MEI-32010 Murtumismekaniikka 3. kotitehtäväsarja, painovirheitä korjattu 3.12.2015 1. Alla olevan kuvan mukaista DCB-koekappaletta kuormitetaan kuormalla Kappaleen materiaalille JIc = 100 P = 50 kN. 400 MPa. Määritä (a) Irvinin ja acr . Materiaalin kimmokerroin on leveys on 50 mm. kN/m ja myötöraja (b) Dugdalen mallien mukaan kriittinen särönpituus 200 GPa ja Poissonin vakio on 0, 3. Koekappaleen F h = 80 mm F a 2. Tarkastellaan vaurioituvaa kimmoista materiaalimallia, jonka konstitutiivinen yhtälö on yksidimensioisessa tapauksessa muotoa σ = ωEε. Eheysmuuttujan ω (1) evoluutioyhtälöksi valitaan ω̇ = jossa materiaaliparametrit td ja r −t−1 d Y Yr r , (2) määritetään kokeista. Eheysmuuttujalla on arvo 0 täysin vaurioituneessa tilassa ja arvo 1 vaurioitumattomassa alkutilassa. Usein käytetään D = 1 − ω , mutta eheysmuuttujan Suure Y on dissipatiivista muuttujaa −ω̇ vaurioitumista kuvaamaan ns. vauriomuuttujaa avulla lausuttuna lausekkeet ovat selkeämpiä. vastaava termodynaaminen voima, jolle on lauseke 1 σ2 Y = Eε21 = . 2 2ω 2 E Parametri td > 0 (3) on vaurioprosessiin liittyvä karakteristinen aika ja dimensiottoman eksponentin on toteutettava ehto tuisi. Skaalausparametri Yr r > 1, jotta termodynamiikan toinen pääsääntö toteu- voidaan valita vapaasti, mutta on huomattava, että tämä valinta vaikuttaa aikaparametrin suuruuteen. Valitaan skaalausparametrille lauseke Yr = jossa σr σr2 , 2E (4) on jokin viitejännitys. ε̇ = η , kuvaaja (ε/εr , σ/σr ) koordinaatistoon parametrin r arettä aikaparametrilla td on arvo td = 10−3 /η . Piirrä Ratkaise jännitys-venymäyhteys kun kuormituksena on veto vakionopeudella ε(t) = ηt. Pirrä r = 2, 4 ja 6 ja oleta, toisin sanoen voilla myös vaurimuuttujan kuvaaja, joko ajan tai muodonmuutoksen funktiona. Mitä voit sanoa parametrin jan D =1−ω r vaikutuksesta materiaalin käyttäytymiseen. Mikä on vauriomuuttu- arvo maksimijännityksen kohdalla? 3. Viruvan ja vaurioituvan mallin jännityksen ja muodonmuutoksen välinen yhteys on muotoa σ = ωE(T )(ε − εth − εc ), MEI-32010 Murtumismekaniikka - 3. kotiteht. 22.11.2015 (5) 1 jossa ω T riippuva kimmokerroin ja εth = α∆T Virumismuodonmuutokselle εc valitaan Nortonin tyyppinen potens- on eheysmuuttuja, on lämpövenymä. E(T ) lämpötilasta simalli B(T ) ε̇ = tc c σ ωσr p(T ) , (6) jossa tc on virumisprosessin karakteristinen aika, verrannollinen relaksaatioaikaan, B(T ) B(T ) = exp(−Q/RT ), jossa Q on ak- Arrhenius-tyyppinen terminen aktivaatiofunktio tivaatioenergia, R yleinen kaasuvakio. Viitejännitys σr on vapaasti valittavissa, valitaan σr = σy (Tr ). se tässä myötöjännityksen arvoksi viitelämpötilassa Vaurionkehitykselle valitaan Kachanov-Rabotnov tyyppinen potenssimalli B(T ) ω̇ = − td Y Yr r(T ) , (7) jossa td on vaurionkehitykselle ominainen karakteristinen aika. Termodynaaminen voima Y on vaurioitumisnopeuden ω̇ duaalisuure ja Yr sen viitearvo. Huomaa, että vaurionkehitykselle on yksinkertaisuuden vuoksi otaksuttu sama terminen aktivaatiofunktio. Termodynaaminen voima saadaan Helmholtzin ominaisvapaaenergian derivaattana vauriomuuttujan suhteen, ja 1D tapauksessa sille saadaan lauseke Y = Valitaan viitearvoksi Yr σ2 2ω 2 E(T ) muoto Yr = . (8) σr2 . 2E(T ) (9) Tällöin saadaan vaurionkehityksen evoluutioyhtälöksi B(T ) ω̇ = − td Laske virumismurtoaika trup σ ωσr 2r(T ) . (10) vakiolämpötilassa vakiojännityksen alaisena. Kaikki ma- teriaaliparametrit voidaan yksinkertaisuuden vuoksi olettaa lämpötilasta riippumattomiksi ja lämpövenymä voidaan jättää huomioon ottamatta. 4. Virumismurtoanalyysessä paljon käytetty Monkman-Grant parametri määritellään CMG = ε̇cmin trup , jossa ε̇cmin on pienin virumisnopeus (ajanhetkellä (11) t = 0 tehtävän mallilla). Kokeissa on havaittu, että Monkman-Grant parametri on hyvin suurella jännitys- ja lämpötilaalueella likimain riippumaton jännityksestä. Minkä ehdon tämä tuottaa kyseisen mallin materiaaliparametrien välillä? 5. Teräksinen sauva on kahden jäykän seinän välissä jännityksettömässä tilassa lämpötilassa T0 . Lämpötila vaihtelee sinimuotoisesti lämpotilan T0 ja T (t) = T0 + 21 ∆T [1 − cos(2πt/tper )], T0 + ∆T välillä, eli (12) jossa tper = 86400 s = 24 h. Sauvan materiaalin otaksutaan noudattavan kahden edellisen tehtävän mallia. Otaksutaan yksinkertaisuuden vuoksi kaikki materiaaliparametrit lämpötilasta riippumattomiksi. Määritä kuinka monta lämpösykliä murtaa sauvan MEI-32010 Murtumismekaniikka - 3. kotiteht. 22.11.2015 2 T0 = 300 σr = σy = 400 kun K ja ∆T = 200 K. Materiaaliparametreilla on arvot E = 190 GPa, p = 6, r = 3 ja tc = td = 6 · 106 s = 69, 4 h. Teräksen terminen luokkaa 100 kJ/mol ja lämpöpitenemiskerroin α on 12 · 10−6 1/K. MPa, aktivaatioenergia on Mikä on tulos jos rakennetta pidetään korkeammassa lämpötilassa kauemmin? Käytä esimerkiksi lämpötilafunktiona lauseketta T (t) = T0 + ∆T [1 − cos8 (πt/tper )]. (13) Mitkä ovat johtopäätelmäsi? Ohje. Tee ohjelma, joka integroi materiaalimallia vaikkapa eksplisiittisellä Eulerin me- netelmällä. Jos ratkaistavana on yhtälö σ σ̇ = f (σ, t), niin eksplisiittinen Eulerin menetel= tn + ∆t, kun systeemin tila ratkaisemiseksi uudella ajanhetkellä tn+1 tunnetaan ajanhetkellä tn , on muotoa mä suureen σn+1 − σn = f (σn , tn ), ∆t jossa on merkitty σn = σ(tn ) (14) jne. Muista, että eksplisiittinen Eulerin menetelmä on vain ehdollisesti stabiili. Pidä sen vuoksi aika-askel ∆t pienempänä kuin menetelmän kriittinen aika-askel. 6. Findley moniaksiaalinen väsimiskriteeri voidaan ilmaista seuraavasti. Väsymismurto tapahtuu tasossa, jossa suure τa,n + kσn saavuttaa maksimin, eli max(τa,n + kσn ) = f, jossa k ja f (15) ovat materiaaliparametreja, jotka voidaan määrittää kahdesta kokeesta. Määritä parametrit k normaalijännitykselle f mikäli tiedetään materiaalin vaihtokuormituksen väsymisraja σ−1 = σa,R=−1 ja leikkaukselle τ−1 = τa,R=−1 . Määritä lisäksi ja kriittisen tason kulma kummallekin kuormitustapaukselle. 7. Tarkastellaan alla olevan kuvan mukaisen polttoainesuutimen väsymistä kontaktialueella, joka on merkitty oheiseen kuvaan paksunnetulla viivalla. Rakenne on pyörähdyssymmetrinen, joten tarkastellaan tapausta sylinterikoordinaatistossa ja oletetaan kehän suuntaiselle, aksiaaliselle ja säteen suuntaiselle normalijänitykselle (σθ , σz , σr ) suhteinen kuormitus kun mäntä koskettaa suutimen runkoa. Oletetaan seuraavat amplitudit ja keskijännitykset ∆σθ = 880 MPa, σθ,m = 440 MPa, ∆σz = 400 MPa, σz,m = −200 MPa, ∆σr = 700 MPa, σr,m = −350 MPa. Huomaa, että jokainen jännityskomponentti on tykyttävä. Tutki Findleyn mallia hyväksikäyttäen tapahtuuko suutimen rungossa väsymismurtuma kun materiaalin väsymislujuusarvot ovat väsymismurto σ−1 = σa,R=−1 = 700 MPa ja σ0 = σa,R=0 = 560 MPa. Findleyn mallissa tapahtuu jos τa,n + kσn ≥ f . MEI-32010 Murtumismekaniikka - 3. kotiteht. 22.11.2015 3 z r Palautus viimeistään torstain 10.12.2015 palautusharjoituksissa (?). Tähän kotitehtäväsarjaan liittyvä neuvontaharjoitus torstaina 26.11.2015 ja 3.12.2015 klo 14.15-16.00. F h = 80 mm F a 1 MEI-32010 Murtumismekaniikka - 3. kotiteht. 22.11.2015 4
© Copyright 2024