pit
o
n
e
t
Mi haiten?
par
Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan
kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki
yo-kokeessa tarvittavat asiat.
n Lasket kynällä ja paperilla, mutta Mafynetti opettaa ja neuvoo videoiden ja
ratkaisujen avulla.
n Mafynetti huolehtii kertauksesta, joten et unohda oppimiasi asioita.
n Mafynetti on nyt kokonaan ilmainen!
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti
www.mafyvalmennus.fi
Matematiikan koe 2011
Diplomi-insinöörikoulutuksen yhteisvalinnassa
MAFY-valmennuksen mallivastaukset, 11.3.2012
Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet diplomi-insinööri Antti
Suominen ja filosofian maisteri Teemu Kekkonen. Antti on toiminut neljä
vuotta tuntiopettajana Teknillisessä korkeakoulussa ja sen jälkeen lukiossa.
Teemu Kekkonen on opettanut lukiossa viiden vuoden ajan pitkää ja lyhyttä matematiikkaa sekä fysiikkaa. Antti ja Teemu ovat perustaneet MAFYvalmennuksen ja opettavat sen kaikilla kursseilla ympäri vuoden. Nämä mallivastaukset ovat Antti Suominen Oy:n omaisuutta.
MAFY-valmennus on Helsingissä toimiva, matematiikan ja fysiikan valmennuskursseihin erikoistunut yritys. Palveluitamme ovat
• TKK-pääsykoekurssit
• arkkitehtiosastojen pääsykoekurssit
• yo-kokeisiin valmentavat kurssit
• yksityisopetus
Julkaisemme internet-sivuillamme kaiken palautteen, jonka asiakkaat antavat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneilla
ihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja rehellinen kuva siitä, mitä meiltä
voi odottaa.
Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön. Kopion tästä asiakirjasta voi ladata MAFY-valmennuksen internet-sivuilta
www.mafyvalmennus.fi. Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kielletty. Lukion matematiikan opettajana voit käyttää tätä tehtäväpakettia oppimateriaalina lukiokursseilla.
MAFY-valmennuksen yhteystiedot:
internet: www.mafyvalmennus.fi
s-posti:
[email protected]
puhelin: (09) 3540 1373
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
www.mafyvalmennus.fi
1. Ratkaise yhtälöt
(a) x − 10
=3
x
x
(b) 4 · 2 + 2 · 2−x = 9
(c) sin x = 1 − cos2 x, 0 ≤ x ≤ π
Ratkaisu.
(a)
10
= 3 k · x,
x
x2 − 10 = 3x
x2 − 3x − 10 = 0
x−
x=
3±
q
x 6= 0
(−3)2 − 4 · 1 · (−10)
2
3±7
x=
2
x = 5 tai x = −2
(b)
4 · 2x + 2 · 2−x = 9
4 · 2x + 2 · (2x )−1 = 9
Sijoitetaan 2x = U .
4U + 2U −1 = 9 k · U, määrittelyehto U 6= 0
4U 2 − 9U + 2 = 0
√
9 ± 81 − 32
U=
8
9±7
U=
8
1
U = 2 tai U =
4
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
1
www.mafyvalmennus.fi
Ratkaistaan x.
U = 2x k ln()
ln U = x · ln 2 k : ln 2
ln U
x=
k sij. U :n arvot
ln 2
ln 1
ln 2
x=
tai x = 4
ln 2
ln 2
ln 2−2
x=1
x=
ln 2
−2 ln 2
x=
ln 2
x = −2
Vastaus: x = 1 tai x = −2
(c) sin x = 1 − cos2 x, 0 ≤ x ≤ π
Koska sin2 x + cos2 x = 1, niin 1 − cos2 x = sin2 x.
sin x = sin2 x
sin2 x − sin x = 0
sin x(sin x − 1) = 0
sin x = 0
tai sin x − 1 = 0
x = nπ
sin x = 1
π
x = + 2πn
2
Välillä 0 ≤ x ≤ π olevat ratkaisut ovat x = 0, x =
π
2
ja x = π.
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
2
www.mafyvalmennus.fi
2. Nesteet A ja B on sekoitettu yhteen. Nesteen A osuus seoksen painosta on p
ja osuus tilavuudesta q.
(a) Mikä on nesteiden A ja B tiheyksien suhde?
(b) Olkoot p = 31 %, q = 37 % ja seoksen tiheys 0,889 kg/dm3 . Mitkä ovat
nesteiden A ja B tiheydet? Anna vastaukset kolmen desimaalin tarkkuudella.
Ratkaisu.
(a) Merkitään
V on seoksen tilavuus
m on seoksen massa
Tällöin
mA
mB
VA
VB
= pm
= (1 − p)m
= qV
= (1 − q)V
pm
qV
(1 − p)m
ρB = mB /VB =
(1 − q)V
ρA = mA /VA =
(1)
(2)
Tiheyksien suhde
ρA
=
ρB
Vastaus: Tiheyksien suhde on
p
m
q
V
(1−p)
m
(1−q)
V
=
p(1 − q)
q(1 − p)
p(1 − q)
.
q(1 − p)
(b) Yhtälöistä (1) ja (2) saadaan
kg
kg
p m
0,31
kg
·
=
· 0,889
= 0,7448 . . .
≈ 0,745
3
3
q v
0,37
dm
dm
dm3
1 − 0,31
kg
kg
kg
ρB =
· 0,889
= 0,9736 . . .
≈ 0,974
3
3
1 − 0,37
dm
dm
dm3
ρA =
kg
kg
Vastaus: ρA = 0,745 dm
3 ja ρB = 0,974 dm3 .
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
3
www.mafyvalmennus.fi
3. Laskeutumisen alkaessa lentokone lentää vaakasuoraan. Tällöin kone on korkeudella y = h ja vaakasuoralla etäisyydellä x = s kiitoradasta. Kone koskettaa kiitorataa origossa vaakalennossa.
Oletetaan, että laskeutumisen aikana
y = ax3 + bx2 + cx + d.
Kuinka korkealla kone on, kun sen vaakasuora etäisyys kiitoradasta on 13 s?
Ratkaisu.
y = ax3 + bx2 + cx + d
y 0 (x) = 3ax2 + 2bx + c
Lentorata y(x) kulkee pisteen (0, 0) kautta, joten
0 = a · 03 + b · 02 + c · 0 + d
d = 0.
Kohdassa x = 0 lentoradan tangentti on vaakasuora, joten
y 0 (0) = 0
3a · 02 + 2b · 0 + c = 0
c = 0.
Yhtälö ja derivaatta saavat muodon:
y = ax3 + bx2 ,
y 0 (x) = 3ax2 + 2bx
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
4
www.mafyvalmennus.fi
Kohdassa x = s lentoradan tangentti on vaakasuora, joten
y 0 (s) = 0
3as2 + 2bs = 0
2bs = −3as2 k : 2s
3
b = − as.
2
Lentorata y(x) kulkee pisteen (s, h) kautta, joten
3
h = a · s3 − as · s2
2 2
1 3 h = − as · − 3
2
s
2h
a=− 3
s
Yhtälö on siis
1


2h
3
2 h  1 2
y = − 3 x3 − · 
− 3  s
·x
s
2
s
1
y=−
s2
2h 3 3h 2
x + 2x .
s3
s
s
Lasketaan korkeus kohdassa x = .
3
y
s
3
=−
3
2h
s
·
s3
3
2
+
3h s
s2 3
1
1
2h s3
3h s2
=− 3
+ 2
s ·27
s ·9
1
=
7
h
27
Vastaus: Kone on korkeudella
7
h.
27
1
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
5
www.mafyvalmennus.fi
4. Robottikäsi muodostuu kahdesta vaakatasossa liikkuvasta varresta OP ja
P Q. Varsilla on yhteinen nivel P . Käden piste O on kiinnitetty origoon.
Varsien pituudet ovat |OP | = 3 ja |P Q| = 5.
(a) Käden tarttumapiste Q on pisteessä (−1, 3). Missä on nivelpiste P ?
(b) Kättä liikutetaan siten, että tarttumapiste Q siirtyy lyhintä mahdollista reittiä pisteestä (−3, 2) pisteeseen (2, 0). Kuinka pitkän matkan Q
kulkee?
Ratkaisu.
(a)
Pisteelle P (x, y) pätee
(
|OP | = 3
|P Q| = 5





(
q
q
x2 + y 2 = 3 k ( )2
(x + 1)2 + (y − 3)2 = 5 k ( )2
x2 + y 2 = 9 k · (−1)
x2 + 2x + 1 + y 2 − 6y + 9 = 25
(
(1)
−x2 − y 2
+ 9=0
2
2
x + y + 2x − 6y − 15 = 0
2x − 6y − 6 = 0
2x = 6y + 6 k : 2
x = 3y + 3
(2)
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
6
www.mafyvalmennus.fi
Sijoitetaan (2) yhtälöön (1).
(3y + 3)2 + y 2 = 9
9y 2 + 18y + 9 + y 2 = 9
10y 2 + 18y = 0
2y(5y + 9) = 0
2y = 0 tai 5y + 9 = 0 k : 5
9
y=0
y=−
5
Vastaavat x:n arvot ovat
9
12
x = 3 · 0 + 3 = 3 tai x = 3 · −
+3=−
5
5
, − 59 .
Vastaus:P = (3, 0) tai P = − 12
5
(b)
Robottikäsi ulottuu origosta matkan OQ. Kuvasarjan A ensimmäisen
kuvan mukaisesti OQ on kolmion OP Q sivu. Robottikäsi ulottuu kauemmas, kun kulmaa P kasvatetaan. Kun P on oikokulma, niin OQ on
suurimmillaan. Tällöin kolmio OP Q typistyy janaksi OQ, jonka pituus
on 3 + 5 = 8. Kuvasarjan B mukaisesti OQ lyhenee, kun kulmaa P
pienennetään. OQ on lyhin, kun kulma P on 0°, jolloin kolmio OP Q
typistyy janaksi P Q, jonka pituus on 5 − 3 = 2. Kolmion OP Q sivun
OQ pituus on siis välillä 2 . . . 8 ja toisaalta kolmiota voidaan pyörittää
mielivaltaiseen asentoon pisteen O suhteen. Näin ollen robottikäsi ulottuu mihin tahansa pisteeseen, jonka etäisyys origosta on vähintään 2 ja
enintään 8.
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
7
www.mafyvalmennus.fi
Piste Q ei voi liikkua origokeskisen 2-säteisen ympyrän sisäpuolella, joten pisteestä (−3, 2) ei voida mennä suoraan pisteeseen (2, 0). Lyhin
mahdollinen reitti on, kun kuljetaan pisteestä (−3, 2) suoraan pisteeseen
(0, 2) ja sen jälkeen pisteeseen (2, 0) origokeskisen 2-säteisen ympyrän
kaarta pitkin neljännesympyrän verran. Kuljettu matka on tällöin
S = 0 − (−3) +
1
· 2π · 2 = 3 + π
4
Vastaus: Q kulkee matkan 3 + π.
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
8
www.mafyvalmennus.fi
5. Vuonna 2011 uudentyyppisen influenssaviruksen aiheuttama sairastumistodennäköisyys on kaikilla 20 %. Yleisesti henkilön alttius sairastua tarkasteltavana vuonna riippuu hänen hankkimastaan immuniteetista:
Jos henkilö on ollut sairas tarkasteltavaa vuotta edeltävänä vuonna, on hänen
todennäköisyytensä sairastua tarkasteltavana vuonna 30 % edellisen vuoden
vastaavasta todennäköisyydestä.
Jos henkilö on ollut terve tarkasteltavaa vuotta edeltävän vuoden, on hänen
todennäköisyytensä pysyä terveenä koko tarkasteltava vuosi 45 % edellisen
vuoden vastaavasta todennäköisyydestä.
(a) Henkilö ei sairasta vuonna 2011. Millä todennäköisyydellä hän sairastaa
vuonna 2012?
(b) Henkilö ei sairasta vuonna 2011. Millä todennäköisyydellä hän sairastaa
vuonna 2013?
Ratkaisu.
(a) Merkitään pn :llä todennäköisyyttä, että henkilö sairastuu vuonna n. Todennäköisyys sille, että henkilö pysyy terveenä vuonna n on vastatapahtuman todennäköisyys p¯n . Mikäli henkilö sairastuu vuonna n, niin tehtävänannon mukaan
pn+1 = 0,3pn .
(1)
Mikäli henkilö pysyy terveenä vuonna n, niin tehtävänannon mukaan
p¯n+1
1 − pn+1
1 − pn+1
pn+1
= 0,45¯
pn
= 0,45(1 − pn )
= 0,45 − 0,45pn
= 0,45pn + 0,55
(2)
Tiedetään, että p2011 = 0,2. Kaavan (2) mukaan
p2012 = 0,45p2011 + 0,55
= 0,45 · 0,2 + 0,55
= 0,64
Vastaus: Kysytty todennäköisyys on 0,64.
(b) Henkilö voi tulla sairaaksi vuonna 2013 kahdella eri tavalla. Joko niin,
että hän on terve vuonna 2012 ja sairastuu vuonna 2013 tai niin, että hän
sairastuu sekä vuonna 2012 että 2013. Nimetään nämä tapahtumat TTS
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
9
www.mafyvalmennus.fi
ja TSS, jossa ensimmäinen T viittaa vuoteen 2011. Tutkitaan erikseen
tapahtumien TTS ja TSS todennäköisyydet.
TTS:
p2012 = 0,64
Kaavan (2) mukaan
p2013 = 0,45p2012 + 0,55
= 0,45 · 0,64 + 0,55
= 0,838
Todennäköisyys
P (TTS) = p¯2012 · p2013
= (1 − 0,64) · 0,838
= 0,30168
TSS:
p2012 = 0,64
Kaavan (1) mukaan
p2013 = 0,3p2012
= 0,3 · 0,64
= 0,192
Todennäköisyys
P (TSS) = p2012 · p2013
= 0,64 · 0,192
= 0,12288
Kysytty todennäköisyys on
P (TTS tai TSS) = P (TTS) + P (TSS)
= 0,30168 + 0,12288
= 0,42456
Vastaus: Kysytty todennäköisyys on 0,42.
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
10
www.mafyvalmennus.fi
6. Käyrän y = f (x) kaarenpituus, K, välillä a ≤ x ≤ b on
K=
Z bq
1 + (f 0 (x))2 dx.
a
Laske käyrän y = 41 (x2 − 2 ln |x|) kaarenpituus välillä −2 ≤ x ≤ −1.
Ratkaisu. Merkitään
1
y = f (x) = (x2 − 2 ln |x|).
4
Tällöin
2
1
1
1
2x −
= x − x−1 .
f (x) =
4
x
2
2
0
Kaarenpituus on
Z −1
s
1+
−2
=
Z −1
−2
=
Z −1
s
1
x
1+
2
s
1+
−2
=
Z −1
s
−2
=
Z −1
1
1
x − x−1
2
2
s
−2
s
Z −1 2
1
x
2
2
1
x
2
2
1
x
2
2
2
dx
2
1 1
1 −1
− 2 · x · x−1 +
x
2 2
2
dx
1 −1
x
2
2
1 −1
+
x
2
2
1 1
1 −1
+ 2 · x · x−1 +
x
2 2
2
2
−
1
2
1
+
2
+
dx
dx
dx
2
1
1
=
x + x−1 dx
2
2
−2
Z −1 1
1
−1 =
x + x dx
2
−2 2
Tutkitaan funktion g(x) = 12 x+ 12 x−2 merkkiä välillä [−2, −1]. Määrittelyehto
on x 6= 0. Nollakohdat:
1
1
x + x−1 = 0 k · 2x
2
2
x2 + 1 = 0
x2 = −1
ei ratkaisua
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
11
www.mafyvalmennus.fi
g(x) on määritelty välillä [−2, −1] eikä siellä ole nollakohtia, joten g(x) on
saman merkkinen koko välillä.
g(−1,5) =
1
1
13
· (−1,5) + · (−1,5)−1 = − < 0
2
2
12
Näin ollen
Z −1 1
x+
−2
2
Z −1
1
1 −1 1
− x − x−1 dx
x dx =
2
2
2
−2
−1 =
−2
1
1
− x2 − ln |x|
4
2
1
1
1
1
= − · (−1)2 − ln | − 1| + · (−2)2 + ln | − 2|
4
2
4
2
1
1
= − − 0 + 1 + ln | − 2|
4
2
3 1
= + ln 2
4 2
Vastaus: Kysytty kaarenpituus on
3 1
+ ln 2.
4 2
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
12