1. No category

MS-C2111 Stokastiset prosessit
Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopisto
3A
L Leskelä & H Ngo
Syksy 2015
Harjoitus 3A
Kääntyvyys ja äärettömät tilajoukon ketjut
Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan kääntyvien siirtymämatriisien erityispiirteitä, tutustua Markov-ketju Monte Carlo -simuloinnissa käytettävään Metropolis-ketjuun sekä oppia
analysoimaan äärettömän tilajoukon ketjujen paluu- ja absorptiotodennäköisyyksiä.
Tuntitehtävät
3A1 Uusiutumisketju. Olkoon p = (p(0), p(1), p(2), . . . ) jokin tila-avaruuden Z+ = {0, 1, 2, . . . }
todennäköisyysjakauma. Jakaumaa p vastaava uusiutumisketju on Markov-ketju, jonka
siirtymämatriisille pätee P (k, k − 1) = 1 kaikilla k > 0 ja P (0, k) = p(k) kaikilla k ≥ 0.
(a) Luonnostele kuva ketjun siirtymäkaaviosta.
(b) Millainen jakauma p tuottaa yhtenäisen uusiutumisketjun?
(c) Todista, että tila 0 on palautuva.
(d) Laske tilan 0 odotettu paluuaika E0 (T0+ ), missä T0+ = min{t ≥ 1 : Xt = 0}.
(e) Keksi tai googlaa esimerkki todennäköisyysjakaumasta, jota vastaavalle uusiutumisketjulle pätee E0 (T0+ ) = ∞.
3A2 Metropolis-ketju. Olkoon Ψ äärellisen tilajoukon S yhtenäinen siirtymämatriisi ja π mielivaltainen S:n todennäköisyysjakauma, jolle π(x) > 0 kaikilla x ∈ S. Jakauman π Metropolisketju ehdotusmatriisilla Ψ määritellään siirtymämatriisina

i
h
Ψ(x, y) π(y)Ψ(y,x) ∧ 1
jos y 6= x,
π(x)Ψ(x,y)
h
i
P (x, y) =
P
π(z)Ψ(z,x)
1 −
jos y = x.
z6=x Ψ(x, z) π(x)Ψ(x,z) ∧ 1
(a) Tarkista, että P todella on tilajoukon S siirtymämatriisi.
(b) Todista, että P on jakauman π suhteen kääntyvä.
(c) Selitä luentomonisteen ergodisuuslausetta käyttämällä, miten siirtymämatriisia
P
P
noudattavaa Markov-ketjua simuloimalla voidaan approksimoida summaa x f (x)π(x)
mielivaltaiselle funktiolle f . (Tällaista menetelmää kutsutaan Markov-ketju Monte
Carlo -simuloinniksi).
1/2
MS-C2111 Stokastiset prosessit
Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopisto
L Leskelä & H Ngo
Syksy 2015
Harjoitus 3A
Kotitehtävät
3A3 Verkon satunnaiskulku. Olkoon G solmujoukon V = {1, . . . , n} suuntaamaton verkko,
jossa jokaisen solmun x asteluku deg(x) eli naapureiden lukumäärä on vähintään 1.
Verkon G satunnaiskulku etenee siirtymällä jokaisella askeleella tasaisen satunnaisesti
1
kun x ↔ y, ja P (x, y) = 0 muuten.
johonkin naapurisolmuun, jolloin P (x, y) = deg(x)
(a) Todista, että verkon satunnaiskulku on kääntyvä jakauman π(x) = c deg(x) suhteen, kun vakio c valitaan sopivasti.
(b) Laske a)-kohdan tulosta käyttämällä tasapainojakauma tyhjällä shakkilaudalla satunnaisesti kulkevalle kuninkaalle (ks. harjoitus 2A4).
(c) Laske a)-kohdan tulosta käyttämällä tasapainojakauma tyhjällä shakkilaudalla satunnaisesti kulkevalle ratsulle (ks. harjoitus 2A4).
3A4 Bakteeripopulaatio. Bakteeriviljelmässä jokainen bakteeri itsenäisesti jakaantuu sykäyksittäin 20 minuutin välein k:hon osaan todennäköisyyksillä
1
p(k) =
3
k
2
,
3
k = 0, 1, 2 . . .
Lähtötilanteessa bakteeripopulaation koko on X0 = 20 ja oletetaan, että jokainen lähtötilanteen bakteeri jakautuu täsmälleen 20 min kuluttua.
(a) Mikä on bakteeripopulaation odotettu koko tunnin kuluttua?
(b) Mikä on bakteeripopulaation odotettu koko vuorokauden kuluttua?
(c) Millä todennäköisyydellä viljelmässä ei ole yhtään bakteeria tunnin kuluttua?
(d) Millä todennäköisyydellä bakteeripopulaatio aikanaan kuolee sukupuuttoon?
2/2