ffilxorlxealferalxetti
Yr(O'fl.tee?
v=0
h=?
R=
Maan säde
r = raketin etäisyys Maan keskipisteestä
m = raketin massa
h = raketin etäisyys Maan pinnalta
r = R+h
Kappale (esim. raketti) ammutaan ylöspäin alkunopeudella vo.
Määritä kappaleen nousukorkeus h, jos ilmanvastusta ei oteta
huomioon. Maan keskimääräinen säde R = 6 370 km ja Maan
vetovoiman kiihtyvyys eli putoamiskiihtyvyys Maan pinnalla;
E = 9,81 mls2. Kuinka korkealle raketti nousee, jos alkunopeus on
vo = 5000 mls?
Olkoon siis raketin etäisyys Maan keskipisteestä r ja Maan pinnasta h.
Etsityllä etäisyydellä r raketin nopeus v = 0. Mekaaninen energia
tarkoittaa potentiaalienergian ja liike-energian su mmaa. Mekaaninen
energia säilyy, joten mekaanisen energian säilymislain mukaan
Eo + E1 = vakio, jolloin
E,alussa" t galussa ,Iopussa
rtkrup"pr"k
-
,Lopussa
Saadaan siis: mekaaninen energia Maan pinnalla = mekaaninen energia
etäisyydellä r Maan keskipisteestä (v = 0):
L.,
,mvä
* (-rry) = -v
koska Efvussa
:
s.
mM
r
(1)
iaetaan edellä oleva yhtälö (1) raketin massalla m, jolloin saadaan
7)YMyM
_.rcL
'
2,O
R
(Z)
T
Maan pinnalla olevalle kappaleelle pätee: gravitaatiovoima - paino
eli
,
josta saadaan
lauseke:
(3)
Sijoitetaan tämä lauseke edellä johdettuun yhtälöön (2), jolloin saadaan
L1
jaedelleen
,v; - R - -;
7 ',
Ug:
rru
-'r'tl
2'o
Rza
-:-r
l.2f
vlr-ZRgr--2R'g
(r3-ZRg)r = -ZR'g l:(uj-ZRg)
T:
r:
-2R, g
v3
- ZRs
2R'g
ZRs
h : r-R :
- v!
2R, g
ZRs
-
v!
R
q
h=
zRzs- QRg-vnY
h=
2R'g-2R'g+Rrl
- v!
ZRg
ZRs
- vfi
RuT'
ZRg-vzo
[= kappaleen (esim. raketin) korkeus Maan pinnasta (m),
Vo=' kappaleen alkunopeus (m/s),
R- Maapallon
keskisäde, R = 6 370 km,
o=i putoamiskiihtyvyys Maan pinnalla, g = 9,81 m/sr.
öt
)
Huom. erikoistapaukseti v9 = 0 m/s
h = 0 m.
Kun nimittäjä suureyhtälössä (a) lähenee nollaa eli
ZRg
Nopeudeksi raja-arvoksi saadaan
-) 0, ni.tn uo
- u!
tässä tapauksessa
I JW.
,tM - Jz. Gtro ooom .s,BL+ x
,
L1.,zkm/s.
)
oo ja kyseessä on ns. toinen pakonopeus
Tällöin siis h
eli pienin nopeus, jolla raketti voi poistua Maan gravitaatiokentästä.
Esimerkiksi nopeudella vo = 500O m/s saadaan nousukorkeudeksi
It=
63loooo m. (s ooo T)'
2'6370000m'9,81
#-
(sooo
ml2
T/
lt * 7592BZBw x 1600km.
(Vrt. htt p ://www. koti p ost
i. n
et/a
i
n ie m i n e
n/e
n s p.
pdf )
3
tt
ll
oL.
tLnANVA,rTut
HITIröN
= R^
1uro(11
Fe
rt M H A,t,r^
sooa?
f-
\)s
Q+h
I<IIMI MGM €McR 6I
ILYY
.'
I
a
Fl
|+tr_
_?
I
I
*P \'_
_F
TF l_^
,L
g
-F
\^r:/\\
I
I
C,u=o
%
Hvon'!
Jvuet
I
I
: h.,
R,
+= -'dry
.F
= -
r1
mry
\!
ämu - UR
ir* - l
fv't
YI
r
ill
i
rii
lii
- I'IY
r
.u.
R
r-
-___l
iii
.TI
urr
I
r
I
arä
»{
R
lR
_
t't'
_rå
I
I
I
I
;
I
I
å»m
-t-.--
t,,-1-!
I
I
u1
l- _r
F
h
P+
h=
j,i
åtrn
I
rz
I -{
=
r
[<'
L
-
1{r'
,rtr
-R
1r-r
åF M
;
C
i- G,6T'4 2». 16" W,
6,?7.locm
5,171'td
* 6,il'lon
v^
h"
1f37513rn § tfrakw
hx
| 6oo l.rn
Y RT:
*rn
q* =
h=
Yö
h^
Z,vret ?"
o o.krn
aM tV vet )A
'\ä
J,oarorn/ g S,7 tt #
eI
.tr.Äv, Kotkr'.
{00 o ?)' §
b
tl*
._ffir
11
tAÅorA/
EP = ,rr3h
D-rr}
tr
^r-'
r
?
(".Y,
qdr \e*tr/
d
f rn rå"
= n1h
,2
*Fr#)=;-rry
åtm\L
h ? 7() krn
NUUT€V
rna
-\>G§ F=
KO AK€U D€IV
@
u
oFfnrl
G-= mX
Kunr h:3okrr
h
I.reH€
rn-ru = n3.
'17
lluvT€N
2
t-.1
PrtrNoN b
vtRH€ > I Z
fi