1. No category

Tutkielma tasavireisestä, pythagoralaisesta ja diatonisesta sävelasteikosta
Teuvo Laurinolli (8.2.2015)
Johdanto
Tarkastelemme sävelkorkeuksia (värähdystaajuuksia) yhden oktaavin alueella (esim. C1 . . . C2).
Jos alarajan (esim. perussävelen C1) korkeus on f, niin oktaavin määritelmän mukaan ylärajan (C2)
korkeus on 2f. Tässä merkitsemme oktaavin ala- ja ylärajaa luvuilla 1 ja 2. Kyseiselle oktaavialalle
sijoittuvat sävelkorkeudet merkitsemme vastaavasti luvulla xf, missä 1 ≤ 𝑥 ≤ 2. Musisointia varten
oktaavialalle on asetettava sopivin välein joitakin jakopisteitä (eli nuotteja), joista muodostuu
sävelasteikko. Tässä tarkastelemme aluksi kahta historiallisesti vakiintunutta kromaattista
sävelasteikkoa: tasavireistä ja pythagoralaista. Lopuksi tutkimme tavallista diatonista asteikkoa.
Tasavireinen asteikko
Tasavireinen asteikko saadaan muodostamalla matemaattisesti kolmentoista luvun
1 = 𝑝! , 𝑝! , 𝑝! , 𝑝! , 𝑝! , 𝑝! , 6, 𝑝! , 𝑝! , 𝑝! , 𝑝!" , 𝑝!! , 𝑝!" = 2 geometrinen jono, joka alkaa oktaavin alarajasta 1 ja päättyy ylärajaan 2. Asteikon seuraava
jakopiste (sävelkorkeus) saadaan aina edellisestä kertoimella 𝑝, jota historiallisista syistä kutsutaan
!"
puolisävelaskeleeksi. Kertoimen p lukuarvo voidaan ratkaista yhtälöstä 𝑝!" = 2, josta 𝑝 = 2 =
2! !" ≈ 1,059463. Kun piano viritetään tasavireisesti (kuten tapana on), niin esim. oktaavialalla
C1 = 262 Hz . . . C2 = 523 Hz olevien koskettimien säveltaajuudet ovat taulukon 1 mukaiset.
k
0
1
2
3
4
5
6
𝑝!
1
1,05946
1,12246
1,18921
1,25992
1,33484
1,41421
𝑝! ∙ 262
262
277
294
311
330
349
370
Tunnus
C1
Db ∎
D
Eb ∎
E
F
F# ∎
k
7
8
9
10
11
12
𝑝!
1,49831
1,58740
1,68179
1,78180
1,88775
2
𝑝! ∙ 262
392
415
440
466
494
523
Tunnus
G
Ab ∎
A
B ∎
H
C2
Taulukko 1. Tasavireisen asteikon jakopisteet (nuotit) oktaavialalla C1 . . . C2 puolisävelaskeleen
välein. Merkki ∎ tarkoittaa, että säveltä vastaa pianon musta kosketin.
Pythagoralainen asteikko
Tasavireinen asteikko on musiikin historiassa uusi tulokas. Paljon sitä vanhempia ovat
kuuloaistimuksella havaittuun harmoniaan perustuvat asteikot, joista tunnetuimman arvellaan
olevan itsensä Pythagoraan (582-496 eaa) kehittelemä. Hän havaitsi, että sävelet, joiden
korkeuksien suhde eli intervalli voidaan ilmaista pienillä kokonaisluvuilla, soivat harmonisesti
1 yhteen. Niinpä hän perustikin asteikkonsa priimin (1:1) ja oktaavin (2:1) jälkeen1 harmonisimpaan
intervalliin, ns. puhtaaseen kvinttiin (3:2).
Jos merkitsemme oktaavin ala- ja ylärajan sävelkorkeuksia jälleen luvuilla 1 ja 2, niin
pythagoralaisen “puhtaan” asteikon ensimmäinen jakopiste saadaan siirtymällä alarajalta 1 kvintin
verran ylöspäin kertolaskulla 1 ∙ 3 2 = 3 2 = 1,5. Taulukosta 1 näemme, että tämä piste on
hyvin lähellä tasavireisen asteikon G-pistettä 1,49831. Pythagoralaisella asteikolla nimeämme siis
pisteen 3/2 (puhtaaksi) säveleksi G.
Toinen jakopiste saadaan siirtymällä edellisestä taas kvintin verran ylöspäin kertolaskulla
G ∙ 3 2 = 3 2 ∙ 3 2 = 9 4 = 2,25. Mutta tämä piste menee oktaavialamme yli, joten
palautamme sen oktaavia alemmaksi (↓=) jakolaskulla 9 4 ↓= 9 4 2 = 9 8 = 1,125.
Vertaamalla taulukkoon 1 nimeämme tämän pythagoralaisen puhtaan asteikon säveleksi D.
Jatkamalla kvinttihyppyjä ylöspäin ja suorittamalla tarvittaessa palauttamisen alaspäin (↓=)
perusoktaavialallemme saamme puhtaat arvot sävelille A, E, H ja F#.
3. yläkvintti:
D ∙ 3 2 = 9 8 ∙ 3 2 = 27 16 = 1,6875 (A) ,
4. yläkvintti:
A ∙ 3 2 = 27 16 ∙ 3 2 = 81 32 ↓= 81 64 = 1,26563 (E) ,
5. yläkvintti:
E ∙ 3 2 = 81 64 ∙ 3 2 = 243 128 = 1,89844 (H) ,
6. yläkvintti:
H ∙ 3 2 = 243 128 ∙ 3 2 = 729 256 ↓= 729 512 = 1,42383 F# .
Jatkaminen pidemmälle ylöspäin tuottaisi niin suuria lukuja, ettei harmonia enää voisi havaita. Siksi
etsimmekin muiden taulukossa 1 esiintyvien sävelten vastineet tekemällä kvinttihyppyjä
perussävelestä 1 alaspäin käyttämällä käänteistä kerrointa 2/3. Tarvittaessa siirrämme saadun
pisteen ylöspäin ↑= perusoktaavialallemme kertoimella 2.
1. alakvintti:
C ∙ 2 3 = 1 ∙ 2 3 = 2 3 ↑= 4 3 ≈ 1,33333 (F) ,
2. alakvintti:
F ∙ 2 3 = 4 3 ∙ 2 3 = 8 9 ↑= 16 9 ≈ 1,77778 (B) ,
3. alakvintti:
B ∙ 2 3 = 16 9 ∙ 2 3 = 32 27 ≈ 1,18519 (Eb) ,
4. alakvintti:
Eb ∙ 2 3 = 32 27 ∙ 2 3 = 64 81 ↑= 128 81 ≈ 1,58025 (Ab) ,
5. alakvintti:
Ab ∙ 2 3 = 128 81 ∙ 2 3 = 256 243 ≈ 1,0535 (Db) ,
Näin olemme löytäneet puhtaisiin kvintti-intervalleihin perustuvat vastineet kaikille taulukossa 1
esitetyille tasavireisen asteikon jakopisteille. Huomaa, että mustalle koskettimelle osuvan
sävelpisteen nimeksi on ylöspäin kiivettäessä valittu ylennysmerkillinen (F#) ja alaspäin kavutessa
alennusmerkillinen (B=Hb, Eb, Ab, Db) vaihtoehto noudattaen ns. kvinttiympyrän vakiintunutta
merkintätapaa.
1 Priimi-­‐ ja oktaavi-­‐intervallit eivät tuota oktaavialalle muita jakopisteitä kuin ala-­‐ ja ylärajan. 2 Taulukossa 2 on vielä vertailu puhtaan pythagoralaisen ja tasavireisen asteikon vastaavista
jakopisteistä. Taulukon näkökulman mukaan pythagoralaiset murtolukuarvot ovat ”oikeita” ja
tasavireiset niiden approksimaatioita, joiden prosentuaalinen ”virhe” on viimeisessä sarakkeessa.
Tunnus
C
Db
D
Eb
E
F
F#
G
Ab
A
B
H
C
Puhdas
1
256/243
9/8
32/27
81/64
4/3
729/512
3/2
128/81
27/16
16/9
243/128
2
Tasavireinen
1
1,05946
1,12246
1,18921
1,25992
1,33484
1,41421
1,49831
1,58740
1,68179
1,78180
1,88775
2
Ero %
0
+0,57
–0,23
+0,34
–0,45
+0,11
–0,68
–0,11
+0,45
–0,34
+0,23
–0,56
0
Taulukko 2. Puhtaan pythagoralaisen asteikon (jakopisteet murtolukuarvoja) ja tasavireisen
asteikon (jakopisteet – ala- ja ylärajaa lukuunottamatta – irrationaalilukuja) vertailu.
Tasavireiseen asteikkoon verrattuna pythagoralaisen asteikon etuna on kokonaislukusuhteisiin
perustuvien intervallien puhtaampi harmonia. Haittana on, etteivät pythagoralaisen asteikon
peräkkäisten nuottien väliset suhdeluvut (pythagoralaiset puoliaskeleet) ole keskenään
samansuuruisia, sillä asteikolla esiintyy kahta erisuuruista puoliaskelta 𝑝! ja 𝑝! .
Taulukon 2 mukaan ensimmäistä Pythagoraan puoliaskelta C → Db vastaa suhdeluku
𝑝! = Db C = 256 243 1 = 256 243 ≈ 1,0535.
Vastaavasti toista Pythagoraan puoliaskelta Db → D vastaa suhdeluku
𝑝! = D Db = 9 8
256 243 = 2187 2048 ≈ 1,06787.
Huomaamme, että 𝑝! ≠ 𝑝! .
3 Alla olevaan taulukkoon 3 on merkitty pythagoralaisen asteikon puoliaskeleet (niitä vastaavat
suhdeluvut, ylemmän suhde alempaan).
C1
Db
𝑝!
D
𝑝!
Eb
𝑝!
E
𝑝!
F
𝑝!
F#
𝑝!
G
𝑝!
Ab
𝑝!
A
𝑝!
B
𝑝!
H
𝑝!
C2
𝑝!
Taulukko 3. Ylärivillä oktaavivälillä C1-C2 olevat peräkkäiset nuotit ja alarivillä niiden väliset
väliset puoliaskeleet 𝑝! ja 𝑝! pythagoralaisella asteikolla.
Tasavireisellä asteikollahan kaikki peräkkäisten jakopisteiden väliset puoliaskeleet ovat
samansuuruisia. Jokaisen puoliaskeleen suhdeluku 𝑝 =
!"
2 ≈ 1,059463.
Musiikissa transponointi eli sävellajin muuttaminen tarkoittaa sitä, että melodia soitetaan
alkuperäistä nuotinnusta korkeammalta tai matalammalta. Tasavireisellä asteikolla transponointi
käy helposti: alkuperäiset nuotit (niiden sävelkorkeudet) vain kerrotaan transponointitekijällä eli
luvulla 𝑝! , missä k on haluttua sävelkorkeuden muutoksen puoliaskelmäärää osoittava
kokonaisluku. Jos sävelkorkeutta nostetaan, niin 𝑘 > 0; jos lasketaan, niin 𝑘 < 0.
Jos esimerkiksi C-duuriin kirjoitettu sävelmä transponoidaan kaksi puoliaskelta korkeammalle eli
D-duuriin, niin transponointitekijä on 𝑝! ≈ 1,12246. Tällä tekijällä kertominen nostaa sävelen C
säveleksi D (eli C → D) ja kaikki muutkin nuotit siirtyvät kaksi puoliaskelta ylemmille pianon
koskettimille (esim. F → G ja F# → Ab) ilman, että pianoa tarvitsee virittää uudelleen.
Pythagoralaisella asteikolla vastaava transponointitekijä C:stä D:hen on taulukon 3 mukaan
𝑝! 𝑝! =
256 2187 9
∙
= ,
243 2048 8
jolloin nuotti F = 4/3 transponoituu nuotiksi
F→
9
9 4 3
∙F= ∙ = =G
8
8 3 2
aivan kuten tasavireiselläkin asteikolla.
Sensijaan nuotti F# = 729/512 transponoituu nuotiksi
F# →
9
9 729 6561
∙ F# = ∙
=
≈ 1,60181 ,
8
8 512 4096
joka ei nyt osukaan täsmälleen nuotin Ab = 128/81 ≈ 1,58025 kohdalle.
Jos siis pianon koskettimet olisi viritetty pythagoralaisen asteikon mukaisesti, niin sävellajin muutos
4 C → D vaatisi pianon virittämistä uudelleen, mikäli intervallit halutaan säilyttää puhtaina.
Diatoninen asteikko
Diatoninen asteikko saadaan jättämällä kromaattisesta 12 askeleen asteikosta pois pianon mustia
koskettimia vastaavat sävelet Db, Eb, F#, Ab, B. Asteikko koostuu siis pianon valkoisia koskettimia
vastaavista sävelistä C, D, E, F, G, A, H, joille on annettu myös tavunimet do, re, mi, fa, sol, la, ti.
Taulukossa 4 ovat diatonisen asteikon C1 - C2 sävelkorkeudet pythagoralaisella puhtaalla
asteikolla ja tasavireisellä asteikolla
Tunnus
C
D
E
F
G
A
H
C
Puhdas as
1
9/8 ≈ 1,12500
81/64 ≈ 1,26563
4/3 ≈ 1,33333
3/2 = 1,5
27/16 = 1,68750
243/128 = 1,89844
2
Tasavireinen asteikko
𝑝! = 1
𝑝! = 1,12246
𝑝! = 1,25992
𝑝! = 1,33484
𝑝! = 1,49831
𝑝! = 1,68179
𝑝!! = 1,88775
𝑝!" = 2
Ero %
0
– 0,23
– 0,45
+ 0,11
– 0,11
– 0,34
– 0,56
0
Taulukko 4. Pianon valkoisia koskettimia vastaava diatoninen sävelasteikko. Luvut ilmaisevat
sävelen korkeuden suhteessa perussäveleen (tässä C).
Diatonisessa asteikossa peräkkäisten sävelten väliset askeleet eroavat merkittävästi. Seitsemästä
askeleesta viisi on kokoaskeleita (C → D, D → E, F → G, G → A ja A → H) ja kaksi puoliaskeleita
(E → F ja H → C).
Tasavireisellä asteikolla puoliaskelta vastaa kerroin 𝑝 =
𝑝! =
!
!"
2 ≈ 1,05946 ja kokoaskelta kerroin
2 ≈ 1,12246.
Pythagoralaisella puhtaalla asteikolla puoliaskelta vastaa kerroin 256/243 ≈ 1,0535 ja kokoaskelta
kerroin 9/8 ≈ 1,125.
*
*
*
*
*
*
*
5