Diskreetin matematiikan excursio: kanava-ekvalisointi tiedonsiirrossa / 2
Diskreetin matematiikan excursio: kanava-ekvalisointi tiedonsiirrossa / 1
DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA:
KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA
Taustaa
Digitaalisen tiedonsiirron perusidea on yksinkertaisesti siirtää joukko
bittejä (binäärinen lukujono) paikasta toiseen sähköisten tai
sähkömagneettisten signaalien avulla. Huolimatta siirrettävän
informaation diskreetistä olomuodosta, itse tiedonsiirtokanavaan
lähetettävä aaltomuoto on fysikaalisista rajoitteista johtuen jatkuvaaikainen. Oikealla tavalla toteutetun näytteenoton avulla jatkuvaaikainen aaltomuoto saadaan kuitenkin palautettua diskreetiksi
lukujonoksi vastaanottimessa ilman merkittäviä häviöitä.
Jukka Talvitie, Toni Levanen & Mikko Valkama
TTY / Tietoliikennetekniikka
[email protected], [email protected], [email protected]
Tässä oleva esitys pohjautuu mm. ao. kurssien sisältöön:
TLT-5400 Digitaalinen siirtotekniikka
TLT-5906 Digitaalisen siirtotekniikan jatkokurssi
Tarkoituksena on antaa esimerkkejä diskreetin matematiikan
merkityksestä modernissa tietoliikennetekniikassa keskittyen lähinnä
kanavakorjaukseen eli ekvalisointiin.
Ennen digitaalisten tiedonsiirtomenetelmien käyttöönottoa havaittua
jatkuva-aikaista signaalia käsiteltiin vastaanottimessa yksinomaan
analogisin komponentein. Tällä tavoin signaalin hallinta vaikeutuu
olennaisesti, sillä jokainen signaalille tehty prosessointitoimenpide vaatii
periaatteessa oman erillisen sähköpiirin. Lisäksi analogiset
sähkökomponentit ovat kalliita ja isokokoisia, minkä vuoksi niiden
kaupallinen houkuttelevuus varsinkin nykymaailmassa on hyvin heikko.
Tässä
piileekin
digitaalisen
siirtotekniikan
voimavara,
sillä
vastaanotetun jatkuva-aikaisen signaalin näytteistetty versio on vain
joukko lukuja, joiden hallinta mikropiireillä on hyvin tehokasta. Lukuja
voidaan helposti esimerkiksi tallentaa muistiin ja palauttaa ne sieltä
myöhemmin häviöttömästi jatkoprosessointia varten. Juuri tämän vuoksi
diskreetin matematiikan tuottamat sovellukset ovat erittäin tärkeitä
tietoliikennetekniikassa.
Digitaalitekniikka
on
nykyään
käytössä
lähes
kaikissa
kuluttajasovelluksissa kuten matkapuhelinverkoissa, yleisradio ja -TV
lähetyksissä, kotien langattomissa Internet-yhteyksissä, navigaattori- ja
paikannuspalveluissa sekä yleisesti kodin sisäisessä tiedonsiirrossa.
Jokaisessa näissä tiedonsiirtokanava aiheuttaa lähetettyyn signaalin
vääristymää. Kanavaekvalisoinnilla tarkoitetaan tämän vääristymän
korjaamista ja sitä käytetään jatkossa tämän esityksen esimerkkinä
diskreetin matematiikan sovelluksesta digitaalisessa tiedonsiirrossa.
Diskreetin matematiikan excursio: kanava-ekvalisointi tiedonsiirrossa / 4
Diskreetin matematiikan excursio: kanava-ekvalisointi tiedonsiirrossa / 3
Tiedonsiirtojärjestelmän rakenne ja siirtokanavan vaikutus
Kantataajuisen (nollataajuuden ympäristössä sijaitsevan) digitaalisen
siirtojärjestelmän periaatteellinen lohkokaavio on esitetty alla olevassa
kuvassa.
Jos esimerkiksi käytettävää taajuuskaistaa on 100 Hz, niin teoriassa
100 symbolia voidaan siirtää sekunnissa. Tällöin siirrettäessä bittejä
”sellaisenaan” (binäärinen symboliaakkosto), saavutettava bittinopeus
on 100 bittiä/s, kun taas edellä esitetyn 4-tasoisen symboliaakkoston
avulla saavutetaan samalla kaistalla bittinopeus 200 bittiä/s. Mitä
suurempi symboliaakkosto on, sitä enemmän bittejä yhtä lähetettyä
symbolia kohden voidaan siirtää. Toisaalta, olettaen lähetysteho
kiinnitetyksi, suuremman symboliaakkoston huonona puolena on
suurempi herkkyys kohinan ja häiriöiden aiheuttamille virheille.
Diskreetit symbolit muunnetaan jatkuva-aikaiseksi
signaaliksi
lähetinsuodattimen
avulla.
Tässä
valittua
(jatkuva-aikaista)
pulssimuotoa g(t) painotetaan diskreeteillä symbolien arvoilla, jolloin
lähetettävä signaali on muotoa
S (t ) =
Ensimmäisessä vaiheessa lähetettävä bittijono muutetaan symboleiksi.
Tässä joukko peräkkäisiä bittejä muutetaan tietyksi symboliaakkoston
määräämäksi lukuarvoksi. Alla on esimerkin vuoksi esitetty 4-tasoisen
reaalisen symboliaakkoston rakenne:
Esimerkki 4-tasoisesta
symboliaakkostosta
Bittiyhdistelmä
Symboli
00
-3
01
-1
10
1
11
3
Pääasiallinen tarkoitus bittien kuvaamisessa symboleiksi on kasvattaa
järjestelmän
taajuuskaistan
käytön
tehokkuutta,
sillä
signaalikohinasuhteen ja kanavan vaikutusten lisäksi digitaalisen
siirtojärjestelmän tiedonsiirtokapasiteettiin vaikuttaa ainoastaan käytetty
taajuuskaistanleveys. Tämä puolestaan määräytyy siitä, kuinka monta
symbolia (diskreettiä lukuarvoa) aikayksikköä kohden halutaan siirtää.
¥
å
k =-¥
Ak g(t - kT )
missä T on kahden peräkkäisen symbolin välinen aika. Alla olevassa
kuvassa on esimerkki käytettäessä pulssimuotona kanttipulssia
(huomaa kuvassa myös yleiset kriteerit käytettävälle pulssimuodolle):
Kanttipulssin sijasta käytännöllisempi ratkaisu on käyttää ”pyöreämpiä”
pulssimuotoja, kuten ns. nostettuja kosinipulsseja. Erityisen olennaista
on kuitenkin ymmärtää edellä esitettyjen pulssimuotokriteerien merkitys.
Koska näytehetkellä pulssi saa aina arvon yksi, tietyllä
symboliajanhetkellä signaalista S(t) otettu näytteen arvo on aina samalla
ajanhetkellä lähetetyn symbolin Ak arvo. Lisäksi koska pulssin arvo saa
aina arvon nolla muilla symboliajanhetkillä, eri pulssit/symbolit eivät
häiritse toisiaan.
Diskreetin matematiikan excursio: kanava-ekvalisointi tiedonsiirrossa / 5
Lähetetty jatkuva-aikainen signaali S(t) muokkautuu kanavassa ja
kohina summautuu vääristyneen aaltomuodon päälle. Tämän jälkeen
vastaanottosuodatuksessa käytössä olevan taajuuskaistan ulkopuolinen
kohina suodatetaan pois
ja signaalista
otetaan näytteitä
symboliajanjakson T välein.
Diskreetin matematiikan excursio: kanava-ekvalisointi tiedonsiirrossa / 6
Kanavan impulssivaste pk
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Kuten jo mainittiin, näytteistys poimii saapuvasta signaalista vain tietyt
ajanhetket: kT (k=). Toisin sanoen vastaanotettua signaalia
tarkastellaan vain symboliajanhetkillä, minkä vuoksi edellä kuvatusta
lohkokaaviosta voidaan kehittää efektiivinen diskreettiaikainen malli:
-0.2
-0.4
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
k
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Kyseisen kanavan tapauksessa vastaanotettu näytejono voidaan nyt
kirjoittaa muodossa
Rk = Ak * pk + Zk = -0.4Ak -1 + Ak + 0.8Ak +1 + Zk
Tässä lohkokaaviossa ei enää esiinny jatkuva-aikaisia signaaleita.
Analyyttisissa tarkasteluissa tämä malli on kuitenkin riittävä, mikäli
voidaan olettaa, että pulssimuoto toteuttaa edellä mainitut kriteerit ja
näytteenotto onnistuvat ideaalisesti. Nyt vastaanotettua näytejonoa
voidaan kuvata diskreetillä tavalla seuraavasti:
Rk = Ak * pk + Zk
missä pk on kanavan (näytteistetty) diskreettiaikainen impulssivaste ja Zk
summautuvaa kohinaa. Merkki * kuvaa konvoluutiota, jonka avulla
saadaan laskettua lineaaristen järjestelmien input-output-vasteita (kts.
Sitikka-materiaali ”Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa”).
Jos kanavan impulssivaste ulottuu useamman symboliaikavälin T
alueelle, niin kanavassa syntyy symbolien välistä keskinäisvaikutusta:
ISI (Inter Symbol Interference). Esimerkiksi kanava, jonka diskreetti
impulssivaste on muotoa pk=-0.4 (k+1)+ (k)+0.8 (k-1) ( (t) on
yksikköimpulssifunktio) voidaan esittää graafisesti seuraavaan tapaan:
Näin ollen jokainen lähetetty symboli nähdään vastaanottimessa
painotettuna kolmen peräkkäisen symbolin summana. Taajuustasossa
tämä näkyy spektrin vääristymisenä, jossa eri taajuudet vaimenevat
toisiinsa nähden eri tavalla.
Ekvalisaattorin tehtävänä on pienentää tätä kanavassa syntyvää ISI:ä.
Ongelmana on siis löytää sellainen diskreettiaikainen suodatin (ts.
suodattimen kertoimet/tapit …,ck-1, ck, ck+1,…), jonka avulla ISI
minimoituu. Aikatasossa tämä tarkoittaa järjestelmän kokonaisvasteen
(kanava+ekvalisaattori) pakottamista lähelle yksikköimpulssin vastetta,
kun taas taajuustasossa järjestelmän tuottama amplitudispektri pyritään
saamaan mahdollisimman tasaiseksi amplitudiarvon 1 ympäristöön.
Erilaisia ekvalisointimenetelmiä löytyy kirjallisuudesta useita, joista ns.
zero-forcing-menetelmä esitellään seuraavilla sivuilla.
Diskreetin matematiikan excursio: kanava-ekvalisointi tiedonsiirrossa / 8
Diskreetin matematiikan excursio: kanava-ekvalisointi tiedonsiirrossa / 7
Lineaarinen ekvalisointi (zero-forcing-menetelmä)
Ehkä yksinkertaisin ja intuitiivisin menetelmä ISI:n poistamiseen on ns.
zero-forcing-ekvalisaattori. Tässä lähtökohtana on etsiä sellainen
diskreettiaikainen rajatun kestoinen (Finite Impulse Response)
suodatin, joka pyrkii poistamaan ISI:n kokonaan. Tämän ongelman
analysointi on huomattavan paljon helpompaa suorittaa taajuustasossa,
sillä siellä konvoluutio voidaan esittää kertolaskuna. Muuntamalla
aikatason vasteet z-muunnoksella taajuustason siirtofunktioksi,
vastaanotetut näytteet voidaan esittää seuraavasti:
Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkitilannetta, jossa edellä esitettyyn 3tappiseen kanavaan lähetetään symbolit 1, -1, 1 ja 1. Alla olevassa
kuvassa on esitetty lähetetyn sekvenssin aikatason esitykset
siirtojärjestelmän eri vaiheissa.
Lähetetty sekvenssi
Kanavan impulssivaste p(k)
missä P(z), A(z) ja N(z) ovat kanavan impulssivasteen, symbolijonon ja
kohinan z-muunnokset. Ekvalisoidut näytteet saadaan tällöin z-tasossa
ilmaistua
2
0.8
0.6
1.5
0.6
0.4
1
0.2
0.4
0
0.5
0.2
-0.2
-0.4
0
0
-0.6
R(z ) = P (z )A(z ) + N (z )
Kanavan ulostulo
1
1
0.8
-0.8
-0.5
-0.2
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-0.4
-1
4
Vastaanotettu sekvenssi
1.2
-0.8
-0. 6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
-1
-1
1
-0.5
0
0.5
1
1.5
k
2
2.5
3
3.5
4
Ekvalisaattorin vaste
Systeemin kokonaisvaste
0.8
1
0.8
1
0.6
0.8
0.4
0.6
0.2
0.6
0.4
0.2
0
Q(z ) = C (z )(P (z )A(z ) + N (z ))
= C (z )P (z )A(z ) + C (z )N (z )
Tästä nähdään suoraan, että mikäli kanavan vaikutus halutaan
vastaanotetusta signaalista kokonaan poistaa, tulee ekvalisaattorin
siirtofunktio valita siten, että C(z)P(z)=1. Toisin sanoen ekvalisaattorin
siirtofunktio on muotoa
C (z ) = 1/ P (z )
Termi
zero-forcing
juontaakin
juurensa
nimenomaan
tästä
lähestymistavasta, jossa ISI ikään kuin ”pakotetaan nollaan”.
Ekvalisoidut symbolit voidaan nyt esittää muodossa
Q(z ) = C (z )P (z )A(z ) + C (z )N (z )
=
1
1
P (z )A(z ) +
N (z )
P(z )
P (z )
= A(z ) +
N (z )
P (z )
-0.2
0.4
0
0.2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-0.4
0
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
k
2
2.5
3
3.5
4
-0.2
-5
-4
-3
-2
-1
0
k
1
2
3
4
5
-0.6
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Kanavan ulostulossa nähdään selvästi, että alkuperäinen sekvenssi on
voimakkaasti vääristynyt ISI:n vaikutuksesta. Itse asiassa, jos
päätökset/arvaukset lähetetystä sekvenssistä tehtäisiin tähän signaaliin
perustuen, symbolien ilmaisussa tapahtuisi luultavimmin virhe, sillä 3.
lähetetty symboli on lähempänä -1:ä kuin 1:ä. Käytetty ekvalisaattori on
tässä 9-tappinen eli sen impulssivaste on muotoa c-4, c-3,…c0,…, c3, c4.
Ekvalisaattorin kertoimet on laskettu zero-forcing-menetelmään
perustuen siten, että C(z)=1/P(z). Systeemin kokonaisvaste ( pk * ck tai
z-tasossa
P(z)C(z))
on
kuvan
perusteella
hyvin
lähellä
yksikköimpulssifunktiota, joten ISI on selvästi pienentynyt. ISI saadaan
poistettua sitä tarkemmin, mitä enemmän ekvalisaattoriin sisällytetään
tappeja. Tappien lukumäärä kasvattaa kuitenkin järjestelmän
laskennallista taakkaa, minkä vuoksi niiden määrää joudutaan aina
tapauskohtaisesti rajoittamaan.
Aikatason tarkastelun lisäksi tilannetta voidaan havainnollistaa myös
taajuustasossa. Taajuustason esitys saadaan ottamalla Fourier-
Diskreetin matematiikan excursio: kanava-ekvalisointi tiedonsiirrossa / 9
muunnokset
(kts.
Sitikka-materiaali
”Integroinnin
sovelluksia
tiedonsiirtotekniikassa”) edellisessä kuvassa esitetyistä aikatason
vasteista. Alla oleviin kuviin on piirretty kanavan, ekvalisaattorin ja
järjestelmän kokonaisvasteen amplitudispektrit.
Systeemin kokonaisvaste
1.6
1.4
1.4
1.2
1.2
Amplitudivaste
Amplitudivaste
Taajuusvasteet kanavalle ja ekvalisaattorille
1.6
1
0.8
0.6
0.4
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
normalsoitu taajuus
0.6
0.4
Kanavan vaste
Ekvalisaattorin vaste
0.2
1
0.8
Diskreetin matematiikan excursio: kanava-ekvalisointi tiedonsiirrossa / 10
Tuntemattoman ja/tai muuttuvan kanavan hallinta
Zero-forcing-menetelmässä ekvalisaattorin kertoimet määritetään
suoraan kanavan vasteen perusteella. Yleensä kanavan vaste ei ole
kuitenkaan tunnettu, minkä vuoksi zero-forcing-menetelmän käyttö
sellaisenaan ei ole mahdollista. Lisäksi esimerkiksi langattomassa
tiedonsiirrossa kanavan vaste muuttuu jatkuvasti, minkä vuoksi
ekvalisaattorin tappikertoimia joudutaan jatkuvasti päivittämään. Tähän
tarkoitukseen adaptiivinen ekvalisointi tarjoaa laskennallisesti tehokkaat
työkalut. Alla olevassa kuvassa on esitetty lineaarisen adaptiivisen
ekvalisoinnin periaatteellinen lohkodiagrammi.
0.2
0.7
0.8
0.9
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
normalsoitu taajuus
0.7
0.8
0.9
1
Kuvista havaitaan, että ekvalisaattorin vaste on käänteinen verrattuna
kanavan vasteeseen. Kanavassa vaimentuneita taajuuksia voimistetaan
ja päinvastoin, minkä vaikutuksesta kokonaisvaste ”tasoittuu”
amplitudiarvon 1 ympäristöön.
Vaikka zero-forcing-menetelmä intuitiivisesti vaikuttaakin erittäin
järkevältä, siihen liittyy kuitenkin ikävä kohinan voimistumisilmiö.
Ekvalisaattori voimistaa signaalia niillä taajuuksilla, joissa kanavan
vaimennus on suuri. Tällöin, itse hyötysignaalin lisäksi, ekvalisaattori
voimistaa tarpeettomasti myös kohinaa. Tämä nähdään selkeästi jo
edellä esitetystä kaavasta (ekvalisoidun sekvenssin z-muunnos):
Q(z ) = A(z ) +
N (z )
P (z )
Kyseisen ilmiön vuoksi ISI:n poistoon käytetäänkin usein muunlaisia
menetelmiä, kuten esimerkiksi MSE-ekvalisaattoria (Minimum Square
Error), jossa ISI:ä ei aluperin pyritäkään kohinan tehosta riippuen
poistamaan aivan kokonaan. Eräs toinen mahdollisuus on käyttää ns.
sekvenssi-ilmaisua, jossa kanavan aiheuttama ISI otetaan huomioon
itse symbolien ilmaisuprosessissa (esim. Viterbi-algoritmi), jolloin
varsinainen ekvalisointi ennen ilmaisua jää tarpeettomaksi.
Kohinan summauksen jälkeen vastaanotin havaitsee kanavassa
vääristyneen symbolisekvenssin Rk. Perusideana adaptiivisessa
ekvalisoinnissa on minimoida virhe ekvalisoidun sekvenssin Qk ja
oikean sekvenssin Ak välillä. Käytännössä tämä onnistuu esimerkiksi
ennalta määrätyn, vastaanottimessa tunnetun, pilottisignaalin avulla.
Näin ollen tiedetään minkälainen ekvalisoidun sekvenssin Qk tulisi olla
ja siten ekvalisoinnista aiheutuva virhe voidaan laskea suoraan
pilottisignaalin ja Qk:n erotuksella. Pilottisignaalin sijasta vastaavana
referenssisignaalina voidaan käyttää myös ekvalisoidusta signaalista
tehtyjä symbolipäätöksiä, mikäli voidaan olettaa, että päätökset ovat
enimmäkseen oikeita (esim. yli 90% todennäköisyydellä).
Minimoitaessa keskimääräistä (neliö)virhettä päädytään usein melko
suuriin lineaarisiin yhtälöryhmiin, joiden ratkaisussa tarvittava matriisi-
Diskreetin matematiikan excursio: kanava-ekvalisointi tiedonsiirrossa / 12
Diskreetin matematiikan excursio: kanava-ekvalisointi tiedonsiirrossa / 11
inverssi saattaa olla laskennallisesti ottaen epäkäytännöllinen. Jos
edelleen pidetään mielessä, että kanava muuttuu koko ajan, tappeja
joudutaan jatkuvasti päivittämään ja laskettavien matriisi-inverssien
määrä aikayksikköä kohden vain kasvaa. Tähän ongelmaan tehokkaan
ratkaisun antavat erilaiset iteratiiviset laskentamenetelmät, joista LMSalgoritmi (Least Mean Squares) on eräs tunnetuimmista. Tässä
ekvalisaattorin tappeja päivitetään jokaisen ekvalisaattoriin saapuvan
näytteen perusteella, minkä vuoksi jatkuvat matriisi-inverssit jäävät
tarpeettomiksi ja laskennallinen taakka kevenee.
LMS-algoritmi perustuu ns. gradienttialgoritmiin, jossa neliövirhe
minimoidaan pyrkimällä kohti gradientin nollakohtaa (minimikohta)
iteratiivisesti. Tämä tapahtuu siirtymällä aina pieni askel kerrallaan kohti
negatiivisen gradientin suuntaan kunnes nollakohta saavutetaan.
Alkuperäinen
gradientti-algoritmi
tarvitsee
toimiakseen
tiedot
vastaanotetun signaalin tilastollisista ominaisuuksista: näytteiden
autokorrelaatiomatriisi ja ristikorrelaatio referenssisymbolin välillä.
Nämä ovat kuitenkin yleensä tuntemattomia. LMS-algoritmi eroaa
gradienttialgoritmista juuri tässä mielessä, sillä se arvioi nämä
tilastolliset
ominaisuudet
”hetkellisesti”
perustuen
suoraan
vastaanotettuihin näytteisiin. LMS-algoritmin voidaan toiminta voidaan
lyhyesti esittää seuraavalla iteratiivisella prosessilla:
Tutkitaan seuraavaksi tilannetta, jossa käytetään LMS-algoritmia tutun
3-tappisen kanavan (kts. sivu 5) ekvalisointiin. Määritetään
vastaanotetun sekvenssin signaali-kohinatehosuhteeksi 20dB ja
käytetään algoritmissa 9-tappista suodatinta sekä askelpituutta =0.002.
Alla olevaan kuvaan vasemmalla on havainnollistettu absoluuttisen
virheen |Ek| käyttäytyminen iteraatioiden edetessä. Kohinasta johtuen
virheen käyrä ei ole tasainen mutta konvergoituu selkeästi nollan
ympäristöön. Oikean puoleisessa kuvassa ekvalisaattorin eri tappien
(siis 9 kpl yhteensä) lukuarvot on esitetty iteraatioiden funktiona.
Ekvalisaattorin virhe
3.5
ck +1 = ck + bEk rk* , missä
Ek = Ak -
cTk rk
ck = [c-L ,..., c0,..., cL ]
(laskettu virhe)
(ekvalisaattorin tapit ajanhetkellä k )
rk = [Rk +L ,..., Rk ,..., Rk -L ] (vastaanotettu sekvenssi)
Tässä on ns. askelparametri, joka määrittää kuinka suuri askel kohti
arvioitua negatiivisen gradientin suuntaan otetaan. Jos on liian suuri,
algoritmi muuttuu epästabiiliksi (”hajoaa käsiin”), ja toisaalta, jos on
liian pieni, algoritmi ei ehdi konvergoitua pilottisekvenssin aikana. Alla
olevassa kuvassa on esitetty LMS algoritmin toiminnallinen rakenne
tarkasteltaessa ekvalisaattorin l:nen tapin [ck]l päivitysprosessia:
Ekvalisaattorin tappikertoimet
0.8
3
0.6
2.5
0.4
2
0.2
1.5
0
1
-0.2
0.5
-0.4
0
0
100
200
300
400
500
600
iteraationumero
700
800
900
1000
-0.6
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
iteraationumero
Jatketaan vielä esimerkkiä ja tarkastellaan ekvalisoituja symboleita Qk
iteraatioiden edetessä. Käytetään lähetykseen satunnaisia symboleita,
jotka valitaan joukosta Ak Î {-3, -1,1, 3} . Alla oleviin kuviin on
havainnollistettu tilannetta ilman ekvalisointia (vasemmalla) ja
ekvalisoinnin kanssa (oikealla).
Diskreetin matematiikan excursio: kanava-ekvalisointi tiedonsiirrossa / 13
6
6
4
4
2
2
Näytearvo
Näytearvo
Ekvalisoimattomat näytteet ajan funktiona
0
-2
0
-2
-4
-4
-6
Ekvalisoidut näytteet ajan funktiona
1000
2000
3000
4000
5000
k
6000
7000
8000
9000
-6
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
k
Vasemmanpuoleisesta kuvasta on selvää, ettei symboli-ilmaisin pysty
ilman
ekvalisointia
tuottamaan
luotettavia
symbolipäätöksiä.
Oikeanpuoleisessa kuvassa LMS-algoritmin avulla ilmaisimelle tulevat
näytearvot vaikuttavat jo huomattavasti luotettavimmilta. Alussa on
havaittavissa algoritmin ns. oppimisjakso, jonka aikana ekvalisaattorin
tapit konvergoituvat ”oikeisiin” arvoihinsa. Kuten ehkä havaita
saattaa(?), alkuarvoina ekvalisaattorin kaikille tapeille on tässä annettu
nolla-arvo.
Lopuksi on vielä syytä huomauttaa, että vaikka kaikki edellä annetut
esimerkit pohjautuvatkin reaalilukuihin, samat metodit ovat yhtä lailla
käytettävissä myös kompleksilukujen tapauksessa. Itse asiassa
useimmat modernit tiedonsiirtojärjestelmät käyttävät nimenomaan
kompleksiarvoista symboliaakkostoa. Tämän vuoksi ekvalisaattorin
toteutuksen täytyy myös olla kompleksinen (kts. sitikka-materiaali
”Kompleksiluvut ja radiosignaalit”). Käytännössä kompleksiset
suodattimet voidaan kuitenkin aina toteuttaa käyttämällä kahta
rinnakkaista reaaliarvoista suodatinta.