1. No category

SANDSYNLIGHEDSREGNI NG
S 1. TILFELDIGT EKSPERIMENT. SANDSYNLIGHEDSFELT
Sandsynlighedsregnirgsom matematisk disciplin er oprindeligt opstäet
som en teori for hasardspil.De matematiske metoder, som blev udviklet,
viste sig at kunne bruges mange andre steder; for eksempel bygger
stikprovekontrol, vurdering af opinionsundersogelserog undersogelser
af lregemidlers virkning pä disse metoder.
När man skal bestemme sandsynlighedenfor, at en eller anden begivenhed indtrrffer, vil man i praksis ofte vrerehenvist til at gore dette udfra et
eller andet statistisk materiale. Et forsikringsselskab,der skal fastsrette
stsrrelsen af en livsforsikringsprremie,er for eksempel interesseret i at
bestemme sandsynlighedenfor at en person stadigvreker i live efter en
vis ärrrekke. Dette kan i princippet gores ved hjrelp af en tabel over
dsdeligheden i forskellige aldersgrupper.
1.1.Ovelse
personeri aldersgruppen
I 1950varder i Danmarkca.250.000
50-54är; i 1970varderca.
1 7 0 . 0 0 0p e r s o n eira l d e r s g r u p p e7 n0 - 7 4ä r .B e n y d
t i s s et a lt i la tv u r d e r es a n d s y n l i g h e d e n
for at en tilfaldigtudvalgt52-ärigdanskerstadigveker i live efter20 ärs torlab.
P ä p e gn o g l ef e j l m o m e n t ev re d b e r e g n i n g e n .
Vi vil i det folgende ofte benytte hasardspil(terningkast,msntkast
o.s.v.)som eksempler.Begrundelsenfor dette er, at sädannespil er
velkendtefor de flesteog simpleat beskrive.
Lad os starte med at betragte et kast med en almindelig terning. Der er
seksforskellige muligheder for, hvad terningen kan vise; vi siger, at der
er seks forskellige udfald.
De seks udfald er lige sandsynlige,d.v.s. sandsynligheden for hvert af
udfaldene er 1l6.Dette svarer til, at hvis man kaster mange gange med
en terning, forventer man f.eks. en tre'er i ca. Il6 af kastene.
Kast med en terning er et eksempel pä et tilfreldigt eksperimenl. Herved
forstäs et eksperiment, hvor resultatet ikke er givet pä forhänd, men
hvor de forskellige udfald indtrreffer med visse sandsynligheder.
Tilfreldige eksperimenter med endeligt mange udfald kan beskrives pä
folgende mäde:
1.2.
Mrengden af mulige udfald ved et tilfreldigt eksperiment kaldes udfaldsrummet for eksperimentet, og
betegnes med [/.
Til hvert udfald u e U er knyttet et bestemt tal P (r),
sandsynligheden for u.
Sandsynlighederneopfylder:
a)Foralle ue U: 0=P(u)
b) Summen af sandsynlighederne P (")
dvs.
er I,
z P @ ) _r
alle u
P kan äbenbart opfattes som en funktion med definitionsmnngde U. En funktion P, der opfylder a) og b)
kaldes en sandsynlighedsfunktion.
Et udfaldsrumU med en tilhsrende sandsynlighedsfunktionP kaldes et
sandsynlighedsfelt.
Det sandsynlighedsfelt(U,P) , der beskriver kast med en almindelig
terning, har udfaldsrum
u - { tr,2,3,,4,5,6}
og sandsynlighedsfunktionenP er givet ved
P (")
Dette sandsynlighedsfelter af en s&rlig simpel type, der kaldes symmetriske sandsynlighedsfelter:
1.3.
Et sandsynlighedsfelt kaldes symmetrisk, hvis alle
udfald har samme sandsynlighed.
1 . 4 .O v e l s e
M a n k a s t e rm e d e n m o n t ,o g o b s e r v e r e o
r ,m d e t b l e vp l a te l l e rk r o n e .
B e s k r i vu d f a l d s r u m
og sandsynlighedsfunktion.
E r d e t e t s y m m e t r i sska n d s y n l i g h e d s f e l t ?
10
1 . 5 .O v e l s e
M a n k a s t e rt o g a n g e m e d e n m o n t , o g o b s e r v e r e r ,h v o r m a n g e g a n g e d e t b l e v p l a t ( 0 , 1
e l l e r2 g a n g e ) .
B e s k r i v u d f a l d s r u mo g s a n d s y n l i g h e d s f u n k t i o n .
E r d e t e t s y m m e t r i s ks a n d s y n l i gh e d s f e l t ?
1.6.
En delmrengde H af et udfaldsrum kaldes "n h,orctetse. SandsynlighedenP(H) for at fä et udfald, der tilhgrer H, er
P(H) :ur"
7, nP(")
P (H) kaldes sandsynlighedenfo, hrendelsen H.
Om hrendelserne Q og U grelder äbenbart
P(Q)-0
os
P((I)_I
Ved kast med en terning kan man vreddeoffi, at den hsjstviser 4. Man
vredder da offi, at udfaldet tllhsrer hrendelsen
H - {I,2,3,4}
Sandsynlighedenfor dette er da
P ( H -) P ( l ) +(P2 ) + P ( 3 \) +/ -P+(6 4+)+6 + +6 + J6 - I6
1.7.Ovelse
V i b e t r a g t eer t a l m i n d e l i gs tp i l k o r tm e d 5 2 b l a d e .
D e r t r a k k e s e t t i l f a l d i g kt o r t .F i n ds a n d s y n l i g h e d feonr f a l g e n d eh e n d e l s e r
a) Korteter spar7
b) Korteter en spar
c) Korteter ikkeen klar
(altsäknagt, dameellerkonge)
d) Korteter et billedkort
Af ovelse I.7 fremgär, at man i et symmetrisk sandsynlighedsfelt kan
bestemme sandsynligheden for en hrendelse11 som forholdet mellem
11
antal udfald i H ogdet samlede antal udfal d i U. Hvis U har n elementer,
Iln for alle u iU ;og hvis H har m elementerer
grelderjo at P("):
P(H)
:I+1+1+
n
n
n
1
t
t
l
-
n
ry
n
När man skal bestemme sandsynlighedenfor en hrendelse/1, kalder man
udfaldene i H for gunstige udfald. Vi kan da kort skrive
1.8.
I et symmetrisk sandsynlighedsfelt kan sandsynligheden for en hrendelseF1 beregnes ved
P(r{) _
antal udfald i H
antal udfald i U
_ antal gunstige udfald
antal mulige udfald
Det fremgär af (1.S), vt man i et symmetrisk sandsynlighedsfeltkan
bestemme sandsynlighedenfor en hrendelseved attrelle udfald. I $ 2 skal
vi gennemgä nogle metoder, der gar det lettere at foretage sädanne
optrellinger.
Vi vil slutte dette afsnit med at vise nogle regneregler for sandsynligheder.
Lad A ogB vnrehrendelser i et udfaldsrum (1.A ogB er delmrengdet af
(J, sä vi kan pä sredvanligmäde tale om foreningsmrengdenAUB og
frellesmrengdenA-tB. Pä fig. Il er vist en situation, hvor A)B - Q ;
i dette tilfrelde er P(AUB) lig med summen af P(A) og P(B), d.v.s. der
grelder
1.9
HvisAaB-0er
P ( A U B )- P ( A ) + P ( B )
OG
Päfigur 1.2erAaB + Q . I dette tilfreldegrelder(1.9) ikke, for när man
beregnerP(A) + P(B), bliver udfaldene i A)B talt med to gange.
Der grelderderfor
12
1.10
Hvis A ogB er to vilkärlige
hrendelser,er
ffi
P(AuB) P ( A ) + P ( B )- P ( A . B )
V i s e r , ä t 1 . 1 0 i n d e h o l d e rI . 9 s o m
et specialtilfrelde.
1 . 1 1. A v e l s e .
Man trakker et kortfra et sadvanligtspil kort.
A og B er handelserne
A : d e t b l e ve t e s
B : d e t b l e ve n k l a r
B e s t e ms a n d s y n l i g h e d e rPn(eA ) ,P ( B ), P ( A n B ) o g P ( A U B )
I mrengdelreren defineres komple'
mentrermrengdentil en mrengde H
som mrengden bestäende af de elementer, der ikke er med i H, jf. fig.
1 . 3.
betegner
I sandsynlighedsregningen
man kSmplement&rmrengden tll H
med H og man kalder H for den
komplementrere hrendelsetil H.
Da H U H - U og H n n - Q, fär vi af 1.9
P(u)-P(H)+P(fr)
og her af folger
1.12. P(tr)-1-P(H)
1.13.Eksempel.
Lad os betragte det tilfreldige eksperiment, der bestär i kast med to
terninger, en rad og en hvid.
Udfaldsrummet kan illustreres som
vist pä fig. I.4. Pä figuren er med
krydser markeret udfaldene i hrendelsen
H: summen af ojnene er 4
HVID
6
5
4
-)
a
2
I
1 2 3 , + 5 6 R A D
Fig. 1.4.
13
Antallet af gunstige udfald for H er 3, og da antallet af mulige udfald er
6' 6 - 36, ser vi, at
P(H)-
3
%:
1
D
1.14. Qlvelse.
T e g ns e l ve n f i g u rs o m f i g . 1. 4 . I n d t e g nh a n d e l s e r n e
A : t e r n i n g e r nvei s e re n s
B : s u m m e na f a j n e n ee r 7
C : d e n r o d et e r n i n gv i s e rm e r ee n d d e n h v i d e
D : s u m m e na I a l n e n ee r m i n d s t1 0
B e s t e ms a n d s y n l i g h e d e rPn(eA ) ,P ( B ) ,P ( C ), P ( D ) ,P ( B O C )o g p ( B U C )
1.15. Ovelse.
När en tipskampmä aflysesf.eks.som falgeaf därligtvejr, foretagertipstjenesten
pä
grundlagaf 20 aviserstipsom kampenen säkaldttendenslodtrekning.
Udfaldetaf denne
t e n d e n s l o d t r e k n ibnegs t e m m edra h v i l k ette g n ,d e rs k a ls t äp äu g e n st i p s k u p oundf o rd e n
p ä g e l d e n d ek a m p .
T e n d e n s l o d t r a k n i n gf e
on
r e t a g evse d ,a t m a ni e n k r u k k ea n b r i n g e3r2 k u g l e a
r ff o r s k e l l i g
farve(gul,rad og gran).Farvernehar folgendebetydning:
gul betyder1
rod belyder x
gran betyder2
F o r d e l i n g eanfg u l e ,r a d eo g gr a n n ek u g l e ir k r u k k e nb e s t e m m evse d ,a t m a nf o r h v e ra fd e
2 0 a v i s e ra n b r i n g eer n k u g l es v a r e n d et i l b l a d e t st i p s .
E n d v i d e raen b r i n g e sd e r4 g u l e ,4 r a d eo g 4 g r s n n ek u g l e ri k r u k k e n .
Tendenslodtrekningen
udforesved,at manpätilfeldigmädeudtageren kugleaf krukken.
Farvenpädenudtagnekugleanjiver da,hvilkettegnderskalstäpäugenstipskupon
udfor
den aflystekamp.
Skemaetnedenforviser,hvorledesde 20 aviserbedsmteudfaldetaf en tipskamp.
Tips: x
1 x
2
1 x
1 x
1 1 x
2
1 1 2
x x
1 1
Pä grundlagaf dissetips,skalder lavesen tendenslodtrakning
a ) H v o rm a n g eg u l e ,r a d eo g g r a n n ek u g l e rs k a ld e r a n b r i n g e is k r u k k e n
I4
1
b ) A n g i vs a n d s y n l i g h e dfeonr ,a t d e r v e d t e n d e n s l o d t r e k n i n gkeonm m e re t 1 - t a lu d f o r
d e n p ä g a l d e n d ek a m p .
c ) S a m m es p o r g s m äslo m b ) b l o tm e d x h h v .2 .
d) Hvorfornojesman ikke med at ladede 20 aviserstips vare afgarendefor udfaldetaf
tendenslodtrekningen?
s 2. KOMBTNATORTK
En spilleautomat (enarmet tyveknregt) indeholder tre hjul, hver
forsynet med 20 symboler. Fordelingen af symboler pä de tre hjul kan
f.eks. vrere som vist i tabellen nedenfor.
SYMBOL
hjul I
Appelsin
Blomme
Citron
Kirsebrer
Klokke
Streg
Ialt
E--l
ttÜ{l
i_el
L.
,l
F i g .2 . 1 .
ANTAL
hjul II
hjul III
3
5
3
7
I
I
5
I
I
7
3
3
6
5
4
I
3
T
20
20
20
Lad os undersoge,hvor mange forskellige stillinger hjulene kan standse
i, hvis visningen i ruderne skal vreresom pä fig. 2.I dvs.kirsebrer,klokke
og blomme.
Af tabellen ser vi, at hjul I i 7 stillinger vil vise kirsebrer, hjul II viser
klokke i 3 stillinger, og hjul III viser blomme i 5 stillinger.
For hver af de 7 stillinger, hvori hjul I viser kirsebrcr er der 3 stillinger,
hvori hjul II viser klokke. Der er säledes7 '3 - 21 stillin gerhvori hjulene
I og II viser kombinationen kirsebrer-klokke. For hver af disse er der 5
muligheder for at hjul III viser blomffi€, säledesat der ialt er (7 ' 3) ' 5 105 stillinger af hjulene, der giver visningen pä fig. 2.I i ruderne.
15
Pä sammemäde ser vi, at de 3 hjul ialt kan standsei20'20'20:
forskellige stillinger.
8000
Situationen ovenfor illustrerer anvendelsen af multiplikationsprincippet:
2.1.
När en valgsituation kan opdeles i to valg med henholdsvis n og m valgmuligheder, er det totale antal
valgmulighederlig med n'm
Multiplikationsprincippet er her formuleret for en valgsituation, der kan
opdeles i to delvalg. Som vi allerede har set kan det udvides til at omf atte
valgsituationer bestäende af flere delvalg.
Hvert enkelt spil pä en enarmet tyveknregtkan opfattes som et tilfreldigt
eksperiment. De 8000 mulige stop af hjulene er eksperimentetsudfald,
og hvert har sandsynligheden
P ( u ) 8000
-+
Sandsynlighedsfeltetknyttet til den enarmede tyvekn egtpä denne mäde
er altsä et symmetrisk sandsynlighedsfelt.
En bestemt visning i ruderne kan fremkomme ved flere forskellige
stillinger af hjulene, og mä derfor opfattes som en hrendelsei det symmetriske sandsynlighedsfelt.For eksempel er
2.2.
H-
{ulu:
(kirsebrer,klokke,blomme)}
en hrendelse,der indeholder 105 forskellige udfald, og derfor er
2.g.
P(H): ]l:
8000
j f . ( 1. B ) .
2.4. Avelse.
B e r e g ns a n d s y n l i g h e d e rfnoer h a n d e l s e r n e
Ht _ {u I u - (blomme,kirseber, citron)}
H2: {u lu - (streg,streg,sfreg)}
I6
Vi vil gennemgäendnuet par eksempler,hvor multiplikationsprincippet
anvendes.
Et fodboldholdbestär af.11spillere.Vi vil proveat beregneantalletaf
forskelligeholdopstillinger,en trrenerkan lave med IL spillere.
Starter vi ved venstre wing (ttt. II),
er der her 11 muligheder for at placere en spiller.
När denne plads er blevet besat, er
der 10 spillere at vrelge imellem til
plads nr. 10, d.v.s. plads LI og 10
kan ifolge multiplikationsprincipp et
besrettespä II'10 mäder.
@@@@o
Fig.2.2.
Fortsretter vi r&sonnementet, ser vi, at der af de lI
dannes
2.5.
spillere ialt kan
'l.L'10'
9 ' 8 ' 7 ' 6 ' 5 ' 4 ' 3 ' 2 ' 1 .- 3 9 9 1 6 , 8 0 0
holdopstillinger!
Et produkt af de hele talfran
og ned til 1,,d.v.s.
n ' ( n - 1 )' ( " - 2 ) '
' 4'3 '2' 1
eller >>n-udräbstegn(.
skrives kort n! - lres: >>n-fakultet<<
Vi definerer altsä
2.6.
n ! - n ' ( " - L ) ' ( n - Z ) '. . . ' 4 ' 3 ' 2 ' I
Med dennesprogbrugkan vi sige, ät der med 1-1 spillerekan laves 11!
Genereltgrelder, atn elementerkan anbrinforskelligeholdopstillinger.
ges i rrekkefolgepä n! forskelligemäder.
17
Tallen e n! vokser meget hurtigt, när ruvokser. Dette fremgär af nedenstäende tabel.
n!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
I
2
6
24
L20
720
5040
40320
362880
3628800
2.7. Ovelse.
Et händboldhold
bestäraf 7 spillere.Hvormangeforskellige
holdopstillinger
kanmanlave
af et hold?
Hvormangeholdopstillinger
kanmanlave,hvismankanvelge de 7 spilleref rit blandt10.
En fodboldtr&nerhar som regel flere end 11 spillereat vrelgeimellem,
när han skal lave holdopstilling.Vi vil prove at beregnehvor mange
forskellige holdopstillinger,der kan laves,när man har L7 spillere til
rädighed.
Betragtervi igen fig. 2.2 ser vi, at pladsrlr. LL da kan besrttes pä 17
mäder,pladsnr. 10kan dernrestbesrettes
pä 16 mäder,osv.AntalletH af.
forskelligeholdopstillingerbliver derfor
H - 1 7. 1 6 .L 5 .L 4 .. . . . 9 . 9 . 7
'1-.7
Tallet minder en del om tallet !, jt. (2.6). Sammenhrengen
mellemFI
og L7I kommer tydeligerefrem ved en omskrivnitrg
18
H - L 7 . 1 6 . 1 15 4. .. . . . 9 . 9 . 7
2.9.
_ T7T
6!
I stedet for antallet af holdopstillinger kan man vrere interesseret i blot at
bestemme antallet afforskellige hold (gr.rpper pä 11 personer), der kan
udtagesaf de 17 spillere, der er til rädighed. Dette antal kan vi bestemme
udfra (2.8). Lad os benytte betegnelsenK for antallet af forskellige hold.
Hver gang vi har et hold, kan de 11 spillere opstilles pä 11 ! forsketlige
mäder, jf. (2.5). Vi kan derfor beregne det samlede antal holdopstillinger pä en anden mäde, end vi gjorde i (2.8), nemlig som
H - K.11!
Ved sammenligningmed (2.8) finder vi da, at
2.g.
K--U-
6!.ILT
Da 6 - 17
2.10.
II ser vi, at (2.9) ogsäkan skrivespä formen
K _
T7T
(r7-rr) ! . 11!
Indfsrer vi betegnelsen en n-mengde for en mengde me d n-elementer
kan vi sige, at (2.10) angiver hvor mange forskellige 1l-detmrengder der
er i en L7 -mnngde. Tallet K i (2.10) betegnesnormalt med K17,1r,da det
udtrykker antallet af. 1l-delmrengder af en 17-mnngde, dvs.
Kn Jr
17T
(r7-rr) ! . 11!
Ovenstäendelader sig let generaliseretil:
2.11.
Antallet af forskellige q-delmrengder af.enn-mrengde
er
Kr,n
Sretter man q - 0 eller q - n i (2.1I) fär man symbolet0! i brokens
2*
t9
nrevner.Tillregger man 0 ! vrrdien 1, bliv er (2.1 1) ogsä korrekt for e : 0
og for q - n.
I det folgende vil tallene Kn,n blive omtalt som binomialkoefficienter.
Der findes tabeller over Kn,q.Af pladshensynangiver man ikke altid Kr,n
for alle vrerdier af q.Yed brug af tabellen kan man da benytte, at der
grelder
2.12.
Kn,n : Kn,n-q
(2.I2) indses ved direkte udregning:
Kn,n-n
n!
("-q)I' ("-("-q))I
:
Kn,q
2.13.Ovelse.
F i n de n t e nv e d b e r e g n i n e
g l l e ro p s l a gi e n t a b e lt a l l e n eK t s . eo g K t s , z
Multiplikationsprincippet og formlen for Kr,n kan anvendes til beregning af antallet af valgmuligheder i mere komplicerede tilfrelde.
En krukke indeholder 10 kugler,
hvoraf 4 er sorte og 6 er hvide. Et
eksperiment gär ud pä at tage en
händfuld med 3 kugler op af krukken, og se pä farvesammensretningen.
Hvis kuglernebortsetfra farve isvrigt er ens, kan vi gä ud fra, zt enhver kombination af 3 kugler har
samme sandsynlighedfor at blive
Fig. 2.3.
udtaget. Vi kan med andre ord betragte sandsynlighedsfeltet knyttet til
eksperimentet som et symmetrisk sandsynlighedsfelt. Et udfald er en
delmrengde pä 3 kugler, säledes at udfaldsrummet kan karakteriseres
som 3-delmrengderneaf en 1O-mrengde.Antallet af mulige udfald er da
ifolge (2.11)
Krc3- L20
20
Sandsynligheden for et udfald z bliver
L
P (") : 120
Lad os betragtehrendelserne
H3:
Hz:
{ u l u b e s t ä ra f . 3s o r t e k u g l e r }
{u I u bestäraf 2 sorteog I hvid}
P(H) og P(H).
Vi vil beregnesandsynlighederne
Hertil har vi brug for at kendeantalletaf udfald i hver af de to hrendelser
(antal gunstigeudfald).
H.,hvis alle kuglerneer sorte.Da der ialt
Et udfald tilhsrer hrendelsen
er 4 sortekugleri krukkenkan vi udtage3af dem PäK+,t 4 mäder.Der
H z, d.v.s.
er säledes4 gunstigeudfald for hrendelsen
P(Hz) -
{-o't :L
I20
Kro3
Et udfald tl\hsrer Hzsäfremt2kugler er sorteog 1 er hvid. Da vi af de 4
sortekugler i krukken kan udtage2 pä K4,zmäder,og af de 6 hvide kan
udtage 1 pä K6,1mäder, folger det af multiplikationsprincippet,at 2
sorteog t hvid i.an udtagespä ialt K+,2'K6,1: 36 mäder.Heraf folger
da, at
P(H)
W-36
2.14. Avelse.
udtages
10 kugler,hvoraf3 er rade,restenblä.Ved et eksperiment
En krukkeindeholder
handelser:
for hveraf nedenstäende
en händfuldpätre kugler.Beregnsandsynligheden
Ho:
Ht:
H2:
Hs:
{u
{u
{u
{u
u
u
u
u
i n d e h o l d e0r r o d e )
indeholder1 radj
2 rade\
indeholder
i n d e h o l d e3r r a d e \
e re d e t s t o l p e d i a g r a m :
l l l u s t r 6dr e f u n d n es a n d s y n l i g h e dm
2T
l]l
,
I l : :
l
!
t f 1 1 l
' ! | i it I
illl.l
l
i
:
r
r
f
i
1
J
i
l
r$n'sfliir
:lflIlr
::llT:r'1
: l r ' 1 : ' l
iliitrl',
i i i l l r i l -#
ll l r i l
: 1 " ! i
t + : - i l r ; l t
' 1 1 ' i f i i r
illii,.;'
7'.l*
lf ii
: : i ' f ' : r
: i 1 : i ' l :
ii i i t:i
:
l : i , l ' :
: ' ! t r l i i i
ffi
l : 1 l l ' i :
i l f : i ,l l : 1:r
1;:[1:rl
tisi
ill:J.,
+
?t+
r}-i r'*
i t r : t t i i :
:--4.1t i . t ,
{ ' . : . i L ; : ; + _ . 1 , t . . - t r r , . l r . :
I
f 1 , i
, i , + : l i
I
I
'
' l
'
I : : I
I I : l l . i
I
; , : 1 :
;J
r ' J ; i' i
,li tl ;
:
i
l i i r l ' i i i
r . t ; ! t t , t l
't-+i
r
i
i l i . r i . ' +
i i l r i + i : l
: i l i i i l i l
I ' l t t
f
t
I
l
r
,
r
i
'
1
'
ii:i
i i i i i jn
1
i
'
t
:
i
t
:
iirlt
'
r .1....Ii-_lT:;.-
I
:
r
I , I
1
;
|
_
l
r
: i : l ; t J: ,
'
i
i
t . - r 1 L r . t
:
l
1
]
t
r
:,i:li:r:
;;iili+-i
iiirl' fl.
" " - l r : 1 r
.ii,iir:l
:-:.ll i ;.1.:.ir.i;;iii
t : " , ' t J '
l
,
'ri-lt-+i
't:fü
[Tl11.'fii,t
:iiliii,:
j
i riilii
r ;: i{:ll:
--!n;+-+'.i
: i t ' r ' .
r
,
,
l
l
i
f
I
r , , l
: . - . . , f + : - + .
r
l
l
,
,
i
i i ' i l : , 1 : j t i . i ; . : . ; . J l + - . : - rI ; i , ; ,
i : i , - l : : ! 1 . . : l : i :
j , : l : . . ; ;t " 1 r :
't-:
:1, i:-J;:l
1 ,,
l r i , . i ' , , l l l
T ' 1 t , , l '
l r i r t r r l t
i i : i r : r l
r t i i t l . ' i
,::Jl;,1
alif-r
,jii,i;i
:.;f'#
iril'.ir
i.
a*\atrQ
rl
1 " 1
Fig. 2.4.
2.15.Ovelse.
En granthandler
modtagerappelsiner
i kassermed 30 stk. Far hanstillerkassenind i
butikkenplejerhanat pakke4 appelsiner
udaf papiretog se efterom de er i orden.Hvishan
finderen ellerfleredärligeappelsiner
blandtdisse4 gärhan hele kassenigennemog
smiderde därligevek fsr kassenkommerind i butikken.
H v a de r s a n d s y n l i g h e d e
f onr , a t e n k a s s em e d 5 d ä r l i g ea p p e l s i n eirs l i p p e rg e n n e m
gronthandlerens
kontrol?
S a m m es p o r g s m äf lo r e n k a s s e d
, e r k u n i n d e h o l d e2r d ä r l i g ea p p e l s i n e r .
s 3. BTNOMTALFORDELTNG
I starten af $2 betragtede vi en spilleautomat. Vi kan opfatte spillet pä
denne som tre tllfnldige eksperimenter, der udfore s uffiengigt af hinanden:
1. eksperiment: hjul I srettesi gang og stopper
2. eksperiment: hjul II srettesi gang og stopper
3. eksperiment: hjul III srettesi gang og stopper
Lad os betragte folgende hrendelser, horende til hver sit af disse tre
eksperimenter:
H i hjul I viser kirsebrer
Hz: hjul II viserklokke
H z: hjul III viser blomme
22
for dissehrendelserer fif. tabellenside 15):
Sandsynligheden
P(Ht):*
P(Hz):*
P(Hz)-5
20
Den hrendelseFI, vi betragtedei (2.2) kan karakteriseressomhrendel'
sesforlgbet
H - (H rflzlIz)
Vi fandt i (2.3), at sandsynligheden for H var
105
P\H)- 8ffi-
3.1,
For at finde denne sandsynlighed benyttede vi multiplikationsprincippet. Antallet af"mulige udfald er 20'20'20 - 8000, og antallet af
gunstige udfald er 7'3'5 - 105. Skriver vi i (3.1) hvordan broken
faktisk er fremkommet, finder vi
P(H)
7.3.5 : -7 3 5
20.20.20 20 20 n
- P(H) .P(H) .P(Hz)
Sandsynligheden for H kan altsä bestemmes ved at multiplicere sandsynlighederne for H 1,Hz oEH z. Dette er noget, der greldergenerelt, när
. man udforer flere tilfreldige eksperimenter uaftrrengigt af hinanden:
3.2.
När en rrekke tilfreldige eksperimenter udfores uafhrengigt af hinanden, kan sandsynligheden for et bestemt hrendelsesforlsb findes ved at multiplicere
sandsynlighederne for de enkelte hrendelser.
3.3. Ovelse.
I et spil kastesforsten terning,dernest en mont.
for, at terningenviser5 eller6 og montenviserkrone?
Hvader sandsynligheden
Ovenfor har vi betragtet situationer, hvor forskellige eksperimenter
udfores efter hinanden.(3.2) kan naturligvisogsäbenyttes,när eksperimenterne er ens. I resten af.denne paragraf.skal vi udelukkende
benytte (3.2) i situationer,hvor sammetilfrldige eksperimentudfores
gentagnegange.
23
3.4. Eksempel.
Lad os betragte kast med en terning. Lad
H i terningen viser 6
Hz: terningen viser ulige.
Der grelder äbenbart PQI)
- Ll6
og
PQI)
- Il2.
Vi kaster 2 gange med terningen. Sandsynligheden for hrendelsesforlsbet H- (Ht,Hz) er da
P(H) :
1_ 1
ä 2 1 2
Med andreord, sandsynligheden
for at terningenviser 6 i forste kast og
"l.lLz.
et ulige antal ojne i andet kast er
3.5. Ovelse.
I startenaf et spilLUDOskalmansläen sekser(ellerglobus)forat fä lovatflytteen brikud.
T i l a t b e g y n d em e d h a rm a nt r e s l a gi h v e r r u n d e ,i n d t i lm a n h a rf ä e ts i n f o r s t eb r i ku d .
Hvader sandsynligheden
for at en bestemtspillerikkefär nogenbrik ud ispilletsfsrste
r un d e ?
Hvader sandsynligheden
for at spillerenikkefär nogenbrik ud de fo forsterunder?
I den situatior,vi betragtedei ovelse3.5 er det naturligtat omtaledet at
slä en seksersomheld, og det, dt slä L,2,3,4 eller5 somuheld.Vi skal i
det folgendebeskreftigeos mere med tilsvarendesituationer,hvor udfaldsrummeter opdelt i to hrendelserH og H, kaldet held og uheld.
Indfsrer vi betegnelsenpfor P (H) fär vi, da H og H er komplementrere
hrendelser, at
3.6.
p - P(H)
os
I-p-P(H)
Baggrundenfor det folgendeer altsä et eller andet tilfreldigt eksperiment, hvor vi specielter interessereti en bestemthrendelse
H - held og
denneskomplementnrehrendelse
11 - uheld.Vi skal beskreftigeos med
gentagneudforelseraf dette eksperiment,og det vi stiler mod er atblive i
standtil at besvaresporgsmälsomf.eks.hvad sandsynligheden
er for at
vrereheldig mindst 5 gange,hvis eksperimentetudfores L0 gangeefter
hinanden.
24
3.7. Avelse.
V e ds p i lp äe n r o u l e t teer u d f a l d s r u m m e t t a l m a n gUd e- n
{ 0 , 1 , 2 , g.,. . , 3 5 , 3 6.}E ns p i l l e r
satser10 gangei trak pä tallet19.
a ) H v a de r s a n d s y n l i g h e d feonr a t h a ne r u h e l d i gh v e rg a n g ?
b ) H v a de r s a n d s y n l i g h e dfeonr a t h a ne r h e l d i gi f o r s t es p i lo g u h e l d i gi d e 9 a n d r e .
c) Hvader sandsynligheden
for at han er heldignetopen gang ud af de 'l0.
Som eksempel pä gentagne udforelser af et tilfreldigt eksperiment vil vi
se pä udfyldning af en tipskupon. Vi ant ager at udfyldningen sker pä
tilfreldig mäde, altsä uden kendskab til hvor gode de enkelte hold er.
Sandsynligheden for at en bestemt kamp tippes rigtigt er da I13.
Tipning af en rrekke (13 kampe) sker ved 13 udforelser af samme
tilfreldige eksperiment tipning af en enkelt kamp.
Hrendelserne held og uheld er
H : kampen tippes rigtigt
H : kampen tippes forkert
og sandsynligheden
for dissehrendelserer
P(H) _ 1
3
P(H) :
')
/J
.t
J
Det interessante set ud fra tipperens synspunkt er antallet af rigtige
kampe i en rrekke, d.v.s. antal gange hrendelsenH forekommer. Som en
kort betegnelsefor dette antal vil vi benytte bogstavetX. Skriver vi f.eks.
X - 7 , mener vi at antallet af rigtigt tippede kampe (antal held) er 7 .
Begrundelsen for at indfore denne notation er bl.a. , zt vi sä fär en
kortfattet skrivemäde for sandsynligheder:
3.9.
P(X-0) P(X-1) -
sandsynligheden
for 0 rigtige kampe
sandsynligheden
for I rigtig kamp
P(X - 13)-
sandsynligheden
for 13 rigtige kampe
Vi vil prove at bestemme dissesandsynligheder,og starter med sandsynligheden P(X _ 0).
HvisX - 0 er allekampetippet forkert, d.v.s.hrendelsen
H forekommer
13 gange.Da P(tr) :
fär
(3.2),
vi
iflg.
zt
?
P(X:O)_
z3 . 3z .3z .3z .3 z .3 23. z3. z3. z3. z3 . z3 . z . 3z - (\ z3 \ r/ 3
25
med
Vi forsrettermed X - I . D e r er 13 forskelligehrendelsesforlsb
netop I rigtigt tippet kamp (1 gangeH og 12 gange0,
(H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, n, U, n1
(H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, rt, n, n7
(H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, n)
Sandsynligheden for hvert af disse hrendelsesforlsb er
+ (?)"
sä alt i alt fär vi
P(x-r) - 1 3 ' + (?)"
De resterende 12 sandsynligheder kan i princippet findes pä samme
mäde som vi fandtP(X-l).
Det er imidlertid etmojsommeligt arbejde
at opskrive alle de mulige hrendelsesforlsb; lad os se, om vi ikke kan
slippe lidt nemmere om ved det.
3.9.
(H fl ,N,H,H,H,H,H,H,H,H,H,H)
QI,H,H,H,H,H,H,H II,H,H,H,N1
(H,H,n fl ,U,H,H,H,H,H fl ,H,H)
I (3.9) er vist tre forskellige hrendelsesforlsbsvarende til X - 2.DaH
forekommer 2 gange og H II gange, er sandsynligheden for hvert af
disse lig med
(+)'(?)"
For at bestemme den samlede sandsynlighedP (X : 2) Skal vi regne ud,
hvor mange forskellige hrendelsesforlob,der svarer tll X - 2.
Et sädant hrendelsesforlsbfremkommer ved, at vi i et skema som (3.9)
udvrelger 2 pladser af de 13 og skriver H her. Pä de resterende 1 1 pladser
skrives F1. Af (2.1L) tolger, at dette valg kan foretages pä Kn,2 forskellige mäder. Der findes altsä Kr3,zforskellige hrendelsesforlsbsvarende
tll X - 2, og vi fär derfor
P(x: z): Kr3,2.
(+)'. (?)'1- 78-(+)'. (?)"
26
Ved at argumentere pä tilsvarende mäde kan man finde de ovrige
sandsynligheder. Det samlede resultat bliver
P( X - 0 ) : K r3 ,o(+)' '(? )"
P ( X - 1 ) : K r 3 , r( + ) t ( ? ) "
' (+)' '(?)"
P(X - 2) : K"!.3,2
P(X : 3) : Kr3,3(+)' (?)to
P ( X - 4 ) : K r3 ,4(+)- '(? )n
P(x - s) : Kr3,s(+)t (3)t
P(X : 6) : Kr3,6(+)t (?)'
P(X : 7) : Kr3,7(+)t (?)'
P(x : s) : Kr3,8(+)t (3)t
P(X : 9) : Kr3,s(+)t (?)^
P ( X _ 1 0 ): K L 3 ,1(+)to
''
'(? )t
P ( X - 1 1 ): K r 3 , j r( '+ ) t t ' ( ? ) '
P ( X - L Z): K r3 ,1(+)t''(?
.z'
)t
P( X : 1 3): K r3 ,r3
'
(+)t''(?
)'
Generelt kan vi skrive sandsynlighedenfo, j rigtige:
3.10.
P(X - j) :
K13,i-
(+)'( ? ) " '
Tallene kan beregnes ved hjrelp af regnemaskine og en tabel over binomialkoefticienterne Ktt,j. Resultatet af beregningen er vist med stolpediagrammet pä fig. 3.L.
27
Sandsynlighedsfeltet knyttet til udfyldningen af tipskuponen som beskrevet i (3.10) er et eksempel pä en säkaldt binomialfordeling.
Binomialfordelingen angiver sandsynlighedernefor forekomsten af en
bestemt hrendelse- primrerhrendelsen- ved et antal udfsrelser af det
pägreldendeeksperiment.
Definitionen pä en binomialfordeling er
3.11.
Ved en binomialfordeling af-lrengde n og med primßrsandsynlighed p forstäs et sandsynlighedsfelt
(U,Pr), hvor
U n - { 0 , 1, 2 , 3 ). . . . . ,n }
og hvor
P " ( X - i ) - K n , j ' p i ' ( 1 - p ) " - i , j - 0 , 1 , , 2 ,. . . . . . ,n
Tallet P r(X - j) angiver sandsynlighedenfor, at primrerhrendelsenvil
forekomme j gange ved n gentagne udfsrelser af eksperimentet.
3.12. Eksempel.
Vi betragter 10 kast med en ternirg, og vil finde sandsynlighedenfor, at
hrendelsen
H: at slä en sekser
forekommer 4 gange.
28
Sandsynlighedernefor forekomsten af seksere er binomialfordelt med
lnngde n _ 10 og primrersandsynlighedp - I I 6.
Sandsynlighedenfor 4 seksereer derfor iflg. (3.11)
prc(x - 4) : Kr0,4
(ä)'
(ä)u : zr0 (ä).
'
t
(;)u: 0,0s42
1
3 . 1 3 .O v e l s e .
B e r e g ns a n d s y n l i g h e d feonr v e d 1 0 k a s tm e d e n m o n ta t f ä 4 k r o n e .
Som vi har set kan sandsynlighedernei en binomialfordeling beregnes
udfra lrengden n og primrersandsynligheden p.
Der er imidlertid ogsä udarbejdet tabeller over binomialfordelingerne.
Heri er normalt ikke angivet Pr(X - j), men derimod de kumulerede
sandsynlighederP"(X =i), dvs. sandsynlighedernefor, at primrerhrendelserne forekomm er hojst j gange ved n udfsrelser af eksperimentet.
Eksempelvis er säledes
P,(X=4): P,(X:0) + P,(X:l) + P,(X-z) * P,Q{-3) + P,6:4)
For n - 7 og p - 0,5 finder man i en tabel, at
P7(X=4)-0,7734
Pr6 S 3) - 0,5000
Heraf kan P t6
- 4) findes,idet
PilX-4) : Pt6=4) - P76=3)-
0 , 7 7 3 4 0 , 5 0 0 0- 0 , 2 7 3 4
3.14.@velse.
F i n dv e d b r u ga f e n t a b e lo v e rb i n o m i a l f o r d e l i n gf le:n 8 o g p : 1 / 3 s a n d s y n l i g h e d e r n e
P a V= 4 ) ,
p a ( X= 3 ) ,
p a ( X= 1 ) ,
*
*
*
*
p a ( X- 4 ) ,
P a ( 1< X = 4 )
*
29
0
1
2
3
4
5
6
7
Pt(X = i)
Pt(x - j)
0,0078
0,0625
0,2266
0,5000
0,7734
0 , 9 3 75
0,9922
1,0000
0,0078
0,0547
O,T64I
0,2734
0,2734
O,T64I
0,0547
0,0078
Tabellen ovenfor angiver binomialfordelingen svarende tIl n - 7 og
P - 0,5'
Vi har tidligere illustreret sandsynlighedsfordelinger ved at tegne et
stolpediagram. Tilsvarende kan de kumulerede sandsynligheder illustreres ved at man tegner et trappediagram. Tabellen ovenfor er illustreret pä fig. 3 .2.
Fig. 3.2.
3.15.Ovelse.
for 0 seksere,1 sekser,
En symmetrisk
terningkastes5 gange.Findsandsynlighederne
2 seksere,
., 5 seksere.
l l l u s t r edr e f u n d n es a n d s y n l i g h e dm
e re d e t s t o l p e d i a g r a m .
l l l u s t r edr e k u m u l e r e dsea n d s y n l i g h e dm
e re d e t t r a p p e d i a g r a m .
30
Vi vil afslutte denne paragraf med at indfsre en storrelse, der kaldes
middelvrerdien for en binomialfordeling.
3.16 Eksempel.
Ved kast med en symmetriskmont
betragteshrendelsen
H: msnten viser krone
Sä er P(H) - 1lz, ogvi kan beregne
sandsynlighederne for, at krone
forekommer 0,I,2 eller 3 gangei en
serie pä 3 kast ved hjrelp af (3.11)
med p - 7lz og n - 5. Lader vi X
betegne antal krone fär vi
t),
5'r
(+)'
(+)'
(+)'
(+)'
_ 1
8
P(X-0)P(X-1)-3
- 3
8
- 3
8
P(X-2)-3
- 1
8
P(X-3)-
Lad os trenkeos,at vi foretager100 udforelseraf eksperimentet>3 kast
med en msnt<<.
Resultaternekan trenkesopskreveti et skema:
eksperimentnr.
udfald
antal krone
pl
kr
pl
kr
I
2
0
2
1
2
3
4
kr
kr
pl
pl
100
pl pl kr
pl
pl
pl
kr
Observationssrettetbestäendeaf tallene i hojre kolonne kan vi behandle
som vi tidligere har set (Matematik I, kap I), og f.eks. bestemme
hyppighed og frekvens. Lad os forestille os, at fordelingen blev:
3r
observation x
(antal krone)
hyppighed
0
I
2
3
n
37
40
12
frekvens "f
0,11
0,37
0,40
0,r2
tt,
i
Vi kan nu beregne observationssrettetsmiddeltal (det gennemsnitlige
antal krone). Middeltallet bliver, jf Matematik I side 14:
Z * ' f - 0 ' 0 , 1 1+ I ' 0 , 3 7+ 2 ' 0 , 4 0+ 3 ' 0 , 1 2 - 1 , 5 3
De frekvenser, der indgär i udtrykket her, mä v&re omtrent lig med de
sandsynligheder,vi har beregnet i eksempel 3.16. F.eks. er sandsynligheden for hrendelsen>>2kroneu lig med den forventede frekvens af >2
krone<<ved et stort antal udforelser af eksperimentet. Vi kan säledes,
inden vi overhovedet giver os til at udfore eksperimentet >3 kast med en
mont<<, pä forhänd beregne det gennemsnitlige antal krone vi vil forvente. Benytter vi tallene i eksempel 3.16 finder vi dette tal til
0 . P z ( X : O+
) l . P E ( x : I ) + 2 ' P z ( X : 2 )+ 3 ' P z ( X : 3 )
:oä*1;.2;.3
*:#:r,so
Vi bemrerker, at dette forventede middeltal kan beregnes alene udfra
kendskab til hvilken binomialfordeling, man har med at gorc i den
aktuelle situation.
Pä baggrund af dette vil vi indfore et tal, der kaldes middelvrerdien af en
binomialfordeling :
3.17.
Ved middelvrerdien for en binomialfordeling af lrengde n, forstäs tallet p givet ved
s
LL: ^a j'P"(X -/)
i:0
- 0 'P,Qf -0)+ I'P,(X:1)+
. . .*n'Pn(X -n)
Her er talle ne P n6 -j) de sandsynligheder,der hsrer
til den pägreldende binomialfordeling, jf. definition
3.LI.
32
udtages da 6n ad gangen, undersogesog lreggestilbage igen (hvad enten
de er >gode< eller >därligeu).Ved denne metode er der altsä mulighed
for, at samme enhed udtages flere gange.
Vi vil i det folgende udelukkende behandle stikproveudtagning med
tilbagelregning. I praksis benyttes stikprovekontrol ved kontrol af en
meget stor mrengde enheder ved hjrelp af en forholdsvis lille stikprove.
Sammensretningenaf den store mrengdevil derfor ikke rendresvresentligt ved at man udtager stikproven, og vi kan derfor sige, at en stikprove
vil vrere lige >reprresentativ<<
hvad enten den udtages med eller uden
tilbagelregning.Begrundelsen for, at vi netop vrelger at se pä stikpraveudtagnittg med tilbagelregninEer, at man her kan benytte binomialfordelingen til at beskrive stikprovens sammensretnitrg.
Vi vil starte med at se pä et vareparti, hvor vi pä forhänd ved, at 20"/" af
enhederne er defekte, og 80"/" er fejlfri. Vi udtager med tilbagelregning
en stikprove pä 10 enheder.
Vi vil i forste omgang bestemme sandsynlighedsfordelingen for antallet
af defekte enheder i stikproven. Lader vi X betegne antallet af defekte
enheder i stikproven, onsker vi altsä at bestemme folgende sandsynligheder:
P6:o)
P(x-- 1)
sandsynlighed for 0 defekte
sandsynlighed for I defekt
P(i-10)
- sandsynlighed
for 10 defekte
For at bestemme sandsynlighedernefor ovenstäende hrndelser, ser vi
forst pä det tilfreldige eksperiment, der bestär i at udtage ön enhed af
varepartiet. Dette eksperiment har kun to udfald, U - {d,f} , hvor d >defektu og f - >fejlfri(. Af forudsretningen om varepartiet folger, at
P(d) - 0,20
P(f) - o,Bo
At udtage en stikprove pä 10 enheder er det samme som atudfsre dette
eksperiment 10 gange. Vi er interesseret i at finde ud af hvor mange
gange ud af de 10 udfaldet >>d<<
forekommer. Af resultaterne i $3 folger,
at dette antal er binomialfordelt med primrersandsynlighedenp: 0,20.
SandsynlighederneP(X - i), 0 = j
4.1.
P(X - /) : Kro,1'0,20i' 0,8010-i
Ved beregnittg eller brug af tabel kan sandsynlighederne bestemmes.
Nedenstäende stolpediagram viser den sogte sandsynlighedsfordeling.
34
s€
*t
ue{
eleq e}{eJ ep "/"02 uro ueEuru}sspnroJ e4pfl 'repoque
toruBdere^
I
e]>leJep erefl relle
reploqepq rep 'etvotd{l}s ue re8elpn ueru spq
9
'EIs eplotlroJ
'nu Jo
lelgulsErodg
IB>ls>luellorluo>l(( ruos ueru uepro^q
'uo^otd4r1s r repeque el{eJep erelJ
relle
9
's{o'J
EJw roJ eurepeqEquÄspuesperu leuErlueruruesrols re ue^ord>1r1s
1
repeque el{eJop relle
roJ uepeqEquÄspues
1e'gsEoep rgSuler;
€
z'IvIß
'rapeque e]>loJep 'er ren repeque
I'V'ETJJV
Z
0I Je epueglseqenordlrls
ue I Jep 1e 'e1ue^JoJrA ollr^ Jopeque el>leJap"/"02 rel Jep Jo^q 'ro;ueno
'1eEe1pnJe ue,tstd{l}s
'ap8uetu uop r ruos oru{ues
leldures{a I
JeJoAq
lep luerltuo re uettstd{lls I repeque l4lfay Eo oDIeJapuloileru ]eplorlroJ
'ueur raluenroJ enordryls ue reEelpn epgtu
ElptsJgl gd uuru rgN
le
'Outu0ele6eqn
uepnsaOelpnnu uonordlrlslopt 'one0dooruues sol
'uenordltls
I
ollolop
leluerol ue0urlep
'loporluo
-rolspeL1OO0tluÄspues 'uerOerped;o1s
rost^
lop
g
u0e1
pd
enoßltls
uo 6uru0e1
1e
-e6eq1t1
potuse6elpnJoC'oDlalop)o o/oOlop lero^r1'ropoquo0t Joplorlopur
rpedole1ll
'esle^o'z'l
Z - 0 Z ' 0 . 0 I- d u - r l
re SurleproJlenuoulq
epenÄuequep roJ
'usEorep repleE
uerpr************************************************************************************
l3
1fur1'repeque el{eJep z reppqepul
uensrd{l}s te'roJ poqS[ur(spues
lsrols re rap te'rgEuler; 'TV'3g JV
'I't '8tc
: I l:-1-l
'
"
i
'
'
:
:
,
'
I '
1
l : ; i l .
,:-: i:
; l : . 1 ;
i :- '-j I
r-:-i-r*
l;,ll
:-5;
ri:ii
. i , . 1 ,
vi i en tabel finde sandsynlighedenfor at finde 6 eller flere defekte r en
stikprove pä 10 enheder:
P(X = 6) - I
0,9936-
0,0064 - 0,64"/o
F{vis varepartiet indeholder 20% defekte enheder, er der altsä meget
lille sandsynlighedfor atfä 6 defekte (eller flere) i en stikprove pä 10.
Fär man sä mange defekte i en stikprove, er der nok grund til at tvivle pä.
at selve varepartiet kun indeholder 20% defekte enheder.
Vi vil nu i et eksempel vise, hvorledes man kan brere sig ad med at
vurdere resultatet af en stikprovekontrol.
har
Lad os forestille os et politisk parti X, som ved et foregäende val._e
fäet 30% af stemmerne. Gennem en stikprave (opinionsundersogelse)
onsker man at finde ud af om partiet stadigvrekhar den samme tilslutning blandt vrelgerne.
Matematisk siger man, at man fremsretter hypotesen
Hoi X-vnlgertilslutningen er 30%
og man onsker attestehypotesenH oved en stikprove, d.v.s.ved at sporge
en rrekke tilfreldigt udvalgte personer, om de stemmer pä partiet X.
Pä grundlag af en sädanstikprove kan man naturligvis ikke med sikkerhed af.gareom H o er sandeller falsk. Som resultat af stikprovekontrollen
kan man anfsre en af fslsende konklusioner:
a) hypotesen FI, mä forkastes
b) hypotesenH o kan ikke forkastes pä det foreliggende grundlag
Man mä desudenpä en eller anden mäde beskrive. hvor sikker man er
pä, at den anfwte konklusion er korrekt.
I vort eksempelvrelgervi stikprovens stsrrelse til 50. Hvis hypotesenF1,
er sand,forventervi da, atca.0,30'50 : 15 af de adspurgtepersonerer
X-vnlgere. Af tabellen over binomialfordelingen med lrengde 50 og
primrersandsynlighed0,30 ser vi, at sandsynlighedsfordelingenfor antal
X-vnlsere i stikpraven er som vist pä fig. 4.2.
36
Fig.4.2.
For vi kan gä igang med at udt age stikproven, mä vi fastlregge under
hvilke omstrendighedervi vil forkaste hypotesen Ho. Vi mä med andre
ord pä forhänd gweos klart, hvor stor en afvigelse fra de forventede 15
X-vnlsere i stikpraven vi kan acceptere.
Lad os ogsäbenytt e X som betegnelsefor antallet af.X -vrelgerei stikproven. Vi kan da f.eks. vrelge folgende kriterium for at forkaste hypotesen
Hoi
Hn forkastes, hvis X = 13 eller X > 17
4.3
s4=X=16
H o forkastes i k k e , h v i 1
Testen kan illustreres ved hjrelpaf en tallinie:
H o forkastes
Ho forkastes ikke
}'*"
Ho forkastes
'
0 r 2 1 3 L 4 l 5 L 6 L 7 1 8
49 50
MrengdenA _ {I4, 15, 16} kaldes da acceptmrengden og K -
{0,r,
. . .,50) kaldes forkastningsmrengden
eller den kritiske m6engde.
Lad os nu undersage om vi med kriteriet (4.3) har fastlagt en >rimelig<
test.
När man tester en hypotese ved stikproveudtagning er der to fejlmuligheder:
3l
4.4.
Fejl af 1. art: Hypotesen er sand, men forkastes pä
grundlag af stikproyens resultat.
Feil af 2. art: HyRotesen erfalsk, men forkastes ikke
pä grundlag af stikprovens resultat.
Lad os bestemme sandsynlighedenfor fejl af I. art, hvis testen fastlregges
udfra kriteri et (4.3). Vi ant ageraltsä,at H o er sand,og onsker at beregne
sandsynligheden for, at antallet af X-vrelgere i stikpraven tllhsrer den
k r i t i s k em & n g d eK - { 0 , I , 2 , . . . . . , 1 3 } U { I 7 , 1 8 , . . . , 5 0 } .
Af en tabel over binomialfordelingen (n- 50,p - 0,30) fäs
P(X=13)-32,79%
P(X
og dermed, at sandsynlighedenfor fejl af I. arter 32,79"/" + 3 L,6Io/o _
64,40"h.Der er säledesen overvejende sandsynlighedfor, at en udfsrt
test vrl fsre til, at hypotesen forkastes. Man vil normalt ikke sige, at en
test er >rimelig.., hvis sandsynlighedenfor fejl af 1. art er sä stor.
4.5. Ovelse.
Bestemsandsynligheden
for fejl at 1. art ved folgendevalgaf acceptmengd
e A'.
A _ { 1 3 ,1 4 , 1 5 1, 6 ,1 7 }
A - - { 11, 1 2 , 1 3 , 1 4 , 165, 1
, 17 ,g1, 1 g }
Man fastlreggernormalt acceptmrengdenfor en test ved pä forhänd at
vedtage,hvor stor en sandsynlighedfor fejl af I. artman vil tillade. Dette
tal kalder man testenssignffikansniveau.Signifikansniveauetvrelgessom
regel fra I - I0%.
Istedet for at benytte (4.3) vil vi prove atfinde den acceptmrengde,der
svarer til signffikansniveau 5 % .
P = 2112"/"
0
P > g5y"
1
P< 2112"/"
49 50
X
Man fordeler de 5% pä2tlz"/" til venstre del og 21lz% tllhojre del af den
kritiske mrengde.Det er underforstäet,at den kritiske mrengdeskal vrere
sä stor som mulig. Ved opslag i en tabel over binomialfordelingen (re_
50, p - 0,30) finder man, at acceptmrengdensvarende til signifikansniveau 5% bliver
A - {9,10,
38
., 20,2r,22\
idet
P(X= 8)- I,83"/",
P (X>23)-
I,23"/"
Finderman ved en stikprovef.ex. II X-vrelgere,bliver konklusionenaf
5% .
testen, ät hypotesenH o ikke kan forkastespä signifikansniveau
4.6. Ovelse.
B e s t e m a c c e p t m a n g d e n s v a r e n d et i l s i g n i f i k a n s n i v e aeuI 1 o / oo g 10 % .
4.7. Qlvelse.
I begyndelsen
af detteafsnitsä vi pä et vareparti,
hvor man regnedemed, at 20o/oaf
enhedernevar defekte.
I forbindelsemed en kontrolkunnemantestehypotesen
Hot 20% af enhederneer defekte
pä signifikansniveau
10%.
Bestemacceptmengden
hvisstikprovens
storrelse
er 10 og hvisstikprovens
storrelse
er
50.
til et
Hvorstoreafvigelser
frade opgivne20% accepterer
man?(omskrivacceptmangden
procentinterval
i hvertaf de to tilfalde).
Ved den opinionsundersogelse,vi beskrev ovenfor, fandt vi at acceptmrengden svarende til signifikansniveau 5% blev
A - {9,I0,.. ., 22}
Ved testen vil vi säledesikke kunne forkaste hypotesen, säfremt vi finder
et antal X-vnlgere som ligger mellem 9 og 22, eller sagt pä en anden
mäde, hvis frekvensen af X-vrelgere i stikpraven ligger mellem
9 <f <2 2
m - J -m
hvilketi % vilsige
18%=f=44%
Sammenlignes dette med, zt den forventede frekvens er 30% vil man
med rette kunne hrevde,at intervallet 18 % - 44% er for stort til, at man
egentlig kan drage nogen konklusion ud fra stikproven.
39
Vrelgerman imidlertiden storrestikprovef.eks.n - 1000vil man for et
pä 5% finde acceptmrengden
signifikansniveau
A - { 2 7 2 , 2 7 3 , .. .
. . ., 327}
Ved en stikprove omfattende 1000 personer vil man säledesikke forkaste hypotesen, hvis frekvensen af X -vrelgere ligger i intervallet
27,2"/"=f=32,7"/"
Dette forekommer nok mere rimeligt. I praksis benytter man f.eks. ved
opinionsundersogelser normalt stikpraver, der omfatter mellem 1000
og 2000 personer.
*
*
*
8
8
At teste en hypotese som
Hoi X-vnlgertilslutningen er 30%
kaldes at udfsre en dobbeltsidettest, fordi den kritiske mrengdeligger pä
begge sider af acceptmrengden.
I stedet for den fremsatte hypotese, kunne man fremsrettehypoteser som
>>X-vnlgertilslutningen er hojst 30"/o<
eller
>>X-vnlgertilslutningener mindst 30o/o<<
Test af dissehypoteser kan foretages efter samme retningslinjer som ved
den dobbeltsidede test.
4.8. Eksempel.
Vi vil vise, hvorledes man brerer sig ad med at teste hypotesen
Hot X-vnlgertilslutningen er hoist 30%
Vi vil som for teste hypotesen ved at udt age en stikprove pä 50.
Det er klart, athvis vi i stikprovenfinder et meget stort antal X-vnlgere,
vil vi v&re tllbojelige til at forkaste hypotesen. Pä den anden side vil en
stikprove med fä X-vnlgere bestyrke os i troen pä, at Ho er sand.
Testen tilrettelreggesda ved at man som for gärud fra en antagelseom, at
40
tilslutningener 30"/", men den kritiske mrengde bestemmes nu pä en
sädanmäde, at den kun indeholder tal, der er storre end tallene i
acceptmrengden.
K
"#
0
1
19 20 21 22 23 24
2 3
49 50
Gär vi igen ud fra signifikansniveau5%, finder vi ved opslag i tabellen, at
P(X=2I)-4,88"/"
Den kritiske m&ngde K er da
K
{21,22,23,...,50}
Ä er
og acceptmrengden
A-
{0,1,2,...,20}
En test som dennekaldesen hojresidettest.
4.9. Avelse.
test kan teste hypotesen
Findselv ud af hvorledesman ved hjelp af en venstresidet
er mindsf30%
Ho'.X-valgertilslutningen
p ä s i g n i f i k a n s n i v e5a%
u.
F i n da c c e p t m a n g d eong d e n k r i t i s k em a n g d e n ä r . s t i k p r o v e sntso r r e l s e r 5 0 .
FEJLAF 2. ART
s 5. sToRE STIKPROVER.
Det er klart, at tabeller over binomialfordelinger bliver meget omfattende, när fordelingernes lrengde n er stor.
I sädanne situationer kan man imidlertid med fordel benytte det tidligere omtalte sandsynlighedspapir (jf. Matematik l, side 29)-- 20 og primrerLad os bet ragte en binomialfordeling med lnngde n
sandsynlighed p - 0,50. Nedenstäendetabel viser sandsynlighederog
kumulerede sandsynligheder,og fordelingen er illustreret pä fig. 5.1.
4I
P(x - j)t%
0
I
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,00
0,00
0,02
0 , 11
0,46
I,4B
3,70
7,39
12,OI
16,02
n
r7 ,6 2
16,02
12
I3
t4
15
I6
I7
18
I9
20
12,OT
7,39
3,70
I,4B
0,46
0 , 11
0,02
0,00
0,00
P(x = j)t%
0,00
0,00
0,02
0,13
0,59
2,07
5,77
73,16
25,r7
4I,I9
58,81
74 , 8 3
86,84
94,23
97,93
99,4r
99,87
99,98
100,00
100,00
100,00
F i e .5 . 1 .
Binomialfordelingens middeltal er, jf. (3.18), givet ved
p-np:20'0,50-10
Pä fig. 5.2 er sumpolygonenindtegnet pä sandsynlighedspapir.Vi ser. at
midtpunkterne af de vandrette linjestykker med god tilnrermelseligger
42
I
j
i
"
,
'
'
; "
:
Sunrpolygon.fo,binomialtoridö
ling
I
.'''
;med
" "
i
tI -'Ztl og i, ---10'.5
'
.
-t -
nt
i
i ,
i
' t l - ' i : , l i j . , , i . , , i f
r '
, f
t '
, " ]
' : .
: - . ^ ; :
i r : ^ j
t
:
l0
Fig. 5.2.
pä en ret linje. Fra Matematik 1 $3 ved vi, at en ret linje pä sandsynlighedspapir er sumpolygon for en normalfordelirg, d.v.s. den givne binomialfordeling kan tilnrermes med en normalfordeling. Dette kan man
43
benytte til at erst atte brugen af en tabel med brugen af sandsynlighedspapir, när man laver hypotesetest med store stikprover.
For at finde den >rigtige< normalfordeling kan man benytte folgende
sretning:
5.1.
En binomialfordeling med lnngde n og primrersandsynlighedp kan tilnrermes med den normalfordeling,
hvis middeltal I og spredning S er givet ved
x-np
s-\ffi
Det er meget naturligt, at den normalfordeling, man skal bruge, har
samme middeltal (middelvrerdi) som den givne binomialfordeling.
Hvordan man när frem til det anfsrte udtryk for spredningen, mä vi her
afstä fra atkomme n&rmere ind pä. I det eksempel vi betragter finder vi
2,24
S-@-\5-
När man laver en hypotesetestkan man altsä bruge sandsynlighedspapir
i stedet for en tabel. Vi vil nu sammenligne sumpolygonen for binomialfordelingen med normalfordelingens sumpolygon for at se hvorledes
acceptmrengdenfor en hypotesetest kan fastlreggesnär signifikansniveauet ( her 5% ) er valgt. Pä figur 5.3 er vist de to sumpolygoner.
Fig. 5.3.
44
Acceptmrengden
A-
{a'
'b}
kan nu afl&ses pä tiguren. Vi ser, ät
5.2.
a
b
er det nßrmeste hele tal ved 2,5"/"-fraktilen
er det ncermestehele tal ved 97,5 "/'-fraktilen
I princippet kan acceptmrengdensäledesbestemmes ved aflresnittgaf a
ogb pä sandsynlighedspapir,hvorpä der er indtegnet sumpolygonen for
den normalfordeling, der har middeltal og spredning bestem ved (5 . 1).
Vi vil nu i et eksempel vise, hvorledes sandsynlighedspapiretkan bruges
i forbindelse med hypotesetest, när der anvendes store stikprover.
5.3. Eksempel.
Ved folketingsvalget 15.2.77 tlk et parti 14,6"/oaf stemmerne. Ved en
opinionsundersogelse(>pravevalgu) ca. Illz är seneretilkendegav 16%
af de 1250 personer i stikpraven, at de ville stemme pä det pägreldende
parti.
Lad oS, med de statistiske hjrelpemidler, vi har til rädighed, prove at
vurdere om dette nsdvendigvis er udtryk for, at partiets vrelgertilslutning er rendret.
Vi kan betragte hypotesen
H ot vrelgertilslutningen er urendret
og undersoge om vi pä signifikansniveau 5% kan forkaste Ho pä grundlag af den foretagne undersogelse.
For den pägreldendebinomialfordeling er
p - np _ 1250'0,146: 182,5
Pä fig. 5.4 er indtegnet sumpolygonen for den normalfordeling, der har
middeltallet 182,5 og spredning
S- \M:I2,5
For at fastlregge acceptmrengden
A-
{a,"',b}
45
l
t
l
,
:
' l " ; i " r ' f" l
I
i
l
r
l
i
l
l
' t r l ' ; l ; ; '
-ffi'
l l l l , iI r l
: l ] : | ) 1
: i i l : : 1 i 1
l l
i
": fl ,' ;:' ', :i ,, '", 1. 11, "' t;
-l;;ii;p
I
i
.
+ r'., t
i i i + +
++-fTa"i
l
l i t l
i 1
r . .'j
i l i J
1-1
; :
: 9
t.'
i')
i
i
t 1 1
.
1
:
+
r
f
i
f
f
:
+ +
l
:__
;;_* l *
;.:.1+i.;.;;j
:
i
;i.*i1.;-;..;
'
r
'
l
i
l
_ '
:
'
l
:
:
:
' i
' j
:
1 1 i t . 1 t i l r , t : , )
r i i ,
r i i i , i i ; , i
' ! - ; ' l l r : ' l i r ' i
i
i +i I ; i i ; i : 1 .i+; r .
-; ;-;.":;. _ l
' 1 ' "
,
i
,
'
t
i
l r ' l ' i ' : f '
; . r i r i i l
.
, i : t
i
, I i ; ,
+"i-.+.-1...+.
. i ; | 1 i l .
. 1 i . i , 1 1
{-+..4.-++-.i-+-4...*-t..
,
.
i
'
,
,
,
e
, , '
i
-6*
|
i
-
:
1
:
,
*..+..+. r..+..+..
: + ( : .
,
. l : ; , : 1 . ;: 1 . , 1
..*4.r.4..f.*^n..1+,l*4ry+
: t : :
: t : :
r
r"i
t i- l-i
a l
: f : ; . : i
..3@f*******
r
":
.
3
.
i 4
-a,'^@
i
:
i
i
i
'
l
l
:
:
,
i
4
:
]
:
l
:
,
r
I { . : . . . ; : i r . . . . . . : i . : . . . .
l : i . l i ; :
l l : t . ; i
"" **"+
*. " *..
*....-.
t a..! +
' | I
) I '
: | '
'
: 1 , i ;
"a'+"+*4"'r"a
. { ! <
. l : r 1
j l
i i l
-f+a^++-++-+
1 ? , : .
' i
*
, i r : i
i i l ; j
+'+.;..."@..rtr
1 i < r
I r : 1 )
r
;
,
:
l
+
|
1
i r i :
+ : r ,
t + r .
t
a
:
I
+*i...;
"
" ' 1 .
r
1
.
+
1
i
l
;
;I,.,;i,1.ll,;,
I l . i ; ; l . , ; . l : ,: :
:
+"f
' i
. :
:
i i r r
tr--+
'
l i
1 4
+ t : ' i
I J
1 ;
i t l . :
i i , : r
f +^*"---f
' , i '
, l '
:
:
l
'
i
,
:
i
i
r
,
r
i
;
+
,
.
r
i
r
i
l
:
i
"
t
.
.
t
:
t
" I
"--if
i
l
i
j
i
4
i
+ j
' r
i '
-*r;;;
'
i
:
i
'
, i
!
: ; i-;-;l
i : ri : ; r ; j
;.:_;+l..: . 1
i : . l . 1 . . 1
r l li : i : I j
: :I l : ; ' : j
'
+
:
:
1
1
j
:
"
.
1
:
:
i
...-:..-;*Li-;;-1..r'
j . , '
l . : : I
i I I ,
t :
' r .
:
l
t
l
i
.
:
i
i
:
!
r
i : l i : i : r :
' : I I : r
I I
d..+.q..f4.ry1
' : r t :
t ' 1 :
+"_.r".t .;.+-+-+.n
' . :
l
: .
' . : r ia. +
+ . : I J
' 1 r ' t :1 : !
i
..*,1
+4"1*--T'f
' j !
' ' r
! : - :
:
i
:
i
j
J
l
1
i . r
i
+
:
:
:
:
i
; . . t : . i
:
;
;-$-;.+,*j
i
-
r
l
J
,
i
.
1
+
i
9
1
?
J
.
i
J
+
+
i
1
"Y1 i r"'|g*s
_:"-lf*"*-i_"-l
j
:
,
t : l i ; i t l
. I i i.., : . i
, ' i , , , i,
-**e r*,+
;J
r
I 1 " "
I
1
l.:,;.
I
l
i ' r : 1
t i " 1 ! 1
r ' 1 " . ' 1
-- " i"'*'* - i
.
-
'
'
.
.
.
i
,:'
, l; i l : l l r
l
.
j
i
:
l
il\
l
i': ;
" 1 . ' i
"....+..+-+..--..!.-..r
' ' 1 i . . ' 1
- :1':".
-
:
:
t +
1
l
'
}
. t i
.
J
l
"J..***ii*1"1|--*
:
l
::;::*:*'
:;
l ' r :
i ' ; .
1
'
!
'ii:::':-:
i i r f . , . .
t " j ' - i + 1 r + ;
"
.
" ' l ' i
i
i l
t '
i I , ' r r :
i ' : -1"".w-1.'.'.1-i".
: 1 i , , ; '
? i ,
..r-s.4..+-+"a"+"4-1"*''*T.r
. 3
r 1 : 1 : 1 1
-1*+'+
r-i4--+rn.*-f-1*
j
)
" + r
?
. ' : 1 . ' '
i
1
' a :
i
' i : r 1 i i
i
,
'
i
,
' ' r ' r t .
.l : .r ':
t : .
1 . : r : '
i
+ *-n-
I
r
i i . , , , i . , , , 1 , , ^;i---**
-*;*l*+*
i
'
t
!*+
r
. ' " , , . . 1 . : . ,. t ,
:
. 11 1 ' 1r , 11
1
.l1.1.."
+.1-1 .*..1-+--i-i.-1..1..r.
. " ..
+ I I
t . \t
l t l
:
t'i.'l:tj
r
r"il"':ij:t:lllr
,
i
l
. r;.i...i..j...r::j
: 1 : , ; j :: , . r l r ; .
- l;;
it*; i;;
:l;ii-:i:*1-:T'r',
:
i l . 1 i i . * l , i , . l
' f ' " ' i t
-
,
' i i : 1 r 1 1
.r-i+.+"+"1
r r
+ i + . i
i :
! i + . r'
1 : . 1 1 1 ' .
i
i
t
;++;++;i
r
I
-.!+-4-*-*-+i
' ' + , t '
. : . i :
l
-
.
:
r
'
:
t
J
1-:'-r- t i"i:'
: t : .
l : i ; ; :
+_
, l
t . t
f
r
,
: 1 i ; r i 1 i : r l
?
.
" :
Ä
ti ,,li,,iii:ll
.'er.,l.*.+..+..,..+.
: +
! +
:
i
I . 1 . f ,1 . , .
;l/
,l
l',.
:f
" t ..;*:Jt+;J:;t
' ,)rt. .l :,
:..-.:-.il*:. I ".".1t"-].
:l f 'l ;:.lrlj/;:-L;*
. U : . . J : ;:J;:;i : i r ; :
t
t
:
...,;.",-l,...'1,-.";'....4..,1.-..,J."..$+.i4
. : , : ' , '
l : . ; . r I :x ! : i
t
' ll ' 't \ ' l
, l , . 11 f, ' .
il
F l ,
:
'
P-+"++++-'.,i
" J" , " j : . " ' 1 ' . 1
1 ;,
*f:::f:;ff;":
l
, ; . i ^ l .j
l
,
: Ji : - : i i t, "i l : :
1
I
'
r
r
.
. J-+i +,J-L;
: i : ' 1 l i i , ' : 1
'
.i
t : l l , l i , i
fi"l""r'l"i*:
":+-l;.]-**ili
j + : 1 f 1 1 ,
*Ä".+-j-;1-+"i-a-.-+
' l r
l t
r
* T - - *
- 1 .
l i
lfffi
lillrrfil
1 : li-l" i-:i
""j
*"i
_;;;;_;l
- ' l ' : "
i
...,...^..1...-...+..-...".
i
i,)
1 !
' t
:
r
t
1
r
:
:
r
. i'.t*."at:
.
.
i l . . i
1 ' o ]
i
]
i
,
,
:
:
,
.
:
,
i
:
.
r
i l i r ; i l i
i
if r r-l r
i
l
r
]
_1_j_:;j;_:i;i:;,
,
.
t
"
.
i : , : , ; , i. i , l : . , .
l
:
i i ' , i
1
i
190
Fig.5.4.
46
'1 'r r
1
200
:::i
.
.
i*:-:
+
.
+
+
+
'
.
'
'
.
i
i
:
,
'
,
l
: ' i ' ' j
' ' ' + . '
"
;
a . . : . +
i
'
r ' . . j
" i
' t i ' , '1
:
.--;-'-....,.-i
j
i]3
skal vi aflrese2,5"/"-fraktilen og 97,5"/"-fraktilen. Vi finder
2,5"/"-fraktilen: 158,5
97,5"/"-fraktilen : 207
Ifolge (5.2) er
a : I59
og
b :207
Acceptmrengdenfor den udforte test er da
A-
{159,160,...,207}
Da
159
ffi:
1^ Ftl\'
- I2,7"/"
0,127
og
2O7
ffi:
0,1,66:16,6"/"
ser vi, at hypotesen H o ikke kan forkastes, hvis vrelgertilslutningen ligger
mellem 72,7o/o og 16,6"/". Resultatet af opinionsundersogelsen kan
säledesikke uden videre tages som udtryk for, at det pägreldendeparti
har fäet storre tilslutnitrg i befolkningen.
5.4. Ovelse.
Undersog,om man pä grundlagaf tallenei eksempel5.3 kan forkastehypotesen
Ho: velgertilslutningen
er ikke blevetstsrre
pä signifikansniveau
5o/o.Forat testedennehypotesemä man benytteen hajresideftest
(hvorfor?).
I (4.4) omtaltes fejl af 2. art, dvs. at man ved en hypotesetest ikke
forkaster hypotesen hvis den er falsk.
Lad os prove at beregne sandsynligheden for pä signifikansniveau 5"/" at
acceptere hypotesen
Hoi X-vnlgertilslutningener 30%
hvis tilslutningenf.eks.kun er 20o/o.
47
OPGAVER.
oPGAVERTrL SS1-2
1. I udfaldsrummet
U - {I,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
P fastlagtved folgendetabel
er en sandsynlighedsfunktion
10
P(") 0,02 0,02 0,04 0,L5 0,28 0,L0 0,05 0,20 0,L0
Beregn sandsynlighedenfor udfaldet u - 10.
U
Pä figuren er vist et udfaldsrum U og en hrendelse H med tre
elementer. Idet det oplyses,at (U,P) er et symmetrisk sandsynlighedsfelt og at
P(H) - 0,1'5
skal man beregne
a) sandsynlighedenP(u) for 6t udfald ue U
b) antallet af elementer i udfaldsrummet U
3. En pige er blevet inviteret pä sejltur af sin ven, som bor i Grenä.
Hun har aldrig provet at sejle for, sä vennen har sagt, at han kun vil
sejle ud, hvis vindstyrken er 2,3 eller 4 Beaufort.
Tabellen nedenfor viser omtrentlige frekvenser af de forskellige
vindstyrker for juli mäned ved Fornres.
Vurd6r sandsynlighedenfor, at sejlturen bliver aflyst.
Styrke
Frekvens
6
7
8
0
r
2
3
4 5
0,070,L80,310,270,070,03 0,03 0,02 0,02
143
4. I det tilfreldige eksperiment, der gär ud pä at trrekke et kort fra et
almindeligt spil kort (52 blade), skal man beregne sandsynlighederne for folgende hrendelser
a) at fä klsr 5
b) at fä et billedkort (knregt, dame, konge)
c) at fä en spar eller et es
5. Om hrendelserneA og B i et udfaldsrum t/ oplyses, at A indeholder
5 udfald og at P(A): 0,36. Om B oplyses,B indeholder 9 udfald og
at P(B) : 0,64.
a) Begrund at (UrP) ikke er et symmetrisk sandsynlighedsfelt.
Det oplyses endvidere, at P(A n B) - 0,20
b) Beregn sandsynlighedenP (A U B)
6. I et symmetrisk sandsynlighedsfelt (U,P) er der 20 udfald i udfaldsrummet [/.
Om hrendelsen111 oplyses, at
P(H)
_ 0,40
a) Hvor mange udfald bestär hrendelsen 111 af?
Hrendelsen H2bestär af 14 udfald
b) Beregn sandsynlighedenP(Hz)
c) Idet det oplyses,at H r ) H 2bestäraf4 udfald, skal man beregne
P(H, u Hz)
d) Lav en figur, der illustrerer udfaldsrummet U oghrendelserneFll
oE Hz
7 . I udfaldsrummet
U _ {I,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
P fastlagtved folgendetabel
er en sandsynlighedsfunktion
r44
u
I
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
P(") 0,L5 0,05 0,10 0,15 0,05 0,04 0,20 0,L0 0,06 0,10
Idet Hl oEHz betegner hrendelserne
H | :: {2,4,5,6}
H2: {I,4,6,7,I0}
skal man angiveudfaldener folgendehrendelser
a)
b)
c)
HL o Hz
HruHz
Hr
d)
H2
Beregn endvidere sandsynlighederne for hrendelserne nrevnt under
a) - d).
8. En krukke indeholder 50 kugler, hvoraf 20 er blä, 15 er rsde og
resten er hvide.
Pä tilfreldig mäde trrekkes en kugle af krukken. Hvad er sandsynligheden for at fä
a) en rsd kugle?
b) enten en blä eller en hvid kugle?
9. En krukke indeholder 5 hvide og 4 sorte kugler.
En kugle tages op af krukken, farven noteres, hvorefter kuglen
lreggestitbage i krukken.
Hvad vil sandsynligheden v&re for, at vi ved ni udfsrelser af eksperimentet fär en hvid kugle, dernrest en sort kugle osv.?
10. Et hasardspil gär ud pä folgende:
Huset (den professionelle spiller) vredder pä, at en spiller vil fä i det
mindste 6n sekser i 4 kast med en terning.
Beregn sandsynlighedenfor, at fä mindst 6n sekser i 4 kast med en
terning.
(vink: find forst sandsynligheden for den komplementrere hrendelse)
145
1 1 .E t hasardspil gär ud pä folgende:
Huset (den professionelle spiller) vredder pä, at en spiller vil fä
mindst €n dobbeltsekser (begge terninger viser 6) ved 24 kast med
to terninger.
Beregn sandsynlighedenfor at fä mindst 6n dobbeltsekseri24 kast
med to terninger.
12. Et spisekort pä en restaurant omfatter 8 forrett er,lZhovedretter og
6 desserter.
Pä hvor mange mäder kan man sammensretteet mältid, hvis man vil
have
a) forret og hovedret?
b) hovedret og dessert?
c) forret, hovedret og dessert?
13. Flvert af de tre hjul i en spilleautomat er forsynet med symbolerne
I ,2,,3
, 4 , 5, 6, 7, 8, 9, -, *
Hvad er
a) Sandsynlighedenför at fä (*,*,* )?
b) sandsynlighedenfor at de tre hjul alle viser et tal?
c) sandsynlighedenfor, at de tre hjul viser et og samme tal?
1 4 . Af cifrene I,2,3,4, og 5 skal dannes femcifrede tal.
Hvor mange femcifrede tal kan der dannes, hvis
a) cifrene kun mä optrrede en gang i hvert tal?
b) cifrene mä optrrede flere gange i hvert taI?
1 5 . Et bilnummer bestär af.to bogstaver efterfulgt af et femcifret tal.
Hvor mange forskellige nummerplader kan der dannes, hvis bogstaverne vrelges blandt 27 bogstaver og cifrene vrelges blandt
0 , r r 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7, 81 9 ?
Hvor mange forskellige nummerplader kan dannes, hvis det forste
ciffer ikke mä vrere 0?
1(r. Et personsogeranlreg pä en
virksomhed bestär af 5 lamper.
När en bestemt kombination af
lamperne lyser, skal en bestemt
person tage den nrermeste telefon.
r46
*oo
a) hvor mange personer kan kaldes ved, at I lampe lyser?
b) samme sporgsmälsom a), men med 2,3,4 og 5 lysende lamp er?
c) hvor mange personer kan ialt kobles ind pä anl regget?
17 . I en klasse pä 27 elever, skal der udtages en gruppe pä 6 elever.
Pä hvor mange mäder kan denne gruppe udtages?
18. (vejledende opgave, HF frellesfag)
I en forsamling af 14 biokemikere er der 5, der taler russisk. Fra
denne forsamling skal 3 personer udvrelges som deltagere i en
kongres i USSR.
Bestem antallet af mäder, hvorpä udvrelgelsenkan ske, när
a) alle deltagere skal kunne tale russisk.
b) netop 6n deltager skal kunne tale russisk.
c) mindst 6n deltager skal kunne tale russisk.
19. I en klasse pä 24 elever, at der 17 piger. Ved lodtrrekning skal der
udtages en gruppe pä 4.
Hvad er sandsynlighedenfor, at gruppen kommer til at bestä af
a)
b)
c)
d)
drenge alene?
piger alene?
2 drenge og 2 piger?
mindst €n pige?
20. Idet A betegner talmrengden
A :
'
{ 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
skal man tinde antallet af delmrengder bestäende af
a) 4 elementer
b) 4 elementer og som indeholder tallet 5
2I. Det säkaldte >>Mastermind< spil gär ud pä ved hjrelp af nogle regler
at grettei hvilken rrekkefolge modstanderen hemmeligt har anbragt
farvede pinde i 5 huller mrerket I,2,3,4,5
O
1
C
2
C
3
O
4
C
5
r47
til spillet stflr bl.a., at pindeneer farvet pe 8
I brugsvejledningen
forskelligemider, og at der er 24 pinde af hver slags.
Endviderepistis det, at man ved hjrelpaf pindenekan lave32.768
forskellige rrekkefolger.
Er dennepistand rigtig?.
oPGAVERTIL SS3-5
22. En almindelig msnt kastes 5 gange. Bestem sandsynlighedenfor at
fe
a) netop 3 krone
b) hojst 3 krone
c) flere end 3 krone
23. En almindelig terning kastes 4 gange.
Bestem sandsynlighederneP+6 - j), hvorT betegner antallet af"
6'ere i de 4 kast.
Illustrer fordelingen ved et stolpediagram.
24.
start
En drengstflpfl en fortovsfliseog kasteren mont.Hvis msntenviser
krone, gflr han en flise til hojre; viser msntenplat gflr han en flise til
venstre. Pe den nye flise gentageseksperimentet.Bestem, idet
for, at han efter
drengenkaster monten 6 gange,sandsynligheden
de 6 kast
a) stir ved udgangspunktet.
b) stir 2 fliser til hojre for udgangspunktet.
c) stflr 4 fliser til venstrefor udgangspunktet.
25. Ved en >multiple choice<< prove er der til hvert sporgsmfll5
svarmuligheder,hvoraf kun en er rigtig. Proven omfatter ialt 6
sporgsmil, og der krrevesfor at bestfl ialt 4 rigtise svar.
for, at en elev, der pfl tilfreldig mflde afBeregn sandsynligheden
proven.
krydser svarene,bestflr
r48
2 6 . I et spil er gevinstchancen I0%
En spiller vil spille 20 gange.
Bestem sandsynlighedenfor at fä
a) 3 gevinster
b) hajst 3 gevinster
Hvert spil koster I kr. Gevinsten ved et vundet spil er 5 kr.
c) Flvor meget kan spilleren forvente at vindeltabe ved de20 spil?
2 7 . Bestem sandsynlighedenfor ved 10 gentagnekast med en terning at
fä
a)
b)
c)
d)
5 seksere
hsjst 4 seksere
mindst 4 seksere
mindst 2 og hsjst 7 seksere
I en krukke findesB rode og 12 blä kugler.Der udtagespä tilfreldig
mäde 5 kugler. Hvad er sandsynligheden
for at fä
a)
b)
c)
d)
udelukkendersde kugler?
udelukkendeblä kugler?
mindst en rsd kugle?
netop 2 kugler af sammefarve?
29. Under aftapningen af sL pä däser opdages det, at en del af däserne
kun bliver fyldt delvis op. For at skonne over hvor stor en del af
aftapningen der er bersrt affejlen laves der en stikprovekontrol, og
pä baggrund heraf fremsretter man hypotesen
>Hojst 15% af produktionen er bersrt af fejlen<
En ksbmand der har modtaget 1200 däser ol modtager 234 klager
fra kunderne offi, at sldäserne kun var fyldt delvis op. Hvordan
stemmer dette resultat med ovenstäende hypotese?
30. Forud for et valg foretages en opinionsundersogelse vedrsrende
tilslutningen til et bestemt politisk parti, som ved det foregäende
valg fik 3 0% af de afgivne stemmer. Opinionsundersogelsen omfattede 2100 personer. Ved behandlingen af opinionsundersogelsens resultater anvendes en normalfordeling.
149
a) Angiv middeltal og spredning for den benyttede normalfordeling.
b) Indtegn den omtalte normalfordeling pä sandsynlighedspapirog
aflres acceptmrengdernefor folgende hypoteser
>Tilslutningen er 30"/" <<
>Tilslutningen er hsjst 3 0"/" <
>Tilslutningen er mindst 30o/o<<
när signifikansniveaueter I% hhv. 5%
3I. (Vejledende opgave, FlF-frellesfag.)
En planteskole har ved krydsning frembragt en rosenstamffie,som
den pästär er mere modstandsdygtigover for angreb af meld.rg end
de hyopigst forekommende rosenarter.
Det pästässäledes,at ikke over 20% af roserne vil blive angrebet af
meldug, hvis de bliver udsat for smitte. Der udplantesnu 10 roser pä
hver alte 5 planteskolerA, B, C, D og E. Roserne udsrettesderefter
for meldugsmitte og angribes som angivet i nedenstäendetabel:
planteskole
antal angrebne
roser
antal roser, der
ikke angribes
A
B
C
10
D
E
antal ialt
12
38
Gar rede for, om det er muligt ud fra det samlede forssg pä signifikansniveau 5% at forkaste hypotesen:
Hsjst 20"/" af roserne angribes af meldug.
[Jnderso1, om det er muligt at forkaste hypotesen pä signifikansniveau 5%, hvis man kun betragter forsoget pä planteskole B.
150
32. Nedenstäende tabel viser 4 partiers vrlgertilslutning ved folketingsvalget 1977 og ved en opinionsundersogelseforetaget i begyndelsen af oktober 1978. Stikprovens storrelse var 1400.
Undersog for hvert af de angivne partier om man pä signifikansniveau I0% kan forkaste hyPotesen
er urendret
H: Partietsvrelgertilslutning
Konservative
SocialistiskFolkep.
Kommunister
Centrumsdemokrater
valget
8,5"/"
3,9"/"
3,7"/"
6,4o/"
oplnlonsundersogelse
g,g"/"
6,0"/"
3,0"/"
3,,3"/"