766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 1 Vakioita ja vastauksia viimeisellä sivulla. 1. Kivi, jonka massa on 2,00 kg, liikkuu maan pinnan suuntaisella nopeudella 12,0 m/s, kun se on pisteessä P. (Katso alla oleva kuva!) Mikä on kiven liikemäärämomentin suuruus ja suunta pisteen O suhteen? O 2. Maa aiheuttaa ympyräradalla olevaan satelliittiin gravitaatiovoiman 19,0 kN. Maan ja satelliitin välinen potentiaalienergia on –1,39 . 1011 J (jos nollakohdaksi valitaan äärettömyydessä oleva piste). a) Laske satelliitin etäisyys Maan pinnasta. b) Laske satelliitin massa. 3. Lokakuun 15. päivä vuonna 2001 löydettiin eksoplaneetta, joka kiertää ympyrärataa tähden HD68988 ympäri. Sen radan säteeksi mitattiin 10,5 miljoonaa kilometriä ja kiertoaika arvioitiin 6,3 vuorokaudeksi. Mikä on tähden HD 68988 massa? Vertaa tulosta auringon massaan. 4. Satelliitti kiertää maapalloa elliptisellä radalla, jonka eksentrisyys on 0,685. Satelliitin lähin piste eli perigeum on 2,2 Maan säteen etäisyydellä maapallon keskipisteestä. Mikä on radan kauimmaisen pisteen eli apogeumin etäisyys maapallon keskipisteestä. Mitkä ovat satelliitin nopeudet perigeumissa ja apogeumissa? Vakioita: Maan massa ME = 5,97  1024 kg Maan säde RE = 6,38  106 m Maan radan keskisäde rE = 1,496  1011 m Auringon massa MS = 1,991  1030 kg Kuun massa ML = 7,35  1022 kg Kuun radan keskisäde rL = 3,84  108 m 1 AU = 149,6 miljoonaa km G = 6,67259 . 10-11 Nm2/kg2 5. Kappale lähestyy Aurinkoa pitkin paraabelirataa. Mikä on sen nopeus etäisyydellä 5,2 AU Auringosta ja mikä on tällöin sen nopeusvektorin ja radiusvektorin välinen kulma kun sen perihelietäisyys on 0,5784 AU. Opastus: Paraabelirataa pitkin liikkuvan kappaleen kokonaisenergia on nolla. Vakioita: Maan massa ME = 5,97  1024 kg Maan säde RE = 6,38  106 m Maan radan keskisäde rE = 1,496  1011 m Auringon massa MS = 1,991  1030 kg Kuun massa ML = 7,35  1022 kg Kuun radan keskisäde rL = 3,84  108 m 1 AU = 149,6 miljoonaa km G = 6,67259 . 10-11 Nm2/kg2 6. Meteorin massa on m ja sen nopeus hyvin kaukana Maasta on v0. Nopeusvektorin jatkeen kohtisuora etäisyys maan keskipisteestä (törmäysparametri) on a. Katso kuva! Osoita, että meteorin ja Maan keskipisteen pienin etäisyys on: r GM G2M 2   a2 2 4 (v 0 ) (v 0 ) missä M on maan massa ja G gravitaatiovakio. Katso seuraavalla sivulla oleva kuva! v0 o 90 r a 7. Pyrstötähti Lovejoy havaittiin Suomessa ensimmäisen kerran 28.12.2014 ja on nyt nähtävänä kirkkaina öinä ainakin kiikarilla muutaman viikon ajan. Lovejoyn perihelietäisyys on 0,00555 AU ja eksentrisyys 0,99993. Se oli perihelissä 16.12.2011. Milloin se oli perihelissä edellisen kerran olettaen, että sen massa ei ole muuttunut? Vakioita: Auringon massa MS = 1,991  1030 kg 1 AU = 149,6 miljoonaa km G = 6,67259 . 10-11 Nm2/kg2 8. Satelliitti (massa m) kiertää planeettaa (massa M) ympyräradalla, jonka säde on a. Määritä tämän satelliitin Runge-Lentz –vektori 9. Ympyrärenkaan muotoisen kappaleen massa on M ja säde a. Laske gravitaatiovoima, jonka tämä rengas aiheuttaa pieneen kappaleeseen, jonka massa on M ja joka on renkaan keskiakselilla etäisyydellä x renkaan keskipisteestä. 10. Ohuen pallokuoren (säde R ja massa M) sisällä on pieni kappale, jonka massa on m. Osoita, että pallokuori ei aiheuta gravitaatiovoimaa pieneen kappaleeseen, olipa sen etäisyys r pallon keskipisteestä mikä hyvänsä. Rajoita tarkastelu alueeseen r < R. Opastus: On helpompi laskea voima potentiaalienergian kautta kuin suoraan gravitaatiovoiman lausekkeesta.