1. No category

Notesæt til Fysik 5 - Kvantemekanik
11. januar 2011
Indhold
1 Bølgeligningen
1.1 Schrödingerligningen og bølgefunktionens betydning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Normalisering, impuls og forventningsværdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Spredning og Heisenberg’s usikkerhedsprincip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3
2 Den tids-uafhængige Schrödinger ligning (tidsuafhænigt potentiale)
2.1 Egenskaber ved den tidsuafhængige Schrödinger ligning . . . . . . . . .
2.2 Den uendelige brønd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Egenskaber for de tidsuafhængige løsninger ψn . . . . . . . . . .
2.2.2 Den generelle løsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Energi i brønden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Den harmoniske oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Nye operatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Bølgefunktionen og energiniveauer . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Den frie partikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Delta-funktionens potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Bundne og frie tilstande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Delta-funktions-brønden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Den endelige potentiale brønd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Bound states E < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Spredte tilstande E > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
4
5
5
6
6
6
7
7
7
8
9
9
9
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1.1
Bølgeligningen
Schrödingerligningen og bølgefunktionens betydning
Schrödinger ligningen er
i~
∂Ψ
~2 ∂ 2 Ψ
=−
+VΨ
∂t
2m ∂x2
(1)
Hvor Ψ (x, t) betegnes bølgeligningen.
Bølgeligningen Ψ (x, t) kan benyttes til at bestemme sandsynligheden for at en partikel befinder sig
inden for et interval x ∈ [a; b]
ˆ
b
ˆ
2
|Ψ (x, t)| dx =
a
b
Ψ∗ Ψdx =
{
a
Sandsynligheden for at finde partiklen
mellem a og b til tiden t
}
(2)
Hvor Ψ∗ er den komplekst konjugerede.
1.2
Normalisering, impuls og forventningsværdi
Normalisering af bølgeligningen betyder at
ˆ
∞
−∞
2
|Ψ (x, t)| dx = 1
(3)
Hvilket blot betyder at partiklen må befinde sig et sted i intervallet [−∞; ∞].
Forventningsværdien er en midlet værdi af sandsynlighedsfordelingen og tilsvarer dermed den
gennemsnitlige værdi, som man ville få hvis man udførte målinger på mange identiske systemer.
Udfører man en måling på et system kollapser bølgeligningen og derfor vil forventningsværdien ikke
tilsvare middelværdien ved målinger udført på samme system.
ˆ ∞
2
⟨x⟩ =
x |Ψ (x, t)| dx
(4)
−∞
Herudfra kan forventningsværdien af impulsen p bestemmes
)
ˆ ∞(
d ⟨x⟩
∂Ψ
⟨p⟩ = m
= −i~
Ψ∗
dx
dt
∂x
−∞
(5)
Her er det værd at bemærke at størrelsen impuls i denne sammenhæng ikke er det samme
håndgribelige begreb som i klassisk mekanik. Hastigheden er i vores tilfælde
d ⟨x⟩
dt
⟨v⟩ =
Hvilket altså ikke er partiklens hastighed, men hastigheden hvormed forventningsværdien af
bølgefunktionen ændrer sig.
Størrelserne x og p betegnes som operatorer, idet de begge kan virke på funktioner
x
ˆ=x
pb =
2
~ ∂
i ∂x
(6)
1.3
Spredning og Heisenberg’s usikkerhedsprincip
Spredningen σ beskriver en usikkerhed omkring en forventningsværdi og bestemmes ved
√
2
σx = ⟨x2 ⟩ − ⟨x⟩
σp =
(7)
√
2
⟨p2 ⟩ − ⟨p⟩
(8)
Heisenbergs usikkerhedsprincip beskriver en relation mellem disse spredningenværdier
σx σp ≥
~
2
(9)
Kendes den ene af disse størrelser med stor nøjagtighed, må nøjagtigheden af den anden størrelse
følgeligt forringes.
2
Den tids-uafhængige Schrödinger ligning (tidsuafhænigt potentiale)
Ved at antage at potentialet V er uafhængigt af tiden t, kan Schrödinger ligningen løses ved seperation
af variable
Ψ (x, t) = ψ (x) φ (t)
Kalder vi seperationskonstanten for E, vil løsningerne være
dφ
iE
=− φ
dt
~
−
⇒
φ (t) = e−
iE
~ t
~2 d2 ψ
+ V ψ = Eψ
2m dx2
(10)
(11)
Hvor (11) altså betegnes den tidsuafhængige schrödinger ligning (og som vi endnu ikke kan løse).
Løsningen ser altså ud som
Ψ (x, t) = ψ (x) e−
2.1
iE
~ t
Egenskaber ved den tidsuafhængige Schrödinger ligning
1. Egenskab Bølgeligningen siges at være i en stationær tilstand, idet sandsynlighedsfunktionen er
tidsuafhængig.
2
|Ψ (x, t)| = |ψ (x)|
2
(12)
2. Egenskab
Et systems samlede energi tilsvarer summen af dets potentiale og kinetiske energi, her betegnes den
samlede energi H
p2
H (x, p) =
+ V (x)
2m
Herudfra kan en tilhørende hamilton operator opskrives
2
2
ˆ = − ~ ∂ + V (x)
H
2m ∂x2
3
(13)
Substitueres denne ind i vores tidsuafhængige Schrödinger ligning får vi at
ˆ = Eψ
Hψ
(14)
Forventningsværdien af den totale energi viser sig at være seperationskonstanten E
⟨H⟩ = E
σH = 0
Tilsvarende kan det vises at spredningen omkring denne forventningsværdi er 0, hvilket betyder at
den totale energi må være konstant og at denne konstant tilsvarer seperationskonstanten E.
3. Egenskab Den generelle løsning til bølgeligningen Ψ (x, t) viser sig at være en linear kombination
af seperable løsninger
∞
∞
∑
∑
iEn
Ψ (x, t) =
cn Ψ (x, t) =
(15)
cn ψn (x) · e− ~ t
n=1
2.2
n=1
Den uendelige brønd
Udover at potentialet er tidsuafhængigt er potentialet i dette tilfælde karakteriseret ved
{
0 0≤x≤a
V (x) =
∞
ellers
Om løsningen til bølgeligningen i dette tilfælde gælder der at
En =
n2 π 2 ~2
2ma2
(16)
( nπ )
2
sin
x
a
a
(17)
Løsningerne til den tidsuafhængige del er
√
ψn (x) =
Løsningerne (17) er stående bølger.
2.2.1
Egenskaber for de tidsuafhængige løsninger ψn
1. Egenskab Funktionerne alternerer mellem at være lige og ulige, med hensyn til midten af brønden
x = a2 . ψ1 er lige, ψ2 er ulige, ψ3 er lige osv.
2. Egenskab Hver gang energiniveauet hæves, krydser grafen første aksen en ekstra gang, ψ1 krydser
ikke, ψ2 krydser en gang, ψ3 krydser to gange osv. Der må dog altid gælde at ψ (0) = ψ (a) = 0.
4
3. Egenskab
Funktionerne er indbyrdes ortogonale, således at
ˆ
∗
ψm (x) ψn (x) dx = δmn
Hvor δmn er det såkaldte Kronecker delta, hvorom der gælder at
{
δmn =
m ̸= n
m=n
0
1
4. Egenskab
Enhver anden funktion f (x) kan beskrives som en linear kombination af disse løsninger
f (x) =
∞
∑
cn ψn (x)
n=1
2.2.2
Den generelle løsning
Løsningen til bølgeligningen Ψ (x, t) for den uendelige brønd er givet ved
√
∞
( nπ )
∑
En
2
Ψ (x, t) =
cn
sin
x e−i ~ t
a
a
n=1
Hvor cn kan bestemmes ved
√ ˆ a
( nπ )
2
cn =
x Ψ (x, 0) dx
sin
a 0
a
(18)
(19)
Kender vi Ψ (x, 0) kan vi altså først bestemme koefficienterne cn ved at bruge (19), derefter kan vi
benytte (18) til at bestemme Ψ (x, t).
2.2.3
Energi i brønden
Det forholder sig således at sandsynligheden for at en tilfældig måling vil give et bestemt energiniveau
En , er givet ved
2
P (En ) = |cn |
(20)
Heraf følger det direkte at der må gælde at
∞
∑
2
|cn | = 1
n=1
Forventningsværdien ⟨H⟩ af systemets energi kan bestemmes ved
⟨H⟩ =
∞
∑
n=1
5
2
|cn | En
(21)
2.3
Den harmoniske oscillator
Potentialet antages nu at være som ved en harmonisk oscillator (stadig uafhængig af tiden)
V (x) =
2.3.1
1 2
1
kx = mω 2 x2
2
2
(22)
Nye operatorer
Der defineres to nye operatorer
1
(−ip + mωx)
2~mω
1
a− = √
(ip + mωx)
2~mω
a+ = √
Hvorom der gælder at
a+ ψn =
√
n + 1ψn+1 ,
(23)
(24)
√
a− ψ n =
nψn−1
Hertil kommer en ny notation af de andre operatorer
(
)
ˆ = ~ω a− a+ − 1
H
2
√
~
x
ˆ=
(a+ + a− )
2mω
√
~mω
pˆ = i
(a+ − a− )
2
Bemærk at rækkefølgen hvori disse opratorer benyttes er væsentlig.
2.3.2
Bølgefunktionen og energiniveauer
Der gælder nu om løsningerne ψn (x) til den tidsuafhængige Schrödinger ligning at
ψ0 (x) =
( mω ) 14
( mω
π~
)1 √
e− 2~ x ,
mω
2
E0 =
1
~ω
2
(25)
2mω − mω x2
3
4
xe 2~ ,
E1 = ~ω
π~
~
2
)
1 (
(
)
mω 2
1 mω 4 2mω 2
5
ψ2 (x) = √
x − 1 e− 2~ x ,
E2 = ~ω
~
2
2 π~
ψ1 (x) =
1
n
ψn (x) = √ (a+ ) ψ0 (x) ,
n!
(
En =
n+
1
2
)
~ω
Til at bestemme bølgefunktionen kan det stadig anvendes at
∑
cn ψn (x)
Ψ (x, 0) =
n
Ψ (x, t) =
∑
cn ψn (x) · e−iEn t/~ =
n
cn =
∑
n
ˆ
∗
ψn (x) Ψ (x, 0) dx
6
cn Ψn (x, t)
(26)
2.4
Den frie partikel
Lader vi potentialet alle steder være V (x) = 0 bliver shrödingerligningen
~2 d2 ψ
−
= Eψ
2m dx2
⇒
d2 ψ
= −k 2 ψ,
dx2
Løsningen til denne ligningen er af formen
√
)
(
2
i kx− ~k
2m t
Ψk (x, t) = Ae
,
2mE
hvor k = ±
, med
~
{
√
hvor k ≡
2mE
~
k > 0 b/olgerne bevæger sig mod h/ojre
k < 0 b/olgerne bevæger sig mod venstre
Problemet med denne løsning er at den ikke er normaliserbar og derfor ikke giver mening i den
fysiske verden. På trods af dette vil den generelle løsning stadig kunne gives ved en linear
kombination af de enkelte løsninger (en bølgepakke)
ˆ
(
)
2
1
i kx− ~k
2m t
Ψ (x, t) = √
ϕ (k) e
dk
(27)
2π
Hvor
1
ϕ (k) = √
2π
ˆ
Ψ (x, 0) e−ikx dx
(28)
Tanken er at de enkelte bølger kan inteferere med hinanden og at linearkombinationen derfor sagtens
kan gå mod 0 i ±∞.
2.5
2.5.1
Delta-funktionens potentiale
Bundne og frie tilstande
Fra klassisk mekanik kan en partikel befinde sig i to tilstande:
Bunden tilstand: Partiklen er bundet i en tilstand, fanget imellem to potentiale-”vægge”, som partiklens energi er for lav til at undslippe.
Fri tilstand: Partiklen besidder en energi der gør den i stand til at bestige alle maxima på potentialekurven, som dermed ikke begrænser partiklens bevægelsesfrihed.
I kvantemekanik vil partiklen kunne tunnelere en potentiale-”væg” og behøver dermed ikke at bevæge
sig over det lokale potentiale-maxima. Derfor er det kun potentialet i x = ±∞ som er af betydning.
{
E < [V (−∞) og V (∞)] ⇒ Bunden tilstand
E > [V (−∞) og V (∞)]
⇒ Fri tilstand
{
E < 0 ⇒ Bunden tilstand
(29)
E>0
⇒ Fri tilstand
Hvor det i (29) er forudsagt at potentialet er 0 i uendeligt, hvilket for det meste gælder i den
virkelige verden.
7
2.5.2
Delta-funktions-brønden
Deltafunktionen er karakteriseret ved
{
0 hvis x ̸= 0
δ (x) ≡
,
∞ hvis x = 0
ˆ
∞
med
δ (x) dx = 1
−∞
Delta funktionen har følgende egenskaber
ˆ
∞
−∞
f (x) δ (x − a) = f (a) δ (x − a)
ˆ ∞
f (x) δ (x − a) dx = f (a)
δ (x − a) = f (a)
(30)
(31)
−∞
Vi vælger nu et potentiale V (x) = −αδ (x), hvor α er en positiv konstant. I overensstemmelse med
(29) har vi 2 mulige tilstande.
I tilfældet hvor E < 0 (bundne partikler) vil
√
mα − mα|x|
ψ (x) =
e ~2 ,
~
E=−
mα2
2~2
(32)
I tilfældet hvir E > 0 (frie partikler) vil vi have to løsninger
ψ (x) = Aeikx + Be−ikx ,
x<0
ψ (x) = F eikx + Ge−ikx ,
x>0
Ifølge grænsebetingelserne må der gælde at ψ skal være kontinuerlig. Antager vi derudover at
bølgepakken omrinder fra venstre, vil bølgerne spredes i x = 0, men der vil ikke være tilbage
spredning hvor x > 0. Derfor sætter vi G = 0 og dermed ved vi at
B=
iβ
A,
1 − iβ
F =
1
A,
1 − iβ
β≡
mα
~2 k
(33)
Den relative sandsynlighed for at en partikel vil blive reflekteret ved x = 0 kaldes reflektions
koefficienten R og fortæller dig hvilken delmængde af det indkomne antal partikler som vil blive
reflekteret
2
|B|
β2
1
R=
(34)
2 = 1 + β2 =
2~2 E
1
+
|A|
mα2
Transmissions koefficienten T beskriver derimod den andel af indkomne partikler som transmitterer
(slipper igennem).
2
|F |
1
1
(35)
T =
2 = 1 + β2 =
mα2
1 + 2~
|A|
2E
Bemærk at summen af disse sandsynligheder er 1, samt at en højere energi giver større sandsynlighed
for transmission.
Igen er disse funktionerne ved E > 0 ikke normaliserbare, men en linear kombination af disse vil
stadig repræsentere en bølgepakke som beskriver partikelbevægelsen.
8
2.6
Den endelige potentiale brønd
Potentialet er givet ved
{
V (x) =
2.6.1
−V0
0
for −a ≤ x ≤ a
for
|x| > a
Bound states E < 0
Løsningen til denne er
Hvor κ =
√
−2mE
~


F · e−κx
for
x>a
D · cos (lx) for 0 < x < a
Ψ (x) =

ψ (−x)
for
x<0
√
og l =
Hvor z = la og z0 =
a
~
√
2m(E+V0 )
.
~
Grænsebetingelserne giver en betingelse på energien
√( )
z0 2
tan (z) =
−1
z
(36)
2mV0 . Dette giver de to grænsetilfælde
Bred, dyb brønd
Her vil z0 være meget stor og energien være givet ved
n2 π 2 ~2
En + V0 ∼
=
2
2m (2a)
(37)
Hvor En + v0 vil tilsvare energien over bunden af brønden. Højresiden ses at være den samme energi
som den uendelige brønd med bredde 2a, altså uendeligt mange bundne tilstande.
Smal, lav brønd
Mindskes z0 vil der forekomme færre og færre bundne tilstande indtil z0 <
enkelt bunden tilstand tilbage.
2.6.2
π
2,
hvor der kun er en
Spredte tilstande E > 0
Her vil løsningerne være


Hvor k =
√
2mE
~
F · e−iκx
for
x>a
C · sin (lx) + D · cos (lx) for −a < x < a
Ψ (x) =

A · e−ika + B · eika
for
x < −a
√
2m(E+V0 )
og l =
. Grænsebetingelserne giver transmissionskoefficienten
~
(
)
2a √
V02
1
2
=1+
sin
2m (E + V0 )
T
4E (E + V0 )
~
9
(38)
Energierne for perfekt transmission vil være givet ved
En + V0 =
n2 π 2 ~2
2m (2a)
2
Igen de energi som er tilladte ved den uendeligt dybe potentiale brønd.
10
(39)