1. No category

Stokastisista differentiaaliyht¨
al¨
oist¨
a
1
'
$
1
Stokastisista differentiaaliyht¨
alo
a
¨ist¨
1.1
Kalvo 1
Tavallisista differentiaaliyht¨
al¨
oist¨
a
• Differentiaaliyhta
oiden ratkaisut ovat funktioita. Ne kuvaavat
¨l¨
reaalimaailman prosessien muutosta tai dynamiikkaa annetulla
ajan jaksolla
• Jos halutaan differentiaaliyht¨
al¨
on yksik¨
asitteinen ratkaisu, niin
pit¨
aisi tiet¨
a¨
a alkuehto x(0) = x0 . T¨
all¨
oin, jos l¨
ahdet¨
a¨
an liikkeelle
pisteest¨
a x0 hetkell¨
a t = 0, niin funktio on t¨
aydellisesti m¨
a¨
ar¨
atty
tulevaisuudessa, eli kun t > 0.
• Differentiaaliyhta
oiden eksplisiittiset ratkaisut ovat
¨l¨
poikkeuksellisia, yleens¨
a on turvauduttava
differentiaaliyht¨
al¨
oiden numeerisiin ratkaisuihin.
&
%
'
$
• Integroimalla differentiaaliyht¨
al¨
o
x0 (t) =
dx(t)
= a(t, x(t)),
dt
x(0) = x0
puolittain, saadaan integraaliyhta
o:
¨l¨
Z t
x(t) = x(0) +
a(s, x(s))ds.
0
Kalvo 2
T¨
at¨
a muotoa ei yleens¨
a k¨
aytet¨
a etsitt¨
aess¨
a etsitt¨
aess¨
a
differentiaaliyht¨
al¨
on ratkaisua, mutta t¨
ast¨
a voidaan saada idea,
kuinka stokastinen differentiaaliyht¨
al¨
o voidaan m¨
a¨
aritell¨
a:
stokastisena integraaliyht¨
al¨
on¨
a.
1.2
Ito’n stokastiset differentiaaliyht¨
al¨
ot
Mik¨
a on stokastinen differentiaaliyht¨
al¨
o?
&
%
Stokastisista differentiaaliyht¨
al¨
oist¨
a
2
'
$
Tarkastellaan deterministist¨
a differentiaaliyht¨
al¨
o¨
a
dx(t) = a(t, x(t))dt,
x(0) = x0 .
Helpoin keino saada satunnaisuutta yht¨
al¨
o¨
on on satunnaistaa
alkuehto. Eli ratkaisusta x(t) tulee t¨
all¨
oin stokastinen prosessi
(Xt , t ∈ [0, T ]):
dXt = a(t, Xt )dt,
Kalvo 3
X0 (ω) = Y (ω).
T¨
allaista yht¨
al¨
o¨
a voidaan kutsua satunnaiseksi differentiaaliyht¨
al¨
oksi.
Se ratkaisu ei vaadi stokastista laskentaa, vaan voimme k¨
aytt¨
a¨
a
klassisia menetelmia huomioimalla alkuehdon satunnaisuuden.
Yleisemmin differentiaaliyht¨
al¨
on satunnaisuus esitet¨
a¨
an lis¨
a¨
am¨
all¨
a
siihen kohina-termi:
dXt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt )dBt ,
X0 (ω) = Y (ω),
(1.1)
&
%
'
$
miss¨
a B = (Bt , t ≥ 0) on Brownin liike ja a(t, x) ja b(t, x) ovat
deterministisi¨
a prosesseja. Ratkaisu X, jos se on olemassa, on t¨
all¨
oin
stokastinen prosessi. Ratkaisun X = (Xt , t ∈ [0, T ]) satunnaisuus
ilmenee t¨
all¨
oin alkuehdossa sek¨
a kohinassa, jonka generoi Brownin
liike.
Kalvo 4
Yksinkertainen yht¨
al¨
on (1.1) tulkinta kertoo, ett¨
a muutos
dXt = Xt+dt − Xt aiheutuu ajan muutoksen dt, tekij¨
all¨
a a(t, Xt ), ja
Brownin liikkeen muutoksen dBt = Bt+dt − Bt , kerrottuna tekij¨
all¨
a
b(t, Xt ) kombinaatiosta. Mutta koska Brownin liikkeell¨
a ei ole
differentioituvat otospolut, niin seuraava kysymys nousee esiin
Miss¨
a mieless¨
a yht¨
al¨
o¨
a (1.1) voidaan tulkita?
Esiteta
al¨
o stokastisena integraaliyht¨
al¨
on¨
a
¨a
¨n yht¨
Z t
Z t
Xt = X0 +
a(s, Xs )ds +
b(s, Xs )dBs ,
0
&
0 ≤ t ≤ T,
(1.2)
0
%
Stokastisista differentiaaliyht¨
al¨
oist¨
a
3
'
$
miss¨
a ensimm¨
ainen integraali on Riemaan-integraali ja toinen Ito
integraali. T¨
at¨
a yht¨
al¨
o¨
a kutsutaan Iton stokastiseksi
differentiaaliyht¨
al¨
oksi.
Brownin liikett¨
a kutsutaan Iton stokastisen differentiaaliyht¨
al¨
on
ajavaksi prosessiksi.
Kalvo 5
Mik¨
a on Iton stokastisen differentiaaliyht¨
al¨
on ratkaisu? T¨
ah¨
an ei ole
yksik¨
asitteist¨
a vastausta. Stokastisille differentiaaliyht¨
al¨
oille
l¨
oydet¨
a¨
an kahdenlaisia ratkaisuja, heikkoja ja vahvoja ratkaisuja.
Iton stokastisen differentiaaliyht¨
al¨
on vahva ratkaisu on stokastinen
prosessi X = (Xt , t ∈ [0, T ]), joka toteuttaa seuraavat ehdot
• X on adaptoitu Brownin liikkeen generoimaan filtraatioon eli
hetkell¨
a t X on Brownin liikkeen Bs , s ≤ t funktio.
• Integraali (1.2) on hyvin m¨
a¨
aritelty sek¨
a Riemannin ett¨
a Iton
stokastisena integraalina.
&
%
'
$
• X on Brownin liikkeen polkujen ja kerroinfunktioiden a(t, x) ja
b(t, x) funktio.
Edella
¨ olevan nojalla vahva ratkaisu pohjautuu Brownin liikkeen
polkuihin. Jos Brownin liike korvataan toisella Brownin liikkeell¨
a
saadaan toinen vahva ratkaisu.
Mik¨
a on heikko ratkaisu?
Kalvo 6
Heikoilla ratkaisuilla polkujen k¨
ayt¨
os ei ole t¨
arke¨
a¨
a, silloin olemme
kiinnostuneita vain prosessin X jakaumasta. Heikko ratkaisu on
riitta
¨va
¨ antamaan prosessin ominaisuuksia, kuten odotusarvo,
varianssi tai kovarianssi, n¨
aiden l¨
oyt¨
amiseen ei ole v¨
altt¨
am¨
at¨
ont¨
a
tuntea X:n otospolkuja.
Iton stokastisen differentiaaliyht¨
al¨
on vahva tai heikko ratkaisu X on
diffuusio. Erityisesti, jos a(t, x) = 0 ja b(t, x) = 1, niin n¨
ahd¨
a¨
an, ett¨
a
Brownin liike on diffuusio prosessi.
&
%
Stokastisista differentiaaliyht¨
al¨
oist¨
a
4
'
$
Ratkaisujen olemassaolo on tietenkin t¨
arke¨
a kysymys:
Oletetaan, ett¨
a alkuehdolla X0 on ¨
a¨
arellinen toinen momentti
2
EX0 < ∞ ja se on riippumaton Brownin liikkeest¨
a (Bt , t ≥ 0).
Oletetaan lisa
¨ksi, etta
¨ kaikille t ∈ [0, T ] ja x, y ∈ R kerroinfunktiot
a(t, x) ja b(t, x) toteuttavat seuraavat ehdot:
• Funktiot ovat jatkuvia.
Kalvo 7
• Funktiot toteuttavat Lipschitz ehdon toisen muuttujan suhteen
|a(t, x) − a(t, y)| + |b(t, x) − b(t, y)| ≤ K|x − y|.
T¨
all¨
oin Iton stokastisella differentiaaliyht¨
al¨
oll¨
a on yksik¨
asitteinen
vahva ratkaisu X joukossa [0, T ].
Kalvo 8
Kirjasta Grigoriu, M. , Stochastic Calculus application in science and
engineering. Birkh¨
auser, Boston. 2002. kuten muistakin
la
¨hdeluettelon kirjoista lo
¨ytyy esimerkkeja
¨ ratkaisujen olemassa oloon
&
%
'
$
ja ratkaisutyyppeihin liittyen. Nyt siirryta
¨a
¨n tarkastelemaan lyhyita
¨
esimerkkej¨
a, joista voi saada hieman mielikuvaan, millaisia
stokastiset differentiaaliyht¨
al¨
ot ovat.
&
%
Stokastisista differentiaaliyht¨
al¨
oist¨
a
5
'
$
1.3
Muutamia esimerkkej¨
a
Teorian soveltaminen ei v¨
altt¨
am¨
att¨
a ole vaikeaa, ymm¨
art¨
aminen
kuitenkin vie aikaa ja on vaivalloista. Seuraavana k¨
ayd¨
a¨
an muutamia
esimerkkej¨
a stokastisista differentiaaliyht¨
al¨
oist¨
a. Toivottavasti n¨
am¨
a
innostavaa kuulijaa tutustumaan teoriaankin syv¨
allisemmin.
Kalvo 9
1.4
Ornstein-Uhlenbeck prosessi
O–U -prosessi voidaan ma
¨a
¨ritella
¨ era
¨a
¨n stokastisen
differentiaaliyht¨
al¨
on ratkaisuna. T¨
ass¨
a tapauksessa tarkastellaan
partikkelin nopeutta, eik¨
a niink¨
a¨
an sen paikkaa hetkell¨
a t.
Tarkastellaan nopeuden muutosta dU (t) Brownin liikkeen
Kalvo 10
&
%
'
$
partikkelille ajassa t. Ta
¨llo
¨in differentiaaliyhta
¨lo
¨ksi saadaan
α2
dU (t) = −λU (t) dt + αdB (t) , kun t ≥ 0 ja U (0) ∼ N 0,
.
2λ
(1.3)
Ensimm¨
ainen termi on deterministinen ja se kertoo keskim¨
a¨
ar¨
aisen
nopeuden hetkell¨
a t, ja toinen termi taas on stokastinen ja se
kuvastaa satunnaisia t¨
orm¨
ayksi¨
a ymp¨
ar¨
oiviin partikkeleihin.
T¨
orm¨
aysten voimakkuus per¨
akk¨
aisill¨
a pienill¨
a aikav¨
aleill¨
a voidaan
esitt¨
a¨
a riippumattomien, odotusarvoltaan nolla olevien
satunnaismuuttujien avulla, nyt Brownin liikkeen avulla. Kaavassa
(1.3) merkinta
¨ B (t) tarkoittaa Brownin liiketta
¨.
Ratkaistaan seuraavaksi kyseinen stokastinen lineaarinen
&
%
Stokastisista differentiaaliyht¨
al¨
oist¨
a
6
'
$
differentiaaliyht¨
al¨
o. Aluksi kerrotaan termill¨
a eλt
dU (t)
αdB (t)
= −λU (t) +
dt
dt
dU (t)
αdB (t)
eλt
= −λeλt U (t) + eλt
.
dt
dt
Nyt saadaan muokattua yht¨
al¨
o¨
a
Kalvo 11
d λt
αdB (t)
e U (t) = eλt
,
dt
dt
(1.4)
sill¨
a ketjus¨
a¨
ann¨
on mukaan
d eλt U (t)
dU (t)
= λeλt U (t) + eλt
dt
dt
(1.5)
eli
d eλt U (t)
(t)
λt
= −λe U (t) +
,
dt
dt
λt dU
e
(1.6)
&
%
'
$
jolloin saadaan sijoitettua
d eλt U (t)
αdB (t)
−λe U (t) +
= −λeλt U (t) + eλt
dt
dt
λt
d e U (t)
αdB (t)
= eλt
.
dt
dt
Laskemalla integraalit saadaan
Z t
λt
e U (t) − U (0) =
αeλs dB (s)
λt
Kalvo 12
(1.7)
(1.8)
(1.9)
0
ja j¨
arjestelem¨
all¨
a ja kertomalla viel¨
a termill¨
a e−λt saadaan n¨
akyviin
lopullinen tulos
Z t
−λt
−λt
U (t) = e U (0) + e
αeλs dB (s) ,
(1.10)
0
joka on O–U-prosessi.
Tutkitaan seuraavaksi prosessia. Kaavasta (1.10) saadaan laskettua
&
%
Kalvo 13
Stokastisista differentiaaliyht¨
al¨
oist¨
a
7
'
$
prosessille odotusarvo ja kovarianssi seuraavasti (olettamalla, ett¨
a
s < t)
Z t
Z t
λs
λs
−λt
−λt
−λt
−λt
αe dB (s)
αe dB (s) = E e U (0) + E e
E e U (0) + e
0
0
= 0,
Rt
silla
o integraali ja E e−λt U (0) = 0, koska U (0)
¨ 0 αeλs dB (s) on Itˆ
noudattaa normaalijakaumaa odotusarvolla nolla. Kovarianssifunktio
&
%
'
$
lasketaan seuraavasti
Q (t − s) = Q (t, s)
Z
−λs
−λs
=E
e
U (0) + e
Kalvo 14
s
Z t
−λt
−λt
λs
αe dB (r)
e U (0) + e
αe dB (s)
λr
0
0
= E e−λs U (0) e−λt U (0) + e−λs U (0) e−λt
Z
t
λs
αe dB (s)
0
−λs
Z
+E e
λr
−λt
αe dBe
0
&
s
−λs
Z
U (0) + e
s
λr
−λt
Z
αe dB (r) e
0
t
αe dB (s)
λs
0
%
Stokastisista differentiaaliyht¨
al¨
oist¨
a
8
'
$
−λt −λs
=e
e
2
−λt −λs
t
Z
E U (0) + e e
E U (0)
Z s
−λt −λs
λr
+e e
E U (0)
αe dB (r)
αe dB (s)
λs
0
0
Kalvo 15
−λt −λs
+e
e
Z
s
0
=e
e
2
2λ
αe dB (s)
λs
αe dB (r)
E
−λt −λs α
t
Z
λr
0
−λt −λs
+e
e
Z
s
t
Z
λr
αe dB (r)
E
αe dB (s) ,
λs
0
0
koska E U (0) 0 αeλs dB (s) = 0 riippumattomuuden perusteella ja
2
α2
α2
E U (0) = 2λ , sill¨
a U (0) ∼ N 0, 2λ . Kun nyt jaetaan
Rt
&
%
'
$
kovarianssi summaksi seuraavasti
Z s
Z t
λr
λs
E
αe dB (r)
αe dB (s)
Kalvo 16
0
0
Z
=E
s
λr
Z
αe dB (r)
0
0
s
Z
αe dB (r) + E
λr
0
s
λr
Z
αe dB (r)
t
αe dB (s) ,
λs
s
niin n¨
ahd¨
a¨
an, ett¨
a j¨
alkimm¨
ainen termi on nolla riippumattomuuden
&
%
Stokastisista differentiaaliyht¨
al¨
oist¨
a
9
'
$
perusteella, joten
−λt −λs α
Q (t − s) = e
e
= e−λt e−λs
Kalvo 17
= e−λt e−λs
2λ
e
−λt −λs
+e
e
Z
α
+ e−λt e−λs E
2λ
2λ
Z
λr
0
2
2
s
αe dB (r)
E
α2
+ e−λt e−λs E
2λ
−λt −λs α
=e
2
−λt −λs
+e
e
Z
0
αeλr
2
dr
0
E
αe dB (r)
λr
2
s
λr
αe dB (r)
0
s
Z
s
α2 2λs α2
e
−
2λ
2λ
α2
α2
α2
+ e−λ(t−s)
− e−λ(t+s) ,
2λ
2λ
2λ
2
Rs
R s λr
2
miss¨
a E 0 αe dB (r) = E 0 αeλr dr Ito-isometrian
= e−λ(t+s)
Kalvo 18
&
%
'
$
mukaisesti. Symmetrisyyden perusteella saadaan kovarianssiksi
2
2
α
α2
α2
−λ|t−s| α
−λ(t+s)
e
+e
−
= e−λ|t−s| .
2λ
2λ 2λ
2λ
&
%
Stokastisista differentiaaliyht¨
al¨
oist¨
a
10
'
1.4.1
$
Populaation kasvu
Tarkastellaan aluksi deterministist¨
a populaationkasvumallia
dN
= a(t)N (t),
dt
Kalvo 19
N (0) = N0 (vakio),
(1.11)
missa
¨ N (t) on populaation koko hetkella
¨ t ja a(t) on kasvukerroin
hetkell¨
a t. Todellisuudessa varmastikaan a(t) ei noudata mit¨
a¨
an
deterministist¨
a funktiota vaan siin¨
a luonnollisesti tapahtuu koko ajan
pient¨
a heilahtelua. T¨
at¨
a muutosta voidaan ottaa huomioon
muuttamalla kerrointa hieman
a(t) = r(t) + ”kohina”,
missa
aytt¨
aytymist¨
a van
¨ emme tarkkaan tunne kohinatermin k¨
ainoastaan sen jakauman. Kuinka voisimme ratkaista
differentiaaliyhta
¨lo
¨n 1.11 ta¨ssa
¨ tilanteessa?
&
%
'
$
Kuvataan mallia seuraavasti
dN
= at Nt , N0 annettu,
dt
miss¨
a at = rt + αWt ja Wt on valkoinen kohina ja α on vakio.
Oletetaan lis¨
aksi, ett¨
a rt = r on my¨
os vakio.
Yht¨
al¨
o saadaan nyt stokastisen Ito differentiaaliyht¨
al¨
on muotoon
dNt = rNt dt + αNt dBt
Kalvo 20
(1.12)
tai
dNt
= rdt + αdBt .
Nt
Valkoinen kohina Wt on m¨a¨
aritelty Brownin liikkeen differentiaalina
dBt
a nimitt¨
aj¨
a h¨
avi¨
a¨
a kerrottaessa dt:ll¨
a. N¨
ain ei kyll¨
a
Wt = dt , miss¨
oikeastaan voitaisi kirjoittaa, sill¨
a kuten tunnettua on, niin Brownin
liike ei ole miss¨
a¨
an differentioituva.
&
%
Stokastisista differentiaaliyht¨
al¨
oist¨
a
11
'
$
Edellinen yht¨
al¨
o saadaan integraalimuotoon
Z t
dNs
= rt + αBt , (B0 = 0).
0 Ns
(1.13)
Arvioidaan integraalin vasenta puolta k¨
aytt¨
aen Ito’n kaavaa
funktioon
g(t, x) = ln x, x > 0
Kalvo 21
ja saadaan
d(ln Nt )
=
=
=
1
1
1
dNt +
− 2 (dNt )2
Nt
2
Nt
dNt
1 2 2
−
α Nt dt
Nt
2Nt2
1
dNt
− α2 dt,
Nt
2
silla
¨ dt · dt = dt · dBt = dBt · dt = 0 ja dBt · dBt = dt
&
%
'
$
J¨
arjestyst¨
a muokkaamalla saadaan
dNt
Nt
1
= d(ln Nt ) + α2 dt
2
ja k¨
aytt¨
am¨
all¨
a yht¨
al¨
o¨
a 1.13 saadaan
Kalvo 22
1
rdt + αdBt = d(ln Nt ) + α2 dt,
2
joka saadaan muokattua muotoon
Nt
1
ln
= (r − α2 )dt + αdBt
N0
2
tai
1
2
Nt = N0 e(r− 2 α
)t+αBt
,
(1.14)
jolloin saimme stokastiselle differentiaaliyht¨
al¨
olle vahvan ratkaisun.
Edell¨
a k¨
asitelty stokastinen differentiaaliyht¨
al¨
o on tuttua muotoa eli
&
%
Stokastisista differentiaaliyht¨
al¨
oist¨
a
'
12
$
kyseisen kaltaisia prosesseja kutsutaan geometriseksi Brownin
liikkeeksi. Vrt. osakkeiden hinnoittelumalleihin.
1.4.2
Kalvo 23
Poliittinen vakaumus
Tarkastellaan poliittista kahtiajakautumista (ei v¨
altt¨
am¨
att¨
a ihan
Suomen tilanne) ja mallinnetaan poliittista vakaumusta stokastisen
differentiaaliyhta
¨lo
¨n avulla. Olkoon Xt henkilo
¨n poliittinen vakaumus
liberaali-konservatiivi-asteikolla, miss¨
a X = 0 kuvaa hyvin liberaalia
vakaumusta ja X = 1 konservatiivista vakaumusta. Oletetaan lis¨
aksi,
ett¨
a yleisesti ihmiset pyrkiv¨
at kohti poliittista keskitiet¨
a, mutta
a¨
arilaitojen kannattajat pit¨
av¨
at tiukemmin kiinni omista
¨
kannoistaan. T¨
all¨
oin diffuusio termi voisi olla σ 2 = εx(1 − x) ja ja
stokastinen differentiaaliyht¨
al¨
o
p
(1.15)
dXt = r(G − Xt )dt + εXt (1 − Xt )dBs ,
&
%
'
$
kuvaa henkil¨
on liikett¨
a poliittista keskitiet¨
a kohden. Tilastollisessa
tasapainotilassa X:n odotusarvo on G riippumatta r:n ja ε:n
saamista arvoista.
Kalvo 24
Kerron r kuvaa sit¨
a kuinka voimakkaasti yleisesti on tarvetta
mukautua keskitiehen, oletamme sen olevan vakio. Toinen kerroin ε
on satunnainen ja kuvaa poliittisen vakaumuksen muutosta. Termi
saa suurempia arvoja poliittisen myllerryksen aikana ja pysyy
pienemp¨
an¨
a, kun ajat ovat seesteisemm¨
at.
1.4.3
Stokastisten differentiaaliyht¨
al¨
oiden numeerisesta
simuloinnista
Luennon kuuntelemisen helpottamiseksi ja varsinkin harjoitusten
tekoa varten ta
¨ytyy tutustua itsena
¨isesti Higham, D. J. artikkeliin ,
An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic
&
%
Stokastisista differentiaaliyht¨
al¨
oist¨
a
13
'
$
Differential Equations. SIAM Review Volume 43, Number 3 pp.
525-546. Artikkeli l¨
oytyy osoitteesta
http://epubs.siam.org/sam-bin/dbq/article/37830
Brownin liikkeen sovelluksia k¨
asittelev¨
ass¨
a luennossa artikkelin
alkup¨
a¨
an menetelmi¨
a k¨
aytt¨
aen oli mallinnettu Brownin liikkeen
kuvaajia.
Kalvo 25
Siirryt¨
a¨
an suoraan artikkelin nelj¨
anteen lukuun
1.4.4
Euler–Maruyama menetelm¨
a
.
Tarkastellaan Stokastista integraaliyht¨
al¨
o¨
a
Z t
Z t
X(t) = X0 +
f (X(s))ds +
g(X(s))dW (s),
0
0 ≤ t ≤ T, (1.16)
0
&
%
'
$
miss¨
a Brownin liikett¨
a kuvaa W ja funktiot f ja g ovat skalaareita ja
alkuehto on satunnaismuuttuja. Kuten jo aiemmin todettiin, niin ko.
yht¨
al¨
o voidaan kirjoittaa my¨
os differentiaalimuodossa
dX(t) = f (X(t))dt + g(X(t))dW (t), X(0) = X0
Kalvo 26
0 ≤ t ≤ T. (1.17)
Aluksi diskretoidaan v¨
ali [0, T ]. Olkoon ∆t = TL , jollekin L ∈ N ja
τj = j∆t. Kirjoitetaan X(τj ) = Xj . Euler–Maruyama menetelm¨
a on
seuraava
Xj = Xj−1 + f (Xj−1 )∆t + g(Xj−1 ) (W (τj ) − W (τj−1 )) , j = 1, 2, . . . , L.
(1.18)
Laskennassa k¨
aytet¨
a¨
an hyv¨
aksi (artikkelissa aiemmin generoitua)
Brownin liikett¨
a, jonka avulla lis¨
aykset (W (τj ) − W (τj−1 )) lasketaan.
Esimerkkin¨
a otetaan SDY
dX(t) = λdt + µX(t)dW (t), X(0) = X0 ,
miss¨
a µ ja λ ovat reaalisia vakiota. Kyseinen SDY muistuttaa eritt¨
ain
&
%
Stokastisista differentiaaliyht¨
al¨
oist¨
a
14
'
$
la
a ja sille saadaan
¨heisesti populaation kasvu esimerkin SDY:t¨
eksakti ratkaisu
1
2
X(t) = X(0)e(λ− 2 µ
)t+µW (t)
.
(1.19)
m-tiedostossa on k¨
aytetty arvoja λ = 2, µ = 1 ja X0 = 1. Ja laskenta
tapahtuu v¨
alill¨
a [0, 1], miss¨
a muutos δt = 2−8 .
Kalvo 27
Seuraavana on lainattu (muutamalla muokkauksella) artikkelin koodi
em.m
%EM Euler-Maruyama method on linear SDE
%
% SDE is dX = lambda*X dt + mu*X dW, X(0) = Xzero,
% where lambda = 2, mu = 1 and Xzero = 1.
%
% Discretized Brownian path over [0,1] has dt = 2^(-8).
% Euler-Maruyama uses timestep R*dt.
&
%
'
$
% randn(’state’,100)
lambda = 2; mu = 1; Xzero = 1;
T = 1; N = 2^8; dt = 1/N;
dW = sqrt(dt)*randn(1,N);
W = cumsum(dW);
Kalvo 28
% problem parameters
% Brownian increments
% discretized Brownian path
Xtrue = Xzero*exp((lambda-0.5*mu^2)*([dt:dt:T])+mu*W);
plot([0:dt:T],[Xzero,Xtrue],’b-’), hold on
R = 4; Dt = R*dt; L = N/R;
% L EM steps of size Dt = R*dt
Xem = zeros(1,L);
% preallocate for efficiency
Xtemp = Xzero; for j = 1:L
Winc = sum(dW(R*(j-1)+1:R*j));
Xtemp = Xtemp + Dt*lambda*Xtemp + mu*Xtemp*Winc;
Xem(j) = Xtemp;
&
%
Stokastisista differentiaaliyht¨
al¨
oist¨
a
'
15
$
end
Kalvo 29
plot([0:Dt:T],[Xzero,Xem],’r--*’), hold off
xlabel(’t’,’FontSize’,12)
ylabel(’X’,’FontSize’,16,’Rotation’,0,’HorizontalAlignment’,’right’)
emerr = abs(Xem(end)-Xtrue(end))
&
%
'
$
&
%
Kalvo 30
Stokastisista differentiaaliyht¨
al¨
oist¨
a
'
16
$
Ohjelma siis antaa sek¨
a ratkaisupolun E-M menetelm¨
an avulla ja
eksaktin ratkaisupolun.
Tutustu huolella numeeriseen ratkaisuun. Harjoitusteht¨
aviss¨
a on
tarkoitus itse muokata ohjelmaa siten, ett¨
a se antaa E-M menetelm¨
an
avulla ratkaisupolkuja muutamille stokastisille diffentiaaliyht¨
al¨
oille.
Luentomateriaali pohjautuu p¨
a¨
aosin seuraavaan kirjallisuuteen
Kalvo 31
• Cobb, L., Stochastic Differential Equations for the Social
Sciences. Mathematical Fronties of the Social and Policy
Sciences. Westview Press, 1981.
• Grigoriu, M. , Stochastic Calculus application in science and
engineering. Birkh¨
auser, Boston. 2002
Kalvo 32
• Higham, D. J., An Algorithmic Introduction to Numerical
Simulation of Stochastic Differential Equations. SIAM Review
Volume 43, Number 3 pp. 525-546
&
%
'
$
• Mikosch, T. , Elementary Stochastic Calculus with finance in
view . World Scientific Publishing CO. Pte. Ltd., Singapore. 1998
¨
• Oksendal,B.
Stochastic Differential Equations. Springer-Verlag,
1998
&
%