1. No category

Bachelor projekt
Analyse af Gitterkuppel
Projektnummer S 11-010
Danmarks Tekniske Universitet
Jeanette Brender
s082461
Jesper Sørensen
s082450
16. juni 2011
Kilde på forsidebillede:
Henning Larsen Architects/ALECTIA A/S.
Forfattere:
Jeanette Brender Hansen
s082461
Bachelorstuderende,
Danmarks Tekniske Universitet
Jesper Sørensen
s082450
Bachelorstuderende,
Danmarks Tekniske Universitet
Vejledere:
Peter Noe Poulsen
Lektor
Institut for Byggeri og Anlæg
Danmarks Tekniske Universitet
Jesper Gath
Afdelingsleder, civilingeniør
Afdelingen for konstruktioner
Alectia A/S
Forord
Denne rapport er udarbejdet af Jeanette Brender og Jesper Sørensen som et bachelorprojekt
i byggeteknologi ved Danmarks Tekniske Universitet, Lyngby. Rapporten er resultatet af et
projektarbejde, der har fundet sted i perioden 1/2-2011 til 17/6-2011 og udgør 15 ECTSpoint pr. person, 30 ECTS-point samlet.
Rapporten omhandler en analyse af en gitterkuppel, hvor dimensionering og designløsninger har haft fokus. Gitterkuplen skal bygges i forbindelse med udførslen af Novo Nordisk’s
nye hovedkvarter i Bagsværd. Projekteringen af byggeriet ligger hos Alectia, Virum, hvorfra
materiale vedrørende kuplen er udleveret.
I gennem processen har en række mennesker været til stor hjælp, hvorfor vi skylder disse tak.
Det drejer sig om vores vejledere lektor Peter Noe Poulsen fra DTU-Byg samt Jesper Gath
fra Alectia, der begge har bidraget med hjælp og kritik til vejledninger og ved forespørgsel.
Yderligere vil vi gerne takke Henning Agerskov, der flere gange har været behjælpelig med
at svare på spørgsmål, samt familie og venner der løbende i processen har hjulpet med gennemlæsning.
Lyngby, 17 Juni 2011
Jeanette Brender, s082461
Jesper Sørensen, s082450
I
Analyse af gitterkuppel
II
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Sammenfatning
Nærværende bachelor projekt omhandler en statisk analyse af en gitterkuppel. Kuplen opføres som en del af Novo Nordisk’s nye hovedsæde, der skal bygges i Bagsværd. Analysen
tager udgangspunkt i en af arkitekterne defineret geometri, hvorfor opgavens fokus er den
principielle behandling af konstruktionens opførsel. Designløsningerne er udviklet med henblik på, at finde det mindst mulige profil i gitterkuplen, hvilket har medført, at redesign har
været nødvendigt for at opnå tilstrækkelig bæreevne, når samlingsdetaljerne er behandlet.
Stabiliteten af gitterkuplen er indledningsvis undersøgt lokalt med henblik på svigt af et
enkelt stangelement, da kræfterne i kuplen primært fordeler sig som trykkræfter. Herefter er
en mindre del af kuplen undersøgt mod lokal instabilitet, og i den forbindelse er det konstateret, at momentstive samlinger vil være at foretrække fremfor charniereforbundne stænger,
når det mindst mulige profil ønskes benyttet. Både håndregningsudtryk, analytiske og ikkelineære, samt forskellige FEM beregningsprogrammer er benyttet, dels for at eftervise den
reelle bæreevne, men samtidig også for at verificere, at de benyttede FEM programmer giver
de rigtige resultater. På den baggrund er der opnået viden om, hvordan FEM programmet
Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2011 kan benyttes til de ikke lineære beregninger, som er nødvendige i dette projekt. Ved brug af dette er den globale stabilitet af
hele kuplen undersøgt.
I den forbindelse er Eurocodes benyttet som dimensioneringsgrundlag. Relevante lastkombinationer er bestemt udfra de nationale annekser, ligesom der er udført robusthedsundersøgelser ved fjernelse af en eller flere stænger. Konstruktionen er undersøgt for maksimale
spændinger, udnyttelsesgrad mod udknækning samt for acceptable deformationer. Konstruktionens symmetriske udformning fordeler kræfterne således, at undersøgelser med belastning,
der ikke er indbefattet af de gængse lastkombinationer, ikke medfører bemærkelsesværdige
ændringer i valget af profil.
Understøtningsforholdene for kuplen er bestemt ved at se på den resterende bygnings konstruktion. Ved at understøtte kuplen med pendulsøjler, suppleret med vindgitter, kan kræfterne overføres til underliggende betondæk samt stabiliserende kerner, som kan føre kræfterne ned gennem konstruktionen. Hvor der ikke er tilstrækkelig understøtning mod lodret
bevægelse, er udført et hængeværk til at modvirke deformationerne.
Samlingerne i kuplen er gennem to forslag undersøgt i detaljer, hvor relevante svigtformer for en boltsamling er undersøgt ved håndregning. Dette har givet indsigt i samlingernes
betydning, da der i den forbindelse er opstået krav, afhængigt at samlingstype, hvor det
kunne være mere optimalt at benytte et andet profil end det hidtil benyttede. Dette tydeliggør, at alle detaljer i dimensioneringen af projektet bør inddrages, når der skal gives bud
på dimensionerne, for at få det rette billede af hvilke dimensioner, der er påkrævet.
III
Analyse af gitterkuppel
IV
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Abstract
The present bachelor project treats a statically analysis of a truss dome. The dome is to be
erected as a part of Novo Nordisk’s new main office, placed in Bagsværd. The analysis is
based on a geometry defined by the architects, why the aim is the principle treatment of the
structural behaviour. The design solutions is developed to determine the smallest possible
section in the dome, which at some point has induced a need of a redesign when the details
of the connections in the dome is treated to obtain sufficient carrying capacity.
The stability of the truss dome is initially treated locally with respect to failure of a single
bar element, as the forces in the dome primary distributes as compression forces. Hereafter
a smaller part of the dome is treated against local instability. In connection to this it is observed, that connections which can transfer moments is preferable compared to connections
with charnieres, as the aim is to obtain the smallest possible section. Both hand calculations,
analytical and non-linear, as well as different FEM calculation programs is used, partly to
demonstrate the actual carrying capacity but also to verify that the used FEM programs returns the correct answers. Based on this, knowledge about how the FEM program Autodesk
Robot Structural Analysis Professional 2011 can be used to perform non-linear calculations,
is gained which is necessary in this project. By use of the program, the global stability of
the truss dome is inspected.
In this connection Eurocodes is used as the basis of the dimensioning. Relevant load combinations are determined from the national annexes just as the robustness of the dome is
examined by removing a single or several bar elements. The construction is examined for
maximum stresses, coefficient of utilization against buckling and for deformations. The design of the dome distributes the loading in a way that the further examinations, besides the
common load combinations does not lead to remarkable changes in the choice of section.
The supporting of the dome is determined by examining the residual construction. By supporting the dome with pendulum columns supplemented with supporting wind crosses, the
forces can be transferred to underlying concrete plates and stabilising cores, which can lead
the forces down through the construction. Where no sufficient support conditions against
vertical movement is present, a construction is added to neutralize the deformations.
The connections between the bar elements in the dome is treated in details through two
examples, where relevant ways of failure for a bolted connection is treated by use of hand
calculations. This has given an insight in the significance of the connections as there in this
progress has occurred demands, depending on the connection type, where a more optimal
solution could be found by use of a different section than the one treated. This clarifies that
all details in the dimensioning of the project ought to be involved when the dimensions is
to be determined, if a correct picture of the necessary dimensions is to be found.
V
Analyse af gitterkuppel
VI
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Indhold
Forord
I
Sammenfatning
III
Abstract
V
Indhold
VII
Figurer
IX
Tabeller
XI
1 Indledning
1
2 Gitterkuppel over atrium,
Novo Nordisk Bagsværd
3
3 Lastpåvirkning på gitterkuppel
3.1 Snelast . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Vindlast . . . . . . . . . . . . .
3.3 Egenlast . . . . . . . . . . . . .
3.4 Lastkombinationer . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
. 7
. 8
. 9
. 10
4 Stabilitet af gitterkonstruktion
4.1 Udknækning af en enkelt trykstang . . . . . . . .
4.2 Lokal instabilitet . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Indledende håndregning . . . . . . . . . .
4.2.2 Abaqus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Robot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Dimensionering af profil . . . . . . . . . .
4.3 Global instabilitet . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Lastpåsættelse . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Global belastning . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Belastning med dominerende sne . . . . .
4.3.4 Belastning med dominerende vind . . . .
4.3.5 Udformning af kuppel . . . . . . . . . . .
4.3.6 Yderligere undersøgelser af RHS100x60x4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
15
15
20
22
26
29
30
31
32
35
36
38
5 Understøtning af gitterkuppel
5.1 Dimensionering af ringbjælke . . . . . . . . . .
5.2 Dimensionering af pendulsøjler . . . . . . . . .
5.3 Dimensionering af vindafstivning og hængeværk
5.4 Eftervisning af bæreevne . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
47
50
51
51
52
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
VII
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Indhold
6 Samlingsdetalje i gitterkuppel
6.1 Svejste samlinger . . . . . . .
6.2 Boltede samlinger . . . . . . .
6.3 Valg af samlingsmetode . . .
6.3.1 Boltesamling 1 . . . .
6.3.2 Boltesamling 2 . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
57
57
58
61
61
79
7 Yderligere samlingsdetaljer
91
7.1 Ringbjælke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2 Vindgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3 Pendulsøjle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8 Konklusion
95
Litteratur
97
Appendix
99
Indhold på vedlagte CD
VIII
101
Figurer
2.1
2.2
2.3
3D modeltegning af Novo Nordisks hovedsæde . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kuppelgeometri set fra siden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gittergeometri set fra oven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
5
3.1
Vindbelastning på bygningens tag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
15
15
16
18
20
21
21
22
23
23
24
26
26
29
30
31
31
32
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
Last-flytningsdiagram for enkeltstang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Princip ved snap-through deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Delområde af konstruktion benyttet ved beregning af lokal instabilitet . . . .
Last-flytnings kurve, Agerskov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lind notation ved bæreevneberegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abaqus model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kritisk last for snap-through i abaqus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fast simpel understøttet Robot model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Last-flytningskurve for fast simpelt understøttet model . . . . . . . . . . . . .
Bevægeligt simpel understøttet Robot model . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Last-flytningskurve for bevægeligt simpelt understøttet model . . . . . . . . .
Spændings-lastkurve for bevægeligt indspændt understøttet model . . . . . .
Spændings-lastkurve for fast indspændt understøttet model . . . . . . . . . .
Momentstiv samling og naturbelastning som enkeltkraft . . . . . . . . . . . .
Modellering af flader til lastpåsættelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Last-flytningsdiagram for lille model med fladebelastning . . . . . . . . . . .
Kuppel modelleret med flader til påsætning af fladelaster . . . . . . . . . . .
Zoneopdeling afhængig af vindretning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Snit i konstruktion visende deformationer af model med charniereforbundne
stænger og dominerende snebelastning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Snit i konstruktion visende deformationer af model med charniereforbundne
stænger og dominerende vindbelastning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Belastning med omfordelt snelast fra Eurocodes . . . . . . . . . . . . . . . . .
Belastning med omfordelt snelast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fordeling af områder ved omfordelt snelast . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Snit visende deformationer ved belastning med skæv sne . . . . . . . . . . . .
Fjernelse af enkeltstang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fjernelse af delområde af konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
Fordeling af kræfter fra belastning på kuppel . . . . . . . . . .
Eksempler på afstviningsformer mod vandret belastning . . . .
Skitse af plansnit inkl. stabiliserende kerner samt søjleplacering
Skitse af mulige hængeværk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3d model af understøtningsforhold for kuplen . . . . . . . . . .
Angrebsretning af kræfter på ringbjælke . . . . . . . . . . . . .
Principtegning af samling mellem betondæk og hængeværk . .
47
48
49
49
50
50
52
6.1
6.2
Eksempel på svejst samlingsdetalje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Boltet samling - Eksempel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.20
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
34
37
38
39
39
40
42
43
IX
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Figurer
X
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
6.21
6.22
6.23
6.24
6.25
6.26
Boltet samling - Eksempel 2 . . . . . . . . . . . . . .
Boltet samling - Eksempel 3 . . . . . . . . . . . . . .
Samling 1 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Samling 1 snit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Virkning af kræfter på knude, samling 1 . . . . . . .
Afstand fra bolt til kant, samling 1 . . . . . . . . . .
Revidering af samlingsforslag 1 . . . . . . . . . . . .
Omsætning af My moment til normalkraft . . . . . .
Hulrandsbæreevne samling 1 . . . . . . . . . . . . .
Forslag til ændring af samling 1 . . . . . . . . . . . .
Tegning af hulsvækket tværsnit . . . . . . . . . . . .
Snit visende kritisk tværsnit inklusiv kræfter . . . .
Blokforskydning ved en enkelt bolt . . . . . . . . . .
Blokforskydning: Brud vinkelret på kraftens retning
Blokforskydning: Brud parallelt med kraftens retning
Overklipning af en bolt . . . . . . . . . . . . . . . . .
Overklipning af en bolt i samling 1 . . . . . . . . . .
Trykfordeling samt udnyttet område af svejsesøm . .
Samling 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Samling 2 snit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Samling 2 detalje omkring bolt . . . . . . . . . . . .
Afstandskrav for en plade med forskudte huller . . .
Kræftpåvirkning af plade, ved hulafstand på 44 mm
Kræftpåvirkning af plade, ved hulafstand på 48 mm
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
59
60
62
62
63
64
65
66
66
67
68
70
72
73
73
74
74
77
80
80
81
86
87
88
7.1
7.2
7.3
7.4
Samling
Samling
Samling
Samling
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
91
92
93
94
mellem
mellem
mellem
mellem
ringbjælke
ringbjælke
ringbjælke
ringbjælke
og
og
og
og
kuppel samling
kuppel samling
vindafstivning
pendulsøjle . .
1
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Tabeller
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
Profildata for RHS200x100x10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sammenligning af tøjninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Udnyttelsesgrad ved Linds kritiske belastning af RHS200x100x10 profil . . . .
Sammenligning af kritiske laster for RHS200x100x10 . . . . . . . . . . . . . .
Kritisk last for forskellige profiler beregnet med Lind . . . . . . . . . . . . . .
Udnyttelsesgrad af RHS profiler ved naturlast og fastholdt mod bevægelse . .
Udnyttelsesgrad af RHS profiler ved naturlast og mulighed for fri bevægelse .
Sammenligning af belastning med enkeltkraft og fuld fladebelastning . . . . .
Resultater for stor model med charniereforbundne stænger og dominerende
snebelastning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resultater for forskellige profiler med momentstive samlinger ved dominerende sne, vind i retning I - træk i zone B og tryk i zone C . . . . . . . . . . . .
Resultater for forskellige profiler med momentstive samlinger ved dominerende sne, vind i retning II - træk i zone B og tryk i zone C . . . . . . . . . . . .
Resultater for forskellige profiler med momentstive samlinger ved dominerende sne med vind i retning I - træk i zone B og C . . . . . . . . . . . . . . . .
Resultater for forskellige profiler med momentstive samlinger ved dominerende sne med vind i retning II - træk i zone B og C . . . . . . . . . . . . . . . .
Resultater for stor model med charniereforbundne stænger og dominerende
vindbelastning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resultater for forskellige profiler ved dominerende vind i retning I - træk i
zone B og tryk i zone C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resultater for forskellige profiler ved dominerende vind i retning II - træk i
zone B og tryk i zone C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resultater for RHS100x60x4 belastet med gængse lastkombinationer . . . . .
Omfordelt snelast i område 1-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resultater for RHS100x60x4 belastet med omfordelt sne . . . . . . . . . . . .
Resultater for konstruktion belastet med ulykkeslast for eftervisning af robusthed1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resultater for konstruktion belastet med ulykkeslast for eftervisning af robusthed2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resultater for konstruktion belastet med snelast og egenlast som følsomhedsundersøgelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14
17
25
27
28
29
29
31
33
34
34
35
35
36
36
36
37
40
40
42
43
44
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Valg af profiler til hele konstruktionen inkl. understøtningsforhold .
Spændinger i ringbjælke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Udnyttelsesgrader af pendulsøjlerne . . . . . . . . . . . . . . . . .
Udnyttelsesgrader og spændinger i vindgitteret . . . . . . . . . . .
Udnyttelsesgrader og spændinger i vindgitteret . . . . . . . . . . .
53
53
54
54
55
6.1
Maksimale snitkræfter optrædende i kuplens knuder . . . . . . . . . . . . . . 63
XI
Analyse af gitterkuppel
Tabeller
XII
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
1
Indledning
Udviklingen inden for bygningsarkitektur har i moderne tid taget retning mod større og
mere åbne rum. Med den trend er fulgt ønsket om, at udnytte det naturlige lysindfald fra
solens stråler. Kombinationen af dette giver store både lodrette og vandrette flader, der skal
dækkes med glas for at muliggøre naturligt solindfald. Denne udvikling stiller spændende
udfordringer til ingeniører af forskellig slags, når de medfølgende opgaver skal løses f.eks. i
forbindelse med styring af indeklima, men i høj grad også til den statiske sammensætning
af konstruktionerne, da disse skal kunne klare store spændvidder.
Tilgængeligheden af beregningsprogrammer baseret på elementmetoden giver flere muligheder for de projekterende ingeniører og muliggør dermed mere komplekse konstruktioner.
Hvorledes konstruktionerne dimensioneres afhænger meget af udformningens kompleksitet,
hvor højde, spændvidde, krumning og belastning er nogle af de afgørende faktorer. Samtidig
med at konstruktionen skal kunne modstå belastningen, skal konstruktionen fremstå æstetisk efter de krav arkitekter og bygherre fremsætter.
Denne opgave omhandler en gitterkuppel, der er en del af Novo Nordisk’s nye hovedkontor,
som skal bygges i Bagsværd, Danmark. Konstruktionen er ikke videre kompleks eller bemærkelsesværdig, men for en ung ingeniørstuderende giver analysen et godt indblik i hvilke
forhold, der gør sig gældende, når en gitterkonstruktion, der beklædes med glas, skal projekteres. Afhængig af form og anvendelse opstilles forskellige krav til bæreevnen af profiler,
samlinger og understøtninger samt undersøgelser af hvilke svigtformer, der kommer på tale,
da alle aspekter bør inddrages for at lave en fyldestgørende projektering.
I projektet bliver kuplen undersøgt ud fra de retningslinjer, som arkitekten har opstillet.
Profilet anvendt i kuplen skal være så smalt som muligt, ligesom geometrien er fastlagt på
forhånd. Inden for de rammer dimensioneres kuplen ved at kigge på bæreevnen af et enkelt
stangelement, stabiliteten af et lokalt område, og endeligt bliver den globale stabilitet af selve kuplen behandlet indgående ved beregning i et FEM beregningsprogram ved belastning
med de laster, der er givet i gældende Eurocodes. Efterfølgende undersøges understøtningsforholdene for selve gitterkuplen for at sikre, at kræfterne kan afleveres på forsvarlig vis
ned gennem konstruktionen. Afslutningsvis skrues der op for detaljeringsniveauet ved at
kigge indgående på lokale samlinger mellem stængerne i kuplen. Dette gøres ved brug af
håndberegningsmetoder til undersøgelse af lokale svigtformer i boltsamlingerne. Gennem
beregningerne dimensioneres tæt på grænsen, hvilket bør tages i betragtning, når det endelig valg, baseret på analysens samlede billede, træffes.
Interesserede læsere ønskes god læselyst.
1
Analyse af gitterkuppel
Indledning
2
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
2
Gitterkuppel over atrium,
Novo Nordisk Bagsværd
Det nye hovedkvarter for Novo Nordisk i Bagsværd kommer til at ligge i en 27 m høj cylindrisk bygning. En illustration af byggeriet kan ses på figur 2.1 nedenfor, hvorpå det kan ses,
at der rundt langs bygningen er placeret tre indskæringer per 120 ◦ . Designet bryder med
den klassiske cylinderiske form, der kunne have ligheder til en monoton silo, og samtidig
er indskæringerne med til at give dagslys på et større etageareal i bygningen. Yderkanten
af cylinderen er primært forbeholdt kontorerne, da der her er størst solindfald, mens områderne nærmere midten er forbeholdt mere praktiske formål. Midten af cylinderen er et
åbent atrium, som huser snoede trappegange. Atriummet er overdækket af en gitterkuppel
beklædt med glas. Bygningens diameter er 70 m, mens kuplens diameter er 32,6 m, altså
lige under halvdelen af bygningen. Glaskuplens højde er 2,5 m, hvilket gør at bygningens
totale højde når op på ca. 31 m, da kuplen er placeret cirka 1,5 m over taget.
Figur 2.1: Modeltegning i 3D, der viser arkitektens idé med bygningen. Kilde: Henning Larsen
Architects/ALECTIA A/S.
Denne opgave omhandler kuplen på taget og dimensionering af denne. Derfor vil geometrien
og opbygningen af denne beskrives nærmere, uden at den resterende del af bygningen betragtes. Kuplen er en kugleflade, hvorfor alle normalsnit i alle punkter har samme krumning1 .
To vilkårligt på hinanden ortogonale tangentretninger er da hovedretninger, og krumningskurverne vil være ens, uanset hvor på fladen de dannes. Fladen kan ligeledes betegnes som
en positiv dobbeltkrum flade. Geometrien af kuplen er på forhånd givet af arkitekterne, hvor
det er oplyst, at højden og diameteren som før omtalt er hhv. 2,5 m og 32,6 m. Ud fra disse
givne dimensioner kan radius på den kugle, som kuplen er en del af, beregnes. Ydermere
kan den maksimale tangenthældning på kuplen i forhold til vandret findes. Alt dette har
indflydelse på, hvordan kuplen overfører laster, og derved påvirkes ved belastning. På figur
2.2 nedenfor, ses kuplens geometri, hvor overordnede dimensioner er påført.
1 Jf.
[1] side 29.
3
Analyse af gitterkuppel
Gitterkuppel over atrium,
Novo Nordisk Bagsværd
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Figur 2.2: 2D tegning, der viser kuplens geometri set fra siden.
Kuplen konstrueres som et gittersystem bestående af stålstænger, hvorimellem der fastmonteres glas. Stålgitteret konstrueres således, at det set nedefra (eller oppefra) ser ud som vist
på figur 2.3. Stængerne samles i knuder, der enten kan udformes som charniere eller som
en momentstiv samling. For at skabe en kuppel vil de enkelte knudepunkter i gitteret blive
hevet op fra det flade mønster, vist i figuren, til et 3-dimensionelt system, med dimensioner
som angivet på figur 2.2. Dette resulterer i, at stanglængderne vil variere hen over kuplen,
hvilket er en af udfordringerne, når kuplen skal dimensioneres samt tildannes.
Gitterkonstruktionen er, som det ses af figur 2.3, opbygget af sekskanter (bestående af seks
trekanter) med en centralt placeret sekskant. Symmetrien i planen, betyder at man kan
genfinde sekskanter overalt i konstruktionen, og hver trekant kan indgå i tre sekskanter.
Samtidig medfører det også nogle ikke fuldendte trekanter langs yderkanten, og dermed flere stanglængder at tage højde for. Fordelen ved denne type konstruktion er stabiliteten af
geometrien. Ifølge H. Almegård [1] skal en knude i et stangsystem være fastholdt i tre retninger for at være fastholdt mod bevægelse i rummet. Stabilitetsbetingelserne2 formuleres
som:
• Knuden skal fastholdes af tre understøtninger eller tre stænger, eller en kombination
heraf.
• De tre tilhørende retninger må ikke ligge i samme plan.
Da kun få knuder har mulighed for understøtning, skal andre stænger udgøre fastholdelsesbetingelserne. Ved den valgte udformning af gitteret er hver knude fastholdt i netop tre
2 Jf.
4
[1] side 46, om rumligt stabile stangsystemer.
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Analyse af gitterkuppel
Gitterkuppel over atrium,
Novo Nordisk Bagsværd
Figur 2.3: Geometrien af tagkonstruktionen. Før denne rejses er alle stænger (med undtagelse
af de yderste) lige lange, hvorved trekanterne har samme størrelse.
retninger, som ikke ligger i samme plan. Konstruktionen er dermed både geometrisk og
statisk bestemt, hvorfor den kan betegnes som rumligt stabil3 . Ikke overraskende er kuglefladen som kuplen udgøres af, stabil ved den valgte konstruktion, så udfordringerne ligger
dermed i dimensionering af gitterkonstruktionen, med de tilgængelige metoder under hensyntagen til aktuelle betingelser. Dimensioneringen består i undersøgelse af stænger, knuder
og ringbjælke, hvilket denne opgave behandler nærmere.
3 Jf.
[1] side 46.
5
Analyse af gitterkuppel
Gitterkuppel over atrium,
Novo Nordisk Bagsværd
6
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
3
Lastpåvirkning på gitterkuppel
For at kunne bestemme dimensionerne af det profil, som ønskes benyttet ved udformningen
af gitterkuplen, er det nødvendigt at bestemme de laster der virker på konstruktionen. I det
følgende dokumenteres hvilke laster der virker på gitterkuplen. Der tages udgangspunkt i de
gældende Eurocodes, med tilhørende nationale annekser, for henholdsvis snelast og vindlast.
Derudover tages der hensyn til konstruktionens egenvægt i lastkombinationerne.
3.1
Snelast
Snelasten på konstruktionen bestemmes af DS/EN 1991-1-3:2007 [2] med tilhørende nationale anneks [3]. Kapitel 5.2 i [2] beskriver, at snelaster på tage ved vedvarende/midlertidige
dimensioneringstilfælde skal bestemmes af:
s = µi Ce Ct sk
(3.1)
hvor
µi er formfaktoren for snelasten.
Ce er eksponeringsfaktoren.
Ct er den termiske faktor.
sk er den karakteristiske terrænværdi.
Formfaktoren µi bestemmes for det standardtilfælde i normen, der ligner den givne situation mest muligt. Det antages, at cylindriske tage er den situation der ligger tættest på
kuppelformen, da den kuppelformede tagkonstruktion kan regnes som et rotationssymmetrisk tilfælde af det cylindriske tag. Kapitel 5.3.5 i [2] om cylindriske tage vælges derfor som
udgangspunkt for bestemmelsen af formfaktoren. Da kuplen er relativt flad, vil der ikke
forekomme tangenthældninger på mere end 60 ◦ , og µi bestemmes derfor af:
µ3 = 0,2 + 10
h
b
(3.2)
hvor
h er pilhøjden på kuplen.
b er bredden af kuplen.
Af appendix A fremgår størrelserne af henholdsvis h og b (b findes som d) til 2,50 m og 32,6
m. Formfaktoren bestemmes herefter til:
µ3 = 0,2 + 10 ·
2,50 m
32,6 m
= 0,97
Størrelsen af µ3 benyttes ved omfordelt snebelastning, mens formfaktoren sættes lig 0,8 ved
jævnt fordelt last på kuplen. Der tages højde for de forskellige formfaktorer i forbindelse
med bestemmelsen af relevante lastkombinationer.
Eksponeringsfaktoren sættes lig 1, da topografien omkring bygningen ikke giver anledning
til forbehold, og det forventes ikke at den ændrer sig på sigt. Den termiske faktor vælges
ligeledes til 1, da det forventes at glasmaterialet der dækker kuplen har egenskaber der ikke
7
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Lastpåvirkning på gitterkuppel
giver anledning til at reducere snelasten. Det er en konservativ betragtning at regne uden reduktion. Den karakteristiske terrænværdi findes af [3] og antager i Danmark værdien 0,9 kN
m2 .
Belastningen ved jævnt fordelt last bestemmes således til:
sk = 0,8 · 1 · 1 · 0,9
kN
m2
= 0,72
kN
m2
Denne værdi benyttes ved de senere beregninger af lastkombinationer.
3.2
Vindlast
Vindlasten på konstruktionen bestemmes af DS/EN 1991-1-4:2007 [4] med tilhørende nationale anneks [5]. Af kapitel 5.2 i [4] findes, at det vindtryk der virker på udvendige overflader
bestemmes af:
we = qp (ze ) · cpe
(3.3)
hvor
qp (ze ) er peakhastighedsudtrykket.
ze er referencehøjden for det udvendige tryk.
cpe er formfaktoren for det udvendige tryk.
Af ’Vindlast på cylindrisk bygning til Novo i Bagsværd’ [6] benyttes den karakteristiske
peakhastighed, som Svend Ole Hansen Aps har fundet frem til for Alectia i forbindelse med
projektet. For alle vindretninger benyttes qp (ze ) = 0,90 kN
m2 der svarer til terrænkategori III
samt en bygningshøjde på 31 m og en ruhedslængde på 0,3 m. At benytte denne hastighed
for alle vindretninger er igen en konservativ antagelse, da andre vindretninger end vind fra
vest og nordvest kan medføre mindre karakteristiske vindtryk, jævnfør [6].
Formfaktoren for vindbelastningen bestemmes ligeledes på baggrund af [6], hvor der er givet
en fordeling af vindbelastningen på tagplanens cirkelformede tag. Det antages, at gitterkuplen på midten af taget ikke medfører betragtelige ændringer i vindforholdene på taget pga.
den lave pilhøjde, hvorfor formfaktorerne fra [6] direkte benyttes. Dog flyttes grænsen mellem området med træk og området med skiftende træk og tryk på tagfladen 4,5 m længere
ind på kuplen, se figur 3.1, hvilket gøres som en konservativ antagelse, da det antages at
dette er en mere kritisk påvirkning af kuplen. Der undersøges kun vindforhold på kuplen,
da vindtrykket på den resterende bygning ikke har indflydelse på hvilke kræfter der virker
på kuplen.
Indflytningen svarer til at kuplen er belastet med sug (cpe = −0,7) i ca. en tredjedel af
diameteren, og de resterende ca. to tredjedele er belastet af skiftende sug (cpe = −0,5) og
tryk (cpe = +0,2). Når lastkombinationen med tryk i zone C, se figur 3.1 th., betragtes,
findes en modsatrettet belastning i de to zoner, hvilket er spændende at undersøge i forhold
til global stabilitet af kuplen. Denne stiller større krav til dimensioneringen end en jævnt
fordelt belastning, da jævnt fordelt belastning giver ens kraftfordeling i kuplen. Gennemgående regnes kun med den globale belastning, da opgavens mål er at beskrive den overordnede
statiske virkemåde af kuplen, og ikke en lokal effekt, som f.eks. fastgørelsen af glaspladerne.
Da bygningen er tilnærmet cirkelformet (der tages ikke højde for indskæringerne), er det
underordnet hvilken retning vinden kommer fra, da det vil medføre samme belastning på
den symmetriske kuppel (sålænge der vælges at regne med samme peak hastighed for alle
vindretninger).
Størrelsen af vindbelastningerne, givet som en belastning i kN
m2 i de forskellige zoner (zone
8
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Lastpåvirkning på gitterkuppel
Figur 3.1: Tv. ses inddeling af zoner givet i [6], mens den ændrede fordeling ses til højre,
hvor grænsen er flyttet 4,5 m mod midten. Mål på figur i mm.
A er uden for kuplen) bestemmes ved brug af ligning (3.3) til:
kN
· (−0,7) = −0,63
m2
kN
: we = 0,9 2 · (−0,5) = −0,45
m
kN
: we = 0,9 2 · (+0,2) = +0,18
m
Zone B : we = 0,9
Zone Csug
Zone Ctryk
kN
m2
kN
m2
kN
m2
Udover den eksterne vindbelastning vurderes den interne vindbelastning. Som før benyttes
formfaktorerne fra [6]. Der regnes uden dominerende åbninger i bygningen, hvorfor disse
fastsættes til cpe = +0,2 og cpe = −0,3 for henholdsvis internt tryk og internt sug. Disse
værdier er analoge med [4]. Her foreskrives at når arealet af åbninger ikke kan bestemmes,
eller ikke anses for nødvendigt at bestemme, kan de nævnte værdier benyttes. Der bør regnes
med den mindst gunstige af de to.
Størrelserne af de interne belastninger til brug ved kombinering af lasttilfældene bestemmes:
kN
· (−0,3) = −0,27
m2
kN
Internt tryk : wi = 0,9 2 · (+0,2) = +0,18
m
Internt sug : wi = 0,9
3.3
kN
m2
kN
m2
Egenlast
Konstruktionens egenlast bestemmes ud fra det skønnede materialeforbrug, der vil være til
gitterkuplen inklusiv glasbeklædningen. Først betragtes glasbeklædningen. Glasbeklædningen skal være hærdet glas, der skal kunne modstå belastningen fra naturlaster, ligesom der
skal kunne bevæge sig mennesker på beklædningen for f.eks. at rengøre glasset. Egenvægten
af glas er ifølge teknisk ståbi4 , [7], 25 kN
m3 . Som en antagelse regnes med en tykkelse af glasset
på 20 mm, da dette tænkes at være en passende tykkelse af glas til den givne konstruktion,
hvorved egenlasten fra glasbeklædningen kan skønnes til:
Gglas = 25
4 Afsnit
kN
kN
· 0,020 m = 0,500 2
3
m
m
11.2.1, Styrke og stivhed, side 380.
9
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Lastpåvirkning på gitterkuppel
Udover glasbeklædningen betragtes ligeledes egenvægten af stålet i gitterkonstruktionen.
N
Som et konservativt overslag vælges at estimere egenvægten af stålet til 525 m
, svarende ca.
5
til f.eks. et profil af typen RHS200x100x12 . Ved inspicering af gittergeometrien, findes at
den samlede længde af stængerne udgør ca. 1220m, se appendix A. For at tage højde for
eventuelt øget masse i knuderne regnes med en samlet længde på 1235m. Den samlede last
fra gitterkonstruktionen bliver derfor:
F = 525
N
· 1235 m = 648 kN
m
Som det fremgår af appendix A, har kuplen en overflade på 854,4 m2 . Når den samlede
belastning fordeles over hele arealet medfører det en jævnt fordelt last på fladen svarende
til:
kN
648 kN
= 0,758 2
Gstål =
854,5 m2
m
Den samlede estimerede egenlast af kuplen udgør dermed:
Gk = Gglas + Gstål = 0,500
kN
kN
kN
+ 0,758 2 = 1,258 2
2
m
m
m
Ved fastsættelsen af lastkombinationerne benyttes denne egenvægt. Det noteres dog, at
være et konservativt bud. Ved senere beregning benyttes egenvægten af det valgte profil til
stålkonstruktionen, mens glasbeklædningen fortsat vil være et estimat.
3.4
Lastkombinationer
For at kunne bestemme de kritiske lastkombinationer for konstruktionen, er det nødvendigt
at vurdere hvilken konsekvensklasse konstruktionen skal henføres til. Det vurderes at et
eventuelt svigt kan medføre højere risiko for tab af menneskeliv end normalt, da der kan
befinde sig flere mennesker på arealerne under konstruktionen, ligesom faldhøjden vil være
stor. Derfor henføres konstruktionen til CC3 - høj konsekvensklasse. Konklusionen underbygges af, at klassen normalt benyttes til bygninger, hvor højden til gulv i øverste etage er
mere end 12 m over terræn, såfremt de f.eks. benyttes til kontorer, hvilket er tilfældet her.
Faktoren KF I vælges derfor lig 1,16 .
Det vurderes, at der ikke virker andre laster på konstruktionen end naturlaster, dvs. ingen
nyttelaster. De kritiske lastkombinationer der undersøges er derfor dominerende snelast samt
dominerende vindlast. For begge kombinationer bestemmes værdierne for begge områder af
kuplen, se figur 3.1 for zoneinddeling, ligesom der tages hensyn til den interne vindbelastning. Kombinationerne fastsættes på baggrund af partialkoefficienter givet i [7]7 .
Dominerende snelast + egenlast + vind + internt sug:
qdom,sne = KF I · 1,5 · sk + KF I · 1,0 · Gk + KF I · 0,45 · Vk
(3.4)
hvor Vk er et udtryk for den samlede vindlast fra eksterne og interne belastninger. For denne
kombination vil det interne sug give den største nedadrettede belastning, hvorfor der ikke
udregnes værdier for kombinationen med internt tryk. For lokal instabilitet af kuplen, der
behandles i senere afsnit, bør den maksimale trykpåvirkning bestemmes, og derfor er det
kun den maksimale belastning der er interessant.
5 Det
anvendte beregningsprogram udregner selv egenvægten af de valgte profiler.
[7] kapitel 4.
7 Afsnit 4.4 lastkombinationer og ψ-faktorer, side 141.
6 Jf.
10
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Zone B:
Lastpåvirkning på gitterkuppel
kN
kN
+ 1,1 · 1,0 · 1,258 2
2
m
m
kN
kN
+1,1 · 0,45 · ((−0,63) − (−0,27)) 2 = 2,39 2
m
m
qdom,sne,B = 1,1 · 1,5 · 0,72
Zone Csug :
kN
kN
+ 1,1 · 1,0 · 1,258 2
2
m
m
kN
kN
+1,1 · 0,45 · ((−0,45) − (−0,27)) 2 = 2,48 2
m
m
qdom,sne,Csug = 1,1 · 1,5 · 0,72
Zone Ctryk :
kN
kN
+ 1,1 · 1,0 · 1,258 2
2
m
m
kN
kN
+1,1 · 0,45 · (+0,18 − (−0,27)) 2 = 2,79 2
m
m
qdom,sne,Ctryk = 1,1 · 1,5 · 0,72
Til gengæld er det interessant at kigge på lastkombinationer, hvor der er størst forskel mellem
de forskellige zoner, for at se om dette er mere kritisk end en jævn belastning. Den findes ved
at kigge på situationen med dominerende vind, da der her kan forekomme træk i zone B og
tryk i zone C. Det må antages at være den farligste situation for global instabilitet af kuplen.
Generelt i lastkombinationen med dominerende vind anvendes γ = 0,9 som partialkoefficient
på egenlasten, hvor vinden medfører sug på konstruktionen, da egenlasten i det tilfælde virker
til gunst for lastkombinationen. I zonerne med tryk på taget virker egenlasten til ugunst, og
derfor benyttes stadig γ = 1,0 som partialkoefficient.
For dominerende vindlast bestemmes størrelsen af lasterne ved:
qdom,vind = KF I · 1,5 · Vk + KF I · γ · Gk
(3.5)
Igen ønskes kun den farligste kombination for konstruktionen, og den findes ved internt
tryk, da det forøger den opadrettede kraft på den del af taget hvor der er sug. Størrelsen af
lasterne i de betragtede zoner findes til:
Zone B:
qdom,vind,B = 1,1 · 1,5 · (−0,63 − 0,18)
kN
kN
kN
+ 1,1 · 0,9 · 1,258 2 = −0,09 2
m2
m
m
Zone Csug :
qdom,vind,Csug = 1,1 · 1,5 · (−0,45 − 0,18)
kN
kN
kN
+ 1,1 · 0,9 · 1,258 2 = 0,21 2
m2
m
m
Zone Ctryk :
qdom,vind,C2 = 1,1 · 1,5 · (0,18 − 0,27)
kN
kN
kN
+ 1,1 · 1,0 · 1,258 2 = 1,24 2
m2
m
m
Af lastkombinationerne findes, at der vil optræde tryk i zone C, mens der vil forekomme
træk i zone B. Det må derfor antages at være den farligste kombination. Det findes samtidig, af trækket ikke er særligt stort, hvilket skyldes den store egenlast. Det huskes dog, at
egenlasten er baseret på et estimat, og ved senere brug af FEM-programmer vil egenlasten
11
Analyse af gitterkuppel
Lastpåvirkning på gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
justeres til det aktuelle, hvorved størrelsen af trækket øges. Derfor forventes det at situationen er mere kritisk end hvad tallene ovenfor umiddelbart viser. I dimensioneringen burde
alle lastkombinationer med de skiftende vindforhold undersøges, for at være sikker på at
den valgte løsning opfylder kriterierne til bæreevnen. Det vurderes, at de netop behandlede
kombinationer vil være de dimensionsgivende, hvorfor disse anvendes til den indledende dimensionering.
I lastkombinationerne er der benyttet jævnt fordelt snelast over hele kuplen. Senere betragtes tilfælde, hvor sneen pga. vind er blevet omfordelt, hvilket kan give anledning til farligere
lastkombinationer end de fundne ud fra standardtilfældene givet i [7]. Situationerne med
omfordelt snelast benyttes til at betragte den globale stabilitet af kuplen.
12
4
Stabilitet af gitterkonstruktion
Ved dimensionering af stålprofilerne i gitteret er det nødvendigt at foretage en stabilitetsundersøgelse af gitterkuplen. Ved en sådan undersøgelse vil tre svigtformer være relevante
at undersøgelse. Dette drejer sig om:
• Udknækning af en enkelt trykstang
• Lokal instabilitet (snap-through)
• Stabilitetssvigt i en større del af gitterskallen
I dette afsnit vil undersøgelsen af disse blive behandlet enkeltvis, både ved hjælp af simple
håndregnings udtryk, samt mere avancerede computermodelleringer foretaget i Abaqus CAE
6.10 og Autodesk Robot Structual Analysis Professional 2011.
Først tages udgangspunkt i en simpel model, hvor samlinger og understøtning-er er udført
som charniere, da den endelige udformning endnu ikke er kendt. Hvis konstruktionen udføres
med momentstive samlinger må det forventes at deformationen og spændingerne reduceres,
samtidig med at snap-through ikke indtræffer, hvorved størrelsen af profilet kan reduceres.
Dette er dog ikke lige så simpelt at regne på, hvorfor de indledende beregninger er foretaget
på stænger samlet med charnieres. Dette lægger grundlaget for en senere bestemmelse af en
optimal udformning af konstruktionen.
4.1
Udknækning af en enkelt trykstang
I DS/EN 1993-1-1:2007 [8] er givet et udtryk for den regningsmæssige bæreevne mht. stabilitetssvigt af en trykstang. Dette udtryk afhænger af stangens tværsnitsklasse, der afhænger
af tværsnitsdimensionerne samt stålets styrkeklasse. Idet det antages at der benyttes et profil i tværsnitsklasse 1, 2 eller 3, kan bæreevnen bestemmes af nedenstående udtryk.
Nb,Rd =
χ A fy
γM 1
(4.1)
hvor
1
√
, dog χ ≤ 1,0
Φ + Φ2 − λ 2
Φ = 0,5(1 + α(λ − 0,2) + λ2 )
r
A fy
λ=
Ncr
χ=
I ovenstående udtryk er α imperfektionsfaktoren, der for varmvalsede rørprofiler i stålkvalitet S235, S275, S355 og S420 er lig 0,21, og Ncr er den kritiske normalkraft givet ved
eulerlasten for den tilhørende eulersøjle.
Der er fra arkitektens side stillet krav om et højt og smalt profil, så det visuelle udtryk af
konstruktionen set nedefra er så slankt som muligt, hvorfor et RHS200x100x10 profil er valgt.
Dette er valgt på bagrund af en forventning om, at når hele konstruktionen udføres i dette
profil med charniereforbundne stænger og belastes med de i afsnit 3.4 fundne belastninger,
8 Tværsnitsklassen
findes af tabel 5.2 (blad 1 af 3) i [8].
13
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
Tabel 4.1: Tværsnitsdata og materialeparametre for et RHS200x100x10 profil i stålkvalitet
S235, jf. Teknisk Ståbi [7]
A
[mm2 ]
103
Iy
[mm4 ]
106
Iz
[mm4 ]
106
fy
[MPa]
1
E
[MPa]
106
Tv.kl8
Enhed
Faktor
axbxt
[mm]
1
Værdi
200x100x10
5,49
26,6
8,69
235
0,21
1
vil dette have tilstrækkelig bæreevne. Tværsnitsdata og materialeparametre for profilet er
listet i tabel 4.1. Fremgangsmåden til bestemmelse af bæreevnen overfor trykpåvirkning er
dog den samme uanset profil, hvorfor kun et enkelt profil vælges som eksempel.
Den valgte gitterkonstruktion vil primært overføre trykkræfter, hvorfor det er naturligt at
undersøge bæreevnen i forhold til en eulersøjle, der er det simpleste eksempel på et trykpåvirket element. En eulersøjle udført i det føromtalte profil med en længde på 2,36 m, svarende
til længden af stængerne i toppen af gitterkonstruktionen, giver en λ værdi på 0,63. Dette
er større end 0,2, hvormed der ikke kan ses bort fra søjlevirkning9 . For slanke søjler, har
imperfektioner en stor betydning, hvorfor bæreevnen reduceres væsentligt. Den tilhørende
værdi for reduktionsfaktoren χ kan udregnes af den ovenfor givne ligning eller aflæses i figur
6.4 i Eurocode 3 [8] til 0,88 hvilket, som krævet, er mindre end 1. Hvormed den regningsmæssige bæreevne findes til 964 kN, hvilket det senere vil fremgå er større end den kritiske
last for snap-through.
Betragtes en lignende søjle i Robot, må det forventes at en last svarende til den kritiske
eulerlast findes, da Robot betragter en ideel søjle, og ikke en virkelig søjle med inital deformation, som Eurocodes behandler. Ved en ikke-lineær bulingsberegning i Robot findes den
kritiske last til 3340 kN, svarende til:
Ncr =
EIz π 2
2
lcr
(4.2)
hvor E er søjlens elastisitetsmodul, Iz er inertimomentet om den svage akse og lcr er den
effektive søjlelængde jf. notat om knæklængder [9]. Da Robot ikke medtager runde hjørner
på et af brugeren defineret profil, vil tværsnitsarealet være lidt større end hvad der faktisk
er tilfældet, og dermed ændres inertimomentet til en lidt større værdi. Når værdier fra tabel
4.1 benyttes i ligning (4.2) reduceres Ncr til 3226 kN.
Yderligere er der i Robot foretaget et normtjek, hvis resultater er vist i appendix B. Heraf
findes den regningsmæssige bæreevne til 964 kN, altså det samme som ved brug af ligning
(4.1). På figur 4.1 er vist en graf over den kritiske bæreevne i fht. udknækning af en enkeltstang fundet med hhv. Eurocodes og Robot. Normtjekket leverer altså den regningsmæssige
bæreevne efter gældende Eurocodes. Normtjekket udfører beregningerne der tager højde højde for slankhedsforholdet og tilstedeværelsen af eventuelle momenter mv. Dette udnyttes i
det efterfølgende, da der gives et præcis svar på hvor meget et givent profil er udnyttet i den
betragtede situation, uanset kompleksiteten af belastningen. At kunne trække resultaterne
ud, letter analysen af hele konstruktionen, og giver en mere fyldestgørende beskrivelse af
udnyttelsen af stængerne end blot størrelsen af de maksimale spændinger.
9 Jf.
14
[8].
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Analyse af gitterkuppel
Stabilitet af gitterkonstruktion
Figur 4.1: Last-flytningsdiagram for ikke-lineær beregning på enkeltstang i Robot sammenlignet med eulerlasten og udtrykket fra Eurocodes.
4.2
Lokal instabilitet
Udover udknækning af en enkelt trykstang, hvilket naturligt vil medføre betydelig reduktion
i bæreevnen for hele konstruktionen, kan konstruktionen, som den er udformet, også deformere så meget, at den ikke naturligt vil bringes tilbage til udgangspositionen. Dette sker,
når belastningen medfører en lodret knudeflytning der er større end den lokale pilhøjde.
Herefter vil konstruktionen indtage en ligevægtsposition hvor pilhøjden er blevet negativ.
Denne situation kaldes snap-through, og kan kun forekomme for charniereforbundne stænger. Princippet er vist på figur 4.2.
Figur 4.2: Princip ved snap-through deformation, hvor konstruktionen ikke vender tilbage til
udgangspositionen
4.2.1
Indledende håndregning
For at undersøge denne lokale instabilitet, benyttes notat om "Rumgitterkonstruktioner" af
Henning Agerskov [10] samt "Analysis and design of space frames by the continuum method"
af L. Kollár og I. Hegedüs [11]. I disse to artikler behandles i alt tre forskellige modeller. Dette
skyldes at den kritiske belastning, der medfører snap-through, er vanskelig at bestemme da
der er store afvigelser mellem eksperimentielle resultater og teoretiske analyser, hvormed
forskellige situationer må betragtes.
15
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
Figur 4.3: Betragtede delområde af konstruktionen. Tv. set oppe fra og th. set fra siden, med
angivelse af notation. Kilde: H. Agerskov (1976), [10].
I alle tre modeller betragtes et delområde omkring et knudepunkt, som det er vist i figur 4.3.
Agerskov bestemmer den kritiske last under to forudsætninger. Først hvor knuderne B1 til
B6 er helt fastholdt af resten af konstruktionen, knuderne betragtes altså som fast simpelt
understøttet, mens midterknuden er frit bevægelig og stængerne er charniereforbundne. Dernæst betragtes den situation hvor resten af konstruktionen ikke yder nogen modstand mod
deformation, hvilket kan sammenlignes med at delkonstruktionen er placeret på is, hvormed
understøtningerne er bevægeligt simple og igen betragtes charniereforbundne stænger. Kollár og Hedegüs har også beskæftiget sig med to modeller, hvoraf den første ikke har interesse
da denne er magen til Agerskovs fast simple understøttede model. Den anden derimod er
af stor interesse da denne omhandler samme delområde, men denne gang med momentstiv
samling i midten og elastiske understøtninger i knuderne B1 til B6 .
Nedenfor vil hver af disse tre modeller blive behandlet enkeltvis, senere vil tilsvarende computermodelleringer blive beskrevet.
Fast simpelt understøttet model med charniere i top
Som før omtalt betragtes her et udsnit af konstruktionen rundt om en knude. De yderliggende punkter modelleres således at de antages at være ueftergiveligt fastholdt af den resterende
konstruktion, mens alle stænger er forbundne med charnieres. Det bemærkes, at eftersom
det betragtede område kun er en del af en større konstruktion, vil knudene ikke være ueftergiveligt fastholdt som her antaget og ej heller fuldt bevægelige som det er antaget i næste
afsnit. Det egentlige understøtningsforhold befinder sig et sted imellem disse to, hvorfor den
kritiske last også vil befinde sig mellem disse to yderværdier.
Når det betragtede udsnit af konstruktionen belastes med en enkeltkraft, W, i toppunktet,
deformerer konstruktionen således at pilhøjden h reduceres til h’, se figur 4.3. Da knuderne
B1 til B6 er fastholdt mod flytning resulterer denne deformation i en tøjning i stængerne,
der under antagelse af at L = a og (1 + x)α = 1 + αx bliver som vist i ligning (4.3). I
appendix C er det vist at de nævnte antagelser er acceptable, samt at nedenstående ligning
kan benyttes som et udtryk for tøjningen.
εAB =
16
h2 − h0
2L2
2
(4.3)
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
Stangkraften i hver af stængerne kan da, i følge Agerskov, skrives som:
PAB = AEεAB
(4.4)
hvor A er tværsnitsarealet og E er elasticitetsmodulet.
Herved kan et udtryk for den kritiske belastning som funktion af nedbøjningen findes, under
antagelse af at L/r ∼
= sin L/r ∼
= tan L/r.
2
W =
6PAB h0
3AEh0 (h2 − h0 )
=
L
L3
(4.5)
Den maksimale værdi af W kan findes ved at differentiere ovenstående udtryk i fht. h’.
Herved findes den kritiske højde, altså den højde af toppunktet hvor W bliver størst, til
h0 kr = √h3 . Den kritiske belastning, der medfører snap-through for den betragtede model
bliver da:
2AEh3
(4.6)
Wkr = √
3L3
For at underbygge Agerskovs betragtning af tøjningerne, ønskes det at sammenligne med et
ikke-lineært tøjningsudtryk. Steen Krenk præsenterer i "Non-linear Modeling and Analysis
of Solids and Structures" [12] et simpelt eksempel, der ofte er benyttet til at beskrive basale
egenskaber ved ikke-lineær opførsel. Situationen svarer til figur 4.2, hos Krenk kaldet ’two
element truss model’. I appendix C er tøjningsudtrykket behandlet nærmere, hvor en mere
detaljeret sammenligning med Agerskovs udtryk er beskrevet. Det ikke-lineære tøjningsudtryk omsat til Agerskovs notation findes til:
ε'
h h − h0
1 h − h0 2
+ (
)
L L
2
L
(4.7)
Ved indsættelse af aktuelle talværdier findes en begrænset forskel på det analytisk bestemte
tøjningsudtryk og det ikke-linæere. Tabel 4.2 viser de indsatte værdier samt de beregnede
tøjninger.
Tabel 4.2: Sammenligning af analytisk bestemt tøjning med ikke-lineært tøjningsudtryk.
h
h’
L
ε
Enhed
[mm]
[mm]
[mm]
[-]
Analytisk (Agerskov)
Ikke-lineært (Krenk)
51
29,44
2363
1,5527 · 10−4
1,5527 · 10−4
Som det ses af tabellen, er forskellen mindre end at det kan præsenteres med de angivne
decimaler. Det konkluderes hermed, at det analytiske udtryk for tøjningen stemmer overens
med det ikke-lineære udtryk.
Benyttes de i tabel 4.1 angivne værdier for A og E, samt en pilhøjde10 , h, på 51 mm og en
stanglængde, L, magen til den i afsnit 4.1, på 2,36 m findes den kritiske last til 13,4 kN.
Dette illustreres i nedenstående figur 4.4, der viser sammenhængen mellem den påsatte last
og den tilhørende flytning. Heraf fremgår det både at den kritiske last er på de omtalte 13,4
kN, samt at den kritiske pilhøjde er √h3 =29,4 mm.
For at kunne sammenligne bæreevnen af det aktuelle profil med den egentlige påvirkning
10 Svarende
til pilhøjden af den lille model.
17
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
Figur 4.4: Last-flytning beregnet med Agerskovs håndregning.
fra naturlaster, må den fundne enkeltkraft på 13,384kN omregnes til en jævnt fordelt last
på konstruktionen. Dette gøres under den antagelse at 1/3 af lasten på hver af de trekantede plader virker i hver knude, hvorfor den fundne enkeltkraft fordeles over en tredjedel af
konstruktionens overfladeareal. Agerskov giver følgende sammenhæng mellem enkeltkraften
Wkr og den jævnt fordelte kritiske last qkr :
√
3
Wkr =
qkr L2
(4.8)
2
Den kritiske last findes til 2,8
kN
m2
hvilket er ca. de samme som den aktuelle naturlast.
Bevægeligt simpelt understøttet model med charniere i top
For at finde en nedre grænse for den kritiske last, betragtes modellen med bevægelige understøtninger og charniereforbundne stænger. Ved at betragte deformationerne i systemet
kan tøjningen i stængerne findes på samme måde som i forrige afsnit. Da knuderne er fuldt
bevægelige vil modstanden mod derformation komme fra de seks omkringliggende stænger
der forbinder B1 til B6 . Udledningen af tøjningsudtrykket er som før vist i appendix C.
εAB =
h2 − h0
4L2
2
(4.9)
Heraf findes den kritiske last på samme måde som før, ved at opstille et udtryk for stangkrafterne PAB = AEεAB , omregne disse til en enkeltkraft virkende i toppunktet og derefter
differentiere i forhold til h’.
AEh3
(4.10)
Wkr = √
3L3
Dette udtryk giver, ved brug af samme værdier for A, E, h og L som før under den fast simple
understøttede model, en kritisk last på 6,7 kN, svarende til det halve af Wkr fra ligning (4.6).
18
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
I følge Agerskov vil lokal instabilitet for en konstruktion med charniereforbundne stænger
altså finde sted ved en kritisk last placeret i intervallet:
6,7 kN ≤ Wkr ≤13,4 kN
da det aktuelle understøtningsforhold vil befinde sig imellem de to betragtede grænsetilfælde.
For sammenlignlighedens skyld omregnes dette til en jævntfordelt last, hvilket som før sker
under antagelsen om, at hver knude får tilført en tredjedel af pladens last, hvorved den
tilsvarende fordelte belastning ifølge Agerskov kan beregnes ved hjælp af ligning (4.8). Heraf
fås den kritiske last til:
1,4
kN
m2
≤ qkr ≤ 2,8
kN
m2
Dette interval ligger meget lavt i fht. at den maksimale naturlast er 2,79 kN
m2 . Dette accepteres indtil videre grundet det store estimat på egenvægten, hvorfor dette tages op til
vurdering senere efter beregninger i FEM-programmer. Om det medfører, at et andet profil
skal benyttes, vil først vise sig efter en række nærmere undersøgelser, og en fast beslutning
om hvorvidt den endelige konstruktion vil bestå af momentstive eller charniereforbundne
stænger.
Bevægeligt indspændt understøttet model med momentstiv samling i top
En måde at forøge den last som konstruktionen kan bære, er ved at benytte momentstive
samlinger mellem stængerne i stedet for charnieres. Indtil nu er der kun undersøgt situationer, hvor samlingerne ikke kan optage momenter, hvilket medfører, at snap-through bliver
en svigtform. Når stængerne er samlet i en knude, der kan optage moment, vil snap-through
ikke være en svigtform, da det optagne moment i knuden vil forsøge at genoprette udgangspositionen. En svigtform er dog, når spændingerne bliver så store, at stålet flyder (opnår
flydespændingen), og konstruktionen ikke er i stand til at vende tilbage til udgangspositionen. Dette er en situation, der ikke må forekomme! Derfor bliver spændingerne en faktor,
der kræver mere opmærksomhed, når der anvendes momentstive samlinger.
L. Kollár og I. Hegedüs henviser i [11] til N.C. Lind for at finde et svar på hvor stor en kritisk
last, der kan påføres som enkeltlast. Modellens geometri er magen til den Agerskov behandler i [10], med den forskel at de seks understøtninger er elastisk bevægelige og samlingerne
er momentstive. Der forudsættes i øvrigt, at de indgående tværsnit er ens i dimension. Lind
foreslår følgende udtryk for kritisk belastning:
Pcr =
EAfo3
B
(0,723 + 14,77 2 )
a3
α
(4.11)
hvor
E er elasticitetmodulet.
A er tværsnitsarealet.
f0 er pilhøjden på modellen.
a er stanglængden.
q
2
I
a
hvor i = A
α = iR
I er inertimomentet mht. udbøjning vinkelret på kugleoverfladen.
R er radius af den kugle som kuplen er en del af.
B er en funktion af α bestemt af tabel på side 270 i [11].
På figur 4.5 genfindes notationen fra ligning (4.11). Det bemærkes at kraften svarer til
en jævnt fordelt last virkende over en tredjedel af modellens overflade, se figur 4.5 th.
19
Analyse af gitterkuppel
Stabilitet af gitterkonstruktion
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Figur 4.5: Tv. notation ved Linds beregning af den kritiske last for en momentstiv samling.
Th. angivelse af område med jævnt fordelt last, svarerende til den kritiske enkeltkraft. Kilde:
L Kollár et al (1985), [11].
For at sammenligne direkte med den charniereforbundne model, anvendes samme profil som
angivet i tabel 4.1. Radius R findes af appendix A til 54,4 m. Herefter findes i og α til:
s
26,6 · 10−6 m4
i=
= 0,069 m
5,49 · 10−3 m2
α=
(2,363 m)2
= 1,475
0,0696 m · 54,4 m
Når α er bestemt, kan værdien af B findes ved lineær interpolation i tabel fra [11] side 270.
Værdien bestemmes til B = 2,467. Den kritiske last kan herefter beregnes til:
Pcr =
210 · 109 P a · 5,49 · 10−3 m2 · (0,051 m)3
2,467
(0,723+14,77
) = 202,607 kN (4.12)
(2,363 m)3
1,4752
Som det ses, findes den kritiske last væsentligt større, når der anvendes momentstive samlinger i stedet for charnieres. Her cirka en faktor 15. Baseret på den værste tryklast, som
vil forekomme under påvirkning af naturlasterne, bestemt i afsnit 3.4, bør der vælges et
mindre profil, hvis der anvendes momentstive samlinger. Desværre melder udledningen ikke
noget om kriterierne for dimensioneringen. Det fremgår ikke af [11] om det er deformationen,
spændingerne eller udknækning af en enkelt trykstang, der er begrænsende for lastniveauet.
Hvis man yderligere tager årstallet for Linds udledning i betragtning, kan det tænkes at
bæreevneudtrykket er et konservativt bud med rimelig sikkerhedsfaktor involveret. For at
kunne undersøge den kritiske last nærmere bør der foretages FEM beregninger i et passende
beregningsprogram.
4.2.2
Abaqus
Indtil nu er håndregningsudtryk benyttet til at bestemme hvor meget last konstruktionen
kan bære, med henholdvis charniereforbundne stænger og momentstive samlinger. Da muligheden er til stede for at eftervise håndberegningsudtrykkene med stærke FEM beregningsprogrammer kontrolleres de indledende beregninger. For at verificere Agerskov og Krenks
20
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Analyse af gitterkuppel
Stabilitet af gitterkonstruktion
udtryk er beregningsprogrammet Abaqus CAE 6.10 benyttet. Heri er modelleret en model
svarende til en af stængerne ABi fra figur 4.3, som det er vist i figur 4.6. Da kun en ud
af seks stænger betragtes, vil den egentlige kritiske last være seks gange så stor som den
aktuelle last der findes ved brug af Abaqus. Programmets input er vedlagt i appendix D og
programfilen er vedlagt på CD.
Figur 4.6: Konstruktionen som den er modelleret i Abaqus.
Ved at lave en ikke-lineær statisk analyse hvor der trin for trin tilføjes mere eller mindre last,
kan findes et udtryk for netop den last, der medfører snap-through. En sådan analyse giver
en samlet kritisk last på 13,7 kN. Abaqus regner som Robot ikke med rundhjørnede profiler,
hvormed arealet af profilet, når det indtastes som et "custom design"bliver en anelse større
end hvad der er oplyst i tabel 4.1. Følgende heraf bliver den kritiske last ligeledes større end
hvad der reelt er tilfældet. Indsættes A = 5,6 · 103 mm2 (arealet af et 200x100x10 profil med
kantede hjørner) i Agerskovs udtryk fra ligning (4.6) fås 13,7 kN, hvorved Abaqus’ værdi for
den kritiske last svarer til værdien fundet ved brug af Agerskovs udtryk. Nedenfor på figur
4.7 ses en graf over op- og nedlastningen på konstruktionen fra figur 4.6 som funktion af
buelængden. Udviklingen er, bortset fra den lille forskel stammende fra arealbestemmelsen,
Figur 4.7: Kritisk last for snap-through i abaqus.
21
Analyse af gitterkuppel
Stabilitet af gitterkonstruktion
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
magen til Agerskovs udtryk vist på figur 4.4. På den baggrund og ligeledes sammenholdt med
Krenks ikke-lineære tøjningsudtryk, der stemmer overens med Agerskovs, konkluderes det at
den faktiske bæreevne for det valgte profil er bestemt. Samtidig danner de fundne resultater
et pålideligt grundlag for kontrol af beregninger fundet i andre FEM beregningsprogrammer.
4.2.3
Robot
Som alternativ til Abaqus er Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2011 benyttet til større beregninger. Dette skyldes, at Robot ikke omdanner to stænger med en
mellemliggende vinkel tæt på 180◦ til en krum bjælke med fælles tangent i knudepunktet,
hvilket kan være tilfældet for Abaqus. Derudover findes brugerfladen mere brugervenlig og
3D modelleringer opsættes lettere.
For at sikre nøjagtigheden af dette program undersøges modeller, svarende til de to der
er undersøgt ved Agerskovs simple håndberegninger i afsnit 4.2.1. Derfor er en 3D-model af
delkonstruktionen fra figur 4.3 modelleret, først med fast simple understøtninger og charniere i top og derefter med bevægeligt simple understøtninger og charniere i top. Igen benyttes
et RHS200x100x10 profil. Yderligere betragtes en model med momentstive samlinger. Relevante Robotfiler kan findes på den vedlagte CD hvor også Abaqusmodellen kan findes.
Efterfølgende vil alle hidtidige resultater blive sammenlignet, med henblik på bestemmelse
af et endeligt profil til konstruktionen.
Model med charniereforbundne stænger
Som før omtalt er der modelleret en model med charniereforbundne stænger i punkt A og
fast simple understøtninger i punkterne B1 til B6 . Konstruktionen er belastet af en enkeltkraft i knude A, se figur 4.8.
Figur 4.8: Model brugt i Robot, visende fastholdte understøtningsforhold samt belastningsform.
På denne model er foretaget en fuldt ikke-lineær statisk beregning, hvor modellen langtsomt er blevet udsat for mere last indtil snap-through er indtruffet. Herved er en lastflytningskurve fundet, som det tidligere er set i Abaqus samt for Agerskovs udtryk. Dog skal
det bemærkes at Robot ikke er i stand til et regne videre efter snap-through er indtruffet,
og kurven vil derfor ikke bevæge sig nedad igen, men stoppe ved den kritiske last. Af figur
4.9 ses det at den kritiske last er 13,7 kN, altså det samme som fundet ved brug af Abaqus
og Agerskov.
22
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Analyse af gitterkuppel
Stabilitet af gitterkonstruktion
Figur 4.9: Last-flytningskurve for fast simpel understøttet model.
Yderligere udføres et normtjek på konstruktionen belastet med den kritiske last, dette er
vedlagt i appendix E. Heraf ses det at stangkraften opnår en størrelse på NEd =182 kN
hvilket ikke overstiger bæreevnen på Nb,Rd =964 kN, der både fremgår af normtjekket og af
afsnit 4.1. Det følger heraf at udnyttelsesgraden er 0,189 hvilket er mindre end 1 og der vil
derfor ikke være risiko for buling af en enkeltstang under den pågældende belastning.
Ligeledes er der modelleret en model med charniereforbundne stænger i A, bevægeligt simple
understøtninger i B1 til B6 og en enkeltkraft i knude A, se figur 4.10.
Figur 4.10: Model brugt i Robot, med bevægelige understøtninger.
Endnu engang foretages en fuldt ikke-lineær statisk beregning, og denne gang findes lastflytningskurven vist i figur 4.11.
Heraf ses det, at den kritiske last som forventet er halveret og derved antager en værdi
på 6,8 kN. Da der for den fast-simple understøttede model ikke var risiko for udbuling af
en enkelt stang før den kritiske last for snap-through var nået, vil dette heller ikke være
tilfældet her, da stangkraften, som den kritiske last, vil være halveret. Heraf følger at også
udnyttelsesgraden er halvveret i fht. de før fundne 18,9 %.
Af ovenstående resultater ses det, at Robot giver samme kritiske laster som Abaqus og
23
Analyse af gitterkuppel
Stabilitet af gitterkonstruktion
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Figur 4.11: Last-flytningskurve for bevægeligt simpel understøttet model.
Agerskov, hvorved det kan konkluderes, at Robot kan bruges som beregningsprogram i den
resterende del af denne opgave. Dog skal det bemærkes at det er utroligt vigtigt at afkrydse
både ’Non-linear analysis’ og ’P-delta analysis’, der begge findes i forbindelse med valget af
analyse type. Hvis ikke begge disse er afkrydset, vil Robot stadig foretage en ikke-lineær
analyse, men denne vil afvige væstenligt fra den sande værdi. F.eks. giver Robot omkring
30% afvigelse ved beregning på den fast simple understøttede model med charniere i toppen,
når kun ’Non-linear analysis’ er afkrydset.
Model med momentstive samlinger
Robots beregninger er nu blevet kontrolleret og grundlaget for at bevæge sig videre til en
model med momentstive samlinger er på plads. Linds håndregningsudtryk for bestemmelse
af den kritiske last som en enkeltkraft på modellen med momentstive samlinger og elastiske
understøtninger er en passende sammenligning der kan laves mellem Robot og håndregning.
Som nævnt tidligere giver Lind et udtryk for den krititske last for en understøtningsform,
der antaget befinder sig imellem den fuldt bevægelige og den helt fastholdte. Derfor foretages i Robot både beregninger på den fast understøttede og den bevægeligt understøttede.
Yderligere er det før nævnt at kriterierne for bestemmelsen af den kritiske last ikke kendes,
hvorfor det er naturligt at undersøge hvilke spændinger og deformationer lasten egentlig
medfører.
En model bestående af RHS200x100x10 profiler der er hhv. fast og bevægeligt understøttet
med momentstive samlinger belastes med den kritiske last på Pcr =203 kN, som fundet ved
brug af Lind. Derudover er der udført normtjek, som kontrol af at der ikke opstår buling
i nogle af stængerne. Resultaterne af beregningerne i Robot er gengivet i tabel 4.3, hvor
σN angiver normalspændingerne i en stang, τz angiver forskydningsspændinger, mens Fx
angiver stangkraften. Alle værdier er maksimalt forekomne værdier.
Som det ses af tabellen, opnås ikke kritiske spændinger, da alle er pænt under flydespændingen som er 235 MPa for det valgte profil i kvalitet S235. Selv ved division med partialkoefficienten på γM 0 = 1,1, hvorved den kritiske spændingen bliver:
fyd =
24
fy
235 M P a
=
= 213,64 M P a
γM 0
1,1
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
Tabel 4.3: Deformationer, spændinger, stangkraft og udnyttelsesgrad ved tryk for den hårdest
belastede stang.
Understøtning Deformation
σN
τz
Fx
Udnyttelsesgrad
[mm]
[MPa]
[MPa]
[kN]
Bevægelig
Fast
6,253
6,145
146,761
149,706
-9,954
-9,781
31,853
62,029
0,60
0,62
Da forskydningsspændingerne er meget mindre end normalspændingerne, vil von Mises
spændingerne σV M ikke antage en værdi der er betydeligt større end normalspændingerne, hvorfor disse heller ikke bliver kritiske. Deformationen er på beskedne 6 mm set i forhold
til den totale pilhøjde på 51 mm. Det anses ikke som kritisk, og det ses yderligere, at stangkraften heller ikke opnår en størrelse der er kritisk uanset understøtningsforhold. For det
valgte profil er bulingslasten for en simple understøttet trykstang under afsnit 4.1 fundet til
964 kN. Når trykstangen er fastholdt mod rotation i enderne, hvilket er tilfældet for momentstive samlinger, vil bæreevnen blive større, men samtidigt noteres det, at da stangen
er samlet med momentstive samlinger, vil der optræde momenter i stangen, der reducerer
bæreevnen overfor rent tryk. Normtjek i Robot inkluderer bidrag fra momenter om begge
akser, hvis de optræder, og samlet giver det en udnyttelsesgrad på 60-62 %. Det konkluderes derfor, at hverken spændingerne, deformationer eller udknækning er kritisk ved den
givne belastning. Linds udtryk for beregning af den kritiske last kan derfor betragtes som
et konservativt bud i forhold til den lille konstruktion der indtil videre er blevet behandlet.
Under senere undersøgelser vil det blive behandlet nærmere, om den indlagte sikkerhed kan
have relation til den globale stabilitet, når hele konstruktionen betragtes. Det kan tænkes,
at der i udledningen indgår nogle betragtninger som henfører til kritiske situationer når
konstruktionen betragtes globalt.
Fra ovenstående undersøgelser må det konkluderes at den kritiske last er større end de
203 kN fundet vha. Linds udtryk. Derfor udsættes konstruktionen for en statisk ikke-lineær
analyse hvor spændingerne undersøges som funktion af den påsatte last. Den kritiske last
vil da kunne findes i det øjeblik hvor den totale spænding når flydespændingen. Dog er
forskydningsspændingerne så små, at disse vil være uden større indflydelse på Von Mises
spændingerne, hvorfor betingelsen for den kritiske last sættes til σN =213 MPa. Dette kriterie giver de i figur 4.12 og 4.13 viste sammenhænge, hvoraf det ses at de kritiske laster stiger
til hhv. 294 kN for den bevægelige understøttede model og 288 kN den faste understøttede
model. For begge understøtningsformer vil nedbøjningen i midten være på omkring 9 mm
hviket er acceptabelt i fht. den totale pilhøjde.
Før dette endeligt kan siges at være den kritiske last må konstruktionen undersøges for
udbuling. Derfor foretages først et normtjek på den fast indspændte model der er påsat en
last på 288 kN. Resultaterne af dette normtjek er vedlagt i appendix F, hvoraf det ses at
hverken NEd =86,0 kN eller My,Ed =-54,9 kNm overstiger de tilsvarende udtryk for bæreevnen. Samtidig ses det at udnyttelsesgraden ikke overstiger 1, hvorfor der ikke er fare for
udbuling ved den pågældende last.
Tilsvarende foretages et normtjek på den bevægeligt-indspændte model hvorpå der påsættes en last på 294 kN. Dette er vedlagt i appendix G, hvoraf det ses at NEd =44,9 kN og
My,Ed =-57,0 kNm. Som før findes det at ingen af disse overskrider den tilhørende bæreevne,
og at udnyttelsesgraden er mindre end 1, hvorved der ikke er fare for udbuling ved den
pågældende last. Dette bekræfter den foreløbige antagelse om at det er spændingerne, der
25
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
Figur 4.12: Spændings-lastkurve for bevægeligt indspændt understøttet model
Figur 4.13: Spændings-lastkurve for fast indspændt understøttet model
giver anledning til den kritiske last for den momentstive model. Det vil senere vise sig om
det samme er gældende når hele kuplen tages i betragtning.
4.2.4
Dimensionering af profil
Indtil nu er behandlet udbøjning af en enkeltstang samt lokal instabilitet i form af snapthrough og flydning i stængerne. RHS profilet med dimensionerne 200x100x10 er blevet
benyttet i beregningerne og nedenfor kan ses en sammenligning af profilets kritiske laster i
forhold til udbøjning og snap-through ved forskellige understøtninger. Ved sammenligning
med de aktuelle belastninger beregnet i afsnit 3.4 kan profilets egenskaber vurderes. Før
denne sammenligning kan finde sted, må den kritiske last på 964 kN fra afsnit 4.1 omsættes,
så den virker under samme vinkel som de resterende fundne kritiske laster. Dette gøres ved
brug af ligning (4.13).
Wkr = Nb,Rd
26
h0
6
l
(4.13)
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
Omsættelsen til qkr foretages som tidligere i ligning (4.8). I tabel 4.4 nedenfor er benyttet
følgende betegnelser:
Model 1 Buling af enkeltstang, charniere i begge ender.
Model 2 Konstruktion fra figur 4.3 med fast-simple understøtninger og charniere i top.
Model 3 Konstruktion fra figur 4.3 med bevægeligt-simple understøtninger og charniere i
top.
Model 4 Konstruktion fra figur 4.3 med bevægeligt-indspændte understøtninger og momentstiv samling i top.
Model 5 Konstruktion fra figur 4.3 med fast-indspændte understøtninger og momentstiv
samling i top.
Tabel 4.4: Sammenligning af kritiske laster for
RHS200x100x10 med både momentstive samlinger
udtryk er placeret midt imellem model 4 og model 5
de to understøtningsformer.
Model 1 Model 2
konstruktion vist i figur 4.3 udført
og charniereforbundne stænger. Linds
da dette er antaget som et sted mellem
Model 3
Model 4
Model 5
Håndregning
Wkr
qkr
72,066
13,977
13,389
2,597
6,692
1,298
Abaqus
Wkr
qkr
-
13,660
2,649
-
-
-
Robot
Wkr
qkr
72,072
13,978
13,658
2,649
6,829
1,324
294,000
57,021
288,000
55,858
202,607
39,269
Af tabellen ses det, at når samlingerne er momentstive kan konstruktionen modstå en langt
større last end hvad der er nødvendigt, jf. belastningen beregnet i afsnit 3.4. Dette betyder
at hvis den totale konstruktion udføres med momentstive samlinger, kan profilets størrelse
reduceres væsentligt, hvilket både arkitekten og bygherren har stor interesse i. Arkitekten
ønsker et bestemt udtryk for kuplen med smalle profiler, ligesom bygherren har en økonomisk interesse i små profiler, da disse generelt er billigere. Derfor forsøges det at opnå
et smalt og lille profil med momentstive samlinger, dog vil det ikke være nødvendigt med
momentstive samlinger om den svage akse, da konstruktionen kun er påvirket af lodret last
samt last virkende vinkelret på kuplen. Ved den senere modellering vil en samlingstype bestående af momentstive samlinger om den stærke akse og charniere om den svage akse benyttes.
For at finde et profil der kan klare naturbelastningerne undersøges forskellige profiler. Først
undersøges Linds udtryk i fht. den maximale naturbelastning. I tabel 4.5 er listet værdier for
beregning af den kritiske last for forskellige valg af RHS profiler. I sidste kolonne er enkeltlasten omsat til en jævnt fordelt last virkende over en tredjedel af modellens areal. Arealet
er beregnet ved den længst forekomne stanglængde under den antagelse at stængerne i den
lille konstruktionen er lige lange11 . Dette er en lettere konservativ antagelse, da den længste
stanglængde forekommer i yderkanten af kuplen, men her er stængerne ikke lige lange, dvs.
11 Længde
antaget til 2,44 m hvorved arealet, som lasten virker over, er 5,16 m2 .
27
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
Tabel 4.5: Kritisk last for forskellige profiler beregnet ved brug af Lind.
Profil
α
B
Pcr
qcr
[-]
[-]
[kN]
[ kN
m2 ]
200x100x10
160x80x5
120x60x4
100x60x4
100x50x4
100x50x3
90x50x4
1,475
1,793
2,399
2,829
2,903
2,860
3,200
2,467
2,881
3,485
3,846
3,909
3,872
4,158
202,607
66,902
27,760
19,818
17,906
13,911
14,756
39,296
12,976
5,384
3,844
3,473
2,698
2,862
at det størst forekomne areal vil være lidt mindre end det anvendte.
Sammenlignes den jævnt fordelte last med den størst forekomne trykpåvirkning fra naturlasterne (som findes til 2,79 kN
m2 i zone C med dominerende snelast samt vindbelastning i
tryk, se afsnit 3.4), kan der bestemmes et profil til anvendelse ved momentstive samlinger.
Af tabel 4.5 ses det at for et profil helt ned til RHS90x50x4 vil den største naturlast ikke
overskride profilets kritiske last. Vælges et profil af typen RHS100x50x3 vil det være lige
under grænsen, og sikkerhedsfaktorerne i Linds udtryk samt i lastbestemmelsen vil sættes
på prøve. Hvis Linds håndberegning benyttes til at bestemme profilet bør der vælges et
RHS90x50x4, hvorved profilet har tilstrækkelig bæreevne. Sammenlignes med situationen
hvor der benyttes charniereforbundne stænger, hvor RHS200x100x10 var nødvendigt, er der
opnået en væsentlig reduktion i tværsnitsdimensioner ved at anvende momentstive samlinger.
Videre foretages beregninger i Robot, hvor konstruktionen belastes med en enkeltkraft i
centerknuden svarende til den hårdest trykbelastede zone på kuplen. Størrelsen af kraften
bestemmes igen ud fra den forudsætning, at den jævnt fordelte last der henføres til en enkelt knude virker over en tredjedel af det samlede areal. Ved en stanglængde på maksimalt
2,44 m findes kraften til:
Pcr =
1
kN
A qcr = 5,16 m2 · 2,79 2 = 14,40 kN
3
m
(4.14)
Ligesom for den charniereforbundne model betragtes to situationer, en hvor konstruktionen
yder fuldstændig fastholdelse mod flytning, og en hvor den omgivende konstruktion ingen
modstand yder. Figur 4.14 viser belastningen samt den første situation med fastholdte understøtninger. Ydermere er situationen modelleret, så der er mulighed for rotation om den
svage akse.
Tabel 4.6 viser resultaterne for situationen med understøtninger fastholdt mod bevægelse.
Som forventet er udnyttelsesgraden meget lille ved de store profiler, mens både spændingerne og modstanden mod udbøjning nærmer sig kritiske værdier ved mindre profiler.
Tabel 4.7 viser tilsvarende resultaterne for situationen hvor konstruktionen er bevægeligt
understøttet. I modsætning til den charniereforbundne model er der ikke meget forskel
mellem spændingerne og udnyttelsesgraden afhængigt af understøtningsformen. Deformationerne bliver større når understøtningerne kan flytte sig, tilgengæld bliver momenterne
mindre, hvilket fører til en mindre udnyttelsesgrad mod udbøjning om den svage akse. Ved
sammenligning af de to tabeller, findes at den værste situation er ved fuld indspænding af
konstruktionen. Af tabel 4.6 findes at et RHS profil med dimensionerne 80x40x4 kan modstå
belastningerne. Sammenlignet med Linds håndberegninger er dimensionen dermed yderligere reduceret fra RHS90x50x4 til RHS80x40x4. Forskellen er, at der er dimensioneret tættere
på grænsen samtidig med at der ikke er taget højde for globale forhold. Intuitivt forven28
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
Figur 4.14: Konstruktion med momentstive samlinger, fastholdte understøtninger og belastning i centerknuden. Profil RHS200x100x10.
Tabel 4.6: Konstruktion fastholdt mod bevægelse i alle understøtninger og belastet med største
forekomne naturlast.
Profil
Deformation
σN
τz
Fx
Udnyttelsesgrad
[mm]
[MPa]
[MPa]
[kN]
[-]
200x100x10
100x60x4
90x50x4
80x40x4
80x40x3
0,435
6,859
9,894
15,241
19,976
10,645
89,625
117,574
162,393
211,070
-0,692
-3,193
-3,488
-3,881
-5,326
4,654
14,921
18,097
22,280
21,076
0,04
0,41
0,55
0,83
1,11
Tabel 4.7: Konstruktion bevægeligt understøttet og belastet med hårdest forekomne naturlast.
Profil
Deformation
σN
τz
Fx
Udnyttelsesgrad
[mm]
[MPa]
[MPa]
[kN]
[-]
200x100x10
100x60x4
90x50x4
80x40x4
80x40x3
0,448
7,284
10,606
16,468
21,925
10,448
88,671
116,767
161,647
208,072
-0,707
-3,392
-3,738
-4,188
-5,670
2,401
7,913
9,646
11,875
11,061
0,04
0,39
0,52
0,74
0,98
tes det, at momenterne i konstruktionen bliver større, når hele konstruktionen betragtes,
da der er større afstand fra belastningen til understøtningerne hvor kraften kan afleveres.
Når momenterne bliver større vil udnyttelsesgraden stige, hvorved større dimensioner bliver
nødvendig. Yderligere undersøgelser vil vise hvor meget de globale forhold spiller ind, samt
give et endeligt svar på hvilket profil der kan anvendes i gitterkonstruktionen.
4.3
Global instabilitet
Efter at have undersøgt konstruktionen for lokal instabilitet, er næste skridt at kigge på
hele gitterkonstruktionen for at undersøge globale forhold. Tidligere er regnet på både faste og bevægelige understøtninger, da det er ukendt i hvor stor grad den omkringliggende
konstruktion fastholder de enkelte knuder mod flytning. Dette vil nu helt automatisk være
en mellemting imellem de to former for understøtninger, og det er derfor ikke længere re29
Analyse af gitterkuppel
Stabilitet af gitterkonstruktion
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
levant at diskutere. Den globale situation undersøges, hvorved mere præcise resultater kan
opnås, da de globale forhold medregnes. Som udgangspunkt regnes med fuldt fastholdte
understøtningsforhold langs randen.
4.3.1
Lastpåsættelse
Indtil nu er der arbejdet med lastpåsættelse som en enkeltkraft placeret i den lille models
centerknude. Når hele konstruktionen betragtes er det ikke muligt at modellere lastforholdene som enkeltkræfter placeret strategisk velvalgte steder. I stedet påføres lasten som en
fladelast (last pr. areal), hvilket tilsvarer den måde naturlasterne er bestemt på.
I Robot er det muligt at modellere flader uden vægt, således at der kan påføres fladelaster
uden decideret at skulle modellere en faktisk flade, f.eks. en glasflade som der anvendes i
Novo Nordisk projektet. For at være helt sikker på hvordan modellen skal sættes op for at
Robot regner korrekt afprøves lastpåsætningen på et kendt tilfælde. Der vendes tilbage til
modellen som er beskrevet under afsnit 4.2.1, fast simpelt understøttet model med charniere
i top. For denne konstruktion kendes den kritiske belastning, modelleret som en enkeltkraft,
hvorfra den kritiske fladelast kan bestemmes. Fladerne defineres i Robot med funktionen
Claddings, der findes i menuen Geometry. Fladerne er som nævnt uden vægt, og har udelukkende til formål at fordele f.eks. en fladelast ud til de steder hvor fladen er understøttet.
Situationen kan ses på figur 4.15, hvor det er tydeligt at fladerne er understøttet i bjælkernes
tyngdepunkt.
Figur 4.15: Modellering af flader til lastpåsættelse.
Agerskov [10] antager, når gittersystemet er opbygget som tilfældet er, at en tredjedel af
fladelasten på hver trekant afleveres i hver knude. Det vil sige, at den kritiske fladelast svarer til tre gange den kritiske enkeltkraft der kan påsættes i centerknuden. Der udføres en
ikke-lineær beregning med en lastpåsættelse der overstiger det kritiske niveau. Ved beregning indtræffer snap-through, da lasten er større end den kritiske last. På figur 4.16 findes
last-flytningskurven for situationen med oplastning til snap-through punktet, hvor deformationen findes ud af x-aksen og summen af reaktionerne, svarende til den samlede last i
z-retningen, findes op af y-aksen.
Figuren viser et samlet lastniveau i z-retningen, der er omkring tre gange så stor, som den
kritiske last, der kan påsættes som enkeltkraft i centerkuden. Tabel 4.8 viser forskellen på
udregningerne bestemt ved brug af Robot, og forventeligt er forskellen en faktor tre. Der
findes en forskel på 12 N, hvilket tilskrives forskel i den finhed hvormed beregningerne er
udført. Konklusionen bliver, at modellen og påsættelsen af fladelasten stemmer overens med
de betragtninger, der er gjort under de indledende håndregninger. Hermed er grundlaget for,
hvordan modellen bør opsættes i Robot, fundet, og hele konstruktionen kan belastes med
de naturlaster der virker, angivet som fladelaster.
30
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
Figur 4.16: Last-flytningsdiagram for lille model med fladebelastning på hele overfladen.
Tabel 4.8: Sammenligning af summen af lodrette reaktioner ved kritiske lastpåsættelse i form
af en enkeltkraft i centerknuden og fuld fladebelastning.
Profil
Enkeltkraft Fladelast
[kN]
[kN]
200x100x10
13,660
41,010
Figur 4.17 viser hvordan hele konstruktionen ser ud, når der er modelleret flader til påsætning af fladelaster over hele konstruktionen. Som udgangspunkt modelleres med understøtninger langs hele randen, der ikke kan bevæge sig. Senere undersøges dette forhold nærmere.
Figur 4.17: Konstruktion modelleret med flader over hele kuplen, til påsætning af naturlaster
i form af fladelaster.
4.3.2
Global belastning
Konstruktionen er symmetrisk opbygget, se figur 2.3, men der er forskel på hvilken retning
man ser konstruktionen fra. Det har betydning for hvilke områder belastningen virker på.
Under afsnit 3.2 er konstruktionen delt ind i to zoner, hvor der virker forskelligt vindtryk.
31
Analyse af gitterkuppel
Stabilitet af gitterkonstruktion
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Det ønskes i beregningerne at sætte samme last på hver trekantet flade, hvorfor konstruktionen vil blive belastet forskelligt afhængigt af hvilken retning vinden kommer fra. På figur
4.18 er der vist belastning fra to på hinanden vinkelrette retninger.
Figur 4.18: Inddeling af konstruktionen i zone B og C afhængig af vindretning. Tv. vindretning I, th. vindretning II. Rød streg markerer teoretisk deling jf. figur 3.1.
Beregningerne for de givne lastkombinationer udføres for begge vindretninger, henholdsvis
I og II, og det undersøges hvilken der er mest kritisk, hvis overhovedet nogen forskel. Det
huskes, at zoneinddelingen på kuplen er flyttet i forhold til Svend Ole Hansens notat [6] om
vindbelastningen på taget, for at undersøge en farligere situation.
I afsnit 3.4 om lastkombinationerne, er der bestemt forskellige kombinationer der bør undersøges. Z. S. Makowski angiver i [13] afsnit 1.7 at man for enhver rejst kuppel bør undersøge
mindst tre forskellige lastkombinationer, som listet herunder:
a) Dead load and snow load over the whole dome.
(Egenlast og snelast over hele kuplen.)
b) Dead load and unsymmetric snow load.
(Egenlast og asymmetrisk snelast.)
c) Dead load and wind.
(Egenlast og vindbelastning.)
De hidtil bestemte lastkombinationer dækker situation a) og c), opdateret til nutidens standarder med partialkoefficienter og bestemmelse af lastkombinationer som angivet i [7]. Lastfordelingen i situation b vil blive bestemt udfra hvad der er farligst for konstruktionen på
baggrund af den bestemte formfaktor µ3 , der er bestemt i afsnit 3.1.
4.3.3
Belastning med dominerende sne
Først undersøges lastkombinationen med dominerende sne. Belastningerne i de forskellige zoner blev fundet i afsnit 3.4. Ved bestemmelse af kombinationerne er egenlasten fra
konstruktionen inkl. glasbeklædningen medregnet som et estimat. I Robot kan egenlasten
fra stålprofilerne påføres, således at den konkrete egenvægt fra det valgte profil medregnes
automatisk i stedet for et overslag som anvendt ved bestemmelse af lastkombinationerne.
32
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
Egenlasten af galsbeklædningen påføres stadig som et estimat.
På baggrund af analysen af en lille del at konstruktionen blev det konkluderet, at momentstive samlinger af flere årsager er at foretrække fremfor charniereforbundne stænger i
hele konstruktionen. Dette undersøges kort nærmere ved at opsætte en model med udelukkende charniereforbundne stænger i hele konstruktionen. Der vælges et RHS200x100x10 til
samtlige stænger, da det ved den indledende undersøgelse er fundet, at det profil kan klare
belastningen i det hårdest trykbelastede område på et udsnit af konstruktionen (lille model) med charniereforbundne stænger og understøtninger fastholdt mod bevægelse. Det blev
påpeget, at de aktuelle understøtningsforhold for den store konstruktion vil være en mellemting mellem dette og bevægelige understøtninger. Ved at opsætte modellen kontrolleres det,
om det valgte profil kan modstå belastningen mod snap-through eller om der skal vælges et
profil med større tværsnitsareal så længe stængerne er forbundne med charnieres. Hele konstruktionen understøttes mod bevægelse i alle retninger på randen. Dermed tænkes, at den
ringbjælke der kommer til at optage kræfterne fra påvirkningen på kuplen er tilstrækkelig
stiv til at der ikke optræder nævneværdige deformationer ved belastningen. I tabel 4.9 vises
de maksimale værdier af deformationen, normalspændingerne og forskydningsspændingerne
som forekommer i konstruktionen. Yderligere vises udnyttelsesgraden mht. udbøjning om
den svage akse, for at sikre at der ikke sker udknækning af en enkeltstang, hvilket vil svække
konstruktionen kritisk. Ved inspektion af resultaterne, er det tjekket, at der ikke optræder
Tabel 4.9: Deformationer og spændinger for model med charniereforbundne stænger og
dominerende snebelastning. Vindbelastning med både træk og tryk i zone C samt fra retning
I og II.
Profil
Deformation
σN
τz
τy
Udnyttelsesgrad
200x100x10
[mm]
[MPa] [MPa] [MPa]
[-]
Vind - træk i B og tryk i C:
Retning I
6,643
Retning II
6,708
Vind - træk i begge zoner:
Retning I
5,350
Retning II
5,386
30,05
28,59
−1,02
−1,00
±0,04
±0,04
0,139
0,132
26,30
25,57
−0,87
−0,86
±0,04
−0,06
0,121
0,118
moment i nogle af knuderne, hvilket ikke kan være tilfældet ved charniereforbundne stænger.
Yderligere ses det at deformationerne alle er mindre end 7 mm hvorved der ikke forekommer
snap-through. Figur 4.19 viser et snit gennem konstruktionen hvor de relative deformationer er påført (skaleringsfaktor 10). Situationen er for vindretning II, hvor man kan se en
opdeling mellem zone B og zone C. I B forefindes træk fra vindbelastning, hvorfor deformationerne er mindre end i zone C, hvor der er tryk fra vindbelastningen. Deformationerne
ved understøtningerne kan tyde på en snap-through effekt, men der skal huskes på, at flytningerne er relative, og at konstruktionen ved understøtningerne ikke kan flytte sig. Da der
ikke er deformationer større end 7 mm, er det ikke kritisk, heller ikke ved understøtningerne.
Samtidig understøtter figuren at der ikke optræder snap-through nogen steder i det tværsnit
der kigges på. En anden kontrol er, at den ikke-lineære beregning i Robot har lastet fuldt op
til det niveau der er påsat. Hvis der var forekommet snap-through eller anden buling ville
Robot ikke kunne håndtere deformationerne og udregningerne ville være stoppet.
Ved yderligere inspektion af tabel 4.9 findes, at normalspændingerne heller ikke er i nærheden af den regningsmæssige flydespænding på 214 MPa, ligesom udnyttelsesgraden mod
udknækning er på beskedne knap 14 % for den hårdest belastede stang. Grundet risikoen
for snap-through vil der ikke kunne vælges et mindre profil, jævnfør tidligere analyse, og det
33
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
Figur 4.19: Snit i konstruktion visende deformationer af model med charniereforbundne stænger og dominerende snebelastning.
må derfor konkluderes, at det ikke er særlig optimalt at samle stængerne med charnieres,
da udnyttelsesgraden af stængerne ikke er særlig stor. Det er derfor mere nærliggende at
undersøge en model med momentstive samlinger. Som nævnt tidligere kan der ikke forekomme snap-through når der anvendes momentstive samlinger, fordi momentet i samlingerne vil
forsøge at genskabe udgangspunktet. Udnyttelsesgraden af profilerne kan derfor øges ved at
anvende de momentstive samlinger. Tabel 4.10 viser deformationerne, spændingerne og udnyttelsesgraden for belastningssituationen hvor vindbelastningen er fra retning I med træk i
zone B og tryk i zone C. Denne lastkombination giver den maksimale lokale trykbelastning
Tabel 4.10: Resultater for forskellige profiler med momentstive samlinger ved dominerende
sne med vind i retning I - træk i zone B og tryk i zone C.
Profil
Deformation
σN
τz
τy
Udnyttelsesgrad
[mm]
[MPa] [MPa] [MPa]
[-]
100x60x6
100x60x5
100x60x4
90x50x5
17,286
20,347
25,054
23,585
139,41
162,08
196,60
191,28
−4,62
−5,51
−6,84
−5,89
0,94
±1,35
±1,68
±1,61
0,667
0,777
0,949
1,104
på konstruktionen, da vinden i zone C bidrager til trykket. Tilsvarende viser tabel 4.11 samme situation med vindbelastning fra retning II. Ved sammenligning af belastningen fra de to
forskellige retninger findes, at der kun er marginale forskelle. For belastning i retning I findes
Tabel 4.11: Resultater for forskellige profiler med momentstive samlinger ved dominerende
sne med vind i retning II - træk i zone B og tryk i zone C.
Profil
Deformation
σN
τz
τy
Udnyttelsesgrad
[mm]
[MPa] [MPa] [MPa]
[-]
100x60x6
100x60x5
100x60x4
90x50x5
17,354
20,391
25,108
23,504
138,48
160,93
195,07
190,00
−4,63
−5,53
−6,86
−5,91
0,94
±1,36
±1,69
±1,62
0,658
0,767
0,935
1,087
generelt en anelse mindre deformationer end ved belastning i retning II (dog med undagelse
af RHS90x50x5, hvilket falder sammen med at netop dette profil har en udnyttelsesgrad over
1), mens normalspændingerne til gengæld findes lidt større. Forskydningsspændinger varierer en smule, men er i forvejen af lille størrelse. Bidraget til f.eks. Von Mises spændingerne er
derfor nærmest ubetydelige og kommenteres ikke yderligere. Udnyttelsesgraden er generelt
en smule højere for retning I end for retning II. Forskellen er ikke ret store og tilskrives de
to lidt forskellige påførsler af last, hvorfor dette ikke tillægges yderligere betydning.
34
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
For at undersøge lastkombinationerne i alle detajler, er situationen, hvor vindbelastningen
medfører træk i begge zoner undersøgt, da vindebelastningen i zone C kan medfører træk
eller tryk, jævnfør figur 3.1 samt [6] hvor formfaktorerne er angivet. Det forventes ikke at
situationen er mere kritisk end ved tryk i zone C, men undersøges alligevel for at være på
den sikre side. I tabel 4.12 er resultater for forskellige profiler angivet ved dominerende sne,
Tabel 4.12: Resultater for forskellige profiler med momentstive samlinger ved dominerende
sne med vind i retning I - træk i zone B og C.
Profil
Deformation
σN
τz
τy
Udnyttelsesgrad
[mm]
[MPa] [MPa] [MPa]
[-]
100x60x6
100x60x5
100x60x4
90x50x5
13,902
16,288
19,891
18,701
116,45
134,91
162,97
158,66
−3,84
−4,57
−5,66
−4,88
0,94
±1,36
±1,68
±1,62
0,560
0,648
0,786
0,916
vindbelastning som træk i begge zoner og vind i retning I angivet. Generelt findes mindre
deformationer samt mindre spændinger, i forhold til samme vindretning hvor vinden medfører tryk i zone C. I tabel 4.13 findes tilsvarende resultater for belastning i vindretning
II. Som for vindretning I findes forventeligt mindre deformationer og spændinger, og deraf
konkluderes det, at lastkombinationen med henholdsvis træk i zone B og tryk i zone C er den
mest kritiske mht. deformationer samt størrelsen af spændingerne. For at få det fulde billede
Tabel 4.13: Resultater for forskellige profiler med momentstive samlinger ved dominerende
sne med vind i retning II - træk i zone B og C.
Profil
Deformation
σN
τz
τy
Udnyttelsesgrad
[mm]
[MPa] [MPa] [MPa]
[-]
100x60x6
100x60x5
100x60x4
90x50x5
13,981
16,307
19,867
18,651
116,33
134,78
162,80
158,52
−3,85
−4,58
−5,67
−4,89
0,94
±1,36
±1,69
±1,62
0,557
0,646
0,783
0,912
af belastningerne fra de valgte lastkombinationer, undersøges situationen med dominerende
vindlast inden der konkluderes på resultaterne.
4.3.4
Belastning med dominerende vind
På samme måde som for snebelastningen undersøges lastkombinationen med dominerende
vind. Igen tages højde for vindbelastning i to retninger, mens der ses bort fra situationen
hvor der er træk i begge zoner. Erfaringerne fra beregningerne med dominerende snebelastning, hvor vind som træk gav anledning til lavere spændinger og mindre deformation, samt
det forhold at udregningen af de resulterende kræfter viser en lav belastning, gør at der kan
ses bort fra denne situation. Yderligere modvirker trækket egenlasten, hvorfor den resulterende kraft er meget lille og naturligt opstår der små deformationer og lave spændinger ved
den belastning.
Egenlasten trækkes igen ud af lastkombinationen, da den påsættes automatisk af Robot.
For at gøre behandlingen af konstruktionen med charniereforbundne stænger helt færdig,
undersøges denne for deformationer samt spændinger ved dominerende vindlast. Tabel 4.14
viser resultaterne, hvor der igen findes små deformationer samt lave spændinger. Hverken
35
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
Tabel 4.14: Deformationer og spændinger for model med charniereforbundne stænger og
dominerende vindbelastning. Vindbelastning med tryk i zone C samt fra retning I og II.
Profil
Deformation
σN
τz
τy
Udnyttelsesgrad
200x100x10
[mm]
[MPa] [MPa] [MPa]
[-]
Vind - træk i B og tryk i C:
Retning I
5,754
25,06
Retning II
5,918
25,55
±0,68
−0,67
±0,13
±0,13
0,118
0,119
deformationer eller spændinger er på et kritisk niveau; de findes mindre end ved dominerende snebelastning (se tabel 4.9 for sammenligning), som derfor er den mest kritiske. Det
findes igen, at der ikke forekommer deformationer i en størrelsesorden der er stor nok til
snap-through, hvorfor det valgte RHS200x100x10 profil kan modstå belastningen.
Resultaterne fra modellen med momentstive samlinger og vind i retning I er angivet i tabel 4.15, og som ventet på baggrund af resultaterne for den charniereforbundne model er
spændingerne og deformationerne mindre end ved dominerende snebelastning, da lasterne
er mindre. Ved sammenligning med vindlast i retning II, angivet i tabel 4.16 findes der igen
Tabel 4.15: Resultater for forskellige profiler ved dominerende vind i retning I - træk i zone
B og træk i zone C.
Profil
Deformation
σN
τz
τy
Udnyttelsesgrad
[mm]
[MPa] [MPa] [MPa]
[-]
100x60x6
100x60x5
100x60x4
90x50x5
14,681
17,128
20,880
19,823
93,90
108,38
130,37
126,51
−3,06
−3,63
−4,49
−3,85
±0,35
±0,46
±0,56
±0,54
0,486
0,563
0,682
0,550
ikke de store forskelle. For vindretning II findes lidt større deformationer, men samtidig også
større spændinger i modsætning til for den dominerende snebelastning. Udnyttelsesgraden
stiger også en smule, men er som udgangspunkt på samme niveau. Det må derfor konkluTabel 4.16: Resultater for forskellige profiler ved dominerende vind i retning II - træk i zone
B og træk i zone C.
Profil
Deformation
σN
τz
τy
Udnyttelsesgrad
[mm]
[MPa] [MPa] [MPa]
[-]
100x60x6
100x60x5
100x60x4
90x50x5
15,001
17,523
21,348
20,301
91,80
106,29
128,08
124,70
−3,11
−3,69
−4,57
−3,91
±0,35
±0,49
±0,60
±0,58
0,486
0,559
0,674
0,860
deres, at heller ikke her har det afgørende betydning hvilken retning vinden kommer fra.
Måske et forventeligt resultat, men udregningerne er udført, for at verificere at der ikke er
markant forskel på hvor vinden angriber fra.
4.3.5
Udformning af kuppel
På baggrund af analysen af hele kuplen belastet med de gængse lastkombinationer, som
angivet i [7], kan der nu vælges et løsningsforslag til udførslen af kuplen. Det er hurtigt set,
36
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
at kuplen bør udføres med momentstive samlinger. Grundet den lave pilhøjde på kuplen, vil
charniereforbundne stænger stille krav til et stort profil for at kunne modstå tendensen til
snap-through. Ved undersøgelse af et udsnit af konstruktionen, blev der angivet et interval
for hvor meget last konstruktionen kan bære afhængigt af hvor meget understøtning den omgivende konstruktion yder mod bevægelse. Ved undersøgelse med et RHS200x100x10 profil,
som ved brug af Agerskovs udtryk [10] ligger tæt på kriteriet med fuldstændigt fastholdte
understøtninger, findes at snap-through ikke vil indtræde ved belastning med naturlasterne,
se bl.a. figur 4.19. Dette skyldes med stor sandsynlighed den lave pilhøjde på kuplen samt
korte afstand mellem knuderne, som yder stor modstand mod bevægelse. Hele konstruktionens deformation ved charniereforbundne stænger kan ses på figur 4.20, hvor der ved
nærmere undersøgelse kan konstateres, at der ingen snap-through deformation er at finde.
Figur 4.20: Snit i konstruktion visende deformationer af model med charniereforbundne stænger og dominerende snebelastning vindretning I.
Når løsningen med charnieres ikke betragtes som optimal, vælges derfor at udføre konstruktionen med momentstive samlinger. Undersøgelserne med fuldstændigt momentstive
samlinger fører til et profil, som er valgt på baggrund af ønsket om at spændingerne ikke må
overskride flydespændingen ved maksimal belastning og som heller ikke opnår udknækning
af en enkeltstang i tryk. Generelt findes, at den belastning der giver størst deformationer,
størst spændinger og stor udnyttelse af kapacitet mod udknækning er lastkombinationen med
dominerende sne og vindbelastning med træk i zone B og tryk i zone C. Det svarer overens
med den numerisk største belastning, hvorfor resultatet er forventeligt. Det mindste profil
der holder sig under grænsen på den regningsmæssige flydespænding på 214 MPa for stål af
kvaliteten S235, er RHS100x60x4. Det findes i øvrigt, at en forøgelse af profilets tykkelse og
dermed en forøgelse af tværsnitsarealet, forøger kapaciteten, jf. tabel 4.10 og 4.11. I denne
problemstilling er det yderst relevant information, da arkitektens ønske er at lave en konstruktion med så smalt et profil som muligt. Af resultaterne findes f.eks. at RHS100x60x6 har
større reserve i forhold til belastningen end RHS120x60x412 . Som opsamling vises i tabel 4.17
resultaterne for RHS100x60x4 profilet belastet med de gængse lastkombinationer. Der vises
kun resultater for lastkombinationen med den farligste vindbelastning. Udnyttelsesgraden
Tabel 4.17: Deformationer og spændinger for RHS100x60x4 belastet med gængse lastkombinationer.
Profil
Deformation
σN
τz
τy
Udnyttelsesgrad
100x60x4
[mm]
[MPa] [MPa] [MPa]
[-]
Dominerende sne
Retning I
25,054
Retning II
25,108
Dominerende vind
Retning I
20,880
Retning II
21,348
196,60
195,07
-6,84
-6,86
±1,68
±1,69
0,949
0,935
130,37
128,08
-4,49
-4,57
±0,56
±0,60
0,682
0,674
12 Resultaterne for RHS120x60x4 er udeladte fra rapporten, da profilet har større kapacitet end krævet,
hvorfor der er valgt at fokusere på mindre profiler.
37
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
mod udknækning er ved normtjek i Robot bestemt til maksimal 94,9%. Til sammenligning
kan udnyttelsesgraden i forhold til maksimale spændinger bestemmes:
U dnyttelse =
196,60 M P a
· 100 % = 92,02 %
213,64 M P a
Det findes, at spændingerne med 92,02 % udnyttelse er længere fra grænsen end udnyttelsesgraden mod udknækning. Deraf følger, at konstruktionen vil udsættes for udknækning af
en enkeltstang inden der forekommer flydning ved det valgte profil. Som det ses af tabellen
findes ingen kritiske værdier hvorved det konkluderes at RHS100x60x4 kan benyttes som
profil. Det noteres dog, at kun to lastkombinationer er undersøgt, ligesom der er dimensioneret tæt på grænsen.
4.3.6
Yderligere undersøgelser af RHS100x60x4
For at få det fulde billede af, om profilet vil være et fornuftigt valg, bør der undersøges flere
forskellige situationer end de hidtil behandlede. De videre undersøgelser bliver udført for
dette ene profil, og der kigges på en kombination med omfordelt snelast, jævnfør Makowski
[13] situation b), ligesom der udføres en oplastning af konstruktionen, for at se hvor meget
sikkerhed der er i det valgte profil. Som et ekstra tjek undersøges det, om det er muligt at
fjerne en stang fra konstruktionen uden at der sker svigt.
Omfordelt snelast
I Eurocodes [2] findes ingen præcise angivelser af hvordan omfordelt snebelastning bør påsættes en kuppel, der er en del af en kugleflade. Derfor tages udgangspunkt i standardsituationen
for et cylindrisk tag13 hvor der er angivet et forslag til omfordelt snebelastning. Der foreslås
en fordeling, hvor sneen ligger som to trekanter, en på hver halvdel og den ene højere end
den anden. Havde kuplen med den aktuelle pilhøjde (der ikke medfører tangenthældninger
på over 60◦ ) været cylinderformet, ville fordelingen se ud som vist på figur 4.21, hvor µ3 i
afsnit 3.1 er beregnet til 0,97.
Figur 4.21: Omfordelt snebelastning på cylindertag fra Eurocodes. Anvendes som inspiration
for omfordelt snelast på kuplen.
Med udgangspunkt i Eurocodes kan herved antages en fordeling for den aktuelle kuppel.
Dette gøres først og fremmest ved at ændre den trekantede fordeling til en "trappefordeling", da dette er langt simplere at modellere i Robot. Grundet denne ændring i fordelingen
ændres µ3 til µ3.1 = 0,90. Yderligere er det forsøgt at udjævne forskellen imellem de to halvdele, da en kuppel som denne er meget flad og derved ikke giver anledning til en halvering
af lasten fra den ene side til den anden. Herved bliver fordelingen som vist på figur 4.22.
Som tidligere omtalt i forbindelse med påføring af vindlast på konstruktionen, ønskes det at
13 Jf.
38
[2] afsnit 5.3.5, side 24-25.
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
Figur 4.22: Omfordelt snebelastning på kuppel set fra siden. De stiblede linjer angiver den i
Eurocode foreslåede fordeling, jf. figur 4.21.
påføre den samme last på en hel plade, derfor er det på figur 4.23 vist hvordan de 4 områder
vil blive modelleret i hhv. retning I og retning II.
Figur 4.23: Fordeling af områder ved omfordelt snebelastning på kuppel. Tv. vindretning I,
th. vindretning II.
Igen benyttes lastkombinationen fra ligning (3.4), men denne gang med en omfordelt snelast.
Den omfordelte snelast udregnes på samme måde som i ligning (3.1), dog med den ændring
at formfaktoren enten er 1/3µ3.1 , 2/3µ3.1 , 1/2µ3.1 eller µ3.1 afhængigt af hvilket område der
betragtes. Dette giver snelaster som vist i tabel 4.18
Ved de ovenfor omtalte lastpåvirkninger fås de i tabel 4.19 angivne deformationer, spændinger og udnyttelsesgrader. Det ses heraf at konstruktionen godt kan bære en last af denne
type, uden er at der er risiko for brud, da spændingerne (heriblandt Von Mises) er under flydespændingen på 214 MPa og udnyttelsegraden mod udknækning er under 1. Til
sammenligning kan, som det er gjort tidligere, udnyttelsesgraden i forhold til maksimale
spændingerne findes:
U dnyttelse =
196,47 M P a
· 100 % = 91,96 %
213,64 M P a
39
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
Tabel 4.18: Størrelsen af den aktuelle snelast i områderne 1-4 ved omfordelt snelast.
Område
1
2
3
4
kN
kN
kN
[ kN
]
[
]
[
]
[
2
2
2
m
m
m
m2 ]
Snebelastning
Tilhørende formfaktor
0,270
0,540
0,405
0,810
1/3µ3.1
2/3µ3.1
1/2µ3.1
µ3.1
Tabel 4.19: Deformationer og spændinger for RHS100x60x4 belastet med omfordelt sne.
Profil
Deformation
σN
τz
τy
Udnyttelsesgrad
100x60x4
[mm]
[MPa] [MPa] [MPa]
[-]
Dominerende omfordelt sne, tryk zone C
Retning I
31,633
172,89 -5,97 ±1,19
Retning II
32,371
196,47 -7,74
1,48
Dominerende omfordelt sne, træk zone C
Retning I
26,857
147,52 -5,14 ±1,20
Retning II
27,531
164,16 -6,55
1,48
Dominerende omfordelt sne, uden vindpåvirkning
Retning I
28,415
156,83 -5,47 ±1,20
Retning II
28,928
177,11 -7,02
1,48
0,890
0,887
0,765
0,735
0,804
0,797
I modsætning til den jævnt fordelte snelast giver den omfordelte snelast anledning til en
udnyttelsesgrad i forhold til de maksimale spændinger der er større end udnyttelsesgraden i
forhold til udknækning. Dette betyder at konstruktionen vil flyde, før der sker udknækning
af en enkelt stang.
Derudover fremgår det at den hårdeste belastning kommer fra den jævnt fordelte snebelastning hvor udnyttelsesgraden både i forhold til spændingerne og udknækning er størst, dog er
deformationen større for den omfordelte snebelastning. Det findes samtidig, at denne skæve
fordeling medfører større forskelle i deformationerne på kuplen end den skæve vindbelastning, hvor forholdet ikke kommer lige så meget til udtryk.
Deformationerne ses på figur 4.24, hvor der er lagt et snit lodret midt gennem konstruktionen. Deformationerne er indtegnet i et forhold 1:30, hvormed de aktuelt ikke er så voldsomme
som det kan antydes af figuren. Forholdet er valgt, for at understrege hvilke deformationer
der skabes, når belastningen er asymmetrisk, og den maksimale værdi findes af tabel 4.19.
Figur 4.24: Snit i midten af konstruktionen visende deformationer ved belastning med skæv
sne, hvor belastningszonerne er angivet.
40
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
Oplastning af konstruktion
Det er nu endeligt fundet at den hårdeste belastning, er dominerende jævnt fordelt sne og
vind i retning I, der resulterer i træk i zone B og tryk i zone C. Det ønskes herefter at
vide hvor meget ekstra styrke der er i det betragtede profil, ved denne påvirkning. Derfor
betragtes denne lastkombination endnu en gang, men denne gang med den hensigt at oplaste
konstruktionen til denne ikke kan bære mere. Dette gøres ved at øge lasten på konstruktionen indtil enten flydespændingen eller en udnyttelsesgrad på 1 nås. For den betragtede
lastkombination findes en at faktor 1,072 medfører en udnyttelsesgrad på 1,000 samt maksimale normalspændinger på 206 MPa. Herved findes det at konstruktionen ved den hårdeste
belastning vil udbøje før den vil flyde, samt at den resterende sikkerhed er på 7,2 %. Dette
er ikke en synderligt stor sikkerhed, men dog tilstrækkelig, da der i beregningerne også er
benyttet sikkerhedsfaktorer.
Fjernelse af enkeltelement
Yderligere ønskes undersøgt om konstruktionen har robusthed nok til at modstå en situation, hvor et enkeltelement af ukendt årsag mister sin bæreevne totalt. Ved undersøgelsen
betragtes et tilfælde hvor en enkeltstang fjernes fra beregningsmodellen, samt et tilfælde
hvor en knude med de tilhørende stænger fjernes. Konstruktionen betragtes som robust når
den kan optage belastningen uden tilstedeværelsen af de fjernede elementer.
Når et element bortfalder er det ikke længere en anvendelsestilstand, men derimod et specialtilfælde, der bør regnes med andre belastninger end de hidtil benyttede regningsmæssige
lastkombinationer. Eurocode 0 [14] beskriver projekteringsgrundlag for bærende konstruktioner, derunder hvordan robustheden af en konstruktion eftervises. Anneks E i det nationale
anneks [15] beskriver supplerende regler for eftervisning af robusthed af en konstruktion,
hvor punkt 7 behandler eftervisning af robusthed ved ’bortfald af element’. Heraf findes det,
at tilstrækkelig bæreevne kan eftervises i en ulykkesdimensioneringstilstand. Lastkombinationen der bør benyttes ved ulykkestilfælde14 findes af formel 6.11 a/b, opsummeret i tabel
A1.3, se ligning (4.15).
q = Gkj,sup + Ad + ψ2,1 · Qk,1 + ψ2,i · Qk,i
(4.15)
hvor
Gkj,sup er egenlast.
Ad er den dominerende ulykkeslast.
ψ2 er partialkoefficienter for bygninger.
Qk,i er ikke dominerende variable laster.
Egenlasten er til ugunst og regnes derfor med fuldt bidrag. Ulykkeslasten Ad findes af Eurocodes 0 [14] afsnit 6.4.3.3 ’lastkombinationer ved ulykkesdimensionering’. Punkt (4) foreskriver:
(4) "Lastkombinationer ved ulykkesdimensionering bør enten
- medtage en eksplicit ulykkeslast A (brand eller påkørsel) eller
- referere til en tilstand efter ulykkeshændelse (A=0).
Da der hverken er tale om branddimensionering eller påkørsel, undersøges en tilstand efter ulykkeshændelse, hvor ulykken medføre bortfald af en enkelt eller flere stænger. Ulykkeslasten sættes derfor lig 0, og partialkoefficienterne på de resterende ikke dominerende
laster (naturlasterne) findes af det nationale anneks [15]. Tabel A1.1 viser en oversigt over
partialkoefficienter, og for både sne og vind findes den til ψ2 = 0. Dermed kommer lastkombinationen alene til at bestå af egenlast. Der regnes med karakteristiske laster, dog anvendes
14 Som
ikke er brand eller seismiske dimensioneringtilstande.
41
Analyse af gitterkuppel
Stabilitet af gitterkonstruktion
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
KF I = 1,1 for høj konsekvensklasse stadig.
Egenlasten af stængerne påsættes automatisk i Robot, mens der stadig anvendes en estimeret
egenlast af glasbeklædningen på 0,50 kN
m2 . Ved undersøgelserne bestemmes først og fremmest
om de maksimale spændinger og udnyttelsesgraden overfor udknækning er acceptable. Det
noteres, at i ulykkesdimensioneringstilstanden er det tilladt at anvende den karakteristiske
flydespænding som grænse ved dimensioneringen15 , netop da det er en ulykkesdimensionering og ikke en permanent dimensioneringssituation.
Situationen hvor en enkeltstang er fjernet, undersøges ved først at belaste konstruktionen
med den fundne lastkombination for ulykkesdimensionering uden at fjerne nogen elementer.
Herefter findes hvilken stang, der er mest udnyttet mod udknækning, da det tidligere er
fundet, at udknækning af en enkelt stang vil forekomme før flydning af stålet ved det valgte
profil, se afsnit 4.3.5. Den hårdest belastede stang fjernes derefter, og beregningen gennemføres igen, for at se hvorledes konstruktionen optager belastningen. På figur 4.25 ses hvilken
stang der blev fundet til at være den hårdest belastede, og dermed den stang der er fjernet
for at undersøge konstruktionen for robusthed.
Figur 4.25: Konstruktion hvor der er fjernet et enkeltelement for at undersøge konstruktionens robusthed mod ulykkestilfælde.
Det noteres, at grundet symmetri både i konstruktionen samt den påsatte last, vil der seks
steder på konstruktionen findes stænger der er belastet lige hårdt. Det svarer til hver ende
af de rækker af stænger der går gennem midten/centrum af konstruktionen, og i princippet er det underordnet hvilken af de seks stænger, der fjernes. Tabel 4.20 viser hvorledes
de maksimale deformationer, spændinger samt den maksimale udnyttelsesgrad af en enkeltstang mod udknækning ændres når der er fjernet et element fra konstruktionen. Det findes,
at de maksimale deformationer bliver en smule større, dog regnes 8 mm ikke som kritisk.
Spændingerne ændres kun på decimalerne, hvorved det kan konkluderes, at konstruktionen
er robust mod fjernelse af en stang. At der ikke er større forskelle på de maksimale resultater skyldes, at lasten fordeles anderledes når der fjernes en stang. De omkringlæggende
stænger optager den last, som den fjernede stang ellers ville have taget. Da de omkringliggende stænger ikke er udnyttet i samme grad som de hårdest udnyttede stænger, vil det
derfor ikke kunne bemærkes på de maksimale spændinger. Hvad der derfor er interessant
15 γ
42
= 1,0 jf. [16] side 3.
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
Tabel 4.20: Deformationer og spændinger samt udnyttelsesgrad for konstruktion belastet med
ulykkeslast beskrevet i Eurocodes, både fuld konstruktion (1) samt ved udeladelse af et enkelt
element(2).
Profil
100x60x4
1
2
Deformation
[mm]
σN
[MPa]
τz
[MPa]
τy
[MPa]
Udnyttelsesgrad
[-]
7,593
8,066
63,00
63,02
-2,14
-2,14
0,49
0,49
0,297
0,297
at undersøge, er hvorledes lasten fordeler sig, når der fjernes en stang. Dette behandles ved
nærmere undersøgelser af konstruktionens robusthed.
Konklusionen er, at konstruktionen er robust, selvom den hårdest belastede enkeltstang er
fjernet. Yderligere undersøges, hvor farligt det er at fjerne en knude med tilhørende stænger,
se figur 4.26. Det fjernede område svarer til den lille konstruktion, der indledningsvis er
undersøgt. Området er tilfældigt udvalgt, og behandles principielt, da hvert enkelt område
burde fjernes ét af gangen, ligesom man burde udtage hver enkelt stang i undersøgelsen af
robusthed. Det vurderes at de udvalgte eksempler er tilstrækkeligt til at udvise forståelse
for fremgangsmåden.
Figur 4.26: Konstruktion hvor der er fjernet et delområde svarende til konstruktionen der
indledningsvis blev benyttet til dimensionering.
Ligesom med fjernelsen af en enkeltstang kan de maksimale deformationer, spændinger samt
udnyttelsesgrad mod udknækning sammenlignes. Dette findes i tabel 4.21, hvor situationen
med fjernelse af en enkeltstang er bibeholdt til sammenligning. Igen findes en smule større
deformationer end udgangspunktet, uden at det er nævneværdigt. Spændingerne øges en
smule, igen uden at det giver anledning til nærmere undersøgelse. Eneste bemærkelsesværdige ændring er, at udnyttelsesgraden er formindsket med 0,1 %. Dette må skyldes en lettere
ændring i hvordan lasten fordeles, men da ændringen ikke er større end tilfældet er, findes
det ikke interessant at undersøge nærmere.
Kravene i Eurocodes virker meget lempelige mht. undersøgelse af en konstruktions robust43
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Stabilitet af gitterkonstruktion
Tabel 4.21: Deformationer og spændinger samt udnyttelsesgrad for konstruktion belastet med
ulykkeslast, både fuld konstruktion (1), udeladelse af et enkelt element(2) samt udeladelse af
delområde (3).
Profil
100x60x4
1
2
3
Deformation
[mm]
σN
[MPa]
τz
[MPa]
τy
[MPa]
Udnyttelsesgrad
[-]
7,593
8,118
8,066
63,00
63,02
64,32
-2,14
-2,14
-2,20
0,49
0,49
0,49
0,297
0,297
0,296
hed. Derfor vælges at udføre endnu en belastning, der kan betragtes som en følsomhedsberegning. Baggrunden er, at en konstruktion placeret i Danmark sagtens kan være udsat
for snebelastning. Det ønskes derfor undersøgt om konstruktionen er robust mod belastning
med karakteristisk snelast i kombination med karakteristisk egenlast. Det anses ikke for
sandsynligt at andre laster virker i kombination med udfald af stangelement samt belastning med fuld sne. Som værdi af den karakteristiske snelast benyttes stadig 0,72 kN
m2 , og
lastkombinationen kan ses af ligning (4.16):
q = 1,1 · Gkj,sup + 1,1 · sk
(4.16)
Beregningerne udføres på samme grundlag som før, hvor der kan sammenlignes med situationen før der fjernes en stang. Tabel 4.22 viser resultaterne af de maksimale spændinger
mv.
Tabel 4.22: Deformationer og spændinger samt udnyttelsesgrad for konstruktion belastet med
karakteristisk snelast samt egenlast, både fuld konstruktion (1), udeladelse af et enkelt element(2) samt udeladelse af delområde (3).
Profil
100x60x4
1
2
3
Deformation
[mm]
σN
[MPa]
τz
[MPa]
τy
[MPa]
Udnyttelsesgrad
[-]
16,457
17,819
17,226
137,76
137,83
141,50
-4,80
-4,80
-4,95
1,08
1,08
1,08
0,659
0,659
0,661
Igen findes at deformationerne samt spændingerne øges, men ikke med betydelige størrelser.
Det noteres, at udnyttelsesgraden af den hårdest belastede stang er øget en smule i situationen hvor der er fjernet et delområde, hvilket hænger sammen med en forøget belastning
på en af de stænger der i forvejen var hårdest belastet. Dette undersøges ikke nærmere,
men konstateres blot, at stangen har fået en forøget udnyttelsesgrad fra 0,659 til 0,661. Det
er mere interessant at undersøge udviklingen omkring området hvor stængerne er fjernet.
En grafisk oversigt over ændringerne af udnyttelsesgrad findes i appendix H. Appendixet
indeholder (for både fjernelse af en enkelt stang samt et delområde) først en oversigt over
udnyttelsesgraden af de enkelte stænger i området omkring den eller de stænger der er fjernet, og efterfølgende findes en oversigt over hvor meget udnyttelsesgraden har ændret sig i
forhold til situationen med samme belastning inden stængerne er fjernet.
For fjernelse af en enkelt stang findes, at der er i høj grad er symmetri både i udnyttelsesgraden og ændringen i udnyttelsesgraden omkring den stang der er fjernet. Det er forventeligt,
da den påsatte last er jævnt fordelt over hele kuplen og dermed også symmetrisk. Det findes
at udnyttelsesgraden ændrer sig i et bestemt mønster, og ved inspicering kan det aflæses
hvordan lasten fordeler sig, når den ikke længere kan bliver optaget i den stang der mangler.
44
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Analyse af gitterkuppel
Stabilitet af gitterkonstruktion
Specielt findes, at de stænger der går fra centerlinjen og ud mod randen optager større kræfter, hvormed udnyttelsesgraden forøges. Dermed virker de som skråstivere i forhold til den
manglende stang. Naturligt er belastningen på de stænger der direkte afleverede belastning
i den manglende stang mindre.
For fjernelse af et delområde optages den øgede belastning i ringe, se illustrationer i appendix H, mens de skrå stænger mellem ringene optager mindre last. Igen findes høj grad
af symmetri, da belastningen er symmetrisk. I princippet burde alle delområder bliver undersøgt, da nogle vil være mere kritriske at fjerne end andre. Dette udelades her, da et
større beregningsarbejde vil ligge til grund for det, og konklusionen, baseret på hidtidige resultater ved fjernelse af stænger, vil sandsynligvis ikke ændre på at konstruktionen er robust.
Det findes altså, at RHS100x60x4 profilet kan modstå de lastkombinationer, der er undersøgt. Sammenlignet med Linds håndregningsudtryk er det fundet, at et større profil end
RHS90x50x4, som den indledende undersøgelse af den lille model ledte frem til, er nødvendigt for at kunne modstå de globale belastninger. Antagelsen om, at Linds udtryk indeholder
sikkerhed mod den globale stabilitet kan være korrekt, sikkerheden er dog i det givne tilfælde
ikke stor nok. Det anses også for usandsynligt at man kan dække alle givne gitterkonstruktioner med varierende pilhøjde i et udtryk. Når FEM beregningsprogrammer er til rådighed
bør disse benyttes til undersøgelserne af den globale stabilitet, især når forudsætningerne
for håndregningsudtrykket ikke kendes til fulde.
45
Analyse af gitterkuppel
Stabilitet af gitterkonstruktion
46
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
5
Understøtning af gitterkuppel
Den hidtidige dimensionering af konstruktionen er foregået under forudsætning af, at konstruktionen har været understøttet med forhold svarende til faste indspændinger langs randen af kuplen, se f.eks. figur 4.17. Det er ikke realistisk at opbygge konstruktionen, så den
giver understøtningsforhold, der fuldt ud svarer til en fast indspænding, da det vil medføre, at den omkringliggende konstruktion, hvor kuplen afleverer sin belastning, er stiv nok
til at fastholde kuplen mod flytning. Det kræver en (meget) solid konstruktion, hvilket er
økonomisk omfattende. Det kan således godt tillades, at konstruktionen kan deformere i
begrænset omfang.
Det ønskes undersøgt, hvorledes konstruktionen kan opbygges, sådan at tilpas stivhed opnås,
uden at deformationerne bliver uacceptable. For at finde en løsning undersøges hvordan bygningen, som kuplen skal aflevere sin last til, er opbygget, samt hvorledes kræfterne afleveres.
Den dimensionsgivende lastkombination er fundet til at være dominerende snebelastning,
som i kombination med egenlasten bidrager til resulterende tryk på kuplen. Grundet gitterets opbygning omsættes belastningen primært til stangkræfter i kombination med momenter (grundet valget af momentstive samlinger). Stangkræfterne afleveres i stangens retning,
hvorfor den primære del af lasten afleveres som tryk rettet udad ved understøtningerne.
For at optage de udadrettede kræfter, vælges det at benytte en ringbjælke, der som navnet
angiver, er sluttet som en ring omkring kuplen. Kræfterne vil føres i retning fra midten og
ud, se figur 5.1. Hvis belastningen antog samme størrelse (jævnt fordelt), ville kræfterne
fordele sig symmetrisk og modvirke en resulterende flytning, da der skubbes i alle retninger
fra midten og ud.
Figur 5.1: Angivelse af hvordan kræfterne fra belastningen på kuplen afleveres til den omkringliggende konstruktion.
Dette er dog en mere teoretisk antagelse, end hvad der aktuelt kan forekomme, og i lastkombinationerne forekommer yderligere en vindbelastning jf. afsnit 3.4, hvorfor belastningen vil
være asymmetrisk. Dette medfører forskelle i den vandrette og lodrette belastning afhængig
47
Analyse af gitterkuppel
Understøtning af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
af hvilken del af ringbjælken, der betragtes. Udfordringen er dermed at dimensionere bjælken
således, at spændingerne ikke overskrider flydespændingen samtidigt med, at der ikke opnås
deformationer (vandret eller lodret), der påvirker den resterende del at konstruktionen.
For at finde en realistisk løsning på understøtningsforholdene, er det nødvendigt at undersøge den omgivende konstruktion. Kuplen er placeret øverst i bygninggen, og hver etage
herunder består af betondæk, der kan føre kræfterne over i stabiliserende kerner, der findes
tre steder i planen. Betondækkene er yderligere understøttet af søjler, der kan overføre lodret
last, mens tværlasterne optages i de stabiliserende kerner. Det antages derfor, at kræfterne
føres ned gennem kernerne og søjlerne til funderingen, så målet er at føre kræfterne fra
kuplen ned i betondækket. Samtidig skal der opnås et tilstrækkeligt antal understøtninger
rundt langs ringbjælken, så den lokale lodrette deformation af bjælken ikke bliver for stor.
Dette kan løses ved at understøtte ringbjælken med pendulsøjler et passende antal steder
langs bjælken. Søjlerne kan således overføre de lodrette kræfter til det øverste dæk, som
derfra kan føre dem videre ned igennem konstruktionen. Pendulsøjlerne er understøttet med
mulighed for rotation i hver ende, hvorfor de ikke er stabile overfor vandret belastning. For
at optage den vandrette belastning er det nødvendigt at placere afstivende elementer mellem pendulsøjlerne. Disse placeres rundt langs kuplen, således at konstruktionen er stabil
overfor vandret belastning fra alle retninger. Stabil afstivning uføres ved at danne trekanter,
der som bekendt er stabile og ubevægelige, hvorved denne kan udformes som et K-gitter,
N-gitter eller som krydsafstivning, se figur 5.2. Afstivningsformerne danner alle stabiliserende trekanter, hvor stængerne vil optage henholdsvis tryk eller træk afhængig af hvilken vej,
den vandrette belastning forekommer.
Figur 5.2: Eksempler på hvilke former for afstivning der kan anvendes mod vandret belastning
på kuplen. Tv. ses et K-gitter, mf. et N-gitter og th. krydsafstivning.
Der er forskellige fordele ved hver af de tre måder at afstive på. K-gitteret giver en ekstra
understøtning midt på stykket mellem pendulsøjlerne. N-gitteret har kun en enkelt stang
mellem et søjlepar, hvorfor vinklen mellem stangen og vandret er mindre end for f.eks. Kgitteret. Derfor kan dette gitter optage mere vandret belastning. Dog skal der mindst to
søjlemellemrum til for at afstive optimalt i begge retninger. Kryds-gitteret kombinerer de to
gitre ved at kunne afstive i begge retninger inden for to søjler. I dimensioneringen vælges at
benytte et K-gitter, da det indfører en ekstra understøtning af ringbjælken, hvilket hjælper
til at modvirke den lodrette flytning. Dermed kan en mindre dimension af både ringbjælke
og søjler eventuelt benyttes.
Understøtningsforholdene ved de tre indhak i bygningen er anderledes end den resterende
del af bygningen. Figur 5.3 viser en skitsemæssig plantegning, hvor placeringen af pendulsøjlerne er angivet med cirkler og placeringen af de tre stabiliserende kerner er angivet med
tykkere streger. Det ses, at der ved hvert indhak mangler en understøtning, hvorfor en alternativ løsning må vælges her. Imellem hvert af de tre indhak findes seks pendulsøjler, hvilket
giver fem mellemrum hvori K-afstivningen kan placeres. Det er dog ikke nødvendigt med
afstivning i alle fem mellemrum da den vandrette belastning ikke er så stor.
Som det fremgår af figur 5.3 er det således ikke muligt at få ens understøtningsforhold
48
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Analyse af gitterkuppel
Understøtning af gitterkuppel
Figur 5.3: Plantegning i skitseform, der viser placering af understøtningsmulighederne samt
placering af stabiliserende kerner.
hele vejen rundt langs ringbjælken. Da ringbjælken ønskes med så lille en dimension og
deformation som muligt, er det ikke muligt at undlade understøtning udfor de tre indhak.
En måde at aflaste bjælken er ved at udforme et hængeværk under bjælken. Hængeværket
udformes med charnieres, da de primært skal optage lodret belastning, mens ringbjælken
forbliver momentstiv hele vejen rundt, se figur 5.4 der viser to mulige udformninger af
hængeværket.
Figur 5.4: Udformning af hængeværk placeret som ekstra understøtning hvor der mangler
understøtningsforhold.
Hængeværket fungerer dermed som en ekstra understøtning, der hvor understøtningsmuligheden mangler, hvorved lasten føres over i nærvedliggende pendulsøjler i stedet for at blive
ført direkte ned.
Den omtalte model sættes op i robot, se figur 5.5, hvor placering af pendulsøjler, afstivninger
samt hængeværk er angivet. Der er flere måder hvorpå K-afstiverne kan placeres. Da der
er fem mellemrum mellem hvert indhak, kan der vælges at benytte enten to eller tre afstivninger jævnt fordelt mellem indhakkene. På figuren er valgt tre mellem hver indhak. Flere
afstivere kan medføre mindre dimensioner, mens færre afstivere medfører færre samlinger.
49
Analyse af gitterkuppel
Understøtning af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Valget er underordnet, sålænge dimensioneringen medfører tilpas modstand mod vandret
belastning. Derudover kan begge former for hængeværk benyttes; på figur 5.5 er modellen
vist til venstre i figur 5.4 benyttet.
Figur 5.5: Placering af pendulsøjler, afstivere samt hængeværk, i forhold til hvor det er muligt
at nedføre last, jævnfør figur 5.3.
5.1
Dimensionering af ringbjælke
Som nævnt baseres dimensioneringen af ringbjælken på, at spændingerne ikke må overstige
flydespændingen (S235 ønskes anvendt), samtidig med at de maksimale deformationer i
både kuppel og ringbjælke ikke bliver for store. På grund af valget af pendulsøjler, skal
ringbjælken kunne optage al den belastning, der flyttes fra midten af kuplen og ud. For at
finde et fornuftigt valg af profil, bør der kigges på hvordan kræfterne fra kuplen afleveres.
På figur 5.6 ses hvordan stangkraften og momentet fra en stang afleveres til ringbjælken.
Der fokuseres på to profiler, et cirkulært samt et kvadratisk. Der ønskes ikke at benytte et Iprofil eller lignende, da det har betydelig forskellig styrke afhængig af hvilken akse kræfterne
angriber om.
Figur 5.6: Angivelse af hvordan kræfterne angriber ringbjælken ved henholdsvis et cirkulært
profil tv. eller et kvadratisk profil th.
Hverken det cirkulære profil eller det kvadratiske profil er ligeså påvirkelige overfor hvor
kraften angriber som et I-profil, yderligere forekommer der ikke problemer med f.eks. kipning.
Fordelen ved det cirkulære profil er, at det er underordnet hvilken vinkel trykkraften angriber
med (sålænge angrebslinjen er rettet mod tværstnittets tyngdepunkt). Derfor anvendes det
runde profil, idet det også antages at være nemmest at tildanne, så det danner en cirkel
omkring kuplen.
Da der indtil nu er dimensioneret efter faste indspændinger langs kuplens rand, ønskes det
først at undersøge, om der kan findes en bjælke, der kan give lignende understøtnignsforhold
for kuplen. Det sammenlignes ved at kigge på deformationerne af kuplen. Ved fuldstændig
fastholdelse mod flytninger er der tidligere fundet en maksimal deformation af kuplen på 25
mm ved belastning med dominerende sne, se tabel 4.17. Den afgørende faktor, der bestemmer
stivheden af ringbjælken er tværstnitsarealet. Derfor dimensioneres først en massiv cirkulær
bjælke med en diameter på 219,1 mm, for at se hvor stor stivhed, der kan opnås. Ved
beregning i Robot findes det, at deformationerne i kuplen maksimalt antager en størrelse
50
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Understøtning af gitterkuppel
af 32 mm ved belastning med dominerene sne, når understøtningsforholdene ændres16 . Ved
anvendelse af et tværsnit på 0,0377 m2 opnås altså understøtningsforhold, der ikke afviger
voldsomt fra modelleringen af faste indspændinger.
Det ønskes dog ikke at benytte en massiv ringbjælke, da der kan tillades større deformationer
af kuplen samt at det er en stor udgift at anvende en massiv bjælke, der oveni også tilfører en
stor egenlast. Der forsøges at finde en løsning med et cirkulært rørprofil, der er hult. Selvom
tværsnitsarealet ikke er samme størrelse, udnyttes materialet optimalt, da det er placeret
i yderkanten af tværsnittet, hvilket medfører større inertimoment end hvis materialet var
placeret tæt omkring midten.
For ikke at få en for stor dimension af ringbjælken vælges det, at holde fast i en udvendig
rørdimension på 219,1 mm, og så vælge en tilpas tykkelse af profilet medførende acceptable
flytninger. Ved undersøgelse af tilgængelig profildimensioner, benyttes Nordisk Rør & Stål
A/S (NRS) som udgangspunkt. I deres produktkatalog, [17] side 20, findes oplysninger for
sværvæggede sømløse stålrør. For en udvendig diameter på 219,1 mm findes godstykkelser
fra 6,3 mm helt op til 70 mm. Vælges en godstykkelse på 50 mm, svarende til et tværsnitareal
på 0,0266 m2 , findes (ved beregninger i Robot) maksimale deformationer af kuplen på 35
mm (dimensionerne af pendulsøjler, vindgitter og hængeværk behandles i de følgende afsnit).
Senere angives yderligere, hvilke spændinger dette giver anledning til.
5.2
Dimensionering af pendulsøjler
Pendulsøjlerne skal kunne optage den lodrette last fra kuplen. Det kan vælges at udforme
søjlen på flere forskellige måder, eneste krav er, at den skal kunne optage kræfterne uden
at bule ud. Her benyttes et kvadratisk RHS profil, da det har samme modstand mod udknækning om begge akser. Da søjlerne er modelleret med charnieres i begge ender, skal den
lodrette belastning kunne optages om begge akser, hvorfor det er en fordel at anvende et
profil, der er lige stærkt om begge akser. Ligeledes må spændingerne ikke opnå størrelser
nær flydespændingen. Den laveste stålkvalitet S235 ønskes anvendt, hvor flydespændingen
efter deling med partialkoefficienten γM 0 = 1,1 er 214 MPa.
Ved inspektion af bygningens geometri findes søjlernes højde. Uden at kende den nøjagtige
geometri antages søjlerne at være 2,5 m høje. Der anvendes et profil med dimensionerne
70x5 mm, og ved brug af Eurocodes 3 [8], som beskrevet og vist i afsnit 4.1 om udknækning
af en enkeltstang, kan bæreevnen af en enkelt søjle findes til:
Nb,Rd = 169,4 kN
Beregningen dokumenteres ikke yderligere, da Robot anvendes til at foretage normtjek i
forbindelse med udnyttelsesgraden mod udknækning. Samlet kan de atten lodrette søjler
optage en last på maksimalt 3049 kN. Ved kontrol af den samlede lodrette reaktion i modellen findes en belastning på 1667 kN. Således burde søjlerne ved den valgte dimension
kunne modstå belastningen uden at knække ud, betinget at belastningen er jævnt fordelt
på alle søjlerne. Grundet mangel på understøtningsforhold ved indhakkene vil lasten ikke
fordele sig ligeligt mellem søjlerne. Udnyttelsesgraden for hver enkelt søjle samt kontrol af
at spændingerne ikke overstiger flydespændingen behandles senere.
5.3
Dimensionering af vindafstivning og hængeværk
De ovenfor betragtede pendulsøjler optager den lodrette last, mens formålet med vindafstivningen er at sikre konstruktionen mod vandret flytning. Afhængig af belastningsretningen
16 Understøtningen af selve ringbjælken er udført som vist på figur 5.5 hvor der er tilstrækkelig bæreevne
i den resterende konstruktion.
51
Analyse af gitterkuppel
Understøtning af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
vil der for de to stænger i K-gitteret gælde, at den ene vil være i træk, mens den anden er
i tryk. Udknækning er et større problem end spændingerne, hvorfor den dimensionsgivende parameter er udnyttelsesgraden mod udknækning. Der anvendes et cirkulært profil for
at udnytte, at modstanden mod udknækning er lige stor om begge akser. Dimensionen af
tværsnittet vælges til 48,3x5 mm, hvilket også er fundet i NRS’s produktkatalog, [17].
Som tidligere nævnt er det nødvendigt med ekstra understøtning af ringbjælken ud for de
tre indhak, hvilket udføres ved brug af de førnævnte hængeværk. Som ved vindafstivningen
benyttes cirkulære profiler, her afhænger dimensionen dog af, hvorvidt stangen er i tryk eller
træk. For stænger i træk benyttes et tværsnit med dimensioner svarende til vindafstivningen
på 48,3x5 mm, og for stænger i tryk er dimensionerne hævet en smule til 48,3x12,5 mm,
hvor dimensionerne igen er findet i NRS’s produktkatalog, [17].
Det skal dog bemærkes, at ved en stor belastning af ringbjælken, hvilket er tilfældet, vil
det føre til store vandrette flytninger af den nederste del af hængeværket. Dette kan modvirkes på to måder. Enten ved at tilføje en stang i hver side fra hængeværket og ud til den
nærmeste søjle, eller ved at udføre en samling mellem hængeværkets bund og betondækket.
Denne samling kan udføres som vist på princip tegningen i figur 5.7, hvor det udnyttes at
betondækket er fastholdt mod flytning i skivens egen plan, hvorfor den vandrette flytning
af hængeværket modvirkes. Flytning ud af betondækkets plan vil stadig være muligt, da
understøtningsforholdne ud for indhakkene ikke er tilstrækkelige til at fastholde pladen mod
denne form for flytning.
Senere vil vi se at det er tilstrækkeligt at benytte vindafstivning i to af mellemrummene
Figur 5.7: Principtegning af samlingen mellem betondækket og hængeværket.
når dette er kombineret med hængeværket vist th. i figur 5.4. Fordelen ved kun at udføre
understøtning i to ud af de fem mellemrum er først og fremmest at antallet af stænger og
samlinger bliver mindre end hvis der var opsat afstivning i tre mellemrum, derudover vil
udnyttelsesgraden være større alt imens styrken stadig er tilstrækkelig til at kunne modstå
belastningen.
5.4
Eftervisning af bæreevne
Nu er de valgte dimensioner blevet præsenteret, hvilket for hele konstruktionen kan opsumeres i tabel 5.1. Men indtil nu er det ikke vist, hvorvidt ringbjælken og elemmenterne i
understøtningen kan klare den krævede belastning, svarende til dominerende sne jf. afsnit
3.4.
I afsnit 5.1 blev der gjort rede for, at det var spændingerne i ringbjælken og ikke udknækning, der var den dimensionsgivende faktor. Derfor undersøges ringbjælkens spændinger
nærmere. Dette er gjort i Robot, hvor hele konstruktionen er betragtet og belastet først med
lastkombinationen med dominerende sne og derefter med dominerende vind. Efterfølgende
52
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Understøtning af gitterkuppel
Tabel 5.1: Valg af profiler til de forskellige dele af konstruktionen.
Konstruktionsdel
Profiltype
Dimension
[mm]
Stænger i kuppel
Ringbjælke
Pendulsøjler
Vindafstivning
Hængeværk
- Trykstænger
- Trækstænger
- Stabiliserende
RHS
Cirkulært rør
Kvadratisk rør
Cirkulært rør
100x60x4
219,1x50
70x5
48,3x5
Cirkulært rør
Cirkulært rør
Cirkulært rør
48,3x12,5
48,3x5
48,3x5
er spændingerne i ringbjælken trukket ud af programmet og undersøgt. Resultaterne heraf
er for omfattende til at vedlægge i appendix, hvorfor de findes på den vedlagte CD. Dette
er gjort for tre understøtningstilfælde: To vindgitre og trekantet hængeværk, to vindgitre
og trapezformet hængeværk samt tre vindgitre og trapezformet hængeværk. Resultaterne er
vist nedenfor i tabel 5.2.
Tabel 5.2: Spændinger i ringbjælken afhængigt af udformningen af understøtning og afstivning.
Lastkombination
Smax
Smin
Ux
Uy
Uz
[MPa]
[MPa]
[mm] [mm] [mm]
Trekantet hængeværk og to vindgitre
Dominerende sne
15,97
-78,31
Dominerende vind 10,12
-45,66
2,889
1,855
2,639
1,138
-6,503
-3,858
Trapezformet hængeværk og to vindgitre
Dominerende sne
9,6
-72,34
Dominerende vind
6,04
-42,11
2,811
1,799
2,613
1,205
-4,312
-2,565
Trapezformet hængeværk og tre vindgitre
Dominerende sne
9,37
-73,37
Dominerende vind
6,68
-43,63
-2,899
-1,867
2,598
1,252
-4,540
-2,699
Af tabellen ses det, at spændingerne er langt mindre end flydespændingen, hvilket taler for
et mindre profil. I forhold til de tidligere undersøgelser vedrørende deformationen i kuplen, kan et mindre profil ikke tillades, da kuplens deformationer derved vil blive for store.
Samtidigt ses det, at uanset hvilken kombination af vindgitter og hængeværk der vælges, er
deformationerne af ringbjælken små, hvormed konstruktionens understøtningsforhold nærmer sig den tidligere betragtede faste understøtningsform.
For pendulsøjlerne er udført et normtjek i Robot for mere præcist at undersøge hvilke laster,
hver af de atten søjler udsættes for. Tidligere blev det beregnet at hver af søjlerne har en
bæreevne på 169 kN, det noteres at bæreevnen pr. søjle i Robot ligeledes findes til 169 kN jf.
appendix I. Hvor stor en last søjlerne udsættes for afhænger af formen hvormed vindgitteret
53
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Understøtning af gitterkuppel
Tabel 5.3: Maksimale udnyttelsesgrader samt tilhørende belastning af pendulsøjlerne
Lastkombination
Fx
Fx/Ax Udnyttelsesgrad
[kN]
[MPa]
Trekantet hængeværk og to vindgitre
Dominerende sne
128,915
99,17
Dominerende vind 78,444
60,34
0,761
0,463
Trapezformet hængeværk og to vindgitre
Dominerende sne
127,502
98,08
Dominerende vind 78,902
60,69
0,753
0,466
Trapezformet hængeværk og tre vindgitre
Dominerende sne
115,836
89,10
Dominerende vind 70,774
54,44
0,684
0,418
og hængeværket er udført, da dette også er i stand til at tage en lille del af den lodrette last.
Den maksimale udnyttelsesgrad i forhold til udknækning er angivet i tabel 5.3, for hver af de
tre understøtningsforhold betragtet i forbindelse med undersøgelsen af ringbjælken. Heraf
ses det at søjlernes bæreevne er tilstrækkelig, samtidig med at spændingerne ikke overstiger
flydespændingen (der kan ses bort fra forskydningsspændingerne, da de vandrette kræfter
optages i vindgitteret). Yderligere ses det, at der ikke er nogen synderlig forskel på spændinger og udnyttelsesgrader for de tre afsivnings-/understøtningsformer.
For at eftervise den vandrette bæreevne henvises til Eurocode 0, hvori det står beskrevet, hvordan den vandrette masselast er den mindste vandrette last, som en konstruktion
skal regnes påvirket af. Formålet med denne er at sikre konstruktionen mod små jordrystelser. Dog skal der i beregningerne også tages højde for vindbelastningen. Dette gøres ved,
at finde den største af de to belastninger (vind eller vandret masselast) og derefter belaste
konstruktionen med både den lodrette og den vandrette belastning samtidig. I appendix J
er det fundet, at den vandrette masselast er større end vindlasten og antager en størelse på
25 kN. Ved belastning af denne størrelse findes maksimale spændinger og udnyttelsesgrader
i forhold til udknækning som angivet i tabel 5.4.
Normtjekket i Robot, hvori udnyttelsesgraderne er fundet, er foretaget under den forudsætning, at slankhedsforholdet L/i kan antage værdier helt op til 250 jf. [18], da de betragtede
stænger er rent afstivende trykstænger.
Det ses, at der er størst udnyttelse af stængerne, hvis konstruktionen er afstivet med to
vindgitre i hver af de fem søjlemellemrum og ringbjælken understøttet af det trekantede
hængeværk. En dimensionering af denne type vil dog også være tæt på grænsen.
På samme måde som tjekket af vindgitteret er udført, er også undersøgelsen af hængeværket
foretaget. Dvs. at konstruktionen belastes af dominerende sne samt en vandret masselast på
25 kN, som det er fundet i appendix J. Dette medfører spændinger og normalkræfter som
vist i tabel 5.5.
Herved ses det, at spændingerne er langt fra kritiske, men at udnyttelsesgraden mod udknækning af de trykpåvirkede elementer er tæt på eller større end 1, hvorved stængerne er
dimensioneret tæt på grænsen.
Samlet set vil der være størst udnyttelse af elementerne, hvis kuplen understøttes af søjler,
54
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Understøtning af gitterkuppel
Tabel 5.4: Maksimale spændinger og udnyttelsesgrader samt tilhørende kræfter af vindgitteret
ved belastning med dominerende sne og tilhørende vandret masselast.
Lastkombination
Fx
Fx/Ax Udnyttelsesgrad
[kN]
[MPa]
Trekantet hængeværk og to vindgitre
Dom. sne + masselast 19,698
28,96
0,992
Trapezformet hængeværk og to vindgitre
Dom. sne + masselast 18,199
26,76
0,870
Trapezformet hængeværk og tre vindgitre
Dom. sne + masselast 16,374
24,07
0,783
Tabel 5.5: Maksimale spændinger og udnyttelsesgrader samt tilhørende kræfter af hængeværket ved belastning med dominerende sne og tilhørende vandret masselast.
Lastkombination
Fx
Fx/Ax
Udnyttelsesgrad
[kN]
[MPa]
Tryk
Træk
Tryk
Træk
Trekantet hængeværk og to vindgitre
Dom. sne + masselast 61,670 -70,896
43,87
-104,23
0,942
Trapezformet hængeværk og to vindgitre
Dom. sne + masselast 44,211 -60,715
31,45
-89,27
0,988
Trapezformet hængeværk og tre vindgitre
Dom. sne + masselast 46,682 -64,105
33,21
-94,25
1,043
der afstives med to vindgitre pr. fem mellemrum og en ringbjælke, der ud for de tre indhak
understøttes af et trekantet hængeværk. Derfor benyttes denne form for understøtning.
Samlet set er det nu vist, at dimensionerne givet i tabel 5.1 for samtlige elementer er tilstrækkeligt store til at kunne bære den aktuelle last, når der benyttes en kombination af to
vindgitre og et trekantet hængeværk, som fundet ovenfor. At bæreevnen af alle elementer er
tilstrækkelig, kan yderligere ses af appendix K, hvor udnyttelsesgraderne for alle stænger,
søjler og bjælker, der er i tryk, er vist.
55
Analyse af gitterkuppel
Understøtning af gitterkuppel
56
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
6
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Behandlingen af konstruktionen er indtil nu foregået på overordnet niveau, hvor det primære fokus har ligget på principperne i opbygningen af konstruktionen samt bestemmelse af
dimensioner for profilerne. For at kunne udføre konstruktionen i praksis er det nødvendigt at
gå op i detaljeringsniveau og behandle specifikke detaljer som f.eks. samlingerne mellem de
forskellige konstruktionsdele. Valget af profiler medfører begrænsninger i den fysiske udformning af samlingerne, afhængig af profiltypen, der samles. Forskellige løsninger kan anvendes,
det er dog vigtigt at holde sig for øje hvilke krav, der undervejs er stillet til samlingen mht.
hvilke kræfter, der skal kunne optages. Det blev f.eks. hurtigt klart, at momenstive samlinger
vil være at foretrække fremfor charniereforbundne stænger, for at mindske tværsnitsarealet.
Med udgangspunkt i samlingerne mellem stængerne i selve kuplen, foretages en vurdering
af hvilke samlingsmuligheder, der er mest fordelagtige. Overordnet set kan der vælges to
måder, hvorpå stængerne kan samles:
• Svejste samlinger
• Boltede samlinger
Den svejste samling sammenføjer materialerne, mens der er flere forskellige muligheder, når
en boltet samling udformes. Gældende for begge er, at løsningerne er mange og det endelige
valg kan i nogle tilfælde være betinget af det æstetiske udtryk, som bygherre eller arkitekt
ønsker.
6.1
Svejste samlinger
Når de svejste samlinger anvendes, føjes materialerne sammen hvormed eftergiveligheden
bliver meget lille. Eneste mulighed for at adskille de to materialer vil være at opnå brudspændingen i materialet, hvorved svigt af konstruktionen forekommer. Det er en fordel, hvis
der ønskes stor styrke og stivhed i samlingen, og kan derfor anvendes, hvis lille eftergivelighed
ønskes. Figur 6.1 viser et eksempel på en samlingsdetalje kaldet WABI-1, hvor samlingerne
svejses sammen17 . Knuden er tildannet med mindre højde end profilerne, så svejsningen kan
udføres som en kantsøm, der er mere eller mindre skjult af profilets højde. Detaljen blev
udviklet til udførslen af taget på British Museum i London.
Æstetisk fremstår samling glat og nydelig, da man på afstand ikke kan se detaljerne i svejsningerne. I forhold til en boltet samling er det derfor ikke nødvendigt at tage hensyn til, hvor
boltene skal gemmes af vejen, eller om der er styrke nok. Der kan overføres store kræfter,
især bøjningsmomenter, helt op til tværsnittets fulde styrke, betinget af korrekt udførsel.
En anden fordel er, at stængerne kan tildannes i en bestemt vinkel, og når først samlingen
er svejst vil den være form- og retningsstabil.
Ulemperne er behovet for svejsning, som vil være besværligt at udføre på stedet, da det er
oppe i højden, samt at vejrlige kan spille ind i svejseprocessen. Samtidig er svejsearbejdet
også omfattende, da seks profiler skal fuldsvejses til hver knude. Der er også behov for at
tilpasse hver ende af stængerne med stor præcision. Hvis de er tildannet i en forkert vinkel og
profilet først er svejst, er der ikke mulighed for ændringer. Der kræves derfor stor sikkerhed
i udførslen i forhold til en boltesamling, der kan skilles ad igen.
Grundet svejsningen hele vejen rundt om profilet, bliver samlingen momentstiv om begge
17 Information
samt billede hentet fra [19].
57
Analyse af gitterkuppel
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Figur 6.1: Eksempel på samlingsdetalje der benytter svejsning rundt langs stængerne. Udviklet
af Waagner-Biro AG fra Østrig. Kilde: S. Stephan et al, [19].
stangens akser. Undervejs i projektet er det antaget, at charniere om den svage akse kan
tillades, hvorfor der ikke ønskes at benytte svejste samlinger. Dette gælder for alle svejste
samlinger, da de fikserer samlingen uden mulighed for rotation.
Opsummering af fordele ved svejst samling:
• Stor stivhed medførende lille eftergivelighed.
• Stor momentkapacitet.
• Form- og retningsstabil når svejsningen er udført.
• Diskret samling, der giver æstetiske muligheder.
Omvendt findes følgende ulemper:
• Svejsning kan muligvis ikke udføres på stedet.
• Svejsningen medfører fuldstændig momentstiv samling.
• Stor præcision er krævet i tildannelsesprocessen.
• Når samlingen først er udført, er der ikke mulighed for ændringer.
6.2
Boltede samlinger
Ved anvendelse af bolte er der flere forskellige muligheder for udformning af samlingen,
afhængig af hvor boltene placeres. Grundlæggende er der tre forskellige måder at placere
boltene på, disse kan ses på figur 6.2-6.4. Figur 6.2 viser eksempel 1 med en placering af boltene, der giver mulighed for optagelse af trækkræfter, hvis der forekommer sådanne mellem
knuden og stængerne. Trykkræfter afleveres direkte fra profil til knuden og ikke nødvendigvis gennem bolten, forudsat samling uden mellemrum. Her skal det selvfølgelig sikres, at
knuden kan optage belastningen. Samtidig skal bolten kunne optage de forskydningskræfter,
der stammer fra belastningen på kuplen.
Der er mulighed for flere forskellige variationer af denne type samling. Som den er vist på
figuren, vil den være momentstiv mod belastning vinkelret på stængernes svage akse, mens
der er mulighed for rotation om den stærke akse, da der kun er placeret en enkelt række bolte
i den stærke akses retning. Muligheden for rotation er dog begrænset af, hvorledes stængerne
bliver passet til, og hvor meget de bliver spændt fast. Ved stor pasform og fastspænding kan
samlingen yde modstand mod rotation, og dermed til en vis grad optage momenter om den
58
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Analyse af gitterkuppel
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Figur 6.2: Eksempel 1. Boltet samling, hvor boltene er placeret i stangens retning. Boltene belastes med tryk/træk og forskydning, og samlingstypen kan udformes på forskellig vis
afhængig af ønsker til momentkapacitet. Kilde: S. Stephan et al, [19].
stærke akse, afhængigt af hvad samlingen tillader.
Samlingen kan også udformes med to vandrette og to lodrette rækker bolte, hvorved der kan
optages momenter om begge akser. Dette kræver dog tilstrækkelige dimensioner for at få
plads til alle fire bolte. Omvendt kan samlingen også udføres med kun en enkelt bolt, hvorved en charnierelignende tilstand opnås, da samlingen ikke længere kan optage momenter
men rotere til en vis grad om begge akser.
Der er også flere muligheder i forhold til hvorledes boltene monteres i samlingen. På figur
6.2 er vist en løsning, hvor et hul er konstrueret i stangprofilet, så bolten kan monteres
derigennem. Hullet er placeret på oversiden, så det ikke er synligt fra neden. Et alternativ
er at lave en hul knude, så bolten kan monteres fra midten af knuden og ind i stangen. Begge løsninger kræver tildannelse af stangenderne med en plade, så det er muligt at montere
bolte i stangen. En anden mulighed er at tildanne stængerne med gevindstænger eller bolte
monteret i enderne, så møtrikkerne kan monteres indvendigt i en hul knude. Dette stiller
mindre krav til størrelsen af hullet i knuden og dermed til de nødvendige dimensioner af
knudesamlingen i forhold til, hvis en bolt skal monteres i hullet.
En anden mulighed, som tjener det formål at reducere højden af selve knuden, er at dele knuden op i to halvdele og så montere en bolt i toppen af tværsnittet og en i bunden.
Dette vil være specielt fordelagtigt ved anvendelse af høje profiler, eventuelt profiler der er
udformet som I lignende profiler, da der er materiale i flangen til at lave gevind forbeholdt
montering af bolten. Denne løsning vil medføre en samling, der er fastholdt mod rotation
om den svage akse.
Figur 6.3: Eksempel 2. Boltet samling, hvor boltene er placeret i samme retning som stangens
stærke akse. Boltene skal modstå belastningen i stangens retning i forhold til overklipning.
Kilde: S. Stephan et al, [19].
59
Analyse af gitterkuppel
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Figur 6.3 viser eksempel 2, hvor boltene er placeret i samme retning som stængernes stærke
akse. Belastningen på boltene er dermed primært påvirkning fra stangkraften, da den lodrette belastning optages af knudens tværsnit og ikke decideret i bolten. Belastningen skal
dermed optages i boltens tværsnitsareal. Bolten bør have en tilstrækkelig styrke til selv at
kunne undgå brud, ligesom der bør placeres nok bolte til at undgå problemer med flydning
af tværsnittet. Ved den valgte udformning er samlingen en 2-snits samling, dvs. at boltene
er belastet i to snit. Dette medfører, at bæreevnen af en enkelt bolt fordobles.
Den viste udformning sikrer momentkapacitet om begge akser - den svage grundet placeringen af to bolte og den stærke grundet retningen bolten er placeret i, da den hindrer rotation
om den stærke akse. Havde der kun være en bolt i samlingen, ville rotation være muligt om
den svage akse. Det er ved denne løsning ikke muligt at danne charniere, da stangen altid
vil være hindret mod rotation om den svage akse.
Monteringen er let at udføre, da den kan foregå uden at skulle skrue indeni en knude eller
et profil, hvor der er begrænset plads. Dette gælder, hvad enten der vælges en løsning med
gevind i stangens profil eller med placering af en bolt på modstående side af profilet. Figur
6.3 viser en løsning med undersænkede bolte, så overfladen bliver så jævn som muligt. Det
bør her noteres, at tykkelsen af tværsnittet bør være tilstrækkelig til at udføre en undersænkning uden at svække bæreevnen.
Figur 6.4: Eksempel 3. Boltet samling, hvor boltene er placeret i samme retning som stangens
svage akse. Boltene skal optage forskydning fra lodret belastning samt stangkraften i forhold
til overklipning. Kilde: S. Stephan et al, [19].
En tredje mulighed er vist på figur 6.4, hvor boltene er placeret i samme retning som stængernes svage akse. Boltene bliver ved denne løsning belastet af stangkraften samt forskydning
fra den lodrette belastning. Stængerne er tildannet som en gaffel, hvorfor samlingen er en
2-snits samling. Ligesom eksempel 2 er den viste løsning momentstiv om begge akser, igen
grundet to bolte placeret på række og orienteringen af bolten i forhold til stangen. Der kan
anvendes flere bolte for at sikre større stivhed. En enkelt bolt vil give mulighed for rotation
om den svage akse, hvilket vil medføre større krav til tværsnitsarealet grundet risikoen for
snap-through, der ellers er hindret ved valget af en momentstiv samling.
Fordelen ved denne løsning sammenlignet med eksempel 2 er, at der er bedre mulighed for
at montere boltene i samlingen. Dette kan nemmere udføres på stedet, da stængerne vil
hænge sammen og i nogen grad være retningsstabile, når boltene er sat i hullerne uden at
være spændt (afhængigt af pasformen på hullerne). En fordel er ligeledes, at knuden kan
udformes på flere forskellige måder. På figur 6.4 er knuden udformet som en cylinder med
påsvejste plader. Andre måder at udforme knuden på kunne være at samle pladerne tættere
på hinanden, skabende en mere kompakt knude, eller måske med et sekskantet profil.
Ulempen ved samlingen er det mindre tværsnitsareal, der skal optage kræfterne omkring
knuden, ligesom det æstetiske i samlingen kan være en faktor, der gør, at samlingstypen kan
fravælges. Til ulemperne hører også, at hvert stangelement skal tildannes som en gaffel, for
60
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Analyse af gitterkuppel
Samlingsdetalje i gitterkuppel
at samlingen kan udføres.
Knudesamlingen kan dog også bruges på mere praktiske måder end blot sammenføjning af
gitterkuplen. Når knudesamlingen er hul kan den udnyttes til montering af en lampe, ophængningsanordninger til udsmukning eller andet relevant. Dette gælder for samtlige knudetyper, da en svejst knudesamling f.eks. kan udformes med en hul midte.
6.3
Valg af samlingsmetode
Som det fremgår af de tre nævnte eksempler, er der forskellige muligheder for udførslen af
en knudesamling som en boltesamling. Vigtige pointer, der bør overvejes, er:
• Æstetisk fremtoning.
• Valg af charniere eller momentstiv samling.
• Lastpåvirkning på bolte.
• Friktionssamling eller dornsamling.
• Synlige eller skjulte bolte.
• Samling på stedet eller opsætning med kran.
Valget vil altid være baseret på en kombination af forskellige forhold, afhængigt af hvad der
gør sig gældende for det givne projekt. Herunder vælges to løsninger på en boltesamling
udviklet efter principperne vist i henholdsvis eksempel 2 og 1 og tilpasset til det aktuelle
projekt. Løsningerne gennemregnes i detaljer som dokumentation for bæreevnen og holdbarheden af de valgte løsninger. Beregningerne udføres som håndberegninger, da omfanget
af opsætning af en computermodel er for stort, til at kunne dækkes af denne opgave.
6.3.1
Boltesamling 1
På figur 6.5 ses den foreslåede boltesamling. Forslaget er inspireret af eksempel 2 fra [19].
Figur 6.6 viser et snit i samlingen, hvor det kan ses, at knuden er tildannet således at den
føres ind i det enkelte stangelement, der samles i knuden. Det er vigtigt at pasformen er
meget præcis, således at der ikke er mulighed for lodret bevægelse. Der benyttes kun en
enkelt bolt, for at opnå frihed til rotation om den stærke akse. Dimensionerne af knudens
arme skal derfor tildannes med stor præcision i den stærke akses retning og med en smule
afstand til stangen i den svage akses retning. Dermed er hver stang fastholdt mod rotation
om den svage akse, men den har mulighed for at rotere om den stærke - netop som det er
modelleret i Robot.
Det findes yderligere på figur 6.6, at knudens arme er tildannet i den vinkel som er nødvendigt for at få den ønskede pilhøjde på gitterkuplen. Samtidig er knuden tildannet, så det
ikke er nødvendigt at tilpasse stængerne efter andre kriterier end den varierende længde.
Tildannelsesprocessen skulle dermed være forholdvis enkel, da stænger ikke skal tildannes
på andre måder end i længden, når knuderne er formet i de nødvendige vinkler. Det noteres
at vinklen ikke er særlig stor, grundet det forhold, at den totale pilhøjde på kuplen ikke
er synderlig stor, spændvidden taget i betragtning. Knuden er symmetrisk om tre akser,
hvorfor det viste snit, figur 6.6, kan genfindes tre steder i hver knude.
Af yderligere fordele kan nævnes, at alle knuderne bliver ens, hvormed kun en enkelt type
skal fremstilles. Samlingen af kuplen lettes af, at formen er fastholdt af knudes pasform efter
sammensætning af stængerne. Det er omvendt også en ulempe, at knuderne skal passes ind i
61
Analyse af gitterkuppel
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Figur 6.5: Forslag 1 til samlingsmetode. Tv. ses samlingen inkl. stænger, mens figuren th.
viser knuden uden stænger. Der placeres en enkelt bolt i de tildannede huller.
Figur 6.6: Snit i knude, visende samlingens form samt vinkel hvormed knuden skal tildannes.
hver stang. Konstruktionen skal dermed samles i den rigtige rækkefølge for at sikre, at man
kan få de sidste stænger til at falde på plads. Det er herigennem vigtigt, at konstruktionen
kan rotere en smule om den stærke akse for at få alle seks stænger til at passe sammen i en
knude. Først herefter kan hver enkelt bolt spændes til.
Boltesamlingen kan vælges udført enten som en dornsamling eller som en friktionssamling. Forskellen afhænger af hvor meget bolten spændes sammen. Ved en friktionssamling
sker kraftoverførslen ved friktion mellem samlingselementernes kontaktflader18 , mens kraftoverførslen i en dornsamling sker ved dornvirkning. Ved den valgte løsning ønskes det, at
stængerne skal kunne rotere om den stærke akse. En friktionssamling vil til en vis grad
mindske muligheden for rotation, da belastningen optages ved friktion, hvorfor det vælges at udføre samlingen som en dornsamling. Det noteres, at fastholdelse mod rotation om
den stærke akse ikke medfører en svækkelse af samlingen eller konstruktionen ved de givne
belastninger, det er tværtimod en styrkelse. Fastholdelse af rotationsfriheden i beregningsforudsætningerne sikrer tilstrækkelig bæreevne af samlingen.
Baseret på beregningsmodellen inkl. de valgte understøtningsforhold på pendulsøjler mv.,
kan de maksimale snitkræfter, der påvirker knuderne i kuplen, bestemmes. Resultaterne er
trukket ud af Robot, og materialet kan genfindes på vedlagte CD19 , hvor snitkræfterne på
18 Jf.
[20] afsnit 1.1, side 5.
er for omfattende til at præsentere i appendix.
19 Talmaterialet
62
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
kuplens stænger er behandlet isoleret fra den resterende konstruktion. Tabel 6.1 viser de
maksimale snitkræfter, der optræder i kuplens knuder ved belastning med enten lastkombination bestående af dominerende sne, dominerende sne og tilhørende vandrette masselast
eller dominerende vind (ved alle tre lastkombinationer er betragtet vind i retning I).
Tabel 6.1: Maksimale snitkræfter virkende på kuplens knuder ved belastning med relevante
lastkombinationer.
Snitkraft
Fx
Fy
Fz
Mx
My
[kN]
[kN]
[kN]
[kNm] [kNm]
Max
Min
115,691
-60,185
0,551
-0,544
2,354
-6,789
0,23
-0,26
1,31
-2,43
Kræfterne er givet i knudens lokale koordinatsystem, og figur 6.7 viser hvordan de virker på
knuden. Det noteres i øvrigt at der ingen Mz momenter er, da modellen giver mulighed for
fri rotation om den stærke akse.
Figur 6.7: Snit i knude med påsatte snitkræfter.
Det ses i tabellen, at den største belastning er i stangens retning samt momentet om y-aksen.
Stangkraften Fx optages direkte som et tryk på bolten, mens momenterne omsættes til
henholdsvis en tryk og en trækkraft på bolten. Forskydningskraften Fz optages i tværsnittet
og ikke gennem bolten, da pasformen i den stærke akses retning er stor. Forskydningen
fra Fy optages derimod i bolten, ligesom Fx , da det ikke kan forventes, at blive optaget i
tværsnittet, når stangen har mulighed for rotation.
Knuden er udformet som en massiv klods, hvor de seks arme er svejst på med en kantsøm
hele vejen rundt. Alternativt kan klodsen tildannes i et stykke. Dette vurderes dog at være
dyrere end svejsningen, hvorfor svejsningen vælges.
Knudens udformning stiller dermed følgende krav, der bør undersøges for, at bæreevnen kan
siges at være tilstrækkelig.
• Hulrandsbæreevne.
• Hulsvækket tværsnit.
• Blokforskydning.
• Overklipningsbæreevne af bolt.
63
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
• Svejsesamling mellem klods og arme.
Hulrandsbæreevne
Først betragtes bæreevnen af hulranden. Samlingen er en tosnits samling, hvor bæreevnen er
givet ved enten styrken af knudens arm, eller styrken af stangprofilet. Bæreevnen bestemmes
ved20 :
(
fu,1
n k1 αb d t1 γM
2
(6.1)
Fb,Rd = min
fu,2
n k1 αb d 2 t2 γM
2
Index 1 og 2 fortæller om det er knuden eller profilet, der skal benyttes værdier for. Samlingen
udføres med en enkelt bolt, hvorfor parametrene αb og k1 bestemmes udfra afstanden fra
bolten til kanten. Grundet knudens smalle arme, er det ikke muligt at benytte en bolt, der er
større end 14 mm i diameter, da afstanden e2 derved vil blive mindre end 1,2 d0 = 18 mm,
hvilket er mindste kravet for denne længde. Figur 6.8 viser afstandenes størrelse.
Figur 6.8: Afstand fra centrum af bolthul til kant af tværsnit.
Det forventes, at stangens profil vil have lavest styrke, hvorfor der kigges på dennes bæreevne
først. Der anvendes normalhuller, hvorved det findes at d0 =15 mm. Både knude samt profil
er udført i stålkvalitet S235.
αb bestemmes21 :
e1
≥
3,0 d0 ⇔
50 mm
≥
45 mm ⇒
αb
=
1,0
Herefter findes k1 :
20 Findes
21 Se
64
e2
≥
1,5 d0 ⇔
30 mm
≥
22,5 mm ⇒
k1
=
2,5
i [20] afsnit 4.1.1, se dette for notation.
[20] afsnit 4.1.1 for forhold om hulrandsbæreevne.
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Tykkelsen af pladen/profilet er som beskrevet 4 mm, hvilket giver følgende hulrandsbæreevne
ved brug af ligning (6.1):
Fb,Rd = 1 · 2,5 · 1,0 · 14 mm · 2 · 4 mm ·
360 M P a
= 74,67 kN
1,35
Det ses hurtigt, at bæreevnen er betragtelig mindre end den maksimale stangkraft Fx , som
optræder i kuplen. Løsningen bør derfor tages op til fornyet vurdering. Enten bør samlingen
forstærkes, redesignes eller forkastes. Som det fremgår af beregningsudtrykket, kan bæreevnen øges ligefremt proportionalt ved at benytte flere bolte (forøgelse af n). Dette forhindrer
dog den frie rotation om tværsnittets stærke akse, hvilket er en af de stærke egenskaber
ved den valgte løsning. I stedet kan tykkelsen af profilet øges. Dette kan gøres på to måder.
Enten vælges et profil med større tykkelse eller ved at redesigne stængernes ende. Det har
gennem dimensioneringen været målet at finde et så lille profil som muligt, hvorfor det ikke
er ønskeligt at forøge godstykkelsen.
Løsningen på problemet kunne være at udforme stængernes ende og dermed samlingen anderledes, så principperne i den valgte løsningsmetode bibeholdes. Det må konstateres, at
løsningen med simpel tildannelse af stangenderne ikke kan anvendes, hvorfor enderne skal
tildannes på anden vis. Det ønskes at holde fast i en løsning med en bolt, der sikrer fri
rotation. En løsning kan være at tildanne enderne som en gaffel, inspireret af eksempel 2.
Derigennem kan en større godstykkelse omkring bolten opnås og dermed en større hulrandsbæreevne. Figur 6.9 viser udformningen af den reviderede samling.
Figur 6.9: Revidering af samlingsforslag 1, design udviklet efter samme principper.
Først undersøges hvor stor tykkelse, der er påkrævet for at opnå tilstrækkelig hulrandsbæreevne. Belastningen kommer fra stangkraften Fx , samt fra momentet My , der omsættes til
et kraftpar, se figur 6.10. Yderligere kommer en lille belastning fra kraften Fy og momentet
Mx , der som My kan omsættes til et kraftpar, der i dette tilfælde virker i samme retning
som Fy . Kraften Fz belaster ikke hulranden.
Størrelsen af den resulterende kraft er dermed givet ved:
s
2 2
1
1
Fv,Ed =
Fx − FMy
+
Fy − FMx
(6.2)
2
2
Størrelsen af FMy og FMx findes ved at dele momentet med momentarmen (afstanden fra
tyngdepunkt):
My
−2,43 kN m
FMy =
=
= −27,613 kN
larm
100 mm − 12 mm
FMx =
Mx
−0,26 kN m
=
= −2,954 kN
larm
100 mm − 12 mm
65
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Figur 6.10: Princip i omsætning af moment til forskydningskraft til undersøgelse af hulrandsbæreevne.
Herved kan den resulterende kraft findes til:
s
2
2
1
1
Fv,Ed =
115,691 − (−27,613) kN 2 +
0,551 − (−2,954) kN 2 = 85,520 kN
2
2
Denne virker dog ikke parallelt med stangen, hvormed afstandene e1 og e2 må findes ved
at danne en ellipse omkring hullet, med akser virkende i kraftens retning og ortogonalt på
kraftens retning. Dette er illustreret på figur 6.11, hvoraf det ses, at den lille vinkel, der
findes mellem kraftens retning og stangens retning, ikke har nogen indflydelse da e1 =50 mm
og e2 =30 mm, hvilket også havde været tilfældet, hvis kraften havde virket parallelt med
stangens retning. Afstandende er dermed ikke reduceret så det har målbar betydning.
Figur 6.11: Ellipse tegnet udfra kraftens retning til bestemmelse af hulrandsbæreevnen.
I modsætning til det oprindelige design, er knudens arm ikke længere så smal at M14-bolt
er påkrævet. Derfor benyttes en M20-bolt, hvorved huldiameteren d0 opnår en størrelse på
22 mm.
Herved kan αb findes fra [20]:
1,2 d0
≤
e1
≤
3,0 d0 ⇔
≤ 50 mm ≤ 66 mm ⇒
e1
50 mm
= 0,76
αb =
=
3,0 d0
66 mm
26,4 mm
66
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Det bemærkes at αb ≤ fub /fu og αb ≤ 1,0.
Ligeledes kan k1 findes:
1,2 d0
≤
e2
≤
1,5 d0 ⇔
26,4 mm ≤ 30 mm ≤ 33 mm ⇒
2,8 e2
84 mm
k1 =
− 1,7 =
− 1,7 = 2,12
d0
22 mm
Bæreevnen beregnes nu på samme måde som for den oprindelige samling ved brug af ligning
(6.1), dog med den ændring at tykkelsen af gaflens arm er 12 mm og boltens diameter er 20
mm.
360 M P a
= 206,23 kN
Fb,Rd = 1 · 2,12 · 0,76 · 20 mm · 2 · 12 mm ·
1,35
Da samlingen er en tosnitssamling, hvor gaflens arme er ens, vil de hver især have den halve
bæreevne, hvilket må sammenholdes med den aktuelle belastning. Da My momentet opløses
til et kraftpar, vil kraften virke som tryk i den ene arm og som træk i den anden. Herved
udsættets de to arme ikke for den samme belastning. Den maksimale belastning i en arm
blev beregnet ved brug af ligning (6.2) til 85,5 kN, hvilket er mindre end 1/2Fv,Rd hvormed
bæreevnen er tilstrækkelig. Den foreløbige udformning af stangens ende kan ses på figur
6.12, hvor hulrandsbæreevnen nu er tilstrækkelig.
Figur 6.12: Målsætning og udformning af revideret samlingsdetalje.
Hulsvækket tværsnit
Den reviderede samlingsdetalje undersøges videre for modstanden mod brud i det hulsvækkede tværsnit. Dette gøres ved at undersøge spændingerne i tværsnittet, forårsaget af træk67
Analyse af gitterkuppel
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
kræfter. Det er ikke nødvendigt at undersøge det trykpåvirkede tværsnit, når der benyttes
normalhuller, da det i dette tilfælde antages, at tryk kan overføres igennem bolten22 . På
figur 6.13 viser skraveringen tværsnittet, som skal kunne optage belastningen, samtidig med
at de aktuelle kræfter er påtegnet med positivt fortegn gældende for alle kræfter. Det trækbelastede tværsnit (Fx negativ) undersøges for normal- og forskydningsspændinger. Ved at
Figur 6.13: Det hulsvækkede tværsnit som skal kunne overføre de belastninger der virker,
indtegnet med positivt fortegn, Fx virker ud af planen.
betragte kræfternes størrelse og retning, se appendix L, findes det, at den maksimale spænding i tværsnittet opnås ved en kombination af positivt Fy , negativt Fz , negativt Mx og
negativt My . Det antages, at spændingerne fordeler sig jævnt over tværsnittet, hvorved
normalspændingerne forårsaget af Fx kan findes til:
σx,Fx =
Fx
−60,185 kN
=
= −65,99 M P a
Anet
2 · 12 mm · (60 mm − 22 mm)
Ved at benytte, at momentet som før kan omsættes til et kraftpar virkende i hver sin retning
i top og bund, kan spændingerne findes på samme måde for My . Først omsættes momentet
til en kraft:
−2,43 kN m
My
FMy =
=
= −27,61 kN
larm
88 mm
Ved den givne belastning på det halve tværsnit23 bliver spændingen:
σx,My =
22 Dermed
FMy
1
2 Anet
=
−27,61 kN
= −60,56 M P a
12 mm · (60 mm − 22 mm)
har tværsnittet samme bæreevne som bruttotværsnittet, [20] side 38.
kraft i kraftparret virker på det halve tværsnit. Kun den halvdel hvor kraften virker i samme
retning som Fx betragtes, da kun den del af tværsnittet hvor spændingerne bliver størst er relevant.
23 Hver
68
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Den maksimale normalspænding kan da beregnes ved at addere de numeriske værdier af
normalspændingerne fundet ovenfor.
σx = |σx,Fx | + |σx,My | = 65,99 M P a + 60,56 M P a = 126,55 M P a
Da stængerne i konstruktionen yderligere er påvirket af Fy , Mx og Fz , vil dette resultere i
en række forskydningsspændinger. Først bestemmes den del af forskydningsspændingen τxy ,
der er forårsaget af forskydningskraften Fy . Dette gøres på samme måde som for σx,F , ved at
dividere kraften med det forskydningspåvirkede areal, hvormed spændingerne fordeles jævnt
ud over tværsnittet som en plastisk fordeling. I dette tilfælde er det kun arealet på den ene
side af bolten, da det vurderes, at trykket afleveres på bolten og dermed kun tværsnittet
inden bolten.
τxy,Fy =
Fy
1
A
2 net
=
0,551 kN
= 1,21 M P a
12 mm · (60 mm − 22 mm)
Som benyttet tidligere omsættes momentet Mx til et kraftpar:
FMx =
Mx
−0,26 kN m
= −2,95 kN
=
larm
88 mm
Herefter beregnes spændingen forårsaget af denne kraft, der kun påvirker det kvarte areal,
da kraften er en del af et kraftpar, som afleveres i tværsnittet inden bolten, ligesom Fy .
FMx
1
4 Anet
τxy,Mx =
=
12 mm ·
−2,95 kN
= −12,94 M P a
(60 mm − 22 mm)
1
2
Dette giver en samlet forskydningskraft i y-retningen på:
τxy = |τux,Fy | + |τxy,Mx | = 1,21 M P a + 12,94 M P a = 14,15 M P a
Endeligt kan foretages en beregning af forskydningsspændingen τxz , der forårsages af snitkraften Fz . Det bemærkes at denne kraft kun aflaster på den øverste arm, hvormed den som
Fy kun fordeles over det halve areal.
Fz
1
2 Anet
τxz =
=
−6,789 kN
= 14,89 M P a
12 mm · (60 mm − 22 mm)
Efter beregning af de enkelte spændinger hver for sig ses det, at ingen af disse overskrider
flydespændingen og dermed heller ikke brudspændingen. Men inden det hulsvækkede tværsnit kan siges at have tilstrækkelig bæreevne i forhold til trækbelastningen, må den samlede
von Mises spænding findes:
q
2 + τ2
σvM = σx2 + 3 · τxy
xz
r
=
2
2
2
(126,55 M P a) + 3 · (14,15 M P a) + (14,89 M P a)
= 131,47 M P a
Heraf ses det, at spændingerne i det trækbelastede tværsnit ikke vil overstige hverken den
regningsmæssige flydespændingen på 214 MPa eller den regningsmæssige brudspændingen
på 267 MPa. Det findes dermed, at det hulsvækkede tværsnit ikke udsættes for kritiske
69
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
spændinger, hvorfor brud i tværsnittet ikke kommer på tale. Det skal dog bemærkes, at
grundet udformningen af den påsvejste gaffel, kan bæreevnen af snittet vist på figur 6.14
være udsat for spændinger større end de hidtil fundne, da snittet ud over de tidligere omtalte
snitkrafter yderligere udsættes for et moment grundet Fz ’s angrebslinje. Det er derfor også
nødvendigt at tjekke tværsnittet i armens begyndelse, ikke for hulsvækkelse, men for helt
almindelig bæreevne.
Figur 6.14: Snit visende det kritiske tværsnit i gaflens arm inklusiv aktuelle kræfter, Fx er
ikke påført th., men virker som tryk.
Først findes normalspændingerne i snittet. Fx giver anledning til følgende spændinger:
σx,Fx =
Fx
115,691 kN
=
= 80,34 M P a
A
2 · 12 mm · 60 mm
My omsættes til et kraftpar. Da Fx trykker på tværsnittet, skal det kraft der giver yderligere
tryk i toppen af tværsnittet benyttes, da Fz og momentet fra Fz kun virker her. Det er det
positive My moment:
FMy =
My
1,31 kN m
=
= 14,89 kN
larm
100 mm − 12 mm
Momentet giver anledning til følgende normalspændinger:
σx,My =
FMy
14,89 kN
=
= 20,68 M P a
1
12 mm · 60 mm
2A
Endeligt giver MFz anledning til de følgende spændinger:
MF z = Fz · larm = −6,789 kN · 50 mm = −0,339 kN m
σx,MF z =
70
MF z
1 3 z =
12 h b
−0,339 kN m
1
12
3
· (12 mm) · 60 mm
· (−6 mm) = 235,42 M P a
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
På samme måde som Fz bidrager Fy med et moment i tværsnittet. Det medfører normalspændinger, der varierer på den anden led i forhold til bidraget fra Fz . Dette bidrag
ignoreres, da inertimomentet om den akse er så stort, at normalspændingerne udgør mindre
end 0,5 MPa. Herved kan den maksimale normalspænding i den yderste fiber bestemmes:
σx = σx,F + σx,My + σx,MF z = (80,34 + 20,68 + 235,42)M P a = 336,44 M P a
Dette er langt over materialets regningsmæssige brudspænding, hvorfor enten stål med en
større styrkeklasse må benyttes, eller en arm med en større tykkelse. Det vælges at sætte
armens tykkelse op til 14 mm, hvorved normalspændingerne i armen reduceres til σx =
259,95 M P a, hvilket er mindre end brudspændingen.
Herefter skal forskydningsspændingerne findes, hvorfor Fy betragtes.
1
2 Fy
1
2A
τxy,Fy =
=
1
2
· 0.551 kN
= 0,33 M P a
14 mm · 60 mm
Mx giver ligeledes anledning til forskydningsspændinger:
FMx =
τxy,Mx =
Mx
−0,26 kN m
= −3,02 kN
=
larm
86 mm
−3,02 kN
FMx
=
= −3,60 M P a
1
14 mm · 60 mm
2A
Den totale τxy bliver da:
τxy = |τxy,Fy | + |τxy,Mx | = 0,33 M P a + 3,60 M P a = 3,93 M P a
Herefter betragtes forskydningsspændningerne forårsaget af Fz .
τxz =
Fz
1
2A
=
−6,789 kN
= −8,08 M P a
14 mm · 60 mm
Herved kan von Mises spændingen endelig findes:
r
2
2
2
σvM = (259,95 M P a) + 3 · (−8,08 M P a) + (3,93 M P a) = 260,42 M P a
Det findes at ved en pladetykkelse på 14 mm i hver arm, er bæreevnen tilstrækkelig til
den maksimale belastning. Den nedeste arm undersøges ikke nærmere, da den positive kraft
Fz = 2,4 kN er af en mindre størrelse end den tilsvarende virkende i negativ retning, hvorfor
påvirkningen ikke er nær så stor.
Det er imidlertid ikke nok kun at undersøge for tryk, da en trækpåvirkning også kan medføre
brud. Det vil være tilstrækkeligt at undersøge normalspændingerne, da forskydningsspændingerne vil være de samme både for træk- og trykpåvirkede tværsnit, så længe der arbejdes
med maksimale værdier. Derfor beregnes normalspændingen, hvilket gøres på samme måde,
som for det trykpåvirkede tværsnit.
σx,Fx =
−60,185 kN
Fx
=
= −35,82 M P a
A
2 · 14 mm · 60 mm
My giver anledning til følgende spændinger:
FMy =
My
−2,43 kN m
=
= −28,26 kN
larm
86 mm
71
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
σx,My =
FMy
−28,26 kN
=
= −33,64 M P a
1
14
mm · 60 mm
A
2
Endelig giver MFz , anledning til de følgende spændinger:
σx,MF z =
MF z
1 3 z =
12 h b
−0,339 kN m
1
12
3
· (14 mm) · 60 mm
· (−7 mm) = 172,96 M P a
Herved bliver den totale normalspænding i det trækpåvirkede tværsnit:
σx = σx,F + σx,My + σx,MF z = (35,82 + 33,64 + 172,96)M P a = 242,42 M P a
Da normalspændingerne er mindre for det trækpåvirkede end for det trykpåvirkede, findes
det at tværsnittet ikke bryder, hverken ved en tryk eller trækpåvirkning.
Blokforskydning
En tredje ting, der er vigtig at undesøge, er blokforskydning. Blokforskydning er en brudform, der er aktuel, når pladens tværsnitsareal er stort, eller når antallet af bolte pr. række
er få [20], hvilket er tilfældet her, med kun en enkelt bolt i samlingen.
Blokforskydning ved en enkelt bolt kan f.eks. se ud som vist på figur 6.15, men det er ikke
nødvendigvis det mest kritiske brud. Ved blokforskydning må det vurderes hvorledes brud-
Figur 6.15: Blokforskydning ved en enkelt bolt. Kilde: J. Gath (2009), [20].
det i materialet kan forekomme. Der vil være forskellige muligheder, og den eneste måde
hvorpå det kritiske brud kan bestemmes, er ved at regne på de forskellige brudformer. I den
givne situation behandles de to tilfælde, som virker mest sandsyndlige udfra den aktuelle
belastning - et brud vinkelret på og et parallelt med kraftens retning. For at finde ud af
hvilken vej kraften virker, er det nødvendigt at bestemme størrelsen af kraften. Blokforskydning vil kun forekomme, når samlingen er udsat for træk, hvormed den negative Fx skal
benyttes som regningsmæssig last. Som for hulrandsbæreevnen forekommer der ligeledes forskydningskræfter, der gør at den resulterende kraft ikke virker i samme retning som stangen.
Som ved tværsnitskontrollen af det hulsvækkede tværsnit findes det, at kombinationen af
Fx,neg , Fz,neg , Fy,pos , Mx,neg og My,neg giver den største belastning på tværsnittet omkring
bolten. Ved at omsætte momenterne til kraftpar24 og fordele forskydningskræfterne ligeligt
i top og bund findes følgende maksimale trækkraft på samlingen:
r
1
1
Fv,Ed = ( (−60,185) + (−28,256))2 kN 2 + ( 0,551 − (−3,02))2 kN 2 = 58,441 kN
2
2
Den ene mulighed for brud er vist på figur 6.16, hvor tværsnittet vil bryde vinkelret på
kraftens retning. Snittet er dermed rent trækpåvirket. Da der kun er en bolt i samlingen,
24 Momentarmen
72
er nu 14 mm i stedet for tidligere benyttede 12 mm.
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Figur 6.16: Brud vinkelret på kraftens retning, rent trækpåvirket snit.
som er placeret i midten af gaffelsamlingen, vil belastningen virke koncentrisk og bæreevnen
mod blokforskydning vil dermed være givet ved25 :
Vef f,Rd = Ant
Fu
fy
+ Anv √
γM 2
3 · γM 0
(6.3)
Hvor der er antaget en fuldt plastisk fordeling (maksimal bæreevne) af spændingerne både
ved træk- og forskydningspåvirkning. Da bruddet virker vinkelret på kraftens retning vil
brudfladen være rent trækpåvirket, hvorfor bæreevnen udelukkende findes af første led i
(6.3). Længden af det trækforårsagede brud findes af figur 6.16, hvorefter bæreevnen kan
findes til:
Vef f,Rd = (14 mm · (19 mm + 19 mm) ·
360 M P a
= 141,867 kN
1,35
Dette er et pænt stykke over den aktuelle belastning, hvorfor denne type blokforskydning
ikke vil optræde. En anden mulighed er vist på figur 6.17 hvor brudfladen er rent forskydningspåvirket. Bæreevnen findes dermed af anden halvdel af ligning 6.3, som beskriver
Figur 6.17: Brud parallelt med kraftens retning, rent forskydningspåvirket snit.
bæreevnen ved overrivning af en forskydningskraft.
235 M P a
Vef f,Rd = (14 mm · (51 mm + 49 mm) · √
= 172,680 kN
3 · 1,1
Det ses, at bæreevnen er højere end for den anden brudform, hvilket skyldes det større areal
som skal påvirkes med forskydnignen før blokforskydningen indtræder, så denne vil heller
25 Jf.
[20] afsnit 4.1.3.
73
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
ikke indtræde. Da det findes, at bæreevnen af det forskydningspåvirkede brud er større end
det rent trækpåvirkede snit, vil en kombination af de to muligheder ikke give en mere kritisk
brudform, alene af den grund, at afstanden parallelt med kraften fra bolten til randen er for
stor. Overordnet set findes, at de krav, der er stillet til tykkelsen af gaffelarmene i forhold til
hulrandsbæreevne og tværsnitskontrol, er større end de krav, der stilles for blokforskydning
ved den belastning der er på samlingen.
Overklipningsbæreevne
Ved et bæreevnetjek af en samling er det ikke tilstrækkeligt kun at kigge på de to elementer,
der samles. Det er også nødvendigt at finde en bolt, hvis styrke er tilstrækkelig til at modstå
belastningen. Dette gøres ved at betragte overklipningsbæreevnen, der er den belastning,
bolten er i stand til at modstå uden at den "klipppes over", som det er illustreret på figur
6.18. Den aktuelle situation, hvor det ses, at situationen er en tosnits-samling, der kan
Figur 6.18: Overklipning af en bolt, her vist i en tosnits-samling. Kilde: J. Gath (2009), [20].
sammenlignes med princippet på figur 6.18, ses på figur 6.19. Grundet momentpåvirkningen
på samlingen, er det nødvendigt at behandle de aktuelle kræfter og ikke en enkeltkraft alene,
som princippet viser. Bæreevnen, i forhold til overklipning af en bolt i en tosnits-samling,
Figur 6.19: Snit i boltsamling, hvor overklipning er relevant at undersøge.
findes ved ligning (6.4).
Fv,Rd = 2 n αv A
fub
γM 2
(6.4)
Først undersøges bæreevnen af en M20 bolt i kvalitet 4.6. Det antages at snittet foretages
gennem boltens skaft, hvorved αv = 0,6 og A er skaftearealet.
74
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Herved kan bæreevnen beregnes:
Fv,Rd = 2 · 1 · 0,6 · 314 mm2 ·
400 M P a
= 111,64 kN
1,35
Tidligere blev det omtalt, hvordan der er forskel på belastningen af de to dele af gaflen. Den
maksimale påvirkning, Fv,Ed virkende på den ene arm, findes ved at betragte den maksimale
kraft i stangen i hhv. x- og y-retningen. Først undersøges kraften i den positive og negative
x-retning, hvor bidraget fra det maksimale My moment omsat til et kraftpar lægges til:
Fx,pos =
Fx,neg =
1
−2,43 kN m
1
Fx − FMy = 115,691 kN −
= 86,10 kN
2
2
86 mm
1
1
−2,43 kN m
Fx + FMy = (−60,185 kN ) +
= −58,35 kN
2
2
86 mm
Det samme gøres for y-retningen:
Fy,pos =
Fx,neg =
1
1
−0,26 kN m
Fy − FMx = 0,551 kN −
= 3,30 kN
2
2
86 mm
1
1
−0,26 kN m
Fx + FMy = (−0,544 kN ) +
= −3,30 kN
2
2
86 mm
Heraf kan den maksimale belastning af bolten i den ene del af gaflen findes til:
q
2
2
(86,10 kN ) + (3,30 kN ) = 86,18 kN
Da boltens bæreevne fordeles med halvdelen af Fv,Rd i hver af de to snit, ses det, at den
egentlige belastning er større end bæreevnen. Dette gør det nødvendigt at benytte en bolt
med højere styrke eller større dimensioner. Grundet de i forvejen forholdsvis store dimensioner af bolten samt den lille styrke, vælges det, at ændre bolten til en M20 bolt i stål af
kvalitet 8.8, hvilket ved brug af ligning (6.4) giver en total bæreevne på Fv,Rd = 223 kN
hvilket er mere end dobbelt så stort som den største belastning i en arm, hvorfor bæreevnen
er tilstrækkelig.
Svejsesamling mellem stang og endegaffel
Inden hele samlingens bæreevne kan siges at være eftervist, er det nødvendigt at undersøge de svejsesømme, der er anvendt for at føje den gaffelformede endedetalje sammen med
profilet. Som det er givet af figurmaterialet, har gaflen samme dimensioner som profilet.
Dermed kan svejsesømmen ikke udformes som en kantsøm på ydersiden af profilet, hvorfor
en stumpsøm anvendes i stedet. Stumpsømmen kan opnå et maksimalt a-mål på 4 mm, svarende til profilets tykkelse, og den bliver svejst hele vejen rundt langs kanten. For at kunne
udføre sømmen skal profilernes tykkelse tildannes i en vinkel, så svejsningen kan udføres
uden at bule ud på ydersiden af profilet og samtidig opfylde kravene til en stumpsøm.
En svejsesamlings bæreevne regnes for eftervist, hvis følgende udtryk begge er opfyldt:
q
2 + 3 · (τ 2 + τ 2 ) ≤
σ90
0
90
fu
βw · γ M 2
og σ90 ≤ 0,9
fu
γM 2
(6.5)
75
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
hvor
fu er den karakteristiske trækstyrke af det svageste materiale i samlingen.
σ90 er normalspændingen i sømsnittet.
τ0 er forskydningsspændingen i sømsnittet parallelt med længderetningen.
τ90 er forskydningsspændingen i sømsnittet vinkelret på længderetningen.
βw er korrelationsfaktoren.
For en stumpsøm bemærkes det, at der ikke findes nogle τ90 spændinger.
Da det som tidligere ønskes at benytte stål af kvalitet S235 findes korrelationsfaktoren til
0,8 jf. tabel 7.1 i ’Stålkonstruktioner, Svejsesamlinger i fågangspåvirkede konstruktioner’ af
J. Gath [21]. Yderligere findes det at fu = 360 M P a og γM 2 = 1,35γ3 , hvilket for normal
kontrolklasse giver γM 2 = 1,35, jævnfør [7].
Spændingerne i stumpsømmen kan beregnes ud fra de kendte snitkræfter ved brug af ligning
(6.6), (6.7) og (6.8)26 .
N
a lef f
V
τ0 =
a lef f
M
σ90 = a l2
( 6ef f )
σ90 =
(6.6)
(6.7)
(6.8)
Da der virker kræfter i forskellige retninger, optages de forskellige steder i svejsningen rundt
langs profilet. Derfor er det nødvendigt at undersøge, hvordan snitkræfterne fordeler sig.
Først kigges på fordelingen af normalkræfter. Kræfterne skal overføres fra gaflens to arme
gennem svejsningen til profilet. Det antages, at kræfterne, uanset om det er tryk- eller
trækkræfter, kan overføres med en fordeling 1:2, som det kan ses af figur 6.20, hvor bidragene
fra Fx og My (opdelt som kraftpar) er påført. Der kunne vælges en anden fordeling fra 1:1
helt op til 1:2,5, men her vælges 1:2. Ligeledes er det valgt at udforme gaflen med ens
tykkelse hele vejen rundt (14 mm) selvom en større tykkelse af den lodrette plade ville have
forøget arealet hvor trykket bliver afleveret. Disse forhold kommenteres nærmere senere. Det
findes, at trykkraften virker midt i gaffelarmen, dvs. 7 mm over bunden, mens det udnyttede
svejseareals tyngdepunkt bestemmes til (målt fra bunden):
∆y =
60 mm · 4 mm · 2 mm + 38 mm · 4 mm · 23 mm · 2
S
=
= 13,74 mm
A
60 mm · 4 mm + 38 mm · 4 mm · 2
Det betyder, at udover den normalspænding som trykkraften bevirker, tilføjer kraften også
et moment, som skal optages i tværsnittet. Den maksimale kraft der virker, er tidligere
bestemt til Fx i tryk samt bidraget fra det negative My moment. Kraften virker i den
nederste gaffelarm, se figur 6.20, og størrelsen er:
F =
1
2,43 kN m
115,691 kN +
= 86,101 kN
2
86 mm
Momentet, som trykkraften giver anledning til, er dermed:
M = 86,101 kN · (13,74 mm − 7 mm) = 0,580 kN m
26 Ved
76
stumpsømme er den effektive længde den samlede længde af sømmen, jf. [21].
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Figur 6.20: Tv. trykfordeling fra gaffel over i svejsesøm, th. areal af udnyttet svejsesøm, inkl.
placering af tyngdepunkt.
Trykkraften giver anledning til følgende normalspændinger fordelt over hele arealet, jævnfør
ligning (6.6):
σ90 =
86,101 kN
= 158,27 M P a
4 mm · (60 mm + 2 · (42 mm − 4 mm))
Momentet forventes at blive optaget udelukkende i kantsømmene, hvorfor størrelsen af normalspændingerne bestemmes ved:
0,580 kN m
σ90 =
4·(2·42 mm)2
6
= 123,30 M P a
Den maksimale størrelse af normalspændingerne i kantsømmene findes dermed til:
σ90 = 158,27 M P a + 123,30 M P a = 281,57 M P a
Snitkræfterne Fy og Fz virker som forskydning, og optages i henholdsvis top- og bundsømmen samt de lodrette sidesømme, mens Mx omsættes til to forskydningskræfter virkende
sammen med Fy i top- og bundsømmene. Fy ’s bidrag til forskydningsspændingen findes ved
hjælp af ligning (6.7) (den mest kritiske kombination af Fy og Mx som forskydning i bunden
af tværsnittet findes ved negativ Fy og negativ Mx ).
τ0,Fy =
1
2
· (−0,544 kN )
= −1,13 M P a
4 mm · 60 mm
På samme måde kan bidraget fra FMx findes.
FMx =
−0,26 kN m
Mx
=
= −2,708 kN
larm
96 mm
Spændingerne forårsaget af Mx bestemmes til:
τ0,FMx =
−2,708 kN
= −11,28 M P a
4 mm · 60 mm
77
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Når alle spændingerne i bundsømmen er bestemt, kan bæreevnen kontrolleres ved ulighederne i ligning (6.5). Der startes med at betragte den første forudsætning:
q
2 + 3τ 2 ≤
σ90
0
q
fu
⇒
βw · γ M 2
2
2
(158,27 M P a) + 3 (−1,13 M P a − (−11,28 M P a)) ≤
360 M P a
⇒
0,8 · 1,35
159,72 M P a ≤ 333,33 M P a
Det ses heraf, at den første forudsætning for bæreevnen er overholdt, hvorfor den anden
forudsætning betragtes:
fu
⇒
σ90 ≤ 0,9
γM 2
158,27 M P a ≤ 0,9
360 M P a
⇒
1,35
158,27 M P a ≤ 240 M P a
Det følger heraf at bundsømmens bæreevne er eftervist, hvorfor sidesømmene nu betragtes.
Forskydningsspændingen stammende fra Fz kan beregnes ved brug af ligning (6.7):
τ0 =
−6,789 kN
= −8,49 M P a
2 · 4 mm · 100 mm
Den første forudsætning fra ligning (6.5) giver:
q
2 + 3τ 2 ≤
σ90
0
fu
⇒
βw · γ M 2
q
360 M P a
2
2
⇒
(281,57 M P a) + 3 (−8,49 M P a) ≤
0,8 · 1,35
281,70 M P a ≤ 333,33 M P a
Herved findes det, at den første forudsætning er overholdt, hvorefter den anden forudsætning
betragtes:
fu
σ90 ≤ 0,9
⇒
γM 2
281,57 M P a ≤ 0,9
360 M P a
⇒
1,35
281,57 M P a ≤ 240 M P a
Af sidste ulighed findes, at normalspændingerne er for store. Det kan afhjælpes på flere
måder. Først bør det undersøges, om kræfterne kan optages anderledes, da normalspændingerne i bundsømmen ikke er lige så kritiske. Hvis der laves en antagesle om, at stangkraften
Fx fortsat optages jævnt over hele tværsnittet, mens trykkraften fra My momentet optages
i bundsømmen og momentet fra den resulterende kraft stadig optages i kantsømmen, vil der
forekomme en anderledes spændingsfordeling. Normalspændingerne vil da opnå en størrelse
af:
Kantsøm:
σ90 =
78
1
2
· 115,691 kN
+
4 · (60 mm + 2 · (42 mm − 4 mm))
0,580 kN m
4 mm·(2·42 mm)2
6
= 229,63 M P a
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Bundsøm:
σ90 =
1
2
· 115,691 kN
28,255 kN
+
= 224,06 M P a
4 · (60 mm + 2 · (42 mm − 4 mm)) 60 mm · 4 mm
Bæreevnen er hermed eftervist, da forskydningsspændingerne ikke opnår en størrelse, der
gør at den første ulighed i ligning (6.5) ikke overholdes. Som nævnt er der andre muligheder
for at betragte kraftfordelingen og dermed spændingsfordelingen. Der kan vælges en anden
trykfordeling som 1:1, der er et mere konservativt bud, hvor bæreevnen i dette tilfælde nok
ikke vil være tilstrækkelig, mens fordelingen 1:2,5 vil give større bæreevne grundet større
tværsnitsareal af svejsesømmen. En anden metode til at forøge arealet er ved at vælge en
tykkere plade i gaflen. Vælges en pladetykkelse på 18 mm, vil det fulde areal af svejsesømmen
kunne udnyttes ved en trykfordeling på 1:2.
Andre måder hvorpå bæreevnen kan forøges, er ved at øge styrken af den kvalitet stål, der
er benyttet, hvorpå brudstyrken øges. En forøgelse af svejsningens a-mål vil også forøge
bæreevnen. Dette medfører dog en forøgelse af tykkelsen af det RHS profil, der er benyttet
i kuplen, hvilket medfører, at de udførte FEM beregninger bør gentages for at dimensionere
samlingerne efter de aktuelt forekomne snitkræfter. Hvis profilet ændres, kan det overvejes
at vælge en større højde, hvorved den effektive længde af stumpsømmen forøges.
Opsummering af boltesamling 1
Bæreevnen for den foreslåede boltesamling 1 er nu eftervist. Det har dog været nødvendigt
at gennemføre enkelte ændringer for at få samlingen til at kunne modstå belastningerne. Den
først foreslåede løsning, som er vist på figur 6.5 og 6.6, viste sig ikke at være tilstrækkelig
grundet for lille tværsnitsareal omkring hulranden. Derfor blev ’gaffel-løsningen’ indført
for at øge bæreevnen. Ved at vælge en tykkelse på af armene på 14 mm og en M20 bolt
i styrkeklasse 8.8, blev tilstrækkelig bæreevne opnået ved den viste samlingsdetalje. Det
noteres, at der ikke er kigget nærmere på selve knuden, da den forventes at have tilstrækkelig
bæreevne idet dimensionerne af knudens arme er større end gaffelenderne, hvorfor bæreevnen
ikke er mindre.
Det viste sig at være en udfordring at få svejsesømmen til at opnå tilstrækkelig bæreevne,
da a-målet kun kan antage en størrelse på 4 mm grundet valget af RHS profil i kuplen.
Der huskes på, at dimensioneringen løbende er udført med henblik på at finde det profil,
som er mindst muligt i forhold belastningerne. Det kunne dog være fordelagtigt at vælge et
større og tykkere profil når samlingsdetaljen skal udføres med tilstrækkelig bæreevne. Dog
ønskes profilet stadig så smalt som muligt, hvormed mulighederne primært ligger i forøgelse
af højden af profilet.
6.3.2
Boltesamling 2
Det andet samlingsforslag, som behandles, er illustreret på figur 6.21. Samlingen er foreslået
af J. Gath, og det ses, at den bygger på en række af de samme principper, som er benyttet
i eksempel 1. Samlingstypen er her modificeret for at passe til den dimensionering, der
indtil nu er foretaget, således at den udføres med det RHS100x60x4 profil, der indtil nu er
behandlet. Ligesom samlingstypen præsenteret i eksempel 1 er boltene i stand til at optage
trækkræfter, mens tryk afleveres direkte fra profilet til knuden. Dette studeres nærmere i
gennemregningen af samlingen.
Figur 6.22 viser et snit i samlingen, hvor det kan findes, hvorledes knuden og stængerne er
tildannet. Stængerne er skåret vinkelret af, og et stykke inde i profilet (5 mm på korteste
sted) er der svejst en plade på, som boltene kan fastgøres i. Knuden er formet som en
79
Analyse af gitterkuppel
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Figur 6.21: Forslag 2 til en samlingmetode, her set oppefra.
cylinder, tildannet konisk i den vinkel der er nødvendig for at opnå den ønskede pilhøjde på
kuplen. Dette letter udformningen af stængerne, ligesom alle knuderne tildannes ens.
Figur 6.22: Snit i samling 2, visende tildannelsen af knuden og stangenderne.
En af de grundlæggende ideer bag denne samling er boltens placering inde i stangen. Inden
stangens endeplade fastsvejses på profilet, er boltene skruet halvt igennem denne, hvorved
skruen er fikseret i pladen og boltehovedet er gemt inde i den lukkede stang. Ved samling
af knude og stang benyttes, at skruen er udført med et lille hul i enden, hvorved f.eks. en
umbraconøgle eller tilsvarende kan benyttes til at skrue bolten fast i knuden. Fordelene ved
dette er, at knudens størrelse kan reduceres i forhold til hvis bolten skulle skrues modsat i
retning fra knuden og ud i stangen. Herved skal der i knuden kun være plads til værktøjet.
Af hensyn til samlingen er det vigtigt, at bolten udføres med et forhold mellem længden på
skaftet og bolten, således at hele gevindet slipper endepladen. Derved kan de to elementer
spændes sammen med ønsket styrke. For at kunne skrue profilerne sammen på denne måde,
er det nødvendigt, at skaftet på boltet har en mindre diameter end gevindet, således at
skaftet kan føres gennem gevindet i pladen.
80
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Analyse af gitterkuppel
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Samlingen har samme egenskaber som samling 1 mht. fri rotation om den stærke akse, da der
kun er placeret en enkelt række bolte, og fiksering af rotation om den svage akse. Friheden
til rotation er dog betinget af, hvor meget boltene spændes sammen. Da knuden udføres
som en cylinder, skal stængerne tildannes i enderne, så de har en pasform, der stemmer
overens med cylinderens. Dette ses specifikt på figur 6.23, hvor det huskes, at også top- og
bundflangen af profilet skal tildannes til cylinderens cirkelform.
Figur 6.23: Detalje visende hvorledes enderne af stængerne skal tildannes for at passe til
knuden.
Ligesom samling 1 gennemregnes denne type samling for diverse svigtformer, hvorved bæreevnen eftervises. Forhold der betragtes er:
• Svejsesamling mellem profil og endeplade.
• Overklipningsbæreevne.
• Trækbæreevne.
• Hulrandsbæreevne.
Svejsesamling mellem profil og endeplade
Det er tidligere beskrevet, hvordan samlingens endeplade er påsvejst et lille stykke inde i
RHS-profilet, se evt. figur 6.23, hvorved svejsesømmen som pladen påsvejses med, vil være
en kantsøm. Afstanden mellem endepladen og knuden er mindre end 1/3 af boltediameteren,
da afstanden er 5 mm og bolten er en M16 bolt. Dette sætter en begrænsning for svejsesømmens udformning, der dermed ikke må overskride et a-mål på 6 mm i sidesømmen og 4 mm
i top- og bundsømmen.
Som beskrevet under samling 1, regnes bæreevnen for en svejsesamling for eftervist, hvis
begge udtryk i ligning (6.5) er opfyldt. Igen ønskes stål af kvalitet S235 benyttet, hvorved
korrelationsfaktoren findes til 0,8, brudspændingen findes til fu = 360 M P a og γM 2 = 1,35.
Svejsesamling skal kunne overføre alle kræfter med undtagelse af tryknormalkraften, fra profilet til den påsvejste plade, hvorefter pladen skal kunne overføre kræfterne igennem bolten
og videre til knuden. Samlingen består af to sidesømme med en effektiv længde på 92 mm
og et a-mål på 6 mm og to endesømme på 52 mm med et a-mål på 4 mm. Det tænkes, at
sidesømmene skal kunne overføre snitkræfterne My , Fz og halvdelen af Fx , mens endesømmene skal kunne overføre den resterende halvdel af Fx , Fy og Mx , hvor Mx omsættes til
forskydningskræfter, der virker som et kraftpar.
81
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
I en svejsning, der er foretaget som en kantsøm, giver snitkræfterne anledning til spændinger,
der kan beregnes af ligning (6.9) til (6.13). Normalkræfter og momenter giver anledning til
både normalspændinger (σ90 ) og forskydningsspændinger, der virker vinkelret på svejsesømmen (τ90 ), hvorimod forskydningskræfter kun giver anledning til forskydningsspændinger
(τ0 ) i svejsesømmens retning. Formlerne er baseret på en kantsøm, som er placeret på hver
side af samme plade. Situationen er her tilsvarende, da den modsatte kantsøm findes på
modstående kant af profilet, hvormed der stadig er to sømme.
σ90 = a
τ90 = a
M
2
lef
f
6
M
2
lef
f
6
sin α
2
(6.9)
cos α
2
(6.10)
V
2 a lef f
N
=
sin α
2 a lef f
N
=
cos α
2 a lef f
τ0 =
σ90
τ90
(6.11)
(6.12)
(6.13)
◦
Da de to sammensvejste
√ plader er placeret med en mellemliggende vinkel på 45 , findes det
at sin α = cos α = 1/ 2, hvilket medføre at σ90 = τ90 .
Først betragtes sidesømmen, hvor spændingerne forårsaget af My beregnes ved brug af ligning (6.9) og (6.10):
σ90 = τ90 = −2,43 kN m
2
6 mm·(92 mm)
6
1
√ = −101,50 M P a
·2 2
Herefter betragtes Fz , der ved hjælp af ligning (6.11) kan omsættes til forskydningsspændinger i sømmen.
−6,789 kN
= −6,15 M P a
τ0 =
2 · 6 mm · 92 mm
Til sidst betragtes den halve Fx , der resulterer i spændinger givet ved ligning (6.12) og
(6.13).
1
115,691 kN
1
√ = 37,05 M P a
σ90 = τ90 = 2
2 · 6 mm · 92 mm 2
Bæreevnen af sidesømmene kan da eftervises ved brug af ligningerne i (6.5), hvor alle spændinger indsættes nummerisk. Først betragtes den første forudsætning:
q
2 + 3 · (τ 2 + τ 2 ) ≤
σ90
90
0
r
fu
⇒
βw γ M 2
360 M P a
2
2
2
⇒
(101,50 + 37,05) M P a2 + 3 (6,15) + (101,50 + 37,05) M P a2 ≤
0,8 · 1,35
277,30 M P a ≤ 333,33 M P a
82
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Det ses heraf, at den første forudsætning for at svejsningen kan bære, er overholdt. Derfor
betragtes den anden forudsætning:
σ90 ≤ 0,9
fu
⇒
γM 2
(101,50 + 37,05) M P a ≤ 0,9
360 M P a
⇒
1,35
138,55 M P a ≤ 240 M P a
Hvoraf det ses, at også denne forudsætning er overholdt, hvilket betyder at sidesømmenes
bæreevne er eftervist.
Samme beregninger foretages for top- og bundsømmene hvor Fx som før omregnes til spændinger ved brug af ligning (6.12) og (6.13). Dette giver ved indsættelse af N = 12 115,691 kN =
57,846 kN , a = 4 mm, lef f = 52 mm og α = 45◦ , spændinger af størrelsen σ90 = τ90 =
98 M P a. Yderligere omregnes Fy som Fz , der ved hjælp af ligning (6.11) omsættes til forskydningsspændinger i sømmen. Dette giver ved indsættelse af V = 0,551 kN , a = 4 mm
og lef f = 52 mm, en forskydningsspænding på τ0 = 1,3 M P a. Endelig betragtes momentet
Mx . Dette omsættes, som før nævnt til et kraftpar i top- og bundsømmene. Størrelsen af
disse kræfter findes:
−0,26 kN m
Mx
= −2,83 kN
=
FMx =
lef f
92 mm
Nu kan dette omsættes til en forskydningsspænding på samme måde som Fy og Fz ved brug
af ligning (6.11). Dette giver, ved brug af V = −2,83 kN , a = 4 mm og lef f = 52 mm, en
forskydningsspænding på τ0 = −6,8 M P a.
På samme måde som for sidesømmene skal bæreevnen af endesømmene eftervises, hvilket
gøres ved brug af ligningerne i (6.5), hvor alle spændinger indsættes nummerisk. Først betragtes den første forudsætning:
q
2 + 3 · (τ 2 + τ 2 ) ≤
σ90
0
90
r
fu
⇒
βw γ M 2
360 M P a
2
2
2
(98,32 M P a) + 3 · (1,32 + 6,80) + (98,32) M P a2 ≤
⇒
0,8 · 1,35
197,14 M P a ≤ 333,33 M P a
Det ses heraf, at den første forudsætning for at svejsningen kan bære er overholdt, hvorfor
den anden forudsætning betragtes:
σ90 ≤ 0,9
fu
⇒
γM 2
98,32 M P a ≤ 0,9
360 M P a
⇒
1,35
98,32 M P a ≤ 240 M P a
Heraf findes, at også denne forudsætning er overholdt, hvilket betyder at hele svejsesømmenes
bæreevne er eftervist.
83
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Overklipningsbæreevne
I samlingen er to bolte benyttet til at overføre last fra stangen til knuden. Disse bolte skal
være i stand til både at overføre normalkræfter og forskydningskræfter. Først undersøges
overklipningsbæreevnen, der forholder sig til boltens bæreevne over for forskydningskræfter.
Samlingen er en direkte etsnitsforbindelse, hvilket betyder at overklipningsbæreevnen bestemmes ved ligning (6.14) uden reduktion da der ikke tages hensyn til bøjningspåvirkning
i boltene når afstanden imellem de to plader i samlingen er mindre end 1/3d = 5,33 mm.
Fv,Rd = n αv A
fub
γM 2
(6.14)
De betragtede bolte er M16 bolte og ønskes i en så lille styrkeklasse som muligt. Derfor
betragtes først bolte i kvalitet 4.6. Da boltene antages at have rullet gevind, er det uden
betydning, om snittet er i gevindet eller skaftet, da αv i begge tilfælde antager værdien 0,6.
Dog antages det, at snittet befinder sig i skaftet, hvorved A er skaftearealet af bolten27 ,
hvilket kan findes til 201 mm2 i tabel 2.4 i [20]. Herved kan overklipningsbæreevnen findes:
Fv,Rd = 2 · 0,6 · 201 mm2
400 M P a
= 71,47 kN
1,35
(6.15)
Den maksimale belastning på bolten har et bidrag både fra Fy og Fz , men også fra momentet
Mx , hvorved belastningen opnår en maksimal størrelse på:
s
2
Mx
1
Fy −
+ Fz2
Fv,Ed =
2
larm
s
=
1
−0,26 kN m
· 0,551 kN −
2
48 mm
2
2
+ (−6,789)
= 8,86 kN
Heraf fremgår det, at overklipningsbæreevnen er rigeligt stor til at kunne modstå belastningen.
Trækbæreevne
Som nævnt udsættes bolten både for forskydningspåvirkninger, som betragtet i forrige afsnit,
samt af træk- samt trykpåvirkninger. Et stort træk i bolten kan forårsage til en af tre ting:
1) brud i bolten, 2) bolten trækkes ud af gevindet, eller 3) gennemlokning. Brud i bolten
afhænger af boltens styrke, og er det første, der undersøges. Det maksimale træk i en bolt
forårsages af en kombination af en negativ normalkraft, Fx , samt et negativt moment My ,
og giver:
Ft,Ed =
=
1
My
Fx +
2
larm
1
−2,43 kN m
(−60,185 kN ) +
2
48 mm
= −80,72 kN
27 Det huskes, at diameteren af skaftet bør være mindre end gevindets diameter. I udregningen anvendes
boltens oprindelige areal.
84
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Trækbæreevnen for en boltesamling med rullet gevind findes af ligning (6.16)28 .
Ft,Rd = 0,9 n As
fub
γM 2
(6.16)
hvor n igen er antallet af bolte, hvilket, grundet den betragtede belastning, er 1, As er spændingsarealet, der i tabel 2.4 i [20] kan findes til 157 mm2 , og fub er boltens karakteristiske
trækstyrke, der i tabel 2.5 ligeledes i [20] findes til 400 M P a. Herved findes trækbæreevnen
ved ligning (6.16) til:
Ft,Rd = 0,9 · 1 · 157 mm2
400 M P a
= 41,87 kN
1,35
Det ses, at trækbæreevnne ikke er stor nok ved den benyttede kvalitetsklasse, og at det er
nødvendigt med mindst en fordobling af trækbærevnen, hvilket fås ved at hæve kvalitetsklassen til en klasse 8.8. Hedved ændres fub til 800 MPa, hvilket giver en trækbæreevne på
83,7 kN, hvilket er større end Ft,Ed .
I [20] tabel 4.6 er angivet de styrkemæssige krav til indskruningsdybden. Denne afhænger
af pladens kvalitet såvel som boltens kvalitet. Idet pladen, som alt andet i konstruktionen
er udført i klasse S235, og det i de forrige beregninger blev fundet nødvendigt, at bolten er
i klasse 8.8, ses det i tabellen, at indskruningsdybden mindst skal være 1,2D = 19,2 mm.
Dette vil ikke være et problem, da bolten er fastskruet igennem hele knuden, der har en
tykkelse på 20 mm.
Endeligt behandles gennemlokning, der omhandler pladens styrke, og beregnes af ligning
(6.17)29 .
fu
(6.17)
Bp,Rd = 0,6 n π dm tp
γM 2
Der betragtes stadig kun en bolt, grundet den betragtede belastning, der er den maksimale
belastning på en bolt, hvorved n = 1. dm er underlagsskivens diameter, der af tabel 2.4 i
[20] findes til 30 mm for en M16 bolt. tp er pladens tykkelse og fu er pladens brudspænding.
Alt i alt giver dette en gennemlokningsbæreevne på:
Bp,Rd = 0,6 · 1 · π · 30 mm · 10 mm
360 M P a
= 150,80 M P a
1,35
Af dette resultat kan det udledes, at samlingen har tilstrækkelig styrke til at modstå en ren
trækbelastning. Dette er imidlertid ikke altid nok, da samlingen kan være både forskydningsog trækpåvirket på samme tid. Bæreevnen kan i dette tilfælde eftervises ud fra uligheden
nedenfor i ligning (6.18)30 .
Fv,Ed
Ft,Ed
+
≤1
(6.18)
Fv,Rd
1,4 Ft,Rd
Det undersøges, hvorvidt samlingen kan modstå en sådan belastning, ved at indsætte de
aktuelle værdier i uligheden. Det bemærkes dog, at den hidtil beregnede værdi for overklipningsbæreevnen nu er fordoblet grundet den øgede kvalitetsklasse.
| − 80,72 kN |
8,86 kN
+
= 0,75 ≤ 1
2 · 71,47 kN
1,4 · 83,73 kN
28 Jf.
[20] afsnit 4.3.1.
[20] afsnit 4.3.1.
30 Jf. [20] afsnit 4.3.3.
29 Jf.
85
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Endeligt kan boltens bæreevne siges at være eftervist, idet det antages at der ikke overføres
tryk i bolten. Trykket overføres derimod direkte fra stangen til knuden, hvorfor stangens
tværsnit skal kunne klare den pågældende belastning. Det vil dog ikke være nødvendigt at
eftervise dette her, da tværsnittet allerede er blevet behandlet i Robot, samt blevet vist
tilstrækkeligt tidligere i opgaven. Samtidig findes det, at knudesamlingen dimensioneres
efter en kombination af maksimale stangkræfter, mens Robot alene har beregnet den reelle
kombination af belastninger på hver enkelt knude.
Hulrandsbæreevne
Ved den aktuelle udformning og belastning af samlingen vil hulranden på stangens endeplade
være belastet. Det ønskes undersøgt, om hulrandsbæreevnen er tilstrækelig til at modstå
brud i pladen. Hulrandsbæreevnen for en etsnits-forbindelse beregnes ved ligning (6.19)31 .
Fv,Rd = min


n k1 αb d t1
fu,1
γM 2

n k α d t
1 b
2
fu,2
γM 2
(6.19)
Da hulranden både belastes af kræfterne Fy og Fz samt et moment Mx , vil den resulterende kraft på hver af de to hulrande ikke virke parallelt med pladens kanter. Derved er det
nødvendigt, at optegne ellipser omkring hulranden for at finde den optimale kombination af
afstandene e1 og e2 , der er afstanden fra hulmidte til pladekant målt i hhv. kraftens retning
og vinkelret på kraftens retning. Inden videre undersøgelse af dette er det dog nødvendigt
at tjekke at pladens dimensioner, samt afstanden mellem de to huller er større end minimumsafstandene. Da hver af de to bolte modtager et bidrag til den resulterende kraft fra
momentet, vil de resulterende kræfter på de to bolte ikke være ens. Dette er ikke et almindeligt behandlet emne i den til opgaven tilgængelige litteratur, hvorfor det ikke med sikkerhed
vides, hvordan hulrandsbæreevnen påvirkes af dette. Behandlingen af denne brudform er
derfor baseret på antagelser og simple beregningsmetoder givet i [20]. Grundet vinklen på
kraftens retning vælges det, at betragte de to huller som forskudte huller. Dette betyder,
at afstanden L (den direkte afstand fra hulmidte til hulmidte mellem de to huller) skal være større end 2,4 d0 , og p2 (afstanden fra hulmidte til hulmidte målt vinkelret på kraftens
retning) skal være større end 1,2 d0 . Dette fremgår af figur 6.24, hvorpå det også er vist,
hvordan samlingens plade betragtes med hensyn til kraften på den øverste hulrand.
Figur 6.24: Angivelse af afstandskrav på en plade med forskudte boltehuller. Med rødt er
markeret hvorledes dette passer på den aktuelle plade i samlingen med hensyn til kraften på
den øverste hulrand. Kilde: J. Gath (2009), [20].
31 Jf.
86
[20] afsnit 4.1.1.
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Afstanden p2 er svær at finde, da kraftens retning er forskellig fra hulrand til hulrand. Derfor
vælges det, at finde en værdi for p2 for hver af de to huller. Yderligere bemærkes det, at
den resulterende krafts retning og størrelse afhænger af afstanden imellem de to huller, da
denne har indflydelse på kraften FMx , som momentet antages omsat til.
Først betragtes pladen, hvor hullerne er placeres således, at L antager den mindste tilladelige værdi på 43,2 mm, hvilket dog oprundes til 44 mm, da det ønskes at benytte hele tal.
Det findes i appendix M, at kraften ved denne hulafstand angriber den øverste hulranden
med en vinkel på 29◦ med vandret, og den nederste hulrand med en vinkel på 31◦ med
vandret, som det også fremgår af figur 6.25. Yderligere fremgår det af appendixet, at de to
resulterende kræfter opnår en størrelse på hhv. Fv,Ed,1 = 7,05 kN og Fv,Ed,2 = 6,58 kN .
Det er muligt at optegne flere forskellige ellipser omkring hvert af de to huller, men efter en
Figur 6.25: Kræfternes størrelse og retning med en hulafstand L på 44 mm. Yderligere er
vist afstandene p2 , e1 og e2 .
række undersøgleser, har det vist sig at ellipserne påtegnet figur 6.25 giver anledning til det
største produkt af αb og k1 , hvormed bæreevnen er størst. Værdierne af de to konstanter
kan beregnes af ligning (6.20) og (6.21)32 .

e1

 3d0



αb = min ffub
(6.20)
u




1,0

2,8 e2

− 1,7

d0



k1 = min 1,4d0p2 − 1,7




2,5
32 Jf.
(6.21)
[20] afsnit 4.1.1.
87
Analyse af gitterkuppel
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Ved indsættelse af de fundne afstande, findes følgende størrelser for αb og k1 :
αb =
k1 =
e11
27 mm
=
= 0,50
3 d0
3 · 18
2,8 · 22 mm
2,8 e21
− 1,7 =
− 1,7 = 1,72
d0
18
k1 =
1,4 p21
1,4 · 39 mm
− 1,7 =
= 1,33
d0
18
Det findes af ligning (6.20) og (6.21) at αb = 0,50 og k1 = 1,33 for det øverste hul. Tilsvarende beregninger giver αb = 0,50 og k1 = 1,26 for det nederste hul. Fælles for de to benyttede
ellipser er, at e2 antager minimumsværdien. Dette skyldes, at en forøgelse af e2 ikke vil give
anledning til større k1 , da det af udregningen ovenfor ses, at afstanden p2 sætter grænsen
for k1 . En forøgelse af e2 vil da kun medføre en mindre værdie af e1 og dermed en mindre
værdi af αb , hvilket vil give en lavere bæreevne.
En anden tilgangsvinkel til placeringen af hullerne er, at placere de to huller så langt fra
hinanden som muligt. Dvs. hvor afstanden til kanten er lig minimumsværdien for e1 og e2 .
Dette medfører, jf. appendix M, at kraften angriber den øverste hulranden med en vinkel
på 31◦ med vandret og den nederste hulrand med en vinkel på 33◦ med vandret. Yderligere fremgår det af appendixet, at de to resulterende kræfter opnår en størrelse på hhv.
Fv,Ed,1 = 6,6 kN og Fv,Ed,2 = 6,2 kN . På figur 6.26 er påtegnet de størst mulige ellipser,
der i denne situation vil antage form af cirkler med en radius på 22 mm.
Figur 6.26: Kræfternes størrelse og retning med en hulafstand L på 48 mm. Yderligere er
vist afstandene p2 , e1 og e2 .
Igen kan det ved indsættelse i ligning (6.21) findes, at det er afstanden p2 , der sætter grænsen for k1 , hvorfor det for det øverste hul findes, at k1 = 1,49 og for det nederste hul findes
at k1 = 1,41. Da e1 er den samme for det øverste og det nederste hul og antager værdien 22
mm, giver dette en værdi af αb på 0,41.
88
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Analyse af gitterkuppel
Samlingsdetalje i gitterkuppel
Efter at have undersøgt de to mulige placeringer af hullerne i tværsnittet, er det fundet, at
den største bæreevne opnås ved at placere de to huller 44 mm fra hinanden. Hulrandsbæreevnen beregnes ud fra ligning (6.19), hvorved bæreevnen ved en afstand på 44 mm findes
til:
360 M P a
= 28,37 kN
Fv,Rd,1 = 1 · 1,33 · 0,5 · 16 mm · 10 mm ·
1,35
Fv,Rd,2 = 1 · 1,26 · 0,5 · 16 mm · 10 mm ·
360 M P a
= 26,88 kN
1,35
Dette er langt større end den i appendix M fundne belastning, hvorved bæreevnen ved
denne hulfordeling er eftervist. Hidtil har en hulfordeling med en intern afstand på 48 mm
dog været betragtet, hvorfor bæreevnen af denne fordeling også ønskes undersøgt. Dette kan
gøres ved en lignende beregning, med passende værdier for αb og k1 . Dette giver for det
øverste hul en bæreevne på Fv,Rd,1 = 26,1 kN og Fv,Rd,2 = 24,7 kN for det nederste hul.
Herved konkluderes det, at hulrandsbæreevnen er tilstrækkelig, uanset hvordan de to huller
placeres, hvilket gør, at hele samlingen bæreevne nu er eftervist.
89
Analyse af gitterkuppel
Samlingsdetalje i gitterkuppel
90
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
7
Yderligere samlingsdetaljer
Udover samlingsdetaljen i gitterkuplen er der flere samlingsdetaljer i konstruktionen, der er
spændende at undersøge. Analysen har vist, at den rent statiske beregning i Robot giver et
glimrende bud på dimensionerne af profilerne, men når samlingerne skal udføres, kan det
være nødvendigt at revurdere det indledende valg af profil. Valget af samlingsmetode kan
medføre ændringer af profilenderne, hvormed et andet profil måske vil mere fordelagtigt at
benytte.
Analysen har derfor givet en indsigt i, at det kan være fornuftigt at overveje krav til samlingerne, inden der vælges profil, således at detaljerne nemmere kan udføres. I det efterfølgende
kigges på nogle af samlingerne der skal tages i betragtning i projektet, dog uden at disse
gennemregnes i detaljer.
7.1
Ringbjælke
I tæt forbindelse med de samlinger der udføres i kuplen, bør de samlinger, der skal laves til
den cirkulære ringbjælke, tages i betragtning. Samlingen afviger ikke meget fra den der er
benyttet i kuplen, og den skal kunne overføre samme belastninger. Derfor er det nærliggende
at vælge en løsning, der minder om den i kuplen valgte løsning. For den betragtede samling
1 kan det f.eks. udføres, som skitseret på figur 7.1, hvor samlingstypen er direkte kopieret
fra kuplen.
Figur 7.1: Skitsering af samling mellem ringbjælke og stænger fra gitterkuplen, baseret på
samling 1.
Udsnittet viser, at samlingen udføres med en enkelt bolt, så fri rotation om den stærke
akse er bibeholdt, mens hvad der svarer til knuden er svejst fast til ringbjælken. Det skal
her sikres, at svejsningen kan optage de aktuelle kræfter, og det bemærkes at kræfternes
angrebsretning nu varierer, da vinklen mellem stangen og ringbjælken er varierende. Dette
medfører f.eks. et bidrag til forskydningsspændingerne fra normalkraften, således at disse
bliver betragteligt større end hidtil betragtet, da normalkraften er noget større end forskydningskræfterne.
Samlingen vil æstetisk være diskret og passe ind i de resterende samlinger, hvis denne samlingsmetode benyttes i hele kuplen. Det forhold vil være lidt anderledes, hvis en løsning,
91
Analyse af gitterkuppel
Yderligere samlingsdetaljer
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
der minder om samling 2, benyttes. Figur 7.2 viser hvorledes, man direkte kan overføre
princippet i samling 2 fra kuplen til ringbjælken.
Figur 7.2: Skitsering af samling mellem ringbjælke og stænger fra gitterkuplen, baseret på
samling 2.
Hvis samme samlingsmetode med skjulte bolte skal benyttes, er det nødvendigt at beholde
en cylinderformet "knude", så man kan montere bolten indefra. Æstetisk kan det overvejes, hvorvidt der ønskes halve cylindere svejst på ringbjælken så mange steder rundt langs
kuplens rand, men på den anden side kan samlingerne benyttes praktisk til ophængning,
belysning, eller hvad der nu kunne være behov for. En kombination af løsningsmuligheder
kan være et bedre alternativ.
7.2
Vindgitter
På samme måde bør samligen mellem vindafstivningen og ringbjælken betragtes. Hvis der
igen tages udgangspunkt i samling 1, kan den nemt overføres til de runde profiler, da enderne
kan tildannes og svejses på stængerne. Samlingen vil derfor have karakter af samlingerne i
kuplen, og der vil være god analogi mellem de forskellige samlinger, som det ses på figur 7.3.
Fordelen ved at benytte denne form for samling med kun en enkelt bolt i en dornsamling
er, at der er mulighed for fri rotation om den ene akse. Konstruktionen er dermed en smule mere bevægelig end hvis momentstive samlinger havde været benyttet. Da samlingerne
mellem pendulsøjlerne og ringbjælken også er udført som charnere optages de vandrette
belastninger alene i stængerne. Det er nødvendigt, at påsvejse en klods til ringbjælken,
hvorpå stængernes gaffelender kan boltes fast. Det er i den forbindelse nødvendigt at sikre
overklipningsbæreevnen af bolten, da trykbelastningen er stor, ligesom der stilles krav til
dimensionerne af klodsen for at hulrandsbæreevnen mv. er opfyldt. Alt dette ville kunne
undersøges ved at udføre de samme beregninger som for knudesamlingen. Eneste forbehold
ved samlingen i forhold til beregningsmodellen er, at der kun er mulighed for rotation om
en enkelt akse, hvor der i modellen er regnet med fri rotation om to akser. Dette ses dog
ikke som en svaghed, da det kun øger stangens styrke mod udknækning.
92
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Analyse af gitterkuppel
Yderligere samlingsdetaljer
Figur 7.3: Skitsering af samling mellem ringbjælke og afstivende vindgitter, baseret på samling 1.
7.3
Pendulsøjle
Som nævnt er der i beregningsmodellen opstillet forskellige betingelser for samlingerne. For
pendulsøjlerne, der understøtter ringbjælken, er der forudsat fri rotation om begge akser.
Dette kan være en udfordring at udføre i praksis, da samlingsmetoder som regel medfører
en eller anden form for fastholdelse mod rotation. Vi har tidligere set, at fri rotation om en
akse kan opnås ved at placere kun én række bolte vinkelret på den retning rotationen ønskes
frigjort i (f.eks. udnyttet i samling 2). Dette princip kan ikke udnyttes ved rotation om to
akser, da det vil modvirke hinanden. Samtidig er det heller ikke realistisk at benytte kun en
enkelt bolt, som ellers normalt ville siges at have frihed til rotation om begge akser, da den
praktiske udførsel ikke er en mulighed.
På figur 7.4 er der skitseret et forslag til en samlingsmetode udviklet til at opfylde kravet
om rotation om to retninger. Samlingen er udført som en boltsamling, hvor trykket afleveres
gennem en kugle, placeret midt i samlingen. Kuglen skal kunne optage trykkraften, så styrken og størrelsen af denne skal være tilpasset den aktuelle belastning. På selve ringbjælken
fastsvejses en plade med gevindhuller til montering af bolte. Enden af pendulsøjlen tildannes med en plade som er større end profilet, således at der kan monteres bolte i samlingen
nedefra. Der anvendes fire bolte, to på hver side af kuglen. Boltene skal sørge for at holde
kuglen på plads, der i øvrigt skal placeres i en form for fordybning, så den ikke ruller ud af
position ved belastning. Derudover skal boltene kunne optage forskydning, idet kuglen ikke
kan optage tværlaster. Princippet er, at boltene kun spændes fast i den ene ende, hvorfor det
er muligt at rotere omkring kuglen så længe de andre bolte strækker sig en smule. Friheden
til rotation er derfor ikke perfekt, men teoretisk er den til stede. Dimensioner af plade, bolte,
kugle mv. bør efterregnes i detaljer for at være sikker på at denne type samling vil være
anvendelig i den givne situation. Dertil kan størrelsen af rotationen i samlingen genfindes i
beregningsmodellen, for at få et billede af hvor eftergivelig boltsamlingen skal være.
På samme måde kan samlingstypen benyttes ved samlingen af pendulsøjlen til betondækket.
Igen kan andre løsningsmuligheder benyttes, der ikke nødvendigvis har frihed til rotation
om begge akser, idet bæreevnen ikke reduceres at dette. Ligeledes skal det huskes, at samlin93
Analyse af gitterkuppel
Yderligere samlingsdetaljer
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Figur 7.4: Skitsering af samling mellem ringbjælke og pendulsøjler med mulighed for rotation
om to akser.
gen til betondækket nogle steder har en ekstra stang fra vindgitteret. Dette bør selvfølgelig
overvejes når samlingstypen projekteres.
94
8
Konklusion
Projektets mål har været at lave en statisk analyse af den gitterkuppel, der skal udgøre
en del af taget på Novo Nordisk’s nye hovedsæde i Bagsværd. Analysen indeholder forhold
omkring dimensioneringen af selve kuplen, undersøgelse af understøtningsforholdene samt
en detajleret gennemregning af to samlingsmetoder mellem stængerne i kuplen. Det har været et ønske at dimensionere tæt på grænsen, så mindst muligt materiale er benyttet i den
foreslåede løsning. Dimensioneringen har været baseret på de gældende forhold beskrevet i
Eurocodes, men yderligere forhold har spillet ind. Dette har medført løbende ændringer og
redesign af modelløsninger ved samlingsdetaljerne, hvilket betyder, at de foreslåede dimensioner ikke nødvendigvis medfører den mest optimale løsning.
Ved dimensioneringen af stængerne i kuplen stod det hurtigt klart, at momentstive samlinger
ville være at foretrække fremfor charniereforbundne stænger, grundet den lave pilhøjde på
kuplen. Snap-through lasten er meget lille ved charniereforbundne stænger i forhold til det
anvendte tværsnitsareal. Ved at benytte momentstive samlinger kan den kritiske last hæves,
hvorved svigtformen ændres fra kritisk deformation til for høje spændinger og udknækning
af enkeltstænger i konstruktionen. Med disse forhold taget i betragtning er det fundet, at
et RHS100x60x4 profil kan modstå de belastninger, der virker på kuplen medførende deformationer i størrelsesordenen 30-35 mm, som vurderes acceptable i forhold til den samlede
pilhøjde på 2,5 m.
Rundt omkring gitteret anvendes et cirkulært 219,1x50 mm rørprofil som ringbjælke for
at optage de trykkræfter, som kuplen afleverer. Der er valgt en stor tykkelse af dette profil for at undgå en stor ydre dimension og samtidig for at opnå understøtningsforhold, der
minder om en fastholdelse mod bevægelse. Flytningerne bliver ikke meget større ved valg af
denne understøtningsform i forhold til modellering med fastholdelse mod flytning. Understøtningen af ringbjælken udføres på pendulsøjler, som kan overføre belastningen videre ned
i betondæk samt stabiliserende kerner. Pendulsøjlerne suppleres af et vindgitter til at optage
den vandrette belastning, ligesom der er udført et hængeværk på steder hvor konstruktionen
ikke forventes at kunne yde tilstrækkelig understøtning mod lodret flytning. Pendulsøjlerne
udføres i et kvadratisk rørprofil af størrelsen 70x5 mm, vindgitteret i et cirkulært profil af
størrelsen 48,3x5 mm som trækstængerne i hængeværket mens trykstængerne i hængeværket
udføres i 48,3x12,5 mm ligeledes cirkulært.
Ved at betragte samlingerne i kuplen, er det fundet, at den lille godstykkelse i det valgte RHS-profil begrænser de tilgængelige løsningsmetoder. Størrelsen af snitkræfterne stiller
krav til størrelsen af bolte samt størrelsen af svejsesømmene, afhængigt af hvor boltene er
placeret (der arbejdes ikke med svejste samlinger, da det har sine begrænsninger ved udførslen). På baggrund af snitkræfterne blev det nødvendigt at foretage et redesign af samling 1.
Det var ikke muligt med så lille en godstykkelse på RHS-profilet at optage belastningerne.
I stedet blev et alternativt design med en gaffelformet ende foreslået. På den måde kan en
større godstykkelse anvendes i samlingen, hvormed bæreevnen øges. Med denne ændring var
det muligt at bestemme dimensioner af samlingen, som kunne optage belastningen. Samling
2 var udført således, at kræfternes optag i samlingen ikke gav grund til et gennemgribende
redesign, dog bør det nævnes, at en større godstykkelse i stængerne ville have været at foretrække.
95
Analyse af gitterkuppel
Konklusion
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Det er altså i projektet fundet, at de enkelte dele af konstruktionen trinvist kan dimensioneres, men det bedste resultat findes ved at have alle aspekter for øje, når man laver den
indledende undersøgelse. På den måde kan det måske undgås at skulle redesigne undervejs.
Denne erfaring kan opnås gennem års arbejde, hvor denne rapport kan give et indledende
indtryk af hvilke aspekter, der bør tages i betragtning.
96
Litteratur
[1] Almegård, H., Skalkonstruktioner, Metoder til afklaring af sammenhængene mellem
form, stabilitet, stivhed og understøtninger, Ph.d.-afhandling, By og Byg, Statens byggeforskningsinstitut, 1. udgave, 2003.
[2] DS/EN 1991-1-3:2007 Eurocode 1: Last på bærende konstruktioner - Del 1-3: Generelle
laster - Snelast.
[3] DS/EN 1991-1-3 DK NA: 2010-05 Nationalt anneks til Eurocode 1: Last på bygværker
- Del 1-3: Generelle laster - Snelast.
[4] DS/EN 1991-1-4:2007 Eurocode 1: Last på bærende konstruktioner - Del 1-4: Generelle
laster - Vindlast.
[5] DS/EN 1991-1-4 DK NA: 2010-03 Nationalt anneks til Eurocode 1: Last på bygværker
- Del 1-4: Generelle laster - vindlast.
[6] Hansen, S. O., Vindlast på cylindrisk bygning til Novo i Bagsværd, Svend Ole Hansen
Aps, 2010.
[7] Jensen, B. Chr. (faglig redaktør), Teknisk Ståbi, Nyt Teknisk Forlag, 20. udgave, 2009.
[8] DS/EN 1993-1-1:2007 Eurocode 3: Stålkonstruktioner - Del 1-1: Generelle regler samt
regler for bygningskonstruktioner.
[9] Gath, J., Knæklængder, Undervisningsmateriale kursus 11312, 2010.
[10] Agerskov, H., Rumgitterkonstruktioner, Gitterplader-Gitterskaller, Lyngby, 1976.
[11] Kollár, L. og Hegedüs, I., Analysis and design of space frames by the continuum method,
Elsevier, 1985.
[12] Krenk, S., Non-linear Modeling and Analysis of Solids and Structures, Cambridge University Press, 2009.
[13] Makowski, Z. S., Analysis, Design and Construction of Braced Domes, Granada Technical Books, 1984.
[14] DS/EN 1990 Eurocode 0: Projekteringsgrundlag for bærende konstruktioner. 2. udgave.
[15] DS/EN 1990 DK NA: 2010-05 Nationalt anneks til Eurocode 0: Projekteringsgrundlag
for bærende konstruktioner.
[16] DS/EN 1993-1-1 DK NA:2007-11-13 Nationalt anneks til Eurocode 3: Stålkonstruktioner - Del 1-1 Generelle regler og regler for bygninger. 2. udgave.
[17] Nordisk Rør & Stål A/S, Produktprogram, www.nrsshop.dk, 2007. Internet:
http://buchs.dk/pages/nrs_profil/ (hentet d. 13 maj 2011).
[18] Gath, J., Stålkonstruktioner, Trykpåvirkede elementer, 2010.
[19] Stephan, S., Sánchez-Alverez, J. og Knebel, K. Reticulated structures on free-form surfaces, MERO GmbH & Co. KG, Germany.
97
Analyse af gitterkuppel
Litteratur
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
[20] Gath, J., Stålkonstruktioner, Boltesamlinger i fågangspåvirkede konstruktioner, 3. udgave, 2009.
[21] Gath, J., Stålkonstruktioner, Svejsesamlinger i fågangspåvirkede konstruktioner, 3. udgave, 2009.
98
Appendix
A Geometri af kuppel.
B Normtjek af Eulersøjle.
C Udledning af tøjningsudtryk.
D Input til indledende beregning i Abaqus.
E Normtjek af lille konstruktion med fast-simple understøtningsforhold.
F Normtjek af lille konstruktion med fast-indspændte understøtningsforhold.
G Normtjek af lille konstruktion med bevægeligt-indspændte understøtningsforhold.
H Udnyttelsesgrad af omkringliggende stænger, når enkeltelement bliver fjernet.
I Normtjek af pendulsøjler.
J Vandret masselast.
K Udnyttelsesgrad af trykpåvirkede elementer i konstruktionen.
L Belastning på hulsvækket tværsnit.
M Hulrandsbæreevne ved belastning i varierende retninger.
99
Analyse af gitterkuppel
Litteratur
100
Jeanette Brender
Jesper Sørensen
Indhold på vedlagte CD
• Abaqus
– ODB File med enkelt stangelement
• Excel
– Understøtning med to vindgitre og trekantet hængeværk
∗ Dominerende sne
· Deformationer
· Kræfter
· Spændinger
∗ Dominerende vind
· Deformationer
· Kræfter
· Spændinger
– Understøtning med to vindgitre og trapezformet hængeværk
∗ Dominerende sne
· Deformationer
· Kræfter
· Spændinger
∗ Dominerende vind
· Deformationer
· Kræfter
· Spændinger
– Understøtning med tre vindgitre og trapezformet hængeværk
∗ Dominerende sne
· Deformationer
· Kræfter
· Spændinger
∗ Dominerende vind
· Deformationer
· Kræfter
· Spændinger
• Rapport
– Rapport
– Appendix
• Robot
–
–
–
–
Eulersøjle
Lille model
Stor model uden ringbjælke
Stor model med ringbjælke
101