken kaldes også for Christoffel forbindelsen, Levi-Civita for◭
bindelsen, eller Riemannian forbindelsen.
Det er ikke altid nødvendigt at konvertere partielle afledte til kovariante afledte for at konstruere
tensorer. For eksempel er vektorfelts-kommutatoren begge veldefinerede tensorer som udtryk af
partielle differentialer, essentielt fordi der er led der får de ikke tensorielle dele til at gå ud med
hinanden.
3.3
Parallel transport og geodætiske baner
Man tænker på en afledt som noget der fortæller hvor hurtigt noget ændrer sig. Men hvad er det
lige tensorer ændrer sig i forhold til? Det viser sig at en kovariant afledt fortæller den instantane
rate af ændring over et tensor felt til sammenligning med hvad tensoren ville være hvis den blev
“parallel transporteret”. Med andre ord definerer den kovariante afledte en måde at holde en tensor
konstant langs en bane.
Definition 3.5 (Parallel transport) I fladt rum giver det god mening at sammenligne vektorer
to et punkter, da man bare kan transportere den ene vektor over til den anden og sammenligne
dem. At flytte en vektor langs en kurve, og samtidig holde den konstant, kaldes for parallel
◭
transport.
For at kunne parallel transportere noget på man kende forbindelsen. Den store forskel mellem fladt
rum og kurvet rum er at i et kurvet rum er resultatet af transporten af en vektor fra et punkt til
et andet afhængigt af vejen der tages imellem de to punkter.
Et simpelt eksempel på dette er en vektor der ligger på ækvator på S 2 kuglen, som peger i
retning af nordpolen. Hvis man flytter den op direkte mod polen vil den pege ´en vej, og hvis man
flytter den op ved først er køre det lidt rundt langs ækvator først, så vil den pege en anden vej.
Der er simpelthen ikke en bestemt bane igennem manifolden hvorpå man kan sige at man bør
flytte en vektor – der er rigtig mange forskellige, og de giver forskellige resultater. To vektorer kan
simpelthen kun sammenlignes på en naturlig måde hvis de er en del af det samme tangentrum.
Så faktisk giver det ikke mening f.eks. at sammenligne hastigheden at to objekter langt fra
hinanden – dette giver simpelthen ikke mening. Når man i kosmologien ser på galakser, og ser
at de har en forskydning af deres bølgelængde, så får man lyst til at sige at de bevæger sig med
en bestemt hastighed i forhold til os, givet ved den konventionelle Dopplereffekt. Men dette giver
simpelthen ikke mening, fordi deres hastighed i forhold til os bare ikke er veldefineret. Hvad der i
virkeligheden er sket, er at metrikken mellem galaksen og os har ændret sig (universet er blevet
3
Kurvatur
31
større) langs fotonens vej til os, og derfor er lyset blevet forskudt til en anden bølgelængde. Denne
misforståelse kan faktisk føre til at det ser ud som om nogen galakser bevæger sig væk fra os med
en hastighed over lysets!
Definition 3.6 (Retningsbestemt kovariant afledte) Parallel transport er simpelthen bare at
en vektor (eller sådan set en hvilken som helst størrelse tensor) er konstant langs den bane man
bevæger den. Givet en kurve xµ (λ), vil dette svare til at alle komponenterne af tensoren er
konstante,
dxµ ∂ µ1 µ2 ···µk
d µ1 µ2 ···µk
T
T
ν1 ν2 ···νl = 0.
ν1 ν2 ···νl =
dλ
dλ ∂xµ
For at lave dette tensorialt erstatter man simpelthen den partielt afledte med en kovariant
afledt, og definerer den retningsbestemte kovariante afledte som
dxµ
D
=
∇µ .
dλ
dλ
Denne er en mapning defineret langs kurven, fra (k, l) tensorer til (k, l) tensorer.
◭
Definition 3.7 (Parallel transport (matematisk)) Man kan nu definere parallel transport af
en tensor T langs en vej xµ (λ) til at være kravet at den kovariante afledte af T langs vejen er
nul,
µ1 µ2 ···µk
dxσ
D
T
∇σ T µ1 µ2 ···µk ν1 ν2 ···νl = 0.
≡
dλ
dλ
ν1 ν2 ···νl
Dette er en veldefineret tensorligning, der kaldes for ligningen for parallel transport. For en
vektor har den formen
dxσ ρ
d µ
V + Γµσρ
V = 0.
◭
dλ
dλ
Parallel transport er selvfølgelig forskellig for forskellige forbindelser. Hvis forbindelsen er metrisk
kompatibel, vil der gælde at metrikken altid bliver parallel transporteret,
D
dxσ
gµν =
∇σ gµν = 0.
dλ
dλ
Videre gælder der at det indre produkt mellem to parallel transportedede vektorer stadig er det
samme, så parallel transport bevarer normen, ortogonalitet, osv.
Definition 3.8 (Geodætisk bane) Nu da parallel transport er blevet defineret, er det tid til at
definere geodætiske baner. En sådan bane er en generalisation af en ret linie i flad rumtid –
vejen med kortest afstand mellem to punkter. En lige så god definition er dog at en linie er en
vej der parallel transporterer sin egen tangentvektor. Disse to er ens hvis man bruger Christoffel
forbindelsen.
◭
Det er nemmest at arbejde med den sidste af disse to definitioner, at “en geodætisk bane er en
der paralleltransporterer sin egen tangentvektor”. Tangentvektoren til en bane xµ (λ) er dxµ /dλ.
32
3
Kurvatur
At den bliver parallel transporteret betyder at
D dxµ
= 0,
dλ dλ
eller udskrevet,
σ
ρ
d2 xµ
µ dx dx
+
Γ
= 0.
ρσ
dλ2
dλ dλ
Dette er den geodætiske ligning.
I stedet kan man også se på den anden definition, at “en geodætisk bane er kurven med kortest
afstand mellem to punkter”. Ved i første omgang kun at se på tidslige baner, hvor proper tiden er
defineret ved
1/2
Z dxµ dxν
dλ,
−gµν
τ=
dλ dλ
hvor integralet er over banen. Det viser sig at kurver med den korteste afstand er dem med den
længste proper tid (dette blev udledt i speciel relativitetsteori). Ved at lave variationsregning på
dette, kan det findes at
d2 xρ
dτ 2 2
1
dxµ dxν
+ g ρσ (∂µ gνσ + ∂ν gσµ − ∂σ gµν )
= 0.
2
dτ dτ
Denne ligning er præcis den geodætiske ligning hvis man bruger Christoffel forbindelsen.
3.4
Egenskaber for geodætiske baner
Den primære brug af geodætiske baner i den generelle relativitetsteori er at de er de baner som
uaccelererede testpartikler følger. En testpartikel er et objekt der ikke selv påvirker den geometri
som den bevæger sig igennem. Dette er aldrig helt sandt, men ofte en fin approksimation.
Den geodætiske ligning kan tænkes på som en generalisering af Newtons lov F = ma, for
tilfældet med F = 0 i den kurvede rumtid.
Definition 3.9 (Affin parameter) Man skal være opmærksom på hvordan man parametriserer
sin bane. En kurve parametriseret med en eller anden parameter λ, kan også parametriseres
med proper tid τ i stedet, hvis man laver en lineær transformation
τ → λ = aτ + b,
for konstanter a og b. En parameter der er forbundet til proper tid med sådan en sammenhæng
◭
kaldes for en affin parameter.
Der er ingen der siger at man skal bruge en affin parameter, men ellers vil den geodætiske ligning
ikke blive overholdt på den form den blev skrevet før. Man vil i stedet skulle arbejde med ligningen
σ
ρ
dxµ
d2 xµ
µ dx dx
+
Γ
=
f
(α)
,
ρσ
dα2
dα dα
dα
3
Kurvatur
33
hvor α(λ) er parameteren, og f (α) er forbundet til den affine parameter ved
f (α) = −
d2 α
dλ2
dα
dλ
−2
.
For tidlige veje kan man opskrive den geodætiske ligning som en funktion af fire-hastigheden
U µ = dxµ /dτ ved
U λ ∇λ U µ = 0,
og tilsvarende kan man gøre det for fire-impulsen pµ = mU µ ved
pλ ∇λ pµ = 0.
Denne ligning fortæller på en lidt anden måde at partikler der følger geodætiske baner hele tiden
bevæger sig i den retning som deres impuls peger.
For null baner er der ikke nogen proper tid τ , og den er altså ikke en god affin parameter som
kan parametrisere banerne. Man kan dog stadig godt spørge om en parametriseret bane xµ (λ)
overholder den geodætiske ligning. Hvis den gør dette for parameteren λ, så vil den også overholde
det for alle andre affine parametre af formen aλ + b, men der er her ikke nogen foretrukken
parameter. Ofte vælger man parametriseringen af en null bane til at være med parametren λ
sådan at dxµ /dλ er lig med fire-impulsen,
pµ =
dxµ
.
dλ
Dette er i kontrast til tidslige baner, hvor dxµ /dτ er impulsen per enhedsmasse. Dermed vil en
observatør med fire-hastighed U µ måle energien af partiklen til at være
E = −pµ U µ .
Dette er faktisk udtrykket for energien af en partikel med impuls pµ målt af en observatør med
fire-hastighed U µ , uanset om pµ er null eller tidslig.
En anden vigtig egenskab ved geodætiske baner i en Lorentz rumtid er at typen af banen (tidslig/null/rumlig) aldrig ændrer sig. Dette kommer af at parallel transport bevarer indre produkter.
3.5
Et ekspanderende univers igen
Husk metrikken der blev defineret tidligere for et simpelt ekspanderende univers,
ds2 = −dt2 + a2 (t)[dx2 + dy 2 + dz 2 ] = −dt2 + a2 (t)δij dxi dxj .
Denne metrik beskriver et univers der består af flade rumlige koordinater der udvider sig som
en funktion af tid, med den relative afstand mellem partikler i faste rumlige koorinater voksende
proportionalt med skalafaktoren a(t).
Når man er givet en metrik, er det første man skal gøre at udregne Christoffel symbolerne.
Disse kan findes (ved hjælp af variationsregning af et integral) til at være
Γ000 = 0,
Γ0i0 = Γ00i = 0,
Γ0ij = aaδ
˙ ij ,
Γi00 = 0,
Γij0 = Γi0j =
a˙ i
δ ,
a j
Γijk = 0.
34
3
Kurvatur
Det er nu tid til at forsøge at løse den geodætiske ligning med disse forbindelseskoefficienter. I
første omgang kan man forsøge at løse for null geodætiske baner, hvor man bruger λ i stedet for τ
som sin parameter. Uden noget tab i generalitet kan man desuden vælge at se på baner der ligger
langs x-retningen, for hvilke xµ (λ) = (t(λ), x(λ), 0, 0). For null paths vil der jo gælde at ds2 = 0,
og derfor findes det at
0 = −dt2 + a2 (t)dx2
⇒
1 dt
dx
=
.
dλ
a dλ
Hvis man sætter denne null betingelsen ind i µ = 0 komponenten af den geodætiske ligning finder
man at
2
d2 t
a˙ dt
dt
ω0
+
=0
⇒
=
,
dλ2
a dλ
dλ
a
hvor ω0 er en konstant. For en given skalafaktor a(t) kan denne ligning integreres for at finde t(λ).
Sætning 3.10 (Det kosmologiske rødskifte) Det er dog mere interessant at se på energien E
af fotonen som den ville blive målt at en comoving observatør (en observatør der sidder i en
fikseret rumlig koordinat), der vil have fire-hastighed U µ = (1, 0, 0, 0). Det kan så findes at
E = −pµ U µ = −g00
dx0 0
ω0
U =
,
dλ
a
√
hvor det blev brugt at normaliseringen af fire-hastigheden, gµν U µ U ν = −1, giver U 0 = −g00
for den givne fire-hastighed. Dermed er ω0 simpelthen frekvensen af fotonen ved a = 1 (når
man sætter ~ = 1). Dette er netop det kosmologiske rødskifte: En foton udsendt med energi E1
ved skalafaktoren a1 og observeret med energi E2 ved skalafaktoren a2 , vil have
a1
E2
= .
E1
a2
Bølgelængden bliver altså større med tiden (i et univers der vokser), og bliver skiftet mod de
rødere farver. Ofte skriver man mængden af rødskifte ved
z=
ω1 − ω2
a2
=
− 1,
ω2
a1
og denne er nul hvis skalafaktoren ikke har ændret sig, hvis man f.eks. er meget tæt på det
◭
objekt man ser på.
Husk at det kosmologiske rødskifte ikke er det samme som Dopplerskiftet, da det ikke giver nogen
mening at sammenligne hastighederne af to objekter der er langt fra hinanden.
Ud over i selve den geodætiske ligning, vil kovariante afledte spille en rolle i at generalisere fysikkens
love fra den flade rumtid over i den kurvede geometri i den generelle relativitetsteori. En simpel
tommelfingerregel er simpelthen bare at erstatte alle partielle afledte med kovariante afledte, og
alle den flade rumtids metrik ηµν med den kurvede metrik gµν . F.eks. bliver energi-impuls bevarelses ligningen fra den specielle relativitetsteori, ∂µ T µν = 0, hvor T µν er energi-impuls tensoren,
3
Kurvatur
35
simpelthen bare til
∇µ T µν = 0.
I kosmologien modelleres stoffet der fylder rummet ofte som en perfekt væske. Den tilsvarende
energi-impuls tensor for dette system kan generaliseres til en kurvet geometri ved
T µν = (ρ + p)U µ U ν + pg µν ,
hvor ρ er energi densiteten og p er trykket, mens U µ er fire-hastigheden af væsken. Den inverse
metrik i det ekspanderende univers kan vises til at være


−1


a−2


g µν = 
,


a−2
a−2
og dermed vil væsken i sit eget hvilesystem (hvor U µ = (1, 0, 0, 0)) have


ρ


a−2 p


T µν = 
.


a−2 p
−2
a p
Nu er det nemt at se hvad energi-impuls bevarelsesligningen ∇µ T µν = 0 siger for en perfekt væske
i et ekspanderende univers. Der må gælde at
∇µ T µν = ∂µ T µν + Γµµλ T λν + Γνµλ T µλ = 0,
hvilket er en ligning med fire komponenter (en for hvert ν), hvor de tre ν = i ∈ {1, 2, 3} er
ækvivalente. Ved at indsætte udtrykkene for Christoffel symbolerne, og den kendte tensor T µν ,
kan man for ν = 0 og ν = i komponenterne finde ligningerne
ν=0:
a˙
ρ˙ = −3 (ρ + p),
a
ν=i:
∂i p = 0.
Det er interessant at sammenligne dette med hvad man ville få i en Minkowski rumtid, hvor a = 1
og a˙ = 0. Dette ville ikke ændre på ∂i p = 0, og trykket må altså være konstant igennem rummet
(set for en comoving observatør). Derimod vil ν = 0 ligningen med kurvaturen få en værdi på
højresiden forskellig fra nul (hvilket den er for den flade rumtid). For at undersøge dette videre
ses der nu på tilstandsligninger af formen
p = wρ,
hvor w er en konstant. Dermed bliver differentialligningen til
ρ˙
a˙
= −3(1 + w)
ρ
a
⇒
ρ ∝ a−3(1+w) .
Der er tidligere blevet nævnt tre forskellige typer af perfekte væsker med tilstandsligninger på
formen p = wρ; nemlig støv w = 0, stråling w = 1/3 og vakuum w = −1. En samling af
ikke-relativistiske, ikke-vekselvirkende partikler opfører sig som støv; et sæt fotoner eller andre
36
3
Kurvatur
masseløse partikler opfører sig som stråling; og en konstant (ikke nul) energi-densitet igennem
rumtiden opfører sig som et vakuum. Der gælder altså at
stof
stråling
vakuum
p=0
p = ρ/3
p = −ρ
ρ ∝ a−3 ,
ρ ∝ a−4 ,
ρ = constant.
Disse giver alle mening. For stof er det bare en udvidelse af rummet der selvfølgelig gør densiteten
tilsvarende mindre. For stråling er det både dette og det gravitationelle rødskifte der er på færde.
Endelig er vakuum energien en konstant ting for et bestemt volumen, og den hverken stiger eller
falder selv om volumenet ændrer sin størrelse.
3.6
Riemann kurvatur tensoren
Kurvaturen er kvantificeret med Riemann tensoren, som findes fra forbindelsen. Dette gøres ud fra
det man allerede ved hvad der menes med en forbindelse på et fladt rum – parallel transportation
omkring en lukket kurve lader vektoren være uændret, kovariante afledte af tensorer kommuterer,
geodætiske kurver der starter ud med at være parallelle bliver ved med at være det, osv. Riemann
tensoren dukker op når man undersøger hvordan disse egenskaber ændrer sig når rummet bliver
kurvet.
Parallel transport af en vektor omkring en lukket kurve i et kurvet rum vil transformere
vektoren. Denne transformation afhænger af den totale kurvatur omsluttet af loopet, men det
ville være mere brugbart at have en lokal beskrivelse af kurvaturen i hvert punkt. Dette er netop
hvad Riemann tensoren skal give.
Man kan indføre Riemann tensoren som parallel transport omkring en infinitesimal lukket
kurve (et loop). Eftersom rumtiden ser flad ud i små nok områder, vil kurven være specificeret af
to infinitesimale vektorer Aµ og B ν . Parallel transport af en vektor V µ kan så foregå ved først at
flytte den i retning af Aµ , så i retning af B ν , derefter baglæns langs Aµ , og til sidst baglæns langs
B ν . Da parallel transport er koordinatuafhængig må der være en eller anden tensor der beskriver
hvordan vektoren ændrer sig når den kommer tilbage til sit startpunkt. Dette vil være en lineær
transformation på en vektor, og vil altså have både et hævet og et sænket indeks. Men den vil
også afhænge af vektorerne Aµ og B ν , og vil så have to ekstra sænkede indekser. Tensoren skal
være antisymmetrisk i disse to sidste indekser, da en ombytning af vektorerne bare svarer til at gå
den anden vej rundt om loopet. Derfor forventes det altså at udtrykket for ændringen i vektoren,
δV ρ er givet ved
δV ρ = Rρ σµν V σ Aµ B ν ,
hvor (1, 3) tensoren Rρ σµν er Riemann tensoren (eller bare kurvatur tensoren). Den er antisymmetrisk i de sidste to indekser, så Rρ σµν = −Rρ σνµ .
Aµ
∇µ
Bν
Bν
Aµ
∇ν
∇ν
∇µ
3
Kurvatur
37
Definition 3.11 (Riemann tensoren) I stedet for at regne videre på dette for at få et udtryk for
Riemann tensoren, er det dog meget nemmere at indse at kommutatoren mellem to kovariante
afledte også er et udtryk for forskellen mellem at parallel transportere den ene eller den anden
vej rundt om et loop. Det kan vises at
[∇µ , ∇ν ]V ρ = Rρ σµν V σ − T λ µν ∇λ V ρ ,
hvor T λ µν er torsions tensoren, og Riemann tensoren kan identificeres med
Rρ σµν = ∂µ Γρνσ − ∂ν Γρµσ + Γρµλ Γλνσ − Γρνλ Γλµσ .
Faktisk gælder denne definition for alle forbindelser, ikke kun dem der er metrik kompatible og
◭
torsions-fri.
Bemærk at udtrykket for Riemann tensoren indeholder en masse ikke-tensorer, men at den alligevel
transformerer som en tensor. De dele der ikke transformerer rigtigt går ud med hinanden. Bemærk
også at kravet om anti-symmetri i de to sidste indekser er helt tydeligt overholdt i ligningen.
I den generelle relativitetsteori er man normalt kun interesseret i Christoffel forbindelsen, og
her er den associerede kurvatur også kurvaturen for metrikken. Der vil faktisk gælde følgende for
flade rum:
◮ Hvis der eksisterer et koordinatsystem hvor komponenterne af metrikken er konstante, så er
Riemann tensoren nul.
◮ Hvis Riemann tensoren er nul, så er det altid muligt at konstruere et koordinatsystem hvori
metrikkens komponenter er konstante.
3.7
Riemann tensorens egenskaber
Riemann tensoren har med sine 4 indekser naivt set n4 uafhængige komponenter i et n-dimensionelt
rum. Antisymmetri-kravet skærer dog ned på dette tal til n3 (n − 1)/2. Der dukker dog andre
symmetrier op når man bruger Christoffel forbindelsen, og disse gør tallet endnu mindre.
Den simpleste måde at se på disse symmetrier får man hvis man ser på Riemann tensoren med
alle indekser sænkede,
Rρσµν = gρλ Rλ σµν .
Videre kan man se på komponenterne af denne tensor i lokale inertialkoordinater xµˆ i et punkt p.
Her vil Christoffel symbolerne selv være nul, men deres afledte vil stadig eksistere, hvorved
ˆ
ˆ
λ
λ
Rρˆ
ˆ (∂µ
ˆσ µ
ˆν
ˆ (p) = gρˆλ
ˆ Γν
ˆ Γµ
ˆσ
ˆ − ∂ν
ˆσ
ˆ)
1
ˆ
= gρˆλˆ g λˆτ (∂µˆ ∂νˆ gσˆ τˆ + ∂µˆ ∂σˆ gτˆνˆ − ∂µˆ ∂τˆ gνˆσˆ − ∂νˆ ∂µˆ gσˆ τˆ − ∂νˆ ∂σˆ gτˆµˆ + ∂νˆ ∂τˆ gµˆσˆ )
2
1
= (∂µˆ ∂σˆ gρˆ
ˆν − ∂µ
ˆ ∂ρˆgν
ˆσ
ˆ − ∂ν
ˆ ∂σ
ˆ gρˆ
ˆµ + ∂ν
ˆ ∂ρˆgµ
ˆσ
ˆ ).
2
ˆ
Her blev det brugt at Γτµˆˆνˆ (p) = 0, at pµˆ g λˆτ = 0 i Riemann normal koordinater, og at partielle
afledte kommuterer. Fra dette lange udtryk kan man med det samme finde forskellige egenskaber
for Rρσµν :
38
3
◮
◮
◮
◮
◮
◮
Kurvatur
Den er antisymmetrisk i de første to indekser: Rρσµν = −Rσρµν .
Den er antisymmetrisk i de to sidste indekser: Rρσµν = −Rρσνµ .
Den er invariant under ombytning af det første par indekser med det andet: Rρσµν = Rµνρσ .
Summen af cykliske permutationer af de tre sidste indekser er nul: Rρσµν +Rρµνσ +Rρνσµ = 0.
Den antisymmetriske del af de tre sidste indekser er nul: Rρ[σµν] = 0.
Den totale antisymmetriske del af tensoren er nul: R[ρσµν] = 0.
Alle disse er blevet udledt i et specielt koordinatsystem, men da de alle er tensorligninger vil de
gælde i alle koordinatsystemer. I sidste ende kan man vise at alle disse egenskaber gør at der er
1 2 2
n (n − 1)
12
uafhængige komponenter i Riemann tensoren. Så i fire dimensioner har Riemann tensoren altså
20 uafhængige komponenter.
Sætning 3.12 (Bianchi identiteten) Det kan vises at Riemann tensoren overholder identiteten
∇[λ Rρσ]µν = 0.
For en generel forbindelse ville der her være nogle flere led der indeholdt torsion tensoren.
◭
Rieman tensoren har fire indekser. Nogle gange er det dog brugbart at skrive en tensor som en
sum af forskellige dele der individuelt er nemmere at håndtere, og måske har forskellige fysiske
fortolkninger. Tricket er at dette skal gøres på en koordinatinvariant måde.
Der er to grundlæggende tricks der kan bruges til at gøre dette: Sammentrækninger og par af
symmetriske og antisymmetriske dele. For eksempel kan man, givet en arbitrær (0, 2) tensor Xµν
opdele den i dens symmetriske og antisymmetriske dele, Xµν = X(µν) + X[µν] . Videre kan den
ˆ µν = X(µν) −
symmetriske del opdeles i dens spor (eller trace) X = g µν X(µν) og spor-fri del X
Xgµν /n, således at
1
ˆ µν + X[µν] .
Xµν = Xgµν + X
n
Når man skifter koordinater bliver disse tre dele roteret ind i sig selv, ikke hinanden, og de danner
altså invariante underrum på rummet af (0, 2) tensorer. For mere generelle tensorer er der desværre
ikke altid helt så simpel en fremgangsmåde hvorpå man kan opdele.
Definition 3.13 (Ricci tensoren og Ricci skalaren) For Riemann tensoren er det første trin at
tage en sammentrækning for at danne Ricci tensoren
Rµν = Rλ µλν .
Ricci tensoren der er associeret med Christoffel forbindelsen er automatisk symmetrisk, og dens
spor (eller trace) kaldes for Ricci skalaren (eller kurvatur skalaren),
R = Rµ µ = g µν Rµν .
◭
3
Kurvatur
39
Ricci tensoren og skalaren indeholder al information om spor for Riemann tensoren. De spor-frie
dele er defineret ved den såkaldte Weyl tensor (også kendt som conformal tensoren)
Cρσµν = Rρσµν −
2
2
(gρ[µ Rν]σ − gσ[µ Rν]ρ ) +
gρ[µ gν]σ R.
2−n
(n − 1)(n − 2)
Denne formel er konstrueret således at alle mulige sammentrækninger af Cρσµν er nul, mens den
overholder Riemann tensorens symmetrier: Cρσµν = C[ρσ][µν] , Cρσµν = Cµνρσ og Cρ[σµν] = 0.
Det kan videre vises at Bianchi identiteten sammentrukket to gange giver at
∇µ Rρµ =
1
∇ρ R.
2
Definition 3.14 (Einstein tensoren) Man definerer Einstein tensoren som
1
Gµν = Rµν − Rgµν .
2
Denne tensor er symmetrisk som en følge af Ricci tensorens symmetri, og det kan vises at den
dobbelt sammentrukne Bianchi identitet ovenfor giver at
∇µ Gµν = 0.
◭
Det er værd lige at stoppe op og overveje hvad der er blevet indført indtil nu. Den normale intuition
omkring kurvatur er ikke helt korrekt – for normalt ville man tænke på en et-kugle S 1 som havende
en kurvatur fordi den er bøjet i R2 , hvor den kan indlejres. Med definitionen af Riemann tensoren
finder man dog ud af at et-kuglen ikke er kurvet, for denne tensor har 0, 1, 6 og 20 uafhængige
komponenter i 1-, 2-, 3-, og 4-dimensionelle rum. Det er simpelthen ikke muligt at have en kurvatur
på et et-dimensionelt rum.
3.8
Symmetrier og Killing vektorer
Den virkelige verden er et rodet sted, og man har ikke en chance for at definere en metrik der
faktisk beskriver vores univers fuldt ud. I stedet forsøger man at modellere rumtiden med forskellige
approksimationer om den fysiske situation man vil undersøge. F.eks. kan man modellere rummet
omkring en stjerne som sfærisk symmetrisk, osv. I et kurvet rum skal man dog være helt sikker
på hvad man mener med en symmetri.
Sætning 3.15 (Symmetri) Man tænker på en manifold M som havende en symmetri hvis geometrien er invariant under en bestemt transformation der mapper M på sig selv; hvis metrikken
◭
er den samme fra et punkt til et andet.
Definition 3.16 (Isometri) Symmetrier i metrikken kaldes for isometrier. For eksempel er
translationer og Lorentz transformationer isometrier i det fire-dimensionelle Minkowski rum,
fordi metrikken ikke ændrer sig ved disse transformationer. Dette er meget nemt at se fordi
metrikkens komponenter ηµν er uafhængige af de enkelte koordinatfunktioner xµ , og der gælder
40
3
Kurvatur
faktisk at hvis ∂σ∗ gµν = 0 for en konstant σ∗ (men for alle µ og ν), så er der en symmetri under
translation langs xσ∗ ,
⇒
∂σ∗ gµν = 0
xσ∗ → xσ∗ + aσ∗ er en symmetri.
◭
Isometrier af formen ovenfor har direkte konsekvenser for partikler der bevæger sig som beskrevet
af den geodætiske ligning. Husk at den geodætiske ligning kan skrives vha. fire-impulsen som
pλ ∇λ pµ = 0. Ved metrisk kompabilitet er det tilladt at sænke µ indekset, og efter at udvide den
kovariante afledte har man så at
pλ ∇λ pµ − Γσλµ pλ pσ = 0.
Det første led fortæller hvordan impulsen ændrer sig langs banen, ved
pλ ∇λ pµ = m
dxλ
dpµ
∂λ pµ = m
,
dτ
dτ
mens det andet led er givet ved
1 σν
g (pλ gµν + pµ gνλ − pν gλµ )pλ pσ
2
1
= (pλ gµν + pµ gνλ − pν gλµ )pλ pν
2
1
= (pµ gνλ )pλ pν ,
2
Γσλµ pλ pσ =
hvor symmetrien i pλ pν blev brugt for at komme til den sidste linie. Dermed kan den geodætiske
ligning altså skrives som
dpµ
1
m
= (pµ gνλ )pλ pν .
dτ
2
Så hvis alle de metriske koefficienter er uafhængige af koordinaten xσ∗ , så betyder isometrien at
impuls-komponenten pσ∗ er bevaret,
∂σ∗ gµν = 0
⇒
dpσ∗
= 0.
dτ
Dette vil være sandt for alle geodætiske baner, selv om den kun står for tidslige her.
Det er dog ikke alle symmetrier der viser sig så direkte som ikke at være med i metrikken. Dette
kan ses ved bare at overveje at man kan transformere over i et meget kompliceret koordinatsystem,
hvor metrikken er rigtig kompliceret, og så kompliceret at end ikke translationelle symmetrier var
tydelige. Symmetrierne ville dog stadig være i systemet til trods for det nye koordinatsystem. Det
er altså nødvendigt at finde en mere systematisk måde at finde symmetrier på.
Dette kan gøres ved at omskrive bevarelsesligningen dpσ∗ /dτ = 0 fra ovenfor på en mere
kovariant måde. Man vil se på vektoren ∂σ∗ , som man kalder for K,
K = ∂ σ∗ ,
K µ = (∂σ∗ )µ = δσµ∗ .
Man siger at vektoren K µ genererer isometrien, og transformationen hvor geometrien er invariant
foregår infinitesimalt som en bevægelse i retning af K µ . Den ikke-kovariante størrelse pσ∗ er her
3
Kurvatur
41
bare givet ved
p σ∗ = K ν p ν = K ν p ν .
At denne skalare værdi skal være bevaret langs kurven er ækvivalent med at den retningsbestemte
afledte langs den geodætiske bane er nul, og altså
dpσ∗
=0
dτ
pµ ∇µ (Kν pν ) = 0.
⇒
Denne ligning kan udvides ved
pµ ∇µ (Kν pν ) = pµ Kν ∇µ pν + pµ pν ∇µ Kν = pµ pν ∇µ Kν = pµ pν ∇(µ Kν) ,
hvor den geodætiske ligning (pµ ∇µ pν = 0) blev brugt, samt at pµ pν automatisk er symmetrisk i
µ og ν, så kun den symmetriske del af ∇µ Kν kan tilføje noget.
Definition 3.17 (Killing vektor) Det kan altså konkluderes at en hvilken som helst vektor Kµ
der overholder ∇(µ Kν) = 0 betyder at Kν pν er bevaret langs en geodætisk bane,
∇(µ Kν) = 0
⇒
pµ ∇µ (Kν pν ) = 0.
Ligningen til venstre kaldes også Killings ligning, og vektorfelter der overholder den kaldes for
◭
Killing vektorfelter (eller bare Killing vektorer).
For en Killing vektor K µ vil der gælde at man altid kan finde et koordinatsystem hvor K = ∂σ∗ ,
men det er ikke generelt muligt at finde et koordinatsystem hvor alle Killing vektorerne har denne
form.
Man kan faktisk også med samme logik der blev brugt for at vise at Kν pν er bevaret langs en
geodætisk bane hvis ∇(µ Kν) = 0, generalisere til flere indekser: En Killing tensor er en symmetrisk
l-indeks tensor Kν1 ···νl der overholder ∇(µ Kν1 ···νl ) = 0, og vil lede til bevarede størrelser ved at
sammentrække l kopier af impulsen,
∇(µ Kν1 ···νl ) = 0
⇒
pµ ∇µ (Kν1 ···νl pµ1 ···µl ) = 0.
Metrikken selv er faktisk en Killing tensor. Killing tensorer er dog ikke forbundet med fysisk
bevarede størrekser på nogen simpel måde, men de er brugbare senere.
Det kan vises at afledte af Killing vektorer kan forbindes med Riemann tensoren ved
∇µ ∇σ K ρ = Rρ σµν K ν ,
og en sammentrækning af denne ligning giver at
∇µ ∇σ K ρ = Rσν K ν .
Disse to sammenhænge, sammen med Bianchi identiteten og Killings ligning, er nok til at vise at
den retningsbestemte afledte af Ricci skalaren langs et Killing vektorfelt er nul,
K λ ∇λ R = 0.
42
3
Kurvatur
Og dette betyder altså igen at geometrien ikke ændrer sig langs et Killing vektorfelt.
3.9
Maksimalt symmetriske rum
Men hvor symmetrisk kan en rum være? Et eksempel på et rum med den højest mulige symmetri er
Rn med den flade Euklidiske metrik. Isometrierne for dette rum er translationerne og rotationerne
i n dimensioner. Man kan se på disse omkring et punkt p. Her vil translationerne svare til at flytte
punktet, hvilket kan gøres langs de n akser, så der er altså n mulige translationer. Rotationerne
omkring p er dem der efterlader p invariant – man flytter en akse igennem p over til en af de andre
akser. Der er n akser, og for hver akse er der n − 1 andre akser som den kan roteres over til. Man
skal dog ikke tælle det som to rotationer af rotere x-aksen over i y-aksen og omvendt, så i alt vil
der være n(n − 1)/2 rotationer. Derfor er der altså i alt
1
1
n + n(n − 1) = n(n + 1)
2
2
uafhængige symmetrier i Rn . Eftersom argumenterne kun var for lokalt omkring punktet p vil dette
også gælde for et rum med en kurvatur. Hvis metrikken ikke er Euklidisk vil nogle af rotationerne
faktisk være boosts.
Definition 3.18 (Maksimalt symmetrisk rum) Antallet af isometrier er selvfølgelig antallet af
lineært uafhængige Killing vektorfelter. Man henviser derfor til en n-dimensionel manifold med
◭
n(n + 1)/2 Killing vektorer som et maximalt symmetrisk rum.
De bedst kendte eksempler på maximalt symmetriske rum er det n-dimensionelle Euklidiske rum
Rn og kugle S n .
Hvis en manifold er maksimalt symmetrisk, vil kurvaturen være den samme over alt (ud fra
translations-lignende symmetrier) og den samme i alle retninger (ud fra rotations-lignende symmetrier). Så hvis man kender kurvaturen i et punkt i sådan et rum, kender man den over alt. Rummet
vil så være klassificeret med kurvatur skalaren R (der vil være konstant over alt), dimensionaliteten n, den metriske signatur, og muligvis lidt ekstra egenskaber – f.eks. radius for forskellige S n
kugler. Det burde så være muligt at genskabe hele Riemann tensoren fra disse egenskaber.
Logikken er at kurvatur tensoren burde se ens ud i alle retninger fordi geometrien gør det.
Først vælger man lokale intertialkoordinater så gµˆνˆ = ηµˆνˆ . De lokale inertialkoordinater er dog
ikke unikke, og kan f.eks. ændres med en Lorentz transformation uden at ændre ηµˆνˆ . Eftersom
geometrien er maksimalt symmetrisk vil man gerne have at det samme gælder for Riemann tensoren – komponenterne Rρˆ
ˆσ µ
ˆν
ˆ skal ikke ændre sig under en Lorentz transformation. Men der
findes unikke tensorer der netop har denne egenskab at de ikke ændrer sine komponenter under
en Lorentz transformation – metrikken, Kronecker delta og Levi-Civita tensoren. Dette betyder at
komponenterne Rρˆ
ˆσ µ
ˆν
ˆ i dette punkt vil være proportional med en tensor lavet af disse invariante
tensorer. Det kan vises at valget er
Rρˆ
ˆσ µ
ˆν
ˆ ∝ gρˆ
ˆµ gσ
ˆν
ˆ − gρˆ
ˆν gσ
ˆµ
ˆ.
I og med at denne er en tensor ligning vil den gælde i alle koordinatsystemer. I et maksimalt
symmetrisk rum er alle punkter lige, så denne må også gælde i alle andre punkter i rummet.
3
Kurvatur
43
Proportionalitetskonstanten kan findes ved en dobbelt sammentrækning, så venstresiden bliver R
og højresiden bliver n(n − 1). Dermed findes ligningen
Rρσµν =
R
(gρµ gσν − gρν gσµ ),
n(n − 1)
der er sand i alle maksimalt symmetriske rum, i alle punkter og alle koordinatsystemer. På den
anden side, hvis Riemann tensoren overholder denne ligning (med R en konstant over hele manifolden), så er metrikken maksimalt symmetrisk.
For et rum med kun to dimensioner er det nok at vise at Ricci skalaren er konstant over hele
rummet, for at se at rummet er maksimalt symmetrisk.
Lokalt er et maksimalt symmetrisk rum af en given dimension n og signatur fuldt ud specificeret
med R. Den grundlæggende klassifikation af sådanne rum er simpelthen om R er positiv, nul eller
negativ. For Euklidiske signaturer svarer dette til kugler S n , flade rum Rn og hyperboloider H n .
44
4
4
Tyngdekraft
Tyngdekraft
4.1
Fysik i en kurvet rumtid
Fysikken i en kurvet rumtid falder naturligt ind i to kategorier: Hvordan det gravitationelle felt
påvirker opførslen af stof, og hvordan stof bestemmer det gravitationelle felt. I Newtonsk mekanik
består disse to elementer af udtrykket for accelerationen af et objekt i et gravitationelt potentiale
Φ,
a = −∇Φ,
og Poissons differentialligning for potentialet som funktion af stof-densiteten ρ og Newtons gravitationelle konstant G,
∇2 Φ = 4πGρ.
I den generelle relativitetsteori vil tilsvarende ligninger fortælle hvordan kurvaturen af rumtiden
virker på stof, og manifesterer sig selv som en tyngdekraft, og hvordan energi og impuls påvirker
rumtiden og danner kurvatur.
Der er en simpel fremgangsmåde for at generalisere fysiske love til en kurvet rumtid, kaldt
det minimale koblingsprincip (eller the minimal coupling-principle). I sin korteste form kan den
skrives:
◮ Tag en fysisk lov der er sand i inertialkoordinater i en flad rumtid.
◮ Opskriv den i en koordinat-invariant (tensorial) form.
◮ Den resulterende fysiske lov er nu sand i en kurvet rumtid.
Dette handler oftest om at tage loven fra fladt rum og erstatte Minkowski metrikken ηµν med den
mere generelle metrik gµν , og erstatte partielle afledte ∂µ med kovariante afledte ∇µ .
Eksempel 4 (Den geodætiske ligning på en anden måde) Et simpelt eksempel på det minimale koblingsprincip kan ses ved at se på partikler der bevæger sig frit. I det flade rum bevæger
sådanne sig i rette linier, der er givet ved
d2 xµ
= 0.
dλ2
Denne er ikke en tensorligning, fordi den andenordens afledte ikke er en veldefineret tensor.
Man kan udskrive dette udtryk med kædereglen så det er mere tydeligt,
d2 xµ
dxν dxµ
=
∂ν
,
2
dλ
dλ
dλ
hvor det nu er tydeligt at for at gøre det til en tensor, så skal den partielt afledte bare erstattes
af en kovariant afledt, så
dxν dxµ
∂ν
dλ
dλ
→
σ
ρ
dxν
dxµ
d2 xµ
µ dx dx
+
Γ
∇ν
=
.
ρσ
dλ
dλ
dλ2
dλ dλ
4
Tyngdekraft
45
Dermed kan man genkende at den passende generalisation af rette linier i fladt rum til et kurvet
rum er netop de geodætiske kurver, der overholder den geodætiske ligning,
σ
ρ
d2 xµ
µ dx dx
+
Γ
= 0.
ρσ
dλ2
dλ dλ
◭
Et endnu mere simpelt eksempel er ligningen for energi- og impulsbevarelse, ∂µ T µν = 0, som
simpelthen bare generaliseres til ∇µ T µν = 0.
Det er ´en ting at kunne generalisere de fysiske love, men noget helt andet at se at det kurvede
rum faktisk giver det man tænker på som tyngdekraften. Den Newtonske grænse er der hvor
partiklerne bevæger sig langsomt ift. lyset, gravitationelle felter er svage (så de kan tænkes på
som en pertubation af det flade rum) og feltet er statisk. Nu kan man se hvad der sker med den
geodætiske ligning i denne grænse, når man bruger proper tid som sin affine parameter. At bevæge
sig langsomt betyder at
dxi
dt
≪
,
dτ
dτ
hvorved mange af leddene i den geodætiske ligning kan negligeres, og den samlet bliver
2
d2 xµ
dt
µ
= 0.
+
Γ
00
2
dτ
dτ
Og eftersom feltet er statisk (så ∂0 gµν = 0), kan de relevante Christoffel symboler forsimples til
Γµ00 =
1 µλ
1
g (∂0 gλ0 + ∂0 g0λ − ∂λ g00 ) = − g µλ ∂λ g00 .
2
2
Fordi at feltet tænkes svagt, kan man skrive metrikken som Minkowski metrikken plus en lille
pertubation
gµν = ηµν + hµν , |hµν | ≪ 1.
Bemærk at der her arbejdes med inertialkoordinater, så metrikken ηµν er på sin kanoniske form.
Kravet |hµν | ≪ 1 giver ikke rigtig mening i arbitrære koordinater. Ud fra definitionen af den
inverse metrik, g µν gνσ = δσµ , vil der til første orden i h gælde at
g µν = η µν − hµν ,
hµν = η µρ η νσ hρσ .
Faktisk kan Minkowski metrikken bruges til at hæve og sænke indekser på alle objekter af en
hvilken som helst orden af h, eftersom korrektionerne alle er til højere orden. Til første orden i
hµν gælder der altså at
1
Γµ00 = − η µλ ∂λ h00 ,
2
og den geodætiske ligning er derfor
d2 xµ
1
= η µλ ∂λ h00
dτ 2
2
dt
dτ
2
.
Tids-komponenten, µ = 0, af denne ligning bliver bare (når man bruger at ∂0 h00 = 0)
d2 t
= 0,
dτ 2
46
4
Tyngdekraft
så dt/dτ er altså konstant. De rumlige komponenter af ligningen, µ = i ∈ {1, 2, 3} kan skrives
2
d2 xµ
1 dt
∂i h00 ,
=
dτ 2
2 dτ
hvor det blev brugt at de rumligt komponenter af η µν bare er 3 × 3 identitetsmatricen. Hvis man
dividerer begge sider med (dt/dτ )2 bliver differentialet på venstresiden bare over t i stedet for τ ,
og
d2 xµ
1
= ∂i h00 .
2
dt
2
Hvis man nu identificerer h00 = −2Φ, eller g00 = −(1 + 2Φ) finder man at denne ligning er den
samme som a = −∇Φ, den Newtonske mekaniks ligning for et objekts reaktion på et gravitationelt
potentiale.
4.2
Einsteins ligning
Lige som Maxwells ligninger fortæller hvordan elektriske og magnetiske felter reagerer på ladninger
og strømme, fortæller Einsteins feltligning hvordan metrikken reagerer på energier og impulser. I
sidste ende skal denne ligning bare postuleres, og så testes eksperimentelt – den kan ikke blive
udledt fra en eller anden endelig sandhed. Det er dog muligt at lave en række plausible argumenter
for hvordan den skal se ud.
Man vil gerne have en ligning der overtager Poisson ligningen for det Newtonske potentiale,
∇2 Φ = 4πGρ,
hvor ∇2 = δ ij ∂i ∂j er Laplace operatoren på rummet og ρ er massedensiteten. Hvilke egenskaber
skal den nye ligning så have? På venstre side er der tale om en andenordens differentialoperator på
det gravitationelle potentiale, og på højre side er der et mål for massedistributionen. En relativistisk
generalisering skal være en tensorligning – og vi kender allerede generalisationen af massedensiteten
som en tensor, nemlig energi-impuls tensoren Tµν . Det gravitationelle potentiale skal erstattes
af den metriske tensor, men problemet er at den logiske fremgangsmåde, at lade d’Alembert
operatoren = ∇µ ∇µ virke på metrikken gµν , ikke vil virke, fordi dette altid vil give nul pga.
metrik kompabiliteten. Der er dog et andet objekt der er konstrueret vha. andenordens afledte af
metrikken, Riemann tensoren Rρ σµν .
Riemann tensoren kan dog ikke bruges direkte, da den ikke har det korrekte antal indekser. I
stedet sammentrækkes den til Ricci tensoren, Rµν , der har det rigtige antal indekser. Man ville
nu måske gætte på at den gravitationelle feltligning skulle have formen Rµν = κTµν , men dette er
ikke korrekt. Man kræver energibevarelse, og dette betyder at ∇µ Tµν = 0, og derved skulle det jo
betyde at ∇µ Rµν = 0, hvilket ikke er korrekt. Fra Bianchi identiteten ved man at
∇µ Rµν =
1
∇µ R.
2
Ricci skalaren R er sporet af Ricci tensoren, R = Rµ µ = g µν Rµν , så hvis man bruger den foreslåede
form Rµν = κTµν ville dette betyde at R = κg µν Tµν = κT , og dermed skulle der samlet gælde at
∇µ T = ∂µ T = 0, hvor den kovariante afledte er blevet erstattet af en partiel afledt, da den bare er
dette når den opererer på en skalar. Dette skulle betyde at T er konstant igennem hele rumtiden,
hvilket er meget usandsynligt!
4
Tyngdekraft
47
Det er selvfølgelig ikke nødvendigt at lede meget mere, for der er allerede blevet defineret en
tensor som automatisk har kovariant afledt nul, nemlig Einstein tensoren
1
Gµν = Rµν − Rgµν ,
2
som altid overholder ∇µ Gµν = 0. Derfor foreslåes nu at ligningen skal have formen
Gµν = κTµν .
Denne ligning overholder alle de krav der er blevet stillet, og man skal altså bare have fundet
proportionalitetskonstanten κ, og tjekke om ligningen forsimples til Poissons ligning for det gravitationelle potentiale i den Newtonske grænse.
Bemærk at en sammentrækning af begge sider af ligningen (i fire dimensioner) giver at R = κT ,
og dette kan bruges til at omskrive ligningen til formen
1
Rµν = κ Tµν − T gµν .
2
Man skal nu undersøge hvordan denne ligning forsimples i grænsen med svagt felt, tids-uafhængighed
og langsomt bevægende partikler. Hvis man ser på en perfekt væske af energi-impuls, er
Tµν = (ρ + p)Uµ Uν + pgµν ,
hvor U µ er væskens fire-hastighed og ρ og p er hvilesystemets energi- og impuls-densiteter. I den
Newtonske grænse kan man helt negligere trykket p, hvorfor man i virkeligheden ser på energiimpuls tensoren for støv, Tµν = ρUµ Uν . Den “væske” der ses på er et massivt objekt, som f.eks.
solen, og der ses på den i dens hvilesystem, hvor fire-hastigheden er U µ = (U 0 , 0, 0, 0). Den tidslige
komponent kan fikseret ved at kræve normaliseringen gµν U µ U ν = −1. I svagtfelts-grænsen vil
g00 = −1 + h00 ,
g 00 = −1 − h00 ,
så til første orden i hµν vil der altså gælde at U 0 = 1 + 21 h00 . Det er dog ikke nødvendigt med
så stor præcision her, så man kan bare sætte U 0 = 1, og dermed U0 = −1. Så er den eneste
komponent i Tµν som ikke er nul T00 = ρ.
Den tidslige komponent (µ = ν = 0) af feltligningen på den anden form kan så ses at være
R00 =
1
κρ,
2
hvor sporet af energi-impuls tensoren, T = g 00 T00 = −T00 = −ρ, blev brugt. Denne ligning
relaterer afledte af metrikken til energidensiteten. For at finde et udtryk der faktisk indvolverer
metrikken, er man nødt til at evaluere R00 = Rλ 0λ0 . Det viser sig at R0 000 = 0, så man behøver
kun udregne de tre rumlige komponenter, der må være givet ved
Ri 0j0 = ∂j Γi00 − ∂0 Γij0 + Γijλ Γλ00 − Γi0λ Γλj0 .
Den tidsafledte (led nummer to) er nul, fordi der arbejdes med statiske felter. Videre er trejde og
fjerde led af anden orden, og kan derfor negligeres. Tilbage er altså Ri 0j0 = ∂j Γi00 . Dermed findes
48
4
Tyngdekraft
det altså at
R00 = Ri 0i0 = ∂i
1 iλ
1
1
g (∂0 gλ0 + ∂0 g0λ − ∂λ g00 ) = − δ ij ∂i ∂j h00 = − ∇2 h00 .
2
2
2
Sammenligner man dette resultat med resultatet at R00 = κρ/2, får man altså at
∇2 h00 = −κρ,
og da det tidligere er blevet fundet at h00 = −2Φ, så er denne ligning altså Poissons ligning, hvis
κ = 8πG.
Sætning 4.1 (Einsteins ligning) Så der gælder altså at Einsteins ligning for den generelle relativitetsteori er givet ved
1
Rµν − Rgµν = 8πGTµν ,
2
hvor det skal huskes at G er Newtons gravitationskonstant, det er ikke sporet af Gµν . Ved at
tage sporet af begge sider af denne ligning kan man finde at R = −8πGT , og dermed kan man
omskrive ligningen til en anden form,
Rµν = 8πG Tµν
1
− T gµν .
2
◭
Nogle gange er man interesseret i Einsteins ligning i vakuum, hvor Tµν = 0. Her vil højresiden af
den anden form af Einsteins ligning simpelthen blive nul, og Einsteins ligning i vakuum er altså
Rµν = 0.
4.5
Den kosmologiske konstant
En bestemt egenskab er ny i den generelle relativitetsteori: Kilden til det gravitationelle felt er
hele energi-impuls tensoren. I ikke-gravitationel fysik er det kun ændringer i energien der tæller,
og en partikel der bevæger sig i forhold til et potentiale V (x) vil bevæge sig på samme måde
hvis potentialet bliver forskudt med en konstant til V (x) + V0 . Med tyngdekraften er det dog den
faktisk værdi af energien der betyder noget, ikke bare forskelle i energi mellem tilstande.
Dette åbner op for vakuum energi, en energidensitet i det tomme rum. Man forventer at vakuum
ikke vælger nogen bestemte retninger, så energi-impuls tensoren skal være Lorentz invariant i lokale
inertialkoordinater. Lorentz invarians betyder at den tilsvarende energi-impuls tensor skal være
proportional med metrikken,
Tµˆvakuum
= −ρvakuum ηµˆνˆ ,
ν
ˆ
eftersom ηµˆνˆ er den eneste Lorentz invariante (0, 2) tensor. Dette generaliseres direkte fra inertialkoordinater til generelle koordinater ved
vakuum
Tµν
= −ρvakuum gµν .
4
Tyngdekraft
49
Hvis man sammenligner dette med energi-impuls tensoren for en perfekt væske, hvor Tµν = (ρ +
p)Uµ Uν + pgµν , så ses det at vakuum ser ud som en perfekt væske med et isotropisk tryk der er
den negative energidensitet,
pvakuum = −ρvakuum .
(stof)
Hvis man nu deler energi-impuls tensoren op i en stof del Tµν
−ρvakuum gµν , kan Einsteins ligning skrives som
(vakuum)
og en vakuum del Tµν
=
1
(stof)
− ρvakuum gµν .
Rµν − Rgµν = 8πG Tµν
2
Definition 4.2 (Den kosmologiske konstant) Einstein forsøgte at finde en statisk kosmologisk
model, eftersom det var hvad observationerne på det tidspunkt sagde at universet var. Det
betød dog at han var nødt til at tilføje et ekstra led i sin ligning, så den havde formen
1
Rµν − Rgµν + Λgµν = 8πGTµν ,
2
hvor Λ er den såkaldte kosmologiske konstant. Hvis man sammenligner med udtrykket ovenfor,
hvor energi-impuls tensoren er delt op i en stof og en vakuum del, ser man at
ρvakuum =
Λ
,
8πG
hvorfor ordene “vakuum energi” og “kosmologisk konstant” nogle gange bruges in flæng.
◭
Vakuum energien er en naturkonstant, men den er en samling af forskellige bidrag. Vakuumfluktuationer – energien af kvantefelter i deres vakuumtilstand – er et af disse bidrag.
Det kan vises at det frie kvantefelt kan skrives som en uendelig række af oscillatorer. Alle disse
oscillatorer vil have en nulpunktsenergi, som en ganske normal kvantemekanisk oscillator, så dette
giver altså en uendeligt stor vakuumenergi. Man kan dog vælge at fjerne modes med meget høje
bølgevektorer, og lave et cutoff kmax for den maksimalt tilladte bølgevektor af oscillatorerne. Så
kan det findes at energidensiteten har formen
4
ρvakuum ∼ ~kmax
.
Hvis man stoler på kvantefeltteorien hele vejen op til den reducerede Plank skala m
¯ P = (8πG)−1/2 ∼
18
10 GeV, forventer man en energi i størrelsesordenen
ρvakuum ∼ (1018 GeV)4 ∼ 10112 erg/cm3 .
Kosmologiske observationer siger dog nærmere at
|ρobserveret
| ≤ (10−12 GeV)4 ∼ 10−8 erg/cm3 ,
Λ
hele 120 størrelsesordener væk fra det teoretiske resultat! Man kunne i teorien godt tilpasse vakuumenergien sådan at denne grænse overholdes, hvis ikke det var for et problem: Man kender ikke
nogen speciel symmetri der kan fjerne vakuumenergien og samtidig være konsistent med de kendte
fysiske love. Dette er det “kosmologiske konstant problem”.
50
4
4.7
Tyngdekraft
Ækvivalensprincippet igen
Det er normalt at bruge ækvivalensprincippet for at argumentere for følgende egenskaber i den
generelle relativitetsteori:
◮ Fysikkens love bør opskrives i en generel kovariant form.
◮ Der eksisterer en metrik på rumtiden, og dennes kurvatur kan fortolkes som tyngdekraft.
◮ Der eksisterer ikke andre felter der ligner tyngdekraften.
◮ Vekselvirkningerne mellem stof og kurvatur er minimal: De involverer ikke direkte koblinger
til Riemann tensoren eller dens sammentrækninger.
Den første af disse kaldes for kovarians princippet. Den siger ikke så meget; “generelt kovariant”
betyder simpelthen at alle led i en ligning transformerer på den samme måde uder et koordinatskift. På grund af den universelle natur af tensor transformationsloven er den nemmeste måde
at gøre dette netop ved at lave sine ligninger tensoriale. Der er sådan set ikke noget galt med
at lave en ligning der ikke er generelt kovariant, så længe man ved at det er muligt at omskrive
den på en koordinatinvariant måde. Den anden vej, det er altid muligt at skrive en lov på en
koordinatinvariant måde, hvis ellers loven er veldefineret til at starte med.
Det fjerde punkt er mere interessant. At masse ikke kobler direkte til Riemann tensoren eller
dens sammentrækninger kan ses i den geodætiske ligning, der ikke indeholder nogen af disse. Man
kunne i teorien tænke sig at der ville være en kobling så ligningen i stedet havde formen
σ
ρ
d2 xµ
dxµ dxσ
µ dx dx
+
Γ
=
α(∇
R)
,
σ
ρσ
dλ2
dλ dλ
dλ dλ
hvor R er Ricci skalaren og α er en koblingskonstant. Denne koblingskonstant vil have dimensionen
længde i anden, og det forventes at den har størrelse af Plank længden,
2
α ∼ lP
.
Men hvad betyder dette? Et typisk eksempel er at sammenligne Plank længden lP til en typisk
gravitationel længdeskala i nærheden af jorden. Styrken af tyngdekraften tæt på jordoverfladen
er karakteriseret ved tyngdeaccelerationen ag = 980 cm/s2 . For at få en størrelse med enhed af
længde defineres
c2
∼ 1018 cm,
l⊕ =
ag
hvor symbolet ⊕ står for jorden. Så den relative styrke af højere ordens gravitationelle effekter er
målt ved
lP
sin 10−51 ,
l⊕
2
så eftersom man forventer koblingen α ∼ lP
vil dette være i størrelsesordenen 10−102 . Der er altså
ikke særlig stor grund til at bekymre sig om sådanne koblinger.
5
Schwarzschild løsningen
5
51
Schwarzschild løsningen
5.1
Schwarzschild metrikken
Den mest logiske anvendelse af teorien for tyngdekraft er i et sfærisk symmetrisk tyngdefelt. Dette
vil kunne beskrive f.eks. jorden eller solen (i hvert fald til en god approksimation). Her skal der
ses på løsninger uden for massen, i vakuum, da objekters bevægelse uden for massen oftest er det
der ønskes.
Definition 5.1 (Schwarzschild metrikken) I den generelle relativitetsteori er den unikke
sfærisk symmetriske vakuum løsning kaldt Schwarzschild metrikken, der i sfæriske koordinater
(t, r, θ, φ) er givet ved
2GM
ds = − 1 −
r
2
2GM
dt + 1 −
r
2
−1
dr2 + r2 dΩ2 ,
hvor dΩ2 er metrikken for en enheds to-kugle,
dΩ2 = dθ2 + sin2 θdφ2 .
Konstanten M fortolkes som massen af objektet.
◭
Eftersom man i første omgang er interesseret i løsningen uden for objektet, er det Einsteins ligning
i vakuum,
Rµν = 0
der skal løses. Eftersom “kilden” er statisk og sfærisk symmetrisk skal der selvfølgelig også ledes
efter løsninger der har disse egenskaber. Statisk betyder at alle komponenter i metrikken er uafhængige af tids-koordinaten, og at der ikke er nogen krydsled mellem tid og rum i metrikken (altså
led som dtdxi + dxi dt). Dette betyder at løsningen skal være invariant under tidsvending, t → −t.
For at få den sfæriske symmetri starter man med at skrive metrikken for Minkowski rummet i
polære koordinater xµ = (t, r, θ, φ),
ds2Minkowski = −dt2 + dr2 + r2 dΩ2 .
Et krav for at den sfæriske symmetri holdes er at dΩ2 stadig beholdes – kugler i rummet skal blive
ved med at være runde. Det står dog stadig helt frit for at gange alle de andre led med separate
koefficienter, så længe de kun er funktioner af r,
ds2 = −e2α(r) dt2 + e2β(r) dr2 + e2γ(r) r2 dΩ2 .
Der blev her brugt eksponentialfunktioner for at signaturen af metrikken bevares. Man kan nu
forestille sig at man definerer en ny koordinat r¯ ved
r¯ = eγ(r) r,
52
5
Schwarzschild løsningen
der vil have basis et-formen
dγ
dr = e dr + e rdγ = 1 + r
eγ dr.
dr
γ
γ
Dermed kan metrikken omskrives til
2
2α(r)
ds = −e
dγ
dt + 1 + r
dr
2
−2
e2β(r)−2γ(r) d¯
r2 + r¯2 dΩ2 ,
hvor hvert r er en funktion af r¯. Hvis man nu laver omdøbningerne
−2
dγ
r¯ → r,
1+r
e2β(r)−2γ(r) → e2β ,
dr
kan metrikken altså skrives på den lidt mere overskuelige form
ds2 = −e2α(r) dt2 + e2β(r) dr2 + r2 dΩ2 ,
der faktisk bare ser ud som før, med e2γ faktoren fjernet. Man kan nu tage denne metrik og bruge
Einsteins ligning til at løse for funktionerne α(r) og β(r). Christoffel symbolerne (der ikke er nul
eller relateret til de følgende) kan findes til at være
Γttr = ∂r α
1
Γθrθ =
r
Γrtt = e2(α−β) ∂r α
Γrθθ = −re−2β
Γrφφ = −re−2β sin2 θ
Γθφφ = − sin θ cos θ
Γrrr = ∂r β
1
Γφrφ =
r
cos θ
φ
.
Γθφ =
sin θ
Fra disse kan man nu finde de dele af Riemann tensoren der ikke er nul
t
Rrtr
= ∂r α∂r β − ∂r2 α − (∂r α)2
t
Rφtφ
= −re−2β sin2 θ∂r α
r
Rφrφ
= re−2β sin2 θ∂r β
t
Rθtθ
= −re−2β ∂r α
r
Rθrθ
= re−2β ∂r β
θ
Rφθφ
= (1 − e−2β ) sin2 θ.
Sammentrækninger giver nu Ricci tensoren,
2
2
2
2(α−β)
∂r α + (∂r α) − ∂r α∂r β + ∂r α
Rtt = e
r
−2β
Rθθ = e
r(∂r β − ∂r α) − 1 + 1
2
Rrr = −∂r2 α − (∂r α)2 + ∂r α∂r β + ∂r β
r
Rφφ = sin2 θRθθ .
I sidste ende kan Ricci skalaren også findes til at være
2
1
2
2
−2β
2β
∂r α + (∂r α) − ∂r α∂r β + (∂r α − ∂r β) + 2 (1 − e ) .
R = −2e
r
r
Med Ricci tensoren udregnet, vil man gerne sætte den lig med nul, for at løse Einsteins ligning.
Eftersom Rtt og Rrr bliver nul uafhængigt af hinanden, kan man skrive
0 = e2(β−α) Rtt + Rrr =
2
(∂r α + ∂r β),
r
hvilket må betyde at α = −β + c, hvor c er en konstant. Konstanten kan sættes til nul ved at
reskalere tiden med t → e−c t, hvorefter man har
α = −β.
5
Schwarzschild løsningen
53
Det næste man kan se på er Rθθ = 0, der vil være
e2α (2r∂r α + 1) = 1
⇒
∂r (re2α ) = 1
⇒
e2α = 1 −
RS
,
r
hvor RS er en konstant. Med disse to udtryk der giver α og β kan man nu skrive metrikken som
−1
RS
RS
ds2 = − 1 −
dt2 + 1 −
dr2 + r2 dΩ2 ,
r
r
og den eneste frihed der er tilbage er altså værdien af konstanten RS . Heldigvis løser alle værdier
af RS ligningerne Rtt = 0 og Rrr = 0.
Definition 5.2 (Schwarzschild radius) Konstanten RS kaldes også for Schwarzschild radiusen.
Det kan vises at tt-komponenten af metrikken omkring en punktmasse overholder
2GM
,
gtt = − 1 −
r
og Schwarzschild metrikken skulle gerne reducere til svagtfelts-tilfældet når r ≫ 2GM . For
tt-komponenten er formen dog allerede den samme, hvis man identificerer
RS = 2GM.
◭
Med denne endelige definition når man netop frem til Schwarzschild metrikken som den blev
skrevet op i starten af dette afsnit. Bemærk at hvis M → 0 vil man komme tilbage til Minkowski
rummet – hvilket giver god mening. Metrikken vil også se mere og mere Minkowski agtig ud jo
større r man kommer ud til. Dette kaldes asymptotisk fladhed.
5.2
Birkhoffs teorem
Sætning 5.3 (Birkhoffs teorem) Birkhoffs teorem er sætningen at Schwarzschild metrikken
er den unikke vakuum løsning med sfærisk symmetri, og at der ikke er nogen tidsafhængige
løsninger af denne form.
◭
Birkhoffs teorem bevises ved at argumentere for tre ting. For det første at en sfærisk symmetrisk
rumtid kan bygges op af to-kugler, så at næsten alle punkter ligger på en unik kugle der er invariant
under generatorer af den sfæriske symmetri. For det andet at metrikken rent geometrisk skal have
formen
ds2 = dτ 2 (a, b) + r2 (a, b)dΩ2 (θ, φ),
hvor (a, b) er koordinaterne der går transverst på kuglerne, og r er en funktion af disse. For det
tredje sættes denne metrik ind i Einsteins ligning i vakuum, for at vise at Schwarzschild er den
unikke løsning.
En S 2 kugle har den egenskab at man kan rotere den, og den forbliver invariant. Dette vil
svare til de tre Killing vektorer R, S og T (i (θ, φ) koordinater)
R = ∂φ ,
S = cos φ∂θ − cot θ sin φ∂φ ,
T = − sin φ∂θ − cot θ cos φ∂φ .
54
5
Schwarzschild løsningen
En sfærisk symmetrisk manifold er en manifold der har Killing vektorfelterne der er de samme
som dem på S 2 . Disse Killing vektor felter kan skrives på en måde så man er sikker på at man
kan bruge dem i et mere generelt rum,
[R, S] = T,
[S, T ] = R,
[T, R] = S.
Så en manifold siges at have en sfærisk symmetri hvis og kun hvis den har tre Killing vektorfelter
der overholder dette.
Frobeniuses teorem siger at hvis man har et sæt af vektorfelter hvis kommutatorer lukker
(kommutatoren mellem to felter i sættet er en lineær kombination af andre felter på sættet), så vil
kurver for vektorfelterne passe sammen til at beskrive undermanifolder på manifolden. Vektorfelter
der overholder de tre kommutatorer ovenfor vil danne underrum der er to-kugler, og netop derved
kan man sige at en sfærisk symmetrisk manifold kan opbygges af S 2 kugler.
Efter at have fundet dette kan man opstille metrikken på en generel form, og løse den i Einsteins ligning. Med dette finder man virkelig at Schwarzschild metrikken er den unikke løsning, og
tidsuafhængigheden kommer ud automatisk.
5.3
Singulariteter
Ud fra udtrykket for Schwarzschild metrikken er det tydeligt at der er problemer når r = 0
og r = 2GM = RS , hvor koefficienterne i metrikken bliver uendelige. Koefficienterne er dog
koordinat-afhængige, så disse singulariteter kan være koordinatsingulariteter, der viser et nedbrud
i koordinatsystemet, ikke metrikken selv.
Definition 5.4 (Singularitet) Man ser en egentlig singularitet i en metrik ved at kurvaturen
bliver uendelig. Kurvaturen måles af Riemann tensoren, og det er selvfølgelig svært at sige
hvornår denne bliver uendelig, fordi den også er koordinat-afhængig. Man kan dog konstruere
Ricci skalaren R = g µν Rµν , som er invariant under koordinattransformationer, og derfor er
et godt mål i alle koordinatsystemer. Man kan dog også lave andre skalarer, f.eks. Rµν Rµν ,
Rµνρσ Rµνρσ , osv. Hvis ´en af disse skalarer bliver uendelig (ikke nødvendigvis alle sammen) når
◭
man kommer til et eller andet punkt, siger man at kurvaturen har en singularitet.
For Schwarzschild metrikken viser det sig at
Rµνρσ Rµνρσ =
48G2 M 2
,
r6
og dette er nok til at argumentere for at r = 0 er en sand singularitet. Det andet punkt der måske
var singulart, ved Schwarzschild radiusen r = RS , viser sig dog at være en koordinat singularitet,
og det er faktisk muligt at transformere over i et andet koordinatsystem hvor dette sted opfører
sig ganske pænt.
Det bør bemærkes at opførslen af Schwarzschild metrikken inden for Schwarzschild radiusen
normalt ikke er særlig relevant. Metrikken blev kun fundet i vakuummet uden om objektet, og for
typiske objekter viser det sig at objektets radius er langt større end Schwarzschild radiusen, hvorfor
man slet ikke kan nå ind til denne grænse alligevel. Men der er selvfølgelig stadig få objekter hvor
man har brug for den fulde Schwarzschild metrik – sorte huller.
5
5.4
Schwarzschild løsningen
55
Geodætiske baner for Schwarzschild
For at forstå Schwarzschild metrikken bedre er det et godt første skridt at se hvordan geodætiske
baner opfører sig. For at finde ud af dette skal Christoffel symbolerne (der ikke er nul) findes,
RM
(r − 2GM )
r3
1
=
r
−GM
r(r − 2GM )
Γrtt =
Γrrr =
Γθrθ
Γrθθ = −(r − 2GM )
Γφrφ
Γθφφ = − sin θ cos θ
Γφθφ
Γrφφ = −(r − 2GM ) sin2 θ
GM
r(r − 2GM )
1
=
r
cos θ
.
=
sin θ
Γttr =
Med disse bliver den geodætiske ligning til de følgende fire ligninger, hvor λ er en affin parameter,
d2 t
dr dt
GM
+
=0
dλ2
r(r − 2GM ) dλ dλ
2
2
GM
dr
GM
dt
d2 r
−
+ 3 (r − 2GM )
dλ2
r
dλ
r(r − 2GM ) dλ
" 2 #
2
dθ
dφ
2
−(r − 2GM )
=0
+ sin θ
dλ
dλ
2
d2 θ
2 dθ dr
dφ
=0
+
− sin θ cos θ
dλ2
r dλ dλ
dλ
cos θ dθ dφ
d2 φ 2 dφ dr
+
+2
= 0.
dλ2
r dλ dλ
sin θ dλ dλ
Det ser ikke umiddelbart ud som om at dette er et nemt ligningssystem at løse. Heldigvis er der
masser af symmetrier i Schwarzschild metrikken – specifikt de fire Killing vektorer, tre for sfærisk
symmetri og en for tidsomvending. Hver af disse vil lede til en bevaret størrelse, som også skal
være bevaret for bevægelser i rummet. Hvis K µ er en Killing vektor, så er
Kµ
dxµ
= konstant.
dλ
Ud over dette er der endnu en bevaret størrelse, som følger af den geodætiske ligning selv, sammen
med metrisk kompabilitet (den er altså sand for alle geodætiske baner),
ǫ = −gµν
dxµ dxν
.
dλ dλ
For en hvilken som helst bane kan man i hvert fald vælge en affin parameter λ således at ǫ er
konstant. For en massiv partikel vælger man ofte λ = τ , hvorved man får ǫ = −gµν U µ U ν = 1.
For masseløse partikler, der bevæger sig langs null baner, vil man altid have ǫ = 0. Man kan også
nogle gange være interesseret i rumlige geodætiske baner, hvor ǫ = −1.
Før man udskriver egentlige udtryk for de bevarede størrelser kan det være godt lige at tænke
lidt over dem. I fladt rum fører invarians under tidsombytning fører til energibevarelse, mens
invarians under rumlige rotationer fører til impulsmomentbevarelse. Det er essensielt set det samme
i Schwarzschild metrikken. Man kan tænke på impulsmomentet som en tre-vektor med en størrelse
(en komponent) og en retning (to komponenter), og bevarelse af denne svarer til at partiklen vil
bevæge sig i et plan. Man kan nu tænke sig at hvis man kun arbejder med ´en partikel, så kan
man simpelthen sætte θ = π/2, og lade planet være det ækvatoriale plan, ved en rotation af
koordinatsystemet.
56
5
Schwarzschild løsningen
De to tilbageværende Killing vektorer svarer til bevarelse af energi og størrelse af impulsmomentet. Bevarelse af energien kommer fra den tidslige Killing vektor
2GM
µ
µ
K = (∂t ) = (1, 0, 0, 0),
Kµ = − 1 −
, 0, 0, 0 ,
r
mens Killing vektoren der sørger for bevarelse af impulsmomentstørrelsen er
Rµ = (∂φ )µ = (0, 0, 0, 1),
Rµ = (0, 0, 0, r2 sin2 θ).
Eftersom θ = π/2 vil sin θ = 1 langs geodætiske baner, og de to bevarede størrelser er altså
2GM dt
dxµ
dφ
dxµ
= 1−
,
L = Rµ
= r2 .
E = −Kµ
dλ
r
dλ
dλ
dλ
For masseløse partikler er dette bevaret energi og impulsmoment, mens det for massive partikler
er bevaret energi og impulsmoment per enhedsmasse.
Sætning 5.5 (Det effektive potentiale) Definitionen af den bevarede størrelse ǫ kan nu udvides ved at bruge definitionerne af E og L. Først indsættes metrikken,
2 −1 2
2
dt
dr
2GM
dφ
2GM
+ 1−
+ r2
= −ǫ,
− 1−
r
dλ
r
dλ
dλ
og så indsættes definitionerne af E og L, hvorved man får
2
−E +
dr
dλ
2
2GM
+ 1−
r
L2
+ ǫ = 0.
r2
Dette er en enkelt ligning for r(λ), i stedet for de rigtig mange koblede ligninger der blev set
tidligere, og den kan endda skrives endnu pænere hvis den sættes på formen
1
2
dr
dλ
2
+ V (r) = E,
hvor
V (r) =
GM L2
GM
L2
1
,
ǫ−ǫ
+ 2−
2
r
2r
r3
E=
1 2
E .
2
Dette er præcis ligningen for en klassisk partikel med enhedsmasse og “energi” E, der bevæger
◭
sig i et et-dimensionelt potentiale V (r).
Selvfølgelig er den egentlige situation lidt mere kompliceret end bevægelse i ´en dimension, og det
er heller ikke kun r(λ), men også t(λ) og φ(λ) der er interessante. Men i første omgang kan man
lære en del af bare at se på opførslen af r(λ).
En lignende analyse med klassisk Newtonsk mekanik ville også have givet denne ligning, men
det sidste led i potentialet, −GM L2 /r3 , ville ikke have været der. Det vil vise sig at dette ekstra
led laver store ændringer, specielt for små r.
Man kan nu se lidt på opførslen ved at undersøge V (r). Der er forskellige typer af V (r) for
forskellige L, og opførslen af banen kan bedømmes ud fra disse og en sammenligning med E.
Schwarzschild løsningen
0.8
0.8
Newton, masseløs partikel
γ = 0, ǫ = 0
0.7
V (r)
57
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
L
L
L
L
L
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
Newton, massiv partikel
γ = 0, ǫ = 1
0.7
=
=
=
=
=
V (r)
5
1
2
3
4
5
25
0.4
L
L
L
L
L
0.3
0.2
0.1
0
30
0
5
10
r
0.8
0.8
30
0.6
0.5
0.4
L
L
L
L
L
0.3
0.2
0.1
0
5
10
15
20
25
=
=
=
=
=
V (r)
V (r)
25
GR, massiv partikel
γ = 1, ǫ = 1
0.7
0.6
0
20
1
2
3
4
5
r
GR, masseløs partikel
γ = 1, ǫ = 0
0.7
15
=
=
=
=
=
1
2
3
4
5
0.5
0.4
L
L
L
L
L
0.3
0.2
0.1
0
30
0
5
r
10
15
20
25
=
=
=
=
=
1
2
3
4
5
30
r
Den generelle opførsel af en partikel vil være at flytte sig ind i potentialet (altså mod lavere r) indtil
den når et vendepunkt hvor V (r) = E, hvor den vil begynde at bevæge sig i den anden retning
igen. Det kan også ske at der ikke er noget vendepunkt, hvorfor partiklen bare vil fortsætte.
Andre gange kan partiklen blive i en konstant cirkulær bane med radius rc = konstant, hvilket
sker når potentialet er fladt, dV /dr = 0, og sker altså ved
ǫGM rc2 − L2 rc + 3GM L2 γ = 0,
hvor der er blevet ganget igennem med rc4 for at få det på en simplere form. Her er γ = 0 for
Newtonsk tyngdekraft og γ = 1 for den generelle relativitetsteori. Cirkulære baner vil være stabile
hvis de svarer til et minimum i potentialet, og ustabile hvis de svarer til et maksimum. Bundne
baner der ikke er cirkulære vil oscillere omkring radiusen af den stabile bane.
I den Newtonske tyngdekraft er der cirkulære baner ved
rc =
L2
,
ǫGM
og der er ikke cirkulære baner for masseløse partikler (ǫ = 0). En masseløs partikel vil her bare
bevæge sig i en ret linie forbi objektet. Hvis man derimod arbejder med den generelle relativitetsteori, så vil masseløse partikler i stedet bevæge sig ind mod objektet, lige så stille sænke farten,
for så at ramme et vendepunkt og rejse væk igen. For massive partikler vil der være de stabile
cirkelbaner, lige som i den Newtonske tyngdekraft, men der vil også være bundne baner der oscillerer omkring denne radius. Hvis energien er større end asymptoteværdien E = 1, vil banerne ikke
være bundne, og partiklen vil i stedet nærme sig og rejse væk igen.
I Newtons teori er baner keglesnit – bundne baner er cirkler eller ellipser, og ubundne baner
er parabler eller hyperbler. I den generelle relativitetsteori er situationen lidt anderledes, dog kun
for små r, eftersom leddet GM L2 /r3 → 0 for r → ∞. Men når r → 0 går potentialet nu mod −∞
i stedet for +∞ som i det Newtonske tilfælde. Videre er potentialet ved r = 2GM = RS altid nul
(inden for denne radius er der tale om et sort hul). For masseløse partikler er der altid en barriere,
58
5
Schwarzschild løsningen
men en foton med høj nok energi (i forhold til dens impulsmoment) vil kunne blive fanget og ikke
kunne komme ud igen. Toppen af barrieren giver anledning til ustabile cirkulære baner, og for
fotoner (γ = 1 og ǫ = 0) kan radius findes til at være
rc = 3GM,
så fotoner kan altså også være i en (ustabil) bunden cirkulær bane.
For massive partikler er der igen forskellige regimer afhængigt af impulsmomentet. De cirkulære
baner er ved
√
L2 ± L4 − 12G2 M 2 L2
,
rc =
2GM
så for store L vil der være to cirkulære baner (en stabil og en ustabil). I r → ∞ grænsen vil deres
radier være
2
L2 ± L2 (1 − 12G2 M 2 /L2 )
L
=
, 3GM .
rc =
2GM
GM
Her er det den stabile bane der er længst væk, mens den ustabile går imod 3GM , en opførsel parallel
til tilfældet for masseløse partikler. Når L stiger vil de to baner komme tættere på hinanden, og
√
de rammer hinanden når L = 12GM , hvor radiusen så er
rc = 6GM,
der er den mindste radius der over hovedet er mulig med Schwarzschild metrikken.
Der er selvfølgelig også ubundne tilstande, hvor partiklen kommer ind mod objektet og så
flyver væk igen, samt bundne ikke-cirkulære baner. Disse bundne ikke-cirkulære baner vil ikke
nødvendigvis følge keglesnit, som de ellers gjorde med Newtonsk mekanik. Til sidst er der også
muligheden for en bane der går ind mod objektet, og ender i r = 0. Dette kan ske hvis energien
√
er højere end barrieren, eller for L < 12GM , hvor barrieren forsvinder helt.
Husk til sidst at alle disse baner bare er de geodætiske baner. Der er intet der siger at en
partikel ikke kan accelere væk igen efter at være kommet ned under r = 3GM , så længe den ikke
kommer under r = 2GM .
5.5
Eksperimentelle tests
De fleste tests af den generelle relativitetsteori har at gøre med bevægelse af testpartikler i solsystemet, og dermed geodætiske baner for Schwarzschild metrikken. Einstein foreslog tre tests:
◮ Deflektionen af lys.
◮ Precessionen af perihelion.
◮ Det gravitationelle rødskifte.
I dette afsnit vil de to sidste punkter blive gennemgået (deflektion af lys kan ses i svagtfeltsgrænsen). Perihelion er punktet tættest på solen i en elliptisk bane, og selve navnet betyder noget
med “sol” (helion).
Precessionen af perihelion viser det faktum at ikke-cirkulære baner i den generelle relativitetsteori ikke er perfekte lukkede ellipser. Til en god approksimation er de simpelthen ellipser der
precesserer.
5
Schwarzschild løsningen
59
For at beskrive dette skal man beskrive evolutionen af den radiale koordinat r som funktion
af vinkelkoordinaten φ, hvor der for en perfekt ellipse ville gælde at r(φ) var periodisk med
periode 2π. Man starter ud med ligningen for den radielle koordinat for en massiv partikel, altså
1/2(dr/dλ)2 + V (r) = E, med ǫ = 1 i potentialet. For at få en ligning for dr/dφ kan man gange
med
−2
r4
dφ
= 2,
dλ
L
hvilket giver ligningen
dr
dφ
2
+
1 4 2GM 3
2E
r −
r + r2 − 2GM r = 2 r4 .
2
2
L
L
L
For at løse denne ligning skal man bruge to tricks. Man definerer en ny variabel
x=
L2
,
GM r
sådan at x = 1 svarer til den Newtonske cirkulære bane. Dermed bliver ligningen til
dx
dφ
2
+
L2
G2 M 2
− 2x + x2 −
2G2 M 2 3
2EL2
x = 2 2.
2
L
G M
Det andet trick er at differentiere dette udtryk mht. φ, hvorved man får en andenordens differentialligning for x(φ),
3G2 M 2 2
d2 x
−
1
+
x
=
x .
dφ2
L2
I en Newtonsk udregning ville det sidste led bare være nul, og denne ligning ville så kunne løses
eksakt for x. Her kan den i stedet behandles som en pertubation, så man sætter
x = x0 + x1 ,
og nulteordens ligningen og dens løsning er så
d2 x0
− 1 + x0 = 0,
dφ2
⇒
x0 = 1 + e cos φ.
Denne løsning er standardløsningen fra Newton eller Kepler – en perfekt ellipse med eccentricitet
e. En ellipse er beskrevet ved semi-major aksen a, afstanden fra centrum til punktet længst væk,
og semi-minor aksen b, afstanden fra centrum til punktet tættest på. Eccentriciteten e er så givet
ved e2 = 1 − b2 /a2 .
60
5
Schwarzschild løsningen
Førsteordens ligningen er (med nulteordens løsningen indsat, og derefter udskrevet ved brug
af identiteten 2 cos2 φ = cos 2φ + 1)
d2 x1
3G2 M 2 2
+
x
=
x0
1
dφ2
L2
3G2 M 2
(1 + e cos φ)2
=
L2 1 2
1 2
3G2 M 2
1
+
+
2e
cos
φ
+
e
e
cos
2φ
.
=
L2
2
2
Det kan nu vises at løsningen til denne er
1 2
1 2
3G2 M 2
1
+
+
eφ
sin
φ
−
x1 =
e
e
cos
2φ
.
L2
2
6
De tre led i parentesen har forskellige egenskaber: Det første er bare et konstant offset, mens det
tredje oscillerer omkring nul. Den vigtige effekt ligger i det midterste led, der akkumulerer over
de udførte baner. Dette led kombineres med nulteordens løsningen, hvorved man får
x = x0 +
3G2 M 2 e
3G2 M 2
eφ
sin
φ
=
1
+
e
cos
φ
+
φ sin φ.
L2
L2
Dette er ikke en fuld løsning, men den viser hvad der er af interesse. Specielt kan denne ligning
skrives som ligningen for en ellipse med en vinkelperiode der ikke helt er 2π,
x = 1 + e cos [(1 − α)φ],
α=
3G2 M 2
.
L2
Det kan vises ved en Taylor ekspansion af e cos [(1 − α)φ] at dette netop er som udtrykket for x
ovenfor. Så perihelion flytter sig altså med
∆φ = 2πα =
6πG2 M 2
L2
for hver omgang. Dette kan også skrives med mere konventionelle variable i stedet for impulsmomentet L, ved at bruge nogle udtryk der er gyldige for Newtonske baner (eftersom den størrelse
man leder efter allerede er en lille pertubation). En normal ellipse overholder
r=
(1 − e2 )a
,
1 + e cos φ
hvor a er semi-major aksen. Hvis man sammenligner dette med nulteordens løsningen x0 = 1 +
e cos φ og definitionen x = L2 /(GM r), ses det at
L2 ≈ GM (1 − e2 )a.
Hvis man sætter denne approksimation ind i udtrykket for ∆φ (og indsætter eksplicitte faktorer
af c), fås
∆φ =
6πGM
.
c2 (1 − e2 )a2
5
Schwarzschild løsningen
61
Eksempel 5 (Merkur) Historisk set var precessionen af Merkur den første test af den generelle
relativitetsteori. Faktisk kendte man allerede Merkurs precession før Einstein opfandt teorien.
De relevante parametre for Merkurs bane omkring solen er
GM⊙
= 1.48 × 105 cm,
c2
a = 5.79 × 1012 cm,
e = 0.2056,
hvilket giver
∆φMerkur = 5.01 × 10−7 rad/omgang = 0.103 ”/omgang = 43.0 ”/århundrede,
hvor det i det sidste blev brugt at Merkurs bane når rundt om solen en gang per 88 dage, og
det viser sig at dette passer rigtig godt overens med den målte værdi på 43 ”/århundrede. ◭
Eftersom Schwarzschild metrikken er en eksakt løsning i den generelle relativitetsteori, skal den
også forudsige det gravitationelle rødskifte, der reducerer til ækvivalensprincippet i små områder
af rumtiden.
Man forestiller sig en observatør med fire-hastighed U µ , der er stationær i Schwarzschild coordinaterne, så U i = 0 (observatøren kunne godt have en hastighed, men dette ville bare komplicere udregningerne ved at lægge et Dopplerskift oven på det hele). Fire-hastigheden overholder
Uµ U µ = −1, hvilket i Schwarzschild metrikken betyder at
U0 =
1−
2GM
r
−1/2
.
Sådan en observatør vil måles frekvensen af en foton der følger en null geodætisk bane xµ (λ) til
at være
1/2
−1/2
dt
2GM
2GM
µ dxν
E,
ω = −gµν U
= 1−
= 1−
dλ
r
dλ
r
hvor definitionen af E tidligere blev givet til at være (1 − 2GM/r)dt/dλ. Eftersom E er en bevaret
størrelse, og resten af udtrykket afhænger af r, vil ω altså ændre sig for forskellige r. For en foton
der udsendes i afstand r1 og observeres i afstand r2 vil de observerede frekvenser have forholdet
ω2
GM
GM
=1−
+
= 1 − Φ1 − Φ2 ,
ω1
r1
r2
hvor Φ = −GM/r er det Newtonske potentiale. Dette fortæller at frekvensen går ned når Φ vokser,
hvilket sker når man klatrer ud af et gravitationelt felt – lyset rødforskydes. Når r ≫ 2GM er denne
udregning enig med udregningen der tidligere blev lavet på baggrund af ækvivalensprincippet.
5.6
Schwarzschild sorte huller
Nu er opførslen af geodætiske baner uden for r = 2GM blevet undersøgt, og disse er normalt dem
man bruger når man arbejder med solsystemet, og egentlig de fleste andre astrofysiske situationer.
Men der er også objekter der har en radius der er mindre end r = 2GM , sorte huller.
En måde at forstå en geometri af rumtiden er at undersøge den kausale struktur, der er defineret
ved lys-keglerne. Derfor undersøges der nu radielle null kurver, som har ds2 = 0 (og også konstante
62
5
Schwarzschild løsningen
θ og φ),
2GM
ds = 0 = − 1 −
r
2
2GM
dt + 1 −
r
2
−1
dr
2
−1
dt
2GM
.
=± 1−
dr
r
⇒
Dette er hældningen af lys-keglerne i rumtidsdiagrammet i (t, r)-planet. For store r er denne
hældning ±1 (som den er i fladt rum), mens den går mod uendeligt for r → 2GM . Lys-keglerne
“lukker” altå sammen, og det vil for en observatør i dette koordinatsystem se ud til at et objekt
der går ind mod r = 2GM aldrig vil komme derhen.
t
t
∆τ2′ > ∆τ2
∆τ2
∆τ1
∆τ1
2GM
2GM
r
r
Faktisk er denne nedbremsning en illusion, for partiklen har i virkeligheden ingen problemer med
at nå til r = 2GM på en endelig tid. En observatør langt væk vil dog aldrig kunne se dette. Man
ser simpelthen bare signaler der kommer frem langsommere og langsommere: Når en observatør
der falder ind mod det sorte hul, som sender et signal ud med et fast tidsinterval ∆τ1 i sin proper
tid, vil dette bare svare til et længere og længere interval ∆τ2 i proper tid for en observatør langt
væk. Så det ser ud som om at observatøren der flyver ind i det sorte hul bevæger sig langsommere
og langsommere, og bliver samtidig mere og mere rødforskudt.
For at svare på spørgsmålet om en partikel der rejser mod et sort hul faktisk rammer r = 2GM ,
kan man undersøge om den når dertil i en endelig værdi af dens proper tid. Den bedste måde at
svare på dette er at skifte til at sæt koordinater der opfører sig pænere ved r = 2GM .
Definition 5.6 (Tortoise koordinater) Problemet med de nuværende koordinater er at
dt/dr → ∞ langs radielle null geodætiske baner der går mod r = 2GM – og altså bliver fremskridt i r-retningen langsommere og langsommere mht. tids-koordinaten t. Man kan forsøge
at fikse dette ved at erstatte t med en koordinat der bevæger sig mere langsomt langs null
geodætiske baner.
Først skal det bemærkes at man kan løse ligningen ovenfor eksplicit, og karakterisere radielle
null geodætiske ligninger ved
t = ±r∗ + konstant,
hvor tortoise (skildpadde) koordinaten r∗ er defineret ved
r∗ = r + 2GM ln
r
−1 .
2GM
◭
Tortoise koordinaten er kun ordentligt relateret til r for r ≥ 2GM , men det er alligevel kun her
5
Schwarzschild løsningen
63
koordinaterne giver mening alligevel. Schwarzschild metrikken bliver med denne nye koordinat
2GM
ds2 = 1 −
(−dt2 + dr∗2 ) + r2 dΩ2 ,
r
hvor der tænkes på r som en funktion af r∗ . Her vil lys-keglerne ikke lukke sammen, og ingen af
metrikkens komponenter bliver uendelige ved r = 2GM . Til gengæld er den interessante overflade
r = 2GM blevet skubbet ud til uendeligt.
t
r∗
r = 2GM
r∗ = −∞
Nu kan man vælge at arbejde med koordinater af formen
v = t + r∗ ,
u = t − r∗ ,
hvor indfaldende radiale null geodætiske baner er karakteriseret ved v = konstant, og udgående
ved u = konstant.
Definition 5.7 (Eddington-Finkelstein koordinater) Nu kan man finde på at gå tilbage til den
normale radielle koordinat r, men erstatte tids-koordinaten t med v. Dette kaldes EddingtonFinkelstein koordinater, og her er metrikken
2GM
dv 2 + (dvdr + drdv) + r2 dΩ2 .
◭
ds2 = − 1 −
r
Metrikken har ikke en singularitet ved r = 2GM i disse koordinater, og dette er det endelige
bevis på at denne singularitet bare var en koordinat singularitet i koordinatsystemet (t, r, θ, φ). I
Eddington-Finkelstein koordinater vil betingelsen for radielle null kurver overholde

 0
(indfaldende),
dv  −1
=
2GM

dr
(udgående).
 2 1−
r
Så lys-keglerne opfører sig pænt hen over r = 2GM overfladen, og denne overflade er placeret ved
en endelig værdi af r. Der sker dog noget interessant med lys-keglerne – de lukker ikke sammen,
men vipper, således at for r < 2GM vil alle fremtidsrettede baner pege mod mindre r.
v
r=0
r = 2GM
r
64
5
Schwarzschild løsningen
Overfladen ved r = 2GM opfører sig pænt lokalt, men fungerer globalt som et punkt hvorfra man
aldrig kan komme tilbage – a point of no return. Når først en testpartikel kommer ned under
denne, så vil den aldrig kunne komme tilbage.
Definition 5.8 (Hændelseshorisont) En hændelseshorisont, eller event horizon, defineres som
en overflade som partikler aldrig kan komme væk fra. I Schwarzschild metrikken er hændelses◭
horisonten ved r = 2GM .
Eftersom det er umuligt for selv lys at komme væk fra hændelseshorisonten, er det umuligt for
observatører udenfor at se hvad der sker bag ved den, og det er herfra navnet “sort hul” kommer. Et
sort hul er simpelthen et område i rumtiden der er separeret fra uendeligt ved an hændelseshorisont.
Der er nogle egenskaber ved sorte huller der er værd at nævne:
◮ Den eksterne geometri af et sort hul er den samme Schwarzschild løsning som man ville have
uden for en stjerne eller planet – så et sort hul suger ikke masse til sig i højere grad end
f.eks. solen, og en partikel langt uden for r = 2GM vil opføre sig på samme måde uanset om
tyngdekraftens kilde er et sort hul eller noget andet.
◮ Der er en vildledende Newtonsk analogi for sorte huller. Den Newtonske undvigelseshastighed
(escape velocity) for en partikel i afstand r fra et objekt med masse M er
vund =
r
2GM
,
r
så hvis man naivt spørger hvornår denne er lig med lysets hastighed, finder man r = 2GM .
Selv om lysets hastighed ikke har nogen fundamental rolle i Newtonsk mekanik, virker det
lidt underligt at lys (tænkt på som en massiv partikel der bevæger sig med hastighed c)
ikke kan komme væk fra et objekt med masse M og en radius mindre end 2GM . Der er
dog en vigtig forskel mellem dette tilfælde og hvad man ser i den generelle relativitetsteori:
Undvigelseshastigheden er den hastighed som en partikel skal have fra starten af for at have
energi til at undslippe end tyngdekraft-kilde på en fri bane. Men man kunne sagtens bruge
en accelereret bane i stedet, f.eks. en hvor partiklen bevægede sig med en konstant hastighed
væk fra objektet. Derfor ville et Newtonsk sort hul ikke have egenskaben at intet kunnne
slippe ud.
5.7
Den maksimalt udvidede Schwarzschild løsning
Hvis man i stedet for (v, r)-koordinaterne, hvor man kan rejse hen over hændelseshorisonten i de
fremtidsrettede baner, bruger (u, r)-koordinater, kan man se det omvendte af et sort hul – et hvidt
hul. Hvis man bruger u-koordinaten vil metrikken være
GM
ds = − 1 −
r
2
du2 − (dudr + drdu) + r2 dΩ2 .
Og med dette kan det vises at lys-keglerne tilter den anden vej, så man i stedet for at rejse fremad
i tiden for at komme ind i under hændelseshorisonten, skal rejse bagud i tiden.
5
Schwarzschild løsningen
65
u
r=0
r = 2GM
r
Rumtiden er altså nu både udvidet til fremtiden, med de sorte huller, og fortiden, med de hvide
huller. Spørgsmålet er nu om man kan udvide rumtiden mere.
For at gøre dette skal man dog definere nogle nye koordinater der er gode over alt. Et gæt ville
være at man bare kunne bruge både v og u i stedet for t og r, men dette er ikke helt godt nok –
da man så får nogle af problemerne med de gamle koordinater tilbage (man finder at r = 2GM
er uendeligt langt væk, og man vil gerne have den et endeligt sted, ved v = −∞ eller u = ∞). I
stedet vælger man koordinaterne
r
1/2
1/2
r
e(r+t)/4GM ,
u′ = −e−u/4GM = −
e(r−t)/4GM .
−1
−1
v ′ = ev/4GM =
2GM
2GM
I dette nye (v ′ , u′ , θ, φ) system er Schwarzschild metrikken så givet ved
ds2 = −
16G3 M 3 −r/2GM
e
(dv ′ du′ + du′ dv ′ ) + r2 dΩ2 ,
r
hvor r er en funktion af v ′ og u′ . Med denne metrik er der ingen henvisning til nogen som helst form
for singularitet ved r = 2GM , der er ingen af metrikkens komponenter der opfører sig underligt
på hændelseshorisonten.
Definition 5.9 (Kruskal koordinater) Det er normalt at definere to nye koordinater ud fra v ′
og u′ (for at få ´en tidslig koordinat og ´en rumlig, i stedet for to tidslige – selv om man sagtens
kunne fortsætte med de to tidslige) ved
r
1/2
t
1 ′
(v + u′ ) =
−1
,
er/4GM sinh
2
2GM
4GM
1/2
1
r
t
R = (v ′ − u′ ) =
er/4GM cosh
−1
,
2
2GM
4GM
T =
og med disse bliver metrikken
ds2 =
hvor r er defineret ud fra
32G3 M 3 −r/2GM
e
(−dT 2 + dR2 ) + r2 dΩ2 ,
r
T 2 − R2 = 1 −
r r/2GM
e
.
2GM
Koordinaterne (T, R, θ, φ) kaldes for Kruskal koordinater, eller Kruskal-Szekeres koordinater.◭
Kruskal koordinaterne har en række imponerende egenskaber. Lige som med (t, r∗ ) koordinaterne
ser de radielle null kurver ud som de gør i fladt rum,
T = ±R + konstant.
66
5
Schwarzschild løsningen
Der er dog den forskel at for Kruskal koordinaterne ligger hændelseshorisonten r = 2GM ikke
uendeligt langt væk, men derimod ved
T = ±R.
Man kan også se på flader med r = konstant, hvilket vil svare til
T 2 − R2 = konstant,
der er hyperbolaer i RT -planet. Flader med konstant t er givet ved
t
T
= tanh
,
R
4GM
der er rette linier igennem origo med hældning tanh t/4GM .
Koordinaterne (T, R) er i intervallerne −∞ ≤ R ≤ ∞ og T 2 < R2 + 1 (så de er ikke i punktet
r = 0, hvor der er en ægte singularitet). Derudover bliver T og R imaginære for r < 2GM , men
dette er kun en illusion, for i dette område er (r, t) koordinaterne ikke gode (f.eks. er |t| > ∞).
Man kan nu tegne et rumtids diagram i T R-planet, kaldt et Kruskal diagram. Hvert punkt i
diagrammet er en to-kugle, fordi der jo også er de to koordinater θ og φ. Diagrammet repræsenterer
den maksimale udvidede Schwarzschild geometri – koordinaterne dækker over hele manifolden som
løsningen beskriver.
De originale Schwarzschild koordinater (t, r) var kun gode for r > 2GM , men Kruskal diagrammet
viser et større område end dette. Normalt opdeler man diagrammet i fire dele:
5
Schwarzschild løsningen
67
◮ Del I svarer til r > 2GM , og er altså den del hvori de originale koordinater er veldefinerede.
◮ Del II rammes når man følger de fremtids-rettede null baner.
◮ Dette er sorte huller, og når først noget er rejst fra del I ind i del II vil det aldrig kunne
undslippe igen.
◮ Faktisk ender alle fremtidsrettede baner i del II med at ramme singulariteten i r = 0,
så med det samme man kommer ind bag ved hændelseshorisonten er man på spanden.
◮ Del III rammes når man følger de fortids-rettede null baner.
◮ Denne del er sådan set bare den tidsomvendte del II – en del af rumtiden som alle ting
kan slippe fri fra, og man kan aldrig komme dertil – et hvidt hul.
◮ Der er en singularitet i fortiden, som hele universet ser ud til at være kommet fra.
◮ Del IV rammes hvis man undersøger rumlige geodætiske baner.
◮ Denne del kan man ikke komme til på nogen måde fra vores del I, hverken forlæns eller
baglæns i tiden, og der er intet fra denne region der kan komme over til os.
◮ Det er en anden asymptotisk flad del af rummet – et spejlbillede af del I.
Sådan set er definitionerne af T og R som funktion af t og r kun rigtige i del I – man bliver nødt
til at ændre nogle fortegn for at undgå at de bliver komplekse i de andre dele.
Man kan tænke på del I og IV som forbundet med et ormehul (wormhole, eller en EinsteinRosen bro). Man kan dele Kruskal diagrammet ind i rumlige overflader med konstant T . Derefter
kan man så tegne disse skiver sammen med en af vinkel-koordinaterne. Her ser man at man
kan beskrive Schwarzschild geometrien som to asymptotisk flade rum der rører hinanden med et
ormehul i et stykke tid, og så ikke hænger sammen mere. Ormehullet lukker dog så hurtigt at
ingen tidslig observatør kan komme igennem det.
68
6
6.5
6
Mere generelle sorte huller
Mere generelle sorte huller
Ladede (Reissner-Nordstr¨
om) sorte huller
Et ladet sort hul er måske ikke så relevant for astrofysiske tilfælde, fordi det hurtigt ville blive
neutralt på grund af vekselvirkninger med omgivelserne, men løsningen af et ladet sort hul giver
et godt eksempel på nogle mere generelle situationer.
Da den sfæriske symmetri stadig er til stede, kan metrikken skrives som
ds2 = −e2α(r,t) dt2 + e2β(r,t) dr2 + r2 dΩ2 .
Nu er man dog ikke længere i vakuum, da det sorte hul vil have et elektromagnetisk felt, der igen
opfører sig som en kilde til energi-impuls. Energi-impuls tensoren for elektromagnetismen er
1
Tµν = Fµρ Fν ρ − gµν Fρσ F ρσ ,
4
hvor Fµν er den elektromagnetiske feltstyrke tensor. Eftersom der var sfærisk symmetri vil den
mest generelle feltstyrke tensor have komponenterne (alle andre er nul)
Ftr = f (r, t) = −Frt ,
Fθφ = g(r, t) sin θ = −Fφθ ,
hvor f (r, t) og g(r, t) er funktioner der skal bestemmes af feltligningerne. Ftr svarer til et radielt
elektrisk felt, mens Fθφ er et radielt magnetisk felt.
Feltligningerne er i dette tilfælde både Einsteins ligning og Maxwells ligninger,
g µν ∇µ Fνσ = 0,
∇[µ Fνρ] = 0.
Disse to sæt af ligninger er koblede til hinanden, eftersom den elektromagnetiske feltstyrke tensor
indgår i energi-impuls tensoren i Einsteins ligning, og metrikken indgår i Maxwells ligninger.
Løsningen på dette ligningssæt giver Reissner-Nordstr¨
om metrikken, der er givet ved
ds2 = −∆dt2 + ∆−1 dr2 + r2 dΩ2 ,
hvor
∆=1−
2GM
G(Q2 + P 2 )
+
.
r
r2
Her er M massen af hullet, Q er den totale elektriske ladning, og P er den totale magnetiske
ladning (selv om magnetiske monopoler evt. ikke eksisterer, kan man jo godt tage den med for en
sikkerheds skyld). De elektromagnetiske felter associerede med denne løsning er givet ved
Er = Frt =
Q
,
r2
Br =
Fθφ
P
= 2.
sin θ
r
r2
Reissner-Nordstr¨
om metrikken har en sand singularitet i r = 0, ligesom et ikke-ladet sort hul,
men horisont-strukturen er mere kompliceret end den i Schwarzschild løsningen. Det viser sig at
hændelseshorisonten er lokaliseret ved
p
r± = GM ± G2 M 2 − G(Q2 + P 2 ),
6
Mere generelle sorte huller
69
og dette kan give både to, en eller nul løsninger, afhængigt af de relative værdier af G2 M 2 og
Q2 + P 2 .
70
8
8
Kosmologi
Kosmologi
8.1
Maksimalt symmetriske universer
Moderne kosmologiske modeller baserer på at universet sådan set er det samme over det hele
– et koncept der nogle gange kaldes for det Koperniske princip. Umiddelbart lyder sådan en
antagelse sindssyg – der er ret stor forskel på solens indre og det kolde tomme rum – men her vil
Koperniske princip kun blive brugt på meget store skalaer, hvor man tager gennemsnittet af de
lokale variationer i densitet.
Det Koperniske princip bygger på to mere grundlæggende matematisk præcise egenskaber som
en manifold kunne have; isotropi og homogenitet.
Definition 8.1 (Isotropi) En manifold M er isotropisk omkring et punkt p, hvis rummet ser
ens ud uanset i hvilken retning man kigger fra punktet.
◭
Man kan tænke på isotropi som invarians under rotationer.
Definition 8.2 (Homogenitet) Homogenitet er erklæringen at metrikken er den samme igennem hele manifolden. Med andre ord, hvis p og q er punkter i manifolden M , så er der en
isometri der tager p til q.
◭
Man kan tænke på homogenitet som invarians under translationer.
Isotropi og homogenitet har ikke nødvendigvis noget med hinanden at gøre – en manifold kan være
en af hver, begge to eller ingen af dem. Men hvis et rum er isotropisk over alt, så er det homogent.
Den anden vej rundt, hvis et rum er isotropisk i ´et punkt, og homogent, så er det isotropisk over
alt. Herfra antager man at vores rum er både isotropisk og homogent.
Definition 8.3 (Maksimal symmetri) Hvis et rum er både homogent og isotropisk i alle punkter, vil det have det maksimale antal Killing vektorer, og dermed være maksimalt symmetrisk.◭
En ekstrem version af det Koperniske princip ville være at insistere på at rumtiden var maksimalt
symmetrisk. Dette er dog ikke sandt – man ved at universet er maksimalt symmetrisk i rum, men
ikke i hele rumtiden.
Det er dog stadig interessant at se på maksimalt symmetriske rumtider, og det skal vise sig at
de faktisk kan ses som en form for grundtilstande for den generelle relativitetsteori.
Riemann tensoren for en maksimalt symmetrisk n-dimensionel manifold med metrik gµν vil være
Rρσµν = κ(gρµ gσν − gρν gσµ ),
hvor κ er et normaliseret mål for Ricci skalaren,
κ=
R
,
n(n − 1)
og Ricci skalaren vil være en konstant over manifolden.
8
Kosmologi
71
Eftersom man altid i et enkelt punkt kan skrive metrikken på sin kanoniske form (gµν = ηµν ),
er maksimalt symmetriske manifolder karakteriseret lokalt af signaturen af metrikken og fortegnet
på κ. Her er man interesseret i metrikker med signatur (− + ++). Når kurvaturen er nul (κ = 0)
er den maksimalt symmetriske rumtid bare Minkowski rummet, med metrik
ds2 = −dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2 .
Definition 8.4 (de Sitter rum) Den maksimalt symmetriske rumtid med positiv kurvatur (κ >
0) kaldes de Sitter rummet.
Man kan nu tage et 5-dimensionelt Minkowski rum med metrik ds25 = −du2 + dx2 + dy 2 +
dz 2 + dw2 , og indlejre en hyperboloide givet ved
−u2 + x2 + y 2 + z 2 + w2 = α2 .
Man kan nu introducere koordinaterne (t, χ, θ, φ) på hyperboloiden via
t
,
α
t
y = α cosh sin χ cos θ cos φ,
α
u = α sinh
t
cos χ,
α
t
z = α cosh sin χ sin θ sin φ,
α
w = α cosh
x = α cosh
t
sin χ cos θ,
α
og da er metrikken på hyperboloiden
ds2 = −dt2 + α2 cosh2
t 2
dχ + sin2 χ(dθ2 + sin2 θdφ2 ) .
α
Man kan genkende udtrykket i de runde parenteser som metrikken for en to-kugle, dΩ22 , og
udtrykket i de firkantede parenteser som metrikken for en tre-kugle, dΩ23 .
de Sitter rummet beskriver en rumlig tre-kugle der først krymper, og så når et minimum
◭
ved t = 0, og derefter vokser igen.
Definition 8.5 (Anti-de Sitter rum) Den maksimalt symmetriske rumtid med negativ kurvatur (κ < 0) kaldes for anti-de Sitter rummet.
Dette rum kan laves lidt lige som de Sitter rummet: Man starter med et tænkt 5-dimensionelt
Minkowski rum med metrik ds25 = −du2 − dv 2 + dx2 + dy 2 + dz 2 , og indlejrer en hyperboloide
givet ved
−u2 − v 2 + x2 + y 2 + z 2 = −α2 .
Og man kan så introducere koordinaterne (t′ , ρ, θ, φ) via
u = α sin t′ cosh ρ,
v = α cos t′ cosh ρ,
y = α sinh ρ sin θ cos φ,
z = α sinh ρ sin θ sin φ,
x = α sinh ρ cos θ,
der giver en metrik på hyperboloiden
ds2 = α2 (− cosh2 ρdt′2 + dρ2 + sinh2 ρdΩ22 ).
72
8
Kosmologi
Disse koordinater har den tossede egenskab at t′ er periodisk. Det kan vises at en kurve med
konstant ρ, θ og ρ vil være en lukket tidslig kurve. Dette er dog ikke en egenskab der er indbygget
i rumtiden – bare en ting der kommer pga. den måde metrikken er blevet udledt på som en
indlejring af en hyperboloide. Det kan lade sig gøre at lave et covering rum for manifolden;
rumtiden givet ved metrikken ovenfor, hvor man tillader t′ at gå fra −∞ til ∞. Det er dette
◭
rum der for eftertiden vil blive kaldt anti-de Sitter rummet.
Definition 8.6 (Einstein statisk univers) Einsteins statiske univers er en rumtid med topologi
R × S 3 ligesom de Sitter rummet, men hvor kuglen ikke ændrer radius. Metrikken for dette rum
kan skrives
d¯
s2 = −dt′2 + dχ2 + sin2 χdΩ22 ,
hvor de sidste to led tilsammen kan genkendes som metrikken for en tre-kugle, dΩ23 .
◭
Så der er altså nu tre rumtider der er maksimalt symmetriske: Minkowski (κ = 0), de Sitter (κ > 0),
og anti-de Sitter (κ < 0). Men er der nogen af disse der faktisk kan beskrive vores univers?
For at svare på dette starter man med at se at Ricci tensoren og Ricci skalaren med de givne
metrikker er
Rµν = 2κgµν ,
R = 12κ.
Så Ricci tensoren er proportional med metrikken i et maksimalt symmetrisk rum. En rumtid med
denne egenskab kaldes nogen gange for et Einstein rum (med lad være med at forveksle dette med
Einsteins statiske univers, denne er ikke et Einstein rum). Dette resultat kan indsættes i Einstein
tensoren,
1
Gµν = Rµν − Rgµν = −3κgµν ,
2
og Einsteins ligning Gµν = 8πGTµν siger så at energi-impuls tensoren er proportional med metrikken (igen for et maksimalt symmetrisk rum, ikke generelt)
Tµν = −
2κ
gµν .
8πG
Sådan en energi-impuls tensor svarer til en vakuum-energi eller kosmologisk konstant. Energidensiteten og trykket er givet ved
2κ
ρ = −p =
,
8πG
og hvis ρ > 0 får man en de Sitter løsning – hvis ρ < 0 får man en anti-de Sitter løsning.
Men, vores univers indeholder masse og stråling (og muligvis vakuum energi), så de maksimalt
symmetriske rumtider er ikke kompatible med dette. Videre, fordi man ser synligt stof bevæge
sig væk i universet, så har universet på et tidspunkt været endnu mere tæt end det er i dag – og
dengang ville de maksimalt symmetriske rumtider slet ikke kunne gøre rede for det hele.
De maksimalt symmetriske universer er dog (lokalt) unikke løsninger til Einsteins ligning,
når der ikke er masse eller stråling til stede, og derfor kan man tænke på dem som en form for
grundtilstand.
8
Kosmologi
8.2
73
Robertson-Walker metrik
For at beskrive den virkelige verden er man nødt til at droppe ideen om det helt perfekte Koperniske
princip – kravet om maksimal symmetri i hele rumtiden. Det viser sig at man kan nøjes med at
beholde maksimal symmetri i rum-koordinaterne, og altså have et univers der er rumligt homogent
og isotropisk, men som ændrer sig i tid.
Man tænker altså på rumtiden som R × Σ, hvor R repræsenterer tiden og Σ er en maksimalt
symmetrisk tre-manifold. Dermed kan rumtidens metrik skrives
ds2 = −dt2 + R2 (t)dσ 2 ,
hvor R(t) er en funktion der kaldes for skalafaktoren og dσ 2 er metrikken på Σ, der kan skrives
som
dσ 2 = γij dui duj ,
hvor (u1 , u2 , u3 ) er koordinater på Σ og γij er en maksimalt symmetrisk tre-dimensionel metrik.
Skalafaktoren fortæller hvor stor den rumlige del Σ er til tiden t.
De koordinater der er brugt her, hvor metrikken ikke har nogen kryds-termer dtdui og hvor
koefficienten af dt2 er uafhængig af ui , kaldes comoving koordinater. En observatør der sidder i
en fast ui position kaldes også for comoving.
Interessen ligger nu i maksimalt symmetriske Euklidiske tre-metrikker γij . Man ved allerede at en
maksimalt symmetrisk metrik overholder
(3)
Rijkl = k(γik γjl − γil γjk ),
hvor
(3)
k=
R
,
6
og hvor der er sat et hævet (3) på for at huske at dette er for den tre-dimensionelle metrik γij ,
ikke for metrikken for hele rumtiden. Ricci tensoren er derfor givet ved
(3)
Rij = 2kγij .
Hvis rummet er maksimalt symmetrisk er det i hvert fald også sfærisk symmetrisk. Der er allerede
tidligere blevet arbejdet med sfærisk symmetriske rum, og der blev det vist at metrikken kan
skrives på formen
r2 + r¯2 dΩ2 ,
dσ 2 = γij dui duj = e2β(¯r) d¯
hvor r¯ er den radielle koordinat og metrikken for en to-kugle er dΩ2 = dθ2 + sin2 θdφ2 . Komponenterne for Ricci tensoren (der ikke er nul) kan så findes til at være
(3)
R11 =
2
∂1 β,
r¯
Ved at bruge disse og
(3)
(3)
R22 = e−2β (¯
r∂1 β − 1) + 1,
(3)
R33 = [e−2β (¯
r∂1 β − 1) + 1] sin2 θ.
Rij = 2kγij kan man nu få et sæt ligninger der kan løses for β(¯
r),
1
β = − ln (1 − k¯
r2 ),
2
74
8
Kosmologi
hvilket endelig giver metrikken for tre-fladen Σ til at være
dσ 2 =
d¯
r2
+ r¯2 dΩ2 .
1 + k¯
r2
Bemærk at k fortæller hvad kurvaturen, og dermed størrelsen, af rummet er. Ofte normaliserer
man dette ud så
k ∈ {+1, 0, −1},
og så bliver størrelsen fuldt ud bestemt af skalafaktoren R(t). Den fysiske forståelse af disse tre
tilfælde er tydeligere hvis man bruger en alternativ form af metrikken, ved at introducere en ny
variabel
d¯
r
,
dχ = √
1 − k¯
r2
så r¯ = Sk (χ), hvor
sådan at metrikken bliver


 sin χ
Sk (χ) =
χ


sinh χ
k = +1,
k = 0,
k = −1,
dσ 2 = dχ2 + Sk2 (χ)dΩ2 .
Der er altså de følgende tre tilfælde:
◮ For k = −1 er der en konstant negativ kurvatur af Σ, hvilket også kaldes for åbent (open).
◮ Her bliver metrikken dσ 2 = dχ2 + sinh2 (χ)dΩ2 , der er metrikken for et tre-dimensionelt
rum med konstant negativ kurvatur – en hyperboloide.
◮ For k = 0 er der ingen kurvatur af Σ, og den er flad.
◮ Her bliver metrikken simpelthen dσ 2 = dχ2 + χdΩ2 = dx2 + dy 2 + dz 2 , det simple flade
Euklidiske rum.
◮ For k = +1 er der en konstant positiv kurvatur af Σ, hvilket også kaldes for lukket (closed).
◮ Her er metrikken dσ 2 = dχ2 + sin2 (χ)dΩ2 , der er metrikken for en tre-kugle.
Metrikken på rumtiden der beskriver disse tilfælde af maksimalt symmetriske hyperoverflader der
ændrer sig i tid, er
d¯
r2
2
2
2
2
2
ds = −dt + R (t)
+ r¯ dΩ .
1 − k¯
r2
Dette er Robertson-Walker metrikken. For at bestemme skalafaktoren R(t) skal man bruge Einsteins ligning på denne metrik. Bemærk at substitutioner af formen
R → λ−1 R,
r¯ → λ¯
r,
k → λ−2 k,
efterlader formen af metrikken invariant, hvorfor det er muligt at lave forskellige normalisationer
som man nu har lyst til.
8
Kosmologi
75
Med koordinaterne hvor k er normaliseret til {+1, 0, −1} vil skalafaktoren have enhed af længde, mens den radielle koordinat r¯ vil være enhedsløs. Man kan i stedet arbejde med en dimensionsløs skalafaktor og en koordinat med enhed af længde, så man har de nye parametre
a(t) =
R(t)
,
R0
r = R0 r¯,
κ=
k
.
R02
Kurvaturen κ kan nu tage alle værdier, og ikke kun være {+1, 0, −1}. I disse koordinater er
Robertson-Walker metrikken givet ved
2
2
2
ds = −dt + a (t)
dr2
2
2
+ r dΩ .
1 − κr2
Med denne metrik kan man nu udregne Christoffel symbolerne til at være (eller relateret til disse
ved symmetrier)
Γ011 =
aa˙
,
1 − κr2
Γ022 = aar
˙ 2,
Γ122 = −r(1 − κr2 ),
Γ212 = Γ312 =
κr
,
1 − κr2
= −r(1 − κr2 ) sin2 θ,
Γ101 = Γ202 ,
1
,
r
Γ111 =
Γ033 = aar
˙ 2 sin2 θ,
Γ133
Γ323 = cot θ.
Γ233 = − sin θ cos θ,
Γ303 =
a˙
,
a
Komponenterne i Ricci tensoren (der ikke er nul) kan også findes, til at være
a
¨
R00 = −3 ,
a
R22 = r2 (a¨
a + 2a˙ 2 + 2κ),
og Ricci skalaren er så
R33
"
a
¨
R=6
+
a
8.3
a¨
a + 2a˙ 2 + 2κ
,
1 − κr2
= r2 (a¨
a + 2a˙ 2 + 2κ) sin2 θ,
R11 =
#
2
κ
a˙
+ 2 .
a
a
Friedmann ligningen
Robertson-Walker metrikken er defineret for alle opførsler af skalafaktoren a(t). Det næste trin vil
derfor være at bruge Einsteins ligning til at udlede Friedman ligningen (eller egentlig ligningerne),
der kan relatere skalafaktoren med energi-impuls tensoren af universet.
Her skal universet modelleres som en perfekt væske. Denne væske ligger stille i et eller andet
isotropisk koordinatsystem – men da det koordinatsystem der allerede bruges også er isotropisk
må det betyde at væsken faktisk ligger stille i comoving koordinaterne. Fire-hastigheden er så
U µ = (1, 0, 0, 0), og energi-impuls tensoren
Tµν = (ρ + p)Uµ Uν + pgµν
vil blive
Tµν

ρ 0
0
0

=
0
gij p
0

0


.

76
8
Kosmologi
Hvis man hæver det ene indeks får man den på den simple form
T µ ν = diag (−ρ, p, p, p),
og denne har spor T = T µ µ = −ρ + 3p.
Før dette bliver sat ind i Einsteins ligning kan det være lærerigt at se på nul-komponenten af
energibevarelsesligningen ∇µ T µ ν ,
a˙
0 = ∇µ T µ 0 = ∂µ T µ 0 + Γµµλ T λ 0 − Γλµ0 T µ λ = −∂0 ρ − 3 (ρ + p).
a
For at komme videre med dette kan man fastsætte en tilstandsligning, der giver sammenhængen
mellem ρ og p. Perfekte væsker der er relevante for kosmologien har ofte tilstandsligningen
p = wρ,
hvor w er en tids-uafhængig konstant. Energibevarelsesligningen bliver så
ρ˙
a˙
= −3(1 − w) .
ρ
a
Hvis ω er en konstant kan denne løses til at
ρ ∝ a−3(1+w) .
Man kræver nu at |w| ≤ 1, hvilket stammer fra null dominant energy condition, der tillader
en vakuum energi med både positivt og negativt fortegn, men ellers kræver at stof ikke kan
destabilisere vakuum. Der er nu tre typiske eksempler på værdier af w:
◮ w = 0: Stof er en samling af kollisionsløse og ikke-relativistiske partikler, der essentielt set
har nul tryk, pstof = 0. Stof kaldes også for støv, og universer hvis energi-densitet er primært
fra stof kaldes for stof-dominerede (matter-dominated).
◮ Energi-densiteten i stof falder som ρstof ∝ a−3 . Dette kan simpelthen fortolkes som faldet i antalsdensitet af partiklerne når universet ekspanderer. For stof er energidensiteten
domineret af hvileenergien, hvorfor denne må være proportional med antalsdensiteten.
◮ w = 1/3: Stråling kan være enten egentlig elektromagnetisk stråling, eller massive partikler
der bevæger sig med relativistiske hastigheder, så de (i hvert fald hvad angår deres tilstandsligning) ikke er anderledes end fotoner. Det kan vises, ved at se på udtrykket for energi-impuls
tensoren som funktion af feltstyrke tensoren fra elektromagnetismen, og sammenligne med
udtrykket for energi-impuls tensoren for den perfekte væske, at pstråling = ρstråling /3. Universer hvis energi-densitet er primært fra stråling kaldes for strålings-dominerede (radiationdominated).
◮ Energi-densiteten af stråling falder som ρstråling ∝ a−4 , og falder altså lidt hurtigere end
den gør for stof. Dette sker fordi antals-densiteten falder lige som den gør for massive
partikler, men fotonerne tager også energi som a−1 pga. rødskiftet.
◮ w = −1: Vakuum tager også formen af en perfekt væske, med tilstandsligningen pΛ = −ρΛ .
Universer hvis energi-densitet er primært fra vakuum kaldes for vakuum-dominerede. De
maksimale symmetriske rum de Sitter og anti-de Sitter er eksempler på dette.
8
Kosmologi
77
◮ Energi-densiteten af vakuum vil være konstant, ρΛ ∝ a0 .
Man mener i dag at strålingsdensiteten er meget mindre end stof-densiteten, med ρstof /ρstråling ∼
103 . Men i fortiden, hvor universet var meget mindre, ville energidensiteten af stråling have domineret. Når rummet har udvidet sig nok ender det dog med at vakuum-densiteten overtager, da
denne er konstant, mens de to andre falder.
Det er nu tid til at se på Einsteins ligning, der på formen
1
Rµν = 8πG Tµν − T gµν
2
giver 00- og ij-ligningerne (der er kun en af ij-ligningerne pga. isotropien)
2
a
¨
κ
a˙
a
¨
+2
+ 2 2 = 4πG(ρ − p).
−3 = 4πG(ρ + 3p),
a
a
a
a
Definition 8.7 (Friedmann ligningerne) Den første ligning ovenfor kan bruges til at fjerne andenordens afledte i den anden, hvorved man (efter lidt mere omskrivning) får de to ligninger
2
a˙
8πG
κ
=
ρ − 2,
a
3
a
a
¨
4πG
=−
(ρ + 3p).
a
3
Dette er Friedmann ligningerne. Hvis man kender ρ’s afhængighed af a er det nok kun at bruge
den første af Friedmann ligningerne til at finde a(t), og derfor kalder man ofte den for Friedmann
ligningen, alene.
Når en Robertson-Walker metrik overholder Friedmann ligningerne kalder man den for et
◭
Friedmann-Robertson-Walker univers.
Der er en del forskellige parametre og navne forbundet med de kosmologiske parametre, og nogle
af dem skal oplistes her. Ekspansionsraten er karakteriseret ved Hubble parameteren
H=
a˙
.
a
Værdien af Hubble parameteren i den nuværende epoke er Hubble konstanten H0 . Nuværende
målinger siger at H0 = 70±10 km/s/Mpc. Eftersom der er store usikkerheder på Hubble konstanten
skriver man den nogen gange på formen
H0 = 100hkm/s/Mpc,
så h ≈ 0.7.
Typiske kosmologiske skalaer er givet ved Hubble længden dH og Hubble tiden tH
c
= 9.25 × 1027 h−1 cm = 3.00 × 103 h−1 Mpc,
H0
1
= 3.09 × 1017 h−1 s = 9.78 × 109 h−1 yr.
=
H0
dH =
tH
Eftersom man ofte sætter c = 1 vil man dog støde på H0−1 både med navnet Hubble længden og
Hubble tiden.
78
8
Kosmologi
Der er også deaccelerations-parameteren
a¨
a
,
a˙ 2
q=−
der måler raten af ændring i raten af ekspansion. Endnu en brugbar parameter er densitetsparameteren
Ω=
8πG
ρ
ρ=
,
3H 2
ρkritisk
hvor den kritiske densitet er defineret ved
ρkritisk =
3H 2
.
8πG
Med denne parameter kan man skrive Friedmann ligningen på formen
Ω−1=
κ
,
H 2 a2
så fortegnet på κ er bestemt ved Ω’s forhold til 1. Der gælder at
ρ < ρkritisk
ρ = ρkritisk
ρ > ρkritisk
↔
↔
↔
Ω<1 ↔
Ω=1 ↔
Ω>1 ↔
κ<0 ↔
κ=0 ↔
κ>0 ↔
åben,
flad,
lukket.
Så densitetsparameteren fortæller altså hvilken af de tre Robertson-Walker metrikker der beskriver
vores univers. De nyeste målinger siger at den er meget tæt på 1.
8.4
Evolution af skalafaktoren
Givet en specifikation af mængden af energidensitet ρi for forskellige typer i, samt deres tilstandsligninger pi = pi (ρi ), samt mængden af rumlig kurvatur κ, kan man løse Friedmann ligningen og
finde en komplet historie for evolutionen af skalafaktoren a(t).
For at simplificere denne udregning forestiller man sig at alle de forskellige komponenter af
energidensiteter kan skrives på formen af en potenslov,
ρi = ρi0 a−ni .
Dette er det samme som at kræve at alle tilstandsligninger med parameter wi = pi /ρi er givet ved
wi =
1
ni − 1.
3
Man kan forsimple systemet endnu mere ved at definere kurvaturen som en fiktiv energidensitet
med energidensitet ρc , og tilsvarende densitetsparameter Ωc ,
ρc = −
3κ
,
8πGa2
Ωc = −
κ
.
H 2 a2
Husk at dette bare er for at gøre notationen nemmere i sidste ende, dette er ikke en egentlig
energidensitet! De fire forskellige kilder til energidensitet kan nu opsummeres med tabellen:
8
Kosmologi
79
stof
stråling
kurvatur
vakuum
wi
ni
0
1/3
−1/3
−1
3
4
2
0
I disse variable kan Friedmann ligningen skrives som
H2 =
8πG X
ρi ,
3
i(c)
P
hvor notationen i(c) henviser til at der summes over alle de faktiske energidensiteter ρi , og så
den for kurvaturen oveni. Hvis begge sider divideres med H 2 får man
X
1=
Ωi .
i(c)
Højresiden er den totale densitetsparameter Ω, plus densitetsparameteren for kurvaturen, således
at
Ωc = 1 − Ω.
Man kan nu starte med at se hvad der sker hvis alle ρi (inkl. ρc ) er ikke-negative. Fordi
P
H er proportional med i(c) ρi vil universet aldrig gå igennem en overgang fra at ekspandere
P
til at trække sig sammen, så længe i(c) ρi , 0. Man kan også tage den tidsafledte af Hubble
parameteren for at få
2
a˙
a
¨
,
H˙ = −
a
a
2
og denne kan så indsættes i Friedmann ligningerne for at få
X
H˙ = −4πG
(1 + wi )ρi .
i(c)
Eftersom |wi | ≤ 0, vil man altid have H˙ ≤ 0 når alle ρi er ikke-negative. Med andre ord bliver
universet ved med at ekspandere, men ekspansionsraten bliver mindre og mindre.
Hubble parameteren og skalafaktoren er svaret på to forskellige spørgsmål: Hvis man har to
testpartikler med en fast startafstand, og spørger hvor meget de er blevet separeret en kort tid
efter, er svaret givet ved Hubble parameteren. Hvis man derimod man vælger en fikseret kilde, og
spørger hvordan den ser ud til at bevæge sig væk fra sig i tiden, er svaret givet ved ændringen i
skalafaktoren. Der er altså to forskellige meninger med at “accelerere”. I praksis mener man typisk
at acceleration betyder a
¨ > 0, endda selv om H˙ < 0 (faktisk er der en god sandsynlighed for at
vores univers er af denne type).
Det er dog langt fra sikkert at alle ρi er ikke-negative. Selvfølgelig vil man forvente at ρi er
positiv for stof og stråling, men for vakuum og kurvatur er sagen en anden. Hvis man har en
negativ vakuum eller kurvatur energidensitet, vil Hubble parameteren kunne blive nul, eller endda
skifte fortegn. Et eksempel på dette er de Sitter metrikken, der har en positiv vakuum energi, men
samtidig også en positiv kurvatur (husk at ρc ∝ −κ). Dette rum beskriver et univers der først
kollapser, når et vendepunkt, og så ekspanderer.
80
8
Kosmologi
Det virkelige univers er et rod af forskellige typer energidensitet, men fordi de forskellige kilder udvikler sig med forskellige hastigheder, vil der være lange tider hvor universet er domineret
af en type energidensitet. Det er derfor brugbart at se på løsninger til Friedman ligningen når
der kun er ´en slags energidensitet ρ ∝ a−n . Eftersom den rumlige kurvatur er taget med som en
energidensitet bliver der her set på et tomt rum med kurvatur, eller et fladt rum med en af de tre
andre energidensiteter. Da siger Friedman ligningen at
a˙ ∝ a1−n/2
a ∝ t2/n .
⇒
Sætning 8.8 (Einstein-de Sitter modellen) Et fladt univers domineret af stof, så Ω = Ωstof =
1, kaldes en Einstein-de Sitter model. For denne gælder der altså at a ∝ t2/3 .
◭
Et fladt strålings-domineret univers vil på den anden side udvikle sig ved a ∝ t1/2 . Disse løsninger
har alle en singularitet i a = 0, kaldt Big Bang. Dette punkt repræsenterer dannelsen af universet
fra en singulær tilstand (og ikke en eksplosion af stof ind i en allerede eksisterende rumtid). Det
kan vises at alle universer med ρ > 0 og p ≥ 0 er nødt til at være startet med en singularitet.
Et univers domineret af vakuum er dog et specielt tilfælde, da n = 0 her, og så er 2/n faktoren i
ligningen for a ikke god mere. Her vil skalafaktoren følge et eksponentiale i stedet for en potenslov,
og den fulde metrik vil være
ds2 = −dt2 + eHt (dx2 + dy 2 + dz 2 ),
hvor Hubble parameteren H er en konstant. Det viser sig at dette er den samme rumtid som de
Sitter rummet, bare med lidt anderledes koordinater, og denne metrik dækker ikke hele fortiden
af de Sitter rumtiden.
Sætning 8.9 (Milne universet) Et andet interessant tilfælde er det helt tomme rum med en
kurvatur. Her bliver Friedmann ligningen
H2 = −
κ
,
a2
så kurvaturen κ må være negativ. Et sådant univers vil ekspandere lineært, da ρc ∝ a−2 fører
til a ∝ t. Denne rum kaldes for Milne universet.
Milne universet er faktisk bare en del af Minkowski rumtiden i andre koordinater, og dækker
ikke hele Minkowski rumtiden. Det kan tænkes på som den indre del af fremtids lys-keglen for
et fast punkt i Minkowski rummet.
◭
En realistisk rumtid vil dog have flere former for energi-impuls. I vores univers lige nu ser det ud til
at stråling ikke er så vigtig, men at både vakuum og stof er vigtige. Derfor kan man parametrisere
universet med Ωstof og ΩΛ , med kurvaturen givet ved
Ωc = 1 − Ωstof − ΩΛ .
Når dette rum ekspanderer vil de forskellige stoftypers densiteter ændre sig forskelligt
ΩΛ ∝ Ωc A2 ∝ Ωstof a3 .
8
Kosmologi
81
Når a → 0 i fortiden, vil kurvatur og vakuum være negligible, og universet vil opføre sig som
Einstein-de Sitter. Når a → ∞ i fremtiden, vil kurvaturen og stof være negligible, og universet vil
gå mod at være de Sitter, med mindre universet begynder at genkollapse ved en endelig tid.
Der vil altid ske genkollaps hvis vakuum energien er negativ: Når universet udvider sig vil
vakuum energien til sidst dominere, og effekten af at ΩΛ < 0 er at forårsage deacceleration og
genkollaps (ligesom ΩΛ > 0 påvirker universet til at udvide sig). Genkollaps er også muligt selv
om ΩΛ ≥ 0, hvis Ωstof er stor nok til at stoppe ekspansionen før ΩΛ har en chance for at tage
over. Mulighederne kan ses på figuren nedenfor, hvor den diagonale linie viser Ωtotal = 1, hvilket
betyder at κ = 0, og hvor cirklen markerer der hvor vores univers ligger:
ΩΛ
1
positiv
rumlig
kurvatur
ekspanderer
for evigt
0.5
negativ
rumlig
kurvatur
genkollapser
−1
0
1
2
ΩM
Det kan vises at værdien af ΩΛ for hvilke universet vil udvide sig for evigt er

 0
0 ≤ Ωstof,0 ≤ 1,
ΩΛ,0 ≥
4π
1 − Ωstof,0
1
−1
3
 4Ωstof,0 cos
Ωstof,0 > 1.
+
cos
3
Ωstof,0
3
Bemærk at når ΩΛ,0 = 0, vil åbne flade universer (Ω0 = Ωstof,0 ≤ 1) udvide sig for evigt, mens
lukkede universer (Ω0 = Ωstof,0 > 1) vil genkollapse.
8.5
Rødskifte og afstande
For at finde ud af hvilket af de forskellige Friedmann-Robertson-Walker universer der svarer til
vores univers vil man gerne finde forskellige målbare parametre, som så kan måles i virkeligheden.
Man vil selvfølgelig gerne finde H0 , og Ω der giver κ via Ω − 1 = κ/H 2 a2 . For at finde disse ser
man på geodætisk bevægelse i universet.
Der er et antal forskellige Killing vektorer, men ikke en Killing vektor for tid, som ellers ville
kunne give et udtryk for energibevarelse. Der er dog en Killing tensor. Hvis U µ = (1, 0, 0, 0) er
fire-hastigheden af comoving observatører, så vil tensoren
Kµν = a2 (gµν + Uµ Uν )
overholde Killings ligning (udvidede) ∇(σ Kµν) = 0, og er derfor en Killing tensor. Så hvis en
partikel har fire-hastighed V µ = dxµ /dλ, vil
K 2 = Kµν V µ V ν = a2 [Vµ V ν + (Uµ V ν )2 ]
være en bevaret størrelse langs geodætiske baner.
82
8
Kosmologi
Sætning 8.10 (Nedkøling af gas) Hvis nu man har en massiv partikel, der har Vµ V µ = −1,
så (V 0 )2 = 1 + |V |2 , hvor |V |2 = gij V i V j . Der gælder selvfølgelig også at Uµ V µ = −V 0 , så
udtrykket for K 2 bliver
K
|V | = .
a
Partiklen vil altså “sænke farten” mht. comoving koordinater når universet ekspanderer. Dette
er faktisk en egentlig sænkning af hastigheden – en gas a partikler med høje relative hastigheder
vil køle ned når universet ekspanderer.
◭
Sætning 8.11 (Rødskifte) Noget lignende sker for null geodætiske baner, hvor Vµ V µ = 0, og
man kan få resultatet at
K
Uµ V µ = .
a
Frekvensen af en foton, som målt af en comoving observatør, er givet ved Ω = −Uµ V µ , så frekvensen af fotonen udsendt med frekvens ωudsendt vil derfor observeres med en mindre frekvens
ωobserveret når universet ekspanderer,
audsendt
ωobserveret
=
.
ωudsendt
aobserveret
Kosmologer vil gerne skrive dette som rødskiftet zudsent , der giver forskellen på bølgelængde
som en brøk-ændring mellem to hændelser,
zudsent =
λobserveret − λudsendt
.
λudsendt
◭
Hvis observationen af en foton tager sted i dag (hvor aobserveret = a0 = 1), kan man vise at
skalafaktoren dengang fotonen blev udsendt var
audsendt =
1
.
1 + zudsendt
Så hvis man måler rødskiftet af et objekt, så kan man sige hvad skalafaktoren var dengang fotonen
blev udsendt.
Selv om rødskiftet ikke er en konventionel Doppler effekt, tænker kosmologer ofte på den som
sådan, og definerer derfor en “hastighed” v = cz. Selv om man sådan set ikke kan tale om relative
hastigheder af objekter der er langt væk fra hinanden, vil dette virker over relativt korte afstande.
I denne approksimation kan “afstanden” d mellem vores galakse og en anden galakse siges at være
den instantane fysiske afstand dP . Robertson-Walker metrikken på formen
ds2 = −dt2 + a2 (t)R02 [dχ2 + Sk2 (χ)dΩ2 ]
kan så give afstanden målt til tiden t mellem os og galaksen i coordinaten χ til at være
dP = a(t)R0 χ.
8
Kosmologi
83
Bemærk dog at man her antager at de to galakser er comoving, så χ er konstant. Hvis dette ikke er
sandt skal der nogle korrektioner på ligningen. Dermed vil den observerede hastighed være givet
ved
a˙
v = d˙P = aR
˙ 0 χ = dP ,
a
der evalueret i dag vil være den berømte Hubble lov,
v = H0 d P .
Den observerede hastighed er altså proportional med afstanden, i hvert fald for galakser der ikke
er alt for langt væk.
Hvis rødskiftet er stort, vil man ikke lige så nemt kunne definere denne hastighed, da dP ikke
er veldefineret. I virkeligheden kan man bruge mange forskellige mål for en hastighed i Euklidisk
rum, og håbe på at det også virker i universet. Nogle af disse gennemgåes her:
Definition 8.12 (Luminositets-afstand) Hvis L er den absolutte luminositet af en kilde, og F
er fluks målingen lavet af en observatør, kan man definere luminositets-afstanden til at være
d2L =
L
.
2πF
Denne definition kommer fra det faktum at fladt rum opdeler fluksen ligeligt over en kugleflade
omkring kilden, så F/L = 1/A(d) = 1/4πd2 .
I et Friedmann-Robertson-Walker univers vil dette dog ikke være sandt – fluksen vil blive
mindre og mindre. Bevarelse af antallet af fotoner fortæller at alle fotonerne der udsendte fra
kilden i sidste ende vil gå igennem en kugleoverflade med comoving afstand χ fra kilden. Men
fluksen vil være mindre pga. to effekter – individuelle fotoner rødskiftes med en faktor 1 + z,
og fotonerne rammer kuglen sjældnere, da to fotoner der blev udsendt med en tid δt imellem
sig vil måles til at have en tid (1 + x)δt mellem sig. Derfor vil der altså gælde at
1
F
=
,
L
(1 + z)2 A
og arealet af kuglen centreret kan findes til at være
A = 4πR02 Sk2 (χ),
hvor a(t) = 1 fordi man siger at man måler fotonen i dag. Dermed får man altså i sidste ende
at
dL = (1 + z)R0 Sk (χ).
◭
Denne afstand er en man kan håbe på at måle, da der faktisk er nogle kosmologiske objekter som
man kender den absolutte luminositet for. Problemet er bare at man ikke kan måle χ, så denne
skal fjernes fra ligningen. En radiel null geodætisk bane vil have
Z
Z
dt
da
1
1
=
.
0 = ds2 = −dt2 + a2 R02 dχ2
⇒
χ=
2
R0
a
R0
a H(a)
84
8
Kosmologi
Normalt skifter man til at bruge rødskiftet z via a = 1/(1 + z) som variabel, så
1
χ(z) =
R0
Z
0
z
dz ′
.
H(z ′ )
For at finde Hubble parameteren i dette integrale kan man bruge Friedmann ligningen, der kunne
sættes på formen
8πG X
ρi ,
H2 =
3
i(c)
og endnu engang antage at hver energidensitet kan skrives som en potenslov,
ρi = ρi0 a−ni = ρi0 (1 + z)ni .
Dermed kan man altså finde at H(z) = H0 E(z), hvor
1/2
X
ni
E(z) =
.
Ωi0 (1 + z)
i(c)
Hvis energidensiteterne ikke udvikler sig som potenslove kan man stadig bruge E(z) = H(z)/H0 ,
hvis man bare finder H(z) med Friedmanns ligning. Dermed er luminositetsafstanden givet ved
dL (z) = (1 + z)R0 Sk
1
R 0 H0
Z
dz ′
E(z ′ )
.
Denne omskrives ofte til kun at afhænge af kosmologisk målbare variable, ved at bruge R0 =
p
√
H0−1 −kΩc0 = H0−1 |Ωc0 |, hvor Ωc0 = 1 − Ω0 = −k/R02 H02 ,
H −1
Sk
dL (z) = (1 + z) p 0
|Ωc0 |
p
|Ωc0 |
Z
dz ′
E(z ′ )
.
Definition 8.13 (Proper bevægelses-afstand) Lige som luminositets-afstanden findes ud fra
kildens luminositet i fladt rum, kan man finde proper bevægelses-afstanden (proper motion
distance) dM ud fra den egentlige og målte bevægelse af kilden,
dM =
u
,
θ˙
hvor u er proper transvers hastighed, og θ˙ er det observerede vinkelmoment.
◭
Definition 8.14 (Vinkeldiameter-afstand) Vinkeldiameter-afstanden (angular diameter distance) måles på den anden side ud fra kildens indbyggede og målte størrelse,
dA =
R
,
θ
hvor R er proper størrelsen af objektet og θ er den observerede vinkeldiameter.
◭
8
Kosmologi
85
Det viser sig heldigvis at der er en simpel sammenhæng mellem de forskellige mål for afstand,
dL = (1 + z)dM = (1 + z)2 dA .
Så hvis man måler den ene kan man finde de andre.
Definition 8.15 (Lookback tid) Den tid der er gået fra nu og til lyset fra et objekt der er
rødskiftet z blev udsendt, kan defineres som lookback tiden. Hvis alderen af universet er t0 lige
nu, og en foton blev udsendt til tiden t∗ , så er lookback tiden
Z z∗
Z 1
Z t0
dz ′
1
da
=
.
dt =
t0 − t∗ =
◭
H0 0 (1 + z ′ )E(z ′ )
t∗ aH(a)
t∗
For eksempel vil et fladt (k = 0) stof-domineret (ρ = ρstof = ρstof0 a−3 ) univers have E(z) =
(1 + z)3/2 , så
Z z∗
1
2
dz ′
t0 − t∗ =
=
1 − (1 + z∗ )−3/2 .
′
5/2
H0 0 (1 + z )
3H0
Den totale alder af universet kan så finde ved at lade t∗ → 0 (eller z∗ → ∞), og
t0 (stof-domineret) =
2
.
3H0
For universer der ikke er helt stof-dominerede finde man at faktoren 2/3 ikke er helt korrekt, men
man vil normalt have at t0 ∼ H0−1 .
86
9
9
Afbøjning af lys ved solen
Afbøjning af lys ved solen
Der skal her ses på null geodætiske baner i Schwarzschild løsningen. Disse skal overholde ligningen
2
L2
GM L2
1
1 dr
+ 2−
= E2.
2 dλ
2r
r3
2
Det kan nu bruges at dφ/dλ = L/r2 , hvorved der gælder at
dr
dφ dr
L dr
=
= 2
,
dλ
dλ dφ
r dφ
og dermed kan ligningen skrives som
" #−1/2
2
rGM
E
1
1
dφ
= 2
− 2 1−
.
dr
r
L
r
r
Man kan nu relatere L/E og impact parameteren b. Hvis impulsen af partiklen er P , vil der
gælde at impulsmomentet er L = pb. Og en foton har E = p, så L/E = b.
δφdef
R
b
Solen
b
Nu kan man så finde deflektions-vinkelen. Først skal vendepunktet r1 findes for banen. Denne
findes ud fra dr/dλ = 0, så
1
2GM
1
1−
= 2.
2
r1
r1
b
Bemærk at i figuren er r1 = R, så partiklen lige tangerer solen – men den kunne sagtens have
været længere væk. Fra geometrien vil man have en vinkel
−1/2
Z ∞
Z ∞
Z ∞
2GM
dr 1
1
dφ
1
−
.
=2
−
dr
dφ = 2
∆φ = 2
2 b2
dr
r2
r
r1 r
r1
r1
Man kan nu omdefinere sine variable med r = b/w og dr = −(b/w2 )dw, så
−1/2
Z w1
2GM
dw 1 − w2 1 −
∆φ = 2
w
,
b
0
hvor w1 = b/r1 , eller den mindste rod af
2GM
w = 0.
1 − w2 1 −
b
Integralet er eksakt, men man er typisk interesseret i at evaluere det for små GM/b = α. Her kan
man lave en Taylor-ekspansion der giver at
Z w1
1 + αw
∆φ = 2
+ O(α2 ).
dw √
1 + 2αw − w2
0
9
Afbøjning af lys ved solen
87
Man bliver også nødt til at ekspandere udtrykket for w1 , og det kan vises at til ledende orden
er w1 ≈ 1. Hvis man nu sætter w1 ≈ 1 + λα, og sætter ind i ligningen, og ekspanderer omkring
λ = 1, finder man at
w1 = 1 + α + O(α2 ).
For at løse integralet skal man endelig skifte til en ny variabel u = w/(1 + α), og man kan så finde
at
Z 1
1 + u + u2
1
√
+
α + O(α2 ).
du √
∆φ = 2
1 − u2
(u + 1) 1 − u2
0
Endnu et skift i variable til u = cos t giver så at
∆φ = 2
Z
π/2
0
1 − cos2 t
dt 1 +
α
+ O(α2 ) = π + 4α + O(α2 ).
sin2 t
Deflektionsvinklen, relativt til en lysstråle der ikke ville blive afbøjet (som vil have ∆φ = π), er
så givet ved δφdef = ∆φ − π, og til første orden er
δφdef ≈
2GM
.
c2 b
For en lysstråle der lige præcis tangerer solen, så b = R, vil denne afbøjning være 8.5 × 10−6 rad.
88
A
Eksamensspørgsmål
Appendikser
A
Eksamensspørgsmål
De fem eksamensspørgsmål er oplistet nedenfor. Under hvert delspørgsmål har jeg oplistet de
emner der giver mening at tale om inden for hver del.
Spørgsmål 1
Geodesic equation and Einstein Equivalence Principle
◮ Kovariant afledt (forbindelse, parallel transport)
◮ Geodætisk bane
◮ Einstein ækvivalensprincip (rødskifte)
Spørgsmål 2
Einstein equations and general covariance
◮ Minimal koblingsprincip (geodætisk ligning)
◮ Newton Poisson (Riemann og Ricci, Einstein, Newton grænse perfekt væske)
◮ Vakuum (kosmologisk konstant)
Spørgsmål 3
Schwarzschild solution and geodesics/experimental tests
◮ Sfærisk symmetri (Christoffel, Riemann, Ricci, metrik)
◮ Geodætisk ligning
◮ Symmetrier (potentiale, precession)
Spørgsmål 4
Schwarzschild solution and black holes
◮ Sfærisk symmetri (Christoffel, Riemann, Ricci, metrik)
◮ Light cones (normalt, tortoise, Eddington-Finkelstein)
◮ Kruskal
Spørgsmål 5
Cosmology
◮
◮
◮
◮
◮
Maksimal symmetri (grundtilstande)
Robertson-Walker (ekspanderende univers)
Einsteins ligning (perfekt væske, energibevarelse, tilstandsligning)
Friedmanns ligninger
Opdelte energidensiteter
B
B
Vigtige ligninger
89
Vigtige ligninger
∇µ V ν = ∂µ V ν + Γνµλ V λ
Γσµν = 12 g σλ (∂µ gνλ + ∂ν gλµ − ∂λ gµν )
dxµ
D
=
∂µ
dλ
dλ
σ
ρ
d2 xµ
µ dx dx
+
Γ
ρσ
dλ2
dλ dλ
Rρ σµν = ∂µ Γρσν − ∂ν Γρσµ + Γρµλ Γλνσ − Γρνλ Γλµσ
Rµν = Rλ µλν
R = Rµ µ = g µν Rµν
Gµν = Rµν − 21 Rgµν
Gµν = 8πGTµν
Rµν = 8πG(Tµν − 21 T gµν )
Tµν = (ρ + p)Uµ Uν + pgµν
2GM
ds = − 1 −
r
2
ǫ = −gµν
1
2
V (r) =
−1
2GM
dt + 1 −
r
2
dr
dλ
2
dr2 + r2 dΩ2
dxµ dxν
dλ dλ
+ V (r) =
1 2
E
2
1
GM L2
GM
L2
ǫ−ǫ
+ 2−
2
r
2r
r3
d¯
r2
+ r¯2 dΩ2
ds = −dt + R (t)
1 − k¯
r2
2
2
2
a˙
ρ˙
= −3(1 + w)
ρ
a
2
a˙
8πG
κ
=
ρ− 2
a
3
a
4πG
a
¨
=−
(ρ + 3p)
a
3
90
Indeks
Indeks
I det følgende indeks er hovedkoncepterne i notesættet henvist til, som oftest der hvor de første
gang nævnes, eller der hvor de bruges til at komme videre til noget andet. Tal markeret med fed
henviser til sider hvor koncepterne defineres eller indføres første gang.
Acceleration, 5, 17, 44, 79
Affin parameter, 32, 55
Afstand, 82
Alder af universet, 85
Antals-densitet n, 14
Anti-de Sitter rum, 71
Asymptotisk fladhed, 53
Atlas, 20
Bølgevektor, 49
Basis, 9, 10, 11, 21, 22
Bevarelsesligning, 35, 40
Bianchi identiteten, 38, 41, 46
Big Bang, 80
Bijektiv, 19
Billede, 19
Birkhoffs teorem, 53
Boost, 8, 42
Bølgelængde, 17
Chart, 19
Christoffel forbindelsen, 29, 31
Christoffel symboler, 27, 33, 45,
52, 55, 75
Cirkel, 57
Cirkulær bane, 57
Comoving, 24, 73, 81, 83
Comoving koordinater, 73, 75
Connection coefficients, 28
Connetion, 27
Cotangentrum, 10
Covering rum, 72
d’Alembert operatoren, 46
de Sitter, 81
de Sitter rum, 71, 79, 80
Deacceleration, 81
Deaccelerations-parameteren, 78
Deflektion, 86
Degenereret, 23
Densitetsparameter, 79
Densitetsparameteren, 78
Determinant, 21, 25
Differentation, 18
Differentiabel manifold, 17
Differentialoperator, 11
Dimensionalitet, 9, 18, 21, 42
Domæne, 19
Dopplereffekt, 17, 34, 61, 82
Dual rum, 10
Dual vektor, 10, 11, 22
Eccentricitet, 59
Eddington-Finkelstein koordinater, 63
EEP, 17
Effektivt potentiale, 56
Egenværdi, 23
Einstein rum, 72
Einstein statisk univers, 72
Einstein tensor, 39, 47, 72
Einstein-de Sitter model, 80, 81
Einstein-Rosen bro, 67
Einsteins ligning, 5, 48, 51, 68, 72,
74, 77
Einsteins ækvivalensprincip, 17
Ekspansion, 24, 33, 79, 81
Elektrisk ladning, 68
Elektromagnetisk felt, 68
Elektromagnetisme, 68
Ellipse, 57, 58
Energi, 5, 13, 33, 44, 56
Energi-densitet ρ, 14, 14, 15, 36
Energi-impuls tensoren T µν , 14,
34, 46, 68, 72
Energibevarelse, 15, 46, 55, 76
Energidensitet, 48, 72, 80, 84
Energidensitet ρ, 14
Entropi, 14
Escape velocity, 64
Euklidisk metrik, 23, 42
Euklidisk rum, 5, 18
Event, 6
Event horizon, 64
Feltstyrke tensor, 68
Fire-hastighed, 13, 14, 33, 47, 61,
75, 81
Fire-impuls, 13, 14, 33, 40
Fire-vektor, 8
Fladt rum, 23, 31, 74
Fluks, 83
Forbindelse, 27, 30
Forbindelseskoefficient, 28, 34
Foton, 17, 35
Foton gas, 15
Fremtidsrettet bane, 63, 67
Friedmann ligningen, 75, 79
Friedmann-Robertson-Walker
univers, 77, 83
Friedmanns ligning, 77
Frit fald, 16, 17
Frobenius teorem, 54
Generator, 40
Generel kovariant form, 50
Genkollaps, 81
Geodætisk bane, 27, 31, 41, 45,
55, 56, 58, 61, 81, 86
Geodætisk ligning, 5, 27, 32, 40,
45, 50, 55
Glat, 22
Glat mapning, 19
Gradient, 10, 22
Gravitationel masse, 16
Gravitationelt potentiale, 44
Gravitationelt rødskifte, 17, 61
Grundtilstand, 70, 72
Hastighed, 82
Helion, 58
Homogenitet, 70
Hubble konstanten, 77
Hubble længden, 77
Hubble lov, 83
Hubble parameteren, 77, 79
Hubble tiden, 77
Hvidt hul, 64, 67
Hvilemasse, 13
Hvilesystem, 13, 14, 35, 47
Hyperbel, 57, 66
Hyperboloide, 43, 71, 74
Indeks
Hændelse, 6
Hændelseshorisont, 25, 64, 66, 68
Identitets-mapning, 12
Identitetsmatrice, 46
Ikke-degenereret, 23
Impact parameter, 86
Impuls, 5, 14, 44
Impuls-firevektor, 13
Impulsbevarelse, 15
Impulsdensitet, 14
Impulsmoment, 86
Impulsmomentbevarelse, 55
Indefinit metrik, 24
Indre produkt, 12, 31
Inertialkoordinater, 27, 45, 48
Inertialsystem, 6, 8, 13, 15, 17
Inertiel masse, 16
Inertielle baner, 16
Injektiv, 19
Integration, 18
Invarians, 6, 9, 13, 21, 39, 55
Invers metrik, 12, 29, 35, 45
Invertibel, 19
Isometri, 39, 42
Isotropi, 70, 75
Isotropisk, 14
Isotropisk tryk, 49
Jacobiant, 21, 25
Kanonisk form, 23, 24, 45, 71
Karthesiske koordinater, 6
Keglesnit, 57
Kepler, 59
Killing tensor, 41, 81
Killing vektor, 41, 53, 55, 81
Killings ligning, 41
Kinetisk energi, 13
Koblindskonstant, 50
Kollaps, 79
Kommutator, 22, 30, 37, 54
Komponenter, 9
Komposition, 19
Kongruent, 18
Kontinuum, 14
Kontravariant vektor, 10
Koordinat-singularitet, 54
Koordinatbasis, 21
Koordinatskift, 50
91
Koordinatsystem, 19, 41
Koordinatsytem, 55
Koordinattransformation, 22, 25
Kopernisk princip, 70
Kort, 19
Kosmologisk konstant, 49, 72
Kosmologisk rumtid, 24
Kosmologisk rødskifte, 34
Kotangentrum, 22
Kovarians princippet, 50
Kovariant afledte, 23, 27, 28, 29,
31, 34, 36, 40, 44
Kovariant vektor, 10
Kraft, 5
Kronecker delta, 8, 12, 28, 42
Kruskal diagram, 66
Kruskal koordinater, 65
Kugle, 18, 19, 30, 42, 51, 53, 71
Kurvatur, 5, 17, 23, 27, 36, 44, 71,
74, 78, 80
Kurvatur skalaren, 38
Kurve, 8
Kvantemekanisk oscillator, 49
Kædereglen, 20, 44
Ladet sort hul, 68
Laplace operator, 46
Leibnix reglen, 27
Leibniz reglen, 22
Levi-Civita forbindelsen, 30
Levi-Civita symbolet, 25
Levi-Civita tensor, 29, 42
Ligningen for parallel transport,
31
Lineær mapning, 10, 11, 22
Lineær transformation, 8, 28, 32
Linie-element, 23
Lokale inertialkoordinater, 24,
42, 48
Lokalt inertisystem, 17
Lookback tid, 85
Lorentz invarians, 48
Lorentz transformation, 8, 9, 13,
39, 42
Lorentzian metric, 23
Lukket rum, 74
Luminositets-afstand, 83
Lys-kegle, 6, 7, 24, 61, 64, 80
Magnetisk ladning, 68
Magnetisk monopol, 68
Maksimal symmetri, 70, 72
Maksimalt atlas, 20
Maksimalt symmetrisk rum, 42
Manifold, 17, 18, 20, 21, 27, 70
Mapning, 19, 21, 27, 31, 39
Masse, 51
Massedensitet, 46
Massedensitet ρ, 5
Masseløs partikel, 56
Massiv partikel, 13, 56
Massse, 72
Maxwells ligninger, 68
Merkur, 61
Metrik, 5, 7, 23, 23, 27, 34, 41,
44, 50, 51, 56, 68, 72
Metrisk kompatibel, 29, 31, 37,
40, 55
Metrisk signatur, 42
Metrisk tensor, 5, 16, 46
Milne univers, 80
Minimale koblingsprincip, 44
Minkowski metrik, 45
Minkowski rummet, 6, 23, 35, 39,
44, 51, 71, 80
Multilineær mapning, 11, 22
Nedkøling, 82
Newtons gravitationskonstant G,
48
Newtonsk grænse, 45, 47
Newtonsk mekanik, 5, 13, 16, 32,
44, 56, 59
Newtonsk potentiale, 46
Nordpol, 30
Norm, 31
Null, 7, 13, 24, 33
Null dominant energy condition,
76
Nulpunktsenergi, 49
Observatør, 7, 16, 33, 61
One-form, 10
Ormehul, 67
Ortogonal, 31
Oscillator, 49
Parabel, 57
Parallel transport, 30, 31, 31, 36
Parametriseret kurve, 9, 21, 32
92
Partielt afledte, 21, 27, 44
Perfekt væske, 14, 35, 47, 75
Perihelion, 58
Pertubation, 45, 59
Plank længden, 50
Point of no return, 64
Poisson ligningen, 5, 46, 48
Poissons ligning, 44
Polære koordinater, 51
Positiv definit, 23
Potensfunktion, 24
Potentiale, 44, 57
Potentiale Φ, 5, 18
Pre-billede, 19
Precession, 58
Proper bevægelses-afstand, 84
Proper tid, 62
Proper tid τ , 7, 13, 32
Pseudo-Riemannian metrik, 23
Pythagoras teorem, 5
Raket, 17
Rank, 11
Reissner-Nordstr¨
om metrik, 68
Ret linie, 31
Retningsafhængig afledt, 21
Retningsbestemt afledt, 41
Retningsbestemt kovariant afledte, 31
Ricci skalar, 38, 41, 46, 50, 52,
70, 72, 75
Ricci tensor, 38, 46, 52, 72, 73, 75
Riemann tensor, 27, 37, 41, 50,
52, 70
Riemann tensoren, 46
Riemannian forbindelsen, 30
Riemannian metrik, 23
Robertson-Walker metrik, 24, 74,
82
Rotation, 42, 55, 70
Rotationer, 8
Rumlig, 7, 13
Rumtid, 5, 6, 16
Rumtids-diagram, 7, 62
Rumtidsinterval, 6, 7, 8, 23
Rødskifte, 17, 34, 58, 61, 62, 82
Sammentrækning, 38, 41, 50, 52
Samtidighed, 6
Indeks
Schwarzschild metrik, 51, 55, 58,
61
Eddington-Finkelstein koordinater, 63
Kruskal koordinater, 65
Tortoise koordinater, 63
Schwarzschild radius RS , 53, 54
Semi-major akse, 59
Semi-minor akse, 59
Sfærisk symmetri, 51, 54, 68, 73
Sfæriske koordinater, 51
Signatur, 23, 42, 71
Singularitet, 54, 66, 68, 80
Skalafaktor, 24, 33, 73, 79
Skalar funktion, 10
Skildpadde koordinater, 62
Smooth, 19, 22
Sol, 58
Solsystemet, 61
Sort hul, 61, 64, 67
Spacetime interval, 6
Speciel relativitetsteori, 5, 17, 23,
32
Spejlunivers, 67
Spor, 38, 46, 47, 76
Støv, 35, 47
Statisk felt, 47
Statisk kosmologisk model, 49
Stof, 24, 35, 72, 76
Stof-densitet, 44
Stof-domineret, 76
Stress, 14
Stråling, 24
Strålings-domineret, 76
Stråling, 72
Stråling, 35, 76
Støv, 14
Surjektiv, 19
Svagtfelts-grænsen, 47, 53
Symmetri, 15, 39
Tangentrum, 8, 10, 21, 27
Tangentvektor, 9, 12, 22, 31
Tensor, 11, 22
Tensor densitet, 25
Tensorfelt, 27
Tensorligning, 31, 38, 44, 46, 50
Tensorprodukt, 11
Testpartikel, 32, 58, 64
Tidslig, 7, 13, 33, 40
Tidsvending, 51, 55
Tilstandsligning, 15, 35, 76, 78
Topologi, 18
Torsion tensor, 29, 37
Torsions-fri, 29, 37
Tortoise koordinater, 62
Trace, 38
Transformation, 21, 39
Translation, 8, 39, 42, 70
Tryk, 14, 14, 15, 72
Tyngdeaccelerationen, 50
Tyngdefelt, 5
Tyngdekraft, 5, 16, 50
Type (tensor), 11
Tæthed, 14
Tårn, 17
Uaccelereret, 17, 32
Undvigelseshastighed, 64
Univers, 24
Ur, 6
Vakuum, 15, 35, 49, 51, 76
Vakuum energi, 48, 49, 72
Vakuum-domineret, 76, 80
Vakuumfluktuationer, 49
Variationsregning, 32
Vektor, 8, 11
Vektorrum, 9, 11, 21
Vektortransformationsloven, 22
Vendepunkt, 57, 79, 86
Verdenslinie, 6, 12, 24
Vinkeldiameter, 84
Vinkeldiameter-afstand, 84
Vinkelmoment, 84
Viskositet, 14
Vægt, 26
Væske, 14
WEP, 16
Weyl tensor, 39
Wormhole, 67
Ækvator, 30, 55
Ækvivalensprincippet, 16, 50
Åben bold, 19
Åbent rum, 74
Åbent sæt, 19