1. No category

Metriset avaruudet
Harjoitus 1
1. Olkoon X joukko ja Aj ⊂ X, j ∈ J. Todista De Morganin lait:
[
\
\
[
{
Aj =
{Aj , {
Aj =
{Aj
j∈J
j∈J
j∈J
j∈J
2. Olkoon f : X → Y , Aj ⊂ X, Bj ⊂ Y . Todista seuraavat kaavat:
\
\
(a) f −1 {Bj : j ∈ J} = {f −1 Bj : j ∈ J}
[
[
(b) f {Aj : j ∈ J} = {f Aj : j ∈ J}.
Jos lisäksi g : Y → Z, C ⊂ Z, niin todista, että
(g ◦ f )A = gf A, (g ◦ f )−1 C = f −1 g −1 C.
3. Todista, että Rn :n tavallinen sisätulo toteuttaa sisätulon ehdot (S1) −
(S5).
Osoita, että avaruudessa C[0, 1] kaava
Z 1
f ·g =
f (x)g(x)dx
0
määrittää sisätulon.
4. Olkoon E sisätuloavaruus. Joukon A ⊂ E ortokomplementti on joukko
A⊥ = {x ∈ E : x · y = 0 kaikilla y ∈ A}.
Osoita, että A⊥ on E:n vektorialiavaruus.
5. Olkoon E sisätuloavaruus ja x, y ∈ E. Todista ns. suunnikassääntö:
|x + y|2 + |x − y|2 = 2|x|2 + 2|y|2 .
Osoita tätä käyttämällä, että Rn :n (epästandardi) normi
|x|1 = |x1 | + · · · + |xn |
ei voi olla peräisin mistään sisätulosta.
6. Osoita, että yhtälö ||x|| = max{|x1 | + |x2 |, 2|x1 |} määrittelee normin tasossa. Piirrä yksikköpallon kuori S = {x ∈ R2 : ||x|| = 1}.